2. témakör Sztochasztikus, stacionárius és ergodikus jelek leírása idő és frekvenciatartományban
Bevezetés
Egy összetett jel, amely nem feltétlen periodikus, de stabil amplitúdójó és frekvenciájú diszkrét komponenseket tartalmaz, a spektruma vonalas, az jól mérhető spektrumanalizátorral. A véletlen (sztochasztikus) jelek rövid idejű regisztrátumaiból számított amplitúdó-sűrűség spektrum nem mutat stabilitást, hanem az adott regisztrátumra jellemző (de pl. a stúdió-munkák során éppen ez kellhet). Keresnünk kell olyan jellemzőket, amelyek stabilitást mutatnak az időben de jellemzője a sztochasztikus jelnek. Ha van ilyen statisztikus jellemzője, akkor ez a jel stacionárius. Ezek vizsgálatával foglalkozunk az elkövetkezőekben: A feszültség, áram, stb.. időfüggvénye nem jellemzi a sztochasztikus jelet A kellően hosszú regisztrátumból számított Fourier transzformált abszolút értéke stabilitást mutat (bár az időintervallumtól függ), de a fázisspektrum regisztrátumonként más és más, tehát nem jó jellemző
Az információt hordozó jelek az információ lényegi véletlenszerűségéből adódóan sztochasztikusak, ezért ezek kiemelt fontosságúak (analóg jel, beszéd, zenejel, digitális adat jelfolyam, zaj, stb…) A későbbiekben keresünk olyan spektrumfogalmat és időfüggvényt, amely stabil jellemzője lehet ezen jeleknek.
Időátlagok
Egyszerű középérték:
Fizikai jelentése: a jel egyenkomponensének értéke Négyzetes középérték:
Fizikai jelentése: a jel átlagteljesítménye 1 Ohm-on
Ezek jól mérhető paraméterek.
Statisztikus jellemzők Tekintsük a sztochasztikus jel időfüggvényét egy valószínűségi változónak. A valószínűségi eloszlásfüggvény: (a függvényérték egy adott referenciaszint alá esésének valószínűségét adja meg) A valószínűségi sűrűségfüggvény:
Közelítése: (a függvényérték egy infinitezimálisan kicsiny sávba esésének valószínűségét adja meg) Összefüggés:
Nehezen kezelhető mennyiségek.
Példa (Gauss-zaj):
Statisztikus jellemzők A Gauss zaj normális eloszlást mutat.
A sűrűség függvénye:
A sűrűség és az eloszlás függvény grafikusan:
Időfüggvény realizációk és a várható érték:
Ez a típusú zaj a híradástechnikában nagy jelentőséggel bír, mert a zajok java része pontosan ilyen, vagy igen hasonló jellemzőkkel bír. Ezt a központi határeloszlás tétellel magyarázhatjuk, amely szerint nagyszámú, teljesen független valószínűségi változó összege közel normális eloszlású, feltéve hogy az összeg minden egyes tagja nagy valószínűséggel kicsiny az eredőhöz viszonyítva.
Statisztikus átlagok Az időfüggvények átlagolásának analógiájára léteznek a statisztikus vizsgálatok eredményeként adódó f(x) átlagai is. Ezek súlyozott középértékek. A statisztikus átlagok az f(x) momentumai. Egyszerű statisztikus középérték:
Ez más néven a várható érték.
Statisztikus négyzetes középérték:
Szórásnégyzet:
Szigorúan ergodikus a folyamat, ha a statisztikus és az időátlagai megegyeznek: A hírközlés jelei ergodikusak!
Egyik következmény: a szórásnégyzet a jel átlagteljesítményével egyenlő, 1 Ohm-on, ha nincs a jelnek egyen-komponense:
Teljesítménysűrűség spektrum Vegyünk egy sztochasztikus jelet: f(t), majd ennek egy kiragadott véges idejű regisztrátumát:
A regisztrátum Fourier transzformáltja:
A jel energiája (Parseval tétel):
Teljesítménysűrűség spektrum 2t0 időtartamra az átlagteljesítmény:
Ha a t0 tart végtelenhez, akkor a regisztrátum tart az f(t)-hez:
Ebből az összteljesítmény:
(a frekvenciától nem függő tagok bevihetők az integrálba) A SPEKTRÁLIS TELJESÍTMÉNY-SŰRŰSÉG FÜGGVÉNY definíció szerint:
A szakirodalomban jelen van még a spektrális sűrűségfüggvény elnevezés is.
