2.
Verdampingsprocessen
Prof. dr. ir. Marc F.P. Bierkens Dr. Fred C. Bosveld 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7
Energiebalans en verdamping Verticaal turbulent transport Vocht in de atmosfeer Open water verdamping volgens Penman Uitbreiding naar begroeide oppervlakken: Penman-Monteith Oppervlakteweerstand Aerodynamische weerstand Appendix: Monin-Obukhov Gelijkvormigheidstheorie Literatuur
Over verdampingprocessen is veel naslagwerk beschikbaar. We noemen hier o.a. het standaardwerk van Brutsaert (1982), en goede hoofdstukken over verdamping in Eagleson (1970) (hst) , Brutsaert (2005) (hst 4), Moors (2009) en Holtslag en Ek (2009) in Bierkens et al. (2009). In dit hoofdstuk zullen we proberen deze kennis op eenvoudige en overzichtelijke wijze samen te vatten.
2.1
Energiebalans en verdamping
Een intuïtieve manier om verdamping te begrijpen is vanuit het drogen van was (Figuur 2.1). Natte was droogt het snelst in de zon en als het waait. De zon zorgt voor de energie die nodig is om vloeibaar water om te zetten in waterdamp en de wind zorgt dat de met waterdamp verzadigde lucht net boven het wasgoed wordt afgevoerd en wordt vervangen voor droge lucht zodat de verdamping op gang blijft.
Figuur 2.1 Twee drijvende factoren achter verdamping: straling en wind.
Op een vergelijkbare intuïtieve wijze kan men het proces van verdamping beschrijven door het beschouwen van de energiebalans van een wateroppervlak. Deze wordt schematisch weergegeven in Figuur 2.2. De energie die beschikbaar is volgt uit de energiebalans. Allereerst is er de inkomende straling van de zon. De meeste inkomend energie in zonnestraling is in de vorm van kortgolvige straling (golflengtebereik 0.1-4 m). Een gedeelte hiervan is directe zonnestraling en een gedeelte is diffuse straling, dat is de zonnestraling die is verstrooid door de moleculen in de atmosfeer. Deze laatste term is dominant als het bewolkt weer is. We hanteren voor de inkomende kortgolvige straling, die ook wel wordt aangeduid met globale straling, het symbool R . De eenheid die hiervoor gehanteerd wordt is energie (Joule) per oppervlakte- en per tijdseenheid (Jm-2s-1) of Watt (Joule per seconde) per oppervlakte-eenheid (Wm-2). Een gedeelte van de kortgolvige straling wordt teruggekaatst aan het aardoppervlak. Deze fractie teruggekaatste straling heet het albedo . De waarde van het albedo wisselt sterk per oppervlak: 0.9 voor vers gevallen sneeuw, 0.1-0.2 voor dichte vegetatie en 0.1-0.3 voor kale grond (afhankelijk van textuur en vochtigheid) Voor water hangt het albedo sterk af van de hoek van inval en kan variëren tussen 0.1 (zon hoog aan de hemel) en 0.6 (lage zon). Als het albedo van het oppervlak bekend is kan de teruggekaatste kortgolvige straling R (Wm-2) worden berekend als: R R
Directe en diffuse kortgolvige straling R
(1)
Reflectie kortgolvige straling R
Emissie langgolvige straling L atmosfeer Voelbare warmte
Emissie langgolvige straling L oppervlak
Opwarming water G door netto straling Rn
H
Latente warmte inde vorm van waterdamp
E
Afkoeling water door convectie en verdamping
Figuur 2.2 Energiebalans van een wateroppervlak. Voor verklaring van de symbolen zie de tekst.
Door de kortgolvige straling (en zoals we later zullen zien ook inkomende langgolvige straling) wordt de waterkolom opgewarmd zodat de oppervlaktetemperatuur hoger wordt dan die van de bovenliggende lucht. De energieflux die gepaard gaat met het opwarmen van het water heeft hier symbool G
(in Wm-2). Elk voorwerp verliest energie door het uitzenden van langgolvige straling L (Wm-2, golflengtebereik 4-100 m). Dit gebeurd volgend de wet van Stefan Boltzmann: L sTs4
(2)
Met Ts de absolute temperatuur van het aardoppervlak (in graden Kelvin= graden Celcius + 273), de Boltzmann constante (=5.67·10-8 Wm-2K-4) en s de emissiecoëfficiënt van het wateroppervlak. De emissiecoëfficiënt is 1 voor een perfecte zwarte straler en varieert tussen de 0.92-0.96 voor water. Het grootste deel van de uitgestraalde langgolvige straling wordt geabsorbeerd door de moleculen in de atmosfeer (inclusief de wolken) en warmt deze op. Als gevolg daarvan zal deze ook langgolvige straling uitzenden waarvan een deel terugkomt naar de aarde. Dit is wat populair het broeikaseffect heet. Zonder de extra langgolvige vanuit de atmosfeer zou het een stuk kouder op aarde zijn1. De inkomende langgolvige straling L vanuit de atmosfeer wordt ook beschreven door de wet van Boltzmann: L aTa4
(3)
met Ta de absolute temperatuur van de atmosfeer op een bepaalde hoogte z (meestal wordt 2 meter genomen hiervoor) en a de effectieve emissiecoëfficiënt van de atmosfeer. De emissiecoëfficiënt is lastig te bepalen en hangt onder andere af van de luchtvochtigheid,de bewolkingsgraad en de hoogte z. We komen daar verderop in dit hoofdstuk op terug. Uiteindelijk leiden al deze stralingscomponenten tot de volgende betrekking voor de netto straling Rn van het waterlichaam: Rn R R L L R (1 ) aTa4 sTs4
(4)
Dit is dus dat deel van de straling dat geabsorbeerd wordt in het waterlichaam en omgezet wordt in warmte. Gedurende dag is de netto straling positief, wat zou betekenen dat het water alsmaar warmer wordt. Echter deze opwarming wordt afgeremd omdat er, naast uitgaande langgolvige straling, nog twee manieren zijn waardoor het waterlichaam zijn warmte kwijtraakt. Doordat het wateroppervlak opwarmt wordt de onderste luchtlaag vlak boven het wateroppervlak ook opgewarmd (door geleiding en langgolvige straling). Als er wind over het wateroppervlak strijkt en het wateroppervlak in beroering komt ontstaan er luchtwervelingen waarin ook tijdelijke verticale windsnelheden ontstaan. Deze tijdelijke opwaartse windsnelheden zorgen ervoor dat pakketjes opgewarmde lucht boven het wateroppervlak opstijgen, die vervolgens worden vervangen door de koudere lucht daarboven. Terwijl ze opstijgen geven de pakketje warmere lucht hun warmte dan weer af aan de koudere omgeving. Op deze wijze ontstaat er warmteflux 1
Belangrijke broeikasgassen in de atmosfeer zijn waterdamp, kooldioxide, methaan, distikstofoxide en ozon. Waterdamp is hierbij het belangrijkste omdat er het meeste van is. De andere gassen, vooral kooldioxide, zijn problematisch omdat ze via door de mens veroorzaakte emissies in concentratie toenemen en zo bijdragen aan klimaatverandering.
van het wateroppervlak naar de atmosfeer. Omdat het opstijgen van pakketjes warme lucht en de vervanging daarvan door pakketjes koude lucht daarboven wordt gedreven door luchtwervelingen, ofwel turbulentie, wordt deze vaak als turbulente warmteflux (W m-2) aangeduid. En omdat dit een warme luchtstroom is die voelbaar is hanteert men ook vaak de term voelbare warmteflux. Voor deze flux wordt vaak het symbool H gebruikt. De lucht boven het wateroppervlak is doorgaans niet verzadigd. Dat wil zeggen dat er nog veel plaats is voor watermoleculen om aan de waterkolom te ontsnappen en in gasvorm in de lucht te worden opgenomen. Het overgaan van vloeibaar water naar gasvormig water (ofwel waterdamp) kost echter energie, en deze energie wordt ontrokken aan de warme waterkolom, waardoor deze afkoelt. Dit proces kan doorgaan totdat de luchtlaag boven het water verzadigd raakt. Alle water dat er dan nog bij komt leidt onmiddellijk tot condensatie. Dit zou bij stilstaande lucht als snel leiden tot het stoppen van de verdamping. Echter, door de turbulente warmteflux worden pakketjes lucht vlak boven het water die niet alleen warm maar ook vochtig zijn vervangen door koudere drogere lucht. De turbulente warmteflux boven een wateroppervlak gaat dus ook gepaard met vertikaal turbulent vochttransport, dat wil zeggen verdamping. Mocht het vochtige pakketje lucht hoog genoeg stijgen dan zal het door de koudere omgevingslucht afkoelen en het vocht daarin weer kunnen condenseren tot wolken. Hierbij komt energie vrij die wordt afgegeven aan dezelfde omgevingslucht. Verdamping ontrekt dus energie aan het water en geeft die uiteindelijk af aan de atmosfeer. Er is dus ook sprake van een warmteflux. Omdat deze warmte niet voelbaar is als een verhoogd temperatuur maar verborgen zit in waterdamp die zou kunnen condenseren en dan pas zijn (condensatie-)warmte afgeeft wordt er ook wel gesproken over een latente warmteflux. Als E de verdamping is in kg water per tijdseenheid (bijv. kg m-2 s-1), dan is de latente JE (Wm-2) warmteflux gelijk aan J E E , met de latente verdampingswarmte (2.5·106 J kg-1), de energie die nodig is om 1 kg water van vloeibaar naar gas over te laten gaan. De energiebalans van de waterkolom wordt dan gegeven door:
dS Rn H E dt
(5)
met S (J m-2) de energie-inhoud van de waterkolom per oppervlakte-eenheid. Bij het afleiden van verdampingsformules wordt de energiebalans vaak opgesteld voor het water- of landoppervlak. In dat geval introduceert men daarom de grootheid G als de flux van/naar de onderliggende waterkolom (of grondkolom) die er voor zorgt dat de temperatuur van de waterkolom (of grondkolom) veranderd. De energiebalans van het wateroppervlak ziet er dan als volgt uit: Rn G H E
Als we daarnaast de waterbalans van een waterlichaam zoals een meer zetten:
(6)
dh P w E qin quit dt
(7)
met h de waterhoogte, qin, quit de stroming naar en uit het meer en P de neerslag (alles in m s-1), dan is te zien dat de waterbalans van het meer en de energiebalans van het meeroppervlak aan elkaar zijn gekoppeld via de verdampingsflux E.
