12a, Praha 4 Opatov. Fraktály a L-systémy. Autor: David Dostal Vedoucí práce: Radovan Daniel

Křejpského 1501/12a, Praha 4 – Opatov

Fraktály a L-systémy Roč íko á prá e

Autor: David Dostal Vedoucí práce: Radovan Daniel

2014/2015

Poděková í Děkuji s é u ko zulta to i, Rado a o i Da ielo i, za odbornou konzultaci a trpěli ost a s é rodi ě za podporu.

Prohláše í Prohlašuji, že jse použité pra e

tuto prá i

pra o al sa ostat ě a že jse

u edl še h

a literaturu

Datum Podpis autora

Stanovisko vedoucího práce Souhlasím s předlože ou podo ou roč íko é prá e.

Datum Podpis vedoucího práce

1

Obsah 1.

Úvod............................................................................................................................... 4

2.

Teoreti ká část ............................................................................................................... 5 2.1

Benoit Mandelbrot.................................................................................................. 5

2.2

Úvod do fraktální geometrie................................................................................... 8

2.3

Co je to fraktál? ....................................................................................................... 9

2.3.1

2.3.1.1

Konstrukce ................................................................................................ 9

2.3.1.2

Vlastnosti ................................................................................................ 10

2.3.1.3

Délka Ko ho

2.3.2

2.4

Příklad fraktálu – Ko ho a kři ka .................................................................... 9

kři k .............................................................................. 10

Fraktální dimenze .......................................................................................... 11

2.3.2.1

Nes áze při

ěře í po řeží ................................................................... 11

2.3.2.2

Dimenze a

ěřítko ................................................................................. 11

2.3.2.3

Výpočet fraktál í di e ze ..................................................................... 12

2.3.2.4

Hausdorffo a di e ze další h fraktálů ................................................. 13

Děle í fraktálů....................................................................................................... 14

2.4.1

Deterministické a stochastické fraktály......................................................... 14

2.4.2

So ěpodo

2.4.3

Děle í podle způso u ge ero á í ................................................................. 15

2.5

é a so ěpří uz é fraktál ......................................................... 14

2.4.3.1

Itero a é fu kč í s sté

2.4.3.2

Time Escape Algoritmy ........................................................................... 16

2.4.3.3

L-systémy................................................................................................ 20

2.4.3.4

Náhodné fraktály, podivné atraktory a další.......................................... 21

..................................................................... 15

V užití.................................................................................................................... 22

2.5.1

Fraktálové antény .......................................................................................... 22

2.5.2

Fraktálová komprese ..................................................................................... 22 2

2.5.3

Počítačo ě

2.5.4

Medicína ........................................................................................................ 24

2.5.5

Další

2.6

t oře é kraji

........................................................................ 23

užití .................................................................................................... 24

Lindenmayerovy systémy ..................................................................................... 25

2.6.1

Přepiso á í, itera e ....................................................................................... 25

2.6.2

Žel í grafika .................................................................................................... 25

2.6.3

Souvislé L-systémy ......................................................................................... 27

2.6.4

Vět e í ........................................................................................................... 28

2.6.5

Další rozšíře í................................................................................................. 29

2.6.5.1

Vykreslování ve 3D ................................................................................. 29

2.6.5.2

Stochastické L-systémy .......................................................................... 29

2.6.5.3

Parametrické L-systémy ......................................................................... 30

2.6.5.4

Pod í ě é přepiso á í ......................................................................... 31

2.6.5.5

Kontextové L-systémy ............................................................................ 31

2.6.5.6

Další

ož á rozšíře í ............................................................................. 31

3.

Prakti ká část ............................................................................................................... 32

4.

U ěle ká část .............................................................................................................. 33

5.

)á ěr ............................................................................................................................ 34

3

1. Úvod Před let í i prázd i a i jsem, že

js e si

ěli

rat té a roč íko é prá e. Věděl

h htěl zpra o at prá i na téma z přírodo ěd é o lasti

chemie či biologie) nebo na téma z o lasti i for atik aprogra o at jse

získal d ě

přede ší

ate atika, f zika, jse

htěl

ě o

e o zpra o at ějaké spíše u ěle ké té a hud a, grafika. ) toho ož á té ata: „T or a počítačo é hr “ a „Nasaze í redakč ího s sté u

Wordpress pro škol “. Nako e

hrálo

asaze í redakč ího s sté u pro škol

a to hla ě z dů odu, že bych v prakti ké části pra o al na e o ý h strá ká h škol a dělal ě o opra du užiteč ého. Přes let í prázd i

jse

ale zjistil, že by

ě zpra o á í tohoto té atu ů e

nebavilo. A to byl jeden z ejdůležitější h požada ků, které jse

na roč íko ou prá i

Mohli js e aštěstí té a na začátku škol ího roku ještě z ě it, tak jse té ate

začal ad

pře ýšlet z o u. Spolu s tátou js e přišli na ěkolik zají a ý h té at,

který i

ěl. ezi

la apříklad „Překlopitel á tělesa“, jede z he i ký h pr ků, „Co je to čas?“,

„)alože í last ího pod iku“ a e o „Proč v Pardubicích neprší“. U ěkterý h z témat by

lo složité

t ořit s

slupl ou prakti kou část, u jiných by zase nebylo co psát

v teoreti ké části. V tě hto d e h jse

se náhodou díval na dokument o fraktálech, který

ě el i zaujal. Té a fraktálů mi také u ožňo alo jako prakti kou část

ě o

naprogramovat a nakonac jsem si toto téma vybral. V teoreti ké části čte áře

ejpr e sez á í

s fraktál o e ě tz .

apříklad

s tím, co to fraktál last ě je, jak se fraktál dělí a jak se dají generovat, kde nacházejí prakti ké

užití . Ví e se pak za ěří

na jed u kategorii fraktálů, takz a é

Lindenmayerovy systémy, které mne zaujaly svým jednoduchým principem a i přesto ge ero at složité rostli

é o raz e. Jako prakti kou část jsem naprogramoval

počítačo ou aplika i na generování L-s sté ů a aprogra o al jse ěkolika rostli

ož osti

o li e ge erátoru

pokročilejší L-systém

als s. z. Jako u ěle kou část roč íko é prá e jse

namaloval obraz inspirovaný fraktální tématikou a fraktály v přírodě –

oč í kraji u

s fraktálovým stromem.

4

2. Teoreti ká část 2.1 Benoit Mandelbrot Benoit B. Mandelbrot se narodil roku 1924 v Polsku do žido ské rodi . Již el i brzy si o lí il geo etrii. Také hrál rád ša h . V ša há h ale e nikal díky logickému pře ýšle í. Hru pro ýšlel geo etri k . 1 V ro e

, kd ž

lo Ma del roto i 11 let, začal

a on s rodinou emigroval do Fra ie. Několik let

Ně e ku sílit

a is us

hodil do Lycée Rolin v Paříži. Pak

se Ma del roto i při

puk utí . s ěto é álk

Běhe

i jeho rodinou visela neustálá hrozba chudoby a obavy z udání

álk

ad í

přestěho ali do Tulle ve Francii.

a následného poslání na s rt. Stra h ještě zesílil po za ití pařížské f zičk )i

Morhange,

jeho blízké známé. Za války se učil hla ě sa ostudie . Dík to u se rozvinul jeho geo etri ký přístup k matematice. 2 Na konci války (v roce 1944) se Mandelbrot navrátil do Paříže. )de se v letech učil na École Polytechnique. Mimo jiné zde studoval i pod Gastonem Juliem

1945a Paule

Lé

, kteří též ýz a

ě přispěli k rozvoji fraktální geometrie. 3

V letech 1947 až 1949 a ště o al Kalifornský technologický institut. Po získání doktorátu matematiky na Pařížské u i erzitě

se znovu vrátil do Ameriky, kde

studoval v Princetonu. 1955 se vrátil do Francie, kde si vzal za že u Aliettu Kaga . Ch íli učil Paříži jako profesor na Université Lille a v Národním výzkumném centru v Paříži. B l ale nespokojený s příliš a strakt í

ráze

ate atik

tehdejší Fra ii a proto odešel

do USA. Zde získal práci v IBM (1958). 4 V IBM zkou al áhod ý šu

způso ují í poru h

linku. Mandelbrot byl zvyklý dívat se na ě i

pře osu dat přes telefo

izuál ě. )kou al proto šu epři házel

z ela

í

hla ě

z hlediska t arů, které

t ářel. Vši l si, že h

áhod ě, jak

se předpokládalo. Ch

astá al ve shlucích. Byla období zcela bez chyb a pak zase

1

Guardian obituary. The MacTutor History of Mathematics archive [online]. 18 October 2010 [cit. 2015-0227]. Dostupné z: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Obits2/Mandelbrot_Guardian.html 2 Benoit Mandelbrot. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001- [cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://en.wikipedia.org/wiki/Benoit_Mandelbrot 3 FRAME, Michael. Benoit B. Mandelbrot: A Biographical Memoir. National Academy of Sciences [online]. © 2014 [cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://www.nasonline.org/publications/biographical-memoirs/memoirpdfs/mandelbrot-benoit.pdf 4 GREGOROVÁ, Dagmar. Stal jsem se konstruktérem geometrie. OSEL.cz [online]. 19.10.2010 [cit. 2015-0227]. Dostupné z: http://www.osel.cz/index.php?clanek=5346

5

oha h a i. Ma del rot zde o je il určitou pra idel ost. Ať už se díval na výskyt

s

chyb v rá

i

ěsí e, d e i hodi , po ěr

ezi čas

ez h

stej ý. Kd ž se na období s h a i podí al z lízka, je rozděle a na zase podo

e ší části s chybami a ez h . T to

é grafu jako elku

d a eti

lo

apříklad ěhe

i ut . Při jaké koli

ěřítku

ěsí e podo la kři ka podo

a obdobími s chybami byl idět, že i tato část grafu e ší části

á jako ěhe

l přek api ě týd e i ěhe

á sa a so ě. Tak udělal

Ma del rot pr í elký krok stří fraktálů . 5 Ma del rot postup ě začal o je o at oblastech. Zkoumal mraky, zjistil, že so ěpodo na to, že ačkoli je e a a l

ěhe

roku,

last ost „so ěpodo

osti“ i v jiných

ost lze alézt i v elé

es íru. Přišel

ěsí e i d e růz á, kři k prů ěhu de

ího

ěsíč ího i roč ího prodeje jsou shod é. 6 V roce 1967 napsal práci s áz e

„Jak dlouhé je po řeží Britá ie?“. Zjistil,

že na tuto otázku elze tak jed oduše odpo ědět. Vši l si, že růz á se často přes ější

el i liší. Čí

podro

ější

ěře í se berou v ohled i

při ještě podro

ější

l

ap , tí

ěře í délk po řeží

delší se po řeží zdálo

ýt. Při

e ší zákrut a zátoky, které se předtím zanedbaly,

zkou á í i zátoky v zátoce a tak dále – teoreticky až ke každé u

ka e i, každé u zr ku písku. 7 Mandelbrot si zpo

ěl na práci Gastona Julia a Pierra Fatou. Již před let ho jeho

strýc Szolem Mandelbrojt upozornil na jejich dílo zabývající se takzvanými Juliovými oži a i, které

házejí z jednoduché rovnice

=

2

+ . Mandelbrot mu šak tehd

e ě o al elkou pozor ost a epřišel zde na nic nového. Nyní se k této práci vrátil. V užil počítačů, s po o í který h její

