@131
13. Exponenciální a logaritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dána předpisem
f: y = xr , rR, x>0 Exponent r je konstanta a x je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze všechna kladná reálná čísla. Když zaměníme konstantu a nezávisle proměnnou, dostaneme předpis
g: y = ax , xR, a>0 kde základ a smí být pouze kladný reálný, a>0, a nezávisle proměnná x, exponent, může nabývat libovolné reálné hodnoty. Úkol: Existuje jedna hodnota základu a>0, pro kterou dostaneme již dříve známou funkci. Která je to hodnota a která je to funkce? výsledek
@134
Úkol: Je číslo (
13 0 , 7 ) větší nebo menší než jedna? Nepoužijte kalkulačku ale mozek. 7
je větší než 1 je menší než 1 zpět
@137 Co je expa(-x)?
expa ( x ) a x
1 1 ( ) x exp1 ( x ) x a a a
Funkce exponenciální o základu a je osově souměrná s exponenciální funkcí o základu 1/a. Příklad: Pro který základ a platí expa2 = 25? Řešení: Zápis znamená expa2 = a2 = 25
=> a = 5
Úkol: Určete základy exponenciálních funkcí, pro které platí: expa4 = 16 expb(-1) = 2 expc(-1/2) = 1/2 expd(1/3) = 3 expe1 = -2 výsledek zpět
@140 Exponenciální funkce je prostá a proto k ní existuje inverzní funkce. Její definice následuje: Definice: Funkce inverzní k funkci exponenciální o základu a se nazývá logaritmická funkce o základu a, aR+\{1}. Značí se
y = logax Je-li a = e = 2,7182818, pak mluvíme o přirozeném logaritmu a značíme jej ln (někdy lg). Je-li a = 10, pak mluvíme o dekadickém logaritmu a značíme jej log. Poznámka: Funkce inverzní k logaritmické funkci je exponenciální funkce o stejném základu a naopak. Úkol: Na základě znalostí o průběhu exponenciální funkce, popište vlastnosti průběhu logaritmické funkce: - definiční obor a obor hodnot - význačné body, průsečíky - asymptoty - monotonost - grafem je logaritmická křivka, udělejte náčrtky výsledek zpět
@143 Úvaha:
Studujme mocninu
u = at
Připomeňme si, že pro navzájem inverzní funkce platí
f(u) = t
u = f-1(t)
-1
-1
f(f (x)) = f (f(x)) = x Uvedenou mocninu můžeme zapsat jako funkční hodnotu exponenciely expa(t) = u Protože logaritmus a exponenciela jsou vzájemně inverzní funkce, lze též psát t=loga(u) Definice: Číslo t se nazývá logaritmus o základu a z čísla u, právě když platí t=loga(u) <=> Věta: Pro u > 0 , t R platí
u = aloga(u)
u = at
t=loga(at)
Věta: Vlastnosti logaritmické funkce, pravidla počítání s logaritmy, pro x,y > 0, r R: a) loga(x.y) = loga(x) + loga(y) b) loga(
x ) = loga(x) - loga(y) y r
c) loga(x ) = r.loga(x) d) loga(1)= 0 e) loga(a) = 1 Poznámka: V době počítačů a kapesních kalkulaček ztratily logaritmy část svého významu pro numerické výpočty. V 17. století, kdy byly objeveny, pomohly například J. Keplerovi (německý matematik a astronom na dvoře Rudolfa II. v Praze) k objevu jeho planetárních zákonů. Jejich význam spočívá v tom, že složitější početní operace převádí na jednodušší: násobení na sčítání (vlastnost a), dělení na odečítání (vlastnost b) a mocnění na násobení (vlastnost c). Důkaz: vychází z vlastností mocnin a z toho, že pro x,y > 0, r R, aR+\{1} jsou mocninné funkce prosté. Stačí porovnat exponenty.
a loga ( x . y ) x . y a loga x .a loga y a loga x loga y a
x log a ( ) y
r
x a loga x log y a loga x loga y y a a
a loga ( x ) x r ( a loga x ) r a r . loga x
pokračování zpět
@146
Zlogaritmujte výraz t = 3s + 2r Řešení:
log t = log(3s + 2r) Dál to nejde upravit! Pokusy upravit logaritmus součtu je častou chybou. Pozor na to, logaritmus součtu (rozdílu) nelze upravit jinak, než součet (rozdíl) nejprve provést a pak teprve určit logaritmy. pokračování zpět
@132
f: y = ax , xR, a>0 Pro a = 1 nám předpis dává funkci f: y = 1, což je konstantní funkce. Jakožto málo zajímavou a již popsanou funkci ji v následující definici vyloučíme. Definice: Nechť a(0; 1)(1; +∞). Exponenciální funkce o základu a se značí expa a je dána předpisem
expa: y = ax Je-li a = e = 2,7182818..., pak mluvíme o přirozené exponenciele a značíme ji exp. Poznámka: Číslo e se nazývá Eulerovo číslo a je iracionální. Uvedená hodnota je jen prvních 7 desetinných míst. Číslo e je stejně důležité jako číslo Pythagorovo π. Definiční obor: celá množina reálných čísel R Symetrie: Exponenciální funkce není ani lichá ani sudá ani periodická. Pro všechny exponenciální funkce libovolného základu platí
expa(0) = a0 = 1 Úkol: Co to znamená pro grafy exponenciálních funkcí? výsledek zpět
@135 Je číslo (
13 0 , 7 ) větší nebo menší než jedna? 7
Je to funkční hodnota exponenciální funkce o základu 13/7, označme ji po jednoduchost f.
