NME Közlcményel,
Miskolc, IV. Sorozat,
Tennészcrmdományok,
26/1955) kötet.
4239-251_
A MAGYAR MÓDSZER EGY LEHETSÉGES ÁLTALÁNOSITÁSA KAPACITÁSKORLÁTOZOTT SZÁLLÍTÁSI FELADATOK MEGOLDÁSÁRA
DORMÁNY MIHÁLY
HARSÁNYI JÁNOS
-
Összefoglalás A dolgozat a korlátozás nélküli feladattal foglalkozik, majd a korlátozott tárgyalja. Igazolja a módosított eljárás helyességét. szükséges módosításokat
Egerváry Jenő [2] bebizonyította, hogy m
formai
=
T!
=
I
feltételnek
DR. DORMÁNY
"magyar
módszer"
megoldásához
a
II
2 Í
a
feladat
2
j
eleget
=
v;
=
N
1
tevő
MIHÁLY
egyetemi adjunktus NME Matematikai Intézet
Miskolc-Egyetemváros 35 l 5
HARSÁNYI
Ajka Ujélet
u.
JÁNOS
18.
8400
A kézirat
beérkezett:
1984/ún.
I 0.
239
n
Z i:
x,,=r,,
i=1,2,...
x,,=sp,,
j=1,2,...
l
2'
(l)
n";
i=1
k 0,
x" m
E I=l
szállítási
nálata,
feladat
cp,
az
v i,
j,
n
duxü
=min.
/=1
megoldására is alkalmas. (v 1,, epj,a" F, fogyasztó kereslete.) F,
természetes
...F,...F,,
T;
a?)
T,
Tm
tpl...
(p,
Ltáblázat
240
...
(pn
szám.
r,
a
T, termelő
ki-
A
pései
(0)
megoldás
melyet
-
következők:
a
Végezzük legyen
el
A
az
cg!)saű Konstruáljuk Legyen k
(l)
a",
-
induló
az
meg
1, xm
=
-
táblát
főbb
lét
0.
(lap ))
(ami
-
-
sor-oszlop redukcióját, vagy-
egységköltség-mátrix
szállítási
[gy]
=
is
pl. [l], [2], [3]-ban tanulmányozhatunk
részletesen
(I. táblázat).
o.
=
programmátrix Kg) leterhelését
viszonylat (az (i, j) ,,hely") minden) 0, ,,kötött helyO, ,,szabad helyről", ha azt is mondhatjuk, hogy rokonítva ről" beszélünk. feladattal x?) a lekötés ) o érték meghatározásához keresnünk kelt ,,multiplicitása".) Egy xgy) 0 redukált egységköltségű elemet, ahol még szabad termelői kínálat egy a?) és kereslet ) fogyasztói (r,(tpi) 0) áll rendelkezésünkre. Az
kori
T,
a
-*
szállítási
F,
xgf)
mutatja. Ha (A hozzárendelési
xfl")
=
=
d)
Ezt sarok" 1.
a
többféle
lépést
verbális
módszer i=
1, j
Ha
1',-
stratégia alapján is elvégezhetjük; folyamatábrája az alábbi:
ismert
"Észak-Nyugat
1.
=
=
az
0,
a
7.
lépés
következik.
Egyébként
899.993!" xgí)) o vagy agí)) o vagy Legyen x?) min (Ti, mi). T, 1',- xflk), tp, tp/ xg) Ha
e,
o,
=
6.
a
lépés
következik.
Egyébként
=
4-
8.
Ha
j (n,
Ha
1' (m,
Ha
I
a
1,-
akkor
-
.
je- j
legyen j
=
12'tp,
=
=
+
1 és
1, i 4-i
tétjük +
l
O, feladatunkat
nyert ,,induló program" javítását. Lássuk
rendelkező
(II)
4-
-
vissza
és
a
2.
térjünk
lépésre. Egyébként
vissza
2.
lépésre. Egyébként
megoldottuk. Egyébként kíséreljük meg
el
,,-s" címkévela szabad kapacitással
sorokat.
