2. témakör: Számhalmazok Olvassa el figyelmesen az elméleti áttekintést, és értelmezze megoldási lépéseket, a definíciókat, tételeket. Próbálja meg a minta feladatokat megoldani! Feldolgozáshoz szükségesidö: 3×45 perc Természetes számok (N): A pozitív egész számok kiegészítve a 0-val. Pl.: 0, 1, 2, 3, 4,…,∞ A természetes számok között értelmeztük az összeadást, szorzást, hiszen ha a természetes számokkal összeadást vagy szorzást végzünk, akkor az eredményünk is természetes szám. A természetes számok körében kivonást is végezhetünk. Pl.: 9-7=2. Azonban ha azt akarjuk, hogy bármely kivonás értelmes számot adjon eredményül, bővítenünk kell a számfogalmat. Ugyanis amíg csak a természetes számokat ismerjük, addig ennek a műveletnek nincs értelme: 6 - 9 . Ezért vezették be az egész számok halmazát. Egész számok (Z): -∞,…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…,∞ Az egész számok között értelmeztük az összeadást, szorzást, és a kivonást. Az osztás azonban nem minden esetben hajtható végre, mivel a megoldás nem lesz egész szám. Ezért vezették be a racionális számokat.
a alakban felírhatók, ahol a és b ( 0) Z. b A racionális számok között értelmeztük az összeadást, szorzást, kivonást és az osztást. A racionális számok felírhatók tizedes tört alakban is (beletartozik a periodikus tizedes tört is). Azonban nem minden tört véges vagy periodikus, ezért vezették be az irracionális számok halmazát. Racionális számok (Q): Azok a számok, amelyek
Irracionális számok (Q*): a nem periodikus végtelen tizedes törtek. Ha végtelen tizedes törtekről beszélünk, akkor azok vagy periodikusak vagy nem, azaz racionális vagy nem racionális számok. Ez azt indokolja, hogy a végtelen tizedes törteknek önálló nevet adjunk: valós számoknak nevezzük ezeket. Valós számok (R): A racionális és irracionális számokat együttesen valós számoknak nevezzük.
Q Z N
Q* R
Nagyon sok dolgot lehet említeni a számokkal kapcsolatban: szorzótábla, bennfoglaló tábla, előjel szabály, balról-jobbra szabály, műveletei sorrend, zárójel felbontása stb. – ezeket kell itt egy kicsit feleleveníteni. Itt lehet egy kicsit gyakorolni. Ha további segítségre van szüksége, vegye fel a honlapon szereplő tutorokkal a kapcsolatot
1
Oszthatósági szabályok 2-vel: Egy tízes számrendszerben felírt szám akkor és csak akkor osztható 2-vel, ha az utolsó számjegye osztató 2-vel (azaz, ha a szám páros). 3-mal: Egy tízes számrendszerbeli szám akkor és csak akkor osztható 3-mal, ha a számjegyek összege osztható 3-mal. 4-gyel: Egy tízes számrendszerben felírt szám akkor és csak akkor osztható 4-gyel, ha az utolsó két számjegyből képzett kétjegyű szám osztható 4-gyel. 5-tel: Egy tízes számrendszerben felírt szám akkor és csak akkor osztható 5-tel, ha az utolsó számjegye 5 vagy 0. 6-tal: Ha 2-vel és 3-mal is osztható. Vagyis azok a páros számok, amelyek oszthatók 3-mal. 7-tel: Egy természetes szám pontosan akkor osztható 7-tel, ha a szám helyiértékes felbontásában a 10 hatványait a 3 hatványaira cserélve a kapott összeg osztható 7-tel. pl: 2149 = 2103 +1102+4101+9100 233+132+431+930 = 54+9+12+9 = 84, és a 84 osztható 7-tel, ezért a 2149 = 7307 is osztható 7-tel. 8-cal: Ha a szám végén lévő négyjegyű szám osztható 8-cal. 9-cel: Egy tízes számrendszerbeli szám akkor és csak akkor osztható 9-cel, ha a számjegyek összege osztható 9-cel. 11-gyel: Egy tízes számrendszerben felírt szám akkor és csak akkor osztható 11-gyel, ha a szám számjegyeit hátulról előrefelé haladva váltakozó előjellel összeadjuk, és az így kapott szám osztható 11-gyel. Legnagyobb közös osztó és legkisebb közös többszörös Legnagyobb közös osztó (lnko): két nem nulla egész szám közös osztói közül a lehetséges legnagyobb nem nulla pozitív egész, amely mindkét egész számot maradék nélkül osztja. Jele: ( ; ) Előállítása: A legnagyobb közös osztó megkereséséhez meg kell határozni az adott két szám prímtényezőit, azaz a számokat fel kell bontani prímszámok szorzatára, és azok a prímtényezők szerepelnek benne, amelyek kisebb kitevővel szerepelnek. Legkisebb közös többszörös (lkkt): azt a legkisebb pozitív egész számot értjük, amely az adott számok mindegyikével osztható. Jele: [ ; ] Előállítása: A legkisebb közös többszörös megkereséséhez meg kell határozni az adott két szám prímtényezőit, azaz a számokat fel kell bontani prímszámok szorzatára, és azok a prímtényezők szerepelnek benne, amelyek nagyobb kitevővel szerepelnek. Itt lehet egy kicsit gyakorolni.
