1.Asas Logik dan Pembuktian ASAS LOGIK • Logik merupakan dasar dari semua penaakulan (reasoning). • Penaakulan didasarkan pada hubungan antara pernyataanpernyataan (statements). Pernyataan • Ayat deklaratif yang sama ada benar (true) atau palsu (false), tetapi tidak kedua-duanya. • Nama lain pernyataan: proposisi.
Contoh 1. Semua pernyataan di bawah ini adalah proposisi: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)
11 adalah nombor ganjil. SMU 3083 adalah kursus major matematik PPG. 1+1=2 8 ≥ punca bagi persamaan kuadratik x 2 − 64 ≤ 0 . Hari ini adalah hari Sabtu. Untuk semua integer n ≥ 0, maka 2n adalah nombor genap. x + y = y + x untuk nombor-nombor nyata x dan juga y.
Contoh 2. Semua pernyataan di bawah ini bukan proposisi. (a) Pukul berapa pesawat ASA123 tiba di LTA Pulau Pinang? (b) Tolong isilah gelas ini dengan air! (c) x + 3 = 8 (d) x > 3
• Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil p, q, r, …. p : 13 adalah nombor ganjil.
Seminar 1:Asas Logik dan Pembuktian
KORLK Sep2013
2
q : Matematik Diskrit adalah kursus major PPG. r: 2+2=4 Pengait Proposisi dan Simbol • Contohnya p dan q adalah proposisi. 1. Konjungsi (conjunction): p dan q Simbol: p ∧ q, 2. Disjungsi (disjunction): p atau q Simbol: p ∨ q 3. Negasi/Penafian (negation) dari p: bukan p /tidak p Simbol: ∼p atau ¬ p
• p dan q disebut proposisi atomik • Kombinasi p dengan q menghasilkan proposisi majmuk (compound proposition) Contoh 3. Diketahui proposisi-proposisi berikut: p : Hari ini hujan q : Murid-murid membawa payung ke sekolah p ∧ q : Hari ini hujan dan murid-murid membawa payung ke sekolah p ∨ q : Hari ini hujan atau murid-murid membawa payung ke sekolah ∼p : Tidak benar hari ini hujan (atau: Hari ini tidak hujan) Contoh 4. Diketahui proposisi-proposisi berikut: p : Pemuda itu tinggi q : Pemuda itu tampan Nyatakan dalam bentuk simbolik:
Seminar 1:Asas Logik dan Pembuktian
(a) (b) (c) (d) (e) (f)
KORLK Sep2013
Pemuda itu tinggi dan tampan Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan Tidak benar bahawa pemuda itu pendek atau tidak tampan Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan Tidak benar bahawa pemuda itu pendek maupun tampan
Penyelesaian: (a) (b) (c) (d) (e) (f)
p∧q p ∧ ∼q ∼p ∧ ∼q ∼(∼p ∨ ∼q) p ∨ (∼p ∧ q) ∼(∼p ∧ ∼q)
Jadual Kebenaran Simbol nilai kebenaran (truth value): Benar: T atau 1 Palsu: F atau 0 p
q
p∧q
p
q
p∨q
p
∼q
T T F F
T F T F
T F F F
T T F F
T F T F
T T T F
T F
F T
3
Seminar 1:Asas Logik dan Pembuktian
KORLK Sep2013
4
Contoh 5. Contohnya p q
: 17 adalah nombor perdana (benar) : Nombor perdana selalu ganjil (palsu)
