14 Lineair programmeren

9

a q ˆ 5 geeft TK ˆ 23,5 en TO ˆ 30 De winst is dus 30 000 23 500 ˆ 6500 euro. b Voer in y1 ˆ 0,1x3 x2 ‡ 6x ‡ 6 en y2 ˆ 6x. De optie intersect geeft x  2,909 en x  9,307. Dus bij een productie van 2909 en 9307 teddyberen. c W ˆ TO TK ˆ 6q …0,1q3 q2 ‡ 6q ‡ 6† ˆ 6q 0,1q3 ‡ q2 6q 6 ˆ 0,1q3 ‡ q2 6 dW ˆ dq

W

0,3q2 ‡ 2q

dW ˆ 0 geeft dq

0,3q2 ‡ 2q ˆ 0

q… 0,3q ‡ 2† ˆ 0 qˆ0 _ 0,3q ‡ 2 ˆ 0 qˆ0 _ 0,3q ˆ 2 q ˆ 0 _ q  6,667 De winst is maximaal bij een productie van 6667 teddyberen.

O

6,667

q

14 Lineair programmeren bladzijde173 10

a

A 70

x

70 – x

y

D 100

B 50

100 – x – y

C

50 – y

E 50

30 – (100 – x – y) = x + y – 70

30

b Beperkende voorwaarden: x  0 en y  0 en 100 x y  0 ofwel x ‡ y  100 en 70 x  0 ofwel x  70 en 50 y  0 ofwel y  50 en x ‡ y 70  0 ofwel x ‡ y  70. Doelfunctie T ˆ 0,40x ‡ 0,70y ‡ 0,80…100 x y† ‡ 0,50…70 x† ‡ 0,60…50 y† ‡ 0,75…x ‡ y 70† ˆ 0,40x ‡ 0,70y ‡ 80 0,80x 0,80y ‡ 35 0,50x ‡ 30 0,60y ‡ 0,75x ‡ 0,75y 52,50 ˆ 0,15x ‡ 0,05y ‡ 92,50.

132 Gemengde opgaven

c Grenslijnen x ˆ 0, y ˆ 0, x ‡ y ˆ 100, x ˆ 70, y ˆ 50 en x ‡ y ˆ 70. y

100

x

x = 70

+

y = 10

80

0

60

y = 50

C D 40

B x +

y =

20

70

O

20

60 A

40

80

100

x

Het toegestane gebied bestaat uit de roosterpunten op en binnen de vierhoek ABCD. hoekpunt

Tˆ

0,15x ‡ 0,05y ‡ 92,50

A…70; 0†

82

B…70; 30†

83,50

C…50; 50†

87,50

D…20; 50†

92

minimaal

Tmin ˆ 82 euro voor …x; y† ˆ …70; 0†. d Het duurste programma is …x; y† ˆ …20; 50†. Je zit dan in punt D…20; 50†, zie de tabel bij vraag c. Men is dan 92 82 ˆ 10 euro meer kwijt. e Beperkende voorwaarden: x  0, y  0, x ‡ y  85, x  70, y  50 en x ‡ y  55. y x = 70 x

80

+

y = 85

y = 50

D E 40

x +

y

20

= 55

C

O

20

40

A

B 80

x

Het toegestane gebied bestaat uit de roosterpunten op en binnen de vijfhoek ABCDE. Doelfunctie T ˆ 0,40x ‡ 0,70y ‡ 0,80…85 x y† ‡ 0,50…70 x† ‡ 0,60…50 y† ‡ 0,75…x ‡ y 55† ˆ 0,15x ‡ 0,05y ‡ 91,75.

Gemengde opgaven 133

hoekpunt

Tˆ

0,15x ‡ 0,05y ‡ 91,75

A…55; 0†

83,50

B…70; 0†

81,25

C…70; 15†

82

D…35; 50†

89

E…5; 50†

93,50

minimaal

De minimale transportkosten op 15 augustus zijn dus 81,25 euro. bladzijde174 11

a Langzaam levert 20
12 ˆ 240 zittingen. Matig levert 100
8 ˆ 800 zittingen. Dus snel levert 1320 …240 ‡ 800† ˆ 280 zittingen.

