1 Vývoj poznatků o atomu, modely atomu 5

Obsah 1 Vývoj poznatků o atomu, modely atomu

5

1.1

Záření černého tělesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Objev atomového jádra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Obtíže klasického výkladu planetárního modelu . . . . . . . . . . . . . . .

10

2 Kvantově mechanický model atomu

15

2.1

De Broglieho hypotéza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.2

Elektron v kubickém monokrystalu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.3

Interpretace vlnové funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.4

Kvantově mechanický model vodíku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.5

Ověření existence elektronových hladin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3 Magnetické vlastnosti atomu

27

3.1

Moment hybnosti elektronu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.2

Magnetooptické jevy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.3

Zavedení spinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3.4

Spin orbitální interakce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

4 Atomy s více elektrony

33

4.1

Pauliho princip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

4.2

Elekronové konfigurace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

4.3

Periodická soustava prvků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

4.4

Energetické stavy víceelektronových atomů . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

4.5

Velmi jemná struktura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

1

OBSAH 4.6

Hundova pravidla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Elektromagnetické přechody v atomu

39 41

5.1

Parita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

5.2

Spektra atomů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

5.3

Rentgenovské záření . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

5.4

Augerův jev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

5.5

Fotoefekt

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

5.6

Comptonův jev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

6 Atomové jádro

51

6.1

Nukleony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

6.2

Nukleonová vazbová energie, Kapkový model . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

6.3

Spin a magnetický moment jádra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

7 Radioaktivní procesy

57

7.1

α rozpad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

7.2

β rozpad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

7.3

γ rozpad a vnitřní konverze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

8 Jaderné reakce

63

8.1

Zákony zachování v jaderných reakcích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

8.2

Typy reakcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

8.3

Štěpení a termojaderná fúze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

8.4

Elementární částice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

8.4.1

71

Interakce mezi částicemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 Průchod částic hmotou

73

9.1

Průchod nabitých částic hmotou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

9.2

Interakce fotonů s hmotou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

10 Detektory a spektrometry

77

10.1 Plynem plněné detektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

78

Obsah 10.2 Scintilační detektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

10.3 Polovodičové detektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

10.4 Dráhové komory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

10.5 Registrace neutronů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

10.6 Detekce fotonů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

3

OBSAH

4

Kapitola 1 Vývoj poznatků o atomu, modely atomu V přírodě pozorujeme téměř neomezenou mnohotvárnost různých látek a neuvěřitelné množství rostlin a živočichů. Objev toho, že vše se skládá z několika desítek různých typů atomů, je jedním z nejdůležitějších poznatků, který lidstvo dosáhlo. Významným objevem byly bezesporu radioaktivní prvky tj. radionuklidy. Protože látky se skládají z částic (atomů a molekul), definujeme látkové množství počtem částic, které látka obsahuje. Jednotkou látkového množství je mol. Vzorek skládající se ze stejných částic má látkové množství jeden mol tehdy, když obsahuje tolik částic (např. atomů, molekul nebo iontů), kolik je atomů ve vzorku nuklidu uhlíku 126 C s hmotností 0,012 kg. Počet částic v látkovém množství jeden mol je určen Avogadrovou konstantou. NA = 6,022 · 1023 atomů/mol Hmotnost atomů a molekul se vyjadřuje často pomocí atomové hmotnostní konstanty mu : atomová hmotnostní konstanta mu je rovna 1/12 hmotnosti nuklidu uhlíku 126 C. mu = 1,66 · 10−27 kg Problém Odhadněte objem molekuly vody. Molekula vody se skládá ze dvou atomů vodíku 11 H a jednoho atomu kyslíku 168 O. Molární hmotnost je Mm = 18 · 10−3 kg · mol−1 . Hustota vody je ρ = 103 kg · m−3 . Molární objem (objem jednoho molu látky)je potom Vm =

Mm 18 · 10−3 kg · mol−1 = = 18 · 10−6 m3 · mol−1 ρ 103 kg · m−3

Na jednu molekulu připadá objem 5

KAPITOLA 1. VÝVOJ POZNATKŮ O ATOMU, MODELY ATOMU

Vm 18 · 10−6 m3 · mol−1 = = 3 · 10−29 m3 . NA 6 · 1023 mol−1 Ve vodě jsou molekuly H2 O těsně u sebe a objem připadající na jednu molekulu se přibližně rovná skutečnému objemu molekuly. Pokud si představíme prostor připadající na jednu molekulu jako krychli, pak hrana té krychle bude: a=

√ 3

30 · 1030 m3 = 3,1 · 10−10 m3

Molekula vody je typickým příkladem menší molekuly. Rozměry atomů jsou řádově 10−10 m. Rozměry menších molekul jsou několikrát větší. Dle výše uvedeného příkladu odhadněte velikost molekuly soli NaCl.

1.1

Záření černého tělesa

Jeden z prvních experimentů, které protiřečily klasické mechanice byl nesouhlas naměřených měrných tepel některých látek např. diamantu s předpovědí klasické mechaniky. Měrné teplo udává, jak roste energie látky E s rostoucí teplotou. Známe-li tuto závislost, můžeme z ní prostě spočítat, jakou energii (kolik tepla) je třeba látce dodat, aby se její teplota zvýšila o jeden stupeň (E(T + 1) − E(T )). Podle věty o rovnoměrném rozdělení je teplota spojena se vztahem pro energii jednoho atomu vztahem E = 3kT , kde k je Boltzmanova konstanta a T termodynamická teplota. Musíme jen znát počet atomů N v dané látce např. krystalu. Ekvivalentně lze výpočet provést tak, že vezmeme v úvahu všechny módy vlnění krystalu, tedy pohybů ve všech stupních volnosti. Pro konečný objem krystalu bude i toto číslo konečné, ovšem pro elektromagnetické vlnění uzavřené v objemu může být nekonečně mnoho módů, kterých může nabývat. Tepelná kapacita záření by vycházela nekonečná. Protože se nekonečný počet módů (možností, jak může kmitat a s jakými vlnovými délkami elektromagnetické vlnění v uzavřeném prostoru) rozprostírá směrem ke krátkovlnné oblasti, byl tento nezdar nazván ultrafialovou katastrofou (oblast spektra vlnových délek kratší než viditelné světlo se označuje jako ultrafialové). Planck navrhl hypotézu, že energie elektromagnetického vlnění se nemění spojitě, ale po určitých kvantech, které jsou násobkem Planckovy konstanty h ¯. Planckova hypotéza správně vysvětlila, kolik energie obsahuje elektromagnetické pole uzavřené v určitém objemu a při určité teplotě. Roku 1907 si tuto hypotézu vypůjčil Einstein k tomu, aby stejně vysvětlil, kolik energie obsahují při určité teplotě krystalické látky, kdy použil jednoduchý model krystalu a uplatnění Planckovy hypotézy nápadně zlepšilo souhlas teoretických měrných tepel s experimentálními. Zejména vysvětlil, proč měrná tepla při nižších teplotách klesají. 6

1.2. Objev atomového jádra

1.2

Objev atomového jádra

Koncem 19. století, při studiu vedení elektrického proudu v plynech, objevil anglický fyzik J. J. Thomson elektron. Náboj elektronu je záporný a jeho velikost se rovná elementárnímu náboji e. Hmotnost elektronu me je asi 1840 krát menší než hmotnost atomu vodíku. e = 1,602 · 10−19 C,

me = 9, 1 · 10−31 kg

Thomson navrhl jednoduchý model atomu tak, aby výsledný objekt, tedy atom, byl neutrální a náboj elektronů v atomu byl vykompenzován kladným nábojem. Podle něj v atomu, který obsahuje počet elektronů Z, jejichž celkový náboj je −Ze, je kompenzován záporný náboj elektronů kladným nábojem +Ze. Thomson předpokládal, že kladný náboj atomu a téměř celá jeho hmotnost jsou zhruba rovnoměrně rozděleny v celém objemu atomu. Fyzikové nazývali tento model „pudinkovýmÿ, přičemž měli na mysli pudink s rozinkami. Koule pudinku představovala hmotu atomu s jeho kladným nábojem, rozinky představovaly elektrony. K nové představě o struktuře atomu vedly experimenty E. Rutherforda a jeho spolupracovníků Geigera a Marsdena z roku 1911. Rutherford si jako první uvědomil, že částice α (kladně nabité částice s nábojem +2e), které vznikají při radioaktivních přeměnách látek, lze použít jako prostředek pro zkoumání struktury atomu. V experimentech se částice α z radioaktivního zdroje rozptylovaly na atomech zlata. Experiment: Částice α emitované zdrojem Z v dutině olověného bloku prochází kanálkem. Úzký svazek částic dopadá kolmo na zlatou fólii F viz obrázek 1.1. Částice, které prošly fólií a byly jí rozptýleny vyvolávají záblesky (scintilace) na stínítku S. Na stínítku je nanesena speciální látka (scintilátor), která při dopadu nabité částice nebo elektromagnetického záření vydává záblesk viz kapitola o scintilačních detektorech 10.2. Mikroskop M je určen na pozorování záblesků. V prostoru mezi stínítkem a fólií bylo zajištěno dostatečné vakuum, aby nedocházelo k dodatečnému rozptylu částic a ve vzduchu. Výsledek měření: Pokus ukázal, že téměř všechny částice α, které prošly fólií, zachovávaly původní směr pohybu, nebo byly odkloněny o velmi malé úhly. Jen několik částic bylo odkloněno o větší úhly, řádově 135◦ až 150◦ . Vysvětlení: Při průchodu těžké a kladně nabité α částice elektronovým obalem, který je v atomu rozprostřen, nemůže dojít k jejímu znatelnějšímu odklonu od původního směru. Hmotnost elektronu je totiž mnohem menší než hmotnost α částice a přitom záporný náboj je rozložen rovnoměrně v celém objemu elektronového obalu, takže se částice α na elektronech prakticky nerozptylují. Jen malý počet částic α, které prolétávají v blízkosti jádra se ostře odchyluje. V malých vzdálenostech r od jádra působí na kladně nabitou částici α s nábojem 7

KAPITOLA 1. VÝVOJ POZNATKŮ O ATOMU, MODELY ATOMU

Obrázek 1.1: Rutherfordův pokus - experimentální uspořádání +2e odpudivá síla jádra o velikosti. F =

1 2e · Ze 4πε0 r2

Zde je Z počet protonů (kladných částic nacházejících se v jádře, jak zjistíme později), ε0 je permitivita vakua (permitivita vyjadřuje elektrické vlastnosti prostředí) a e elementární elektrický náboj. Rutherford odvodil vzorec pro závislost počtu částic α, rozptýlených v určitém úhlu ϑ, na energii těchto částic E a na náboji jádra Z. Pravděpodobnost tohoto procesu vztažená na jedno rozptylové jádro byla vyjádřena účinným průřezem procesu. Účinný průřez je vlastně pravděpodobnost, že dojde k rozptylu do dané části prostorového úhlu označené dΩ (prostorový úhel je jednoznačně vymezen rozptylových úhlem ϑ, neboť se jedná o sféricky symetrickou úlohu), pro projektil s počáteční kinetickou energií E viz obrázek 1.2. dσ (Z1 Z2 e2 )2 1 = 4 2 dΩ 16E sin (ϑ/2) Odchýlení částice s nábojem Z1 odražené od původního směru jádrem s nábojem Z2 , tj. rozptylový úhel ϑ, bude mít závislost na měnící se vzdálenosti mezi dráhou nalétávající částice a její rovnoběžkou procházející jádrem tj. srážkovým parametrem b následující viz obrázek 1.2. coth

ϑ 2Eb = , 2 k 8

k =

Z1 Z2 4πε0

1.2. Objev atomového jádra E je vstupní energie částice. Z tohoto vztahu vyplývá, že pro rostoucí energii nalétávající částice E a pro pevný srážkový parametr b bude klesat rozptylový úhel. Také pro rostoucí srážkový parametr b při pevné energii nalétávající částice se bude rozptylový úhel ϑ zmenšovat.