negatív címkéjű t-edik soron végighaladva ,,-t" címkével lássuk el azokat az oszlopokat, amelyekben a? = 0 elemet találunk. (Mivel ez a lépés a javítást szolgáló hurok potenciális "pozitív" sarkait jelöli ki, ezért a sor valamennyi zérus elemét figyea sor negatív címkéjét pozitívra. Ismételj ük meg eljálembe kell venni.) Változtassuk rásunkat mindaddig, amíg A
241
(a)
olyan oszlophoz jutunk,
(b)
már
találunk
nem
több
ahol
még
van
szabad
negatív címkéjű
kapacitás,
npl-) 0, vagy
azaz
sort.
belül
Ezen
negatív címkéjű oszlopunk,
(b,)
még
(bg)
már nincs
(a)
esetben
van
negatív címkéjű oszlopunk. a
IV.
lépés, (b,)esetben
a
III.
lépés, (bg)
esetben
az
V.
lépés következik,
(III)
oszlopon végighaladva ,,-l" címkével lássuk el azokat a sorokat, xgf) (Mivel ez a lépés a javítást szolgáló hurok potenciális "negatív" zérusok jöhetnek számításba.) Változtassuk az sarkait jelöli ki, ezért csak kötött oszlop negatív címkéjét pozitívra. Ismételjük meg eljárásunkat mindaddig, amíg negatív címkéjű oszlopot találunk, majd térjünk vissza a II. lépésre.
(IV)
elkészítjük a javítást szolgáló hurkot. A hurok ,,pozimegcímkézett oszlopok, a ,,negatív" sarkok a megcímkézett sorok alapalakulnak ki; a hurok két végpontja a szabadkapacitással rendelkező ján Tp és Fq is "negatív" sarkok). pont (ezek szem k 0 (Vi,j) feltételt előtt tartva Az meghatározzuk a "negatív" sarkok szük x"
A
l-edik
negatív címkéjű )
ahol
visszafelé
A címkéken
tiv" sarkai
Ezek
haladva
a
vagyis legyen
keresztmetszetét,
N")
0.
min
=
íxg?)rp, cpq (í, j), Tp,Fq :
,
meghatározzuk kapacitásokat : után
az
Xm programmátrix
xg") xgf)+
N")
xlft)
_
AUC)
(-
4.
l]
x(k) i]
"negatív"
Tp
4-
rp
-
N")
lpq
(-
"Pq
_
AGG)
(V)
Az
=
z i
242
és
a
megváltozott
szabad-
ha(í, j), Tp,Fq "negatív"
sarok.
programunk megengedett, vagyis eleget tesz az (l) feladat feltétevagyunk. Ellenkező esetben töröljük az összes címkét, majd lássuk el a szabad kapacitással rendelkező sorokat. Térjünk vissza a II. lépésre.
Xm programmátrix sW
új elemeit
,ha (i, j) ,,pozitív" sorok,
Ha szállítási
leinek; készen n-s" címkével
sarok).
elemeinek
zxgy) (N. i
összege legyen
A
Kőnig-Egerváry
tő minimális
tétel
értelmében
AM
az
a
-val, H(k) 1
fedetlen
fedjük
a
ki
pk-t
az
H?)
oszlopokat
fedett egyszer -val. Legyen
elemek
Mk
vissza
I.
az
egyszer (Mivel (3) alapján vagyis a kötött (i, j) pozícióban tározásánál induláskor legyen p; szabadkapacitásokat is.)
alakban
szállítási
fogalmazható
minimális
(s)
lépésre.
és csakis
az
A korlátozott
a
(zzneHák).
IJks
térjünk
meg
(2)
(meHíkl, +
a
y
,
az? k + l, és
7
és
halmazát
Am mátrix valamennyi eleméből, majd adjuk hozzá elemeihez, vagyis legyen valamennyi fedővonalának
az
a§;')+ aga
lefedhe-u
megcímkézett
:
_
4-
le
ék)-val,
halmazát
elemek
fedett
fedővonalrendszer
k
eleme
1. (i, j) ezirgv]; miníag?)
pk
Vonjuk
H
halmazát
elemek
kétszer
a
valamennyi zérus
fedővonallal.
számú
konstrukciója: (A fedővonalrendszer nem címkézett sorokat.)