p ∧ q : 17 adalah nombor perdana dan nombor perdana selalu ganjil (palsu) Contoh 6. Bina jadual kebenaran dari proposisi majmuk (p ∧ q) ∨ (~q ∧ r). p
q
r
p∧q
T T T T F F F F
T T F F T T F F
T F T F T F T F
T T F F F F F F
~q
~q ∧ r (p ∧ q) ∨ (~q ∧ r) F F T T F F T T
F F T F F F T F
T T T F F F T F
• Proposisi majmuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua kes. • Proposisi majmuk disebut kontradiksi jika ia palsu untuk semua kes. • Proposisi majmuk disebut kontingensi jika ia adalah benar dan juga palsu untuk semua kes. Contoh 7. p T T F F
p ∨ ~(p ∧ q) adalah sebuah tautologi q p∧q ~(p ∧ q) p ∨ ~(p ∧ q) T T F T F F T T T F T T F F T T
Seminar 1:Asas Logik dan Pembuktian
KORLK Sep2013
5
Contoh 8. (p ∧ q) ∧ ~(p ∨ q) adalah sebuah kontradiksi
p
q
p∧q
T T F F
T F T F
T F F F
p∨q
~(p ∨ q)
F T T F
(p ∧ q) ∧ ~(p ∨ q)
F F F T
F F F F
Pernyataan Kesamaan • Dua buah proposisi majmuk, P(p, q, ..) dan Q(p, q, ..) disebut ekivalen secara logik jika keduanya mempunyai jadual kebenaran yang sama nilai kebenaran (truth value). Simbol: P(p, q, …) ⇔ Q(p, q, …) atau P(p, q, …) ≡ Q(p, q, …) Contoh 9. Hukum De Morgan: ~ (p ∧ q) ⇔ ~p ∨ ~q. p
q
T T F F
T F T F
p ∧ q ~ (p ∧ q) T F F F
F T T T
~p
~q
F F T T
F T F T
~p∨~q F T T T
Seminar 1:Asas Logik dan Pembuktian
KORLK Sep2013
Hukum-hukum Logik • Disebut juga hukum-hukum aljabar proposisi. 1. Hukum identiti: p∨F⇔p p∧T⇔p
2. Hukum dominasi: p∧F⇔F p∨T⇔T
3. Hukum negasi: p ∨ ~p ⇔ T p ∧ ~p ⇔ F
4. Hukum idempotent: p∨p⇔p p∧p⇔p
5. Hukum involusi (double negation): ~(~p) ⇔ p
6. Hukum penyerapan (absorption): p ∨ (p ∧ q) ⇔ p p ∧ (p ∨ q) ⇔ p 8. Hukum kalis sekutuan: p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r
7. Hukum kalis tukar tertib: p∨q⇔q∨p p∧q⇔q∧p 9. Hukum kalis agihan: p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
10. Hukum De Morgan: ~(p ∧ q) ⇔ ~p ∨ ~q ~(p ∨ q) ⇔ ~p ∧ ~q
Contoh 10. Tunjukkan bahawa p ∨ ~ (p ∨ q) dan p ∨ ~q keduanya ekivalen secara logik. Penyelesaian: p ∨ ~(p ∨ q ) ⇔ p ∨ (~p ∧ ~q) ⇔ (p ∨ ~p) ∧ (p ∨ ~q) ⇔ T ∧ (p ∨ ~q) ⇔ p ∨ ~q
(Hukum De Morgan) (Hukum kalis agihan) (Hukum negasi) (Hukum identiti)
6
Seminar 1:Asas Logik dan Pembuktian
KORLK Sep2013
7
Contoh 11. Buktikan hukum penyerapan: p ∧ (p ∨ q) ⇔ p Penyelesaian: p ∧ (p ∨ q) ⇔ (p ∨ F) ∧ (p ∨ q) ⇔ p ∨ (F ∧ q) ⇔ p∨F ⇔ p
(Hukum Identiti) (Hukum kalis agihan) (Hukum dominasi) (Hukum identiti)
IMPLIKASI • Bentuk proposisi: “jika p, maka q” • Simbol: p → q • Proposisi p disebut hipotesis, antesenden, premis, atau syarat • Proposisi q disebut kesimpulan (atau akibat). Contoh 12. a. Jika saya lulus ujian, maka saya mendapat hadiah dari ayah b. Jika suhu mencapai 80°C, maka alarm akan berbunyi c. Jika anda tidak mendaftar diri, maka anda dianggap mengundurkan kursus