f : y(
13 0 , 7 ) 7
Základ je větší než 1, jde tedy o funkci rostoucí, což znamená, že pro každá dvě reálná čísla x1, x2 platí x1 < x2 => f(x1) < f(x2) Pro každá dvě čísla, tedy i pro x1 = 0 a x2 = 0,7 0 < 0,7 => f(0) < f(0,7) tj. 1 (
13 0 , 7 ) 7
Úkol: Závislost tlaku p [Pa] vzduchu na nadmořské výšce h [km] lze vyjádřit přibližně vztahem
p p0 0,88h kde p0 = 1,013105 Pa je tlak v nadmořské výšce 0 km. Vrchol Sněžky je v nadmořské výšce 1604 m. Je v Benátkách nižší nebo vyšší tlak vzduchu než na Sněžce ? výsledek zpět
@138 Určete základy exponenciálních funkcí, pro které platí expa4 = 16 expb(-1) = 2 expc(-1/2) = ½ expd(1/3) = 3 expe1 = -2
=> => => => =>
a=2 b = 1/2 c=4 d = 27 takový základ neexistuje, neboť exponenciální funkce je vždy kladná
Úkol: Pro která p je funkce g : y ( výsledek zpět
2p 1 x ) rostoucí? 3
@141 Úkol: Na základě znalostí o průběhu exponenciální funkce, popište vlastnosti průběhu logaritmické funkce: - definiční obor a obor hodnot - význačné body, průsečíky - asymptoty - monotonost - grafem je logaritmická křivka, udělejte náčrtky Řešení: Graf funkce a funkce k ní inverzní je symetrický kolem osy I. a III. kvadrantu.
definiční obor obor hodnot všechny grafy procházejí bodem asymptota a(0;1) monotonost a(1; +∞) pokračování zpět
exponenciální funkce y = ax x(-∞; +∞) x(0; +∞) [0; 1]
logaritmická funkce y = logax x(0; +∞) x(-∞; +∞) [1; 0]
osa x klesající na R rostoucí na R
osa y klesající na R+ rostoucí na R+
@144
Příklad: Zlogaritmujte výraz dekadickým logaritmem r
log r log(
Řešení:
a2 3 b d c3
)
log( a 2 3 b ) log( d c 3 1 log( b 3 )
součin se převede na součet 3 log( c 2 )
Úkol: Zlogaritmujte výrazy
2tu3 v 3 2 (b a ) výsledek zpět
d c3
z podílu bude rozdíl
log( a ) log( d ) 1 3 2 log a log b log( d ) log c 3 2 2
a2 3 b
a2 b 3 w( ) cd
a mocnění na součin
@133 Všechny grafy všech exponenciálních funkcí procházejí bodem [0; 1], což je také jediný průsečík s osou y. Ať je základ mocniny libovolné číslo z definičního oboru a stejně tak exponent mocniny, je hodnota mocniny vždy kladná. Tedy grafy všech exponenciálních funkcí jsou vždy nad osou x. Asymptoty: Osa x je asymptotou pro všechny exponenciální funkce.
pokračování zpět
@136 h
Základ exponenciální funkce p = p0 .0,88 je menší než 1, proto je funkce klesající. Což znamená, že čím výše nad mořem tím je tlak nižší. Benátky jsou u moře, vrchol Sněžky nikoli. Tedy na Sněžce je nižší tlak vzduchu než v Benátkách. Úkol: Výměna x za -x nás přivedla k pojmu funkce sudá (lichá) a víme, že to souvisí se symetrií grafu kolem osy y (středová symetrie určená počátkem souřadnic). Exponenciální funkce není symetrická. Co tedy je expa(-x)? výsledek zpět
@139
Pro která p je funkce g : y (
2p 1 x ) rostoucí? 3
Řešení: g je funkce exponenciální. O tom, zda je rostoucí rozhoduje základ, který musí být větší než 1. Tedy musí platit
2p 1 1 3
Snadno vyřešíme tuto nerovnici, která platí pro každé p > 2. Funkce g je tedy rostoucí pro p(2; +∞). Poznámka: Základní vlastnosti exponenciální funkce získáme připomenutím a porovnáním s vlastnostmi mocnin: 1) ax+y = ax.ay
expa(x+y) = expax.expay
2) ax.y = (ax)y
expa(x.y) = (expax)y
3) a0 = 1
expa0 = 1
4) a1 = a
expa1 = a
První vlastnost se dá volně vyslovit tak, že exponenciální funkce převádí operaci sčítání na operaci násobení – místo sečíst čísla x a y a pak nalézt funkční hodnotu, můžeme nejprve nalézt funkční hodnoty exponenciely pro čísla x a y a pak výsledné hodnoty vynásobit. Že je to neekonomické (z jednoduššího plus dělat obtížnější krát), je pravda. Uvádíme to jen pro kontrast s následující funkcí. Úkol: Doplňte následující tvrzení tak, aby to byl pravdivý výrok. Exponenciální funkce je ........ a proto k ní existuje ........ funkce. výsledek zpět
@142 Příklad: Určete definiční obor následujících funkcí. Užijte k tomu náčrtků funkcí v argumentu logaritmů.