ýsledek jako

o ý

ohl tuto ro i i jed oduše a rychle opakovat – použít

stup. Násled ě

ýsledek na počítači

e hal

se Mandelbrot na ěj podí al detail ěji, iděl, že obraz obsaho al padal podo

ě jako elek. Fas i ují í

oži , o je o al čí

dál tí

í e podro

kreslit. Kd ž

e ší út ar , které

lo, že jak se člo ěk přes ěji podí al na detail ostí, o é a nové útvary. A pře i se zde dala

5

Fractal Geometry. IBM United States [online]. May 18, 2011 [cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://www03.ibm.com/ibm/history/ibm100/us/en/icons/fractal/ 6 Telegraph obituary. The MacTutor History of Mathematics archive [online]. © 2010 [cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Obits2/Mandelbrot_Telegraph.html 7 Telegraph obituary. The MacTutor History of Mathematics archive [online]. © 2010 [cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Obits2/Mandelbrot_Telegraph.html

6

najít podobnost s elý

o raz e . )áleželo pouze na ýko u počítače, jak daleko

ohl

člo ěk takto pokračo at. 8 Tento útvar – Ma del roto a je krás ý

příklade

„fraktálu“. Poje

v prá i „Fraktál : t ar,

oži a,

zdále ě připo í ají í t ar

„fraktál“ použil Ma del rot popr é

korálů,

roce 1975

áhoda a di e ze“. ) ní také vychází kniha shrnující jeho

dosa ad í o je

esou í áze „The Fra tal Geo etr of Nature“ „Fraktál í geo etrie

přírod “

ejpr e ve fra ouzšti ě a roku 1982 i v a gličti ě. Ma del rot zde

da é

popisuje, v če ji z á e

se fraktální geometrie liší od klasické, Euklidovské. Geometrie, jak

, dokáže přes ě popsat před ět

á i

t oře é. Těžko ale popisuje je

v přírodě, které ejsou ro é a hladké, ale hrubé a ero é. „Mraky nejsou koule, hory ejsou kužel , po řeží ejsou kruh , a kůra e í hladká, ani blesky nejdou po pří é li ii“9, apsal Ma del rot. T to je ,

čet ě

oha další h, lze popsat po o í fraktál í

geometrie. 10 Po z tek s ého ži ota se Mandelbrot i adále ě o al ýzku u fraktálů. Učil na Harvardu a na Massachusettském technologickém institutu a od roku 1999 pracoval jako profesor na u i erzitě Yale. Předpo ěděl fi a č í krizi roce 2004. Za s é úspě h dostal

ohá o e ě í. Be oit B. Ma del rot ze řel

.

.

ve stáří 85 let. 11

8

Fractal Geometry. IBM United States [online]. May 18, 2011 [cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://www03.ibm.com/ibm/history/ibm100/us/en/icons/fractal/ 9 MANDELBROT. Fractal geometry of nature. New York 1983, s. 1 10 Telegraph obituary. The MacTutor History of Mathematics archive [online]. © 2010 [cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Obits2/Mandelbrot_Telegraph.html 11 http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Obits2/Mandelbrot_Telegraph.html (21. 1. 2014)

7

2.2 Úvod do fraktální geometrie „Proč je geo etrie často popiso á a jako „stude á“ a „su há?“ Jede z dů odů spočí á její es hop osti popsat t ar o laku, hor , po řeží, e o stro u. Mraky nejsou koule, hor

ejsou kužel , po řeží ejsou kruh , a kůra e í hladká, stej ě jako se blesk

nepohybuje po pří é li ii.“ 12 – Benoit B. Mandelbrot Euklidovská geometrie, tak jak ji známe ze škol, je perfektní k popisu hladký h út arů. Dokáže popsat pří ku, kruh, kr hli, do ede e s její po o í spočítat objem válce či o sah čt er e. Podíváme-li se ale z okna, zjistíme, že s ět k ádrů, ál ů, jehla ů, koulí a tak podo

ě. )kuste

e í t oře

přírodě ajít út ar, který by šel

přes ě popsat po o í klasi ké geo etrie. Takovéto útvary se v přírodě zřídka, té ěř ů e . Vod í hladi a za úpl ého ez ětří by idě ý z dálky se á popsat po o í epřes é. Náš

z dokonalých

ůže zdát jako kruh. Například stro

sk tují el i

ohla t ořit ro i u,

ěsí

za oknem bychom mohli

oha růz ý h ál ů. Kd ž se ale podí á e líže, zjistíme, že je to dost odel ted upra í e tak, a

zahr o al každou ět ičku i každý list

na ět í h. Co nyní? Podíváme se přes ěji a zjistíme, že každý list má na so ě složitý zor, ož á se podobající celému stromu. Zpozorujeme, že ět e na stro u ejsou perfekt ě hladké, ale že jeji h kůra je hrubá a rou ko itá. Takto Ko eč ě, a i

ěsí

A i při zdá li é se, že je těžké

e í perfekt í ez ětří

kruhe

ajít

út ar , kd

ohli pořád pokračo at.

a má na svém povrchu spoustu nerovností.

ůže e na hladi ě jezera pozoro at malinkaté vlnky. Ukazuje

e arazit při každé

kroku na fraktální útvar. I u ě í

člo ěke , zdá li ě ro ý h a hladký h, jako lze

ho

t oře ý h

ůže ýt apříklad protější pa elák

ulici,

ero osti. Stačí se podí at dostateč ě přes ě, tře a na omítku. Takovéto á

již přestá á stačit klasi ká euklido ská geo etrie, se s aží popsat

fraktální geometrie. 13

12

MANDELBROT. Fractal geometry of nature. New York 1983, s. 1 SIXTA, To áš. Ú od do fraktálů a chaosu. ITnetwork.cz [online]. © 2015 [cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://www.itnetwork.cz/fraktaly-a-chaos-eukleidovska-geometrie-uvod-svitani-chaosu

13

8

2.3 Co je to fraktál? oži a e o geo etri ký út ar, který lze harakterizo at ásledují í i

Fraktál je

typickými vlastnostmi: 

Neko eč á čle itost Fraktální útvary jsou eko eč ě čle ité. Oproti klasi ký

jako apříklad oproti pří

e, která je při z ětše í stále stej á ,

jaké koli z ětše í idět eko eč ě podro 

So ěpodo

geo etri ký

út arů

ůže e u fraktálů při

é o raz e. 14

ost

Jed otli é části fraktálu se podobají fraktálu jako celku. Neustále se v ě ty sa é geo etri ké kopií se e sa ého

oti . Fraktál

ohou ýt úpl ě so ěpodo

é slože é z

opakují e ší h

e o so ěpří uz é jed otli é části ejsou přes ý i z e še i a i

celku, pouze se mu podobají). 15 

ěřítku

Nezávislost na So ěpodo

é fraktál

ají ještě další vlastnost – tzv. nezávislost na z ě ě

ěřítka. ) a e á to, že se při z ětšo á í fraktálu udou o je o at pořád ty samé útvary – při růz é

z ětše í ude

padat pořád stej ě. 16

2.3.1 Příklad fraktálu – Ko hova křivka 2.3.1.1 Konstrukce Ko ho u kři ku zko struuje e Ta je aší

ý hozí

ásledo ě. )ač e e jed otko ou úsečkou.

út are , tz . i i iátore . Dále potře uje e tz . ge erátor, ož

je útvar, kterým se ahradí i i iátor. Te a ahraze í

prostřed í třeti

získá e rozděle í

i i iátoru na třeti

1

d ě a úsečka i o délce , které svírají úhel 60°. Nyní 3

opako a ě ahrazuje e ge erátor i i iátore . Nejpr e získá e kři ku slože ou ze čt ř 1

úseček o délce . Každá z tě hto úseček se sta e i i iátore 3

1

získáme 16 úseček o délce . Po eko eč ě 9

Ko ho u kři ku. Slože í

pro další krok, ve kterém

oha opako á í h itera í h získá e

tří Ko ho ý h kři ek do „h ězd “ sesta í e Ko ho u ločku. 17

14

ZELINKA, VČELAŘ a ČANDÍK. Fraktál í geometrie: principy a aplikace. Praha 2006, strana 88 ZELINKA, VČELAŘ a ČANDÍK. Fraktál í geometrie: principy a aplikace. Praha 2006, strana 87-88 16 ZELINKA, VČELAŘ a ČANDÍK. Fraktál í geometrie: principy a aplikace. Praha 2006, strana 87 17 HOTAŘ, Vlasti il. Fraktál í geo etrie a fraktály. Fraktální geometrie [online]. [2006] [cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://www.ksr.tul.cz/fraktaly/geometrie.html 15

9

Obr. 1: Ko struk e Ko hov křivk .

2.3.1.2 Vlastnosti Na Ko ho ě kři e

ůže e do ře

idět zatí

popsa é

last osti fraktálů.

Je slože a ze čt ř z e še ý h a otoče ý h kopií se e sa é. A ty jsou zase slože ze z e še ý h kopií so ěpodo

elé kři k . Ko ho a kři ka je ted

á a při růz é

ěřítku

e ajde e ro ou úsečku, žd plyne, že u Ko ho

kři k

padá stej ě. A i při

udou idět pouze

elze žád é

eko eč ě podro

e ší a

eliké

z ětše í

á, ikde

e ší zákrut . ) toho také

odě určit deri a i 18 (určit prá ě jed u teč u).

2.3.1.3 Délka Ko hovy křivky V první itera i

t áře í Ko ho 1

4

3

3

1

kři k získá e čt ři

o é úsečk o délce . 3

To odpovídá celkové délce 4 ∙ = . Ve druhém kroku se z každé úsečk sta ou čt ři o é. Počet úseček ted

ude 4 ∙ 4 = 42 . Délka úseček je oproti před hozí itera i zase

třeti o á. To znamená, že délka každé z nich bude je nyní

1 2 3

iteraci bude

∙ 42 = 4 � 3

4 2 3

1 1

1 2

3 3

3

∙ =

. Pro třetí itera i je délka kři k

1 3 3

. Celko á délka kři k

∙ 43 =

4 3 3

. A pro �-tou

. Protože je počet itera í eko eč ý, lze ří i, že celková délka Kochovy

kři k L = lim�→∞

4 � 3

= +∞. Délka Ko ho

kři k je ted

eko eč á. 19

18

HOTAŘ, Vlasti il. Fraktál í geo etrie a fraktály. Fraktální geometrie [online]. [2006] [cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://www.ksr.tul.cz/fraktaly/geometrie.html 19 JABLONSKI, Adrian. Grundlagen der fraktalen Geometrie mit iterierten Funktionensystemen (IFS). Quadsoft.org [online]. Juli 2011 [cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://quadsoft.org/fraktale/

10

2.3.2 Fraktální dimenze 2.3.2.1 Nes áze při

ěře í po řeží

Běž é geo etri ké út ar

ají eločísel ou di e zi. Například úsečka má dimenzi

, di e ze čt er e je 2 a krychle je trojroz ěr á. Kd veliký i „ ěřidl “, žd

ho

ostrova, zjistili bychom, že u stej ého po řeží délku, ež kd

ho

t to út ar

ho

tře a

ěře í d ou etro ou t čí

ho

se a ěře á délka z ětší o o é detail . Při udou

ěře í h získat

a ěřili

ohe

ětší

úseků, po kterých se

ěří,

o é zákrut , zohled í se více

podrob ostí čle itého po řeží, které

l při

é ě podro

Teoreti k , kd

ěřidlo

až do eko eč a,

z e šo ali

.