• Cara-cara mengekspresikan implikasi p → q: (a) Jika p, maka q (b) Jika p, q (c) p mengakibatkan q (p implies q) (d) q jika p (e) p hanya jika q (f) p syarat cukup untuk q (hipotesis menyatakan syarat cukup (sufficient condition) ) (g) q syarat perlu untuk p (akibat menyatakan syarat perlu (necessary condition) ) (h) q bilamana p (q whenever p)
Seminar 1:Asas Logik dan Pembuktian
KORLK Sep2013
8
Contoh 13. Proposisi-proposisi berikut adalah implikasi dalam berbagai bentuk: (a) Jika hari hujan, maka tanaman akan tumbuh subur. (b) Jika tekanan minyak dikuatkan, kereta akan memecut. (c) Orang itu mahu bertolak bersama jika dia diberi tuntutan perjalanan. (d) Ahmad boleh daftar kursus Teori Bahasa Formal hanya jika dia sudah lulus kursus Matematik Diskrit. (e) Syarat perlu untuk Universiti ABC mencapai taraf dunia adalah dengan mengontrak pensyarah asing kenamaan. (f) Banjir terjadi bilamana hujan lebat tidak berhenti-henti sepanjang hari. Contoh 14. Tuliskan proposisi (c) – (f) pada Contoh 13 di atas ke dalam bentuk proposisi “jika p maka q” Penyelesaian: (c) Jika orang itu diberi tuntutan perjalanan, maka dia mahu bertolak bersama. (d) Jika Ahmad mengambil kursus Teori Bahasa Formal, maka dia sudah lulus kursus Matematik Diskrit. (e) Jika Universiti ABC mengontrak pensyarah asing kenamaan, maka ia akan mencapai taraf dunia. (f) Jika hujan lebat tidak berhenti-henti sepanjang hari, maka banjir akan terjadi. • Jadual kebenaran implikasi p
q
p→q
T T F F
T F T F
T F T T
Seminar 1:Asas Logik dan Pembuktian
KORLK Sep2013
9
Contoh 15. Pensyarah: “Jika markah akhir ujian anda adalah 80 atau lebih, maka anda akan mendapat gred A untuk kursus ini”. Adakah pensyarah anda bercakap benar atau dia berbohong? Tinjau empat kes berikut ini: Kes 1: Markah ujian akhir anda di atas 80 (hipotesis benar) dan anda mendapat gred A untuk kursus tersebut (kesimpulan benar). ∴ Pernyataan pensyarah benar. Kes 2: Markah ujian akhir anda di atas 80 (hipotesis benar) tetapi anda tidak mendapat gred A (kesimpulan palsu). ∴ Pensyarah berbohong (pernyataannya palsu). Kes 3: Markah ujian akhir anda di bawah 80 (hipotesis palsu) dan anda mendapat gred A (kesimpulan benar). ∴ Pensyarah anda tidak dapat dikatakan palsu (mungkin dia melihat kemampuan anda secara rata-rata bagus sehingga ia tidak ragu memberi gred A). Kes 4: Markah ujian akhir anda di bawah 80 (hipotesis palsu) dan anda tidak mendapat gred A (kesimpulan palsu). ∴ Pensyarah anda benar. Contoh 16. Tunjukkan bahawa p → q ekivalen secara logik dengan ~ p ∨ q. Penyelesaian: p
q
~p
T T F F
T F T F
F F T T
p→q T F T T
~p∨q T F T T
∴ “Jika p, maka q” ⇔ “Tidak p atau q”.
