1.5. DYNAMIKA OTÁČIVÉHO A SLOŽENÉHO POHYBU TĚLESA

SPŠ a VOŠ KLADNO

DYNAMIKA

1.5. DYNAMIKA OTÁČIVÉHO A SLOŽENÉHO POHYBU TĚLESA 1.5.1 ZÁKLADNÍ ROVNICE DYNAMIKY PRO ROTAČNÍ POHYB Fz

FZ

a1t

∆m1.a1n

r

z

∆m

Zrychlující moment

F2

M  Fz .rz  Fzi .ri

F1 1

∆m . a 1

a1n

r2

ρ

výslednice zrychlujících sil

Setrvačné síly

ω,ε

1t

m1.at1  M1  m1.at1.1

3

r

r6,5cm 1

m1.an1  M1  0

F3

D’Alambertův princip Podmínka rovnováhy:

M i  0

a

Fi .ri  mi .ati .i  0 , kde   t  2 Fi .ri  mi . .i  0

Fz .rz   .mi .i  0 2

Fz .rz   .J  0

M  Fz .rz  J . základní rovnice dynamiky pro rotační pohyb, kde J  m . kgm  je moment setrvačnosti tělesa 2

i

2

i

-1-

SPŠ a VOŠ KLADNO

DYNAMIKA

1.5.2 MOMENTY SETRVAČNOSTI TĚLES Moment setrvačnosti je mírou setrvačných účinků tělesa při rotačním pohybu. Tato veličina závisí na hmotnostech elementů tělesa a na jejich rozložení vzhledem k rotační ose. Setrvačnost hmotných elementů se uplatňuje s druhou mocninou jejich vzdáleností od osy rotace. Elementární moment setrvačnosti hmotného bodu o elementární hmotnosti mi ( i  1,2,..., n ) vzdáleného od osy otáčení ri je dán výrazem 2 J i  mi .ri Celkový moment setrvačnosti tělesa k dané ose

Δmi ri O

n

n

J   J i   mi ri i 1

2

kg.m  2

i 1

Je-li moment setrvačnosti vztažen k ose procházející těžištěm tělesa, označuje se J 0 a nazývá se centrálním momentem setrvačnosti

Nahrazení tělesa hmotným bodem Δmi ri

V technické praxi často potřebujeme převést (redukovat) hmotnost otáčejícího se tělesa s momentem setrvačnost J 0 do jednoho hmotného bodu. Potom musí platit J těěles  J hmot.bodu

O

Redukovaná hmotnost Je-li předepsána vzdálenost r hmotného bodu od osy otáčení, musí platit J 0  mr .r 2 . J Odtud mr  20 je redukovaná hmotnost. r Takto lze redukovat např. hmotnost setrvačníku do čepu kliky, hmotnost navíjecího bubnu na jeho obvod apod.

Poloměr setrvačnosti Soustředíme-li hmotnost tělesa do jednoho hmotného bodu, bude jeho vzdálenost j od osy rotace odvozena ze vztahu J0 J0  m . j2  j  , kde jm …poloměr setrvačnosti m

Setrvačný moment Místo momentu setrvačnosti se při výpočtech setrvačníků a rotačních části často používá J výraz setrvačný moment - m.D 2 , kde D  2 j  2 0 m

-2-

SPŠ a VOŠ KLADNO

DYNAMIKA

Přehled momentů setrvačnosti základních geometrických těles

0

l

Tyč k ose procházející koncovým bodem

α

Momenty setrvačnosti (u složených těles) lze slučovat

-3-

ml 2 sin 2  3

SPŠ a VOŠ KLADNO

DYNAMIKA

Pozn. Při výpočtu momentu setrvačnosti těles předpokládáme spojitě rozloženou n

n

i 1

i 1

hmotnost. Pak sumace nekonečné řady J   J i   mi ri přejde na určitý integrál, kde 2

integraci provádíme přes hmotnost m tělesa. Je-li těleso homogenní, pak dm  .dV ,   konst. a dV je element objemu. potom J    r 2 dV . Integraci provádíme přes celý objem tělesa V

Příklad Vypočtěte moment setrvačnosti homogenního kruhového válce k jeho rotační ose. Válec má poloměr R a hmotnost m.