ěřili délku po řeží

ůže e při růz ý h

ěřili po 100 metrech. Se zkra o á í

ho

ěřili růz ě

z ěřili stej ou elko ou elikost délku, o sah, o je

Měřit přírod í út ar ale e í tak jed odu hé. Kd odliš é ýsledk . Například při

ho

é

ěře í ig oro á . ůže e

a ěřit

i eko eč ou délku po řeží. Hra i e po řeží je kři ka, tudíž má dimenzi 1. Je ale teoreti k

eko eč ě dlouhá a za írá tak „ í e

ísta“, ež tře a úsečka. )áro eň a i

e plňuje žád ou plo hu. Může e tušit, že po řeží má kro ě klasi ké tz . topologi ké di e ze ještě ji ou, „ ě o

ezi“ di e zí 1 a 2. Tím se dostáváme k Hausdorffo ě e oli

fraktální dimenzi. 20 2.3.2.2 Dimenze a

ěřítko

Vrať e se ještě tro hu a podívejme se na to, jak souvisí dimenze útvaru s

ěřítke . )ač e e úsečkou. Měřidlo úsečka o stejné délce se do ní vejde jednou.

Použije e-li

ěří í úsečku o polo ič í dél e, ejde se dvakrát. A kd ž

ude její délka

třeti o á, ejde se třikrát. N í zkus e to samé se čt er e . Měří í čt ere o polo ič í velikosti se do čt er e ejde čt řikrát. Kd by se de ětkrát. Do krychle by se ešlo os velikosti. To, kolikrát se

ěl

ěří í čt ere třeti o ou elikost, ešel

kostek o polo ič í a dvacet sedm o třeti o é

ěřidlo do daného útvaru vejde (nebo také na kolik

e ší h částí

se út ar rozdělí , zá isí na dimenzi daného útvaru, roste s mocninou jeho dimenze. U úsečk

to byly první mocniny (11 , 21 , 31 ), u čt er e druhé mocniny (12 , 22 , 32 )

a u kr hle třetí (kolikrát se 20

o i

13 , 23 , 33 . O e ě platí ztah

ěřidlo ejde do útvaru), je elikost

=

1

ěřidla elikost

, kde

je počet částí

e ší h částí, na který

ZELINKA, VČELAŘ a ČANDÍK. Fraktál í geometrie: principy a aplikace. Praha 2006, strana 80-81

11

lze út ar rozdělit

a

je dimenze daného objektu. Například do krychle se kostky

o polo ič í elikosti ejdou

Obr. 2: Závislost

=

1

3

1/2

= 8krát. 21

ěřítka a dimenze.

2.3.2.3 Výpočet fraktál í di e ze Teď se podíváme na to, jak je to s fraktály. Zač ě e Ko ho ou kři kou. Úsečka 1

1

o délce se do ní vejde 4krát, úsečka dlouhá 9 pak 16krát. Kd ž 3

=

1

1

, získáme následující rovnici: 4 =

i kd ž dosadí e ostat í čísla, tře a

=

1 9

= 16, žd

o ě strany rovnice zlogaritmujeme: log 4 = Hausdorffo u di e zi Ko ho di e ze Ko ho

kři k

. Po úpra ě získá e 4 = 3 . Platí to,

1/3

a

á

∙ log 3. Ro i i

log 4

=

í dosadí e do vzorce

log 3

jde stej ý po ěr. Nyní dělí e log 3 a získáme

≐ 1,2619. Vidíme, že Hausdorffova

kři k je ětší ež jed a, ož je její topologická dimenze, ale záro eň

ještě e í dvojroz ěr á. 22 Ne eločísel á Hausdorffo a di e ze je t pi kou O e ě se Hausdorffo a di e ze spočítá jako matematickou definici fraktálu: „Fraktál je

=

log log 1/

last ostí fraktál í h út arů.

. N í již js e s hop i po hopit

oži a, jejíž Hausdorffova dimenze je ostře

ětší ež di e ze topologi ká.“23 24 Ukaž e si, že to platí i pro další fraktál . 21

ZELINKA, VČELAŘ a ČANDÍK. Fraktál í geometrie: principy a aplikace. Praha 2006, strana 82-83 MANDELBROT. Fractal geometry of nature. New York 1983, s. 36 23 Fraktál. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001[cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://cs.wikipedia.org/wiki/Frakt%C3%A1l

22

12

2.3.2.4 Hausdorffova di e ze další h fraktálů Sierpinského trojúhelník z iká rozděle í e ší a

j utí

ro ostra

ého trojúhel íku na čt ři

prostřed ího trojúhel íku. To se z o u opakuje pro z lé tři

trojúhelníky. Topologická dimenze

Sierpinského trojúhelníku je , jelikož eo sahuje

žád ou sou islou plo hu

další h a další h trojúhel íků je plocha na konci

j utí

nulová). Sierpinského trojúhelník si

ůže e též předsta it jako

kři ku. S každou itera í se počet trojúhel íků je polo ič í. Hausdorffo a di e ze ted

ude

je vyjmuta z

oži a

=

log 3 log 2

z iká rozděle í

≐ 1,585. Platí tedy

úsečk

oži . Opako a ě žd z každé další úsečk

Topologi ká di e ze Ka toro po eko eč ě

oži

oha itera í h ale již

ztroj áso í, jeji h >

elikost . 25

Obr. 4: Sierpi ského trojúhel ík jako křivka.

Obr. 3: Konstrukce Sierpinského trojúhelníku.

Ka torova

úseček

eko eč ě dlouhou

na tři části, prostřed í část j e e prostřed í třeti u.

= 0. O sahuje si e eko eč ě

oho odů,

eo sahuje žád ou úsečku ta by se ještě dále 1

dělila . V každé itera i získá e 2 o é úsečk o délce . Hausdorffova dimenze Kantorovy 3

oži

ude tí

páde

Obr. 5: Šest itera í Ka torov

=

log 2 log 3

≐ 0,631. 26

oži .

24

MANDELBROT. Fractal geometry of nature. New York 1983, s. 15 ZELINKA, VČELAŘ a ČANDÍK. Fraktál í geometrie: principy a aplikace. Praha 2006, strana 85 26 ZELINKA, VČELAŘ a ČANDÍK. Fraktál í geometrie: principy a aplikace. Praha 2006, strana 85 25

13

Fraktál v plňující rovi u, jako apříklad o zajímavé. Princip generování by

ěl

ě a Pea ovy křivky, jsou o z láště

ýt jas ý z obrázku. V každé

kroku se úsečka

ahradí o ou kři kou sestá ají í z de íti úseček o třeti o é dél e. Tí Hausdorffovu dimenzi dimenzi 1 a přito

=

log 9 log 3

páde

získá e

= 2. Popsali jsme si kři ku, která má topologickou

plňuje d ojroz ěr ou plo hu. Ne še h

fraktál

ted

ají

e eločísel ou Hausdorffo u di e zi, žd je ale ětší ež di e ze topologi ká. 27

Obr. 6: Křivka, která v plňuje plo hu.

2.4 Děle í fraktálů 2.4.1 Deterministické a stochastické fraktály Deterministické fraktály jsou nenáhodné, pravidelné a jsou da é přes ý i pra idl . Při opako a é

ge ero á í je ýsledek pokaždé stej ý. Sto hasti ké fraktál

oproti to u o sahují pr ek áhod . Dík to u

ůže fraktál

padat při opako a é

generová í růz ě. 28

2.4.2 So ěpodo So ěpodo

é a so ěpří uz é fraktály é fraktál jsou slože

ze z e še ý h částí, které jsou přes ý i

kopiemi celého fraktálu. U so ěpří uz ý h fraktálů se

ůže e si e idět podo

oti , ale elze již ajít přes é z e še i . So ěpodo

Ko ho a ločka

é opakují í

ý i fraktál jsou apříklad

e o Sierpi ského trojúhel ík, so ěpří uz á je tře a Ma del roto a

oži a, u které při z ětšo á í

ůže e a házet stále o é a nové útvary. 29

27

MANDELBROT. Fractal geometry of nature. New York 1983, s. 62 HOTAŘ, Vlastimil. Fraktální geometrie a fraktály. Fraktální geometrie [online]. [2006] [cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://www.ksr.tul.cz/fraktaly/geometrie.html 29 ZELINKA, VČELAŘ a ČANDÍK. Fraktál í geometrie: principy a aplikace. Praha 2006, strana 30

28

14

2.4.3 Děle í podle způso u ge erová í 2.4.3.1 Iterova é fu kč í systémy Itero a é fu kč í s sté

zkrá e ě IFS fu gují na pri ipu opako a ého použití

transformací, jako je posunutí, rotace a z ě a

ěřítka tra sfor ač í fu k e jsou

jednoduché funkce, které pracují s x-ovou a y-o ou souřad i í odu, apříklad posu dopra a z a e á přičítá í k x-o é souřad i i . U eď e si příklad na Sierpinského trojúhelníku. K jeho ge ero á í jsou potře a tři tra sfor ač í fu k e. Pr í fu k e z e ší čt ere na polovinu jak ve s ěru os má tento tvar:

2

;

=(

+1 2

na polovinu a ještě ho posune o 1

a posune ho o nahoru: 2

;

3

, tak i y:

; ). S pů od í 2

1 2

1

čt er e

;

= ( ; 2 ). Druhá funkce 2

udělá to, že jej z e ší

dopra a. Posled í fu k e z e ší čt ere na polovinu +1

=( ; 2

2

IFS fraktál jsou často popiso á

). 30 po o í tra sfor ač í h

jednotlivé transformace a se který i progra

ati , které udá ají

dokáže do ře pra o at. Nejčastější

etodou ge ero á í IFS fraktálů je tz . „hra haosu“. Například Sierpi ského trojúhelník lze

ge ero at ásledují í

způso e . Nejpr e zko struuje e trojúhel ík. Náhod ě

zvolíme výchozí bod na jeho o odu. Dále trojúhelníka. V polo i ě o ý

ý hozí

ezi ode

áhod ě

ere e jede

z r holů

a vrcholem zakreslíme bod, který se sta e aší

ode . Několikrát opakuje e postup od vybrání náhodného vrcholu.