2.2
Verticaal turbulent transport
Uit de voorgaande beschrijving volgt dat de verticale uitwisseling wordt gedomineerd door turbulentie, alleen onder heel speciale condities speelt moleculaire diffusie een rol. Deze turbulentie wordt met onder meer veroorzaakt door mechanische effecten, dat wil zeggen lucht die langs een oneffen aardoppervlak scheert en daardoor wervels krijgt. Om turbulentie te beschrijven wordt een atmosferische variabele c vaak opgesplitst in een in de tijd langzaam veranderende component c en een component c ' die de in de tijd snel veranderende (en door turbulentie veroorzaakte) variatie voorstelt: c c c ' . Deze opsplitsing noemt men Reynolds decompositie en het stelt ons in staat om de vergelijkingen die de stroming van lucht beschrijven op te splitsen in een gedeelte dat de gemiddelde tendens c beschrijft en een gedeelte in termen van de turbulente fluctuaties c ' . Op korter tijdschaal, waarin we hier geïnteresseerd zijn, vervallen dan de termen c en resteert een vergelijking voor de turbulente component c ' . Als we deze methode toepassen voor de variabelen 1) verticale windsnelheid (m s-1) w w w ' , 2) temperatuur T T T ' (graden Kelvin), 3) specifieke luchtvochtigheid q q q ' (eenheid: kg H2O per kg lucht) en we stellen de balans voor warmte en vocht op onder de veronderstelling dat de veranderingen in de horizontale richting klein zijn in vergelijking met die in de verticale richting dan vinden we de volgende vergelijkingen voor de verticale turbulente fluxen van energie en vocht aan het aardof wateroppervlak (Holtslag en Ek, 2009): J H w ' T ' (eenheid m s-1 oK)
(8)
J q w ' q ' (eenheid m s-1 kg kg-1)
(9)
Om deze fluxen om te zetten naar ons bekende eenheden van verticale energieflux per m2 per seconde (W m-2) , i.c. voelbare en latente warmteflux, moeten (8) en (9) nog vermenigvuldigd worden met een aantal constanten. Dit resulteert dan uiteindelijk in:
H c p w 'T '
(10)
E w'q'
(11)
Met de latente verdampingswarmte (J kg-1), de dichtheid van lucht (kg m-3) en cp de warmtecapaciteit van lucht (J kg-1 K-1).
Vergelijkingen (10) en (11) vormen de basis voor het meten van verdamping met de zogenaamde eddy-covariantie (of eddy-correlatie) methode. Men meet gedurende langere tijd de verticale windcomponent en de fluctuaties in temperatuur en specifieke vochtgehalte. Vervolgens wordt over een bepaalde tijdsperiode de gemiddelde waarden w, T , q berekend en door deze van de metingen af te trekken verkrijgt men tijdreeksen van de fluctuaties w ', T ', q ' . Door deze tijdreeksen met elkaar te vermenigvuldigen en van de resulterende tijdreeksen w ' T ' en w ' q ' de tijdsgemiddelden te nemen over de geselecteerde tijdsperiode verkrijgt men de covarianties w ' T ' en w ' q ' waaruit dan via (10) en (11) de voelbare en latente warmteflux (en dus ook de verdamping) kan worden berekend. In hoofdstuk 4 wordt uitgebreid bij de eddy-covariantiemethode stilgestaan. Wanneer verdamping en voelbare warmteflux moeten worden uitgerekend in hydrologische modellen (bijvoorbeeld met Penman-Monteith zoals later volgt) of in landmodellen die een onderdeel zijn van weer- of klimaatmodellen, moet de verdamping worden uitgedrukt in termen van variabelen die we direct kunnen meten of berekenen op langere tijdschaal; dus in termen van T en q . Dit heet een “parameterisatie” van het verticale turbulente transport. Een veelgebruikte parameterisatie is de K-Theorie. Deze veronderstelt dat de verticale turbulente flux evenredig is met de verticale gradiënt van de tijdsgemiddelde waarden van T en q : H cp KH
dT dz
(12)
E K E
dq dz
(13)
Met KH en KE de turbulente uitwisselingscoëfficiënten (of eddy-diffusivity coëfficiënten) voor warmte en vocht (m2 s-1). Vergelijkingen (12) en (13) en de oppervlakte-energiebalans (6) vormen de basis voor de afleiding van de verdampingsformules van Penman (1948) en Penman-Monteith (Monteith, 1965) (zie 2.4 en 2.5).
Stabiliteit van de grenslaag
Vergelijkingen (12) en (13) laten zien dat naarmate de gradiënten in temperatuur en vochtigheid groter zijn, de voelbare en latente warmtefluxen ook groter zijn. Dit betekent dat voor verdamping boven een wateroppervlak, er vanuit gaande dat de lucht net boven het wateroppervlak verzadigd is met vocht, dat naarmate de atmosfeer droger is er meer verdamping optreedt. De grootte van de verdampingsflux hangt ook af van de turbulente uitwisselingscoëfficiënten. Deze zijn een maat voor de effectiviteit van het turbulent transport en hangen daarmee af van de volgende factoren: windsnelheid. Als er sprake is van turbulentie dan zal deze naarmate het harder waait krachtiger zijn ontwikkeld;
de ruwheid van het aardoppervlak; naarmate de wind die over het aardoppervlak scheert meer onregelmatigheid tegenkomt ontstaan er door mechanische interactie van de lucht met dat oppervlak meer wervels (zie Figuur 2.3); de stabiliteit van de grenslaag. De stabiliteit van de grenslaag bepaald of een stijgend pakketje warme lucht blijft doorstijgen of wordt afgeremd.
Figuur 2.3. Turbulentie in afhankelijkheid van de ruwheid and het landoppervlak. De linkerfiguur toont een luchtstroom (van rechts naar links) boven een redelijk glad oppervlak en de rechterfiguur boven een ruw oppervlak met obstakels (Bron: Wind Tunnel Pro – windtunnelapp.com).
Het derde punt, stabiliteit van de grenslaag, behoeft verdere uitleg. Te beginnen met de definitie van de atmosferische grenslaag (soms ook wel planetaire grenslaag genoemd, hoewel dit ook een grenslaag op de zeebodem kan zijn bijvoorbeeld): dat is het onderste gedeelte van de atmosfeer waarvan de eigenschappen worden beïnvloed door de dagelijkse veranderende verticale uitwisseling van warmte, water en impuls met het aardoppervlak (impuls heeft betrekking op de effecten van het aardoppervlak op het windveld). De stabiliteit van de grenslaag hangt af van de temperatuurgradiënt. Als we de atmosfeer voorstellen als een kolom lucht in hydrostatisch evenwicht dan neemt de druk p (exponentieel) af met de hoogte. Als men in die situatie een pakketje lucht van het aardoppervlak omhoog zou brengen neemt de omgevingsdruk dus af en zal het pakketje lucht uitzetten. Bij het uitzetten tegen de omgevingsdruk in wordt door het luchtpakketje energie geleverd. Volgens de eerste wet van de thermodynamica koelt hierdoor het luchtpakketje af als er verder geen energie wordt toegevoegd (bijvoorbeeld door condensatie van waterdamp). Dit heet droge adiabatische expansie. De verandering van de temperatuur met de hoogte ten gevolge hiervan volgt de vergelijking: dT / dh g / c p . Dus als T0 de temperatuur van het aardoppervlak is, dan volgt dat de temperatuur met de hoogte in een droge gemengde atmosfeer de volgende vergelijking: T (h) T0 ( g / c p )h
(14)
De term g / c p noemt men ook wel droge adiabatische laps rate en is ongeveer gelijk
aan 1 oK per 100 m. Andersom kan men redeneren dat als men een pakketje lucht van temperatuur T op hoogte h naar het aardoppervlak brengt, dan krijgt deze een temperatuur van:
( h) T ( h) ( g / c p ) h
(15).