Seminar 1:Asas Logik dan Pembuktian
KORLK Sep2013
10
Contoh 17. Tentukan negasi dari p → q. Penyelesaian: ~(p → q) ⇔ ~(~p ∨ q) ⇔ ~(~p) ∧ ~q ⇔ p ∧ ~q
Proposisi Bersyarat Konvers/akas (converse) Invers/songsangan (inverse) Kontrapositif (contrapositive)
p
q
~p
T T F F
T F T F
F F T T
: : :
q→p ~p→~q ~q→~p
Implikasi Konvers Invers Kontrapositif ~q p→q q→p ~p→~q ~q→~p F T F T
T F T T
T T F T
T T F T
T F T T
Contoh 18. Tentukan konvers, invers, dan kontrapositif dari: “Jika Amir mempunyai kereta mewah, maka dia orang kaya” Penyelesaian: Konvers
: Jika Amir orang kaya, maka dia mempunyai kereta mewah Invers : Jika Amir tidak mempunyai kereta mewah, maka dia bukan orang kaya Kontrapositif : Jika Amir bukan orang kaya, maka dia tidak mempunyai kereta mewah
Contoh 19. Tentukan kontrapositif dari pernyataan: (a) Jika dia bersalah maka dia dimasukkan ke dalam penjara. (b) Jika 6 lebih besar dari 0 maka 6 bukan nombor negatif. (c) Ivan lulus ujian hanya jika dia belajar.
Seminar 1:Asas Logik dan Pembuktian
KORLK Sep2013
11
(d) Hanya jika dia tidak terlewat maka dia akan mendapat pekerjaan. (e) Perlu ada angin agar layang-layang boleh terbang. Penyelesaian: (a) Jika dia tidak dimasukkan ke dalam penjara, maka ia tidak bersalah. (b) Jika 6 nombor negatif, maka 6 tidak lebih besar dari 0. (c) “Jika Ivan lulus ujian maka ia sudah belajar”. Kontrapositif: “Jika Ivan tidak belajar maka ia tidak lulus ujian” (d) “Jika ia mendapat pekerjaan maka ia tidak terlewat” Kontrapositif: “Jika ia terlewat maka ia tidak akan mendapat pekerjaan itu” (e) “Ada angin adalah syarat perlu agar layang-layang boleh terbang” ekivalen dengan “Jika layang-layang boleh terbang maka ada angin”. Kontrapositif: “Jika tidak ada angin, maka layang-layang tidak boleh terbang”. Bikondisional (Bi-implikasi) • Bentuk proposisi: “p jika dan hanya jika q” • Simbol: p ↔ q p
q
p↔q
T T F F
T F T F
T F F T
Seminar 1:Asas Logik dan Pembuktian
KORLK Sep2013
12
• p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p).
p
q
T T F F
T F T F
p↔q T F F T
p→q
q→p
(p → q) ∧ (q → p)
T F T T
T T F T
T F F T
• Dengan kata lain, pernyataan “p jika dan hanya jika q” dapat dibaca “Jika p maka q dan jika q maka p”. • Cara-cara menyatakan bikondisional p ↔ q: (a) p jika dan hanya jika q. (b) p adalah syarat perlu dan cukup untuk q. (c) Jika p maka q, dan sebaliknya. (d) p iff q Contoh 20. Proposisi majmuk berikut adalah bi-implikasi: (a) 1 + 1 = 2 jika dan hanya jika 2 + 2 = 4. (b) Syarat cukup dan syarat perlu agar hari hujan adalah kelembapan udara tinggi. (c) Jika anda orang kaya maka anda mempunyai banyak wang, dan sebaliknya. (d) x 2 − 2 x − 3 ≤ 0 iff − 1 ≤ x ≤ 3 . Contoh 21. Tuliskan setiap proposisi berikut ke dalam bentuk “p jika dan hanya jika q”: (a) Jika cuaca di luar panas maka anda membeli ais krim, dan jika anda membeli ais krim maka cuaca di luar panas. (b) Syarat cukup dan perlu agar anda memenangi pertandingan adalah anda menjalankan banyak latihan. (c) Jika anda memandang skrin komputer berterusan tanpa rehat maka mata anda lelah, begitu sebaliknya.
Seminar 1:Asas Logik dan Pembuktian
KORLK Sep2013
13
Penyelesaian: (a) Anda membeli ais krim jika dan hanya jika cuaca di luar panas. (b) Anda menjalankan banyak latihan adalah syarat perlu dan cukup untuk anda memenangi pertandingan. (c) Mata anda lelah jika dan hanya jika anda memandang skrin komputer berterusan tanpa rehat.