Poté áhod ě z olí e o ý ý hozí od na obvodu a še opakuje e. 31

30

DRAVES, Scott a Erik RECKASE. The Fractal Flame Algorithm. RECKASE, Erik. The Flame Algorithm [online]. September 2003, November 2008 [cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://flam3.com/flame_draves.pdf 31 ZELINKA, VČELAŘ a ČANDÍK. Fraktál í geometrie: principy a aplikace. Praha 2006, strana 47-48

15

2.4.3.2 Time Escape Algoritmy TEA fraktály se generují iterací rovnice s ko ple í i čísl . Nejpr e si struč ě popíše e, co to ko ple í čísla jsou. Ko ple í čísla Ko ple í číslo o sahuje d ě části: část reál ou a část i agi ár í. )apisuje se ve tvaru

+ �, kde

je reálná a i agi ár í část. Tato d ě čísla

a jsou reálná

čísla, která určují souřad i e bodu v ko ple í ro i ě. I agi ár í číslo � předsta uje −1. Odmocninu ze zápor ého čísla si e

edokáže e spočítat, dokáže e s ní ale

pracovat i přesto, že ez á e její čísel ou hod otu. S imaginárním � pracujeme jed oduše jako s pro ě

ou. 32

Obr. 7: Číslo + i v ko ple í rovi ě.

32

PATRZALEK, Edyta. Introduction to Fractal Geometry. Fractal.org: Centre for Fractal Design and Consultancy [online]. [2008] [cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://www.fractal.org/Bewustzijns-BesturingsModel/Fractals-Useful-Beauty.htm

16

oži a

Mandelbrotova

Ma del roto a

oži a je jedním z ejz á ější h fraktálů a stala se symbolem

pro fraktální geometrii. Je defi o á a jako které rovnice 0

�+1

=

�

oži a še h odů

v ko ple í ro i ě, pro

nekonverguje k eko eč u33 čísla

+

i

jsou komplexní,

= 0 . Jed oduše se dá ří i, že výsledek rovnice znovu dosazujeme za

do pů od í

rovnice. Pokud se ýsledk postup ě líží k eko eč u r hle se z ětšují , e í bod

součástí Ma del roto

oži . Kd ž ale hod ot

ra ý

e udou s ěřo at

k eko eč u, ale udou se lížit k ějaké u odu e o se výsledky budou periodicky opakovat, bod

do Ma del roto

do Ma del roto

oži

při itera i ikd

(hranici). U Ma del roto zdále ější od

oži

oži

patří. Ji ý i slo ,

od

patří í

epřekročí určitou zdále ost od počátku

je maximální vzdálenost od počátku 2,

še h

udou při itera i ro i e žd u ikat k eko eč u.34 Vzdálenost bodu

od počátku spočítá e jed oduše. Vez ě e apříklad ko ple í číslo 3 + 4�. Vzdálenost od počátku je přepo ou pra oúhlého trojúhel íku, jehož od ěs P thagoro

ět

případě ted

ude zdále ost od počátku 32 + 42 =

2

+

2

=

2

spočítá e délku přepo

ají délk 3 a 4. Podle jako

2

+

2.

V aše

25 = 5.

Obr. 8: Vzdálenost bodu od počátku. 33

DEVANEY, Robert L. Unveiling the Mandelbrot set. Plus.maths.org [online]. August 31, 2006 [cit. 2015-0227]. Dostupné z: http://plus.maths.org/content/unveiling-mandelbrot-set 34 ZELINKA, VČELAŘ a ČANDÍK. Fraktál í geometrie: principy a aplikace. Praha 2006, strana 50

17

Nyní si ukáže e ěkolik příkladů. Nejpr e určí e od , pro který chceme zjistit, zda áleží Ma del roto ě

oži ě.

= 0,5 + 1,5�. Na začátku ude žd 0

= 0.

V první iteraci bude 1

nulové.

1

=

0

2

+ , tedy

= 02 + 0,5 + 1,5� = 0,5 + 1,5�.

Druhá itera e ude pro ás zají a ější. 2

= 0,5 + 1,5�

2

+ 0,5 + 1,5� =

= (0,52 + 2 ∙ 0,5 ∙ 1,5� + 1,5� 2 ) + 0,5 + 1,5� =

= 0,25 + 1,5� + 2,25� 2 + (0,5 + 1,5�).

Dostali jsme druhou mocninu imaginárního �. Ve výsledku ale chceme mít jedno

ko ple í číslo,

i o ji é a

ho

Víme, že i je −1. Pak tedy � 2 bude 2

mohli zjistit jeho vzdálenost od počátku. Co s tím? −1

2

= −1. ) ý á á

= 0,25 + 1,5� + 2,25 ∙ −1 + 0,5 + 1,5� =

−1,5 + 3�.

Vzdálenost tohoto bodu od počátku je ětší ež 2, ko ple í číslo 0,5 + 1,5� ted a tzv. escape-ti e do a ú iku 3 4

dopočítat ro i i:

ude

−1,5

+ 32 ≐ 2,598. Vzdálenost

e ude patřit do Ma del roto

ude d ě itera e. Kd

= −6,25 − 4,5�, vzdálenost od počátku

2

ho

oži

pokračo ali dále, ude

ude při liž ě 6,427, ve čt rté itera i pak

= 19,3125 + 57,75� a vzdálenost od počátku při liž ě 60,894. Vidíme, že vzdálenost

od počátku opra du roste čí

dál tí

í e.

)kus e další od. = 0,1 + 0,2� 0

=0

1

= 0,1 + 0,2�

2

= 0,12 + 2 ∙ 0,1 ∙ 0,2� + (0,2�)2 + (0,1 + 0,2�) =

= 0,07 + 0,24� 3

= 0,072 + 2 ∙ 0,07 ∙ 0,24� + (0,24�)2 + (0,1 + 0,2�) =

= 0,473 + 0,2336� 4

= 0,4732 + 2 ∙ 0,473 ∙ 0,2336� + (0,2336�)2 + 0,1 + 0,2� =

= 0,26916004 + 0,42�

18

Takto

ho

ohli počítat dále a dále. )atí

e ůže e s jistotou ří i, že při

další h itera í h od e ude ko ergo at k eko eč u. Člo ěk a i počítač ale edokážou počítat do eko eč a a proto se v praxi musí spokojit s odhadem a určit iterací. Pokud se dosáh e

a i ál ího počtu itera í a e í překroče a hra ič í

vzdálenost od počátku, od je po ažo á za součást Ma del roto itera í pro ede e, tí

Obr. 9: Ma del rotova

Kd ž

do itera í

oži

přes ější je odhad Ma del roto

oži . Čí

í e

oži .

oži a.

kresluje e Ma del roto u

ýpočet pro každý

a i ál í počet

oži u po o í počítače, pro ede počítač

od pi el na o rázku. Bod pak

patří, e o

ůže tře a odů

i o

ůže o ar it podle toho, zda

oži u přiřadit ar u podle toho, kolik

lo tře a k překroče í hra ič í zdále osti. 35

Obr. 10: O arve í podle počtu itera í. 35

PATRZALEK, Edyta. Introduction to Fractal Geometry. Fractal.org: Centre for Fractal Design and Consultancy [online]. [2008] [cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://www.fractal.org/Bewustzijns-BesturingsModel/Fractals-Useful-Beauty.htm

19

Juliov

oži Další i TEA fraktál , které úz e sou isí s Ma del roto ou

oži . Jeji h ro i e je stej á jako pro Ma del roto u a pro každý od se

ě í ý hozí hod ot

0.

oži ou, jsou Julio

oži u, je je c konstantní

Pro růz á c tak získá e odliš é Julio

oži . Je zajímavé, že pokud bod c je u itř Ma del roto je t oře a pouze jed ou, propoje ou částí. Pokud oži u, získá e definovat i jako

oži , Julio a

ere e od

í e odděle ý h částí. Ma del roto u

oži a

i o Ma del roto u

oži u lze tí

oži u ko ple í h čísel , pro která jsou odpo ídají í Julio

páde oži

souvislé. 36

Obr. 11: Vztah Juliový h

oži a Ma del rotov

oži .

2.4.3.3 L-systémy Li de

a ero

s sté

zkrá e ě též L-systémy) jsou generovány pomocí

přepiso a í h pra idel, která určují čí o ou částí. Dokážou do ře

(a za jakých podmínek) se má část fraktálu přepsat

odelo at ět í í se fraktály, jako jsou rostliny. Lze pomocí

nich si ulo at růst řas a ho á í u ěk a dovedou generovat i ěkteré klasi ké fraktál . Po o í přepiso a í h pra idel lze rostli roz ět it – rovný stonek je ahraze

e hat „růst“, lze určit, kd se má stonek

„přepsá “ roz ět e ý . L-s sté ů

ude ještě

vě o á a elá kapitola mé roč íko é prá e.

36

PATRZALEK, Edyta. Introduction to Fractal Geometry. Fractal.org: Centre for Fractal Design and Consultancy [online]. [2008] [cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://www.fractal.org/Bewustzijns-BesturingsModel/Fractals-Useful-Beauty.htm

20

Obr. 12: Travi

v tvoře é po o í L-s sté ů.

2.4.3.4 Náhodné fraktály, podivné atraktory a další Náhod é fraktál jsou

t áře

po o í sto hasti ký h pra idel. Jeji h ho á í

je o li ě o áhodou, často ale s určitý

pra děpodo

tře a Bro

apř. části e p lu ve odě). I kd ž je pohyb

ů

poh

(náhodný pohyb

ost í

rozlože í . Patří se

náhodný, má mnohé fraktální vlastnosti, má fraktální dimenzi, je eko eč ě podro atd. Náhodné fraktály jsou použí á

apříklad i při

ý

t áře í počítačo ě ge ero a ý h

krajin. Podivné atraktory se ge erují k so ě

od

pod í ká h

ěkolika fu k e i, takz a ý i atraktor , které

„přitahují“. Charakteristické pro ůže způso it, že fraktál ude

ě je, že i

alá z ě a ve výchozích

padat úpl ě ji ak. 37 38

37

Strange Attractors. FractalFoundation.org [online]. © 2013 [cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://fractalfoundation.org/OFC/OFC-7-1.html 38 Attractor. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001[cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://en.wikipedia.org/wiki/Attractor

21

2.5 Využití Neje že lze po o í fraktálů v reál é

t ářet pěk é o rázk , e istuje i široká škála

užití

ži otě. Nejspíše si a i eu ědo ujeme, že v kapse s sebou neustále nosíme

zaříze í, která při své ejdůležitější fu k i

uží ají fraktálové útvary.

2.5.1 Fraktálové antény Od doby, co

lo

aleze o rádio, řešili lidé jak dosáh out co ejlepšího sig álu.

