Mátrixok. Bevezetés és példák
1/12
Mátrix aritmetikai bevezetés Tartalom 1. Bevezetés 2 Mátrixelemek és jelölések 3. Mátrixok fajtái: 4. Elemi műveletek mátrixokkal 4.1 Egyenlőség 4.2 Transzponálás 4.3 Szorzás 4.3.1 Szorzás skalárral 4.3.2 Vektor szorzása vektorral skalárisan 4.3.3 Vektor szorzása vektorral diádikusan. 4.3.4 Mátrix szorzása mátrixszal 4.3.5 Néhány szorzást illető állítás 4.4 Mátrixok “osztása”: szorzás inverz mátrixszal 4.4.1 Az inverz mátrix fogalma 4.4.2 A mátrix determinánsa 4.4.3 A mátrix adjungáltja 4.4.4 A mátrix inverze és a lineáris egyenletrendszer megoldása 5. Néhány egyszerű mátrixaritmetikai példa Irodalom 1. Bevezetés Tudományos vizsgálatok során, többek között az alkalmazott matematikai modellek paramétereinek meghatározásánál hatékony segédeszköz a mátrixnak nevezett matematikai objektum. Egy adott fizikai jelenséget, tárgyat meghatározhat egyetlen szám, egy skalár, de a leírásához szükség lehet több számra is, pl. nagyságra és irányra, vagy egy test rugalmas viselkedését leíró normális és nyíró feszültségekre, amelyek esetén vektor- vagy tenzor mennyiségekről beszélnek. Több skalár oszlopba vagy sorba rendezve vektort képez, több vektor egymás mellé vagy egymás alá rendezve táblázatot, mátrixot alakít ki. Vagy fordított sorrendben fogalmazva egy mátrix oszlopai vagy sorai vektorok, egy mátrix vagy egy vektor elemei pedig skalárok.
Matrixbev.doc
Mátrixok. Bevezetés és példák
2/12
mátrix
vektor
skalár
Mátrixok használata –mint látható lesz– rendkívül leröviditi a matematikai leírást, egyfajta gyorsírásnak tekinthető. Nemcsak a megértést teszi könnyebbé, hanem, ezt a jelölésrendszert alkalmazva, erre kialakított software-rel áttekinthetően és és tömöen lehet programozni. Kísérletek, elemzések eredményét magadó számítások elveit és előírásait a mátrixaritmetikai út megkerüléséval csak olyan bonyolultan lehetne leírni, hogy értelmezésük egyszerűen ésszerűtlen lenne. 2 Mátrixelemek és jelölések Egy skaláris szám jele legyen dölt kisbetű, a. Vektorba rendezett skalárok alsó indexet (subscript) kapnak, ai. Indexek esetén szokás megadni az indexek lehetséges értékeit, pl. i = 1,2,…,n. i “futó” index” utolsó értéke n n darab ai skalár oszlopba, vagy sorba rendezve vastagbetűvel jelölt a vektort képez. m darab aj vektor (j = 1,2, … , m) A mátrixot alkot. A mátrixnak n sora és m oszlopa, és n x m aij skaláris elem lesz. Szokás a mátrixot elemeivel is jelölni a következő módon:
A = [aij ]
i = 1,2,K.n;
j = 1,2,K, m.
