1

Halmazelmélet 1. el˝oadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék

Halmazelmélet – p. 1/1

A halmaz fogalma, jelölések • A halmaz fogalmát a matematikában nem definiáljuk,

tulajdonságaival körülírt alapfogalomnak tekintjük. • A halmaz bizonyos jól meghatározott, különböz˝o objektumoknak

az összességét jelenti. • A halmazt alkotó objektumok a halmaz elemei, az elem fogalmát

is alapfogalomnak tekintjük. • A halmazokat általában latin nagybet˝ukkel (H, K, L, . . . ),

elemeit pedig latin kisbet˝ukkel (h, k, l, . . . ) jelöljük. • Egy halmazban annak mindegyik eleme csak egyszer fordul el˝o,

és az elemek sorrendje tetsz˝oleges. • Egy halmaz akkor tekinthet˝o adottnak, ha minden elemr˝ol

egyértelm˝uen el tudjuk dönteni, hogy benne van-e az adott halmazban vagy sem.


Halmazok megadása A halmaz megadása az elemeinek megadását jelenti, amely az alábbi módon történhet: • Elemeinek megadásával, felsorolással:

G := {4, 6, 8, 10} H := {1, 2, 3, 4, 5, 6} K := {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} • Elemeit valamely rájuk jellemz˝o pontos tulajdonsággal írjuk le:

L := {páratlan számok} M := {n ≤ 20 | n természetes szám és páros} N := {x | x ∈ R, 0 ≤ x ≤ 10}


Halmazok elemszáma • Ha egy halmaznak véges sok eleme van, akkor véges halmazról

beszélünk. Pl.: H, K és az M . • Ennek ellentétes esete a végtelen halmaz. Pl.: L, N . • Van olyan halmaz is, aminek egy eleme sincs, ez az üres halmaz.

Jele: ∅, {}. Definíció. Két halmaz egyenl˝o, ha elemeik megegyeznek. Például: K = M , de K = L.


Részhalmaz Definíció. A H halmaz a K halmaz részhalmaza, ha a H minden eleme benne van a K halmazban is. Ennek jelölése: H ⊆ K. Ha a H halmaz a K halmaznak részhalmaza, de H = K, akkor a H valódi részhalmaza a K-nak. Ennek jelölése: H ⊂ K. Megjegyzés. Az üres halmaz része minden halmaznak, és minden halmaz része önmagának: ∅ ⊆ H, H ⊆ H. Ezeket a részhalmazokat triviális részhalmazoknak nevezzük. Példa. G ⊂ M , M ⊆ K, K ⊆ M . Tétel. A H és K halmazok pontosan akkor egyenl˝oek, ha H ⊂ K és K ⊂ H tartalmazás egyidej˝uleg fennáll.


Hatványhalmaz Definíció. Egy adott H halmaz összes részhalmazainak halmazát a H hatványhalmazának nevezzük. Jele: P (H), vagy 2H . Példa. Ha H = {a, b, c}, akkor P (H) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}. Tétel. Ha egy H halmaznak n darab eleme van, akkor a P (H) halmaznak 2n eleme van.


Halmazmuveletek ˝ • Unióképzés, • metszetképzés, • két halmaz különbsége, • egy halmaz alaphalmazra vonatkozó komplementere.


Unió Definíció. Két (vagy több) halmaz uniója (egyesítése) azoknak az elemeknek a halmaza, melyek a megadott halmazok közül legalább az egyikben benne vannak. Jele: ∪. Szimbólumokkal: H ∪ K = {x ∈ U | x ∈ H vagy x ∈ K}. Minden H, K, L ⊆ U halmaz esetén az unióképzésre teljesülnek a következ˝o tulajdonságok: • H ∪ K = K ∪ H, azaz kommutatív; • H ∪ (K ∪ L) = (H ∪ K) ∪ L, azaz asszociatív; • H ∪ H = H, azaz idempotens; • H ∪ U = U; • H ∪ ∅ = H.


Metszet Definíció. Két (vagy több) halmaz metszete (közös része) azoknak az elemeknek a halmaza, melyek a megadott halmazok mindegyikében benne vannak. Jele: ∩. Szimbólumokkal: H ∩ K = {x ∈ U | x ∈ H és x ∈ K}. Minden H, K, L ⊆ U halmaz esetén a metszetképzésre teljesülnek a következ˝o tulajdonságok: • H ∩ K = K ∩ H, azaz kommutatív; • H ∩ (K ∩ L) = (H ∩ K) ∩ L, azaz asszociatív; • H ∩ H = H, azaz idempotens; • H ∩ U = H; • H ∩ ∅ = ∅.

Definíció. Azt mondjuk, hogy két halmaz diszjunkt (idegen), ha metszetük az üres halmaz, vagyis ha H ∩ K = ∅. Halmazelmélet – p. 9/1

Unió és metszet kapcsolata Az unió- és metszeteképzésre ∀ H, K, L ⊆ U halmaz esetén teljesülnek az alábbi állítások: •

abszorbciós tulajdonság: H ∪ (H ∩ K) = H, H ∩ (H ∪ K) = H.

