Modul Matematika 2012 Minggu ke 6
LIMIT FUNGSI (LIMITS OF FINCTIONS) A. BARISAN (SEQUENCES) VS. LIMIT FUNGSI (LIMITS OF FUNCTIONS) Contoh : Sequence : f(n) = 2 + 1/10n → 2,1, 2,01, 2,001, 2,0001, …, 2 + 1/10n maka : Limit dari fungsi f(x) = x2, dimana variabel x bergerak diatas sequence itu menuju 2 atau x→2, sehingga f(x) = x2 menuju 4, yaitu : 4,41, 4,0401, 4,004001, …, {(2 + 1/10n)2 = 4} pada x menjadi 2 untuk x = 2 + 1/10n dengan n→∞ jadi lim x 2 4 x
2
B. LIMIT FUNGSI (LIMITS OF FUNCTIONS) : DEFINISI & PEMBUKTIANNYA, 1. Definisi
lim f ( x) x
A
→ apabila untuk setiap bilangan positif
sekecil apapun,
a
maka dapat diperoleh bilangan positif sehingga f ( x) A jika 0 < x a < | a
| | a X0
| a
| A
(besarnya tergantung ) , berarti : | | A f(x0)
| A
Jadi x→a (variabel x bergerak menuju dan hanya dekat ke titik atau angka a di atas sequence), maka fungsi f(x) menuju dan hanya dekat ke nilai atau angka A. 2. Pembuktian Definisi Limit Fungsi Contoh : Suryari Purnama
1
Modul Matematika 2012 x 2 jika x 2 0 jika x 2
f ( x)
sehingga jika x→2, maka f(x) →4, jadi
lim x x
2
4
2
Bukti Pilih 1 , maka 0 < x a < menjadi 0 < x 2 < 1 yang berarti 1< x < 3 untuk x ≠ 2 Karena x2 4 ( x 2)(x 2) x 2 x 2 x 2 5 . Dengan pilih 1 atau / 5 atau mana yang terkecil, sehingga menjadi x 2 4 jika 0 < x 2 < (=1), jadi terbukti. f ( x) A Misal, ingin x 2 4
(=0,05), jadi
=
5
= 0,01, jadi jika
0 < x 2 < (=0,01), maka 1,99 < x < 2,01 (x ≠ 2), sehingga 3,9601 < x2 < 4,0401 atau ─ 0,0399 < x2 ─ 4 < 0,0401 berarti |x2 ─ 4| < 0,05 dimana (x2 ≠ 4) Misal, ingin x 2 4 (=6) dan pilih 1 , juga terbukti, coba! 3. Limit Fungsi Unik Pada
A , variable x menuju titik atau angka a bisa dari kiri
lim f ( x) x
a
lim f ( x)
A1 (left hand limit) dan
lim f ( x)
A (unik atau hanya satu-satunya)
x
Maka
atau x→a─, atau dari kanan yaitu x→a+, sehingga
a
x
lim f ( x) x
A2 (right hand limit)
a
a
hanya apabila benar2 (if and only if) { lim f ( x) x
a
A1 } = { lim f ( x) x
Bukti : Untuk
0 , maka bisa diperoleh f ( x) A1 / 2 jika 0 < x a <
A1
A2 = A1
Karena
f ( x)
A2 }
a
0 , sehingga dan f ( x) A2
f ( x) A2 < A1
/ 2 jika 0 < x a <
f ( x) + f ( x) A2 < / 2
/2
sangat kecil dan bahkan menjadi 0, maka A1=A2, jadi terbukti.
4. Infinity Suryari Purnama
2
Modul Matematika 2012 Infinite limits (infinite) :
lim f ( x) x
a
apabila untuk bilangan positif M (apapun besarnya), terdapat bilangan positif sehingga f ( x) M jika 0 < x a < . Juga, lim f ( x) (infinite) : x
a
apabila untuk bilangan positif M (apapun besarnya), terdapat bilangan positif sehingga f ( x) M jika 0 < x a < . Juga berlaku untuk notasi dengan x→a+ dan x→a─. x→∞
lim f ( x)
→ apabila untuk setiap bilangan positif
A
sekecil
x
apapun, maka dapat diperoleh bilangan positif (besarnya tergantung ) sehingga f ( x) A jika x > M → bandingkan dengan definisi di atas. (infinite) :
lim f ( x) x
apabila untuk bilangan positif M (apapun besarnya), terdapat bilangan positif P sehingga f ( x) M jika x > P. 5. Teori Limit Fungsi Dengan
x
1). 2). 3).
a
x
a
lim x
4).
a
lim f ( x) lim k. f ( x) x
n
f ( x)
a
lim f ( x) x
A dan
lim f ( x)
a
Suryari Purnama
lim f ( x) x
B
a
A (konstan) → apabila f ( x)
A (konstan)
k.A n
lim f ( x) = x
g ( x)
n
→ (bilangan riil)
A
a
lim f ( x) lim g ( x) x
a
x
A
B
a
3
Modul Matematika 2012 5).
g ( x)
lim gf ((xx))
lim f ( x)
x
6).