5

Er worden dus 280 ˆ 56 platen snel gezaagd. 5 Totale zaagtijd ˆ 20
24 ‡ 100
12 ‡ 56
6 ˆ 2016 minuten ˆ 33,6 uur. Kosten ˆ 33,6
220 ‡ …20 ‡ 100 ‡ 56†
8 ˆ E 8800, b Er geldt 12x ‡ 8y ‡ 5z ˆ 1320 5z ˆ 1320 12x 8y z ˆ 264 2,4x 1,6y  c Er geldt x ‡ y ‡ z  180 x ‡ y ‡ 264 2,4x 1,6y  180 z ˆ 264 2,4x 1,6y 1,4x 0,6y  84  5 7x ‡ 3y  420 bladzijde175

d Er geldt z  0, dus 264 2,4x 1,6y  0 2,4x 1,6y  264 3x ‡ 2y  330 Voor de zaagtijd geldt 24x ‡ 12y ‡ 6z  34
60 24x ‡ 12y ‡ 6
…264 2,4x 1,6y†  2040 24x ‡ 12y ‡ 1584 14,4x 9,6y  2040 9,6x ‡ 2,4y  456 4x ‡ y  190 e Voor de kosten K geldt K ˆ …x ‡ y ‡ z†
8 ‡ …0,4x ‡ 0,2y ‡ 0,1z†
220 ˆ 8x ‡ 8y ‡ 8z ‡ 88x ‡ 44y ‡ 22z ˆ 96x ‡ 52y ‡ 30…264 2,4x 1,6y† ˆ 96x ‡ 52y ‡ 7920 72x 48y ˆ 24x ‡ 4y ‡ 7920 Zie de figuur met de isolijn K ˆ 8400 door de punten (20, 0) en (0, 120).

134 Gemengde opgaven

y

S R P

100

Q 3x

90

y=1

420

0 33

y=

y=

+3

+2

7x

K = K min

4x +

0

K = 840 O

x

100

De lijn Kmin gaat door P…0; 140†, dus Kmin ˆ 24
0 ‡ 4
140 ‡ 7920 ˆ E 8480, x ˆ 0 en y ˆ 140 geeft z ˆ 264 2,4
0 1,6
140 ˆ 40. Dus 0 platen in langzaam, 140 platen in matig en 40 platen in snel. De beperkende voorwaarden zijn ^ 1000W 1 ‡ 2000W 2  300 000 (grondexploitatie) ^ 200W 1 ‡ 300W 2  60 000 (grondgebruik) ^ W 1  75 (aantal W 1) ^ W2  W1 (aantal W 2) Teken de lijnen 1000W 1 ‡ 2000W 2 ˆ 300 000 ofwel W 1 ‡ 2W 2 ˆ 300, 200W 1 ‡ 300W 2 ˆ 60 000 ofwel 2W 1 ‡ 3W 2 ˆ 600, W 1 ˆ 75 en W 2 ˆ W 1. W1 300 =

1

W 1 = 75

W

2

12

W 200

D C 100

A

2W

B W1

1+

+2

3W

W2

2

=6

00

=3

00

O

100

200

W2 300

Vierhoek ABCD is het toegestane gebied.

Gemengde opgaven 135

W 1 ‡ W 2 wordt maximaal in het punt C.  2W 1 ‡ 3W 2 ˆ 600 W2 ˆ W1 Dit geeft 5W 1 ˆ 600, dus W 1 ˆ 120. Dus W 1 ‡ W 2 is maximaal 120 ‡ 120 ˆ 240. Voor maximale winst moet 3000W 1 ‡ 5000W 2 maximaal zijn. punt

3000W 1 ‡ 5000W 2

A…75; 112,5† B…100; 100† C…120; 120† D…75; 150†

787 500 800 000 960 000 975 000

maximaal

Voor een maximale winst moeten 75 ‡ 150 ˆ 225 woningen worden gebouwd. Dit scheelt 240 225 ˆ 15 woningen met de doelstelling van de gemeente. bladzijde176 13

a

A 30

x

30 – x

y

I

B

50

30 – y

II 70

30

50 – x – y

C

30 – (50 – x – y ) = x + y – 20

30

Zo krijg je

NAAR

A VAN

I II

30

x

B x

30

y

C 50 x y y x ‡ y 20

! ˆV

b T ˆ 12x ‡ 15y ‡ 15…50 x y† ‡ 15…30 x† ‡ 17…30 y† ‡ 12…x ‡ y 20† ˆ 12x ‡ 15y ‡ 750 15x 15y ‡ 450 15x ‡ 510 17y ‡ 12x ‡ 12y 240, dus T ˆ 6x 5y ‡ 1470. c Beperkende voorwaarden x  0 en y  0 en 50 x y  0 en 30 x  0 en 30 y  0 en x ‡ y 20  0 ofwel x  0 en y  0 en x ‡ y  50 en x  30 en y  30 en x ‡ y  20. Grenslijnen x ˆ 0, y ˆ 0, x ‡ y ˆ 50, x ˆ 30, y ˆ 30 en x ‡ y ˆ 20.