•

disztributivitás: (H ∪ K) ∩ L = (H ∩ L) ∪ (K ∩ L), (H ∩ K) ∪ L = (H ∪ L) ∩ (K ∪ L).


Különbség Definíció. A H és K halmaz különbségén a H összes olyan elemének halmazát értjük, melyek nincsenek benne a K halmazban. Jele: H \ K. Szimbólumokkal: H \ K = {x ∈ H |x ∈ / K}.


Komplementer képzés Definíció. A H halmaznak az alaphalmazra vonatkozó komplementere (kiegészít˝o halmaza) az U \ H halmaz. Jele: H c vagy H. Szimbólumokkal: H c = {x ∈ U |x ∈ / H}. Tetsz˝oleges H, K, L ⊆ U halmazra teljesülnek a következ˝ok: • U c = ∅, ∅c = U ; • (K c )c = K: • K ∪ K c = U, K ∩ K c = ∅; • ha K = H, akkor K c = H c ; • K ⊆ H, akkor H c ⊆ K c ; • De Morgan-azonosságok: (K ∩ H)c = K c ∪ H c ,

(K ∪ H)c = K c ∩ H c ; • H \ K = ∅ akkor és csak akkor, ha H ⊆ K.


A természetes számok halmaza Definíció. Az N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . } halmazt a természetes számok halmazának nevezzük. Ebben a halmazban két m˝uveletet értelmezünk, az összeadás és a szorzás m˝uveletét: ∀ n, m ∈ N esetén n + m ∈ N és n · m ∈ N.


Az egész számok halmaza Definíció. A Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} halmazt az egész számok halmazának nevezzük. Ebben a halmazban három m˝uveletet értelmezünk: az összeadás, a kivonás és a szorzás m˝uveletét. ∀ x, y ∈ Z esetén x + y ∈ Z, x − y ∈ Z és x · y ∈ Z. Látható, hogy N ⊂ Z.


A racionális számok halmaza p Definíció. A Q = p, q ∈ Z, q = 0 halmazt a racionális q p számok halmazának nevezzük. A kifejezést közönséges törtnek q mondjuk, melynek p a számlálója, q a nevez˝oje. Ebben a halmazban négy m˝uveletet értelmezünk: az összeadás, a kivonás, a szorzás és az osztás m˝uveletét.

x ∀ x, y ∈ Q esetén x+y ∈ Q, x−y ∈ Q, x·y ∈ Q és ∈ Q (y = 0) y • Látható, hogy ebben a halmazban már a szorzás inverz m˝uvelete,

az osztás is elvégezhet˝o, valamint az, hogy N ⊂ Z ⊂ Q. • A racionális szám tizedestört alakja vagy véges, vagy

szakaszosan ismétl˝od˝o végtelen tizedestört.


A valós számok halmaza Definíció. Léteznek olyan számok, amelyek tizedestört kifejezése végtelen, de nem szakaszosan ismétl˝od˝o. Ezeket irracionális √ számoknak mondjuk. Ilyen számok például a 2 és a π. Definíció. A racionális és az irracionális számok halmazának unióját a valós számok halmazának nevezzük és R-rel jelöljük. R

Q∗

Q Z N


A valós számok kiterjesztése Definíció. Az Rb := R ∪ {−∞, +∞} halmazt a valós számok kib˝ovített halmazának nevezzük. Ebben a halmazban −∞ < +∞ és minden x ∈ R-re teljesül, hogy −∞ < x < ∞. Megjegyzés.Az R+ halmaz a pozitív valós számokat tartalmazza, azaz + R = x∈R x>0 . Definíció. Legyen x ∈ R. Ekkor x + (+∞) = +∞ + x = +∞, x + (−∞) = −∞ + x = −∞ és x x = =0 +∞ −∞


ha x > 0, akkor x · (+∞) = (+∞) · x = +∞, x · (−∞) = (−∞) · x = −∞ ha x < 0, akkor x · (+∞) = (+∞) · x = −∞, x · (−∞) = (−∞) · x = +∞ (+∞) + (+∞) = +∞,

(+∞) · (+∞) = +∞,

(−∞) + (−∞) = −∞,

(−∞) · (−∞) = +∞,

−(+∞) = −∞,

(+∞) · (−∞) = −∞,

−(−∞) = +∞,

(−∞) · (+∞) = −∞


Megjegyzés. Az alábbi szimbólumokat nem értelmezzük:

(1)

(+∞) + (−∞),

(2)

(−∞) + (+∞),

(3)

0 · (+∞),

(4)

0 · (−∞),

(5)

(+∞) · 0,

(6)

(−∞) · 0,

(7) (9)

+∞ , +∞ −∞ , +∞

(8) (10)

+∞ , −∞ −∞ −∞


1

Recommend Documents