Beoordelingsmodel ZLVNXQGH%9:2,, Vraag
Antwoord
Scores
Gelijke oppervlakte 1
maximumscore 4
• • • • 2
f= ' ( x) 3
3 2 x
−1
− 1 =0 geeft
2 x Dit geeft x = 2 14
1
x=
3 2
1 1
f (2 14 ) (= 3 2 14 − 2 14 ) = 2 14 (dus de coördinaten van T zijn ( 2 14 , 2 14 ) )
1
maximumscore 6
•
9
De oppervlakte van V is
∫ (3
)
x − x dx
1
0
•
Een primitieve van 3 x − x is 2x x − 12 x 2
•
De oppervlakte van V is 2 x x − 12 x 2 = 13 12 0 De richtingscoëfficiënt van de lijn door A en T is − 13
• • •
1
9
De y-coördinaat van B is 3 De oppervlakte van driehoek OAB is
1 1 1
1 ⋅9⋅3 = 13 12 2
(dus de oppervlakte
van V en de oppervlakte van driehoek OAB zijn gelijk )
1
of •
9
De oppervlakte van V is
∫ (3
)
x − x dx
1
0
•
Een primitieve van 3 x − x is 2x x − 12 x 2
• •
De oppervlakte van V is 2 x x − 12 x 2 = 13 12 0 De richtingscoëfficiënt van de lijn door A en T is − 13
1
•
− 13 x + 3 Een vergelijking van de lijn door A en T is y =
1
1
9
1
9
•
De oppervlakte van driehoek OAB is
1x ∫ ( − 13 x + 3) dx =− 6 0
2
9
+ 3 x =13 12 0
(dus de oppervlakte van V en de oppervlakte van driehoek OAB zijn gelijk )
VW-1025-a-14-2-c
5 www.wiskunde-examens.nl
1
lees verder ►►►
Vraag
Antwoord
Scores
Het uiteinde van een wip 3
maximumscore 3
• • • 4
π 5 π 2π h 2 ( 53 ) =1 + 2sin ⋅ − =1 + 2sin 5 3 5 15 3π 5 2 6π 5 31π h 3 ( 53 ) =1 + 2sin − ⋅ + ⋅ − 10 3 5 3 30 2π Dit geeft h 3 ( 53 ) = 1 + 2sin (dus de hoogtes zijn gelijk) 15
1
1
1
maximumscore 4
π 3π 3π • = h1' (t ) 2 cos t 2 − ⋅ ⋅ 2t 6 10 10 3π π 3π 2 π π 2π • h1= ' ( 13 ) 2 cos − ⋅ = ⋅ 2 cos − ⋅ 90 6 10 3 30 6 10 2π 2π 2π 2π • Dus h1' ( 13 )= cos − = cos (dus de hellingen zijn gelijk) 5 15 5 15 5
2 1 1
maximumscore 4
• • • •
π π π h 2 (1 − a ) =1 + 2sin (1 − a ) − =1 + 2sin − a (voor 0 < a < 23 ) 5 5 5 π π h 2 (1 − a ) =1 + 2sin − a =1 − 2sin a 5 5 π π π h 2 (1 + a ) =1 + 2sin (1 + a ) − =1 + 2sin a 5 5 5 π π h 2 (1 − a ) + h 2 (1 + a ) = 1 − 2sin a + 1 + 2sin a = 2 5 5 h 2 (1 − a ) + h 2 (1 + a ) (, dus = 1) 2
1 1 1
1
of •
De gelijkheid geldt als de grafiek van h 2 puntsymmetrisch is ten 1
•
opzichte van (1, 1) De grafiek van h 2 is een sinusoïde en daarom puntsymmetrisch ten
•
opzichte van elk punt van de grafiek dat op de evenwichtsstand ligt De evenwichtsstand van h 2 is 1
1 1
•
h 2 (1) = 1 + 2sin 0 = 1 , dus de grafiek van h 2 is puntsymmetrisch ten opzichte van (1, 1) (dus de gelijkheid geldt)
VW-1025-a-14-2-c
6 www.wiskunde-examens.nl
1
lees verder ►►►
Vraag
Antwoord
Scores
Cirkel en lijnstuk 6
maximumscore 5
• • • • •