De waarde noemt men de potentiële temperatuur, i.c. de temperatuur die de lucht zou krijgen als deze adiabatisch naar het aardoppervlak zou worden gebracht. Met het verloop van de temperatuur met de hoogte en de definitie van potentiële temperatuur kunnen we de stabiliteit van de grenslaag begrijpen.
h
T (h) T0 ( g / c p )h
T
h
Figuur 2.4. Verloop van absolute temperatuur en potentiële temperatuur met de hoogte in een stabiele atmosfeer (blauw doorgetrokken) en een instabiele grenslaag (rood doorgetrokken).De stippellijnen geven de temperatuur van een luchtpakketje dat vanaf het aardoppervlak adiabatisch omhoog bewogen wordt.
De linkerfiguur geeft twee situaties weer waarin de temperatuur met de hoogte veranderd. De blauwe lijnen representeren een stabiele grenslaag. De doorgetrokken lijn geeft het temperatuursprofiel van de atmosfeer weer en de stippellijn de temperatuur van een opstijgend pakketje lucht (volgens adiabatische afkoeling).Te zien is dat de temperatuur van het opstijgend pakketje lucht ten alle tijden kouder is dan zijn omgeving. De dichtheid van het luchtpakketje is dan hoger dan dat van zijn omgeving waardoor het stijgen wordt afgeremd. In een stabiele grenslaag wordt turbulentie dus onderdrukt. De rechterfiguur toont de potentiële temperatuur van de atmosfeer. Dit laat zien dat bij een stabiele grenslaag de potentiële temperatuur toeneemt met de hoogte. Het tegengestelde gebeurt in een onstabiele grenslaag. Als de temperatuur van de atmosfeer verloopt volgende de rode lijn dan zal de temperatuur van een opstijgend pakketje lucht (rode stippellijn) altijd hoger zijn dan zijn omgeving. Het pakketje is dus lichter dan zijn omgeving en blijft doorstijgen. Turbulentie wordt in een instabiele grenslaag dus versterkt. De rechterfiguur laat zien dat in een instabiele grenslaag de potentiële temperatuur afneemt met de hoogte (doorgetrokken rode lijn). Het progressief opstijgen van warme lucht wordt ook wel thermiek genoemd. Zweefvliegers zijn dus gebaat bij een instabiele grenslaag. Als de potentiële temperatuur van de grenslaag constant is (blauwe en rode stippellijn in de rechterfiguur) dan spreekt men van een neutrale grenslaag. Uit bovenstaande beschouwing volgt dus dat het verticaal turbulent transport uit twee mechanismen bestaat. 1) Mechanische productie van turbulentie: wervels die ontstaan door wind langs een ruw oppervlak (zie Figuur 2.3) strijkt. De grootte hiervan hangt af van de windsnelheid en de ruwheid van het oppervlak; 2) turbulentie door verticale Buoyancy-krachten (buoyancy betekent drijfvermogen): dichtheidsverschillen tussen pakketjes lucht en hun omgeving die zorgen dat vertikaal stijgende lucht wordt afgeremd (stabiele grenslaag) of wordt versneld (instabiele grenslaag).
Aan deze beschouwing kunnen we nog een aantal details toevoegen die van belang zijn. Ten eerste is uit bovenstaande figuur te zien dan er een dunne laag is waar de verticale gradiënten in temperatuur of potentiële temperatuur het hoogst zijn. In deze laag vinden we ook de grootste verticale gradiënten in luchtvochtigheid en horizontale windsnelheid. Dit komt doordat de turbulente wervels beperkt worden in grootte door de nabijheid van het aardoppervlak, hierdoor blijven de uitwisselings-coëfficiënten in vergelijking 12 en 13 klein dicht bij het oppervlak. Deze laag wordt de oppervlaktelaag (in het Engels surface layer) genoemd. In deze laag wordt verondersteld dat de fluxen min of meer constant zijn met de hoogte. Bij de afleiding van de Penman (1948) en Penman-Monteith (Monteith, 1965) formule voor verdamping komen we terug op de gradiënten in de oppervlaktelaag. Bij alle beschouwingen over turbulentie en stabiliteit zijn we tot nu toe uitgegaan van een droge atmosfeer. In werkelijkheid bevat de atmosfeer waterdamp. Een vochtige atmosfeer heeft echter een lagere dichtheid dan een droge atmosfeer. Om hiervoor te corrigeren wordt dan gewerkt met de virtuele potentiële temperatuur v die via het specifieke vochtgehalte is gekoppeld aan de potentiële temperatuur: v (1 0.6q ) . Met behulp van deze definitie kan men dezelfde beschouwing houden als hiervoor, waarbij wordt vervangen door v: dus in een instabiele (vochtige) grenslaag neemt de virtuele potentiële temperatuur v dus af met de hoogte2. 2.3
Vocht in de atmosfeer
Vocht is de component van de atmosfeer die het sterkst in ruimte en tijd varieert. Hier gaan we in op vocht in de atmosfeer (waterdamp) en de verschillende wijzen waarop het vochtgehalte van de atmosfeer (luchtvochtigheid) kan worden uitgedrukt. In termen van aantallen moleculen bestaat droge lucht voor 78% uit stikstof, 21% uit zuurstof en 1% argon. Daarnaast bevat lucht een aantal sporengassen waarvan de belangrijkste koolzuurgas (CO2) is met een aandeel van 0.03%. Het aandeel van waterdamp is typisch 1% maar varieert sterk met de seizoenen en met de eigenschappen van de aangevoerde lucht Om de fractie waterdamp in de atmosfeer uit te drukken kunnen we kijken naar fracties massa, dichtheden, molaire fracties en specifieke druk. Luchtvochtigheid uitgedrukt in massafractie We beginnen met de definitie van specifieke luchtvochtigheid q (specific moisture content in Engels). Dat is in een controlevolume V de massa water per massa (vochtige) lucht: q
2
mv mv m d
(16)
Overigens is de werkelijkheid nog gecompliceerder als men bedenkt dat vocht bij voldoende afkoeling een gedeelte van de waterdamp in de lucht zal condenseren onder afgifte van warmte. Dit maakt dat de Lapse-rate in het algemeen minder zal zijn dan de 1 K per 100 meter. Vaak gaat men in vochtige klimaten daarom uit van 0.6 K per 100 meter.
met mv de massa watermoleculen in het volume V en md de massa van droge lucht (dus alle overige moleculen). Als alternatief wordt ook wel de mengverhouding van waterdamp r (Engels mixing ratio) gebruikt die wordt berekend als: r
mv md
(17)
Luchtvochtigheid uitgedrukt in dichtheid De dichtheid van de lucht wordt gegeven door (V een controlevolume gevuld met lucht):
mv m d V
(18)
De massa waterdamp per volume-eenheid lucht noemt men de absolute luchtvochtigheid:
v
mv V
(19)
Luchtvochtigheid als molaire fractie Het aantal moleculen H2O per aantal moleculen (vochtige) lucht in een controlevolume V:
xv
nv mv / M v n d n v m d / M d mv / M v
(20)
met nv het aantal mol waterdamp en nd het aantal mol droge lucht (1 mol is 6,02214 × 1023 moleculen). Vergelijking (20) laat ook zien dat de molaire fractie kan worden berekend uit de massa’s water en droge lucht en hun molaire gewichten Mv en Md (in kg mol-1). Luchtvochtigheid uitgedrukt in partiële druk Het vochtgehalte van de lucht kan ook uitgedrukt worden in dampdruk of dampspanning (Engels vapour pressure), de partiële druk van watermoleculen. Dit kan men als volgt voorstellen. De druk in een kubus lucht wordt bepaald door: a) het aantal botsingen per eenheid tijd van de gasmoleculen in de kubus tegen de kubuswanden; b) de massa van de botsende moleculen; c) de snelheid van de moleculen. Als p (N m-2) de druk is van de kubus lucht en men zou alle nietwatermoleculen uit de kubus halen dan blijft er een kleinere druk e (N m-2) over die alleen veroorzaakt wordt botsende watermoleculen. Dit heet de partiële druk van waterdamp of ook wel de dampdruk. De totale druk van de lucht betstaat dus uit een gedeelte veroorzaakt door de droge lucht pd en een gedeelte dampdruk: p pd e
(21)
Men kan de dampdruk op verschillende manieren uitrekenen uit andere vochtmaten door gebruik te maken van de ideale gaswet, bijvoorbeeld uit het absoluut
vochtgehalte (met R de gasconstante (8,3143 J mol-1 K-1) en T de absolute luchttemperatuur (in oK)): e 1,06 RT v
(22)
of uit de specifieke luchtvochtigheid, de luchtdruk en de molaire massa’s van waterdamp en droge lucht (Mv en Md): e qp
Mv Mv Md
(23)
Figuur 2.5. Een afgesloten luchtkolom in evenwicht met water. De dampdruk van de lucht is gelijk aan de verzadigde dampdruk.