Obvykle to z a e alo z ětšit a té u. Te to pro lé se a té

zakřivily do t aru připo í ají í

fraktál,

l

řeše s po o í fraktálů. Kd ž

ohl

ýt

ohe

elikosti. Na ísto eustálého z ětšo á í stačilo oh out drát na ještě tak pouze

delší při stej é e ší úsek a drát

plňo al ětší část plo h . 39 40

Obr. 13: Fraktálová anténa v mobilním telefonu.

2.5.2 Fraktálová komprese Fraktálová ko prese o rázků

uží á faktu, že jdou ajít fraktál té ěř šude,

tedy i apříklad na fotografii. Algorit us rozdělí o rázek na části a s aží se ajít části co ejpodo s

ohe

ější. Výhodou fraktálové komprese je, že se o rázk dají li o ol ě z ětšo at e ší ztrátou k alit , ež je tomu u klasi ký h for átů. To lze

dodateč é z ětše í fotografie. Ne ýhodou oproti klasi ký

for átů

užít i pro

je tro hu delší

doba komprese. 41 42 39

FRAME, Michael, Benoit MANDELBROT a Nial NEGER. Fractal Antennas. MANDELBROT. Yale University [online]. © 2015 [cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://classes.yale.edu/fractals/panorama/ManuFractals/FractalAntennas/FractalAntennas.html 40 Fractal Applications. FractalFoundation.org [online]. © 2013 [cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://fractalfoundation.org/OFC/OFC-12-2.html 41 GUPTA, Ashish. Fractal Image Compression. Digital Image Analysis [online]. [2003] [cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://www.cs.northwestern.edu/~agupta/_projects/image_processing/web/FractalImageCompression/

22

2.5.3 Počítačově vytvoře é kraji y Počítačo é ge ero á í kraji je dnes ve filmovém i ideoher í ěž é a ušetří grafiků o eko eč é podro

sto k hodi prá e. Po o í fraktálů lze

prů

t ářet

slu z ela

odel teré u

osti – hornaté i kop o ité kraji , řek , ostro , oblohu, stromy,

traviny, neznámé planety a tak dále.

Obr. 14: Tato krajina nikdy neexistovala.

Popíši zde ejjed odušší aria tu pro

t oře í áhod ého

odelu kraji , pro

jednoduchost ve D. )ač e e pří kou. Tu rozdělí e na polovinu a prostřed í posuneme o áhod ou zdále ost s ěre

ahoru e o dolů. Tento postup opakujeme

pro každou z o ě z iklý h úseček. Růz ě eliký posu utí odu

od

ůže e dosáh out růz é k alit kraji

rozsahe –

áhod é zdále osti pro

ůže e tí

o li it, zda bude

kraji a spíše kop o itá e o hor atá. 43

Obr. 15: Takto by

ohla v padat třetí itera e.

42

ZELINKA, VČELAŘ a ČANDÍK. Fraktál í geometrie: principy a aplikace. Praha 2006, strana 103-115 Generating Random Fractal Terrain. Game Programmer [online]. © 1996, 1997 [cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://www.gameprogrammer.com/fractal.html

43

23

2.5.4 Medicína V

edi í ě se

užití fraktálů tepr e začí á roz áhat. V íjí se apříklad postup,

pomocí kterého by šla rako i a odhalit u ožňuje pořizo á í

el i podro

ohe

dří e. D eš í te h ologie jako CT a MRI

ý h s í ků. Pro lé e

je, že pokud má člo ěk

odhalit rako i u ještě ve velmi brzkém stádiu, kdy je ádor el i rozliše í a al zo at elké je

usí při

soké

ožst í dat. Řešením je tuto úlohu pře e hat počítači, který

ohokrát r hlejší. A

a ezdra ou tká í,

alý,

ůže e

ho

dokázali počítači popsat rozdíl

užít toho, že nádor má o

kle

ezi zdra ou

šší fraktál í di e zi ež

zdra á tkáň. 44

2.5.5 Další využití Dále se fraktál

uží ají kupříkladu k analýze cen na trhu, při ýro ě la , která

dokážou udržet i ěkolikatu o ou ko struk i, jakou je most, jako potisk na trička, k

ěře í

ožst í stře a ého o idu uhličitého v lesích, při plá o á í

a k espočet ý

další

ěst a dopravy

účelů .

44

Fractal Applications. FractalFoundation.org [online]. © 2013 [cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://fractalfoundation.org/OFC/OFC-12-4.html

24

2.6 Lindenmayerovy systémy Li de

a ero

s sté

, azý a é též zkrá e ě L-systémy byly objeveny v roce

aďarsko-nizozemským biologem Aristidem Lindenmayerem.45 Lindenmayer se v té do ě za ý al studie pouze k

růstu růz ý h druhů řas a L-systé

odelo á í růstu rostli na úro i u ěk. Později

rostlinné struktury a ke generování i ji ý h ež rostli

ěl pů od ě sloužit l rozšíře

i na složitější

ý h fraktál í h struktur. 46

2.6.1 Přepisová í, itera e Při ge ero á í po o í

oži

repreze to á

uží ají L-systémy opako a é ahrazo á í jed odu hý h út arů

přepiso a í h pra idel. Nejčastěji jsou Li de po o í řetěz ů z aků. Na začátku

Přepiso a í pra idla á

písmenem

s sté

á e ý hozí řetěze , tz . a io .

říkají, jaký i z ak je nahrazen znak z pů od ího řetěz e.

U eď e si příklad. Vý hozí že každý z ak

a ero

a io e

nahradíme znaky

ude . Přepiso a í pra idlo →

. Druhé pravidlo

→

říká,

nahradí písmeno

. Důležité je, že se pra idla aplikují součas ě. Ji ak by druhé pravidlo

způso ilo, že ve výsledku budou pouze samá . 47 V první iteraci z pů od ího epřepíše, jelikož

řetěz i zatí

V druhé iteraci se z řetězce opakováním bychom získali

získáme e í příto

stane

.

. Druhé pra idlo zatí o žád é

, které by se dalo nahradit.

bylo nahrazeno

, pak

žád ý z ak

az

se stalo . Další

a tak dále.

2.6.2 Želví grafika Nejčastější způso i terpreta e s pravidel je tz . „žel í grafika“. Každý ze s

olů

ge ero a ý h po o í přepiso a í h

olů je pro po

sl ou žel u určitý

příkaze ,

jako je apříklad „jdi o krok dopředu“ e o „otoč se dopra a“. Žel a s sebou má štěte , kterým zaznamenává svou cestu. Sta žel

a s ěre , který

se žel a

dívá. Lze zapsat jako uspořáda ou troji i ( , , �), která udá á souřad i e žel

ro i ě

a úhel jejího otoče í zhlede

je dán pozicí žel

k ose . )de jsou základ í po el , které žel a z á:

45

L-system. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001[cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://en.wikipedia.org/wiki/L-system 46 PRUSINKIEWICZ a LINDENMAYER. The algorithmic beauty of plants. New York 1990, strana 1 47 PRUSINKIEWICZ a LINDENMAYER. The algorithmic beauty of plants. New York 1990, strana 3-4

25



� Písmeno , nebo i ji é elké pís e o a e ed říká žel ě „jdi o krok dopředu“,

přiče ž žel a za sebou štět e

za e há á stopu, tj. akreslí čáru od její pů od í

do nové pozice. Nová pozi i žel sin � , �), kde je délka kroku žel .

  

( ′,

′

, �′) je nyní ( + ∙ cos � , + ∙

Obr. 16: Výpočet ové pozi e želv .

� Malé pís e o a e ed

posu e žel u o krok dopředu, je

za se ou žel a

te tokrát e ude kreslit čáru. + Otočí žel u proti s ěru hodi o ý h ručiček o úhel �. No ý sta žel

( , , � + �).

- Otočí žel u po s ěru hodi o ý h ručiček. Nový stav žel

ted

ude

bude ( , , � − �). 48

Ukaž e si, jak apsat žel í grafikou tře a pís e o F. Nejpr e půjde e d a krok ro ě ahoru (

). Poté se otočí e doprava (−) a udělá e jede krok ( ), úhel otáče í

je 90°. Znovu se otočí e po s ěru hodi o ý h ručiček (−), te tokrát šak čáru kreslit nebudeme (�). ) ý á á

otočka po s ěru hodi o ý h ručiček (−) a poslední krok ( )

a aše F je hotové. Celou estu žel

48

zapíše e jako

−

−�− .

PRUSINKIEWICZ a LINDENMAYER. The algorithmic beauty of plants. New York 1990, strana 6-7

26

2.6.3 Souvislé L-systémy N í, kd ž spojí e dohro ad a dokáže e s

ol

ge ero á í po o í přepiso a í h pra idel

i terpreto at po o í žel í grafik ,

ůže e začít modelovat

fraktály. Axiomem pro generování Kochovy kři k je jediný krok přepiso a í pra idlo

→

+

− − + . Úhel otoče í je 60°. Přepiso a í pra idlo říká,

že ahrazuje e každou úsečku protože ji é ež ro ě, poté další

v to to případě e á e krokem

o 60° otoče ý , otočí e se o 120° dopra a, akreslí e další úsečku

a poslední nakreslíme otoče ou o 60° doleva. Může e popsat postup

. Na ěj aplikuje e

t áře í Ko ho

kři k

idět, že L-s sté

last ě el i podo

ý

dokážou

způso e , jak jsme

si popisovali v jedné z prvních kapitol. 49 50

Obr. 17: Ko hova křivka jako L-systém.

49

PRUSINKIEWICZ a LINDENMAYER. The algorithmic beauty of plants. New York 1990, strana 11-17 L-systém. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001[cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://cs.wikipedia.org/wiki/L-syst%C3%A9m

50

27

2.6.4 Větve í N í již dokáže e

t ářet po o í L-s sté ů fraktál , které jsou t oře

souvislou linkou. Kdybychom ale htěli ejpr e

jed ou

t ářet ět í í se struktury, museli bychom

t ořit jed u ěte , poté se vrátit na

ísto ět e í a odtud pak kreslit ěte

další. Člo ěk je aštěstí lí ý a proto nám tuto práci usnadnil. K žel í

příkazů

á

při udou další d a z ak . 

[ Hra atá zá orka říká žel ě „zapa atuj si aktuál í pozi i“, přes ěji „ulož s ůj sta na záso



ík“. Zásobník si

ůže e předsta it apříklad jako sloupek talířů – talíř,

který js e položili na hromadu jako poslední, z ní vezmeme jako první. ] Uza írají í hra atá zá orka z a e á pro žel u „ rať se na svou poslední zapa ato a ou pozi i“, e oli „ ačti sta ze záso Tí

ůže e jed oduše

t ářet ět í í se struktury. Jed oduše uza ře e ěte

do hranatých závorek. Tím se před a po doko če í ět e se

íku“. 51

t áře í

ět e uloží sta

žel

na zásobník

ůže zase rátit zpět.

Jako příklad ět í í se struktury si ukáže e jednoduchý strom. Strom roste tím způso e , že v každé itera i

roste ěte na dvojnásobnou délku a na konci se roz ět í.