Műveletek törtekkel 1. Törtek összeadása (lépések) – Egyszerűsítés, ha lehet [ugyanannak a törtnek a számlálóját és a nevezőjét ugyanazzal a számmal elosztjuk (nevező és a számláló lnko-ja)]. – Közös nevező megkeresése [a nevezők lkkt-je]. – Bővítjük a törteket [ugyanannak a törtnek a számlálóját és a nevezőjét ugyanazzal a számmal szorozzuk]. – Leírjuk a közös nevezőt, majd a számlálókat összeadjuk: 24 75 2 15 14 45 14 45 59 36 35 3 7 21 21 21 21
Ha további segítségre van szüksége, vegye fel a honlapon szereplő tutorokkal a kapcsolatot
2
2. Törtek kivonása (lépések) – Egyszerűsítés, ha lehet [ugyanannak a törtnek a számlálóját és a nevezőjét ugyanazzal a számmal elosztjuk (nevező és a számláló lnko-ja)]. – Közös nevező megkeresése [a nevezők lkkt-je]. – Bővítjük a törteket [ugyanannak a törtnek a számlálóját és a nevezőjét ugyanazzal a számmal szorozzuk]. – Leírjuk a közös nevezőt, majd a számlálókat kivonjuk egymásból: – 49 64 7 4 21 20 21 20 1 35 48 5 3 15 15 15 15 3. Törtek szorzása Törtet törttel úgy szorzok, hogy először egyszerűsítünk, ha lehetséges, majd a számlálót a számlálóval, a nevezőt a nevezővel szorzozzuk össze [ennél a műveletnél lehet keresztbe egyszerűsíteni, ha lehet].
25 56 5 7 5 7 35 60 32 12 4 12 4 45 4. Törtek osztása Törtet törttel úgy osztunk, hogy először egyszerűsítünk, ha lehetséges, majd az osztandót szorzzuk az osztó reciprokával. [Egy tört reciprokán azt értem, hogy a számláló és a nevező egymással helyet cserél, {egyébként 1-et kell elosztani a tört számmal}].
75 63 15 7 15 6 15 1 15 : : 60 54 12 6 12 7 2 7 14 5. Tört szorzása egész számmal Törtet egész számmal úgy szorzunk, hogy először egyszerűsítünk, ha lehetséges, majd a tört számlálóját szorozzuk az egész számmal, vagy a nevezőjét osztjuk az egész számmal.
45 3 3 7 21 7 7 60 4 4 4 6. Tört osztása egész számmal Törtet egész számmal úgy osztunk, hogy először egyszerűsítünk, ha lehetséges, majd a tört nevezőjét szorzzuk az egész számmal, vagy a számlálóját osztjuk az egész számmal.
45 9 9 9 :8 :8 35 7 7 8 56 7. Egész szám szorzása tört számmal Egész számot törttel úgy szorzunk, hogy először egyszerűsítünk, ha lehetséges, majd a számot megszorzzuk a számlálóval, majd osztjuk a nevezővel.
