Keep running
VEKTOR 3/8/2007
Fisika I
1
Keep running
BAB I : VEKTOR Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah perpindahan. Sebuah besaran vektor dapat dinyatakan oleh huruf di (misal A) atau diberi tanda panah diatas huruf (misal handout ini sebuah besaran vektor dinyatakan oleh dicetak tebal. Perpindahan dari a ke b dinyatakan oleh vektor R
cetak tebal r A ). Dalam huruf yang
b
R
a 3/8/2007
Fisika I
2
Keep running
PENJUMLAHAN VEKTOR Penjumlahan vektor R yang menyatakan perpindahan a ke b dan vektor S yang menyatakan perpindahan b ke c menghasilkan vektor T yang menyatakan perpindahan a ke c. Cara menjumlahkan dua buah vektor dengan mempertemukan ujung vektor pertama, vektor R, dengan pangkal vektor kedua, vektor S. Maka resultan vektornya, vektor T, adalah menghubungkan pangkal vektor pertama dan ujung vektor kedua. b S R T=R+S c
T a 3/8/2007
Fisika I
3
Keep running
BESAR VEKTOR RESULTAN Jika besar vektor R dinyatakan oleh R dan besar vektor S dinyatakan oleh S, maka besar vektor T sama dengan : (1.1)
T = R2 + S2 − 2RS cos θ θ S R T=R+S T
Sudut θ menyatakan sudut yang dibentuk antara vektor R dan vektor S
3/8/2007
Fisika I
4
Keep running
PENGURANGAN VEKTOR Untuk pengurangan vektor, misal A – B dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari A + (-B). Vektor -B atau negatif dari vektor B adalah sebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor B tetapi arahnya berlawanan.
D
D=A–B B
-B
A
3/8/2007
Fisika I
5
Keep running
CONTOH Sebuah mobil bergerak ke Utara sejauh 20 km, kemudian bergerak ke Barat sejauh 40 km dan bergerak ke Selatan sejauh 10 km. Tentukan jarak perpindahan mobil itu ! B
40 km U
10 km S
20 km
3/8/2007
Fisika I
6
Keep running
CONTOH 40 km
Jawab :
B C 20 km
10 km
A
D=
B A+
+C
10 km
40 km
Jika perpindahan pertama dinyatakan vektor A, perpindahan kedua dinyatakan vektor B, dan perpindahan ketiga dinyatakan vektor C, maka perpindahan total dinyatakan vektor D. Dari gambar di atas dapat diketahui panjang vektor D adalah :
40 2 + 10 2 = 10 17 m 3/8/2007
Fisika I
7
Keep running
VEKTOR SATUAN Vektor satuan didefenisikan sebagai : r =
R R
(1.2)
Vektor satuan r tidak mempunyai dimensi dan besarnya adalah satu satuan. Dari persamaan di atas, sebuah besaran vektor dapat dinyatakan sebagai besar vektor tersebut dikali vektor satuan. Vektor satuan r menyatakan arah dari vektor R. Terdapat vektor satuan standar dalam koordinat Kartesian di mana arah-arah dari masing-masing sumbu dinyatakan dalam vektor satuan. •Vektor satuan i menyatakan arah sumbu X positif •Vektor satuan j menyatakan arah sumbu Y positif •Vektor satuan k menyatakan arah sumbu Z positif
3/8/2007
Fisika I
8
Keep running
PENULISAN VEKTOR SECARA ANALITIS Rz
R Ry Rx
Vektor R dinyatakan oleh : R = Rxi + Ryj + Rzk
Vektor dalam 2 Dimensi
2 2 2 Besar vektor R adalah : R = R x + R y + R z
Vektor satuan standar tersebut setiap vektor dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan dari vektor komponen masing-masing sumbu koordinat. 3/8/2007
Fisika I
9
Keep running
CONTOH Sebuah vektor perpindahan dari titik (2,2) ke titik (-2,5). Tentukan : a. Vektor perpindahan dinyatakan secara analitis b. Sudut yang dibentuk vektor tersebut dengan sumbu X c. Panjang vektor Jawab :
y
(-2,5)
ujung
Ry
θ
(2,2) pangkal
x Rx
a. Vektor perpindahan : R = (xujung – xpangkal)i + (yujung – ypangkal)j R = (-2 – 2)i + (5 – 2)j = -4i + 3j 3/8/2007
Fisika I
10
Keep running
CONTOH y
(-2,5)
ujung
Ry
θ
(2,2) pangkal
x Rx
b.