Teljesítménysűrűség spektrum Tehát az összteljesítmény:
Példa a teljesítménysűrűség spektrumra:
Értelmezése nem pontonként, hanem a görbe alatti területtel lehetséges! f1-f2 sávhatárok között az átlagteljesítmény:
Ha egységnyi sávszélességen G(f)-et jó közelítéssel állandónak vesszük akkor mondhatjuk, hogy a G(f) értéke megadja az egységnyi sávszélességben fellépő átlagteljesítményt:
Teljesítménysűrűség spektrum G(f) tulajdonságai: -páros függvény -negatív frekvenciák is értelmezettek -valós függvény, fázisinformációt nem hordoz -dimenziója: -nem ad információt a jelalak torzulásáról, ha áthalad egy rendszeren! -átlagos jellemző, nem ad képet a pillanatnyi teljesítményviszonyokról! Példák:
Teljesítménysűrűség spektrum A PCM-AMI jel esetében elégséges a teljesítmény-sűrűség spektrum első zérushelyig történő átvitele, mert ebben az esetben a vevő oldalon ki lehet egyenlíteni és regenerálni lehet a jelet (ld. 9. témakör). Az átviteli közeg karakterisztikáját tekintve alakult ki a 2Mb/s-os adatátviteli sebesség, mint szabvány.
Példa az emberi beszéd G(f)-jére:
A beszéd viszont jóval nagyobb valószínűséggel tartalmaz az effektív értéknél jóval nagyobb amplitúdókat, mint egy normál eloszlású zaj. Ez a G(f)-en nem látszik!
Autokorrelációs függvény Vizsgáljuk meg, hogy van-e kapcsolat a sztochasztikus jel két, eltérő időpillanatban felvett függvényértéke között!
A kapcsolat vizsgálata lehet a kellően hosszú idejű mérések átlaga:
Autokorrelációs függvény
Ha a mérések száma minden határon túl nő:
Az autokorrelációs függvény az adott időkülönbséggel vett minták szorzatának egyszerű középértéke, azaz ergodikus jelek esetén a várható értéke. Az időparaméter: Az autokorrelációs függvény megmutatja, hogy mekkora a kapcsolat a jel időkülönbséggel vett mintái között. Minél kisebb a függvényérték, annál kisebb a kimutatható kapcsolat. Nulla függvényérték esetén nincs a minták között semmiféle kapcsolat, azaz függetlenek egymástól. tulajdonságai: -páros függvény -dimenziója: -ha akkor a minták között nincsen kapcsolat -0-ban maximuma van és a függvényérték megadja:
Mérési módszerek Az autokorrelációs függvény közelítő mérése egyszerű:
A G(f) ebből kalkulálható (ld. Wiener-Hincsin tétel!)