Obrázek 1.2: Prostorová část úhlu dΩ vztahující se k částicím nalétávajícím v prostoru ohraničeném intervalem srážkového parametru db – Rutherfordův pokus Rutherfordův model atomu (planetární) předpokládá, že všechen kladný náboj je soustředěn v jádře, což je oblast zaujímající velmi malý objem ve srovnání s celým objemem atomu. Absolutní hodnota celkového záporného náboje je rovna kladnému náboji jádra. Počet protonů (kladných částic v jádře, z nichž každá nese náboj +e jak uvidíme později) v jádře je roven počtu elektronů v záporně nabitém obalu a odpovídá pořadovému číslu v Mendělejevově periodické soustavě prvků viz kapitoly 4.3. a 6.1. Hmotnost atomu je soustředěna v jádře, hmotnost elektronů v obalu je výrazně menší. Problémy • Při rozptylu α částice s energií Tα = 8,8 MeV na jádře uranu 238 92 U bylo shledáno, že se α částice rozptylují v souladu s Rutherfordovým vztahem. Odhadněte horní mez poloměru jádra uranu. Náboje jader jsou Zα = 2, ZU = 92. Permitivita vakua je ε0 = 8,854 · 10−12 F · m−1 . [Rmin ≈ 30 · 10−15 m] • Které experimentální výsledky vyvrátily Thomsonův model? 9

KAPITOLA 1. VÝVOJ POZNATKŮ O ATOMU, MODELY ATOMU

1.3

Obtíže klasického výkladu planetárního modelu

• Podle klasického planetárního modelu je elektron na orbitu (uzavřená trajektorie elektronu) ve stavu dynamické stability, odstředivá síla kruhového pohybu elektronu okolo jádra je kompenzována Coulombickým přitahování jádra. Na orbitu poloměru r ∼ 10−10 m má elektron rychlost v ∼ 106 m · s−1 . Přitom dostředivé zrychlení elektronu a = v 2 /r má velikost a ∼ 1022 m · s−2 . Zrychlený pohyb náboje v atomu musí být provázen vyzařováním elektromagnetických vln s frekvencí, která je rovna frekvenci otáčení elektronu kolem jádra. Vodíkový atom by musel mít spojité spektrum frekvencí emitovaného záření, což je v rozporu s experimentem, naopak pozorujeme čárové (diskrétní) spektrum. • Energie elektronu by se při spojitém vyzařování zmenšovala, elektron by se neudržel na orbitu a tím pádem by atom nebyl stabilní. Atomy ale jsou stabilní objekty v přírodě, jinak by neexistovala stabilní homta. Všechny výše uvedené poznatky jsou odvozeny z klasické mechaniky a elektrodynamiky, ale jsou v příkrém rozporu s experimentálními fakty. Na model atomu nelze aplikovat klasickou fyziku. Vysvětlení nalezla až kvantová mechanika.

Čárové spektrum atomu vodíku Spektrum vodíkového atomu je čárové. Pro frekvence (kmitočty) νnm čar tohoto spektra platí Balmerův–Rydbergův vzorec, který byl odvozen z experimentu. µ νnm = R

1 1 − n2 m2

¶

R = 3,293 · 1015 s−1 je Rydbergova konstanta. Čísla n a m mohou nabývat hodnot n, m = 1, 2, 3 . . . ; m > n a nazývají se hlavní kvantová čísla. Soubor všech spektrálních čar se stejným číslem n nazýváme sérií spektrálních čar. Nejvyšší frekvence v každé sérii s daným hlavním kvantovým číslem n odpovídá hodnotě m → ∞ a nazývá se hrana série nebo spektrální term Tn = R/n2 . Frekvenci můžeme psát jako rozdíl spektrálních termů Tnm = Tn − Tm . Balmer ukázal, že každý pozorovaný kmitočet lze získat rozdílem dvou různých termů, ze skupiny termů Tn , Tm . Jednotlivé série a jejich vznik je popsán na obr. 1.3. Na pravé straně je stupnice kmitočtů a na levé je stupnice energie. Jak vidíme na obr. 1.3 přechody v elektronovém obalu vodíku se většinou nacházejí v infračervené části spektra (tj. elektromagnetické vlnění dlouhých vlnových délek, pro lidské oko neviditelné). Lymanova série je v ultrafialové oblasti (tj. elektromagnetické vlnění krátkých vlnových délek, pro lidské oko neviditelné) a první čtyři čáry Balmerovy série jsou ve viditelné oblasti (rozsah vlnových délek elektromagnetického záření ve viditelné oblasti spektra cca 430 – 760 nm. 10

1.3. Obtíže klasického výkladu planetárního modelu Bohrovy postuláty: Kvantová teorie, předložená Bohrem, měla za cíl vysvětlit experimentální fakta: čárové spektrum atomu vodíku popsané Balmer–Rydbergovým vztahem, vysvětlit stabilitu atomů a elektronů na elektronových orbitech a kvantový charakter emise a absorpce světla. Orbitem elektronu v atomu nazýváme množinu bodů, ve kterých je možno elektron s velkou pravděpodobností pozorovat a kde je největší elektronová hustota pro elektron s danými kvantovými čísly. Bohr stanovil následující postuláty: • Postulát stacionárních stavů – v atomu existují stacionární stavy (stav elektronu, který má periodickou – sinusovou závislost na čase) a každému stacionárnímu stavu přísluší určitá energie En a stacionární elektronový orbit, po kterém se elektron pohybuje. • Při pohybu po orbitech, přestože se pohybují elektrony zrychleně, nevyzařují elektromagnetické záření. Atom vyzařuje kvantum energie při přechodu elektronu z vyšší na nižší orbitu. Energie tohoto kvanta je dána rozdílem energií atomu v obou jeho stacionárních stavech tj. Emn = hνm = Em − En , kde νm je kmitočet odpovídající vyzářenému elektromagnetickému záření a hνmn je energie tohoto záření. Veličina h ¯ je Planckova konstanta viz kapitola 1.1 a je spojena s konstantou h vztahem 2π¯ h = h; h ¯ = 1,054 · 10−34 J · s. • Kvantování orbitů – ve stacionárním stavu musí elektron, pohybující se po kruhovém orbitu, nabývat diskrétních kvantovaných hodnot svého momentu hybnosti L. L = mvn rn , kde rn a vn jsou také kvantovány pomocí kvantového čísla n. Kvantovací podmínka pro moment hybnosti vyplývá z faktu, že na orbit elektronu délky 2πr se může vejít jen celistvý počet de Brogliových vlnových délek elektronu nλ, viz kapitola 2.1 (2πr = nλ, ovšem pro hybnost elektronu platí vztah p = h ¯ 2π/λ, kde λ je vlnová délka odpovídající elektronu, z toho plyne pro moment hybnosti elektronu, že mvr = n¯h – podmínka kvantování momentu hybnosti elektronu a současně platí dynamická rovnováha elektronu na stacionární orbitě – ostředivá síla je vyrovnána elektrostatickým přitahováním 2 mv 2 = 4πεe 0 r2 ). Atom vodíku se skládá z jádra nesoucího náboj +e a z jednoho elektronu r s nábojem −e. Vezmeme-li v úvahu, že elektron se pohybuje po stacionárním orbitu, kde je v rovnováze elektrostatické přitahování kladného jádra a odpuzování na základě odstředivého zrychlení a dále si uvědomíme, že moment hybnosti je kvantován, pak odvodíme následující vztah pro kvantování poloměru orbitu elektronu v atomu vodíku. rn = n

h 2 4π¯

2

ε0

me2

a následující vztah pro rychlosti elektronu na stacionárním orbitu: vn =

n¯h e2 = mr 4πε0 n¯ h 11

KAPITOLA 1. VÝVOJ POZNATKŮ O ATOMU, MODELY ATOMU Na druhé¡straně je¢experimentálně znám Rydbergův emirický vzorec pro vyzářený kmitočet νnm = R n12 − m12 , kde je kvantum energie rovno rozdílu spektrálních termů, což vysvětluje čárový charakter vodíkového spektra. Velkým úspěchem Bohrova modelu bylo srovnání tohoto empirického vztahu a teoretického vztahu vyplývajícího z Bohrových postulátů a vypočtení, do té doby experimentálně stanovené, Rydbergovy konstanty. • e – náboj elektronu • ε0 – permitivita vakua • n – hlavní kvantové číslo • m – hmotnost elektronu Poloměr prvního orbitu ve vodíkovém atomu, tj. pro n = 1, se nazývá (první) Bohrův poloměr. Jeho hodnota je r1 = a0 = 0,529·10−10 m. Je to dráha s nejnižší energií a elektron nemůže dále energii vyzářit, tím je zaručena stabilita atomu. Často se této hodnoty využívá jako jednotky délky v atomové fyzice. Celková energie elektronu Ee ve vodíkovém atomu je součtem kinetické energie Ek a potenciální energie Ep . Potenciální energie je záporná a přísluší síle, která přitahuje elektron k jádru. Ep = −

e2 , 4πε0 r

1 EK = mv 2 2

Energetické hladiny elektronu En ve vodíkovém atomu závisí jen na hlavním kvantovém čísle n. Hlavním kvantovým číslem nazýváme celé číslo, které určuje energetickou hladinu elektronu ve vodíkovém atomu. Energetická hladina při n = 1 přísluší základnímu energetickému stavu a pro n > 1 přísluší vzbuzeným (excitovaným) energetickým stavům. 1 e2 me4 1 En = mvn2 − =− 2 2 2 2 4πε0 rn 8h ε0 n Celková energie vodíkového atomu je záporná, neboť elektron nemá dostatek energie, aby se od jádra odpoutal. Elektron může přejít na nižší energetickou dráhu (blíže k jádru) vyzářením energie ∆E = Em − En ; m > n, vyzářená energie odpovídá Planckovu kvantu energie ∆E = h ¯ ωmn = hνmn . Rydbergovu konstantu R lze vypočítat pomocí Bohrových postulátů. Numerický výpočet výše uvedeného vzorce dává hodnotu, která s velkou přesností souhlasí s hodnotou této konstanty určenou experimentálně, což bylo považováno za velký úspěch Bohrova modelu. Bohrův model byl úspěšný také u spekter iontů vodíkového typu. Jedná se o atomy hmotnostně blízké vodíku, kterým odebereme elektrony tak, aby v elektronovém obalu zbyl jenom jeden elektron, proto mají kladný náboj podle počtu odebraných elektronů (Li++ odebrány 2 elektrony, celkem jsou v atomu Li 3 elektrony, Be+++ odebrány 3 elektrony, celkem jsou v atomu Be 4 elektrony atd.). Pro atomy s více elektrony není Bohrova teorie schopna uspokojivě stanovit energetické hladiny atomů. 12

1.3. Obtíže klasického výkladu planetárního modelu Problémy • Vyjádřete Rydbergovu konstantu pomocí základních konstant s ohledem · na Bohrův ¸ me4 vztah pro energii En . R= 3 2 8h ε0 • Zamyslete se nad tím, jak mohli experimentátoři na počátku 20. století rozlišit kladné a záporné částice v experimentu. Mohli detekovat i částice neutrální? • Proč byl Bohrův model nedostatečným popisem skutečného atomu?

13

KAPITOLA 1. VÝVOJ POZNATKŮ O ATOMU, MODELY ATOMU

Obrázek 1.3: Schematický zápis přechodů v atomovém obalu vodíku.

14

Kapitola 2 Kvantově mechanický model atomu Kvantová mechanika je velmi zvláštní v tom, jaký je v ní vztah mezi teorií, matematickým popisem a reálnou skutečností. V teoretickém popisu, jak uvidíme za chvíli, používáme pojmy vlna, vlnová funkce, zatímco v experimentu počítáme a měříme částice. Někdy se mluví o vlnově částicovém dualismu. Musí však existovat nějaké pojítko, které by umožňovalo srovnávat experimentální fakta s předpovědí teoretického popisu. Tímto pojítkem je interpretace kvantové mechaniky. A zde leží rozdíl mezi klasickou a kvantovou mechanikou. V klasické fyzice je vztah mezi matematickým popisem a experimentálním výsledkem jasný. Pokud spočítám podle Newtonových zákonů mechaniky polohu nějaké planety, pak ji v daném místě a na daných souřadnicích mohu nalézt a změřit. Samozřejmě, že počítám s určitými nepřesnostmi, které vznikají při zaokrouhlování výpočtů nebo naopak při měření polohy, ale budu-li mít dostatek času a prostředků, mohu své výpočty a měření libovolně zpřesnit. Kvantová fyzika dává ovšem jen pravděpodobnostní výsledky a předpovědi i tehdy, popisujeli jen jednu částici. Výsledkem výpočtu může pak být např. vlnová funkce elektronu v atomu vodíku, která popisuje pohyb elektronu v prostoru a čase s ohledem na to, že je vázán jádrem ve spojeném systému atomu. Je to analogické tomu, jako když bychom uzavřeli elektromagnetické záření do krychle a snažili se určit všechny možné typy módů vlnění, kterých v této krychli může nabývat v závislosti na velikosti krychle. Kvantová teorie nám však neřekne, že elektron bude v tomto místě v tomto konkrétním čase, i kdybychom počítali sebepřesněji. Výsledky kvantové fyziky v sobě mají prvek náhody. Většinou ovšem kvantovou fyziku aplikujeme na velké soubory částic, takže nám statistické předpovědi nevadí.