J    r 2 dV , kde dV  2lr.dr V

R

R

1 1 Potom J    r 2 dV  2l  r 3dr  lR 4  mR2 , kde m  r 2l 2 2 0 0

Příklad Vypočtěte moment setrvačnosti homogenní koule o hmotnosti m a poloměru R vzhledem k ose, která prochází jejím středem. Kouli si představíme složenou z elementárních desek (vrstev) o poloměru r a tloušťce dy. Deska má v souladu s elementární moment setrvačnosti 1 dJ  r 2 dm , kde dm  r 2 dy , r 2  R 2  y 2 . Po integraci 2  R 2 8 2 dostaneme J  R  y 2 dy  R5  mR2 , kde  2 R 15 5 4 m  R 3  je hmotnost koule. 3



-4-



SPŠ a VOŠ KLADNO

DYNAMIKA

MOMENTY SETRVAČNOSTI K OSÁM ROVNOBĚŽNÝM S OSOU PROCHÁZEJÍCÍ TĚŽIŠTĚM Steinerova věta

-5-

SPŠ a VOŠ KLADNO

DYNAMIKA

1.5.3 IMPULS MOMENTU A MOMENT HYBNOSTI Točivý moment vnější síly na těleso:

M   .I 0 , kde   M  I0.

 t

 t

/.t

M .t  I 0 .

M.t impuls momentu

I 0 . moment hybnosti

Je-li 0 – počáteční úhlová rychlost  - konečná úhlová rychlost, pak

M .t  I 0 .  0 

I 0 .  0  - 2.impulsová věta: Výsledný t moment vnějších sil k libovolnému pevnému bodu nebo ose je roven časové změně momentu hybnosti soustavy hmotných bodů k témuž bodu nebo ose 

M

-6-

SPŠ a VOŠ KLADNO

DYNAMIKA

1.5.4. KINETICKÁ ENERGIE ROTUJÍCÍHO TĚLESA Uvažujme libovolné nepravidelné těleso rotující konstantní úhlovou rychlostí  kolem pevné osy. Pokud si vybereme nějaký maličký kousek tělesa o hmotnosti mi, můžeme určit jeho kinetickou energii jako

Ek 

1 2 mi .vi 2

(1)

kde vi je obvodová rychlost tohoto elementárního hmotného bodu k ose daná vztahem

vi  ri .

(2)

kde ri je kolmá vzdálenost bodu od osy otáčení. Takovýmto způsobem můžeme vyjádřit kinetickou energii všech elem. hmotných bodů, ze kterých je těleso tvořeno a celkovou kinetickou energii rotačního pohybu tělesa pak získáme jako součet všech elementárních energií energií:

1 2 Ek  Eki   mi .vi 2

(3)

Dosadíme-li za obvodovou rychlost ze vztahu (2), dostáváme pro kinetickou energii rotačního pohybu tělesa výraz:

1 2 Ek   mi .ri . 2 2

(4) kde výraz

mi .ri  I 2

je

momentem setrvačnosti tělesa

Ek 

1 I . 2 2

(5)

Moment setrvačnosti tělesa je ovlivněn rozložením hmoty v tělese. Pokud je hmota soustředěna blízko u osy otáčení je moment setrvačnosti malý, stejně těžké těleso s hmotou rozprostřenou dále od osy otáčení má moment setrvačnosti větší.