ME is bissectrice van ∠AMB ; bissectrices driehoek Dus ∠AME = ∠BME (; bissectrice) CM = DM (; straal cirkel) (en ME = ME ) ∆CME ≅ ∆DME ; ZHZ Hieruit volgt dat de lijnstukken CE en DE even lang zijn
1 1 1 1 1
Gespiegelde punten 7
maximumscore 7
• • •
1 1
•
De x-coördinaat van het snijpunt van de grafiek van f met de x-as is 1 xP = 1 − a De y-coördinaat van het punt op de grafiek van f met x-coördinaat a is 2 ⋅ ln a yQ = 2 ⋅ ln a
• • •
2 ⋅ ln a =−(1 − a ) (of een gelijkwaardige uitdrukking) Beschrijven hoe deze vergelijking met de GR kan worden opgelost ( a = 1 voldoet niet, dus) het antwoord is 3,51
1 1 1
1 1
of • • • •
g ( x) = 2 ⋅ ln( x + a ) xP is de oplossing van 2 ⋅ ln( x + a ) = 0
1
xP = 1 − a yQ = 2 ⋅ ln a
1
• • •
2 ⋅ ln a =−(1 − a ) (of een gelijkwaardige uitdrukking) Beschrijven hoe deze vergelijking met de GR kan worden opgelost ( a = 1 voldoet niet, dus) het antwoord is 3,51
1 1 1
VW-1025-a-14-2-c
1 1
7 www.wiskunde-examens.nl
lees verder ►►►
Vraag
Antwoord
Scores
Ankerketting 8
maximumscore 6
• • • •
•
f ' ( x) =
( ( ( (
) = ) )= )=
)
1 e ax 2
− 12 e − ax
2
2
1 e 2 ax 4
− 2 ⋅ 12 e ax ⋅ 12 e − ax + 14 e − 2 ax
1
+ 12 e− ax
2
1 e 2 ax 4
+ 2 ⋅ 12 e ax ⋅ 12 e − ax + 14 e − 2 ax
1
1 e ax 2
− 12 e − ax
2
1 e 2 ax 4
− 12 + 14 e − 2 ax en
1 e ax 2
+ 12 e− ax
2
1 e 2 ax 4
+ 12 + 14 e − 2 ax
1 e ax 2
− 12 e − ax=
1 e ax 2
1
1 + ( f ' ( x) ) =1 + 14 e 2 ax − 12 + 14 e − 2 ax = 2
1 e 2 ax 4
9
(
1 ⋅ a ⋅ e ax − a ⋅ e − ax = 2a
(
+ 12 + 14 e − 2 ax =
1 e ax 2
+ 12 e− ax
)
2
(dus geldt de gelijkheid)
1
maximumscore 5
•
De waterdiepte is f (96) ≈ 34 (meter) (of nauwkeuriger)
•
De lengte van de ankerketting is
• • •
1
96
∫
1 + ( f ' ( x)) 2 dx
1
0
Beschrijven hoe deze integraal met de GR kan worden berekend De lengte van de ankerketting is ongeveer 104 meter (of nauwkeuriger) ( 104 > 3 ⋅ 34 , dus) de ankerketting voldoet aan de vuistregel
1 1 1
De waterdiepte is f (96) ≈ 34 (meter) (of nauwkeuriger)
1
of • •
96
∫
De lengte van de ankerketting is
1 + ( f ' ( x)) 2 dx
1
0
•
96
∫
96
(
)
⋅x − ⋅x 1 + ( f ' ( x)) 2 dx = ∫ 12 e 140 + 12 e 140 dx
0
1
1
1
0 1 ⋅x 1 e 140 2
+ 12 e − 140 ⋅x is 70e 140 ⋅x − 70e − 140 ⋅x ;
•
Een primitieve van
•
0 ), dus de lengte van de 70e 140 − 70e − 140 ≈ 104 (en 70e0 − 70e0 = ankerketting is ongeveer 104 meter (of nauwkeuriger) ( 104 > 3 ⋅ 34 , dus) de ankerketting voldoet aan de vuistregel 96
VW-1025-a-14-2-c
1
1
1
96
8 www.wiskunde-examens.nl
1 1
lees verder ►►►
Vraag
Antwoord
Scores
Acht keer zo groot 10
maximumscore 5 3p