15

KAPITOLA 2. KVANTOVĚ MECHANICKÝ MODEL ATOMU

2.1

De Broglieho hypotéza

Na počátku 20. století se fyzikové přeli o to, zda je podstatou elektromagnetického záření vlnění nebo částice. Již se zdálo, že je spor rozhodnut a jedná se o vlnění, avšak pak byly objeveny částice fotony, jako kvanta světla, které mají vlastnosti částic. Na začátku 20. let vyšel De Broglie z opačné představy o částicové podstatě záření – světlo je tok fotonů, kde energie fotonu E a jeho hybnost p jsou vyjádřeny vztahy: E=h ¯ ω,

p=h ¯ k,

|k| =

ω 2π = c λ

Frekvence je ω, λ je vlnová délka a k je vlnový vektor a jsou to veličiny definující vlnu ve volném elektromagnetickém poli s energií E. Příslušná vlna má tvar: A(r, t) = A0 [cos(ωt − kr) + sin(ωt − kr)] Přitom A0 je konstantní vektorová amplituda monochromatické vlny (realizuje se v ní jedna vlnová délka). Výše uvedené dvě rovnice reprezentují vzájemné přiřazení elektromagnetických (vlnových)a mechanických (částicových) vlastností fotonů. Známe-li mechanickou hybnost p, víme jak vypadá vlna a známe-li vlnovou délku λ, víme jaká je hybnost a energie fotonu. De Broglie vyslovil myšlenku, že pokud toto platí pro fotony, mělo by to také p platit pro elektrony. Pro částici s nenulovou hmotností bude platit: ωλ = 2πv = 2π , 2m kde je hybnost p vyjádřena pomocí klasické mechaniky. Částicově–vlnový charakter by se tím nastolil i pro částice s nenulovou hmotností. Částicový charakter byl prokázán při Comptonově jevu pro elektromagnetické záření (částice fotony) viz kapitola 5.6. Problém Vypočtěte frekvenci f kruhového pohybu elektronu v klasickém modelu vodíkového atomu. Ve které oblasti spektra jsou elektromagnetické vlny s tímto kmitočtem? Využijte faktu, že experimentálně zjištěná hodnota vazbové energie elektronu v atomu vodíku je 13,6 eV. [E = 2π¯ hν, ν = 3,3 · 1015 s−1 ; λ = c/ν ∼ 90 nm oblast ultrafialového záření ]

2.2

Elektron v kubickém monokrystalu

Chceme-li osvětlit, jak budeme aplikovat kvantově mechanický popis na elektron v atomu vodíku, zkusme nejdříve odvodit jednodušší problém, kdy se elektron bude nacházet v potenciálu tvaru krychle, jejíž stěny budou nekonečně vysoké, takže se nebude moci dostat ven. Bude nás zajímat, jaké vlnové funkce elektronu se v tomto případě budou realizovat. Uvažujme elektron, který se nachází v kubickém monokrystalu o délce hrany L. Prostředí, 16

2.2. Elektron v kubickém monokrystalu kde se elektron pohybuje považujeme za homogenní a charakterizujeme jej potenciální energií, která bude uvnitř krystalu konstantní a rovná nule a vně krystalu prudce vzroste na hodnotu V0 = ∞. Celková energie elektronu E pak bude E=

k2h ¯2 + V (x, y, z) 2me

E je celková energie elektronu a p = h ¯ k je jeho klasická hybnost. Nerelativistická rovnice popisující pohyb elektronu v kubickém monokrystalu, která vychází ze vztahu pro celkovou energii elektronu, bude mít následující tvar a nazývá se Schrödingerova rovnice: ¡ ¢ h ¯ 2 kx2 + ky2 + kz2 k2h ¯2 h ¯ 2k2 + V (x, y, z) = = = 2me 2me 2me −¯h2 = 2me

µ

∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

¶ = Eψ(x, y, z)

V kvantové mechanickém popisu jsme přešli od kx → −

∂ ∂ a ky , kz jsme nahradili − 2 2 ∂x ∂y

∂ . Je to přechod od vztahu pro celkovou energii elektronu v potenciálu kubické ∂z 2 potenciálové jámy k rovnici, která popíše jeho pohyb uvnitř krystalu (přechod ke kvantově mechanickému popisu). Složky vlnového vektoru k jsou nahrazeny operátory viz [7], [4]. Jedná se o zjednodušenou Schrödingerovu rovnici, kde bereme v úvahu nulový potenciál V (x, y, z) = 0 pro x, y, z < L/2, tedy uvnitř krystalu. Řešení této rovnice, tedy možné vlnové funkce, které ji budou splňovat, popisují realizované stavy elektronu v kubickém monokrystalu a nazýváme je vlastními vlnovými funkcemi (vlnové proto, že mají většinou tvar sinových a kosinových funkcí). a −

Řešíme rovnici separací proměnných, kdy rozepíšeme vlnovou funkci jako ψ(x, y, z) = ψ(x)ψ(y)ψ(z) Současně bude platit pro celkovou energii E = Ex + Ey + Ez Ex , Ey a Ez jsou složky celkové energie pro pohyb podél jednotlivých souřadnicových os. Po separaci proměnných vznikne trojice analogických rovnic pro všechny souřadnice x, y, z, které můžeme řešit zvlášť. Pro souřadnici x: −¯h2 d2 ψ(x) = Ex ψ(x) 2me dx2

(+)

Vlnová funkce ψ(x), která bude řešením výše uvedené rovnice, musí být spojitá i na hranici monokrystalu, protože předpokládáme vně monokrystalu nekonečný potenciál, nemůže se 17

KAPITOLA 2. KVANTOVĚ MECHANICKÝ MODEL ATOMU částice nacházet v poloze s x ≥ L/2. Musí tedy splňovat okrajovou podmínku, že bude nulová na hranici monokrystalu: ψ(x = ±L/2) = 0 Rovnici (+) pro vlnovou funkci ψ(x) vyhovují dvě nezávislá řešení ψ1 (x) = A sin kx x ψ2 (x) = B cos kx x kde konstanty A a B ve ψ1 (x) a ψ2 (x) určíme z podmínky, že integrál přes prostor potenciálové jámy musí být roven jedné Z

+L/2 −L/2

Z

ψ1∗ (x)ψ1 (x)dx =

+L/2

2

A

sin2 (kx x)dx = 1

−L/2

po vypočtení integrálu dostáváme Z 2

+L/2

A

sin2 (kx x)dx =

−L/2

L 2 A =1 2

a pro druhé nezávislé řešení Z B

+L/2

2

cos2 (kx x)dx = 1

−L/2

Z B

2

+L/2

cos2 (kx x)dx =

−L/2

L 2 B =1 2

Z výše uvedených rovnic dostáváme hodnoty konstant A a B: µ ¶1/2 2 ⇒A=B= L Částice se s určitostí bude nacházet uvnitř krystalu. Po výpočtu konstant A, B, viz výše, ¡ ¢1/2 nebo [1], [7], dostaneme A = B = L2 . Dále přepíšeme okrajovou podmínku pro vlnové funkce ve tvaru: pro ψ1 A sin kx x(x = ±L/2) = 0 =⇒ kx = nx L, nx = 2, 4, 6, . . . 18

2.3. Interpretace vlnové funkce a pro ψ2 B cos kx x(x = ±L/2) = 0 =⇒ kx = nx L, nx = 1, 3, 5, . . . a toto vyjádření dosadíme do řešení ψ1 (x) a ψ2 (x) spolu s vypočtenými konstantami A, B. Dostáváme tak normované stacionární stavy (vlastní vlnové funkce) elektronu v kubickém monokrystalu a rovněž vlastní energie příslušející těmto stavům. µ ¶1/2 nx πx 2 sin ψ1 (x) = L L µ ¶1/2 2 nx πx ψ2 (x) = cos L L Ex =

h ¯ 2 π2 2 kx2 h ¯2 = n 2me 2me L2 x

nx = 1, 2, 3 . . . Protože se jedná o periodické řešení, bude rovnice splněna pro každé nx , které bude nabývat celých čísel a tedy můžeme jej nazvat kvantovým číslem, neboť řešení se realizují pouze pro celá čísla nx a stejně tak energie je kvantována prostřednictvím tohoto kvantového čísla. Analogické vlnové funkce a energie dostaneme pro souřadnice y a z. Výsledná energie pak bude dána kvantovými čísly nx , ny a nz , která odpovídají třem možným směrům pohybu elektronu (stupňům volnosti) v kubickém krystalu. −¯ h2 π 2 2 Ex = (nx + n2y + n2z ) 2 2me L n2 = n2x + n2y + n2z Nakonec máme jediné číslo n, které charakterizuje celkovou energii elektronu vázaného v krystalu, ale tato energie se může realizovat několika způsoby. Např. nx = 2, ny = 1, nz = 1, n = 6 vede ke stejné hodnotě energie jako kombinace nx = 1, ny = 1, nz = 2, n = 6 nebo nx = 1, ny = 2, nz = 1, n = 6. Říkáme proto, že příslušná energie E = En pro n = 6 je trojnásobně degenerovaná.

2.3

Interpretace vlnové funkce

Dalším úkolem bylo vysvětlit význam vlnové funkce. Pohybový zákon pro mikročástice, kde vystupuje vlnová funkce částice, je Shrödingerova rovnice viz kapitola 2.1. Interpretace vlnové funkce mikročástice má analogii v elektrodynamice. Elektromagnetickou vlnu popisujeme pomocí vektorového potenciálu A(r, t). Hustota elektromagnetického pole u je 19

KAPITOLA 2. KVANTOVĚ MECHANICKÝ MODEL ATOMU úměrná kvadrátu této veličiny u ≈ |A(r, t)|2 , kde je absolutní hodnota, neboť vektorový potenciál můžeme popisovat i komplexní funkcí. Pokud dopadá elektromagnetické vlnění na fotografickou desku, pozorujeme osvětlená zrna světlo–citlivé látky. Můžeme říci, že podle intenzity osvětlení daného místa lze usoudit na pravděpodobnost výskytu fotonu. Tedy veličina hustota energie elektromagnetického pole definuje současně i hustotu pravděpodobnosti výskytu fotonu daném místě. Vzhledem k tomu, že s elementárními částicemi lze provádět stejné difrakční a interferenční experimenty jako s fotony (kvanty elektromagnetického záření), spočívá fyzikální význam vlnové funkce v tom, že kvadrát její absolutní hodnoty definuje hustotu pravděpodobnosti výskytu částice v daném místě. Tedy pravděpodobnost dw, že se polohový vektor částice r bude nacházet v intervalu polohových vektorů (r, r + dr) bude rovna dw = |ψ(r, t)2 |dr = ψ ∗ (r, t)ψ(r, t)dr kde ψ ∗ je komplexně sdružená funkce k funkci ψ (Pokud je ψ reálná funkce – bez imaginární jednotky i, pak ψ ∗ = ψ). Integrál přes celý prostor V Z Z w= dw = ψ ∗ (r, t)ψ(r, t)dr V

V

udává celkovou pravděpodobnost, že částice někde v prostoru bude a dw udává relativní pravděpodobnost. Vlnová funkce ψ(r, t) je určena Schrödingerovou rovnicí až na konstantu a tu můžeme odvodit z výše uvedené rovnice a předpokladu, že tento integrál je 1, tj. že částici s pravděpodobností jedna najdeme v objemu V . Vrátíme-li se k jednoduššímu příkladu elektronu v kubickém monokrystalu, chceme také vědět, jaká bude nejpravděpodobnější poloha elektronu v krychli, určená souřadnicemi x, y, z. Můžeme spočítat střední hodnotu polohy částice x¯ na souřadnici x, tedy nejpravděpodobnější polohu na souřadnici x, na které se bude elektron v kubickém monokrystalu nacházet. Z ∞ Z ∞ ∗ x¯ = ψ (x)xψ(x)dx/ ψ ∗ (x)ψ(x)dx = −∞

Z

−∞ +L/2

= 2/L

x sin2 (kx x) dx

−L/2

Výše uvedený integrál je lichou funkcí na intervalu h−L/2; L/2i. x¯ = 0 Budeme-li tedy měřit polohu elektronu v krychli, zjistíme, že jsme naměřili hodnotu x ¯ nepřesně, že nejpravděpodobnější je střední hodnota x¯, která se v případě problému elektronu v krychli rovná 0. Znamená to, že elektron kmitá okolo nulové hodnoty ve směru osy x s určitou nepřesností. Tuto nepřesnost můžeme odhadnout nejlépe pomocí střední kvadratické odchylky. Z ∞ Z ∞ 2 ∗ 2 (∆x) = ψ (x)(x − x¯) ψ(x)dx/ ψ ∗ (x)ψ(x)dx = x¯2 − x¯2 = −∞

−∞

20

2.3. Interpretace vlnové funkce Z

+L/2

= 2/L −L/2

L2 x sin (kx x) dx > 24 6

2

V souladu s výše uvedenými rovnicemi můžeme určit střední hodnotu a střední kvadratické odchylky libovolné veličiny např. střední hodnotu složky hybnosti px a stední kvadratickou odchylku složky hybnosti ve směru x (∆px )2 . (∆px )2 = h ¯ 2 kx2 =

h ¯ 2π2 2 n L2 x

Pro elektron v kubickém monokrystalu vyplývá, že střední kvadratické odchylky polohy a složky hybnosti splňují nerovnost nazývanou „relace neurčitostiÿ: (∆px )2 (∆x)2 ≥

h ¯2 4

Z této nerovnosti vyplývá, že složka hybnosti a polohového vektoru nemůže současně nabývat ostrých středních hodnot, ale je charakterizována jistým rozmazáním hodnoty, které je dáno střední kvadratickou odchylkou. Budeme-li se snažit náš elektron co nejlépe lokalizovat a začneme zmenšovat krychli, ve které se nachází, abychom upřesnili jeho polohu, zjistíme že vzrůstá jeho hybnost. Složka hybnosti px pak bude mít velkou neurčitost (střední kvadratickou odchylku) v souladu s relacemi neurčitosti. Pokud je vlnová funkce popisující částici např. blízká sinusoidě (ψ ∼ sin(kx) = sin( ¯hp x)), pak se její hybnost nachází v úzkém intervalu p + ∆p a v souladu s relacemi neurčitosti je nepřesnost polohy je velká. Experiment Vlnové vlastnosti bylo také třeba prokázat. Přistoupilo se tedy k typickému difrakčnímu experimentu. C. Davisson a L. Germer v roce 1927 odstřelovali kolimovaným svazkem elektronů o známé energii povrch monokrystalu niklu. Elektrony dopadaly kolmo na krystal a rozptylovaly se pod různými úhly ϕ měřenými od osy dopadu svazku. Počet rozptýlených elektronů na úhlu ϕ vykazoval závislost odpovídající Braggově podmínce pro difrakci elektromagnetického vlnění o téže vlnové délce na daném krystalu. Difrakční vlastnosti pozorované u elektronů nejsou typickým jevem jen pro ně, později byly vlnové vlastnosti dokázány i u jiných těžších elementárních částic i atomů. Běžně se využívá těchto vlastností u neutronů pro studium struktury krystalických látek. Problém Odhadněte řádově rozměry mřížky, na které bychom mohli pozorovat difrakci elektronů o energii E = 200 keV. [10−12 m]. 21