Sudut yang dibentuk :
θ = tan c.
−1
Ry Rx
⎛3⎞ = tan −1 ⎜ ⎟ = 37 o ⎝4⎠
Besar vektor R = R x 2 + R y 2 = 3 2 + 4 2 = 5 satuan
3/8/2007
Fisika I
11
Keep running
PENJUMLAHAN VEKTOR CARA ANALITIS Jika diketahui sebuah vektor A = xAi + yAj dan vektor B = xBi + yBj, maka penjumlahan vektor A + B = (xA + xB)i + (yA + yB)j. Atau secara umum jika menjumlahkan n buah vektor berlaku : R = (x0 + …+xi + …+xn)i + (y0 + …+yi + …+yn)j yA + y B
yB
yA
(1.3)
B A
+
B
B
A xB xA A xA + x B 3/8/2007
Fisika I
12
Keep running
CONTOH Diketahui dua buah vektor. A = 3i + 2j B = 2i − 4j Tentukan :
-B
a. A + B dan ⏐A + B⏐
A−B
b. A − B dan ⏐A − B⏐
A
Jawab : a. A + B = 3i + 2j + 2i − 4j
B A+
= 5i − 2j
B
⏐A + B⏐ = 5 2 + ( −2) 2 = 29 b. A − B = 3i + 2j − (2i − 4j) = i + 6j ⏐A − B⏐ = 12 + 6 2 = 37 3/8/2007
Fisika I
13
Keep running
SOAL 1. Nyatakan sebuah vektor yang mempunyai besar 4 satuan dan arahnya 60o dari sumbu X positif secara analitis dan tentukan vektor satuannya! 2. Sebuah benda bergerak dari titik (1,2)m ke titik (5,0)m. Tentukan : a. Vektor perpindahan benda tersebut b. Jarak perpindahan c. Arah dari vektor perpindahan benda tersebut dinyatakan oleh vektor satuannya 3. Diketahui A = 3i + 4j. Tentukan konstanta skalar c sehingga berlaku cA = 10 satuan ! 4. Diketahui A = 2i + 4j, B = -7i, dan C = 8j. Tentukan : a. A + B - C b. ⏐A + B + C⏐ 3/8/2007
Fisika I
14
Keep running
SOLUSI 1.
R = Rxi + Ryj Diketahui : Rx = R cos θ = 4 cos 60o = 2 3 satuan Ry = R sin θ = 4 sin 60o = 2 satuan Dengan demikian R = 2i + 2 3 j satuan Vektor satuan : r = cos 60o + sin 60o = ½ i + ½ 3 j Y
R θ
3/8/2007
60o X
Fisika I
15
Keep running
SOLUSI Y
2. 2
R
1
X
5
a. R = (x2 – x1) i + (y2 – y1) j. Titik awal (x1,y1) = (1,2) dan titik akhir (x2,y2) = (5,0). Dengan demikian vektor R = 4 i – 2 j. 2 2 2 2 R + R b. R = x y = 4 +2 =2 5 m R 2 5 5 = i− j c. r = R 5 5
3/8/2007
Fisika I
16
Keep running
SOLUSI 2 2 3. Besar vektor A = 3 + 4 = 5 satuan
Dengan demikian nilai c = 2 satuan 4. a. A + B – C = 2i + 4j - 7i - 8j = -5i - 4j b. ⏐A + B + C⏐ = ⏐2i + 4j - 7i + 8j⏐ = ⏐-5i + 12j⏐ ⏐-5i + 12j⏐ = 5 2 + 122 = 13 satuan
3/8/2007
Fisika I
17
Keep running
PERKALIAN SKALAR Perkalian skalar atau juga sering disebut perkalian titik dari dua buah vektor menghasilkan besaran skalar di mana berlaku : A . B = AB cos θ
(1.4)
Jika diketahui A = ax i + ay j + az k dan B = bx i + by j + bz k, maka : A . B = axbx + ayby + azbz
(1.5)
Sebagai hasil perkalian skalar adalah usaha, tenaga potensial, fluks magnet, dan lain-lain. A
θ
3/8/2007
Fisika I
B
18
Keep running
PERKALIAN SKALAR Perhatikan animasi di samping ini !
Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah : i.i=j.j=k.k=1 i.j=j.k=k.i=0
3/8/2007
Fisika I
19
Keep running
CONTOH Diketahui dua buah vektor, A = 3i + 4j dan B = 4i − 2j. Tentukan sudut antara vektor A dan B ! Jawab : Untuk menentukan sudut antara vektor A dan B dapat menggunakan persamaan (1.4). A A .B cos θ = AB θ A . B = (3i + 4j) . (4i − 2j) = 3.4 + AB 4.(-2) = 4 B 2 2 Besar vektor A = 3 + 4 = 5 2 2 Besar vektor B = 4 + ( −2) = 20
A .B 2 cos θ = = AB 125 3/8/2007
Dengan demikian θ = 79,7o Fisika I
20
Keep running
PERKALIAN VEKTOR Perkalian vektor atau perkalian silang dari dua buah vektor menghasilkan besaran vektor lain di mana berlaku : A×B=C (1.6) Besar vektor C adalah : C = AB sin θ (1.7) Arah vektor C selalu tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh vektor A dan vektor B. Untuk menentukan arah vektor C dapat diperhatikan gambar di bawah ini. Diketahui bahwa hasil A × B tidak sama dengan B × A. Walaupun besar vektor hasil perkalian silang itu sama, tetapi arahnya saling berlawanan. B
C=A×B θ B
C = -C’
A
θ C’ = B × A
A 3/8/2007
Fisika I
21
Keep running
PERKALIAN VEKTOR
Perhatikan animasi di samping ini !
Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah : i×i=j×j=k×k=0 i × j = k ; j × k = i; k × i = j j × i = -k ; k × j = -i; i × k = -j 3/8/2007
Fisika I
22
Keep running
PERKALIAN VEKTOR Untuk menentukan arah dari hasil perkalian silang dari dua buah vektor dapat menggunakan aturan tangan kanan. Jika urutan perkalian dari dua vektor (misal A × B), maka empat jari menyatakan arah putaran sudut terkecil dari vektor A ke vektor B. Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor tersebut. Untuk memahami aturan ini perhatikan animasi di bawah ini :
3/8/2007
Fisika I
23
Keep running
CONTOH Diketahui dua buah vektor. A = 3i + 4j B = 4i − 2j + k Tentukan : a. A × B b. Buktikan A × B = -B × A Jawab : a. A × B = (3i + 4j) × (4i − 2j + k) = 3.4(i×i) + 3.(-2)(i×j) + 3.1(i×k) + 4.4(j×i) + 4.(-2)(j×j) + 4.1(j×k) = 12.0 – 6k + 3(-j) + 16(-k) – 8.0 + 4i = 4i – 3j – 22k b. B × A = (4i − 2j + k) × (3i + 4j) = 4.3(i×i) + 4.4(i×j) +(2).3(j×i) + (-2).4(j×j) + 1.3(k×i) + 1.3(k×j) = 12.0 + 16k – 6(k) – 8.0 + 3j + 4(-i) = -4i + 3j + 22k = - A × B terbukti
3/8/2007
Fisika I
24
Keep running
SOAL 1. Tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor A = i + 2 j – k dan vektor B = 3 i – 4 k ! 2. Tentukan panjang proyeksi dari vektor A = 4 i + 2 j – k terhadap arah vektor B = i + 3 j – 4 k ! 3. Diberikan tiga buah vektor : A=1i+2j–k B=4i+2j+3k C=2j–3k Tentukan : a. A . (B × C) b. A . (B + C) c. A × (B + C) 4. Buktikan vektor R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k adalah tegak lurus ! 3/8/2007
Fisika I
25
Keep running
SOLUSI 1.
Menurut persamaan (1.5) A . B = 1.3 + 2.0 + (-1).(-4) = 7. Besar vektor A : A = 12 + 22 + ( −1)2 = 6
Besar vektor B : B = 32 + (−4)2 = 5
A .B 7 = Nilai sudut antara A dan B ditentukan oleh : cos θ = AB 5 6 o Dengan demikian θ = 55,1 A
2.