(VI) Jelöljük
mátrix
feladat
kötött elemek nem változnak, egyszer lefedett l): 0 marad, ezért az XÜC+ 1) mátrix megha-
HEJ" X(" -
a
+
1)
sor-oszlop
meg:
=
XÜC),és megőrizzük
redukció
elvégzése
után
aktuális
az
-
az
r;
,
alábbi
u
(4) vipj,
Oíxil-Scü, m
z i=1
(Vq, cpi,c",
n
z
1=1
agyx,
dg) természetes
=min.
szám.) 243
feltételek:
A formai
i=l
j=1
n
2'
/=1
cg 21,,
VI,
c" kapi,
Vj.
Í"
2'
i=1
Nézzük
ad(I)
Az
hogy az (l) feladat megoldásához képest milyen változtatásokat algoritmus egyes lépéseinél!
az
,,É-Ny-i
véve
sarok"
ad(II)
xg?)
min
x?)
cíi
Mivel
ad(IV)
a
Mivel
a
esetben
lépés potenciális ,,pozitív"
korláthelyeket ez
a
korláthelyi
kapacitáskorlátozást
is
figyelembe
A
N")
=
a
A minimális
í
hurok kell
sarkokat
Jelöljük
jelöl ki,
sarkain
is, hogy
ezeken
,
fedővonalrendszer kívül
ezért
a a
csak
:
mind
a
szabad
a
meg
volumen
növekedésével
sarkokon
ne
lépjük
rp, tpq: (i, j), Tp,Fq ,,negativ"
(cg xg")(i, j) -
jelöl ki,
korláthelyen
és
az
kötött,
a
és
oszlopomind
venni.
"pozitív"
arra
agg)
is) figyelmen
sarkokat
növelhető, ezért
nem
Figyelmen
min
rusokat
nevezzük.
,,-t" címkével zérusoknak megfelelően címkézzük c,-,-) kívül hagyjuk.
már
lépés potenciális "negatív" zérusokat figyelembe kell
javítás során vigyáznunk vagyis legyen
244
a
-
Km-val.
tovább
volumen
ezért
ad(V)
lépésben
(i, j) viszonylatot "korláthelynek"
az
halmazát
(vagyis ahol xm
kötött
(III)
4.
(Ti,api,c-Üj.
címkézési
a
ez
szállítási
ad
=
korláthelyek
kat,
algoritmus
-
=
a
kell
meg,
eszközölnünk
túl
kell a
felső
számolnunk, korlátot,
sarok);
"pozitív" sarokH.
meghatározásánál a korláthelyeket (a korláthelyi hagyjuk, vagyis korláthely egyaránt kerülhet fedetlen,
zé-
fedett vagy egyszer dett pozicióba. Ezzel
megszorítással kapcsolatos
a
fogjuk
látni
esetén
nemzérus
korláthelyi
mint
-
fe-
kétszer
-
alábbi
az
LEMMA: A sorok
hogy
és
oszlopok
kell
nem
is
továbbra
szabálya
lefedési zérusokat
felsőkorlátos
a
érvényes, azzal
a
megjegyzéssel,
lefednünk.
BIZONYÍTÁS: A k-adik lépésben, a címkézési eljárás befejezésekor, a fedővonalrendszer a 2. tábláés oszlopok megfelelő, elvi permutációjával a sorok ynegkonstruálásaelőtt -
-
zaton
alakul
helyzet
látható
Legyenek T,
,
.
.
.,
ki.
Tw
a
gyasztók.Könnyen beláthatók Tw +
a
-
1,
.
.,
.
megcímkézett termelők; az
valamint
Tm termelők,
F1
.
,
.
.,
F
z
megcímkézett fo-
a
alábbiak: F
az
1
,
.
.,Fz fogyasztók szabadkapacitása
.
zé-
rus,
(m
az
l
a
a
-
w
x
-
(n
főminor
w)
méretű
xz
z)
-
méretű
blokkokban
bal alsó blokkban
jobb
valamennyi
felső blokkban
valamennyi
és felsőkorlátos
szabad, kötött
szabad,
zérus
felsőkorlátos,
zérus zérusok
egyaránt előfordulhat-
nak, -
a
pozitív
és
korláthelyinegatív
A fentiekből
következik,
elemek
bárhova
hogy F1,
.
.
kerülhetnek.