lim f ( x) . lim g ( x)
lim f ( x) . a
x
x
x
a
lim g ( x) x
a
a
x
a
A dan B B
A.B
a
0
Catatan : Konsep dari limit (the concept of limit) → Lihat C&W (Book 1) Ch. 6 hal. 129-135). Teori limit (limit theorems) → Lihat C&W (Book 1) Ch.6 hal. 139-141). 6. Contoh 1).
lim 1 1
x
lim 1
1 x2
x
2).
x
3).
x
1
lim ( x
2
5)
x
4).
x2 )
lim (2 x
5).
lim x
6).
x 1 x 1 1 x2
1
lim ( x
2
2 (buktikan dan bandingkan dengan contoh di atas)
5) (2 x 2 )
7 (bandingkan dengan contoh di atas)
x
7). Special limits :
lim
1
x
1 x
x
e dan
x
ex 1 1 lim x x 0
lim ln x
x 1
x
lim 1
x
1/ x
e
0
1
1
Suryari Purnama
4
Modul Matematika 2012
7. Soal Latihan 1).
lim x
2).
6 x3 x 2 x 1
1
1
lim ( x x
3).
2x4
x 3 x 3
f ( x)
x 3
lim f ( x) x
b). Cari c). Cari x
5).
1
lim 3 x
6).
2
3
x 4 x 12
4 x3 x3 5
lim
x2 x 2 4 x3 1
lim
2 x3 x3 1
x
7).
2
3
lim f ( x) x
lim x
3
lim f ( x) x
4).
, x 3
0
a). Cari
x
1
Suryari Purnama
8
Mm
1) 4
1
3
1 7
6
0
5
Modul Matematika 2012
Bahan 6.2.
KONTINUITAS FUNGSI (FUNCTION CONTINUITY OR CONTINUOUS FUNCTIONS) 1. Tiga syarat untuk fungsi kontinyu (continuous functions) Fungsi f(x) dinyatakan kontinyu pada titik atau angka x = x0, apabila 3 syarat dipenuhi : 1). f(x) pada x = x0, atau f(x0), diperoleh (defined). 2).
lim f ( x)
angka ( diperoleh)
lim f ( x)
f ( x0 )
x
3).
x
x0
x0
Fungsi dinyatakan continuous pada suatu interval (open or closed), apabila continuous di setiap titik pada suatu interval. f(x) = x2 + 1 continuous pada x = 2 karena lim f ( x) f ( x0 2) = 5 → x
x0
tiga syarat di atas dipenuhi. f(x) = 4 x2 tidak continuous pada x = 3 karena f(x=3) = 5 1 adalah angka imaginer → tiga syarat di atas tidak dipenuhi. Jadi, fungsi dinyatakan continuous, apabila fungsi continuous pada setiap titik di atas domain fungsinya :
Suryari Purnama
6
Modul Matematika 2012 Maka f(x) = x2 + 1 (serta semua fungsi polynomial pada x, juga demikian untuk fungsi rasional sepanjang fungsi pada penyebut tidak nol) adalah continuous function. Hanya di atas an open interval a < x < b pada domain fungsinya, karena : lim f ( x) f (a) dan lim f ( x) f (b) x
a
x
b
Sedangkan dua limit itu tidak diperoleh apabila di atas a closed interval a ≤ x ≤ b. Kanan dan kiri kontinuitas (right and left hand continuity) Apabila f(x) terdefinisi (is defined) hanya pada interval x ≥ x0, maka f(x) continuous (on the right) pada x = x0, jika : + lim f ( x) f ( x0 ) yaitu f(x0 ) = f(x0) x
x0
Apabila f(x) terdefinisi (is defined) hanya pada interval x ≤ x0, maka f(x) continuous (on the left) pada x = x0, jika : ─ lim f ( x) f ( x0 ) yaitu f(x0 ) = f(x0) x
x0
2. Contoh Continuous Functions dan Discontinuous Functions 1).
x 2 jika x 2 0 jika x 2
f ( x)
sehingga jika x→2, maka f(x) →4, jadi
lim x x
2
4
2
Jadi f(x) continuous selain pada x = 2. Tapi f(x) = x2 untuk semua x, maka lim x 2 4 , jadi continuous pada x
2
semua titik termasuk x =2. f(x) 2). f(x) =
1 x 2
discontinuous pada x = 2 karena f(2) dan lim f ( x) x
0
2
x
2
tidak diperoleh (exists). Bahkan berupa infinite discontinuous.
Suryari Purnama
7
Modul Matematika 2012 3). f(x) =
x2 4 x 2
f(x) 4
discontinuous pada x =2 karena terdapat lubang (a hole) sehingga f(2) tidak diperoleh (defined) yaitu 0/0, walaupun lim f ( x) 4 (defined). x
○
0
2
x
2
Discontinuity dimaksud dapat meredefinisi fungsi menjadi : f(x) =
dihilangkan
(removable)
dengan
x2 4 ; x≠2 x 2
x2 4 Catatan grafik atau kurva f(x) = dan g(x) = x + 2 sama, x 2
Kecuali pada fungsi rasional itu terdapat lubang ( a hole).
Catatan : Fungsi kontinyu dan layak mempunyai derivatif (continuity and differentiability of a function) → Lihat C&W (Book 1) Ch. 6 hal. 141-146).
Suryari Purnama
8
Modul Matematika 2012
Suryari Purnama
9