KAPITOLA 2. KVANTOVĚ MECHANICKÝ MODEL ATOMU

2.4

Kvantově mechanický model vodíku

Kvantově mechanická analýza atomu vodíku má pro fyziku základní význam, neboť se jedná o nejjednodušší atomární systém a teoretické předpovědi na něm lze dobře testovat. Při řešení této úlohy budeme postupovat jako v případě elektronu uzavřeného v kubickém monokrystalu s tím rozdílem, že Schrödingerova rovnice je komplikovanější. Řešíme problém s potenciálem, který je sféricky symetrický a proto dostáváme kvantová čísla, která odpovídají této symetrii (pracujeme nikoli v kartézských souřadnicích x, y, z, ale ve sférických r, ϑ, ϕ). Vlastní funkce (stacionární stavy) vázaného stavu elektronu v atomu vodíku jsou charakterizovány třemi kvantovými čísly, hlavním kvantovým číslem n = 1, 2, 3, . . ., vedlejším kvantovým číslem l = 1, 2, 3, . . ., a magnetickým kvantovým číslem m = 0, ±1, ±2, . . . ± l. Vlastní funkce jsou řešením Schrödingerovy rovnice pro atom vodíku. Tato rovnice je základní rovnicí nerelativistické kvantové mechaniky a popisuje zákon zachování celkové nerelativistické energie ve vázaném systému jádra a elektronů. Vlnové funkce splňující tuto rovnici popisují obecně chování kvantově mechanického systému. Schrodingerovu rovnici pro stacionární stavy elektronu s energií En vázaného v atomu vodíku, ve sféricky symetrické potenciálové jámě (elektrostatické přitahování jádra) lze napsat v následujícím tvaru, kde první člen na levé straně je operátor kinetické energie systému a druhý člen potenciální energie: µ

−¯ h2 2me

µ

∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

¶

¶ + V (r) ψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z)

Vlnové funkce (stacionární stavy) vázaného elektronu musí vyhovovat okrajovým podmínkám tj. chování vlnové funkce na okraji potenciálové jámy je definováno tak, že předpokládáme-li nekonečně hlubokou potenciálovou jámu, je potenciál uvnitř r < a, nulový V (r) = 0 a vně r > a je potenciál nekonečně velký V (r) = +∞ tj. pro prostor vně potenciálu bude vlnová funkce elektronu rovna nule ψ(x, y, z) = 0. Přejdeme ke sférickým souřadnicím, protože je potenciál sféricky symetrický, známou transformací x = r sin ϑ cos ϕ, r ∈ h0, ∞i y = r sin ϑ sin ϕ, ϑ ∈ h0, πi z = r cos ϕ, ϕ ∈ h0, 2πi Výslednou rovnici budeme řešit separací proměnných: ψ(x, y, z) = R(r)Θ(ϑ)Φ(ϕ) Výsledné vlnové funkce popisující kvantově mechanický systém jednoho elektronu v coulombickém poli jádra mají tzv. radiální R(r) a úhlovou část Θ(ϑ)Φ(ϕ). Z názvu je patrné, 22

2.4. Kvantově mechanický model vodíku že radiální část popisuje pohyb elektronu v závislosti na radiálním vektoru r a úhlová část popisuje závislost pohybu elektronu na úhlech ϑ a ϕ. Vlnovým funkcím ψ(x, y, z) = R(r)Θ(ϑ)Φ(ϕ) se také říká orbitaly. Parametr a0 , který vystupuje v radiálních funkcích je tzv. Bohrův poloměr atomu vodíku. Normované radiální a úhlové části vlnových funkcí vodíkového typu jsou tabelovány viz tabulky 2.1 a 2.2. V tabulkách se uvádějí většinou normované vlnové funkce, které splňují podmínku normalizace, tj. počítáme-li integrál součinu normované vlnové funkce a funkce k ní komplexně sdružené přes celý prostor, dostáváme jedničku, což je vlastně pravděpodobnost, že se částice někde v celém prostoru nachází.

Tabulka 2.1: Tvary radiálních funkcí pro různá kvantová čísla n, l Kvantová mechanika podstatně zpřesnila Bohrův postulát o kvantování momentu hybnosti (impulsmomentu) Li elektronu v atomu. Orbitálním kvantovým číslem l elektronu v atomu nazýváme celé číslo, které určuje možné hodnoty Li elektronu vztahem: p Li = l(l + 1)¯h Možné hodnoty se liší v kvantové mechanice od hodnot kvantovaných v Bohrově modelu tím, že kromě hlavního kvantového čísla n tam vystupuje odmocnina z výrazu l(l+1). Podle kvantového popisu může nabývat impulsmoment hodnoty 0, existují totiž takové stavy elektronu v atomu, při kterých má elektron nulový moment hybnosti. V Bohrově teorii by jim příslušel orbit procházející jádrem atomu. Jak ukazují experimenty, takové stavy 23

KAPITOLA 2. KVANTOVĚ MECHANICKÝ MODEL ATOMU

Tabulka 2.2: Tvary kulových funkcí pro různá kvantová čísla l, m existují. Hodnoty orbitálního kvantového čísla l elektronu jsou v atomové fyzice a současně chemii základním faktorem pro klasifikaci (systematiku) elektronových stavů v atomech a molekulách. Stavy s l = 0, 1, 2, 3, . . . mají přiřazena následující označení s, p, d, f, . . . a dále dle abecedy. V kvantové mechanice přísluší různým hodnotám l rozdílné rozložení hustoty pravděpodobnosti výskytu elektronu okolo jádra. Vektor Li momentu hybnosti elektronu nemůže být v prostoru orientován libovolně. Orientace vektoru Li ve vnějším magnetickém poli s indukcí B je charakterizována průmětem LiB vektoru Li do směru indukce B, pro tento průmět zřejmě platí: LiB = Li cos α,

LiB = m¯h,

m = 0, ±1, ±2, . . . ± l

Prostorovým kvantováním nazýváme postup, který nedovoluje průmětům LiB nabývat 24

2.5. Ověření existence elektronových hladin libovolných hodnot. Celé číslo m určuje možné hodnoty LiB a nazýváme jej magnetickým kvantovým číslem, neboť charakterizuje chování impulsmomentu elektronu v magnetickém poli. Vektor Li má v prostoru 2l + 1 orientací, odpovídajících jeho možným průmětům do směru vnějšího magnetického pole. Problém Jaký je rozdíl mezi klasickým přístupem Bohrova modelu atomu vodíku a kvantově mechanickým modelem atomu vodíku? V čem vidíte největší rozdíl?

2.5

Ověření existence elektronových hladin

Dnes již klasický pokus, ve kterém byla dokázána existence elektronových hladin v obalu atomu je pokus J. Francka a G. Hertze z roku 1913. Byla použita speciální trioda viz obrázek 2.1, která byla naplněna parami rtuti. Elektrony uvolněné ze žhavené katody K jsou urychleny potenciálem Vm mezi katodou a mřížkou M. Elektrony po průchodu mřížkou postupují k anodě A. Mezi anodou a mřížkou je udržován brzdící potenciál řádově 0,5 V. Měří se voltampérová charakteristika triody tj.proud I v závislosti na Vm . Charakteristika má ekvidistantní maxima, první při 4,9 V a další při jeho celistvých násobcích. Proud nejprve roste ve shodě se zákonitostmi vedení proudu v plynech. Elektrony ztrácejí energii jenom pružnými srážkami s atomy rtuti, protože se energie elektronů příliš nemění, většina projde brzícím potenciálem k anodě a přispívá k proudu I. Tento mechanismus je narušen, když energie dosáhne jisté energie ∆E1 , to je energie, kterou atom rtuti může přijmout, aby přešel do excitovaného stavu.

Obrázek 2.1: Frankův–Hertzův pokus – experimentální uspořádání a měření voltampérové charakteristiky anodového obvodu 25

KAPITOLA 2. KVANTOVĚ MECHANICKÝ MODEL ATOMU V jedné srážce předá elektron velkou část své energie atomu a tím jej excituje, sám však nemá dostatečnou energii, aby prošel brzdícím potenciálem k anodě a dochází k prudkému poklesu proudu I. Atomy rtuti se vracejí po určité době do základního stavu a dojde k vyzáření fotonů o energii ∆E1 = 4,9 eV. Experimenty zkoumající mechanismus srážek elektronů s atomy měly významný vliv pro ověření kvantových energetických stavů atomů. Problémy • Spočítejte, jakou vlnovou délku naměřili při Franck–Hertzově pokusu, když došlo k deexcitaci o ∆E1 = 4,9 eV. [253,7 nm] • Navrhněte experiment, kde bychom mohli jinak ověřit existenci elektronových hladin.

26

Kapitola 3 Magnetické vlastnosti atomu 3.1

Moment hybnosti elektronu

Moment hybnosti elektronu l je důležitá charakteristická veličina. Pohyb nabité částice je spojen vždy s magnetickým momentem (vytvoření proudové smyčky), jak víme z elektrodynamiky. Magnetické momenty lze měřit v několika typech experimentů např. měření jemné struktury spektrálních čar atomů, měření vlivu vnějšího elektromagnetického pole na energetické stavy atomů a měřením magnetických momentů atomů metodou atomárních svazků v nehomogenním magnetickém poli. Pokud vlnová funkce částice má závislost ψ(x) ∼ cos(kx x) + sin(kx x), nalezneme při každém měření hybnosti částice hodnotu px = h ¯ kx . S momentem hybnosti částice l, nábojem q e¯ h a hmotností m je svázán magnetický moment µ následujícím vztahem µ = l. Ve většině 2m případů definujeme tzv. význačný směr, který odpovídá směru magnetického pole. Projekce e¯ h magnetického momentu do význačného směru (často to bývá osa z) je µz = lz . Veličina 2m e¯ h se nazývá Bohrův magneton, označuje se µB a tvoří vlastní kvantum magnetického 2me momentu elektronu. e Orbitální magnetický moment elektronu lze přepsat jako µ = γ l, kde veličina γ = 2me se nazývá gyromagnetický poměr. Experimentálně určíme velikost magnetického momentu částice podle síly, která na částici působí v nehomogenním magnetickém poli. Takové měření magnetického momentu provedl O. Stern a W. Gerlach v roce 1922, viz obrázek 3.1. Stern–Gerlachův experiment Atomy nebo jiné částice procházejí nehomogenním magnetickým polem, které míří kolmo na směr jejich pohybu. Chovají se jako malé tyčové magnety, jsou přitahovány do směru, v němž magnetické pole roste. Síla, která přitom působí na atomy, je úměrná velikosti projekce jejich magnetického dipólového momentu µz ve směru vektoru magnetického pole. 27

KAPITOLA 3. MAGNETICKÉ VLASTNOSTI ATOMU

Obrázek 3.1: Schéma Stern–Gerlachova pokusu Protože µz je úměrné lz (projekci momentu hybnosti do význačného směru), je to také dělení částic podle momentu hybnosti. Tento pokus je třeba provést se svazky atomů, které mají jeden elektron v nezaplněné slupce, uzavřené elektronové slupky k magnetickému momentu atomu nepříspívají a studujeme tedy jen magnetický moment nespárovaného elektronu (viz kapitola 4.2). Oproti očekávanému výsledku, že se svazek v nehomogenním magnetickém poli bude rozptylovat, protože nehomogenní pole bude postupně natáčet magnetický dipolóvý moment elektronu, ukázalo se, že ve spektru jsou dvě výrazně stopy viz obrázek 3.1. Tento závěr odpovídá kvantově mechanické interpretaci, že projekce magnetického momentu nabývá pouze dvou diskrétních hodnot, dochází ke kvantování.

3.2

Magnetooptické jevy

Další jevy, kdy dochází k rozštepení čar ve spektru atomů, se nazývají magnetooptické. Příkladem je Zeemanův jev. Elektron ve vnějším magnetickém poli orientovaném ve směru z získává energii 28

3.2. Magnetooptické jevy

∆Um =

e Blz 2me

lz je projekce orbitálního momentu hybnosti (impulsmomentu). První experiment provedl P. Zeeman v roce 1896 se sodíkovými parami v přítomnosti magnetického pole B = 2−3 T. Vybraná sodíková čára se přitom rozštěpila na 3 komponenty. Tento systém čar nazýváme multiplet. Schéma pokusu vidíme na obr 3.2.