-7-

SPŠ a VOŠ KLADNO

DYNAMIKA

1.5.5 ZMĚNA ROTAČNÍ ENERGIE – PRÁCE ZRYCHLUJÍCÍCH SIL

Těleso se rovnoměrně otáčí úhlovou rychlostí 0 kolem pevné osy o´ Účinkem momentu zrychlujících sil (F1, F2,… F) M = F.r se otáčivý pohyb tělesa začne zrychlovat.

Pootočením o úhel  vykoná zrychlující moment práci: W = F.s = F.r.  = M.  W  M .

Tato práce zvětší počáteční energii tělesa z energii tělesa Ek 0 

Ek 0 

1 2 I 0'0 na pohybovou 2

1 I 0' 2 , kde I 0 ' …moment setrvačnosti tělesa k ose 2

otáčení 0‘. Práce zrychlujícího momentu se pak rovná přírůstku rotační energie tělesa:

W  M .´



1 1 1 2 2 I 0 '  2  I 0 ' 0  I 0 '  2   0 2 2 2

Pro pohyb z klidu, kdy 0 = 0, platí:

W  M . 

1 I 0' 2 2

-8-



SPŠ a VOŠ KLADNO

DYNAMIKA

1.5.6 ODSTŘEDIVÁ SÍLA TĚLESA Odstředivá síla tělesa řešena podobně jak odstředivá síla hmotného bodu, kdy hmotnost tělesa je soustředěna do těžiště Fc  m.an  m.rT . 2

Otáčející se tyč Fc  m.a n  m.rT . 2 

1 m.r. 2 2

Působištěm odstředivé síly je však těžiště trojúhelníku dílčích odstředivých sil T 

Těleso s osou rovnoběžnou s osou otáčení

Fc  m.an  m.rT . 2  m.r0 . 2

-9-

SPŠ a VOŠ KLADNO

DYNAMIKA

KRITICKÉ OTÁČKY

e

Průhyb nosníku při působení odstředivé síly (ze stroj.tab.)

° T

l/2

l/2

y

Fc l 3 , kde Fc  m y  e 2 48EJ

y

m y  e  2l 3 48EJ

y 48EJ  ym 2l 3  em 2l 3



e y

T°



y 48EJ  m 2l 3  em 2l 3 em 2l 3 e y  2 3 48 EJ 48EJ  m l 1 m 2l 3

S rostoucí  se zvětšuje y. Blíží-li se jmenovatel nule, roste y nade všechny meze a hrozí porušení hřídele 48EJ 1  0  m 2l 3

 nkrit 

g ymax



48EJ  ml 3

48EJ  G 3 l g

g Gl 3 48EJ

, kde ymax je největší průhyb způsobený vlastní tíhou hřídele

 1  2 2

g ymax

- 10 -

SPŠ a VOŠ KLADNO

DYNAMIKA

Posuvný pohyb

Otáčivý pohyb m J0 moment setrvačnosti v úhlová rychlost  a úhlové zrychlení   s úhel pootočení F M točivý moment Základní rovnice dynamiky

hmotnost rychlost zrychlení dráha síla

M  J 0 .

F  m.a

Fs  m.a

setrvačná síla F .t  mv  v0 

M s  J 0 .

Impulz a hybnost

moment setrvačných sil M .t  J 0   0 

práce zrychlující síly (momentu) = přírůstek kinetické energie W  F .s 

1 2 m(v 2  v0 ) 2

W  M . 



1 2 J 0  2  0 2



Výkon P  M .

P  F .v

1.5.7 POHYBOVÁ ENERGIE PŘI OBECNÉM POHYBU

Při obecném pohybu se těleso otáčí úhlovou rychlostí  kolem okamžité osy otáčení 0´.

Užitím Steinerovy věty:

r

Ek 

0

ω 0'

v

1 1 1 1 I 0' . 2   2 ( I 0  mr 2 )  I 0 . 2  m.r 2 . 2 2 2 2 2

Ek 

1 1 I 0 2  m.v 2 2 2

Obecný pohyb v tomto případě = rotace úhlovou rychlostí  + posun rychlostí v - 11 -