n sorú és m oszlopú, n x m méretű A mátrix mérete megadható:
A nm
A mátrix egy oszlopa “n sorú 1 oszlopú oszlopmátrix”, aj vektor (j = 1,2, … , m) n elemű a vektor mérete megadható:
a
n1 i
A mátrix egy sora “m oszlopú 1 sorú sormátrix”, a vektor (i = 1,2, … , n)
Matrixbev.doc
Mátrixok. Bevezetés és példák
3/12
A= i
a
aj 3. Mátrixok fajtái: Legyen n egy mátrix sorainak, m egy mátrix oszlopainak száma. Ha n = m, akkor a mátrix négyzetes, kvadratikus. Egy n sort (n = m oszlopot) tartalmazó kvadratikus mátrix rendje: n. Ha egy mátrixban n > m, akkor a mátrix álló téglalap Ha egy mátrixban n < m, akkor a mátrix fekvő téglalap Ha egy mátrix csupa 0-t tartalmaz, akkor nulla- vagy zérus mátrix Ha egy kvadratikus mátrixban egy elem i és j indexe megegyezik, akkor az aii elem átlós, diagonális elem. Ha i ≠ j, az elem átlónkívüli elem. A kvadratikus mátrixban az aii (i = 1.2, …, n) elemek az mátrix átlóját adják. Ha egy mátrixban minden átlós elem 1, és minden átlónkívüli elem 0, a mátrix egységmátrix, E. Bizonyos szövegkörnyezetben az E egységmátrix egy-egy elemét a δij Kronecker szimbolummal jelölik:
1 ha i = j 0 ha i ≠ j
δ ij =
Ha egy kvadratikus mátrixban aij = aji, akkor a mátrix szimmetrikus. Ha egy mátrixban egy vagy több sort és egy vagy több sort elhagynak, a megmaradt mátrixot minormátrixnak nevezik. A i-edik sorának és j-edik oszlopának elhagyásával keletkezett minormátrix jele Aij Szokás ezt a minormátrixot az aij elemhez tartozó Aij minormátrixnak nevezni. 4. Elemi műveletek mátrixokkal Mátrixokra bizonyos elemi műveletek értelmezve vannak. Ilyenek az egyenlőség transzponálás additiv műveletek (összeadás, kivonás) multiplikatív műveletek (szorzások) Mátrixoknál az osztást a reciprok (inverz) mátrixszal való szorzás helyettesíti. Vektorra az osztás nincs értelmezve, vektorral osztani nem lehet. 4.1 Egyenlőség
Matrixbev.doc
Mátrixok. Bevezetés és példák
4/12
A és B mátrixok egyenlőek, ha minden elemük megegyezik:
nm
nm
i = 1,2, K.n;
aij = bij
j = 1,2, K , m.
Csak egyező méretű mátrixok lehetnek egyenlőek. 4.2 Transzponálás T
Ha A mátrix minden sorát oszloppá, és minden oszlopát sorrá alakítjuk, A transzponált mátrixot kapjuk.
m
T
A n
A
n
m T
A mátrix aij eleme egyezik A mátrix aji elemével: Kvadratikus szemléltethető.
mátrix
transzponálása
aij = a Tji
elemeinek
főátlóra
való
tükrözéseként
is
Vektor transzponálása az oszlopvektor elfektetésével, a sorvektor felállításával szemléltethető. 4.2 Összeadás, kivonás Mátrixokat úgy adunk össze, vagy vonunk ki, hogy azonos indexű elemeiket adjuk össze vagy vonjuk ki.
C = A± B
nm
nm
nm
cij = aij ± bij
i = 1,2, K.n;
j = 1,2, K , m.
Csak egyező méretű mátrixok adhatók össze. Az összegmátrix mérete egyezik a tagok méretével. Szorzás 4.3.1 Szorzás skalárral Mátrixokat úgy szorzunk skaláris számmal, hogy azok minden elemét megszorozzuk a skalárral.
αA = [αaij ]
Matrixbev.doc
i = 1,2,K, n;
j = 1,2,K, m
Mátrixok. Bevezetés és példák
5/12
4.3.2 Vektor szorzása vektorral skalárisan Vektor és vektor skaláris szorzata skaláris szám, a tényező vektorok elemeinek szorzatösszege:
b1 b n a b = c = ∑ ai bi = [a1a2 L an ] 2 1n n1 11 M i =1 bn A skaláris szorzás egy baloldali sorvektor szorzása jobbról egy oszlopvektorral. Csak azonos méretű vektorok szorozhatók össze. Mérettel megadott tényezők esetén vektor szorzásnál (is) a szembenéző indexek egyezzenek meg, az eredmény méretét a szélső indexek adják meg. A mátrix tényezők sorrendje nem felcserélhető. 4.3.3 Vektor szorzása vektorral diádikusan. Vektor és vektor diádikus szorzata mátrix, amelynek cij eleme az aij és bij elemek szorzata.