.,Fz oszlopaira
az összes zérust kötött helyezett fedővonalrendszer a is szabad lefedi. zérusokat 9. e. d. hogy egyuttal
egyszer
és
Tw +
és csakis
l,
.
.
egyszer
.,
Tm
lefedi
soraira
úgy,
zérus nead(VI)u,, meghatározásánál lehetővé kell tennünk, hogy a fedetlen felsőkorlátos gatívvá váljék másrészt viszont ügyelnünk kell arra, hogy a kétszer fedett korláthely a (3) redukció során ne váljék pozitívvá. Ez utóbbi feltétel miatt a (2) összekell: függést is módosítanunk -
Ilk
=
min
dák)
:
(j,
egglűxldkű ,
(i, j) eHJkl |a,(*)|:
(Ha
HomÜK
(k) =
0 és
n
KW
HzmÜKW=0,
_ legyen Ilk *"'.)
245
F....F, n.
Fz+l...F,,
_
1320
o
E]
El
_
Tw
7320 0
Tw+1
[J
o
o
o
r",
"PLH-uv;
o...o
20
20
Ztáblázat
Jelölje í-edik
lak)azoknak
rólag, a j-edik oszlopra az
sor
lépéseknek a halmazát, melyek során, a k-adik lépéssel bezáHasonlóképp jelölje l?" a megfelelő lépések halmazát a hatását is számításba redukció kumulatíve Igy (3) vehetjük: a
lefedésre
nézve.
került.
agc+1)=a('l§)_2' 5,3) A következőkben
be
TÉTEL: A (4) feladat A
a
fouk
M4.
(5)
"r
Gy)
bizonyítani
fent ismertetett
2'
az
alábbi
tételt:
algoritmussalmindig megoldható.
BIZONYITÁS két lépésben fog történni: Bl.
Megmutatjuk, hogy
sünkre, amely
az
un.
minden lépésben duál-megengedett megoldás áll rendelkezéis eleget tesz. ortogonalitási feltételeknek
B2.
-
-
Megmutatjuk, hogy véges számú lépésben optimumot és így primális optimumot is kapunk, vagy kiderül, hogy a duális célfüggvény nem korlátos, így a (4) feladat duális
konzisztens. ad Bl.
246
Képezzük
a
(4)
feladat
duálját:
feltételi
rendszere
in-
-w.+u+v
i
ti
l
W"
z
)0,
Viola
Z
(6)
I
j?!
Z
i=1/=1
Az
i=1....,m;i=1.---,n,
n
m
H="
Sao), l]
Vn
Z
'*'
Wi/Ct/
+
na,
i=1
Z
spjv/
=
max.
j=1
ortogonalitásifeltételek:
(Cij"%0
(agy+ Vizsgáljuk nyében! Szabad
Wt/
m,
a
meg
v] S
helyen Mi +
VÍ
Korláthelyen -
wi,
Képezzük
az
=
u,-
-
-
v,)x,
duálváltozók
helyen xü lli +
0,
=
=
(7)
w, vj.
(s)
o,
viselkedését
0; (7) miatt
=
Vili.
(i, j) hely kötöttségének függvé-
az
wij
=
0 és
(6)-ból
031) .
0 (
xíi ( Cíi;
W"
=
O,
dg) .
x"
=
+ u, +
alábbi
2 0, (8) miatt c,-,-; (6) és (7) alapján wg
v,
=
a?)
(11)
.
duálváltozó
rendszert:
247
u?) v?) wgll), _
l
0
E
(vlxvj),
'u§"),hakezyö, 1) ulgk+
_
La?)
+
í
m, ,ha
kqíL-(k),
,ha keljen v/(k) ,
1)
+
vj(k
=
1
(12)
-uk,ha Lvlík) '
1)
+
,
"l"
)
l) ni; +u(f+1) +v(;f
_
w(k
kell?"
,ha
xgf)=CÜ.,
=
ÍÍ
L u?
l"
l)
és
v?
+
l)
0
(12) alapján
értékét
11%")
=
egyébként.
Z
felhasználásával
=
-
)
(
._
Z
ur-
(13)
._
(k
v!
"l" 1 )
,
(14)
(l4)-ből
_
w(k+ 1)
(
a;
+1)
,ha
()
xü"
=
c",
___
(15)
i!