Obrázek 3.2: Schéma normálního Zeemanova jevu Elektron přechází z excitovaného stavu p do základního stavu s. Pokud je magnetické pole B vypnuto, vyzáří se jeden foton s kmitočtem ν0 , takže ve spektru pozorujeme čáru odpovídající této frekvenci. V přítomnosti magnetického pole se stav p rozštěpí na triplet a ve spektru pozorujeme tři čáry, kterým přísluší frekvence: ν1 = ν0 − ∆ν, ν2 = ν0 , ν3 = ν0 + ∆ν, a pro ∆ν platí ∆ν =

∆E µB B = 2π¯h 2π¯ h

Pro většinu elektromagnetických přechodů je však výsledek experimentu odlišný, pozoruje se rozštěpení na jiné multiplety a liší se rovněž jejich vzdálenost a nazývá se normální 29

KAPITOLA 3. MAGNETICKÉ VLASTNOSTI ATOMU Zeemanův jev. Výše popsaný tzv. anomální Zeemanův jev přispěl významně ke studiu magnetických vlastností atomu. Zeemanův jev se také úspěšně používá při studiu štěpení čar ve spektrech hvězd např. našeho Slunce, pomocí nichž byla prokázána přítomnost magnetického pole v okolí slunečních skvrn. Problémy • Uveďte některé měřící metody využívající magnetického momentu elektronu nebo atomového jádra. (podrobně viz např. kapitola 6.3 nebo v publikaci [3] metoda ESR – elektronová spinová rezonance metoda NMR – jaderná magnetická rezonance) • Bude chování elektronu v atomu ovlivněno vnějším magnetickým polem a jak?

3.3

Zavedení spinu

Atom se tedy chová jako magnetický dipól. Umístíme-li ho do vnějšího magnetického pole, bude jeho energie závislá na tom, jak je jeho dipólový moment orientován. Experimenty nasvědčovaly tomu, že kromě magnetického pole vytvářeného oběhem elektronů, existuje v atomu ještě jiné magnetické pole. V roce 1927 vyslovili S. G. Goudsmit a G. E. Uhlenbeck hypotézu, že elektron má moment hybnosti (impulsmoment) spojený s pohybem okolo své vlastní osy a byl nazván spin (anglicky – vrtět se, otáčet se). Spinový impulsmoment elektronu má pouze dvě možné projekce, hodnotu sz = ±1/2¯ h; sz = mS h ¯ ⇒ mS = ±1/2, kde mS je magnetické spinové číslo, nabývá dvou možných hodnot pro elektron ±1/2 a kvantuje spinový moment hybnosti. Se spinem je spojena projekce magnetického spinového e¯h momentu do význačného směru µz = = γsz . I zde můžeme zavést gyromagnetický 2me poměr γ = e/me a vidíme, že je dvojnásobný ve srovnání s gyromagnetickým poměrem pro orbitální magnetický moment γ = e/2me . Magnetický moment volného elektronu je dán magnetickým spinovým momentem a jeho velikost je dána Bohrovým magnetickým e¯ h momentem µB = , avšak magnetický moment atomu je dán vektorovým součtem všech 2me magnetických spinových a orbitálních momentů elektronů v atomovém obalu. Hypotéza o spinu byla potvrzena pokusem Stern–Gerlachova typu s použitím elektronového svazku. Svazek elektronů se v nehomogenním magnetickém poli rozštěpil na dva dílčí svazky jeden se spinovým momentem hybnosti 1/2¯h a druhý −1/2¯h. Spin není impulsmomentem v pravém slova smyslu, neboť nabývá neceločíselných hodnot. p p Jeho podstata není zcela objasněna. Velikost vektoru spinu je s = h ¯ s(s + 1) = h ¯ 3/4. Spin je dalším kvantovým číslem, které charakterizuje částici spolu s ostatními kvantovými čísly, které definují polohu a orbitální impulsmoment. Stejně jako elektron má spin 1/2 a foton 1, mají svůj spin i ostatní elementární částice. Některé mají spin nula, ty jsou skalárem ve spinorovém prostoru, některé mají spin 1/2 30

3.4. Spin orbitální interakce např. proton, neutron a nazývají se fermiony. Částice s celočíselným nenulovým spinem se nazývají bosony.

3.4

Spin orbitální interakce

Víme, že relativně intenzívním zdrojem magnetického pole v atomu je orbitální pohyb elektronu a navíc elektronu přísluší vlastní magnetický moment, který je spojen se spinem. Můžeme tedy očekávat, že po coulombické interakci další významná interakce mezi elektrony v atomovém obalu bude spin–orbitální interakce. Zdrojem této interakce je sám elektron, jeho náboj a magnetický moment. Vnitřní magnetické pole vytvářené orbitálním momentem dodá do Schrödingerovy rovnice nový člen, potenciální energii spin–oribitální vazby ∆Uls ¿ E0 , kde E0 je energie původního stacionárního stavu elektronu. Pro spin– orbitální vazbu platí ∆Uls =

e¯h f (r)(s · l) 2me

f (r) je obecná funkce velikosti polohového vektoru r. Porucha ∆Uls se někdy nazývá vazba ls nebo spin–oritální vazba, protože je způsobena vzájemnou interakcí magnetických momentů, spojených s momentem hybnosti l a s spinovým momentem elektronu a štěpí původní neporušený energetický stav E0 na tolik stavů, kolik je přípustných hodnot skalárního součinu vektorů l a s. Orbitální a spinový moment se skládají jako dvě vektorové veličiny na výsledný celkový impulsmoment j = l + s elektronu. Jak bylo uvedeno dříve, spin nabývá dvou hodnot, dvou možných projekcí, které se skládají paralelně nebo antiparalelně s projekcí orbitálního impulsmomentu do význačného směru jz = lz ± 1/2¯h. Výpočet pohybu elektronu v poli jádra byl plně popsán až Diracovou rovnicí, což je obdoba Schrödingerovy rovnice, ovšem popisuje systém se započtením teorie relativity. Z Diracovy rovnice, jak se ukázalo, spin–orbitální vazba vyplyne bez toho, aniž bychom ji dodatečně zaváděli pomocí členu spin–orbitální interakce. Diracova rovnice však dává pro energetický term porušený spin–orbitální interakcí následující výraz: Tnj

RZ 2 α2 RZ 4 = 2 + n n3

µ

1 3 − j + 1/2 4n

¶ = Tn + ∆Tnj

−En . 2π¯hc První člen je neporušená hladina a druhý je tzv. vzorec jemné struktury, díky němu pozorujeme porušení hladin jako jemnou vnitřní strukturu čar ve spektru. Rozpor mezi Schrödingerovou a Diracovou rovnici je způsoben tím, že Schrödingerova rovnice je nerelativistická. Velikost rozštěpení hladin je dána konstantou jemné struktury α, (α2 = 5,32 · 10−5 ). Konstanta jemné struktury obsahuje univerzální konstanty. kde Tn =

31

KAPITOLA 3. MAGNETICKÉ VLASTNOSTI ATOMU

α≡

e2 4πε0 h ¯c

Jemná struktura se vyskytuje nejenom u vodíku a jemu podobných atomů, ale i u ostatních atomů, kde je výpočet složitější. Problémy • Použijte Diracův vztah pro jemnou strukturu termů a vypište spektrální označení termů v atomu vodíku pro n = 3. Kolik komponent jemné struktury má hladina atomu vodíku s hlavním kvantovým číslem n = 3? [n = 3 ⇒ l = 0, 1, 2(S, P, D), j = l ± 1/2 ⇒ l = 0, j = 1/2 nebo l = 1, j = 1/2, 3/2; l = 2, j = 3/2, 5/2. Počet komponent je dán počtem j, pro dané kvantové číslo n = 3, tj. 5 komponent: 3S1/2 , 3P1/2,3/2 , 3D3/2,5/2 ]. • Navrhněte způsob, jak bychom změřili spin elektronu nebo jiné elementární částice.

32

Kapitola 4 Atomy s více elektrony 4.1

Pauliho princip

Experimentální údaje o atomech a neprostupnosti hmoty (např. pevné látky jsou kompaktní, některé jsou mechanicky neprostupné, nepropouštějí vodu, jiné jsou neprostupné např. pro světlo nebo jiné typy záření), velikostech atomů a periodické soustavě prvků ukazují, že elektrony jsou rozmístěny okolo jádra ve stavech popsaných různými kvantovými čísly. W. Pauli ukázal, že dva elektrony v atomu se nemohou nacházet ve stavu popsaném stejnými kvantovými čísly – Pauliho vylučovací princip. Tento princip platí obecně pro všechny fermiony (částice s nenulovým neceločíselným spinem). Kdyby tento princip neplatil, mohly by se všechny elektrony stěsnat okolo jádra do stavu s nejnižší energíí, což se neděje a atomy s různým počtem elektronů by měly stejné vlastnosti. Ve skutečnosti, jak lze vidět v periodické soustavě prvků, se vlastnosti pouhým přidáním jednoho elektronu mohou značně lišit. Elektrony se jeví jako nerozlišitelné částice, jejich záměnou se systém nezmění. Dva fermiony jsou popsány antisymetrickou vlnovou funkcí (vůči záměně částic v prostoru), pro kterou platí: ψ(x1 , y1 , z1 , s1 ; x2 , y2 , z2 , s2 ) = −ψ(x2 , y2 , z2 , s2 ; x1 , y1 , z1 , s1 ) Pauliho vylučovací princip hraje důležitou roli při výstavbě atomového obalu, protože určuje obsazování jednotlivých energetických hladin v atomu.

4.2

Elekronové konfigurace

Pokud se budeme zabývat elektronovými systémy s větším počtem elektronů, musíme si uvědomit, že se jedná o mnohočásticový problém, kde je třeba brát v úvahu působení pole jádra, vzájemné elektronové interakce a relativistické efekty a rovněž nerozlišitelnost elek33

KAPITOLA 4. ATOMY S VÍCE ELEKTRONY tronů. Chceme-li znát uspořádání elektronů do elektronových slupek tak, aby energie celého systému byla minimální, můžeme použít jednoduché přiblížení, kterému se říká jednoelektronová aproximace. Tato aproximace slouží pro nalezení systému elektronových konfigurací, pro výklad periodické soustavy prvků a pro pochopení chemických i dalších vlastností atomu. V jednoelektronové aproximaci se díváme na každý elektron jako na samostatný pohyb nezávislé částice v poli jádra. Hledáme řešení Schrödingerovy rovnice pro pohyb elektronů v centrálně symetrickém elektrostatickém potenciálu. Změna tvaru potenciálu ve Schrödingerově rovnici zapříčiní změnu radiální části vlnové funkce viz kapitola 2, nikoli úhlové části. Změna potenciálu také vede ke změně vlastních hodnot energie a také výrazně sejme energetickou degeneraci podle kvantového čísla l. Všechny elektrony s kvantovým číslem n mají zhruba stejnou energii a jejich střední vzdálenost od jádra stíněného elektrony je také přibližně stejná. Proto se tato skupina elektronů nazývá slupka n. Pro slupky s označením n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 . . . platí spektroskopické označení K, L, M, N, O, P, Q . . . v dané slupce roste obecně energie s rostoucím l. Elektrony se stejným l při daném n tvoří podslupku l. Používá se označení pro podslupku: nli , i je počet elektronů v podslupce. Pauliho princip určuje nejvyšší počet elektronů, které se mohou nacházet v dané poslupce jejich počet určíme podle stupně degenerace vlnové funkce vodíkového typu, s přihlédnutím k tomu, že kvantové číslo ms může nabývat dvou projekcí (tj. určíme počet všech možných kombinací kvantových čísel n, l a ms , které odpovídají stejné realizované energii stavu). Výsledný počet elektronů ve slupce je Nn = 2n2 a v poslupce Nl = 2(2l + 1) viz tabulka 4.1. V tabulce 4.1 nejsou explicitně uvedeny projekce ms . Slupka nebo podslupka, ve které jsou všechny stavy obsazeny elektrony, se nazývá uzavřená. Problém Jak bychom experimentálně ověřili existenci různých elektronových konfigurací v atomovém obalu?