a1 c11 L c1m a b = C = [cij = ai b j ] = M [b1 L bm ] = L n1 1m nm cn1 L cnm a n
n n
n skaláris szorzás
m diádikus szorzás
Diádikusan tetszőleges méretű vektorok szorozhatók össze. Mérettel megadott tényezők esetén vektor szorzásnál (is) a szembenéző indexek egyezzenek meg, az eredmény méretét a szélső indexek adják meg. Bármely mátrix felbontható diádikus szorzatok összegére.
Matrixbev.doc
Mátrixok. Bevezetés és példák
6/12
4.3.4 Mátrix szorzása mátrixszal A n x m és B m x p mátrixok szorzata C n x p méretű mátrix, amelynek cij eleme A i-edik sorának és B j-edik oszlopának skaláris szorzata.
m i A B = C = a b k = ∑ aij b jk nm mp np 1m m1 j =1
i = 1,2, K , n;
k = 1,2, K , p
Csak olyan mátrixok szorozhatók össze, amelyeknél a baloldali mátrixtényező oszlopainak és a jobboldali mátrixtényező sorainak száma megegyezik (mérettel megadott tényezők esetén a mátrixok szembenéző indexei megegyeznek). Mérettel megadott tényezők esetén az eredmény méretét a szélső indexek adják meg. bj
cij i
a
A mátrix tényezők sorrendje általában nem felcserélhető.
AB≠BA
nm mn
mn nm
Több mátrix is összeszorozható.
A B C = AB C = ABC = D
nm mp pr
np
pr
nr
nr
C B
A
Matrixbev.doc
AB
ABC
Mátrixok. Bevezetés és példák
7/12
4.3.5 Néhány szorzást illető állítás Kvadratikus mátrix szorzása zérusmátrixszal zérusmátrixot ad
A0 = 0A= 0 nn nn
nn nn
nn
Nem kvadratikus mátrix szorzása zérusmátrixszal zérusokat tartalmazó nem kvadratikus mátrixot ad, de ezt nem nevezik zérusmátrixnak.
A0= 0
mn nn
mn
Egységmátrixszal szorzott mátrix nem változik
AE = EA = A nn nn
nn nn
nn
A E = EA = A
nm mm
nn nm
nm
4.4 Mátrixok “osztása”: szorzás inverz mátrixszal Mátrixok körében az osztásnak megfelelő műveletet az inverz mátrixszal való szorzás végzi el. Szűkebb értelemben vett inverz mátrixa kvadratikus mátrixoknak van. Nem kvadratikus mátrixok esetén az általánosított inverz alkalmas ugyanerre a célra. 4.4.1 Az inverz mátrix fogalma -1
Kvadratikus mátrix inverze azon A módon jelölt mátrix, amely eleget tesz a következő kritériumnak: -1
-1
AA =A A = E A-nak nincs inverze, ha determinánsa 0, ha tehát szinguláris A inverze kiszámítható az
A −1 =
adj( A ) , det( A )
képlettel, ahol adj(A) az adjungált mátrix, det(A) pedig A determinánsa, egy skaláris szám. 4.4.2 A mátrix determinánsa Egy kvadratikus mátrix determinánsa skaláris szám, amelyet a legegyszerűbb, 2 méretű esetben könnyű kiszámítani:
a12 a det( A) = A = det 11 = a11 a 22 − a12 a 21 a 21 a 22 A determináns kiszámításához itt láthatóan a főátló elemeinek szorzatából ki kellett vonni a mellékátló elemeinek szorzatát. 3 x 3 –as mátrixnál eljárhatunk úgy, hogy a főátló elemeinek szorzatához hozzáadjuk a vele párhuzamos két átló 3-3 elemének szorzatát, majd kivonjuk a mellékátlók elemszorzatainak összegét:
Matrixbev.doc
Mátrixok. Bevezetés és példák
8/12
a11 a12 a13 det a 21 a 22 a 23 = a11 a 22 a33 + a12 a 23 a31 + a 21 a32 a13 − (a13 a 22 a31 + a12 a 21 a33 + a 23 a32 a11 ) a31 a32 a33 Ugyanez lesz az eredmény, ha az első sor, (vagy első oszlop) egyes elemeit megszorozzuk a hozzájuk tartozó előjeles aldeterminánsokkal, azaz az aij elemhez tartozó minormátrixok determinánsával, (az Aij “minorral”) és a tagokat összegezzük. A tagokat “sakktáblaszerűen” előjelezzük: páros I + j indexű elemekhez tartozó tagok +, páratlan I + j indexű elemekhez tartozó tagok – előjelet kapnak.
