10
Groei
12 a
11, 4 = 1,14 10, 0
12, 8 ≈ 1,12 11, 4
15, 0 ≈ 1,08 13, 9
15, 9 = 1,06 15, 0
13, 9 ≈ 1,09 12, 8
De quotiënten zijn niet bij benadering gelijk, dus geen exponentiële groei. 3, 08 ≈ 1,29 2, 38
3, 94 ≈ 1,28 3, 08
5, 95 ≈ 1,22 4, 86
7,16 ≈ 1,20 5, 95
4, 86 ≈ 1,23 3, 94
Ook het aantal woningen groeit niet exponentieel. b Bij de aantallen inwoners zijn de verschillen 1,4, 1,4, 1,1, 1,1 en 0,9. Dus afnemend stijgend. Bij de aantallen woningen zijn de verschillen 0,7, 0,86, 0,92, 1,09 en 1,21. Dus toenemend stijgend. c jaar 1950 1960 1970 1980 1990 2000 P d
4,20
3,70
3,25
2,86
2,52
2,22
3, 70 ≈ 0,88 4, 20
3, 25 ≈ 0,88 3, 70
2, 52 ≈ 0,88 2, 86
2, 22 ≈ 0,88 2, 52
2, 86 ≈ 0,88 3, 25
De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus exponentiële afname. De formule is P = 4,20 ⋅ 0,88t. e Los op 4,20 ⋅ 0,88t = 2. Voer in y1 = 4,20 ⋅ 0,88x en y2 = 2. De optie intersect geeft x ≈ 5,80. Bij t = 5,80 hoort het jaar 1950 + 58 = 2008. 13 a t = 5 en N = 10,9 t = 30 en N = 6,8
}g
25jaar
=
6, 8 10, 9 1
6, 8 25 gjaar = ≈ 0,981 10, 9
Gemengde opgaven 75
N = b ⋅ gt g ≈ 0,981
b c d
e
} N = b ⋅ 0,981
t
t = 5 en N = 10,9
}
b ⋅ 0,9815 = 10,9 b=
10, 9 ≈ 12,0 0, 9815
Je krijgt N = 12,0 ⋅ 0,981t. Bij 2010 hoort t = 40. t = 40 geeft N = 12,0 ⋅ 0,98140 ≈ 5,6 Dus nog 5,6 miljoen broedparen. Bij 1960 hoort t = −10. t = −10 geeft N = 12,0 ⋅ 0,981−10 ≈ 14,5 Dus in 1960 waren er 14,5 miljoen broedparen. Los op 0,981t = 0,5. Voer in y1 = 0,981x en y2 = 0,5. De optie intersect geeft x ≈ 36. De halveringstijd is 36 jaar. Los op 12,0 ⋅ 0,981t = 4. Voer in y1 = 12 ⋅ 0,981x en y2 = 4. De optie intersect geeft x ≈ 68,1. Dus in 2038.