Roz ět ují se žd je kraj í

ladé ět e. Nekraj í starší části ět e pouze rostou.

Mladé ět e udou repreze to á zač e růst z jedi é

ladé ět ičk

stane stará a vyroste z ní jed a →

+

pís e e

, staré ět e pís e e

, která je axiomem. V každé itera i se z

. Strom ladé ět e

ladá ěte dole a úhel otoče í je 45°) a druhá doprava

[− ]. Růst starší h ět í zapíše e jako

→

.

Obr. 18: Růst stro u.

51

PRUSINKIEWICZ a LINDENMAYER. The algorithmic beauty of plants. New York 1990, strana 24

28

2.6.5 Další rozšíře í 2.6.5.1 Vykreslování ve 3D Výhodou L-s sté ů je jeji h s ad á rozšiřitel ost o o é příkaz . Tak lze jed oduše příkaz |, který z a e á „čele

zad“ e oli otoče í o 180°. Dále lze L-systémy

rozšířit i pro generování fraktálu v prostoru. 







^ „Otoč se ahoru“ o přede

sta o e ý úhel.

& Otoče í dolů o daný úhel. / Otoče í dopleva podél last í os žel a by ez ě ila s ěr, který

by se dívala,

ale otočila by se apř. na stranu nebo na záda). \ Otoče í podél last í os dopra a po s ěru hodi o ý h ručiček při pohledu zezadu na žel u

52

2.6.5.2 Stochastické L-systémy Stochastické L-s sté Nejjed odušší

způso e

přidá ají do přepiso á í anebo vykreslování prvek náhody. je při

( apř. o ±20%). V ge ero a é s

kreslo á í áhod ě o tro hu

ě it úhel a délku kroku

ol tak udou žd stej é, ale ýsled ý o raz ude

pokaždé o ě o jiný. 53 54

Obr. 19: Náhodná délka a úhel.

52

PRUSINKIEWICZ a LINDENMAYER. The algorithmic beauty of plants. New York 1990, strana 18-21 PRUSINKIEWICZ a LINDENMAYER. The algorithmic beauty of plants. New York 1990, strana 28 54 L-systém. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001[cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://cs.wikipedia.org/wiki/L-syst%C3%A9m 53

29

Další

ož ostí je přidat

áhodu již při sa ot é

ge ero á í, kd

pra idlu přiřadí e určitou váhu, která určuje, s jakou pra děpodo se pravidlo vybere. Pra děpodo přepiso a í

ost í po ěr zapisuje e

každé u

ostí ůči ostat í ad šipku

daném

pra idle. 55 56

Obr. 20: Náhod é přepisova í pravidlo.

2.6.5.3 Parametrické L-systémy Parametrické L-s sté para etr , které

přidá ají

ož ost přidat ke z aků

ohou ýt při i terpreta i žel í grafikou použit

délk čár , její tloušťk , úhlu rota e a podo

L-systému

apříklad pro urče í

ě. Jednotlivé parametry zapisujeme za daný

znak do kulatých závorek, odděluje e je čárkou. Para etre

ůže ýt číslo, pro ě

á,

nebo matematický výraz. 57 Přepiso a í pra idlo

ůže

padat

apříklad takto:

Toto přepiso a í pra idlo by apříklad z axiomu 2

(8,3). V další itera i ) ke

ho

získali

ý á při i terpreta i

2

4

4,3

( , ) → ( /2) v pr í itera i

(8, ). t ořilo

(8,3).

rát pr í para etr jako délku kroku, u z aků

+ a – jako úhel rotace. I terpreta e další h para etrů je již růz á. Pokud parametr ezapíše e, použije se výchozí hodnota, která by se použila i u bezparametrických

L-s sté ů. 58

55

PRUSINKIEWICZ a LINDENMAYER. The algorithmic beauty of plants. New York 1990, strana 28 L-systém. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001[cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://cs.wikipedia.org/wiki/L-syst%C3%A9m 57 PRUSINKIEWICZ a LINDENMAYER. The algorithmic beauty of plants. New York 1990, strana 41-42 58 PRUSINKIEWICZ a LINDENMAYER. The algorithmic beauty of plants. New York 1990, strana 46 56

30

2.6.5.4 Pod í ě é přepisová í Parametrické L-systémy lze ještě dále rozšířit o pod í ě é přepiso á í. Pokud se pod í ka

hod otí jako pra di á, přepiso a í pra idlo se použije, opač é

případě

se přepiso a í pra idlo přeskočí a zůsta e pů od í s

ol. Podmínky se zapisují

ks

ásleduje d ojtečka, poté

olu před šipkou. Za symbolem (a jeho para etr

podmínka. V pod í ká h

ůže e kro ě arit eti ký h operátorů a porovnávacích

operátorů (<, >, =) použít i logické operátory &, |

,

Přepiso a í

pra idlo

:

!=0 →

>= 3 &

3 a záro eň

s pod í kou

! (and, or a not). 59 60

ůže

padat

apříklad

. Pravidlo lze přečíst jako: „pokud

není rovno 0, tak přepiš ( , ) za

ásledo ě:

je ětší e o ro o

“.

2.6.5.5 Kontextové L-systémy Kontextové L-s sté

á

u ožňují při oz ače í z aku, který má ýt přepsá

brát ohledy i na jeho sousedy. Na levého souseda vybraného znaku ukazujeme pomocí z ačk <, na pravého pomocí >.61 Pravidlo kontextového systému by Toto pra idlo přepíše še h a 2.6.5.6 Další L-s sté

ohlo

padat tře a takto:

následovaná písmenem .

by rostl ve 3D

→

.

ož á rozšíře í jdou sa ozřej ě rozšiřo at dále a dále. Lze apříklad přidat si ula i

gravitace, která jako i v přírodě táh e ět e stro ů s ěre rozšířit

>

apříklad tak, a

reago al na prostředí, apříklad d a stro

é ě na so ě při rá e é stra ě. Také lze přidat odelů, dík který

dolů. Nebo lze L-systémy lízko u sebe

kreslo á í o rázků, e o

ůže e tře a na ko e sto ku jed oduše přidat k ět e o

list. )áleží na ko krét í h potře á h, o co člo ěk L-systémy dále obohatí.

59

PRUSINKIEWICZ a LINDENMAYER. The algorithmic beauty of plants. New York 1990, strana 41-42 L-systém. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001[cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://cs.wikipedia.org/wiki/L-syst%C3%A9m 61 PRUSINKIEWICZ a LINDENMAYER. The algorithmic beauty of plants. New York 1990, strana 30

60

31

3. Prakti ká část Prakti ká část o saho ala d ě části. Tou pr í

lo

t oře í progra u

na vykreslování L-s sté ů. K naprogramování jsem si vybral jaz k C#, jed ak protože v C# umím programovat nejlépe, za druhé k ůli .Net Fra e orku, který prá i ýraz ě us adňuje. Program sestává ze d ou hla í h částí a to části ge erují í L-systém podle přepiso a í h pra idel a interpreteru L-s sté ů „žel “ . T to části jsou odděle é i v grafickém rozhraní. Uži atel si zvolí axiom L-systému a zadá jed otli á přepiso a í pravidla a z olí počet itera í. Progra

ásled ě

ge eruje L-systém v te to é podo ě.

Dále pak asta í para etr žel , jako je apříklad úhel otoče í a délka kroku. Žel a pak L-systém vykreslí. Je

ož é použí at o ě části progra u odděle ě – lze generovat

L-systém pouze v te to é podo ě,

e o lze zadat

last í příkaz

žel ě a nechat

je vykreslit.

Obr. 21: Ukázka uživatelského rozhra í progra u.

V druhé

části

jse

se ě o al

odelo á í

L-s sté ů

Na modelování jsem si vybral online generátor L-s sté ů modelovat i pokročilé L-s sté rostlin

s áhod ý

ý ěre

. V zkoušel jse přepiso a ího

si

ěkolika

rostli .

als s. z, který z ládá

odelo á í složitější h sto hasti ký h pra idla

i náhodnou

délkou/úhlem

při interpretaci i práci s tříroz ěr ý i L-systémy. Naprogramoval jsem L-systém kapradi , sto hasti ké tra i , tříroz ěr ý sto hasti ký stro

a další

Rostliny lze nalézt i v online galerii generátoru malsys a jsou přilože

e ší L-systémy. v příloze na konci

roč íko é prá e. 32

4. U ěle ká část U u ěle ké části jse

dlouho

ěkterý h klasi ký h fraktálů mi přišla by

la

e ěděl, co

h

last ě

ohl udělat. Kres a

o jed odu há. Naopak tře a

el i složitá. Stej ě tak i kresle í

last í h

al a fraktálů TEA

šle ý h fraktálů je moc

jednoduché a malba fraktálového charakteru inspirovaná komplexními fraktály zase moc složitá. Na í jse Došel jse

htěl t ořit spíše ě o ko krét ějšího ež a strakt í o raz e.

ted k tomu, že nebudu malovat pří o fraktál , ale že namaluji obraz, který

je fraktály inspirován. O z láště

e zají ají přírod í fraktál a fraktálové rostliny, došel

jsem tedy k tomu, že namaluji obraz, ve kterém budou rostliny fraktálového charakteru. )ačal jse

ejpr e ěkolika áčrt a poté ětší kres ou uhle . Pak jse

podle zorů

namaloval na papír formátu A3 podklad akvarelovými barvami. Nakonec jsem pastelkami namaloval strom a doladil ěkolik detailů.

Obr. 22: Doko če á u ěle ká část.

33

5. Závěr V roč íko é prá i js e si řekli o tom, co je to fraktál a popsali jeho typické vlastnosti. Pak jsme se podívali na ži ot Be oita B. Ma del rota – člo ěka, který je po právu nazýván otcem fraktální geometrie, a který el i přispěl k rozvoji fraktální geometrie. V s ětlili js e si, jaký i růz ý i způso nacházejí v každode

í

fraktálů z a ý h Li de

ži otě. Tro hu podro a ero

s sté

lze fraktály generovat a jaké

užití

ěji js e se pak podívali na skupinu

, po o í který h lze přede ší

do ře

popisovat rostliny. Doufám, že se mi podařilo čte áři eje sdělit spoustu informací z oblasti fraktální geo etrie, ale hla ě ukázat, že fraktál

ejsou je zají a é

ate ati ké

oži

e o

barevné obrazce, ale že dokážou po o í jed odu hý h pra idel popiso at i tak složité út ar , jako apříklad rostli , které se vyskytují v přírodě šude kole a házejí

ohe

ětší prakti ké

užití, ež si

M ě dala roč íko á prá e opra du se fraktálů , které jse

předtí

ož á ěkteří

ás a že fraktály

sleli.

oho. Měl jse

ož ost

ě o at

z al pouze okrajo ě í e do hloubky, obzvláště

e

zaujaly fraktály v přírodě a jejich modelování. Trochu jsem se zdokonalil i v praktických dovednostech programování a hla ě jse

se aučil, jak se má psát odborná práce a jak

se pracuje se zdroji a odbornou literaturou. Pro které jse

dík roč íko é prá i získal. Ze začátku jse

a psa í roč íko é prá e jse Roč íko ou prá i jse

přede ší

ěl jse

ů e

eko u iko al s vedoucím

ze strachu, že mi to epůjde pořád odkládal.

začal psát až ke konci prosince a bylo to poprvé, co jsem opravdu

narazil díky tomu, že ě o dělá bavilo, a

ě to ejdůležitější jsou ale zkuše osti,

na poslední chvíli. Nakonec

huť jí dále a dále rozšiřo at a

se last ě htěl ě o at ještě í e a progra

ě psa í roč íko é prá e

lepšo at. I prakti ké části

h

dále rozšířit.