0
248
-
(5)-bő1 )
és
számíthatjuk:
reJim
a(ir;+1_a§i1)ullc+l (l 2)-ből
is
v(f+"
un
755150) (13)
kumulatíve
egyébként.
bizonyítás első részének befejezéseként megmutatjuk, hogy (13) lépésben a duál feladat megengedett megoldását szolgáltatja:
A
k ?
l
Szabad
l)
w(ffl.+
(15)-ből
Kötött =
o és
=
1)
*
(14)-ből (9)
Korláthelyen, +
l) 2
wgi;
o, (14)
ad B2. A 2. táblázat -
A =
jobb
felső
cíi)találhatunk.
csak
Legyen
51200 A bal alsó
szege
blokkban
0;
"'
l)
g
O;
dg;
=
negatív korláthely
negatív)
lekötéseket
itt
lehet
l)
(aholis xii
=
(16)
kétszer
fedve, vagyis
a
lekötések
ösz-
itt
Sz:
(k)
Z
=
A bal felső
blokkban
a
EHZUOnKUc)
lekötések
W
315")
összege
Z
Z
=
(17)
cu-
(új)
-
összege
és
EHOUOHKOC)
csak
)
állítások:
Zcii-
=
(u) -
lekötések
alábbi
az
korláthelyes (zérus a
+
de;
következik.
alapján nyilvánvalóak
blokkban
algoritmus alapján mindig
az
algoritmus alapján mindig
az
(15)-ből (11)
és
l)
+
következik.
c,-,-esetén
=
minden
következik.
(14)-ből (10)
x?)
vagyis
(l 5)
dg;
algoritmus alapján mindig
az
( cÜ-esetén xgjf)
0 í
o és
=
esetén
=
helyen, vagyis
o; (15)-ből
(15)-ből
xg?) 0
helyen, vagyis
és
Z
i=1
xu-
1=1
W
Z
Mivel
-
)0,
ezért
i=l
W
SS"
+S12(k)(
Z
(18)
Ti-
í=l
-
Mivel
a
lefedett
fogyasztóknak
nincs
szabadkapacitása,
ezért
Z
Sllac) +S21(k)
=
z
GPÍ-
(19)
=1 '
249
Most
ció
k-adik
értelmezve
hogy a duális feladat célfüggvénye hogyan változik meg az iterá1)-edik lépése között! Legyen Au, u,(k + l) uioc); hasonlóképp
nézzük és A
meg,
(k
+
v,
és
=
A
wü
értékét
Z
z
j=l
i=1
(l2)-ből
adódnak
az
alábbi
r=1
összefüggések:
=uk,
i=1,...,w,
esetén
Au,
=0,
í=w+1,...,m,
kílfm
esetén
Av,
=-uk,
j=l,...,z,
kEJÍk)
esetén
Avj
=0,
Í=Z+l,...,n,
"kaha
A fenti
2
i=1
Au;
0
kapjuk, hogy
n
ATípl-"l"
esetén
_Hksha
azt
m
+ AWÜCÜZ
kell?" kel?)
Awri:
_
célfüggvény megváltozására
n
m
AH="
is,
a
s
(i,;')eH§")nK"'),
egyébként.
összefüggéseket (20)-ba helyettesítve, (16)
(17)
és
felhasználásával
nyerjük,
hogy W
Z
+Hk Z +"kS2(1k) AHm=_#kS1(2k)
71_111:
i=l
szak) =uk[_sl(zk) +
+
"Pi
=
j=1
W
Z
2
Z
T,
-
r'=1
2'
j=l
pl.],
(l 8) és (19) miatt a zárójelben pozitív (egész) szám áll. Ha a (4) feladat megoldható, akkor mivel uk minden célfüggvénye korlátos, és így korlátos H is. Ebben az esetben lépésben pozitív egész duál számú optimumot (és így primál optimumot is) véges lépésben + 00., akkor AHOÚ sem ésH sem korlákapunk. Ha valamelyik iterációs lépésben lik nincs megengedett meoldása. tos, ami azt jelenti, hogy a (4) feladatnak -
-
=
Ezzel
tételünk
Megjegyzés. ,,stepping stone" juk. 250
bizonyítását A
befejeztük.
kapacitáskorlátozott szállítási feladatnak történő megoldását pl. [4]-ben
módszerrel
egy másik
vagy
módszerrel,
az
un.