f : y log( 4 x 2 )
g : y ln(
2x 3 ) x
Řešení: Definičním oborem logaritmů jsou pouze čísla kladná. Uděláme si rychlý náčrtek funkce v argumentu a odečteme z něj, kdy je graf nad osou x.
Pokud bychom nevyužili náčrtku grafu argumentů a řešili úlohu algebraicky, řešili bychom nerovnice
4 x2 0 4 > x2 2 > |x|
x(-2; 2) pokračování zpět
2x 3 0 x pro x < 0 pro x > 0 2x – 3 < 0 2x – 3 > 0 2x < 3 2x > 3 x < 3/2 x > 3/2 x(-∞; 0) (3/2; +∞)
@145 Zlogaritmujte výrazy
2tu3 v 3 2 (b a )
a2 b 3 w( ) cd
Řešení:
1 1 log v (log 2 log t 3 log u) 2(log b log a ) 2 2 1 log w 3( 2 log a log b log c log d ) 2 Úkol: Zlogaritmujte výraz výsledek zpět
t = 3s + 2r
@147
Úvaha:
Mějme mocninu
u = at
Zlogaritmujme ji přirozeným logaritmem ln u = t ln a Lze tedy vždycky napsat (exponenciela a logaritmus o základu e jsou funkce inverzní)
at = u = eln u = et ln a Závěr 1: Každou exponencielu o libovolném základu a expa(t) = a exponencielu o základu e = exp(t ln a) Přidejme definici
t
lze převést na
u = at t = logau
u = at = et ln a = elogau ln a = eln u = u a porovnáním exponentů dostaneme či jinak
log a ( u)
ln( u) ln( a) log a u
ln( u) ln( a)
Závěr 2: Každý logaritmus o libovolném základu lze převést na logaritmus přirozený. Tyto dva závěry uvádíme proto, že přirozený logaritmus a exponenciela o základu e mají velký význam jak v různých oblastech teorie matematiky, tak ve fyzice, chemii, archeologii a dalších oborech. Přirozenost těchto funkcí je mj. v tom, že mají nejjednodušší derivaci
( e x )' e x pokračování zpět
(ln x )'
1 x
@888 Ještě shrnutí do atlasu funkcí
9 exponenciální funkce název: exponenciální funkce o základu z předpis: y z , z>0, z1 x
zařazení: patří do skupiny exponenciálních funkcí definiční obor: množina všech reálných čísel R obor hodnot: množina kladných reálných čísel R graf:
křivka: exponenciela asymptoty: má jednu asymptotu, kterou je osa x funkce inverzní: exponenciální funkce je prostá, funkcí inverzní je logaritmická funkce o základu z
y log z x x x derivace: y z ln z , speciální případ pro z=e: ( e ) e x
užití: velmi časté v ekonomii, fyzice a astronomii poznámka: každou exponenciální funkci o základu z lze převést na exponenciální funkci o x x ln z základu e - Eulerovo číslo: y z e zvláštní případ: pro z=e je derivace funkce rovna stejné funkci grafy všech exponenciálních funkcí procházejí bodem [0; 1]
10 logaritmická funkce název: logaritmická funkce o základu z předpis: y log z x , z>0, z1 zařazení: patří do skupiny exponenciálních funkcí definiční obor: množina kladných reálných čísel R obor hodnot: množina všech reálných čísel R
graf: grafy logaritmické funkce a exponenciální funkce jsou zrcadlové podle osy 1. a 3. kvadrantu
křivka: exponenciela (někdy se uvádí logaritmická křivka) asymptoty: má jednu asymptotu, kterou je osa y funkce inverzní: logaritmická funkce je prostá, funkcí inverzní je exponenciální funkce o základu z
y zx derivace: y
1 1 , speciální případ pro z=e: (ln x) x ln z x
užití: velmi časté v ekonomii, fyzice a astronomii poznámka: funkce dekadického a přirozeného logaritmu je vydávána v tabulkách; logaritmus převádí násobení na sčítání, mocnění na násobení; byl to nástroj, který pomohl Keplerovi s výpočtem pohybu planet a zformulování jeho pohybových zákonů každou logaritmickou funkci o základu z lze převést na logaritmickou funkci o základu e Eulerovo číslo: y log z x
ln x ln z
zvláštní případ: některé základy mají zvláštní pojmenování z=10 dekadický logaritmus y=log x z = e přirozený logaritmus y=ln x grafy všech logaritmických funkcí procházejí bodem [1; 0] zpět KONEC LEKCE