bladzijde 141 14 a Op 1 januari 1950 is t = 0 en N = 18 571. Op 1 januari 1960 is t = 10 en N = 31 161. Tussen 1 januari 1950 en 1 januari 1960 zijn er 31 161 − 18 751 = 12 590 inwoners bij gekomen. Op 1 januari 1970 is t = 20 en N = 44 166. Tussen 1 januari 1960 en 1 januari 1970 zijn er 44 166 − 31 161 = 13 005 inwoners bij gekomen. 65 000 b Voer in y1 = . 1 + 2, 5 ⋅ 0, 92 x N N = 65 000
O
t
c Vanaf 2010 zal het aantal inwoners niet veel meer toenemen. Voor t = 60 is N = 63 926 en de grenswaarde is 65 000. 65 000 d Los op = 50 000. 1 + 2, 5 ⋅ 0, 92t Voer in y2 = 50 000. De optie intersect geeft x ≈ 25,43. 0,43 jaar ≈ 5,1 maanden Bij t = 25,43 hoort dus juni 1975. 15 a d = 8 geeft P = 0,48 ⋅ v3 ⋅ 82 ofwel P = 30,72v3. b Los op 30,72v3 = 20 000. Voer in y1 = 30,72x3 en y2 = 20 000. De optie intersect geeft x ≈ 8,7. De windsnelheid is 8,7 m/s. c De windsnelheid op maandag is v m/s en op dinsdag 2v m/s. Op maandag is P = 30,72v3 en op dinsdag is P = 30,72 ⋅ (2v)3 = 30,72 ⋅ 8v3 = 8 ⋅ 30,72v3 = 8 ⋅ Pmaandag. Het vermogen is dus 8 keer zo groot. d v = 12 geeft P = 0,48 ⋅ 123 ⋅ d 2 ofwel P = 829,44d 2. e Los op 829,44d 2 = 50 000 50000 d2 = 829, 44 d 2 ≈ 60,3 d ≈ 7,8 De rotordiameter is 7,8 m = 78 dm. f P1 = 829,44d 2 en P2 = 829,44 ⋅ (2d)2 = 829,44 ⋅ 4d 2 = 4 ⋅ 829,44d 2 = 4 ⋅ P1 Dus 4 keer zoveel vermogen. 76 Gemengde opgaven
16 a w = 18 en V = 84 geeft − 0,35A ⋅ 18 + 8,4A = 84 − 6,3A + 8,4A = 84 2,1A = 84 84 A= = 40 2,1 Er passeren 40 auto's per minuut. b A = 75 en V = 160 geeft − 0,35 ⋅ 75w + 8,4 ⋅ 75 = 160 −26,25w + 630 = 160 −26,25w = − 470 − 470 w= ≈ 17,9 −26, 25 De windsnelheid was 17,9 m/s. c A = 60 geeft V = − 0,35 ⋅ 60w + 8,4 ⋅ 60 = −21w + 504 Dus V = −21w + 504. d w = 10 geeft V = − 0,35A ⋅ 10 + 8,4A = −3,5A + 8,4A = 4,9A Dus V = 4,9A. bladzijde 142 17 Boekwaarde B 1000 − 10000 −9000 a B = at + b met a = = = = −900 t 10 − 0 10 b B = b ⋅ gt met g10 jaar =
1 1000 = 0,1, dus gjaar = 0,110 ≈ 0,794 10000
}
B = b ⋅ 0,794t B = 10 000 ⋅ 0,794t b = 10 000 Dus B = 10 000 ⋅ 0,794t. Los op 0,794t = 0,5. Voer in y1 = 0,794x en y2 = 0,5. De optie intersect geeft x ≈ 3,0. Dus na 3 jaar. c De afschrijving in het eerste jaar is 10 000 − 8364 = 1636 euro. Zo is voor elk jaar de afschrijving te berekenen. Zie de tabel. 1e
jaar afschrijving
2e
3e
1636 1473 1309
4e
5e
6e
7e
8e
9e
10e
1146
981
819
654
491
327
164
− 163 − 164 − 163 − 165 − 162 − 165 − 163 − 164 − 163 In deze tabel is er een vrijwel constant verschil, dus de jaarlijkse afschrijvingen dalen vrijwel lineair met ongeveer 164 euro. bladzijde 143 d V = 10 000 − 900t − (10 000 − 1718,18t + 81,82t2) = 10 000 − 900t − 10 000 + 1718,18t − 81,82t2 = −81,82t2 + 818,18t Voer in y1 = −81,82x2 + 818,18x. De optie maximum geeft x = 5 en y = 2045,4. Het maximale verschil is dus € 2045,40. 18 Autobanden a N = b ⋅ gt met gjaar = 1,035 N = b ⋅ 1,035t b ⋅ 1,0358 = 80 t = 8 en N = 80 80 b= ≈ 60,8 1, 0358 In 1995 waren er ongeveer 61 miljoen personenauto's.