Lucht kan maar een beperkte hoeveelheid vocht opnemen. Alle extra waterdamp die wordt toegevoegd zal condenseren. Als een kolom droge lucht (van boven en opzij afgesloten) boven een wateroppervlak of een nat oppervlak wordt gebracht (met temperatuur van het wateroppervlak gelijk aan dat van de lucht) dan zullen er in het begin heel veel watermoleculen als gas ontsnappen naar de luchtkolom (verdampen). Hierdoor wordt de lucht vochtiger (zie Figuur 2.5). Als de luchtkolom vochtiger wordt zullen er ook steeds meer watermoleculen uit het gas in het water worden opgenomen (condenseren). Op een gegeven moment is de verdamping net zo groot als de condensatie en is de kolom in evenwicht met het wateroppervlak. De dampdruk die dan geldt heet de verzadigde dampdruk es3. Als we de dampdruk kennen en ook de verzadigde dampdruk dan kunnen we de relatieve luchtvochtigheid berekenen, het percentage verzadiging van de lucht: RH
e 100% es
(24)
Dit is de maat die de meeste mensen kennen. Een andere manier om de mate van vochtverzadiging van de lucht uit te drukken is het dampdrukdeficiet e (Engels: vapour pressure deficit): 3
Bij een temperatuur van 100 oC wordt de verzadigde waterdampdruk 1000 hPa (= 1 atmosfeer) en begint het water te koken.
D es e
(25)
De verzadigde dampdruk neemt toe bij toenemende temperatuur van de lucht omdat warmere lucht meer waterdamp kan opnemen. De relatie tussen verzadigde dampdruk en temperatuur heet de Clausius-Clapeyron (CC) vergelijking. Deze is te zien in Figuur 2.6.
Figuur 2.6. Relatie tussen verzadigde dampdruk en temperatuur, bekend als de Clausius-Claypeyron vergelijking. Hieruit volgt ook de definitie van dampdrukdeficiet en dauwpunttemperatuur (zie tekst).
Stel nu dat we een atmosfeer hebben met een dampdruk e en temperatuur T (zie rode stip in Figuur 2.6). Het verticale verschil met de CC-lijn geeft dan het dampdrukdeficiet. Uit deze figuur kunnen we ook het begrip dauwpunttemperatuur Td definiëren. Als de atmosfeer met dampdruk e en temperatuur T ’s avonds of ’s nachts afkoelt bij gelijkblijvende druk (en dus dampdruk) (horizontale pijl), dan wordt de lucht op een gegeven moment zo koud dat het vocht in de lucht condenseert. Er ontstaat dan dauw. De temperatuur waarbij dat gebeurt heet dauwpunttemperatuur. In een vochtig klimaat is dat ook vaak de minimale temperatuur die ’s nachts optreedt omdat het water als het condenseert warmte afgeeft aan de lucht en er dus voor zorgt dat deze niet verder afkoelt4. De CC-vergelijking kan ook verklaren wat er gebeurt bij klimaatverandering als de temperatuur toeneemt. In dat geval zal de verzadigde dampdruk toenemen en kan de atmosfeer meer vocht opnemen. Omdat waterdamp zelf ook een broeikasgas is versterkt dit dus het broeikaseffect (positieve terugkoppeling).Meer vocht in de lucht betekent ook dat als het regent er per neerslaggebeurtenis meer water uit de lucht valt. Dit verklaart dan ook dat in alle klimaatprojecties van het IPCC5 de gemiddelde 4
Andersom wordt dit feit ook wel eens gebruikt om de dampdruk overdag te berekenen als deze niet is gemeten. Als je aanneemt dat de minimale nachttemperatuur de dauwpunttemperatuur is, dan kun je uit de CC-vergelijking uitwerken wat de bijbehorende es(Tmin), die is dan gelijk aan de e overdag en uit de maximale dagtemperatuur en CC volgt dan het dampdrukdeficiet: es(Tmax)-e = es(Tmax)- es(Tmin). 5 Intergovernmental Panel on Climate Change
neerslag op aarde toeneemt. Dit gebeurt overigens met grote regionale verschillen, waarbij sommige plekken op aarde zoals het Middellandse Zeegebied door veranderende circulatie juist droger worden.
2.4
Open water verdamping volgens Penman
Door een combinatie van vergelijkingen voor turbulente uitwisseling en de energiebalans leidde Penman (1948), 1956) een vergelijking af voor de verdamping van open water. We zullen de afleiding hier kort beschrijven (zie o.a. Moors (2008) voor een gedetailleerde afleiding). Het startpunt is de flux-gradiënt benadering (Vergelijkingen 12 en 13) voor het turbulente verticale temperatuur- en vochttransport (vergelijkingen 10 en 11). Deze vergelijkingen worden voor het gemak hier herhaald. Hierbij merken we op dat we om rekening te houden met de afnemende druk met de hoogte voor het warmtetransport werken met de potentiële virtuele temperatuur: H c p K H
d v dz
(26)
E K E
dq dz
(27)
In deze vergelijkingen wordt nog het streepje gebruikt boven specifieke luchtvochtigheid en potentiële virtuele temperatuur om aan te geven dat het om de tijdsgemiddelde waarden gaat en niet om de hele korte fluctuaties daarom heen die het gevolg zijn van turbulentie. In het vervolg zullen we voor het gemak de streepjes weglaten, maar bedoelen we wel tijdsgemiddelde langzaam in de tijd veranderende waarden van q en . De afleiding volgt een aantal vereenvoudigende en benaderende stappen: Stap 1: We kunnen bovenstaande vergelijkingen benaderen door weerstandachtige vergelijkingen analoog aan die gebruikt in de elektriciteitsleer: H c p
E
( z ref ) ( z 0 ) raH q ( z ref ) q ( z 0 ) raE
(28)
(29)
Waarbij zref een gekozen referentiehoogte (m) is en z0 (m) de hoogte van het wateroppervlak. De parameters raH en raE zijn de aerodynamische weerstanden (s m-1) voor respectievelijk warmte en damptransport en kunnen worden berekend uit de eddy-diffusivity coëfficiënten KH en KE door:
raH
z ref
z0
raE
z ref
z0
1 dz K H ( z)
(30)
1 dz K E ( z)
(31)
In de praktijk worden de aerodynamische weerstanden uit een aantal meetbare variabelen berekend. Hierover later meer. Door de introductie van de psychometrische constante kan vergelijking (28) worden uitgedrukt in termen van dampdruk. De psychrometrische constante is gedefinieerd als:
c p p(M v M d )
(32)
M d
Met cp de warmtecapaciteit van lucht (J kg-1 oK-1), p de luchtdruk (Pa), de verdampingswarmte (J m-3) en Mv en Md de molaire massa’s van waterdamp en droge lucht. De pyschrometrische constante voor 1 atmosfeer (105 Pa) en 20 oC is 0.66×102 Pa oK-1. Met behulp van (31) en vergelijking (23) kan de latente warmteflux (28) worden geschreven als:
E
c p e( z ref ) e( z 0 ) raE
(33)
Stap 2: Veronderstel dat de lucht net boven het wateroppervlak verzadigd is zodat geldt e( z 0 ) es (To ) , met T0 de temperatuur van het wateroppervlak:
E
c p e( z ref ) es (T0 ) raE
(34)
Probleem is dat we bij vergelijking (34) de temperatuur van het wateroppervlak moeten weten en we vaak alleen de beschikking hebben over luchttemperatuur (bijvoorbeeld op 2 meter hoogte). T0 kan worden geëlimineerd in de volgende twee stappen. Stap 3: We benaderen e s (T0 ) door een eerst-orde Taylorreeks rond: de es (T0 ) es (T ) s dT
(To T ) To T
de es (T0 ) es (T ) s dT
(T To ) To T
(35)
De afgeleide des/dT in (35) kan worden bepaald uit de CC-vergelijking bij temperatuur T (Zie Figuur 2.6). Voor deze afgeleide wordt vaak het symbool gebruikt. Met benadering (35) wordt de latente warmteflux geschreven als:
E
c p e( z ref ) es (T ) (T To ) raE
(36)
Stap 4: De temperatuur van het wateroppervlak wordt geëlimineerd door gebruik te maken van de vergelijking voor de voelbare warmteflux, waarbij we veronderstellen dat zref zodanig dicht bij het oppervlak ligt dat we geen rekening hoeven te houden met drukverschillen en dus met gewone temperatuur in plaats van potentiële virtuele temperatuur kunnen werken. Dit geeft (met T(zref) = T en T(z0) = T0): T To
raH H c p
(37)
Invoegen van (37) in (36) geeft dan:
E
c p r [es (T ) e( z ref )] aH H raE raE
(38)
Stap 5: Elimineer de voelbare warmteflux door toepassen van de energiebalans (Vergelijking 6) H Rn G E :
E
c p r [es (T ) e( z ref )] aH [ Rn G E ] raE raE
(39)
Door alle termen w E naar links te brengen en de rest naar rechts volgt:
E
c p raH [e s (T ) e( z ref )] [ Rn G ] raE raH raH
(40)
Stap 6: Veronderstel dat de aerodynamische weerstanden voor verticaal warmte en damptransport gelijk zijn: raH raE ra . Hieruit volgt tenslotte de welbekende vergelijking van Penman (1948) voor open water verdamping, met D(T) het dampdrukdeficiet op referentiehoogte bij de gemeten temperatuur T: [ Rn G ]
E
c p
ra
D(T ) (41)
Om de verdamping van een open water oppervlak uit te rekenen met Penman hebben we dus nodig: 1) Netto straling, 2) Flux G van en naar de onderliggende watermassa; 3) dampdrukdeficiet of relatieve luchtvochtigheid, 4) aerodynamische weerstand. Vaak wordt de term G verwaarloosd. Dit betekent dat de verdamping in het voorjaar
wordt overschat (een gedeelte van de straling wordt immers gebruikt om het water op te warmen) en in het najaar onderschat (de warmte van de het afkoelende water wordt gedeeltelijk gebruikt om water te verdampen. Vergelijking (41) laat zien dat de verdamping uit twee termen bestaat. De linker term in de noemer representeert beschikbare energie in de vorm van straling. De rechterterm representeert de atmosferische verdampingsvraag in termen van hoe droog de lucht is, D(T), en hoe effectief de turbulente uitwisseling gaat. Dit correspondeert met het beeld van de verdampende was geschetst in 2.1..