4.3

Periodická soustava prvků

Vysvětlení periodické soustavy prvků a výklad některých chemických a fyzikálních vlastností patří mezi největší úspěchy atomové fyziky. Periodická soustava vytvořené D. I. Mendělejevem v roce 1896 byla empirickou soustavou, která vycházela z periodického zákona opakování chemických a fyzikálních vlastností. Tato periodicita byla objevena u veličin jako jsou ionizační potenciály, tvary optických spekter atd. Pořadí prvku v tabulce je dáno protonovým číslem čili velikostí náboje jádra. Elektrony zaplňují energetické stavy postupně tak, aby vytvořily soustavu s co nejmenší energií a přitom nenarušily Pauliho princip. Soustava Z elektronů, která naplnila podle této věty určité hladiny, se nazývá elektronová konfigurace daného prvku. Při hledání nejnižší možné energie soustavy zjistíme, že reálná posloupnost vykazuje jisté nepravidelnosti, že vždy neroste energie s rostoucím n a l. 34

4.3. Periodická soustava prvků

Tabulka 4.1: Možné stavy elektronů v atomovém obalu Tyto nepravidelnosti vznikají vlivem složitého vzájemného působení elektronů, které není podchyceno v jednoelektronové aproximaci. Tyto nepravidelnosti jsou důležité, vysvětlují známou periodicitu prvků viz obrázek 4.2. Nositeli periodicity jsou elektrony, které obsazují slupku nejvzdálenější jádru, tzv. valenční slupku. Elektrony z této slupky se nazývají valenční nebo optické. Všechny vzácné plyny tj. inertní prvky, mají úplně obsazené valenční poslupky nad systémem uzavřených poslupek. Jejich chemická netečnost a stabilita je dána elektronovou konfigurací. Celkový moment hybnosti uzavřených slupek je nulový a valenční elektrony jsou velmi dobře vázány tj. mají vysoké ionizační potenciály. Prvky následující po vzácných plynech jsou alkalické kovy a patří do první skupiny v periodické soustavě prvků. Jediný elektron ve valenční slupce způsobuje velikou reaktivitu a podobně prvky sedmé skupiny – halogeny mají ve valenční podslupce konfiguraci elektronů ns2 + np5 a do uzavřeného systému jim chybí jeden elektron. To opět vysvětluje jejich značnou reaktivitu a snahu získat jeden elektron, aby se elektronové slupky uzavřely. 35

KAPITOLA 4. ATOMY S VÍCE ELEKTRONY

Obrázek 4.1: Základní schéma elektronových konfigurací Fyzikální interpretace periodické soustavy a vlastností chemických prvků bylo významným potvrzením správnosti kvantově mechanického popisu atomu. Problémy • Energetické stavy alkalických kovů jsou velmi podobné stavům v atomu vodíku, neboť se u nich nad uzavřenými slupkami nachází jeden elektron. Zamyslete se nad tím, jak bude vypadat potenciál jádra v atomu alkalického kovu ve srovnání se sféricky symetrickým Coulombickým potenciálem v atomu vodíku a které energetické stavy alkalických kovů budou vodíkovým stavům nejblíže. [ Alkalické kovy budou mít necoulombický sférický potenciál, neboť je třeba vzít v úvahu stínění náboje jádra nábojem uzavřených elektronových slupek. Efektivní náboj jádra bude stíněním zeslaben a energie vzdálených elektronů s vysokým kvantovým číslem l budou vodíkovým nejblíže, protože se efektivní náboj jádra bude blížit bodovému náboji protonu Zjádra = +Ze − (Z − 1)e = +e. Zatímco pro nízká l, tj. elektrony blízké jádru atomu, budou energetické hladiny více odlišné od vodíkových, 36

4.4. Energetické stavy víceelektronových atomů budou energeticky výrazně níže. ] • Které experimentální zkušenosti vedli Mendělejeva k tomu, aby prvky uspořádal do periodické tabulky? • Jaký význam mají jednotlivé skupiny v periodické tabulce prvků?

4.4

Energetické stavy víceelektronových atomů

Jak bylo zmíněno výše, alkalické kovy mají jeden elektron ve valenční slupce. Experimentálně získaná spektra ukazují velkou podobnost se spektrem vodíku. K popisu spektrálních termů používáme označení: k LJ . L je celkový orbitální moment hybnosti stavu všech elektronů v podslupce, J celkový moment hybnost a vytváří multiplet s multiplicitou k. Pro víceelektronové systémy platí stejně jako pro jeden elektron, že celkový impulsmoment je dán vektorovým součtem orbitálního a spinového impulsmomentu J = L + S, s tím rozdílem, že u jednoho elektronu používáme k popisu malá písmena, zatímco u elektronových konfigurací velká písmena. Multiplicita je dána kvantovým číslem S elektronové konfigurace k = 2S +1. Nejjednodušším víceelektronovým systémem je helium se dvěma elektrony. V atomu helia v základním stavu jsou oba elektrony ve stavu 1s (zde mluvíme o jednotlivých elektronech), při excitaci jeden elektron zůstává v základním stavu a druhý obsazuje stavy s vyšším l = 0, 1, 2, . . . , n − 1. U helia pozorujeme dva nezávislé systémy termů, které se liší svou jemnou strukturou tedy multiplicitou stavů. Helium se vyskytuje ve dvou modifikacích jako ortohelium a parahelium. Ortohelium se vyskytuje v tripletních stavech (multiplicita stavu je 3). Jako nejnižší stav se v něm realizuje stav 23 S (−0,5 eV)(zde mluvíme o stavu elektronové konfigurace), jeden elektron je ve stavu popsaném kvantovými čísly 1, 0, 0, 1/2 a druhý ve stavu s kvantovými čísly 2, 0, 0, 1/2. Parahelium vytváří stavy singletové (multiplicita jedna). Nejnižší singletový stav je 11 S (−25 eV) je základním stavem a má oba elektrony v konfiguraci 1s (malými písmeny se označuje konfigurace jednoho elektronu) s antiparalelními spiny. Vzhledem k energiím stavů uvedeným výše vidíme, že přechody parahelia leží převážně v ultrafialové oblasti a u ortohelia je to ve viditelném a infračerveném oboru. Stavy 23 S a 21 S jsou metastabilní, což znamená že jejich doba života je podstatně větší než 10−8 s, což je běžná doba života excitovaného stavu pro zářivý přechod. Metastabilní stavy jsou důležité pro aplikace např. pro konstrukci laserů, kde se docílí vysokého podílu počtu metastabilních stavů ve vzorku látky (tzv. čerpání laser) a po ozáření vhodnou vlnovou délkou dochází ke stimulované emisi (přechodu metastabilních stavů do základního stavu). Laser je tedy zdrojem velké intenzity záření, které je monochromatické (obsahuje jen jednu vlnovou délku odpovídající vyzářenému energetickému rozdílu mezi metastabilním a základním stavem). Pro konstrukci se používá především pevných krystalických látek (rubín), ale i plynů a kapalin [9]. 37

KAPITOLA 4. ATOMY S VÍCE ELEKTRONY

4.5

Velmi jemná struktura

Poznali jsme, že pro správný popis elektronových konfigurací je zapotřebí znalost oprav energetického spektra vyššího řádu, které snímají degeneraci stavů resp. zajišťují jejich multiplicitu. Jedná se především o spin–orbitální vazbu a relativistické korekce, které se projevují jako jemná vnitřní struktura čar ve spektru atomů. Ukazuje se, že existuje ještě jemnější rozštepení čar ve spektru a říká se mu velmi jemná struktura.

Obrázek 4.2: Schéma vzniku jemné struktury Atomové jádro je složeno z pohybujících se kladně nabitých protonů a neutrálních neutronů, jak se zmíníme v kapitole 6. Proto má atomové jádro vlastní magnetický moment hybnosti, obyčejně se označuje jako spin jádra I a jemu odpovídající magnetický moment jádra µI . Tyto veličiny jsou svázány vztahem µI = γ I. Kde γ je gyromagnetický poměr odpovídající spinovému magnetickému momentu jádra, pro orbitální moment elektronu je to např. γ = e/(2me ). Spinový magnetický moment jádra interaguje s magnetickým momentem elektronů. Odpovídající energie jemného rozštěpení (pozn. anglicky je to Hyper 38

4.6. Hundova pravidla Fine Structure, zkráceně HFS): ∆EHF S = −µI BJ BJ je kolektivní magnetické pole vytvořené pohybem elektronů. Počet porušených stavů je dán počtem možných realizovatelných hodnot nového vektoru celkového momentu hybnosti atomu F = I + J, který je určen kvantovými čísly F ; F 2 = h ¯ 2 F (F + 1) a mF ; Fz = h ¯ mF . Pro energii rozštěpení jemné struktury dostaneme vztah: ∆EHF S =

a (F (F + 1) − I(I + 1) − J(J + 1)) 2 h ¯ γI BJ

a je konstanta velmi jemné struktury a = p

J(J + 1)

.

Při optických přechodech se uplatňuje výběrové pravidlo ∆F = ±1, tj. k přechodu z jedné hladiny na druhou dochází jen tehdy, když se přitom příslušné F hladin mění maximálně o jedničku. Poměrně jednoduchý příklad je uveden na schématu 4.3, kde bereme v úvahu jeden elektron v atomu vodíku a proton v jádře. V tomto případě mohou být spiny elektronu a protonu paralelní nebo antiparalelní. Velmi jemnou strukturu nelze pozorovat optickými metodami, neboť energetické rozštěpení je tak malé, že mu přísluší vlnové délky řádově centimetry. Tyto vlnové délky můžeme pozorovat radioastronomickými metodami. Přesná měření těchto přechodů umožnilo měřit gyromagnetický poměr pro spin elektronu, který je skutečně dvojnásobný oproti gyromagnetickému poměru pro orbitální moment hybnosti elektronu viz kapitola 3.3.

4.6

Hundova pravidla

Na základě výše uvedeného výkladu lze formulovat několik pravidel, kterými se řídí vytváření energetických hladin v atomu a také uspořádání excitovaných hladin. Tato pravidla se nazývají Hundova pravidla a jsou odrazem velikostí jednotlivých poruch a respektují Pauliho princip. • Zaplněné slupky a podslupky nepřispívají do celkových momentů hybnosti L a celkových spinů S. • Při dané multiplicitě stavu k = 2S + 1 určené z S, dává vyšší hodnota L stavy s nižší energií. (Např. máme-li dvě elektronové konfigurace 3P3/2 a 3D3/2 , jejich multiplicita je stejná k = 4. Stav 3D3/2 bude energeticky níže než 3P3/2 .) • Ekvivalentní elektrony tj. elektrony se stejnou hodnotou čísel n a l, jsou uspořádány v základním stavu tak, aby jejich celkový spin byl maximální. Z toho vyplývá, že 39

KAPITOLA 4. ATOMY S VÍCE ELEKTRONY multiplety s vyšší násobností (multiplicitou) leží energeticky níže, neboť v atomovém obalu elektrony upřednostňují energeticky stav, kdy jsou spiny paralelní. • V normálním multipletu (tj. podslupka je zaplněna méně než z poloviny) roste energie stavu s rostoucím J. V obráceném multipletu, který je zaplněn více než z poloviny, pak energeticky nejníže leží stav s J = L + S.

40

Kapitola 5 Elektromagnetické přechody v atomu Jak jsme již dříve pozorovali a zmínili, atomy se mohou nacházet v excitovaném stavu, který nazýváme také vzbuzeným stavem a znamená to, že atom přechází do stavu s vyšší energií. Protože má stav excitovaný vyšší energii než základní stav, je třeba dodat atomu nějkým způsobem energii. První typ excitace, je absorpcí světla tj. fotonu. Protože pro excitaci je třeba dodat z dopadajícího elektromagnetického záření konkrétní energii, aby došlo k přechodu, jedná se o rezonanční proces. V zahřátém prostředí, kde se zvyšuje vnitřní energii látky a tím dochází k větším tepelným vibracím, může dojít k excitaci vzájemným nárazem atomů látky. Tyto přechody mají větší pravděpodobnost až při teplotách řádově tisíce stupňů Celsia. Obecně se takto vysoce zahřáté látky nacházejí ve stavu, kdy probíhá více procesů. Zahřejeme-li na vysokou teplotu plyn a ztlačujeme jej velkým tlakem, vzniknou extrémní podmínky, při kterých vzniká plasma. V plasmatu vznikají volné ionty ionizací, dochází k mnoha excitacím, srážkám a deexcitacím, proto mohou být vyzářeny z plasmatu nejrůznější vlnové délky elektromagnetického záření. Dále může dojít k excitaci nepružnou srážkou s elementární částicí nebo fotonem. Koeficienty úměrnosti, které charakterizují pravděpodobnosti přechodů se také nazývají Einsteinovými koeficienty. Plně tyto děje popíše až kvantová elektrodynamika, ovšem budeme-li uvažovat rozměry atomu mnohem menší než vlnová délka vyzářeného vlnění (což je v optickém oboru dobře splněno), lze použít příblížení elektrického dipólu. V tomto přiblížení je přechod mezi stavem n, jemuž přísluší vlnová funkce ψn do stavu m, jemuž přísluší vlnová funkce ψm , popsán maticovým elementem přechodu: Z Mmn =

∗ erψn dV ψm

er zde představuje elementární dipól, veličina e je náboj elektronu. Představujeme si atom jako vyzařující elektrický dipól, který tímto vyzařováním přechází ze stavu charakterizovaného vlnovou funkcí ψn do stavu popsaného vlnovou funkcí ψm s nižší energií a integrujeme přes celý objem prostoru V . Bude-li maticový element přechodu roven nule, pak i pravděpodobnost přechodu Bmn , která je úměrná kvadrátu maticového elementu Bmn = |Mmn |2 , 41

KAPITOLA 5. ELEKTROMAGNETICKÉ PŘECHODY V ATOMU bude nulová. Tento případ nastane zřejmě pro n = m, nastává i pro řadu dalších kombinací m a n. Dovolené hodnoty m a n plynou z výběrových pravidel, podle nichž se mohou při elektromagnetickém přechodu měnit kvantová čísla momentu hybnosti jen o 0, ±1. Spin fotonu je 1 a musí být zachována pravidla vektorového skládání impulsmomentů. Foton odnáší spinový impulsmoment a je vyzářen ze stavu, který je charakterizován rovněž spinem. Spin výsledného stavu po vyzáření se skládá se spinem fotonu na původní spin stavu, který foton vyzářil. Pro atom, kde nastává přechod mezi jednotlivými konfiguracemi elektronů, jejichž kvantová čísla jsou označena L, S, J, platí výběrová pravidla: ∆S = 0,

∆L = 0, ±1

∆J = 0, ±1 ∆mJ = 0, ±1 Tato pravidla platí pro většinu pozorovaných přechodů, vyjímky nastávají např. při porušení LS vazby u těžších atomů, kde může být porušena podmínka ∆S = 0, tyto přechody se pak nazývají zakázané přechody. Problémy • Jakým způsobem se může atom deexcitovat, pokud jsou radiační přechody zakázány? • Z jakých zákonitostí odvozujeme výběrová pravidla pro elektromagnetické přechody?