∫ (3 px
•
De oppervlakte van het rechterdeel is
•
Een primitieve van 3 px − x is px − x 4
2
•
De oppervlakte van het rechterdeel is 6 p 4
1
•
De oppervlakte van het rechterdeel is
2
− x3 ) dx
1
p 2
3
3
1 4
6 p4 = 8 keer zo groot als die van 3 p4 4
het linkerdeel
1
of 3p
∫ (3 px
•
De oppervlakte van V is
•
Een primitieve van 3 px − x3 is px3 − 14 x 4
2
•
De oppervlakte van V is 6 34 p 4
1
•
De oppervlakte van het rechterdeel is (6 34 p 4 − 34 p 4 = ) 6 p 4 en dat is
2
− x3 ) dx
1
0 2
6 p4 = 8 keer zo groot als de oppervlakte van het linkerdeel (of: de 3 p4 4 oppervlakte van V is
6 34 p 4 3 4
p4
= 9 keer zo groot als die van het linkerdeel,
dus is de oppervlakte van het rechterdeel 8 keer zo groot als die van het linkerdeel) 11
1
maximumscore 4
•
De lengte van BO is gelijk aan
•
De vergelijking
•
Herleiden tot 4 p = 8 p
•
Het antwoord: p = 2
VW-1025-a-14-2-c
p2 + 4 p6
p2 + 4 p6 = 3 p moet worden opgelost 6
2
1 1 1
4
1
9 www.wiskunde-examens.nl
lees verder ►►►
Vraag
12
Antwoord
Scores
maximumscore 5
•
f p '= ( x) 6 px − 3x 2
1
•
De richtingscoëfficiënt van de buigraaklijn is f p ' ( p ) = 3 p 2
1
•
Een vergelijking van de buigraaklijn is = y 3 p 2 x − p3
1
( 13
p, 0)
•
De buigraaklijn snijdt de x -as in C
•
CA 2 23 p = = 8 (en dus is de lengte van CA acht keer zo groot als de 1 p OC 3
1
lengte van OC)
1
Tussen twee bewegende punten 13
maximumscore 4
•
De lengte van A'B' is x A − xB
•
Beschrijven hoe het maximum van cos(3t ) − cos t gevonden kan
• •
worden Per rondgang zijn er 4 maxima die even groot zijn Het antwoord: 1,54
1 1 1 1
of • • • •
Het verschil tussen de x-coördinaat van A' en de x-coördinaat van B' is x A − xB Beschrijven hoe het maximum en het minimum van cos(3t ) − cos t gevonden kunnen worden Per rondgang zijn er 2 maxima en 2 minima die in absolute waarde even groot zijn Het antwoord: 1,54
1 1 1 1
Opmerking Als alleen het maximum van x A − xB ofwel xB − x A wordt beschouwd, voor deze vraag maximaal 2 scorepunten toekennen. 14
maximumscore 4
•
De richtingscoëfficiënt van koorde AB is gelijk aan
• •
sin(3t ) − sin t = 2sin t ⋅ cos(2t ) cos(3t ) − cos t = −2sin(2t ) ⋅ sin t 2sin t ⋅ cos(2t ) cos(2t ) Dus a = (want sin t ≠ 0 ) = − sin(2t ) −2sin(2t ) ⋅ sin t
•
VW-1025-a-14-2-c
10 www.wiskunde-examens.nl
sin(3t ) − sin t cos(3t ) − cos t
1 1 1 1
lees verder ►►►
Vraag
15
Antwoord
Scores
maximumscore 5
•
cos(2t ) = −1 geeft cos(2t ) = sin(2t ) sin(2t ) sin(2 = t ) cos(2t − 12 π) , dus cos(2 = t ) cos(2t − 12 π)
•