θ AB
B
Panjang AB menyatakan panjang proyeksi A terhadap B yang besarnya : A.B 4.1 + 2.3 + ( −1).( −4) 14 = = A B = A cos θ = 2 2 2 B 26 1 + 3 + ( −4) 3/8/2007
Fisika I
26
Keep running
SOLUSI 3. a.
b. c. 4.
B × C = (4i + 2j + 3k) × (2j – 3k) = 8(i × j) – 12(i × k) – 6(j × k) + 6(k × j) = 8k + 12j − 12i A . (B × C) = (i + 2j – k).(-12i + 12j + 8k) = -12 + 24 – 8 = 4 B + C = 4i + 4j. Nilai A . (B + C) = (i + 2j – k).(4i + 4j) = 12 A × (B + C) = (i + 2j – k) × (4i + 4j) = i – 4j – 4k
Dua buah vektor tegak lurus jika membentuk sudut 90o. Menurut persamaan (1.4) dan (1.5) diperoleh : R . S = RS cos 90o = RS . 0 = 0 R . S = RxSx + RySy + RzSz Jika diketahui R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k, maka : R . S = 3.2 + 2.1 + (-4).2 = 0
3/8/2007
Fisika I
27
Keep running
BESARAN FISIS Setiap keadaan fisis dari materi selalu dinyatakan sebagai fungsi matematis dari besaran lain yang mempengaruhinya. S = f(x1, x2, . . . , xn)
(1.8)
S menyatakan besaran yang diukur, sedangkan xi menyatakan variabel yang menentukan besaran S. Sebagai contoh gaya interaksi antar dua partikel bermuatan F ditentukan oleh besar muatan pertama q1, besar muatan kedua q2, jarak antar partikel r12, dan medium di mana kedua partikel tersebut berada. Namun untuk menggambarkan sebuah besaran yang merupakan fungsi dari beberapa variabel cukup sulit. Pada pembahasan materi di sini, ditinjau besaran yang hanya bergantung pada satu variabel saja. 3/8/2007
Fisika I
28
Keep running
BESARAN FISIS Tinjau sebuah fungsi y = f(x) di bawah ini di mana nilai y hanya ditentukan oleh satu variabel, yaitu x. Dari grafik di samping diketahui y1 = f(x1), y2 = f(x2), y3 = f(x3), dan y4 = y1.
y
y1 y2 y3
x1 x2
x3
x4
x
Setiap besaran fisis yang bergantung pada satu variabel dapat digambarkan dalam bentuk grafik seperti di atas. 3/8/2007
Fisika I
29
Keep running
BESARAN FISIS Di bawah ini contoh besaran fisika, yaitu posisi x sebagai fungsi waktu. Posisi sebuah partikel dalam arah x sebagai fungsi waktu. 50
t (detik)
x (meter)
0
9
1
4
2
1
30
3
0
25
4
1
20
5
4
15
6
9
10
7
16
8
25
9
36
45 40
x(t)
35
x(t) = (t – 3)2
5 0
3/8/2007
0
1
2
3
4
5 t
6
7
8
Fisika I
9
10
30
Keep running
BESARAN FISIS
E(r)
9
r (m)
E (N/C)
8
1
9
7
2
2,25
6
3
1
4
0,5625
5
0,36
6
0,25
7
0.1837
8
0,1406
9
0,1111
10
0,09
5 4
E=k
3
q r2
2 1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
r
Medan listrik sebagai fungsi jarak. Diketahui besar q = 1 nC.
3/8/2007
Fisika I
31
Keep running
CONTOH 1. Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gaya pegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstanta pegas dan x adalah jarak. Gambarkan grafik F sebagai fungsi jarak x !
F
=k
x
F
x 3/8/2007
Fisika I
32
Keep running
CONTOH 2.
Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber tegangan DC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh fungsi : Q(t) = q(1 – e-At) dengan q dan A adalah konstanta. Gambarkan grafik Q terhadap t ! Q
Q = q(1 – e-At)
q
t 3/8/2007
Fisika I
33
Keep running
DIFERENSIAL Diferensial atau turunan pertama kali dibahas untuk menentukan garis singgung dari suatu kurva. Masalah ini sudah dibahas sejak jaman Archimedes sekitar abad ke 3 SM. Dalam fisika, turunan pertama kali digunakan untuk menentukan besar kecepatan sesaat pada t tertentu dari persamaan posisi terhadap waktu. Lihat gambar di samping. Gradien dari garis singgung pada titik P dapat ditentukan oleh persamaan :
f(x)
f(c+h) f(c)
P
c 3/8/2007
s Garis
m = lim
ng inggu
h→ 0
f ( c + h ) − f ( c ) (1.9) h
x
c+h Fisika I
34
Keep running
DIFERENSIAL Jika x = c dan x’ = c + h, maka persamaan (1.9) menjadi : f ( x' ) − f ( x ) ∆f ( x ) m = lim = lim (1.10) x → x' x → x' ∆x x '− x Penulisan turunan dari suatu fungsi y = f(x) terhadap x dinyatakan oleh : dy f’(x) Dxy dx Berlaku untuk turunan : 1. Dx(cf(x)) = c Dxf(x)
c : konstanta
(1.11a)
2. Dx(f(x) + g(x)) = Dxf(x) + Dxg(x)
(1.11b)
3. Dx(f(x)g(x)) = (Dxf(x))g(x) + f(x)(Dxg(x))
(1.11c)
4. Dx(f(g(x))) = Dg(x)f(g(x)).Dxg(x)
(1.11d)
5. Dx(xn) = nXn-1
(1.11e)
3/8/2007
Fisika I
35
Keep running
DIFERENSIAL Dalam fisika, suatu besaran A yang dinyatakan sebagai perbandingan besaran B terhadap besaran C selalu dinyatakan dalam bentuk : dB A= dC Hal ini berlaku karena pada umumnya besaran B merupakan fungsi dari besaran C. Sebagai contoh : dx Jarak v= Kecepa tan = dt waktu
Usaha waktu
P=
Mua tan Arus = waktu
I=
Daya =
3/8/2007
Fisika I
dW dt dq dt 36
Keep running
CONTOH Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber tegangan DC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh fungsi : Q(t) = q(1 – e-At) dengan q dan A adalah konstanta. Tentukan : a. Fungsi arus sebagai waktu b. Besar arus saat t = 0 c. Gambarkan grafik I(t) Jawab : a. Besar arus I : dQ d = q(1 − e − At ) = qAe − At qA I= dt dt b. Pada saat t = 0 harga I adalah :
(
)
I(t)
c.
I = qAe-A.0 = qA t 3/8/2007
Fisika I
37
Keep running
INTEGRAL Integral digunakan untuk menentukan luas daerah di antara kurva fungsi f(x) dan sumbu x. 55 50 45 40 35
y
30
Sebagai contoh diketahui y = f(x) = (x – 3)2 + 5 dan luas yang ditentukan pada batas dari x = 1 sampai dengan x = 8.
25 20 15
∆x
10 5 0
0
3/8/2007
1
x0
2
x1
3
x2
4
x3
5 xx4
6
x5
7
x6
8
x7 Fisika I
9
10
38
Keep running
INTEGRAL Dari gambar diketahui luas yang dicari dapat didekati dengan : A(n = 7) = f(1)∆x + f(2)∆x + f(3)∆x + f(4)∆x + f(5)∆x + f(6)∆x + f(7)∆x 7 A(n = 7) = ∑ f ( x i )∆x i=0
Nilai ∆x = 1 ditentukan dengan membagi selang 1 < x < 8 dibagi dengan n = 7. Nilai A(n = 7) = 9 + 6 + 5 + 6 + 9 + 14 + 21 = 70 satuan persegi. Jika nilai n diperbesar, maka luas mendekati luas sebenarnya. Nilai A sebenarnya diperoleh pada nilai n endekati tak hingga. n
8
i=0
1
A = lim A(n) = lim ∑ f ( x i )∆x = ∫ f ( x )dx n→∞
3/8/2007
n→∞
Fisika I
39
Keep running
INTEGRAL Dalam fisika, integral digunakan untuk suatu besaran yang merupakan hasil kali dari besaran-besaran lain dengan syarat masing-masing besaran tersebut tidak saling bebas satu sama lain. Tinjau suatu besaran R = ST. Jika besaran S fungsi dari T, maka besaran R harus dinyatakan dalam bentuk :
R = ∫ S dT Sebagai contoh : Usaha = Gaya × jarak
W = ∫ F ds
Fluks = Medan × luas
Φ = ∫ E dA
3/8/2007
Fisika I
40
Keep running
CONTOH Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gaya pegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstanta pegas dan x adalah jarak. Tentukan : a. Besar usaha yang dilakukan oleh gaya pegas b. Gambarkan grafik usaha sebagai fungsi waktu Jawab : a. Usaha yang dilakukan : W = ∫ F dx = ∫ kx dx = 21 kx 2 b.