5.1

Parita

Parita je pojem nesmírně důležitý pro jadernou fyziku, neboť doplňuje sadu kvantových čísel. Přechod pravotočivého systému do levotočivého nelze provést žádným otočením, pouze transformací zvanou zrcadlení nebo inverze souřadnic x −→ −x, y −→ −y, z −→ −z. Některé vektory pod vlivem této transformace změní znaménko a nazýváme je pravé vektory např. vektor polohy nebo vektor rychlosti. Jiné vektory např. impulsmoment se pod vlivem této transformace nezmění a nazývají se nepravými nebo axiálními vektory. Pokud funkce pod vlivem operátoru parity mění znaménko, jedná se o lichou funkci v opačném případě jde o sudou funkci. Platí obecné pravidlo, že parita systému složeného z navzájem neinteragujících podsystémů je součinem parit těchto podsystémů. Dále rozlišujeme vnitřní paritu částic, což je parita částic v systému, kde se nacházejí v klidu a je to důležitý rys, kterým se elementární částice rozlišují. Parita stavu se běžně ve spektroskopii používá a připisuje se jako horní pravý index ke spektroskopickému symbolu stavu např. stav s lichou paritou 3 − P2 . 42

5.2. Spektra atomů

5.2

Spektra atomů

Excitovaný stav, který je povolený výběrovými pravidly, existuje určitou dobu a pak přejde sám radiačním přechodem do nižšího stavu. Dobu, během které se počet excitovaných atomů takto zmenší na 1/e, se nazývá střední doba života τ stavu a pohybuje se v mezích 10−9 až 10−8 s. Stavy s výrazně delší střední dobou života se nazývají metastabilní stavy. Excitované hladině s energií En bude příslušet konečná energetická šířka hladiny Γn , svázaná se střední dobou života stavu τn . Γn = h ¯ /τn Vidíme, že se zkracující se dobou života excitovaného stavu roste energetická šířka tohoto stavu. Zde se jedná rovněž o jeden z projevů kvantového pravidla – relace neurčitosti viz kapitola 2.4. Čím kratší bude doba života stavu, tím širší spektrum energií mu bude odpovídat, protože se jedná o pravděpodobnostní proces. Excitované stavy mají konečnou šířku rozdělení energie, a proto musí mít konečnou šířku i spektrální čára. Nazýváme šířkou veličinu: ∆ω0 = Γ/¯h =

1 τ

Je zvykem stanovovat šířku ∆ω0 v polovině maxima, takové veličině se říká pološířka. Pohyb atomů při emisi může ovlivnit spektrum atomu a to posunout čáry ve spektru, což nazýváme Dopplerův jev. Pokud se zdroj záření od nás vzdaluje, vlnová délka se nám jeví delší čili nastává posuv k červenému konci spektra; pokud se zdroj přibližuje, vlnová délka se jeví kratší čili se jedná o posuv modrý. Velikost posuvu ∆λ je závislá na rychlosti zdroje vzhledem k pozorovateli v: ∆λ = v/c kde λ je vlnová délka záření vysílané nehybným zdrojem, v je rychlost pohybu zdroje a c je rychlost světla (rychlost vje záporná pro přibližování zdroje, takže ∆λ je také záporné a čára má tedy o ∆λ kratší vlnovou délku). Pokud se nacházejí atomy v magnetickém nebo elektrostatickém poli, dochází ve spektru ke změnám, které nazýváme magnetooptické jevy viz kapitola 3.2 (Zeemanův jev), elektrooptické jevy např. Starkův jev. Magnetooptické jevy způsobují rozštěpení čar ve spektru atomů a tím vznik nových čar. Pro silná magnetická pole nastává tzv. Paschen–Backův jev, kdy magnetické pole je dost silné na roztržení LS vazby a stavy se štěpí zvlášť podle projekcí L a S viz obrázek 5.1. Zjednodušeně se dá tento jev popsat tak, že pole interaguje zvlášť s orbitálním magnetickým momentem µL a spinovým magnetickým momentem elektronu µS . Energii udělenou magnetickému momentu elektronu v homogenním magnetickém poli pro tento případ zapíšeme: ∆Um = (mL + 2mS )µB B0 mL a mS jsou projekce orbitálního a spinového impulsmomentu do směru magnetického pole. 43

KAPITOLA 5. ELEKTROMAGNETICKÉ PŘECHODY V ATOMU

Obrázek 5.1: Paschen–Backův jev

Výsledné spektrum Paschen–Backova jevu na sodíkovém dubletu viz obrázek 5.1. Pokud se nachází atom v elektrickém poli, můžeme pozorovat Starkův jev, vnější pole intenzity E indukuje elektrický dipólový moment atomu p = aE, kde a charakterizuje polarizovatelnost atomu a závisí na elektronové konfiguraci, na kvantových číslech daného atomu. Elektrické pole interaguje s tímto indukovaným dipólem a udělí mu dodatečnou energii ∆Ue = −(pE) = −aE2 . Tato energie se projeví jako dodatečná porucha ve spektru a dojde k rozštěpení spektrálních čar. Problém Známý žlutý sodíkový dublet, který lze pozorovat v sodíkových parách umístěných v elek44

5.3. Rentgenovské záření trickém poli (výbojka), kde dochází k excitaci sodíkových atomů (ve výboji v plynu), je označován D1 D2 a vzniká přechody v hlavní sérii: ν¯D1 =2 P1/2 −2 S1/2 a ν¯D2 =2 P3/2 −2 S1/2 . Ověřte, že výše zmíněný sodíkový dublet splňuje výběrová pravidla pro elektromagnetické přechody. [ Přechod ze stavu L = 1, J = 1/2, S = 1/2 do stavu L = 0, J = 1/2, S = 1/2 ⇒ ∆S = 0, ∆L = −1, ∆J = 0 výběrová pravidla splňuje. Dále přechod ze stavu L = 1, J = 3/2, S = 1/2 do stavu L = 0, J = 1/2, S = 1/2 ⇒ ∆S = 0, ∆L = −1, ∆J = −1 také splňuje. ]

5.3

Rentgenovské záření

Rentgenovské záření, označované jako RTG záření, je tvořeno fotony s vlnovými délkami kratšími než má ultrafialové záření (10−10 − 10−12 m). Při dopadu urychlených elektronů ze žhavené katody na anodu evakuované RTG trubice tzv. rentgenky, pozorujeme složité spektrum elektromagnetického záření, které má obecně dvě části. Jedna část spektra je spojitá, její původ je v brzdném záření a druhá část je diskrétní a nazýváme ji charakteristickým spektrem. Charakteristické spektrum se projevuje rezonančními vrcholy. Brzdné záření vzniká při nerovnoměrném pohybu elektronu v poli jádra v materiálu anody, energie elektronu nejsou kvantovány, neboť se jedná o volný elektron. Maximální energie, kterou může RTG foton odnést je h ¯ ωi = Ei , kde Ei je kinetická energie elektronu na počátku. Skutečně pozorujeme kmitočtovou hranici v brzdném spektru. Při zvyšujícím se potenciálovém rozdílu mezi elektrodami se kromě spojité složky objevuje nespojitá složka, složená z nevelkého počtu spektrálních čar viz obrázek 5.2. Se zvyšující se energií se zvyšuje počet a intenzita čar. Tato část RTG spektra vypovídá o složení atomového obalu daného atomu. Frekvence čar ve spektru se zvyšuje směrem ke krátkovlnné hraně série. RTG série se označují velkými písmeny K, L, M, N . . . a dále podle abecedy s postupně rostoucí vlnovou délkou. Čáry RTG spektra vykazují multipletní strukturu a jejich poloha závisí na atomovém čísle. Tato zákonitost se nazývá Moseleyho zákon. √

ν = C(Z − σ)

C je konstanta a σ je stínění náboje jádra vnitřními elektrony. Kmitočet charakteristického RTG termu lze také vyjádřit ve tvaru:

νn = R

(Z − σ)2 n2

R je Rydbergova konstanta a n je hlavní kvantové číslo daného stavu, ze kterého je vyzářeno RTG záření. Vlnová délka charakteristického RTG záření tedy je: 45

KAPITOLA 5. ELEKTROMAGNETICKÉ PŘECHODY V ATOMU

· ¸ 1 1 1 = νn − νm = R(Z − σ) 2 − 2 λ n m

Obrázek 5.2: RTG emisní spektrum wolframové a molybdenové antikatody při potenciálovém rozdílu 35 keV. Pro molybden je vyšrafována spojitá část spektra (brzdné záření) a dále vidíme charakteristické čáry. Pro wolfram není při tomto potenciálovém rozdílu emitováno charakteristické RTG záření. Tento zákon umožňuje určit velmi přesně Z prvku, který emitoval RTG záření a tím umožňuje např. prvkovou analýzu materiálů [10]. Diskrétní charakter RTG spektra napovídá, že fotony RTG záření jsou produkovány atomy při přechodech elektronů mezi diskrétními energetickými hladinami. Vazbové energie elektronů ve vnitřních slupkách elektronů mohou mít vysokou energii v porovnání s valenčními elektrony. Např. elektron v atomu sodíku na hladině 1s má vazebnou energii 1 keV a valenční elektron pouze 5 eV. Charakter RTG spektra nemá souvislost s chemickou vazbou atomu. Po vytrženín elektronu ze slupky K 46

5.4. Augerův jev dojde k obsazení tohoto volného místa elektrony z vyšších slupek a tudíž dojde k vyzáření RTG záření. Problém S využitím Moseleyho zákona vypočtěte vlnovou délku a energii fotonů odpovídající Kα čáře hliníku a kobaltu. Kα čára odpovídá přechodu mezi termy s n = 1 a m = 2. [λAl = 0,8442 nm, λCo = 0,1798 nm]

5.4

Augerův jev

Mechanismus vzniku optického spektra se liší od RTG spektra, neboť na optické spektrum mají vliv valenční elektrony, naopak RTG spektrum je určeno pouze jedním vytrženým elektronem z vnitřní slupky. Kromě vyzáření existují i další procesy, jak se může dostat atom do základního stavu. Po vytržení elektronu ze slupky K a jeho přechodu do spojitého spektra obsadí volné místo např. elektron ze slupky L. Uvolněná energie není vyzářena prostřednictvím RTG záření, ale je předána jinému elektronu. Tento proces je způsoben přímo elektromagnetickou interakcí mezi dvěma elektrony. Pro kinetickou energii vyzářeného tzv. Augerova elektronu platí v daném případě: EK = h ¯ ω − EL = (EK − EL ) = EK − 2EL EK , EL jsou vazbové energie elektronů ve slupkách K, L. Augerovy elektrony lze snadno registrovat viz kapitola 10.

5.5

Fotoefekt

Kromě Augerových elektronů také pozorujeme při vybuzení RTG záření a jeho následným pohlcením záření také fotoelektrony. Tyto elektrony jsou výsledkem vnějšího fotoefektu, kdy je elektron uvolněn z materiálu obalu, pro jejich kinetickou energii platí vztah: EK = h ¯ ω − Ei ,

i = K, L, . . .