2.5
Uitbreiding naar begroeide oppervlakken: Penman-Monteith
In begroeide gebieden op het land, vindt de meeste verdamping plaats door middel van transpiratie (zie Figuur 2.7). Om dit proces te begrijpen is het goed om te beginnen met een stukje plantenfysiologie: om CO2 op te nemen voor de koolstofassimilatie openen planten overdag hun huidmondjes (Figuur 2.7 rechts). Deze zitten meestal aan de onderkant van het blad. Terwijl door diffusie CO2 het blad in gaat via de huidmondjes verliest het blad water door die zelfde huidmondjes. Dit water komt in het blad na opname van bodemvocht door plantenwortels en transport daarvan door de houtvaten (door capillaire opstijging, net als water in een dun rietje). Het gemak waarmee plantenwortels water kunnen opnemen hangt af van het bodemvochtgehalte s, of eigenlijk de bodemvochtpotentiaal s (in m), variërend van 0 (verzadiging) tot -10000 m (luchtdroge grond), die via de pF-curve (10log[-100*s] ) gerelateerd is aan het bodemvochtgehalte. Als het dus lang niet regent en de plantenwortels steeds maar vocht onttrekken uit de bodem om het waterverlies door transpiratie uit de bladeren te compenseren neemt het bodemvochtgehalte af en daarmee ook de bodempotentiaal. Als de potentiaal te laag wordt zijn de wortels niet meer instaat om voldoende vocht te op te nemen om het vochtverlies uit de bladeren te compenseren. Op dat moment neemt ook in het blad de potentiaal l af en de cellen in het blad verliezen water en dus hun spanning (met een mooi woord “turgor”). Dit gebeurt ook met de sluitcellen van de huidmondjes. Deze komen minder onder spanning te staan en worden slap waardoor het huismondje dicht valt. Op deze wijze stopt de transpiratie en wapent de plant zich tegen verdere uitdroging. Vanzelf stopt daarmee ook de inname van CO2 en dus de koolstofassimilatie. Een plant die niet kan verdampen door een te droge bodem stopt dus ook met groeien. Het verlies van water door de stomata bij opname door CO2 lijkt in eerste instantie een evolutionair foutje. Maar het heeft wel degelijk een functie. Ten eerste worden met het watertransport van bodem via wortels naar de bladeren allerlei noodzakelijke voedingsstoffen uit de bodem meegenomen. Ten tweede is het verliezen van water door bladeren gedurende dagen met veel straling een manier om af te koelen. Als je de energiebalans van een blad op een mooie zonnige zomerse dag zou uitrekenen, dan komt daaruit dat als een blad niet transpireert en dus alle inkomende stralingsenergie moet zien kwijt te raken door uitzending van langgolvige straling of voelbare warmte, de temperatuur van het blad tot boven de 60 oC stijgt. Op dat moment gaan er allerlei cellen en weefsels kapot. Dat is ook de reden dat planten die lang geen water krijgen
en daar, zoals woestijnplanten door speciale waslagen, niet op zijn aangepast, bruin verbrand blad ontwikkelen. Transpiratie
Et
ra
rs
l
rp
rsr
s
s bodemvochtgehalte
Figure 2.7. Transpiratie: Links: verdamping van water via de uitmondjes van bladeren van een plant. Dit water is eerst opgenomen uit de bodem door de wortels van de plant en getransporteerd naar het blad. Rechts: microscopische opnamen van blad met open huidmondjes. De sluitcellen staan onder spanning.
Na dit intermezzo terug naar het beschrijven van transpiratie. Uit bovenstaande verhandeling blijkt wel dat het proces van transpiratie, in ieder geval tot een watermolecuul het blad heeft verlaten, anders is dan open water verdamping. Er is sprake van een additionele weerstand die overwonnen moet worden, behalve de aerodynamische weerstand. Monteith (1965) (en, zoals men in Wageningen niet moe wordt te zeggen, Rijtema (1965)) heeft de vergelijking van Penman (1948) (Vergelijking 41) aangepast met een oppervlakteweerstand rs (s m-1). Dit kan door in vergelijking 40 de weerstand raE te vervangen door raE = ra + rs, een aerodynamische en een oppervlakteweerstand en vervolgens te veronderstellen dar dat aerodynamisch weerstand voor vocht gelijk is aan die voor warmte: ra = raH. Dan volgt hieruit de vergelijking van Penman-Monteith(1965): [ Rn G ]
E
c p ra
r 1 s ra
D(T )
(42)
Merk op dat bij een watermassa G vooral de omzetting van stralingsenergie in warmte in de watermassa vertegenwoordigd, terwijl nu alle stralingfluxen aangrijpen op het land oppervlak en G een bodemwarmtestroom vertegenwoordigd die veroorzaakt wordt door temperatuur variaties op de interface tussen atmosfeer en bodem en door thermische diffusie in de bodem doordringt. Dauwval
Na een heldere nacht is vaak het gras en andere lage vegetatie bedauwd. Gedurende de nacht is door stralingsafkoeling de blad temperatuur onder de dauwpuntstemperatuur gekomen waardoor waterdamp uit de lucht condenseert op het blad. Deze dauwval wordt ook beschreven door de Penman-Monteith vergelijking (42). De eerste term in de teller (energie) is negatief bij een heldere nacht omdat de bodemwarmtestroom slechts gedeeltelijk compenseert voor de langgolvige stralingskoeling aan de heldere hemel. De tweede term in de teller (ventilatie) is altijd positief maar als deze klein blijft dan is het resultaat een neerwaartse waterdamp flux (zie ook Holtslag en DeBruin, 1988). De ventilatie term blijft klein als het vochtdeficit klein is (vochtige lucht) en als de aerodynamische weerstand groot is (weinig wind en menging). Bij droge lucht zal de blad temperatuur niet onder het dauwpunt komen en bij harde wind zal de blad temperatuur niet vergenoeg willen dalen om onder het dauwpunt te komen. Als de wind snelheid te laag is dan zal luchtlaag nabij het oppervlak uitdrogen zonder dat dit aangevuld wordt vanuit hogere luchtlagen. Het vocht deficit gaat omhoog en het proces van dauwval stopt. Onder dezelfde omstandigheden kan ook dauw stijging optreden, waarbij vocht verdampt uit de bodem direct weer condenseert op de afgekoelde bladeren. Jacobs et al. (2006) schatten de gemiddelde jaarlijkse bijdrage van dauw op de waterbalans van Nederlandse graslanden op 37 mm.
2.6
Oppervlakteweerstand
Oppervlakteweerstand rs homogeen gewas Vergelijking (42) geeft de verdamping weer van een horizontaal homogeen oppervlak bedekt met een productiegewas of natuurlijke vegetatie. Als het oppervlak volledig bedekt is bestaat de oppervlakteweerstand bijna volledig uit de stomataire weerstand van de plant (in Engels bulk stomatal resistance). Deze wordt in de plantenfysiologie vaak gemodelleerd met een Jarvis-Stewart type model, welke de weerstand van een enkel blad beschrijft (Jarvis, 1976; Stewart, 1988): rsblad rsblad ,min F1 ( R ) F2 (T ) F3 ( D ) F4 ( l )
(43)
-1 2 -2 De eenheid van rsblad en rsblad ,min is s•m •m blad•m grondoppervlak
De functies F1..F4 van de omgevingsvariabelen inkomende straling, temperatuur, dampdrukdeficiet en potentiaal in het blad l hebben de waarde 1 onder optimale omstandigheden en waarden groter dan 1 naarmate deze verder van het optimum afzitten. Dus als het donkerder of kouder wordt sluiten de stomata omdat dan het assimilatieproces ophoudt en het zonde is om water te verliezen als er toch geen CO2 hoeft worden opgenomen. Als de lucht heel droog is sluiten de stomata om niet te veel water te verliezen, en als de plant zelf teveel water verliest doordat de opname uit de bodem de verdamping uit het blad niet kan bijhouden en dus l afneemt, sluiten de stomata om verwelking te voorkomen (zie ook de beschrijving hierboven).