a11 a12 a13 a 22 det a 21 a 22 a 23 = a11 A11 − a12 A12 + a13 A13 = a11 a32 a31 a32 a33
a 23 a33
− a12
a 21
a33
a31
a 23
+ a13
a 21
a32
a31
a 22
Ez az utóbbi eljárás tetszőleges rendű négyzetes mátrixok esetén is érvényes. Példa A =
9 3 6
5 8 7
5 1 8
>> A11 =
8 7
1 8
>> A12 =
3 6
1 8
>> A13 =
3 6
8 7
>> tag1=A(1,1)*det(A11) =
513
>> tag2=A(1,2)*det(A12) =
90
>> tag3=A(1,3)*det(A13) =
-135
>> detA=tag1-tag2+tag3 =
288
■
Fontos állítás: diagonális mátrixnak valamint az olyan mátrixoknak, amelyeknek alsó vagy felső átlónkívüli része csak 0-kat tartalmaz (felső vagy alsó háromszögmátrixok), determinánsa az átlós elemek szorzata. Nagyobb méretű mátrixok determinánsát célszerűen úgy számítják ki, hogy a mátrixokat elöbb diagonálissá vagy háromszöggé alakítják, majd a determinánst az átlós elemek szorzásával állítják elő. Determinánsokat számos programcsomag természetesen egyetlen utasítással számít ki.
Matrixbev.doc
Mátrixok. Bevezetés és példák
9/12
4.4.3 A mátrix adjungáltja Az A mátrix adjungáltja annak a mátrixnak transzponáltja, amelynek elemei A egyes elemeihez tartozó előjeles aldeterminánsok.
A11 A 21 adj( A) = L An1
T
A12 L A1n A22 L A2 n j An 2 L Ann
Aij elem negatív értéket kap, ha i + j páratlan, pozitív egyébként. Példa >> A =
9 3 6
5 8 7
5 1 8
A minorok: >> M111 =
8 7
1 8
>> M12 =
3 6
1 8
>> M13 =
3 6
8 7
>> M21 =
5 7
5 8
>> M22 =
9 6
5 8
>> M23 =
9 6
5 7
>> M31 =
5 8
5 1
>> M32 =
9 3
5 1
>> M33 =
9 3
5 8
Az előjeles eldeterminánsok mátrixának előállítása: >> >> B(1,1)=(-1)^(1+1)*det(M11) =
57
>> B(1,2)=(-1)^(1+2)*det(M12) =
57
-18
>> B(1,3)=(-1)^(1+3)*det(M13) =
57
-18
-27
>> B(2,1)=(-1)^(2+1)*det(M21) =
57 -5
-18 0
-27 0
és így tovább… Az előjeles eldeterminánsok mátrixa: B =
Matrixbev.doc
57 -5 -35
-18 42 6
-27 -33 57
Mátrixok. Bevezetés és példák
10/12
Az adjungált mátrix transzponálás után adódik: adjA =
57 -18 -27
-5 42 -33
-35 6 57
■
4.4.4 A mátrix inverze és a lineáris egyenletrendszer megoldása A 4.4.1 pontban szereplő összefüggés szerint a mátrix inverze:
A −1 =
adj( A ) det( A )
Az előző példákban tárgyalt A mátrix determinánsa: det(A) = 288. A inverze, adjungáltjának felhasználásával: >> invA=adjA/det(A) = 0.1979 -0.0625 -0.0938