[5]-ben tanulmányozhat-
hasznos
értékes megköszönni Terlaky Tamásnak a dolgozat nem születhetett volna meg.
szeretnénk
Köszönetnyilvánítás Végezetül megjegyzéseit,
melyek nélkül
tanácsait,
ez
IRODALOM l.
DORMÁNY
2.
EGERVÁRY tató
M.:
II.
Openicíókutatás
Intézetének
(Egyetemi jegyzet) Tankönyvkiadó,
módszer
1.: Kombinatorikus 4
Közleményeí,
(1959),
a
Bp., 1980. probléma megoldására. MTA Matematikai
szállítási
Ku-
1, 15-28.
Társulat, Bp. 1969. folyamok. Bolyai János Matematikai programozás. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Bp. 1966.
3.
KLAFSZKY
4.
KREKÓ
B.: Lineáris
5.
MURTY
K. G.: Linear
E.: Hálózati
and
combinatorial
A POSSIBLE
GENERALISATION
FOR
SOLVING
m5
OF THE
METl-IOD"
"HUNGARIAN
TRANSPORTAIION
CONSTRAINTS
wmx
Wiley & Sons., New York, 1976.
programming.
PROBLEM
ON CAPACITIES
by M. DORMÁNY
-
J. HARSÁNYI
Summary The
study deals
with
solving the oonstrained
the problem without problem. lt is proved that
EINE
VON
constraints
and
modified
the
with
MÖGLICHE VERALLGEMEINERUNG TRANSPORTPROBLEMEN
MIT
the
modifications
ZUR
for
neoessaxy
is oorrect.
algorithm
LÖSUNG
RESTRIKTIONEN
AN
KAPAZITÁTEN von
M.
DORMÁNY
-
J. HARSÁNYI
Zusammenfassung Nach mit
der
Restriktionen
wurde
des
Beschreibung notwendingen
Prolalems ohne Restriktionen wurden Die Ríchtigkeit Ánderungen behandelt.
die
zur
Lösung des Problems
des modifizierten
Verfahrens
bewiesen.
OIIHOE
BOIBMOXHOE
TPAHCIIOPTHHX
O METOIIA 11118 PEIIIEHPIíI BEHFEPCKOF OBOBIIIEHHE MOIIIHOCIEH SAIIAW C OFPAHHHEHHHMH M.
lloPMAHb-VI. Peaio
HOCJIC
ormcauux
733113111 C ropamweuamn,
38113"!!!
683
XAPlllAHbM Me
K PBLLICHHIO OPPHHINBHHHTPBKTYIOTCJI MONHPHKZILHH TIOTPGÖÍLIC
IJOKHSHBHCTC!
HPGBHIIHOCTL
MBTOIIH. MOIIHÓHIIHPOBRHHOFO
251
TARTALOMJEGYZÉK
Szűcs
Éva: Kisamplitúdójú csatolt ben
Lévai
.
.
A. Cmba
rek
Dormány
l. (A
.
.
.
.
.
.
.
.
.
hullámok .
.
.
.
.
.
inhomogén magnetohidrodinamikai .
.
.
.
.
.
.
A
komplex
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
l
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
feladat .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
közeg.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
kvadratikus
megoldása .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
201
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
217
kiterjesztése. általánosí.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
225
ka-
-
.
189
.
approxi-
Dormány Mihály Harsányi János: A magyar módszer egy lehetséges általánosítása pacitáskorlátozott szállítási feladatok megoldására .
.
hosszúságmérési módsze-
néhány alaptételének
komplex függvénytan számtestekre
.
.
kialakulása; története)
szeparábilis programozási
A
Gabriella: tott
.
-PántorLajos:Hosszúságegységek hosszúságegységek kialakulásának
Mihály:
mációval
Bognár
.
.
.
.
239
.
253
A
NEHÉZIPARI
MÜSZAKI
KÖZLEMÉNYEI
IV.
sorozat
TERMÉSZETTUDOMÁNYOK 26.
KÖTET,
MISKOLC,
4. FÜZET
1985.
EGYETEM