• Bila dua proposisi majmuk yang ekivalen di-biimplikasikan, maka hasilnya adalah tautologi. Teorem: Dua buah proposisi majmuk, P(p, q, ..) dan Q(p, q, ..) disebut ekivalen secara logik, dilambangkan dengan P(p, q, …) ⇔ Q(p, q, …), jika P ↔ Q adalah tautologi.
HUJAH • Hujah mengandungi suatu urutan pernyataan yang dikenali sebagai premis dan satu pernyataan yang dipanggil kesimpulan. • Sesuatu hujah adalah sah jika kesimpulan adalah benar bilamana (whenever) kesemua premisnya adalah benar. • Premis adalah suatu andaian yang dianggapkan benar. Jika implikasi p → q adalah satu tautologi, di mana p dan q adalah pernyataan majmuk, maka q adalah logik mengikut p. Misalnya bagi suatu implikasi dalam bentuk p1, p2, p3, p4, p5 → q adalah satu tautology.Ini bermakna jika p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ p4 ∧ p5 adalah benar, maka q adalah benar. p1, p2, p3, p4, p5 dikenali sebagai hipotesis atau premis manakala q adalah kesimpulan.
Seminar 1:Asas Logik dan Pembuktian
KORLK Sep2013
14
Pembuktian Bagi membuktikan sesuatu hujah adalah sah atau kesimpulan adalah logik berdasarkan hipotesis, dua syarat yang berikut dipertimbangkan: • Andaikan kesemua hipotesis adalah benar • Gunakan hukum-hukum inferens dan ekuivalens logik untuk menentukan kesimpulannya adalah benar. Contoh 22. Guna jadual kebenaran, buktikan kesahan bagi hujah-hujah yang berikut: a)
p∧q ∴p
Penyelesaian: Dalam bentuk implikasi: (p ∧ q)
→
p
p q
p∧ q
(p ∧ q)
1 1
1
1
1 0
0
1
0 1
0
1
0 0
0
1
→
p
Nota: 1= benar; 0 = palsu. Oleh sebab implikasi di atas adalah satu tautologi, maka hujah adalah sah.
Seminar 1:Asas Logik dan Pembuktian
b)
KORLK Sep2013
¬q p→q ∴ ¬p
Dalam bentuk implikasi: q ∧ (p →q) p
q
p
q p
→
→
p q ∧ (p →q)
q ∧ (p → q)
q
→
p
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
Oleh sebab implikasi di atas adalah satu tautologi, maka hujah adalah sah.
Peraturan Inferens p q
Konjungsi
∴p∧q
p ∴p∨q p∧q ∴p
Penambahan Simplifikasi
p p→q
Modus ponens
∴q ¬q p→q ∴ ¬p
Modus tollens
15
Seminar 1:Asas Logik dan Pembuktian
KORLK Sep2013
p→q q→r
Sigolisma
∴p→r
hipotesisan
p∨q ¬p
Sigolisma disjungsi
∴q ~ p→C
Kontradiksi
∴p
p→q⇔ ~q→~ p p→q⇔ ~ p∨ q
Kontrapositif Identiti bersyarat
Contoh 23. Diberi: Cuaca hari ini tidak selesa dan lebih panas daripada semalam. Kita akan pergi berenang jika cuaca lebih panas daripada semalam. Jika kita tidak pergi berenang, maka kita akan naik perahu. Jika kita naik perahu, maka kita akan balik pada waktu senja. Tukarkan ayat (premis) ke dalam bentuk simbol: p = cuaca hari ini selesa
Mula dengan premis yang positif.
q = cuaca lebih panas daripada semalam r = kita akan pergi berenang s = kita akan naik perahu t = kita akan balik pada waktu senja
16
Seminar 1:Asas Logik dan Pembuktian
Premis
:
~p
KORLK Sep2013 ∧
17
q,
r → p, ~ r → s, s→ t Kesimpulan
:
t
Biasanya kesimpulan ada pada premis terakhir yang mula dengan “maka”. Bukti: 1.