5
63 7 5 7 35 5 36 4 4 4
Ha további segítségre van szüksége, vegye fel a honlapon szereplő tutorokkal a kapcsolatot
3
8. Egész szám osztása tört számmal Egész számot törttel úgy osztunk, hogy először egyszerűsítünk, ha lehetséges, majd a számot megszorzzuk a tört reciprokával. 25 5 7 12 7 84 12 : 12 12 : 35 7 5 5 5 9. Műveletek vegyes törtekkel Ezeket a műveleteket úgy végezzük el, hogy először átalakítjuk a vegyes törteket tiszta törtekké, majd a műveletet végrehajtjuk.
Hatványozás Definíció: Ha a tetszőleges valós szám, és n 1-nél nagyobb pozitív egész szám, akkor an hatvány azt az n tényezős szorzatot jelenti, amelynek minden tényezője a. Ha n=1, akkor a definíció szerint a1 = a Azonosságok: 1. an·am=an+m (azonos alapú hatványok szorzata: az alap a kitevők összegére emelve) 2. an:am=an-m n>m (azonos alapú hatványok hányadosa: az alap a kitevők különbségére emelve) 3. (an)m=an·m (hatvány hatványa: az alap a kitevők szorzatára emelve) 4. an·bn=(a·b)n (azonos kitevőjű hatványok szorzata: az alapok szorzata a kitevőre emelve) 5. an:bn=(a:b)n (azonos kitevőjű hatványok hányadosa: az alapok hányadosa a kitevőre emelve) Összeadásra és kivonásra nincs hatványozási azonosság, mert a hatványozás a magasabb rendű művelet!
A hatványozás azonosságainak alkalmazásához a következő ábra segít:
A feladatot vizsgáljuk meg, hogy hol van azonos szám: - a karikák helyén => azonos kitevőjű hatványokkal - a négyszögek helyén => azonos alapú hatványokkal van dolgunk, és a csillag helyén lévő műveletet kell még figyelembe venni. pl.: 524 52416 58 16 5
23 27 23 7 210
5
7 3
7
73 113 (7 11)3 773
157 15 5 127 12 4
7
573 521
23 85 322 23 23 25 23 215 210 228 5
93 275 2436 3 817 33
2
3 3 3 3
2 3
3 5
4 7
4 6
3
36 315 324 345 31 314 28 3 3 3 3
Ha további segítségre van szüksége, vegye fel a honlapon szereplő tutorokkal a kapcsolatot
4
Számrendszerek Számrendszerek: Azoknak a jeleknek és elveknek az összessége, amelyek birtokában bármely számot fel lehet írni. A mindennapi életben a tízes számrendszert használjuk. A számrendszer alapszáma (alapja) az egy helyi értéken ábrázolható értékek számával egyenlő. Az alapszám bármely 1-nél nagyobb egész szám lehet. Pl.: A 10-es számrendszer alapja: 10 – ábrázolható érték: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; a 8-as számrendszer alapja: 8 – ábrázolható érték: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Átírások 10-esre 16-osból: a helyi értékes számokat felírjuk összeg alakban, és kiszámoljuk az értékét. pl.: a tizenhatos számrendszerbeli szám: 1A0F4 16 A 16-os számrendszerben 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F számjegyeket használjuk (A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15 felelnek meg)
164 163 162 161 160 1 A 0 F 4 4 3 2 1 Decimális megfelelője:1*16 +10*16 +0*16 +15*16 +4*160 =106740 – kiszámoltuk a hatványok értékét, majd elvégeztük a szorzás és az összeadás műveletét. 10-esről hetesre: a számmal maradékos osztást hajtunk végre az új számrendszer alapszámával, és a nullától különböző maradékokat visszafelé felírjuk.
pl.: 4683 10 = 7 4683 : 7 = 669 669 : 7 = 95 95 : 7 = 13 13 : 7 = 1 1 : 7 = 0 0 4 4 6 1 4683 10 = 16440 7
Ha további segítségre van szüksége, vegye fel a honlapon szereplő tutorokkal a kapcsolatot
5