34

Sez a

použitý h pra e ů a literatury

Použitá literatura 



MANDELBROT, Benoit B. The fractal geometry of nature. Vyd. 3. New York: Freeman and company, 1983, 468 s. ISBN 07-167-1186-9. PRUSINKIEWICZ, Przemyslaw a Aristid LINDENMAYER. The algorithmic beauty of plants. New York: Springer-Verlag, 1990, xii, 228 p. ISBN 35-409-7297-8.



Dostupné z: http://algorithmicbotany.org/papers/abop/abop.pdf )ELINKA, I a , Fra tišek VČELAŘ a Marek ČANDÍK. Fraktální geometrie: principy a aplikace. 1. vyd. Praha: BEN, 2006, 159 s. ISBN 80-730-0191-8.

Internetové zdroje 

Attractor. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001- [cit. 2015-02-27]. Dostupné z:



http://en.wikipedia.org/wiki/Attractor Benoit Mandelbrot. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001- [cit. 2015-02-27]. Dostupné z:

 

http://en.wikipedia.org/wiki/Benoit_Mandelbrot Benoit Mandelbrot. NNDB [online]. © 2014 [cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://www.nndb.com/people/752/000022686/ DEVANEY, Robert L. Unveiling the Mandelbrot set. Plus.maths.org [online]. August 31, 2006 [cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://plus.maths.org/content/unveiling-



mandelbrot-set DRAVES, Scott a Erik RECKASE. The Fractal Flame Algorithm. RECKASE, Erik. The Flame Algorithm [online]. September 2003, November 2008 [cit. 2015-02-27].



Dostupné z: http://flam3.com/flame_draves.pdf FIŠER, Marek. L-systems online [online]. Prague, 2012 [cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://www.malsys.cz/Download/MarekFiser-LsystemsOnline.150208.v101.pdf.



Bakalářská prá e. Charles U i ersit in Prague. Fractal antenna. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001- [cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal_antenna

35

  

Fractal Applications. FractalFoundation.org [online]. © 2013 [cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://fractalfoundation.org/OFC/OFC-12-4.html Fractal Applications. FractalFoundation.org [online]. © 2013 [cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://fractalfoundation.org/OFC/OFC-12-2.html Fractal compression. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001- [cit. 2015-02-27]. Dostupné z:



http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal_compression Fractal dimension. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001- [cit. 2015-02-27]. Dostupné z:

 

http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal_dimension Fractal Geometry. IBM United States [online]. May 18, 2011 [cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://www-03.ibm.com/ibm/history/ibm100/us/en/icons/fractal/ Fractal landscape. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001- [cit. 2015-02-27]. Dostupné z:



http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal_landscape Fractals in Science, Engineering and Finance (Roughness and Beauty). MIT Video [online]. 2001-11-27 [cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://video.mit.edu/watch/fractals-in-science-engineering-and-finance-



roughness-and-beauty-9893/ Fractals. The Math Images Project [online]. July 22, 2008, 19 December 2012 [cit. 2015-02-27]. Dostupné z:



http://mathforum.org/mathimages/index.php/Field:Fractals Fraktál. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001- [cit. 2015-02-27]. Dostupné z:



http://cs.wikipedia.org/wiki/Frakt%C3%A1l FRAME, Michael, Benoit MANDELBROT a Nial NEGER. Fractal Antennas. MANDELBROT. Yale University [online]. © 2015 [cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://classes.yale.edu/fractals/panorama/ManuFractals/FractalAntennas/Fractal



Antennas.html FRAME, Michael. Benoit B. Mandelbrot: A Biographical Memoir. National Academy of Sciences [online]. © 2014 [cit. 2015-02-27]. Dostupné z: 36

http://www.nasonline.org/publications/biographical-memoirs/memoir 

pdfs/mandelbrot-benoit.pdf Generating Random Fractal Terrain. Game Programmer [online]. © 1996, 1997 [cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://www.gameprogrammer.com/fractal.html GREGOROVÁ, Dagmar. Stal jsem se konstruktérem geometrie. OSEL.cz [online]. 19.10.2010 [cit. 2015-02-27]. Dostupné z:



http://www.osel.cz/index.php?clanek=5346 Guardian obituary. The MacTutor History of Mathematics archive [online]. 18 October 2010 [cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://www-history.mcs.st-



and.ac.uk/Obits2/Mandelbrot_Guardian.html GUPTA, Ashish. Fractal Image Compression. Digital Image Analysis [online]. [2003] [cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://www.cs.northwestern.edu/~agupta/_projects/image_processing/web/Frac



talImageCompression/ HOTAŘ, Vlasti il. Fraktál í geo etrie a fraktály. Fraktální geometrie [online]. [2006] [cit. 2015-02-27]. Dostupné z:



http://www.ksr.tul.cz/fraktaly/geometrie.html Iterated function system. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001- [cit. 2015-02-27]. Dostupné z:



http://en.wikipedia.org/wiki/Iterated_function_system JABLONSKI, Adrian. Grundlagen der fraktalen Geometrie mit iterierten Funktionensystemen (IFS). Quadsoft.org [online]. Juli 2011 [cit. 2015-02-27].



Dostupné z: http://quadsoft.org/fraktale/ L-system. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001- [cit. 2015-02-27]. Dostupné z:



http://en.wikipedia.org/wiki/L-system L-systém. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001- [cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://cs.wikipedia.org/wiki/L-syst%C3%A9m

37



Mandelbrot set. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001- [cit. 2015-02-27]. Dostupné z:



http://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set O'CONNOR, J. J. a E. F. ROBERTSON. Mandelbrot biography. The MacTutor History of Mathematics archive [online]. © July 1999, 2014 [cit. 2015-02-27]. Dostupné z:



http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Mandelbrot.html PATRZALEK, Edyta. Fractals: Useful Beauty. Elika Kurniadi [online]. October 10, 2011 [cit. 2015-02-27]. Dostupné z:



https://elikakurniadi.wordpress.com/2011/10/10/fractal-geometry/ PATRZALEK, Edyta. Introduction to Fractal Geometry. Fractal.org: Centre for Fractal Design and Consultancy [online]. [2008] [cit. 2015-02-27]. Dostupné z:



http://www.fractal.org/Bewustzijns-Besturings-Model/Fractals-Useful-Beauty.htm Rotations: the how's and why's. Pete's QBASIC / QuickBasic Site [online]. [2004] [cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://www.petesqbsite.com/sections/tutorials/tuts/relsoft3d/Chapter2/Chapter



2.htm SIXTA, To áš. Ú od do fraktálů a chaosu. ITnetwork.cz [online]. © 2015 [cit. 201502-27]. Dostupné z: http://www.itnetwork.cz/fraktaly-a-chaos-eukleidovska-

 

geometrie-uvod-svitani-chaosu Strange Attractors. FractalFoundation.org [online]. © 2013 [cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://fractalfoundation.org/OFC/OFC-7-1.html Telegraph obituary. The MacTutor History of Mathematics archive [online]. © 2010 [cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://www-history.mcs.st-



and.ac.uk/Obits2/Mandelbrot_Telegraph.html WAHL, Bernt Rainer. Calculating Fractal Dimension. Fractal Explorer [online]. © 2014 [cit. 2015-02-27]. Dostupné z: http://www.wahl.org/fe/HTML_version/link/FE4W/c4.htm

38

Seznam zdrojů ilustra í O r. : Ko struk e Ko ho

kři k . ..................................................................................... 10

http://quadsoft.org/fraktale/koch.png; upraveno (14. 1. 2015) O r. : )á islost

ěřítka a dimenze. ................................................................................... 12

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4d/Fractaldimensionexampl e.PNG; upraveno (15. 3. 2015) Obr. 3: Konstrukce Sierpinského trojúhelníku. ................................................................... 13 http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/05/Sierpinski_triangle_evol ution.svg; upraveno (2. 3. 2015) O r. : Sierpi ského trojúhel ík jako kři ka. ...................................................................... 13 http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/ae/Arrowhead_curve_1_thr ough_6.png (2. 3. 2015) O r. : Šest itera í Ka toro

oži . .............................................................................. 13

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/56/Cantor_set_in_seven_ite rations.svg (2. 3. 2015) O r. : Kři ka, která

plňuje plo hu. ................................................................................. 14

https://cedevertiginoushoplist.files.wordpress.com/2012/11/peano-curve.jpg (2. 3. 2015) O r. : Číslo +2i v ko ple í ro i ě. ................................................................................. 16 V t oře o v programu GeoGebra Obr. 9: Vzdálenost bodu od počátku. .................................................................................. 17 V t oře o programu GeoGebra O r.

: Ma del roto a

oži a. ...................................................................................... 19

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/56/Mandelset_hires.png (2. 3. 2015) O r.

: O ar e í podle počtu itera í. ................................................................................ 19 http://rosettacode.org/mw/images/2/2a/Mandelbrot-Javascript.png; upraveno (2. 3. 2015)

O r.

: Vztah Julio ý h

oži a Ma del roto

oži . ............................................. 20

http://ocw.upm.es/matematica-aplicada/introduccion-a-los-sistemasdinamicos/contenidos/IMAGES/juliaenmandel.gif (2. 3. 2015) O r.

: Tra i

t oře é po o í L-s sté ů. .................................................................. 21 39

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/af/Fractal_weeds.jpg (2. 3. 2015) Obr. 14: Fraktálová anténa v mobilním telefonu. ............................................................... 22 http://classes.yale.edu/fractals/panorama/ManuFractals/FractalAntennas/FracT enna1.gif (24. 5. 2015) Obr. 15: Tato krajina nikdy neexistovala. ............................................................................ 23 http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/40/BlueRidgePastures.jpg (24. 5. 2015) Obr. 16: Takto by

ohla

padat třetí itera e. ................................................................... 23

http://www.gameprogrammer.com/fractal/mpd3.gif (24. 5. 2015) O r.

: Výpočet o é pozi e žel ..................................................................................... 26 V t oře o programu GeoGebra

O r.

: Ko ho a kři ka jako L-systém................................................................................ 27 http://w3-o.cs.hm.edu/~ruckert/compiler/www.math.okstate.edu/img109.gif (24. 1. 2015)

O r.