~p
2.
r→p
Premis 2
3.
~r→s
Premis 3
4
s→ t
Premis 4
5
~p
1, Simplifikasi
6
~r
2, 5 Modus tollens
7.
~r→t
3, 4 Sigolisma hipotesisan
8.
t
6, 7 Modus ponens
∧
q
Premis 1
Kesimpulannya kita akan balik pada waktu senja. Contoh 24. Buktikan kesahan hujah yang berikut: Jika saya belajar bersungguh-sungguh atau menjawab semua soalan dalam buku teks, maka saya akan lulus ujian tersebut. Jika saya lulus ujian tersebut, maka ayah saya senang hati. Akan tetapi ayah saya tidak senang
Seminar 1:Asas Logik dan Pembuktian
KORLK Sep2013
hati. Maka, saya tidak menjawab semua soalan dalam buku teks.
Penyelesaian: Proposisi asas (primary propositions) dalam hujah: p:
Saya belajar bersungguh-sungguh
q:
Saya menjawab semua soalan dalam buku teks
r:
Saya akan lulus ujian tersebut
s:
Ayah saya senang hati
Wakilkan setiap premis dalam bentuk simbol: 1.
(p ∨ q)
2
r
3.
~s
(premis 3)
∴~q
(kesimpulan)
→
→
r
s
(premis 1) (premis 2)
Hujah dan alasan: 1.
(p ∨ q)
2.
r→s
premis 2
3.
~s
premis 3
4.
(p ∨ q)
→
5.
~ (p
q)
6.
~p ∧ ~q
5 Hukum De Morgan
7.
~q ∧ ~p
6 Hukum kalis tukar tertib
8.
~q
7 Simplifikasi
∨
→
r
s
premis 1
1, 2 Sigolisma hipotesisan 3, 4 Modus tollens
Q. E. D.
18
Seminar 1:Asas Logik dan Pembuktian
KORLK Sep2013
19
LATIHAN LANJUTAN 1.
Tentukan sama ada pernyataan yang berikut adalah tautologi, kontradisi atau kontingensi menggunakan Jadual Kebenaran.
2.
a)
p v (p → q)
b)
(p ∧ q)
c)
p ∧ (p → ~q) ∨ ~r
→
~q
↔ ~p
Tunjukkan
pernyataan-pernyataan
ekuivalens
secara
logik
dengan
yang
berikut
adalah
menggunakan
Jadual
Kebenaran: a) ~ (p → q) ⇔ p ∧ ~ q b) [p → (q ∨ r)] ⇔ [~r
→
(p → q)]
3.
Tentukan kesahan hujah-hujah menggunakan Jadual Kebenaran:
a)
p↔q qvr ~ r ∴ ~ p
b)
~p ↔ q q→ r ~r ------------∴p
yang
berikut
dengan
Seminar 1:Asas Logik dan Pembuktian
4.
Buktikan
kesahan
hujah-hujah
KORLK Sep2013
yang
berikut
20
dengan
menggunakan peraturan inferens:
a)
Mata saya tidak merah. Jika badan saya letih, maka mata saya akan jadi merah. Oleh itu, badan saya tidak letih.
b)
w adalah nombor genap. Jika w adalah nombor genap, maka w2 adalah nombor genap. Oleh itu, w2 adalah nombor genap.
c)
Jika semua komputer diserang virus, maka banyak urusan perbankan akan gagal. Jika banyak urusan perbankan gagal, maka bilangan pelaburan akan berkurangan. Semua komputer diserang virus dan banyak urusan perbankan gagal. Maka, bilangan pelaburan berkurangan.
5.
Permudahkan pernyataan yang berikut dengan menggunakan hukum-hukum logik:
(~ a → b ) ∧ (~ a ∨ b )
Selamat mencuba!