-0.0174 0.1458 -0.1146
-0.1215 0.0208 0.1979
-1
A szorozva A inverzével –mint tudott– az egységmátrixot adja: >> A*invA = 1 0 0
0 1 0
0 0 1
Az inverz mátrixokat a műszaki, tudományos gyakorlatban legtöbbször lineáris egyenletrendszerek megoldásánál használják fel. Egy
A x = y n-ismeretlenes egyenletrendszer megoldható úgy, hogy mindkét oldalát az nn n1
n1
-1
A inverzzel (a “reciprok A-val”) szorozzuk:
x = A −1 y Példa Tekintsük a
9 x1 + 5 x 2 + 5 x3 = 6 3x1 + 8 x 2 + x3 = 7 6 x1 + 7 x 2 + 8 x3 = 17 lineáris egyenletrendszert. Mátrix alakban:
9 5 5 x1 6 Ax = 3 8 1 x 2 = y = 7 5 7 8 x 2 17 Lévén A inverze:
Matrixbev.doc
Mátrixok. Bevezetés és példák
11/12
0.1979 - 0.0174 - 0.1215 - 0.0625 0.1458 0.0208 , A = - 0.0938 - 0.1146 0.1979 -1
az ismeretlenek:
0.1979 - 0.0174 - 0.1215 6 − 1 X y = - 0.0625 0.1458 0.0208 7 = x = 1 - 0.0938 - 0.1146 0.1979 17 2 −1
5. Néhány egyszerű mátrixaritmetikai példa Legyen A = 1 1 0
2 0 2
1 1 -1
1 1 0 1
2 0 2 2
1 1 -1 3
1 2
2 1
1 0
B =
C =
x = 1 -1 1 a) Transzponáljuk A-t! >> A'= 1 1 0 2 0 2 1 1 -1 b) Számítsuk ki a (0.2)B mátrixot 0.2*B = 0.2000 0.2000 0 0.2000
0.4000 0 0.4000 0.4000
0.2000 0.2000 -0.2000 0.6000
c) Számítsuk ki a CTC mátrixszorzatot! >> C'*C = 5 4 1
Matrixbev.doc
4 5 2
1 2 1
■
Mátrixok. Bevezetés és példák
12/12
d) Milyen hossszú az x vektor? >> sqrt(x'*x) = 1.7321 = sqrt(3) e) Számítsuk ki a xxT vektorszorzatot! >> x*x' = 1 -1 1
-1 1 -1
1 -1 1
f) Számítsuk ki a CABT mátrixszorzatot! >> C*A*B'= 13 14
5 6
6 5
17 20
g) Számítsuk ki y értékét, ha a y=A*x! >> y=A*x = 0 2 -3 >>
Irodalom Rózsa P.: Bevezetés a mátrixelméletbe. Typotex, Budapest, 2009 Scharnitzky V.: Mátrixszámítás. (Bolyai könyvek) Műszaki Könyvkiadó, Budapest 2002. Horvai G (szerk): Sokváltozós adatelemzés (kemometria), Nemzeti tankönyvkiadó, Budapest, 2001 Rózsa P.: Lineáris algebra és alkalmazásai. Tankönyvkiadó, Budapest, 1991. Fang Kai-Tai és Zhang Yai-Ting: Generalized Multivariate Analysis. Springer Verlag, Berlin, 1990. Korn, G.A. és Korn, T.M.: Matematikai kézikönyv műszakiaknak. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1975.
Matrixbev.doc