2t= 2t − 12 π + k ⋅ 2π (met k geheel) (welke geen oplossingen heeft) of
•
−
2t = −2t + 12 π + k ⋅ 2π (met k geheel) •
4t =
•
Het antwoord: t = 18 π
1 2
π + k ⋅ 2π , dus t =
1 π+k⋅1 π 8 2 5 of t = 8 π of
1 1
1
(met k geheel)
= t 1 18 π of = t 1 85 π
1 1
of • •
cos(2t ) = −1 geeft cos(2t ) = sin(2t ) sin(2t ) (Een redenering met eenheidscirkel of grafieken waaruit volgt dat) 2t = 14 π + k ⋅ π (met k geheel) −
•
t=
•
t 1 18 π of = t 1 85 π Het antwoord: t = 18 π of t = 85 π of =
1 π+k⋅1 8 2
π (met k geheel)
1
2 1 1
of
•
cos(2t ) 1 = −1 geeft − = −1 sin(2t ) tan(2t ) tan(2t ) = 1 2t = 14 π + k ⋅ π (met k geheel)
•
t=
•
Het antwoord: t = 18 π of t = 85 π of = t 1 18 π of = t 1 85 π
• •
VW-1025-a-14-2-c
−
1 8
π + k ⋅ 12 π (met k geheel)
1 1 1 1
11 www.wiskunde-examens.nl
1
lees verder ►►►
Vraag
Antwoord
Scores
Diagonalen en gelijke hoeken 16
maximumscore 4
• • • •
∠BAC = ∠BDC ; constante hoek ∠BCA = ∠BDA ; constante hoek Omdat ∠BDC = ∠BDA volgt: ∠BAC = ∠BCA Dus AB = BC ; gelijkbenige driehoek
1 1 1 1
∠AMB = 2 ⋅ ∠ADB en ∠BMC = 2 ⋅ ∠BDC , waarbij M het middelpunt van de cirkel is; omtrekshoek ∠BDC volgt: ∠AMB = ∠BMC Omdat ∠ADB = Dit betekent: kleinste boog AB = kleinste boog BC Dit geeft AB = BC ; boog en koorde
1 1 1 1
∠AMB = 2 ⋅ ∠ADB en ∠BMC = 2 ⋅ ∠BDC , waarbij M het middelpunt van de cirkel is; omtrekshoek Omdat ∠ADB = ∠BMC ∠BDC volgt: ∠AMB = Ook geldt AM = BM = CM (; cirkel), dus ∆AMB ≅ ∆BMC ; ZHZ Dit geeft AB = BC
1 1 1 1
of • • • • of • • • • 17
maximumscore 6
• • • • •
MA = MC (; straal cirkel) en BA = BC (resultaat vorige vraag), dus BM is middelloodlijn van lijnstuk AC (; middelloodlijn) AC verdeelt ∠BAD in twee gelijke hoeken, dus BC = CD (resultaat vorige vraag) MB = MD (; straal cirkel) en CB = CD , dus CM is middelloodlijn van lijnstuk BD (; middelloodlijn) ∠EFM = ∠EGM = 90° ; middelloodlijn ∠EFM + ∠EGM = 180° , dus vierhoek EFMG is een koordenvierhoek (; koordenvierhoek) (, dus E, F, M en G liggen op een cirkel)
2 1 1 1 1
of • • • • • •
∠BDA = ∠BDC = ∠BAC = ∠CAD = α ; constante hoek ∠AED = 180° − 2α ; hoekensom driehoek ∠FEG = 180° − 2α ; overstaande hoek ∠CMB = 2α ; omtrekshoek ∠FMG = 2α ; overstaande hoek ∠FEG + ∠FMG = 180° , dus vierhoek EFMG is een koordenvierhoek (; koordenvierhoek) (, dus E, F, M en G liggen op één cirkel)
1 1 1 1 1 1
5 Inzenden scores Verwerk de scores van alle kandidaten per examinator in het programma WOLF. Zend de gegevens uiterlijk op 20 juni naar Cito. VW-1025-a-14-2-c
12 www.wiskunde-examens.nl
lees verdereinde ►►►