G(f) közelítő mérése: Közelítő mérési módszer alkalmazható: A jelet egy keskeny áteresztő sávú hangolható szűrőn vezetjük át, és mérjük a hosszúidejű átlagteljesítményt.. 1 Ohm-ra vonatkoztatva:
G(f)≅Pmért*R/(2∆f)
Mérési módszerek Példa G(f) mérésére:
2Mb/s-os álvéletlen, 1,6V p-p négyszögjel egyoldalas teljesítménysűrűség spektruma Nem normalizált 1 Ohmra és 1 Hz-re! Impedancia: 75 Ohm. Sávszélesség a műszer szelektivitása. Felső görbe: 3,1KHz-es, alsó görbe: 1,74KHz-es sáváteresztő szűrővel mérve (műszer szelektivitása) dBm abszolút teljesítményszint skála (y tengely), 1mW referencia
Összefüggés Összefüggés a
és az
között:
Az előzőekből ismert:
A Fourier transzformáció tulajdonságai:
Behelyettesítve:
A függvény páros jellege miatt felírhatjuk:
Összefüggés Az időtől és a frekvenciától függő tényezők szétválaszthatók és az integrálás sorrendje felcserélhető:
A belső idő szerinti integrál az x(t) Fourier transzformáltjának a konjugáltja:
Behelyettesítve és a határértékképzést az integrál jel alá bevíve:
A szögletes zárójelben lévő tag definíciószerűen maga a G(f), így a végeredmény:
Összefüggés
Összefüggés a
és az
között tehát:
Ez a WIENER-KHINCHIN (Hincsin) tétel! A teljesítménysűrűség függvény, az autokorrelációs függvény Fourier transzformáltja. A tétel jelentősége: •Találtunk időben stabilitást mutató idő és frekvenciatartományi jellemzőket! •Egymásból átszámíthatók •Egyszerűsíti a méréseket
Az autokorrelációs függvény haszna 1. Az autokorrelációs függvény egy jósló függvény. Tekintsünk egy előrejelzési (predikciós) feladatot! Megfigyeljük a jel értékét a t1 időpillanatban, és a megfigyelt érték alapján becsülni kívánjuk a jel értékét a t2 időpillanatban. Ha a legegyszerűbb felépítésű (lineáris) becslésre szorítkozunk, és a becslés hibáját az ún. négyzetes középhibával értékeljük, akkor a legjobb becslési szabályt az autokorrelációs függvény ismeretében alkothatjuk meg. Egyetlen megfigyelt értékből akarunk becsülni:
A becslés négyzetes középhibája alatt értjük: Ahol az
a várhatóérték operátor!
A hiba függvénye
-nak:
Az autokorrelációs függvény haszna 1. A lineáris becslés paramétere az az érték, amelyre a hibafüggvény minimális. A függvényt a minimumhely keresése érdekében deriválva, és 0-val egyenlővé téve kapjuk:
Ha a jel stacionárius, akkor:
Ebben az esetben az optimális predikciós együttható formulája egyszerűsödik:
A négyzetes középhiba pedig így alakul:
Az autokorrelációs függvény haszna 2. Hogyan lehet megvalósítani egy zajjal fedett periodikus jel észlelését? Egy tisztán periodikus jel autokorrelációs függvénye is periodikus. Az R(τ) amplitúdója arányos a jel teljesítményével, a periódusideje pedig megegyezik az eredeti jel periódusidejével. Tehát nem cseng le, mint azt a sávkorlátozott zaj esetében tapasztaltuk. Ha a zaj és a periodikus jel függetlenek és legalább egyikük átlaga zérus, akkor: Rx(τ)=Rs(τ)+Rn(τ)
s: signal; n: noise
Kellően nagy τ értékeknél, ahol Rn(τ) már elhanyagolható, ott már csak Rs(τ) detektálható. Amennyiben csak a jel jelenlétét kell detektálni, akkor elég, ha egy olyan fix τ0-t állítunk be, ahol Rs(τ) helyi maximuma van. Ezt a maximumot tudjuk a korrelációs detektorral érzékelni.
Zajok A zajok témakörét az alábbi forrásból kell részletesen feldolgozni: Dr. Kerpán István: A hírközlés elméleti- módszertani alapjai, 6. fejezet: Zaj
Áttekintés, kulcs-fogalmak: •Jel-zaj viszony •Nemlineáris torzítás •Áthallás •Véletlenszerű ingadozások, termikus zaj •Tápellátó rendszerek zaja •Ekvivalens zajsávszélesség •Jelátvivő áramkörök zaj-jellemzői •A zajok elleni védekezés
Ajánlott irodalom Ferenczi: Hírközléselmélet Kerpán: A hírközlés elméleti- módszertani alapjai Gordos: A hírközlés rendszerelmélete Gordos: Digitális beszédfeldolgozás Híradástechnika II. laboratórium 2. mérési útmutató