Er zijn vele publicaties waarin verschillende vormen voor F1..F4, waaronder die van Jarvis (1976) en Stewart (1988). Bij bossen is de aerodynamische weerstand relatief klein door de grotere ruwheid. Dat betekent dat in Vergelijking 41 de vochtdeficiet term gaat overheersen. Bosveld en Bouten (2001) laten zien dat de stomataire respons van een bos op het vochtdeficiet zo sterk is dat de verdamping nauwelijks verandert bij veranderend vochtdeficiet. Omdat (43) voor een enkel blad geldt moet deze nog worden omgerekend naar de oppervlakteweerstand van het gewas of de vegetatie (boomkruinen in het geval van bomen). Dat is niet zo eenvoudig, want dat hangt eigenlijk af van de structuur van de vegetatie. Een benadering is om het gewas of de vegetatie te modelleren als één groot blad (big-leaf approach in Engels) en een effectieve weerstand te bepalen. Een eenvoudige manier om tot zo’n effectieve weerstand te komen die aardig blijkt te werken is te kijken wat het bladoppervlak per grondoppervlak is (m2 blad m-2 grondoppervlak). Dit is de zogenaamde Leaf Area Index of LAI. Deze varieert tussen 0.5 voor een jong gewas tot 5-7 voor een volgroeid bos. De oppervlakteweerstand per m2 grondoppervlak volgt dan uit:
rs
rsblad LAI
(44)
In werkelijkheid zal bij grote LAI waarden door onderlinge beïnvloeding van de bladeren deze formule tot een onderschatting van de weerstand leiden. Een probleem bij het toepassen van vergelijking (43) is dat F4 afhangt van de potentiaal in het blad. In de meeste hydrologische modellen wordt deze niet expliciet berekend. Daarvoor is een aanvullend plantenfysiologisch model nodig waarbij de potentiaal van het blad expliciet wordt uitgerekend en is gerelateerd aan de bodemwaterpotentiaal via een vergelijking zoals (zie ook Figuur 2.7): Jp
s l rsr rp
(45)
met Jp de waterflux vanaf de bodem via de wortels naar het blad en rsr de weerstand van waterstroming van de bodem naar de wortel (inclusief wortelopname) en rp de weerstand in de plant zelf (van wortel naar blad). We verwijzen bijvoorbeeld naar werk van Brolsma et al. (2010) voor een dergelijk model. In hydrologische modellen wordt (43) ook wel vervangen door een betrekking die direct gerelateerd is aan de bodemwaterpotentiaal s : rsblad rsblad ,min F1 ( R ) F2 (T ) F3 ( D ) F5 ( s )
(46)
waarbij s dan volgt uit het bijhouden van de bodemwaterbalans en de relatie tussen bodemvochtgehalte en de bodemwaterpotentiaal (de pF-curve). Op basis van studies over weerstanden op blad nivo concludeert Monteith (1995) dat planten niet direct op het waterdamp deficit reageren maar op de verdamping zelf. Naarmate de verdamping toeneemt neemt de blad weerstand toe. In het oppervlakte
weerstand model wordt dan de respons functie voor waterdampdeficit vervangen werd door een respons functie van de verdamping zelf. Hierbij kan ook de invloed van CO2 worden meegenomen (Ronda et al, 2001).
Interceptie verdamping
Transpiratie
Ei
Et
Bodemverdamping
Open waterverdamping
Es
E0
ra
ra
ra
rs
l
rp rs rsr
s
s bodemvochtgehalte
Figuur 2.8 Verdamping van een heterogeen oppervlak
Verdamping en oppervlakteweerstand rs van een heterogeen oppervlak Een landschap bestaat zelden uit een homogeen gewas over grote oppervlakten. Er is bijna altijd sprake van een afwisseling van vegetatie, kale grond en open water (zie Figuur 2.8), waarbij we voor het gemak de verdamping van stedelijk gebied en sneeuw even achterwege laten. Een gedeelte van de neerslag blijft liggen op de bladeren van de vegetatie. Deze interceptie hangt af van de hoeveelheid blad (LAI) en de interceptiecapaciteit van een enkel blad. Als het gewas nat is zal de beschikbare stralingsenergie eerst worden gebruikt om het interceptiewater te verdampen, alvorens de transpiratie op gang komt. Deze interceptieverdamping Ei wordt meestal beschreven met de Penman-vergelijking voor open waterverdamping (Vergelijking 41), welke ook uit Vergelijking (42) volgt door de oppervlakteweerstand rs op 0 te zetten. Onderzoek van Bosveld en Bouten (2003) heeft laten zien dat dit voor bossen niet erg goed werkt. Recent onderzoek (Gerrits et al., 2010) laten zien dat niet alleen de bladeren van bomen, maar ook de strooisellaag op de bodem als interceptiereservoir fungeert. Voor een meer uitgebreide behandeling van interceptieverdamping en de modellering daarvan verwijzen we naar hoofdstuk 5. De transpiratie van droge vegetatie wordt beschreven met Penman-Monteith (Vergelijking 42), met vergelijkingen (43)-(45) of (44) en (46) om de oppervlakteweerstand te beschrijven. Zoals gezegd volgt de verdamping van grotere open wateroppervlakken volgt uit (41). Rest tenslotte nog de bodemverdamping. Deze kan op verschillende manieren beschreven worden. De meest elementaire volgt uit de
waarneming dat de weerstand omgekeerd evenredig moet zijn met de doorlatendheid van de bodem. Dan volgt bijvoorbeeld:
rs
1 k ( s )
(47)
met k ( s ) de onverzadigde doorlatendheid van de bodem die afhangt van de bodemwaterpotentiaal. Vergelijking (47) wordt dan in de Penman-Monteith vergelijking (42) gebruikt. In eenvoudigere benadering wordt een verzadigde bodem als referentie genomen (dus open water verdamping) en gereduceerd met het relatieve bodemvochtgehalte:
w Es E0 ws
(48)
Waarbij w het volumetrisch bodemvochtgehalte is (m3 water m3 bodem), ws het volumetrisch bodemvochtgehalte bij verzadiging en een empirische constante. In recente meer complexe benaderingen wordt er rekening gehouden met heterogeniteit van vloeibaar water in de bodem (Ronda et al, 2002) of wordt zowel het vloeibaar water als het damptransport in de bodem meegenomen bij het berekenen van bodemverdamping (Shokri et al., 2010). Hierbij geldt dat damptransport door de bodem niet allen via diffusie plaatsvindt maar ook door stroming van lucht ten gevolge van drukverschillen in de bodem die weer ontstaan door temperatuurverschillen (Zeng et al., 2011). Als we nu de ruimtelijk gemiddelde verdamping E van het heterogene oppervlak willen berekenen (in m3 s-1 m-2) dan kan dat op twee manieren. De nette manier is per type oppervlak de verdampingsflux berekenen: interceptie Ei of transpiratie Et voor vegetatie, bodemverdamping Es voor kale grond en E0 voor open waterverdamping. De gemiddelde verdampingsflux hangt dan af van de fracties vegetatie, bodem en open water, respectievelijk fv, fs, fw, (met fv + fs + fw =1), en volgt uit: E f v ( Et of Ei ) f s E s f w E 0
(49)
Hierbij zij opgemerkt dat je dan in theorie de atmosferische variabelen (temperatuur, relatieve luchtvochtigheid en windsnelheid) nodig hebt boven elk oppervlak, of je moet veronderstellen dat die gelijk zijn. Iets minder netjes is het om een gemiddelde weerstand uit te rekenen (uitgaande van parallelle weerstanden:
rs f v (rs ,stomata of 0) f s rs ,bodem
(50)
en die in Penman-Monteith (42) te stoppen. De oppervlaktegemiddelde verdampingsflux van een heterogeen oppervlak, bestaande uit “evaporatie” van interceptiewater en oppervlaktewater, “bodemevaporatie” en “transpiratie” van vegetatie wordt door hydrologen vaak samengenomen in de term
evapotranspiratie. Onder meteorologen en onder hydrologen rijst steeds meer de consensus dat het beter is om deze term niet meer te gebruiken. Dit, omdat we tegenwoordig goed in staat zijn om de termen te scheiden en omdat de tijdschaal waarop water dat als neerslag valt weer in de atmosfeer gebracht wordt nogal verschillend is voor deze termen (Savenije, 2004). We zullen dat in het vervolg ook niet doen, maar gewoon spreken over verdamping (of Evaporation in Engels). Het blijft echter wel zo dat er nog steeds veel gewerkt wordt met de zogenaamde referentieverdamping. Zoals we later zullen zien zit daar wel de term evapotranspiratie onder verborgen.