: Růst stro u. .......................................................................................................... 28 http://en.wikipedia.org/wiki/L-system#mediaviewer/File:Graftal0.png http://en.wikipedia.org/wiki/L-system#mediaviewer/File:Graftal1.png http://en.wikipedia.org/wiki/L-system#mediaviewer/File:Graftal2.png http://en.wikipedia.org/wiki/L-system#mediaviewer/File:Graftal3.png http://en.wikipedia.org/wiki/L-system#mediaviewer/File:Graftal4.png http://en.wikipedia.org/wiki/L-system#mediaviewer/File:Graftal7.png; upraveno (25. 1. 2015)

Obr. 20: Náhodná délka a úhel. ........................................................................................... 29 http://cs.wikipedia.org/wiki/Lsyst%C3%A9m#mediaviewer/File:RandomizedPythagorasLsystem.svg (26. 1. 2015) O r.

: Náhod é přepiso a í pra idlo............................................................................... 30 http://cs.wikipedia.org/wiki/Lsyst%C3%A9m#mediaviewer/File:PythagorasStochasticLsystem.svg (26. 1. 2015)

40

Sez a 



příloh

Příloha : Model rostli – L-systémy Příloha : Program na generování L-s sté ů – zdrojové kódy

41

Příloha : Modely rostli – L-systémy Kapradina lsystem StochasticPlant { let li = 0.9; //length increase let wi = 0.8; //width increase let bi = 0.4; //branch increase let angle = 45; let td = 0.5; //decrease first branch part length let width = 0.2; set set set set set

iterations = 7; initialAngle = 90; symbols axiom = A(10, 1, 1); tropismVector = {0, 1, 0}; tropismCoefficient = 2;

rewrite A(l, w, f) where f==0 to F(l*li, w*wi) [+A(l*li*bi, w*wi*bi, 1)] [-A(l*li*bi, w*wi*bi, 1)] A(l*li, w*wi, 0); rewrite A(l, w, f) where f==1 to F(l*li*td, w*wi*td) [+A(l*li*bi, w*wi*bi, 1)] [-A(l*li*bi, w*wi*bi, 1)] A(l*li, w*wi, 0); interpret interpret interpret interpret interpret interpret interpret

A(l, B(l, F(l, + as - as [ as ] as

w, f) as DrawForward(l, width); w) as DrawForward(l, width); w) as DrawForward(l, width); TurnLeft(angle); TurnLeft(-angle); StartBranch(); EndBranch();

} process StochasticPlant with SvgRenderer;

42

Stochastické traviny lsystem Grass { let angle = 14; let thickness = 0.1; set set set set set

iterations = 8; initialAngle = random(80, 110); tropismVector = {0, -1, 0}; tropismCoefficient = 2; symbols axiom = A(10);

rewrite A(x) where x<10 to F(x*0.75)[+A(x*0.5)]B(x) weight 5 to F(x/2)[+F(x)] weight 1; rewrite A(x) to F(x*0.75)[+A(x*0.5)]B(x); rewrite B(x) where x<10 to F(x*0.75)[-B(x*0.5)]A(x) weight 5 to f weight 1; rewrite B(x) to F(x*0.75)[-B(x*0.5)]A(x); interpret interpret interpret interpret interpret interpret interpret

F(x) A(x) B(x) + as - as [ as ] as

as DrawForward(x, thickness); as DrawForward(x, thickness); as DrawForward(x, thickness); TurnLeft(angle); TurnLeft(-angle); StartBranch(); EndBranch();

} process Grass with SvgRenderer;

43

Strom fun randomize (number, maxDistance) { return number + random(0, maxDistance) -random(0, maxDistance); } lsystem Tree { let let let let let let

tlm = 0.8; //trunkLength multiplier blm = 0.8; //branchLength multiplier wm = 0.7; //widthMultiplier angle = 20; rotation = 137.5; rran = 20; //rotation randomness

set set set set set

iterations = 10; initialAngle = 90; tropismVector = {0, -1, 0}; tropismCoefficient = 3; symbols axiom = /(random(0, 360)) A(10, 1);

rewrite A(l, w) to F(l, w) /(randomize(rotation, rran))[+B(l*blm, w*wm)] A(l*tlm, w*wm); rewrite B(l, w) to F(l, w) /(randomize(rotation, rran))[+C(l*blm, w*wm)] B(l*blm, w*wm); rewrite C(l, w) to F(l, w) /(randomize(rotation, rran))[-B(l*blm, w*wm)] C(l*blm, w*wm); interpret interpret interpret interpret interpret interpret interpret interpret

F(l, A(l, B(l, + as - as /(r) [ as ] as

w) as DrawForward(l, w); w) as DrawForward(l, w); w) as DrawForward(l, w); TurnLeft(angle); TurnLeft(-angle); as Roll(r); StartBranch(); EndBranch();

} process Tree with SvgRenderer;

44

Příloha : Progra

na generování L-systé ů – zdrojové kódy

Turtle.cs using System; using System.Collections.Generic; using System.Drawing; namespace LSystem { class Turtle { private Position position; private Bitmap buffer; private Stack savedPositions; public Turtle(Position start, Size canvasSize) { position = start; position.angle += 180; buffer = new Bitmap(canvasSize.Width, canvasSize.Height); savedPositions = new Stack(); } public void TurnRight(float angle) { position.angle += angle; } public void TurnLeft(float angle) { TurnRight(-angle); } public void TurnBackwards() { position.angle += 180; } public void BeginBranch() { savedPositions.Push(position); } public void EndBranch() { position = savedPositions.Pop(); }

public void MoveForward(float length) { position.x += length * (float)Math.Cos(position.angle * Math.PI / 180); position.y += length * (float)Math.Sin(position.angle * Math.PI / 180); } public void DrawForward(float length) { Position oldPosition = position; MoveForward(length); DrawLine(oldPosition, position); }

45

public Bitmap GetImage() { return buffer; } private void DrawLine(Position from, Position to) { using (Graphics g = Graphics.FromImage(buffer)) { g.DrawLine(Pens.Black, from.x, from.y, to.x, to.y); } } } }

RewritingRule.cs namespace LSystem { struct RewritingRule { public RewritingRule(char toRewrite, string rewriteWith) { this.toRewrite = toRewrite; this.rewriteWith = rewriteWith; } public char toRewrite; public string rewriteWith; } }

Program.cs using System; using System.Windows.Forms; namespace LSystem { static class Program { [STAThread] static void Main() { Application.EnableVisualStyles(); Application.SetCompatibleTextRenderingDefault(false); Application.Run(new FrmLSystem()); } } }

Position.cs namespace LSystem { struct Position { public Position(float angle, float x, float y) { this.angle = angle; this.x = x; this.y = y; } public float angle, x, y; } }

46

LSystemParser.cs using System; using System.Text.RegularExpressions; namespace LSystem { class LSystemParser { private char ruleSeparator; private char rulePartsSeparator; public LSystemParser(char ruleSeparator, char rulePartsSeparator) { this.ruleSeparator = ruleSeparator; this.rulePartsSeparator = rulePartsSeparator; } public LSystem Parse(string axiom, string rules) { LSystem parsedLSystem; if (AxiomValid(axiom)) { parsedLSystem = new LSystem(axiom, getRewritingRules( SplitRules(rules, ruleSeparator), rulePartsSeparator)); } else { throw new ArgumentException( "The axiom \"" + axiom + "\"is not valid."); } return parsedLSystem; }

private RewritingRule[] getRewritingRules(string[] rules, char separator) { RewritingRule[] rewritingRules = new RewritingRule[rules.Length]; for (int i = 0; i < rules.Length; i++) { char toRewrite = rules[i][0]; string rewriteWith = rules[i].Split(separator)[1]; RewritingRule r = new RewritingRule(toRewrite, rewriteWith); rewritingRules[i] = r; } return rewritingRules; }

47

private string[] SplitRules(string rules, char separator) { rules = rules.Trim(); rules = rules.Remove(rules.Length - 1); string[] individualRules = rules.Split(separator); for (int i = 0; i < individualRules.Length; i++) { string rule = individualRules[i].Trim(); if (RuleValid(rule)) { individualRules[i] = rule; } if (!RuleValid(rule)) { throw new ArgumentException( "The rule \"" + rule + "\" is not valid."); } } return individualRules; } private bool AxiomValid(string axiom) { return Regex.IsMatch(axiom, @"^[\w\+-\[\]|]{1,}$"); } private bool RuleValid(string rule) { return Regex.IsMatch(rule, @"^[\w\+-\[\]|]{1}=[\w\+-\[\]|]{1,}$"); } } }

48

LSystemManager.cs using System.Drawing; namespace LSystem { class LSystemManager { private LSystem lSystem; private LSystemParser parser; private Turtle turtle; public LSystemManager() { parser = new LSystemParser(';', '='); } public Bitmap GetImage(string commands, float turnAngle, float stepLength, float x, float y, int width, int height) { turtle = new Turtle(new Position(90f, x, y), new Size(width, height)); foreach (char c in commands) { if (c == '+') turtle.TurnRight(turnAngle); else if (c == '-') turtle.TurnLeft(turnAngle); else if (c == '[') turtle.BeginBranch(); else if (c == ']') turtle.EndBranch(); else if (c == '|') turtle.TurnBackwards(); else if (c.ToString().ToUpper() == c.ToString()) turtle.DrawForward(stepLength); else if (c.ToString().ToLower() == c.ToString()) turtle.MoveForward(stepLength); } return turtle.GetImage(); } public string Process(string axiom, string rules, int iterations) { lSystem = parser.Parse(axiom, rules); for (int i = 0; i < iterations; i++) { lSystem.Iterate(); } return lSystem.getText(); } } }

49

LSystem.cs namespace LSystem { class LSystem { private string axiom; private string lSystem; private RewritingRule[] rules; public LSystem(string axiom, RewritingRule[] rules) { this.axiom = axiom; this.rules = rules; lSystem = axiom; } public void Iterate() { string lSystemBuffer = ""; foreach (char c in lSystem) { string rewriteWith = c.ToString(); foreach (RewritingRule r in rules) { if (r.toRewrite == c) { rewriteWith = r.rewriteWith; } } lSystemBuffer += rewriteWith; } lSystem = lSystemBuffer; } public string getText() { return lSystem; } } }

50

FrmLSystem.cs using System; using System.Windows.Forms; namespace LSystem { public partial class FrmLSystem : Form { private LSystemManager manager = new LSystemManager(); public FrmLSystem() { InitializeComponent(); } private void btnProcess_Click(object sender, EventArgs e) { try { tbxLsystem.Text = manager.Process( tbxAxiom.Text, tbxRules.Text, (int)nudIterations.Value); } catch (ArgumentException ex) { MessageBox.Show(ex.Message); } } private void btnDraw_Click(object sender, EventArgs e) { pbxTurtle.Image = manager.GetImage(tbxLsystem.Text, (float)nudAngle.Value, (float)nudLength.Value,(float)nudPositionX.Value, (float)nudPositionY.Value, pbxTurtle.Width, pbxTurtle.Height); } } }

51