}
Gemengde opgaven 77
bladzijde 144 b B = aA + b met a = B = 0,15A + b A = 41 en B = 1,6
B 5, 2 − 1, 6 = = 0,15 A 65 − 41
} 0,15 ⋅ 41 + b = 1,6
6,15 + b = 1,6 b = − 4,55 Dus B = 0,15A − 4,55. In 2003 zijn er 80 miljoen personenauto's, dus A = 80. A = 80 geeft B = 0,15 ⋅ 80 − 4,55 = 7,45 Drivewell zal 7,45 miljoen autobanden verkopen in 2003. c 9300 ⋅ G0,5 − G = 10 000 000 Voer in y1 = 9300x0,5 − x en y2 = 10 000 000. Intersect geeft x ≈ 1 539 637. De reclame-uitgaven van GoodDay waren dat jaar ongeveer 1,54 miljoen dollar. d Voer in y1 = 9300x0,5 − x. De optie maximum geeft x ≈ 21 622 496 en y = 21 622 500. Dus Drivewell moet maximaal per jaar ongeveer 21 622 500 dollar, ofwel ongeveer 21,6 miljoen dollar aan reclame uitgeven. 19 Concentratie van vloeistoffen a Aan het begin is 20 000 mg chemische stof aanwezig. Na s minuten is er 0,8 + 25s liter aanwezig. 20000 De concentratie is dus mg/liter. 0, 8 + 25s bladzijde 145 b g12 minuten =
23, 61 = 0,4722 50, 00 1
gminuut = 0, 472212 ≈ 0,9394 Dus de groeifactor per minuut is 0,9394. 400 c Het vullen van het vat duurt = 16 minuten. 25 t Los op 25 ⋅ 0,94 = 1. Voer in y1 = 25 ⋅ 0,94x en y2 = 1. De optie intersect geeft x ≈ 52. Het duurt in totaal 16 + 52 = 68 minuten. 20 Sparen, sparen of sparen a Los op 10 000 ⋅ 1,035t = 20 000. Voer in y1 = 10 000 ⋅ 1,035x en y2 = 20 000. Intersect geeft x ≈ 20,15. Na 21 jaar is het bedrag verdubbeld. bladzijde 146 b Het bedrag op de groeirekening na 10 jaar is G = 10 000 ⋅ 1,03510 ≈ 14 106 euro. Er is in totaal 14 106 − 10 000 = 4106 euro rente bij gekomen. 4106 De rente van een depositorekening is elk jaar gelijk, dus = € 410,60. 10 Hierbij hoort een rentepercentage van 4,1% per jaar. 2615 − 2130 c × 100% = 4,85% 10000 Het rentepercentage voor het 7e jaar is dus 4,85%. d Los op 10 000 ⋅ g10 = (10 000 + 4475), ofwel 10 000g10 =14 475. Voer in y1 = 10 000x10 en y2 = 14 475. Intersect geeft x ≈ 1,0377. Dus de groeifactor per jaar is 1,0377. Hierbij hoort een rentepercentage per jaar van 3,77%. OF: Het spaarbedrag is in tien jaar gegroeid van 10 000 naar 14 475 euro, 14475 dus g10 jaar = = 1,4475 10000 1
gjaar = 1, 447510 ≈ 1,0377 Hierbij hoort een rentepercentage van 3,77%. 78 Gemengde opgaven
bladzijde 147 21 De wet van Moore a Er moeten na 1972 nog 2500 bij komen. 2500 Dit duurt = 10 jaar. 250 In het jaar 1972 + 10 = 1982 zou dan het aantal van 5000 bereikt zijn. 1