136 Gemengde opgaven

y x = 30

x +

y =

40

50

E

20

y = 30

D

F

C

x +

y

10

= 20

A O

10

B

20

40

x

Het toegestane gebied bestaat uit de roosterpunten op en binnen zeshoek ABCDEF . hoekpunt

Tˆ

6x

5y ‡ 1470

A…20; 0†

1350

B…30; 0†

1290

C…30; 20†

1190

D…20; 30†

1200

E…0; 30†

1320

F …0; 20†

1370

minimaal

De minimale vervoerskosten zijn 1190 euro. 14

a Bedrag belegd in onroerend goed ˆ 300 x y Jaarlijkse opbrengst ˆ 0,08x ‡ 0,07y ‡ 0,09…300 x y† ˆ 0,08x ‡ 0,07y ‡ 27 0,09x 0,09y ˆ 27 0,01x 0,02y b Beperkende voorwaarden: x  30 en y  30 en 300 x x ‡ y  150 en x  2y.

y  30 ofwel x ‡ y  270 en

Gemengde opgaven 137

c Grenslijnen x ˆ 30, y ˆ 30, x ‡ y ˆ 270, x ‡ y ˆ 150 en x ˆ 2y. y

C

240

210

x

180

+

y = 27

120

0

150

x=

D

x

90

2y

+

B

y = 15 0

60

x = 30

O

A

60

90

y = 30

120

150

180

210

240

x

Het toegestane gebied is de vierhoek ABCD met binnengebied. d hoekpunt O ˆ 27 0,01x 0,02y A…100; 50†

25

B…180; 90†

23,4

C…30; 240†

21,9

D…30; 120†

24,3

maximaal

Maximale opbrengst bij de verdeling 100 miljoen in aandelen, 50 miljoen in obligaties en 300 100 50 ˆ 150 miljoen in onroerend goed. Omax ˆ 25 miljoen euro. e De doelfunctie wordt O ˆ 0,01px ‡ 0,07y ‡ 0,09…300 x y†, dus O ˆ 27 ‡ …0,01p 0,09†x 0,02y. Evenwijdig met AB. 0,01p 0,09 ˆ 1 0,02 2 0,02p ‡ 0,18 ˆ 0,02 0,02p ˆ 0,20 p ˆ 10 Dit geeft O ˆ 27 ‡ 0,01x 0,02y, dus Omax ˆ 27 ‡ 0,01
100 0,02
50 ˆ 27 miljoen euro. Je krijgt

138 Gemengde opgaven

Evenwijdig met AD. 0,01p 0,09 1 ˆ 0,02 1 0,01p 0,09 ˆ 0,02 0,01p ˆ 0,07 pˆ7 Dit geeft O ˆ 27 0,02x 0,02y, dus Omax ˆ 27 0,02
100 0,02
50 ˆ 24 miljoen euro.

Je krijgt

Evenwijdig met CD. Je krijgt

0,01p 0,09 1 ˆ en dit levert geen p op. 0 0,02

bladzijde177 15

a Invoeren van de doelfunctie en de beperkende voorwaarden in de computer levert de volgende uitvoer.

Je leest af Wmax ˆ 6900 euro. b Omdat bij voorwaarde 1 (de plaatwerkerij) de schaduwprijs groter dan nul is zal het inzetten van extra arbeidstijd op de plaatwerkerij tot een verhoging van de winst leiden.

Gemengde opgaven 139

c Proberen geeft bij voorwaarde 1 het rechterlid vervangen in 177 als uitvoer.

Rechterlid 178 geeft als uitvoer

Vergelijk de eerste uitvoer met de uitvoer van vraag a. Op de elektro-afdeling is de arbeidstijd met 22 0,75 ˆ 21,25 uur toegenomen. Op de montage-afdeling I is de arbeidstijd met 82,5 66,5625 ˆ 15,9375 uur toegenomen. Op de controle-afdeling is de arbeidstijd met 6 1,75 ˆ 4,25 uur toegenomen. In totaal is de arbeidstijd met 21,25 ‡ 15,9375 ‡ 4,25  41,5 uur toegenomen.

140 Gemengde opgaven