W
2
W
kx ½ =
x 3/8/2007
Fisika I
41
Keep running
SOAL 1. Sebuah partikel bergerak akibat gaya yang dinyatakan oleh persamaan F(x) = Ax − Bx2. Jika diketahui nilai A = 103 N/m dan B = 5.103 N/m2. Tentukan : a. Grafik F terhadap x b. Perubahan Gaya F terhadap jarak c. Usaha yang dilakukan gaya dari x = 3 cm sampai x = 9 cm 2. Di bawah ini grafik dari potensial listrik terhadap jarak. Tentukan : V (volt) a. Fungsi potensial V sebagai fungsi x 8 b. Jika diketahui medan listrik E adalah turunan pertama dari potensial listrik 4 V, tentukan fungsi E(x) c. Gambarkan grafik E terhadap x 10 3/8/2007
x (m)
Fisika I
42
Keep running
SOAL 3.
Sebuah partikel bergerak dengan kecepatan v(t) = 10t – 2t2 m/s bergerak dengan posisi awal di x = 1 m. Tentukan : a. Gambarkan grafik v(t) b. Kecepatan saat t = 1 detik dan t = 3 detik c. Fungsi a(t) sebagai turunan pertama dari v(t) d. Gambarkan grafik a(t) e. Fungsi posisi x(t) terhadap waktu f. Posisi saat kecepatan v = 0
3/8/2007
Fisika I
43
Keep running
SOLUSI 1. a.
F (N)
50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0
1. b.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x (cm)
Perubahan gaya terhadap jarak dinyatakan oleh dF = A – 2Bx = 103 – 104x dx
3/8/2007
Fisika I
44
Keep running
SOLUSI 1. c. Usaha yang dilakukan :
W = ∫ F dx = W= 2. a.
9.10 −2
− Bx )dx = (A 21 x − B 31 x ∫ (−Ax 2
3.10 36.10-4A –
2
2
3
)
9.10 − 2 3.10 − 2
234.10-6B = 2,43 Joule
V (volt)
Dari grafik diketahui V(x) adalah fungsi linier yang menghubungkan titik (0,4) dan titik (10,8). Dengan menggunakan persamaan garis V = ax + b.
8
4
Untuk titik (0,4) 10
x (m) Untuk
titik (10,8)
0.a + b = 4 10.a + b = 8
Dengan metoda eliminasi diperoleh b = 4 dan a = 2,5. Dengan demikian fungsi V(x) = 2,5x + 4 3/8/2007
Fisika I
45
Keep running
SOLUSI dV( x ) = 2,5 2. b. Medan listrik E(x) = dx Dengan demikian nilai E(x) konstan. E (V/m)
2. c. 2,5 v (m/s)
20
x (m)
15
3. a.
10 5 0 -5 -1 0 -1 5 -2 0
3/8/2007
x (m) 0
1
2
3
4
5
6
7
Fisika I
8
9
10
46
Keep running
SOLUSI 3. b. Kecepatan saat t = 1 detik adalah v(1) = 10.1 – 2.12 = 6 m/s. Sedangkan kecepatan saat t = 3 detik adalah v(1) = 10.3 – 2.32 = 12 m/s.
dv( t ) 3. c. Percepatan a(t) = = 10 – 4t dt a (m/s2)
3. d.
10
5
0
-5
-10
-15
-20
3/8/2007
0
1
2
3
4
5
6
7
Fisika I
8
9
10
x (m) 47
Keep running
SOLUSI 3. e.
Fungsi posisi x(t) = ∫ v( t ) dt = ∫ 10t − 2t 2 dt = 5t 2 − 32 t 3
3. f.
Saat v = 10t – 2t2 = 0 terjadi saat t = 0 dan t = 5 detik. Pada saat t = 0 posisi x(0) = 0. Sedangkan pada saat t = 5 detik posisi x di :
125 = 41 32 3 Dengan demikian kecepatan v = 0 di posisi x = 0 dan x = 41,67 m x(5) = 5.5 2 − 32 5 3 =
3/8/2007
Fisika I
48