2.7
Aerodynamische weerstand
Zoals eerder beschreven hangt de efficiëntie van verticale turbulente uitwisseling en dus ook de aerodynamische weerstand af van 1) windsnelheid; 2) oppervlakteruwheid; 3) de stabiliteit van de grenslaag. In de literatuur zijn er vele parameteriseringen van deze weerstand beschikbaar. We noemen er hier een paar (zie ook de Bruin en Stricker,2000)). Empirische vergelijkingen
Penman (1948) komt met de volgende formule voor de aerodynamische weerstand waarin alleen wind een rol speelt en dus alleen boven open water geldt: ra
c p
(51)
f (u )
Met f(u) een windfunctie, empirisch vastgesteld als (u windsnelheid in m s-1): f (u ) 7.4 10 2 (0.5 0.54u )
(52)
Een andere empirische vergelijking (Thom and Oliver, 1977) bevat zowel de windsnelheid als een maat voor de ruwheid, de ruwheidslengte (Engels: roughness length) z0,E (m) die groter is naarmate het oppervlak ruwer is: 2 4.72 ln z 0, E ra 1 0.54u 2
2
(53)
met u2 de winsnelheid gemeten op 2 meter hoogte (m s-1). Vergelijking gebruikt in Allen et al (1998)
Allen et al (1998), het FAO handboek waarmee referentieverdamping wordt berekend (zie § 2.8), maakt gebruik van de volgende betrekking waarin windsnelheid en ruwheid een rol spelen en expliciet wordt rekening gehouden op welke hoogte de meteorologische variabelen worden gemeten:
z d zE d ln m ln z 0,m z 0, E ra 2u z
(54)
Met zm hoogte waarop de windsnelheid wordt gemeten (m), zE de hoogte waarop de vochtigheid wordt gemeten, z0,m de ruwheidslengte voor impuls transport (Engels momentum transport). Dit is de mate van afremming van horizontale wind door het oppervlak), z0,E ruwheidslengte voor vochttransport, von Karman’s constant (0.41) (-), uz horizontale windsnelheid gemeten op hoogte zm (m s-1). Ook aanwezig in deze vergelijking is de zogenaamde nulpuntverplaatsingshoogte d (Engels: zero displacement height) (m). Deze wordt gebruikt als er sprake is van bijvoorbeeld een bos, waarbij de horizontale windsnelheid pas significant groter dan nul wordt aan de bovenkant van de boomkruinen. Het veronderstelde logaritmische snelheidsprofiel van vergelijking (54) bereikt dan een de snelheid nul als z = d + z0,m. Voor d wordt meestal 0.7 à 0.8 maal de hoogte van de boomkruinen of het gewas genomen. Vergelijking (54) is geldig voor een neutrale oppervlaktelaag en kan worden afgeleid op basis van gelijkvormighheidstheorie, ook wel similariteitstheorie genoemd (Appendix).
Appendix: Monin-Obukhov gelijkvormigheids theorie De vergelijkingen voor aerodynamische weerstand (53), (54) beschouwen een neutrale grenslaag, waarin buoyancy effecten geen rol spelen. Monin-Obukhov (Monin and Obukhov, 1954) similariteitstheorie (MOST) kan worden gebruikt om vergelijkingen te vinden voor turbulent vertikaal transport van impuls, vocht en warmte in zowel stabiele als onstabiele oppervlaktelagen. MOST heeft dus betrekking op turbulent verticaal transport waarin zowel mechanische turbulentie als buoyancyeffecten een rol spelen. MOST leidt niet direct vergelijkingen af uit behoudswetten, maar maakt gebruik van dimensie-analyse. Bij dimensieanalyse worden variabelen en parameters waarvan men (op theoretische en/of experimentele grond) weet dat ze een rol spelen in het beschouwde fysische proces gecombineerd tot dimensieloze grootheden. Omdat de afgeleide dimensieloze grootheden (als het goed is) onafhankelijk zijn van de ruimtelijke (en soms ook temporele) schaal waarop ze worden beschouwd, wordt de term similariteitstheorie (in Engels: similarity theory of scaling theory) gebruikt. Door dimensieloze grootheden zelf verder te analyseren of deze via experimenten te relateren aan meetbare parameters kunnen andere eigenschappen worden afgeleid, zoals bijvoorbeeld de aerodynamische weerstand. Uitgebreidere beschrijvingen van deze theorie kan men vinden in de handboeken, bijvoorbeeld hst. 2 in Brutsaert (2005) en hst. 8 uit Jacobson (1999). Als voorbeeld (uit Brutsaert, 2005) van het gebruik van similariteits-theorie beschouwen we eerst een neutrale grenslaag. De gradiënt van de windsnelheid wordt bepaald door de hoogte (z-d) en een maat voor de turbulentie hier gekozen als de wrijvingssnelheid u*. Uit deze grootheden kan de volgende dimensieloze grootheid worden afgeleid:
u*
(z d )
du dz
(A1)
Met von Karman’s constante (~0.4) en u* de wrijvingssnelheid (Engels: Friction velocity of Shields velocity) (ms-1) die berekend wordt uit de dichtheid van de lucht en de schuifspanning 0 (wrijvingsweerstand per oppervlakte in Pa) met het oppervlak:
u*
0
Uit (A1) kunnen we uitrekenen wat het verticale profiel moet zijn van de windsnelheid in een neutrale grenslaag:
(A2)
du
u* dz (z d )
u2
z2
u1
z1
du
u*
( z d ) dz
u 2 u1
u*
u 2 u1
u*
ln( z 2 d )
(A3)
u*
ln( z1 d )
z d ln 2 z1 d
Hier volgt dus uit dat in een neutrale grenslaag het snelheidsprofiel logaritmisch is. Als we veronderstellen dat op een hoogte z = d + z0,m de snelheid 0 wordt, dan volgt uit de integratie een functie voor de snelheid met de hoogte. u
z
u* dz (z k) d z0 , m
du 0
zd u ( z ) ln z 0,m
(A4)
u*
Voor het vochttransport kan een vergelijkbare dimensieloze grootheid als voor impulstransport worden opgesteld. Deze ziet er uit als (Brutsaert, 2005):
E/ u* ( z d )
dq dz
(A5)
Hieruit volgt volgens dezelfde werkwijze als hierboven de volgende vergelijking voor het vochtprofiel (met q0 het vochtgehalte op hoogte z = d + z0,E): q0 q ( z)
zd E ln u* z 0, E
(A6)
Uit (A6) volgt direct een vergelijking voor E: E
q0 q ( z ) zd 1 ln u* z 0, E
En vergelijking met van (A7) met vergelijking (29) levert dan een vergelijking op voor de aerodynamische weerstand voor vochttransport voor een neutrale oppervlaktelaag:
(A7)
raE
1 z ref d ln u* z 0, E
(A8)
Waarbij zref de hoogte is waarop de luchtvochtigheid wordt gemeten. Vergelijking (54) die gebruikt wordt in Allen et al. (1984) is equivalent aan vergelijking (A8). Beginnend met de parameterisatie van de verdampingsflux (29) geldt:
E w' q '
(u 2 u1 )(q4 q3 ) (u 2 u1 )raE
(A9)
Met de subscripts voor u en q de hoogtes waarop deze variabelen worden gemeten. Als we nu nemen u 2 u ( z m ), u1 u (d z 0, E ) 0, q 4 q ( z E ) en q3 q (d z 0, E ) q 0 , dan volgt: E
u ( z m )(q ( z E ) q 0 ) u ( z m )raE
(A10)
Substitutie van vergelijkingen (A4) voor u ( z m ) en (A6) voor q ( z E ) q0 in (A10) geeft:
E
z d E z d ln m ln E z0,m u* z0, E u ( z m )raE
u*
(A11)
En hieruit volgt dan vergelijking (54):
raE
z d zE d ln ln m z z 0,m 0, E u ( z m ) 2
(A12)
MOST kan nu ook gebruikt worden om het logaritmisch windprofiel dat hoort bij een neutrale grenslaag te corrigeren voor een instabiele of stabiele grenslaag en zo de daarbij behorende aerodynamische weerstand af te leiden. Hiertoe introduceerden Monin en Obukhov (1954) de volgende dimensieloze variabele:
zd L
(A13)
waarin z de hoogte is, d de nulverplaatsingshoogte en L de Obukhov stabiliteitslengte gegeven door: L
u*3v g(w' 'v )
(A14)
met u* de schuifspanningsnelheid, v de potentiële virtuele temperatuur op referentiehoogte, en w' 'v de voelbare warmteflux binnen de oppervlaktelaag. In de definitie van L zijn de twee oorzaken van turbulentie verenigd: de mechanische turbulentie u*3 en de buoyancy-gedreven turbulentie gerepresenteerd door de verticale voelbare warmteflux w' 'v . Als er sprake is van een positieve voelbare warmteflux geldt dat de potentiële temperatuur afneemt met de hoogte en er dus sprake is van een instabiele atmosfeer. In dat geval is L negatief en daarmee ook. Voor een stabiele atmosfeer geldt dan > 0 en voor een neutrale atmosfeer = 0. L zelf kan men interpreteren als de hoogte waarop de buoyancy-gedreven turbulentie belangrijker wordt dan de mechanisch gedreven turbulentie. Uitgaande van de definitie van kunnen we nu dimensieloze grootheden definiëren voor instabiele en stabiele atmosfeer analoog aan (A1) en (A5). Voor impuls, temperatuur en vochttransport hebben we dan:
u* du (z d) dz
m ()
H / C p () d h u* (z d) dz
E / u* (z d)
dq dz
v ()
(A15)
(A16)
(A17)
waarbij m () , h () en v () stabiliteitscorrectiefuncties zijn. Tot voor kort bestonden er geen analytische formules voor deze functies. Maar hun vorm is wel via experimenten afgeleid. Hierover later meer. Wat we wel snel kunnen inzien dat de functies voor neutrale omstandigheden 0 gelijk aan 1 zijn. In dat geval worden (A15) en (A17) gelijk aan (A1) en (A5) zoals verwacht. Overigens wordt meestal verondersteld dat m () = h () en in vele gevallen ook dat: m () = h () = v (), hoewel dat onder een instabiele grenslaag niet helemaal opgaat (zie Brutsaert (2005), p. 50). Omwerken van (A15) en integreren van de hoogte waarop de windsnelheid nul is levert dan (analoog aan (A4)): u
du 0
z
u* z m ( )dz (z k) L d z0 , m
waaruit volgt (Brutsaert, 1985):
(A18)
u (z)
z z d u* z d ln m 0,m m L z0,m L
(A19)
waarbij de functie m () kan worden afgeleid uit de stabiliteitscorrectiefuncties als:
1 m ( x) dx x 0
m ( )
(A20)
Door hetzelfde te doen voor (A16) en (A17) volgen de temperatuur- en vochtprofielen voor een instabiele en stabiele oppervlaktelaag:
0 (z)
z d z z d ln h 0,h h L u* C p z0,h L
(A21)
q0 q (z)
z z d E z d ln v 0,E v L u* z0,E L
(A22)
H
Uit combinatie van (A21) en (28) en (A22) en (29) volgen dan de vergelijkingen voor de aerodynamische weerstanden voor verticaal voelbare warmte- en vochttransport voor een stabiele of instabiele oppervlaktelaag: raH
z d z z d ln h 0,h h L u* C p z0,h L
(A23)
raE
z z d E z d ln v 0,E v L u* z0,E L
(A24)
1
Meestal wordt verondersteld dat v h m en z 0,E = z 0,h , zodat ook geldt dat raE =raH. Blijft tenslotte nog over de vorm van de stabiliteitscorrectiefuncties. Figuur A1 (Katul et al., 2011) laat de vorm van m () zien voor het stabiele en instabiele bereik. De punten zijn verkregen uit metingen met eddy covariantie torens boven een vlak terrein in Kansas (Kaimal and Wyngaard, 1990) en vormen een van de belangrijkste meetcampagnes waarmee MOST werd bevestigd.
Figuur A1: experimenteel bepaalde waarden (Kansas Experiment) van de stabiliteitscorrectiefunctie en de fit van veel gebruikte relaties.
De figuur laat zien dat voor het stabiele domein 0 de relatie m () 1 4.7 goed werkt en voor het instabiele domein 0 de relatie m () (1 15) 1/ 4 . Het blijven natuurlijk wel empirische relaties die zijn gefit. Nadeel is ook dat hoewel de gezamenlijke functie continu is in 0 deze daar niet differentieerbaar is. Echter, sinds 2011 (Katul et al., 2011) bestaat er wel een canonieke vorm van de stabiliteitsfunctie die differentieerbaar is over het hele domein en die het juiste gedrag vertoont over het gehele domein, ook voor een zeer instabiele atmosfeer 5waar de functie zich gedraagt als m () () 1/ 3 . Deze vorm, die is afgeleid uit de relatie tussen het turbulentiespectrum en het gemiddelde snelheidsprofiel, voldoet aan de volgende vergelijking:
m () 1 4
1 m ()
(A25)
Literatuur Allen R.G., L.S. Pereira, D. Raes and M. Smith, 1998. Crop evapotranspiration Guidelines for computing crop water requirements. FAO Irrigation and drainage paper 56, FAO Rome. Bierkens, M.F.P., A.J. Dolman and P.A. Troch (Editors), 2009. Climate and the Hydrological Cycle. IAHS Special Publication 8. IAHS Press UK. Bosveld F. C. and W. Bouten (2001). Evaluation of transpiration models with observations over a Douglas fir forest. Agricultural and Forest Meteorology, 108, 4, pp 247-264. Bosveld F. C. and W. Bouten (2003). Evaluating a model of evaporation and transpiration with observations in a partially wet Douglas-Fir forest. Boundary-Layer Meteorology, 108 (3), 365-396. Brolsma, R. J., D. Karssenberg &M. F. P. Bierkens, 2010, Vegetation competition model for water and light limitation. I: Model description, one-dimensional competition and the influence of groundwater. Ecological Modelling 221, pp. 1348– 1363. Brutsaert, W., 1982. Evaporation into the atmosphere: theory, history, and applications. Reidel, Dordrecht, the Netherlands. Brutsaert, W., 2005. Hydrology, an Introduction, Cambridge University Press, Cambridge MA, 605 pp. De Bruin, H.A.R. and J.N.M. Stricker, 2000. Evaporation of grass under nonrestricted soil moisture conditions. Hydrologiscal Sciences Journal 45, 391-406. Eagleson, P.S., 1970. Dynamic Hydrology. McGraw-Hill, New-York. Gerrits, A.M.J., Pfister, L., Savenije, H.H.G., 2010, Spatial and temporal variability of canopy and forest floor interception in a beech forest, Hydrological Processes 24, 3011–3025. Holtslag, A.A.M., and H.A.R. de Bruin, 1988: Applied modeling of the nighttime surface energy balance over land. J. Appl. Meteorol., 27, 689-704. Holtslag, A.A.M. and M.B. Ek, 2009. Physics of evaporation and atmospheric boundary layers over land. In: Bierkens et al (Eds): Climate and the Hydrological Cycle, IAHS Special Publication 8, IAHS Press UK, pp: 39-65. Jacobs, A. F. G., B. G. Heusinkveld, R. J. Wichink Kruit, and S. M. Berkowicz, 2006. Contribution of dew to the water budget of a grassland area in the Netherlands, Water Resour. Res., 42, W03415, doi:10.1029/2005WR004055. Jacobson, M.Z., 1999. Fundamentals of Atmospheric Modelling. Cambridge University Press, Cambridge UK, 656 pp.
Jarvis, P. G., 1976, The interpretation of leaf water potential and stomatal conductance found in canopies in the field, Philos. Trans. R. Soc. London, Ser. B, 273, 593-610. Kaimal, J.C. en J.C. Wyngaard, 1990. The Kansas and Minnesota experiments. Boundary Layer Meteorology 50, 31-47. Katul, G.K., A.G. Konings and A. Porporato, 2011. Mean Velocity Profile in a Sheared and Thermally Stratified Atmospheric Boundary Layer. Physical Review Letters 107, 268502. Monin A.S. and A.M. Obukhov, 1954. Basic laws of turbulent mixing in the surface layer of the atmosphere. Tr. Akad. Nauk SSSR Geofiz. Inst. 24, 163-187. Monteith, J.L.,1965. Evaporation and the Environment. In: G.E. Fogg (ed.), The state and movement of water in living organisms. Cambridge University Press. pp. 205-234. Monteith J.L. (1995). A reinterpretation of stomatal responses to humidity. Plant, Cell and Environment, 18, 357-364. Ronda, R.J.; DeBruin, H.A.R.; Holtslag, A.A.M., 2001: Representation of the canopy conductance in modeling the surface energy budget of low vegetation. Journal of Applied Meteorology 40 (2001) 1431-1444. Ronda, R.J.; Hurk, B.J.J.M. van den; Holtslag, A.A.M., 2002: Spatial heterogeneity of the soil moisture content and its impact on the surface flux densities and near-surface meteorology. J. Hydrometeorology, 3, 556-570. Rijtema, P.E. 1965. An analysis of actual evapotranspiration. Thesis Agricultural University, Wageningen, 111p. Savenije, H.H.G., 2004. The importance of interception and why we should delete the term evapotranspiration from our vocabulary. Invited Commentary. Hydrological Processes 18, 1507–1511. Shokri, N., P. Lehmann, and D. Or (2009), Characteristics of evaporation from partially wettable porous media, Water Resour. Res., 45, W02415, doi:10.1029/2008WR007185. Stewart, J. B., 1988, Modelling surface conductance of pine forest, Agric. For. Meteorol., 43, 19-37. Zeng, Y., Z. Su, L. Wan and J. Wen (2011), Numerical analysis of air-water-heat flow in unsaturated soil: is it necessary to consider airflow in land surface models. Journal of Geophysical Research 116, D20107.