42000000 29 42000000 b g29 jaar = , dus gjaar = ≈ 1,4037 2250 2250 Dus de groeifactor per jaar is 1,4037. c In 1997 is t = 26. t = 26 geeft A = 2250 ⋅ 1,40426 ≈ 15 266 073 15266073 − 7500000 ⋅ 100% ≈ 50,9% 7500000 Het aantal wijkt 50,9% af van de voorspelling volgens de wet van Moore. d Los op 2250 ⋅ 1,404t = 1 000 000 000. Voer in y1 = 2250 ⋅ 1,404x en y2 = 1 000 000 000. Intersect geeft x ≈ 38,3. Dus 38,3 jaar na 1971. bladzijde 148 22 Jurassic Park a Invullen van s = 0,35 en h = 0,21 geeft v = 2,81 ⋅ 0,351,67 ⋅ 0,21−1,17 ≈ 3,0 km per uur. b Los op 2,81 ⋅ s1,67 ⋅ 0,40−1,17 = 15. Voer in y1 = 2,81x1,67 ⋅ 0,40−1,17 en y2 = 15. Intersect geeft x ≈ 1,43. De paslengte is 143 cm. c h = 4 ⋅ 0,91 = 3,64 v = 2,81 ⋅ 3,51,67 ⋅ 3,64−1,17 ≈ 5,0 km per uur bladzijde 149 d v = 2,81 ⋅ s1,67 ⋅ (4l)−1,17 = 2,81 ⋅ s1,67 ⋅ 4−1,17 ⋅ l −1,17 = 2,81 ⋅ 4−1,17 ⋅ s1,67 ⋅ l −1,17 ≈ 0,555 ⋅ s1,67 ⋅ l −1,17 Dus c = 0,555. e Los op 0,555 ⋅ 4,51,67 ⋅ l −1,17 = 16,5. Voer in y1 = 0,555 ⋅ 4,51,67 ⋅ x−1,17 en y2 = 16,5. Intersect geeft x ≈ 0,47. De lengte van de voetafdruk is 47 cm. f s = 2,0 geeft v = 0,962 ⋅ 2,01,67 ≈ 3,061 s = 2,5 geeft v = 0,962 ⋅ 2,51,67 ≈ 4,444 v 4, 444 − 3, 061 = ≈ 2,8 km/uur per meter. s 2, 5 − 2, 0 23 Het HABOG 1 180 a g100 jaar = = 0,1, dus gjaar = 0,1100 ≈ 0,9772 1800 Hierbij hoort een afname van 2,28% per jaar. bladzijde 150 b gjaar = 0,977, dus g10 jaar = 0,97710 ≈ 0,792 Hierbij hoort een afname van 20,8% per 10 jaar. c Los op 0,977t = 0,5. Voer in y1 = 0,977x en y2 = 0,5. Intersect geeft x ≈ 29,8. Na 29,8 jaar is de warmteafgifte nog maar de helft van de oorspronkelijke hoeveelheid. 1
2000 130 2000 d g130 jaar = , dus gjaar = ≈ 1,030 43 43 Hierbij hoort een rentepercentage van 3,0% per jaar. 24 Wiel
1
7, 0 12 7, 0 a g120 seconden = , dus g10 seconden = ≈ 0,886 30, 0 30, 0 Hierbij hoort een afname van 11,4% per 10 seconden.
Gemengde opgaven 79
bladzijde 151 20 ⋅ 0,9920t = 10 Voer in y1 = 20 ⋅ 0,9920x en y2 = 10. Intersect geeft x ≈ 86,30. Dus t ≈ 86,30. open wiel: 20 ⋅ 0,9879t = 10 Voer in y1 = 20 ⋅ 0,9879x en y2 = 10. Intersect geeft x ≈ 56,94. Dus t ≈ 56,94. Het verschil in tijd is 86,30 − 56,94 ≈ 29,4 seconden. c verschil = Vdicht − Vopen = 20 ⋅ 0,9920t − 20 ⋅ 0,9879t b dicht wiel:
Voer in y1 = 20 ⋅ 0,9920x − 20 ⋅ 0,9879x. De optie maximum geeft x ≈ 100,4 en y ≈ 3,0. Het grootste verschil in snelheid is 3,0 km/uur.
80 Gemengde opgaven