Díky pokroku v elektronové spektroskopii je možno z uvedených vztahů velni přesně, řádově až na 1 eV stanovit hodnoty energií EJ , J = K, L, . . .. Tato přesnost umožňuje ze změn vazbových energií elektronů zkoumat chemickou vazbu v molekulách. 47

KAPITOLA 5. ELEKTROMAGNETICKÉ PŘECHODY V ATOMU Problém Červený práh je definován jako mezní vlnová délka fotonu dopadajího na kov, při které se právě uvolní z kovu elektron s nulovou rychlostí. Vypočtěte vlnovou délku červeného prahu pro kovy draslík a wolfram, jejichž výstupní práce je WW = 4,5 keV, WK = 2 keV. [λW = 275,5 nm; λK = 620 nm]

5.6

Comptonův jev

Ve dvacátých letech 20. století provedl A. Compton významný experiment, kde dokázal existenci fotonů jako částic. Fotony nesou energii E=h ¯ω a tomu odpovídající hybnost p=

E h ¯ω = = 2π¯hλ c c

Energie a hybnost fotonu nejsou definovány hmotností, jak je tomu u částic v klasické mechanice, ale s pomocí vlnové délky, jak je tomu v kvantové mechanice. Compton ve svém experimentu studoval průchod monoenergetických fotonů různými fóliemi. Znal energii fotonů dopadajících na fólii a znal také jejich hybnost, protože svazek byl zkolimován. Fotony po průchodu fólií postupují dále nejen v původním směru, ale také ve směrech odchýlených od původního. Tento jen nazýváme obecně rozptylem částic, zde fotonů, a úhel ϑ viz obrázek 5.3. nazýváme úhlem rozptylu. Nejvýznamnějším výsledkem tohoto experimentu byl fakt, že kromě původní vlnové délky, odpovídající dopadajícímu vlnění, 0 se v rozptýleném svazku objevuje záření o větší vlnové délce λ > λ viz obrázek 5.4. Z experimentu dále byl stanoven empirický vztah těchto dvou vlnových délek: 0

∆λ = λ − λ = const.(1 − cos ϑ) Další studium rozptylu monochromatického rentgenovského záření na fóliích různých látek navíc ukázal, že posunutí ∆λ nezávisí na původní vlnové délce a na typu fólie. Pouze intenzita rozptýleného svazku klesá s rostoucím protonovým číslem použité fólie. Pro výklad tohoto jevu se nabízí vysvětlení, že lze i pro fotony použít částicové představy. Fotony prolétávají fólií, buď prochází beze změny nebo se srazí s atomem. Má-li foton dostatečnou energii, je vyražen z atomu elektron a foton je odchýlen ze své dráhy a mění se při tom i energie fotonu. Jedná se o relativistický proces. Použijeme-li relativistický zákon zachování energie a hybnosti, výsledný odvozený vztah pro změnu vlnové délky rozptýleného gama kvanta má tvar: 0 ∆λ = λ − λ = λC (1 − cos ϑ) Tento vztah je shodný s empiricky odvozeným vztahem, ovšem konstanta je zde vyjádřena 2π¯ h = 0,024 nm. Posunutí ∆λ je nulové pomocí tzv. Comptonovy vlnové délky, λC = me c 48

5.6. Comptonův jev

Obrázek 5.3: Uspořádání Comptonova experimentu pro nulový úhel rozptylu a maximální pro rozptyl směrem dozadu tj. pro úhel ϑ = π, což je v plné shodě s výsledkem experimentu. Comptonův experiment a jeho výklad ukazují, že fotony, mají-li dostatečnou energii, mohou se vůči svému okolí chovat jako mechanické částice, přitom jejich energie a hybnost jsou určeny vlnovou délkou příslušnou vlně elektromagnetického záření. Jedná se rovněž o vlnově částicový dualismus. Problémy • Pod jakým úhlem k původnímu svazku RTG paprsků o vlnové délce λ = 0,01 nm je comptonovský posuv roven 2,4 pm? Jaká energie se předá odraženým elektronům? [ϑ = 89, 406◦ , ze zákona zachování energie Ee0 − Ee = 2,4 · 104 eV] • Objasněte, proč nám RTG snímek umožňuje zobrazit lidské kosti. • Fotoefekt je hojně využíván v opto–elektronických součástkách, uveďte příklady součástek a k čemu slouží.

49

KAPITOLA 5. ELEKTROMAGNETICKÉ PŘECHODY V ATOMU

Obrázek 5.4: Výsledek Comptonova experimentu – rozptyl monochromatického RTG na uhlíku, na vertikální ose je počet detekovaných fotonů v závislosti na detekované vlnové délce. Maximum vlevo jsou rozptýlené fotony na atomech, jsou velmi hmotné a nedojde k výrazné změně vlnové délky a vpravo je maximum od fotonů Comptonovsky rozptýlených na elektronech. Vidíme měření pod různými úhly.

50

Kapitola 6 Atomové jádro Vědní obor, který se zabývá studiem atomového jádra a elementárních částic se nazývá fyzika atomového jádra a fyzika elementárních částic. Již Rutherford ve svém experimentu ukázal existenci malých řádově 10−15 m jader nesoucí kladný náboj. Tato jádra nesou mp převážnou část hmoty atomu, poměr hmotností protonu mp a elektronu me je = 1836. me Důležitým poznatkem bylo zjištění, že jádra mají vnitřní strukturu, hypotéza o tom byla vyslovena již v roce 1932. Při studiu přirozené radioaktivity bylo zjištěno, že vyzařované částice mají energie MeV až desítky MeV, a proto jejich původ nemůže být v atomovém obalu. Může se tedy jednat o přechody v atomovém jádře nebo o jaderné štěpení.

6.1

Nukleony

Atomové jádro se skládá ze Z protonů a N neutronů. Protony a neutrony jsou shodně označovány jako nukleony. V následující tabulce 6.1 jsou uvedeny nejdůležitější vlastnosti nukleonů. Nuklidy se stejným počtem protonů se nazývají izotopy. Některé vlastnosti mají nukleony shodné s elektrony např. spin mají také 1/2 a jedná se tedy o fermiony. Neutrony jsou neutrální částice a protony nesou kladný náboj. Nukleony se značně liší od elektronů svou hmotností. Protonům i neutronům přísluší magnetické momenty viz tabulka 6.1. Proton můžeme pokládat za částici stabilní, neboť známá dolní hranice střední doby života je 1032 let, což je doba přesahující trvání vesmíru. Naproti tomu volný neutron je nestabilní, jak plyne z experimentů, jeho střední doba života je 896 s. Silně vázané neutrony v atomových jádrech jsou stabilní, pokud jsou vázány slaběji mohou se rozpadat. Souhrnně lze na neutrony a protony pohlížet jako na stejné částice nukleony, které se liší jen nábojem. Pro nukleony platí také Pauliho princip, proto zavádíme nové kvantové číslo izospin, aby nukleony neměly shodná všechna kvantová čísla. Izospin je axiálním vektorem v izospinovém prostoru. Izospin nukleonu je 1/2. Projekce nabývá hodnot 1/2 pro proton a −1/2 pro neutron. Nukleon se tedy jeví jako částice s 5 stupni volnosti, 51

KAPITOLA 6. ATOMOVÉ JÁDRO

Tabulka 6.1: Vlastnosti nukleonů

3 klasickými a 2 kvantovými (spin, izospin). Látka skládájící se ze stejných atomů s atomovými čísly A, Z se nazývá nuklid. Označujeme jej A Z X, kde X je chemická značka prvku, A je nukleonové číslo, Z je protonové číslo. Izotop je jeden z nuklidů, které mají stejné Z a různé N . Dobře známé jsou izotopy vodíku 11 H, 2 3 1 H, 1 H tj. vodík, deuterium a tritium. V jaderné fyzice se dále setkáme s pojmem izobary, což jsou takové nuklidy z množiny nuklidů, jejichž jádra mají stejné A, ale různá Z. Někdy se setkáváme také s pojmem izomer, což je látka tvořená nuklidem, jehož jádra se nacházejí poměrně dlouho ve vzbuzeném stavu. Izomer se doplňuje písmenem m. Radionuklidem se nazývají nuklidy, které jsou nestabilní a rozpadají se. Neutronová a protonová čísla mají velký význam ve stavbě atomu, neboť s nimi úzce souvisí stabilita jádra. Mezi sudo–sudými jádry, která mají N , Z sudé a označují se jako S − S, najdeme 156 stabilních jader. Licho – lichá jádra mající Z a N liché mají jen 4 stabilní nuklidy. Tyto úvahy a experimentální data nasvědčují tomu, že v jádře se nukleony párují podobně jako elektrony v atomovém obalu a vytvářejí slupky a podslupky, které lze charakterizovat kvantovými čísly tak, jako klasifikujeme elektronové orbitaly. Tomuto popisu stavů nukleonů v jádře říkáme „slupkový modelÿ jádra. 52

6.2. Nukleonová vazbová energie, Kapkový model

6.2

Nukleonová vazbová energie, Kapkový model

Hmotnosti jader se vyjadřují v atomových hmotnostních jednotkách. Hmotnost atomového jádra pro daný nuklid A Z X označíme jako M (A, Z). Tato hmotnost souvisí s hmotností A atomu m(Z X) následujícím vztahem m(A Z X) = M (A, Z) + Zme −

|Wa (A, Z)| , c2

kde Wa (A, Z) je vazbová energie atomu a me hmotnost elektronu. Vzhledem k tomu, že jádra jsou vázanými systémy, lze zavést hmotnostní úbytek B(A, Z), což je rozdíl mezi klidovými hmotnostmi volných protonů a neutronů a skutečnou hmotností M (A, Z). Tedy veličina B(A, Z) = Zmp + N mn − M (A, Z) charakterizuje, jak silně jsou nukleony v jádře vázány. Energie, která se uvolní při vytvoření jádra z jednotlivých nukleonů je rovna W (A, Z) = c2 B(A, Z) a je to zřejmě kladná veličina. Vedle vazbové energie zavedeme ještě pojem separační energie, tj. energie, která je zapotřebí k oddělení určité části jádra nebo částice od původního jádra. Např. pro oddělení α částice 4 A 2 He od jádra Z X je zapotřebí separační energie: Sα (A, Z) = c2 (M (A − 4, Z − 2) + M (4, 2)) − M (A, Z)) Z toho lze usoudit, že pro splnění podmínek rozpadu musí být separační energie záporná. Lze se také snadno přesvědčit, že pro známá stabilní jádra je separační energie pro oddělení α částice kladná. Důležitá veličina je také nukleonová vazbová energie εb (A, Z). εb (A, Z) =

W (A, Z) A

Pokud budeme zkoumat závislost nukleonové vazbové energie jako funkci nukleonového čísla dostaneme závislost na obrázku 6.2. Vyšetříme-li závislost nukleonové vazbové energie na nukleonovém čísle vidíme následující: • Nukleonová vazbová energie εb (A) rychle roste pro nukleonové číslo A ≤ 16, neboť nukleonů je málo a interagují každý s každým tj. W (A, Z) ≈ A(A + 1). • εb (A) má výrazná maxima pro jádra s A = 4, 12, 16, 20, 24 . . ., což ukazuje význam zobecněného Pauliho principu pro nukleony a z toho plynouci stability jader. Jedná se o jádra se zaplněnými slupkami, sudý počet protonů a neutronů umožní spárování do slupek, kde jsou nukleony velmi dobře vázány. Tato jádra mají celkový počet nukleonů A = nα, n = 1, 2, 3 . . . kde α reprezentuje 4 nukleony. 53

KAPITOLA 6. ATOMOVÉ JÁDRO

Obrázek 6.1: Závislost nukleonové vazbové energie εb na nukleonovém čísle A • εb (A) je přibližně konstantní, pro všechna jádra pro A > 16 leží v intervalu (7,4 MeV až 8,8 MeV). To ukazuje na nasycení jaderných sil, kde pro větší počet nukleonů už neinteraguje každý s každým. Vazbová energie je tedy W (A, Z) ≈ A. • εb (A) klesá z maximální hodnoty 8,8 MeV při A = 60 až k energii 7,4 MeV, předpokládáme, že se jedná o důsledek odpuzování protonů • Existuje maximum vazbové energie na nukleon εb (A) při A = 60, což je nuklid niklu 60 28 Ni, který je důležitým rozhraním. Z polohy tohoto nuklidu plyne, že energii lze uvolnit při spojení lehkých jader s A < 60 nebo štěpením jader s A > 60. Závislost hmotnosti nebo vazbové energie jader na číslech A a Z lze vystihnout např. Weizsäckerovou formulí, která je součástí nejjednoduššího jaderného modelu tzv. kapkového modelu. Jádro se v něm považuje za těžko ztlačitelnou kapalinu a tato představa vede k úměrnosti mezi objemem jádra a počtem nukleonů. Poloměr jádra je tedy dán vztahem R = r0 A1/3 , kde konstantu r0 určíme na základě srovnání vypočtených výsledků a experimentálních dat. Optimální hodnota se pohybuje kolem 1,3 · 10−15 m. Formule popisující kapkový model jádra je následující: 54

6.3. Spin a magnetický moment jádra

2/3

W (A, Z) = aV A − aS A

Z2 (A − 2Z) − aC 1/3 − aa A δ(A, Z)A3/4

kde příslušné parametry mají hodnotu aV = 15,75 MeV, aS = 17,8 MeV, aC = 0,71 MeV, aa = 23,7 MeV, δ(A, Z) = 34 MeV pro jádra S–S = 0 pro lichá A = −34 MeV pro L–L jádra První člen ve výše uvedené formuli je objemový člen, který předpokládá závislost velikosti objemu jádra na počtu nukleonů, druhý člen je povrchový člen a vystihuje skutečnost, že na povrchu jsou nukleony méně vázány, neboť interagují s menším počtem nukleonů. Druhý člen odpovídá povrchovému napětí kapky neztlačitelné kapaliny, které se zvyšuje se zvyšující se plochou povrchu kapky a má tendenci působit proti objemovému členu, tedy kapku ztlačit do menšího objemu. Třetí člen ve výše uvedené Weizsäckerově formuli popisuje elektrostatické odpuzování protonů, které nesou kladný náboj. Čtvrtý člen je fenomenologický a vystihuje skutečnost, že stabilní izotopy mají Z = N , což souvisí se spinovými a izospinovými efekty a nelze jej jednoduše vysvětlit v rámci kapkového modelu. Experimentálně měřené hodnoty vazbových energií vykazují velké odchylky zvláště pro magická jádra, která jsou silně vázána a jejichž vazebné energie je třeba počítat pomocí slupkového modelu, který předpokládá, že i nukleony se řadí do jakýchsi slupek, podobně jako elektrony v atomovém obalu.

6.3

Spin a magnetický moment jádra

Velikost spinu jádra charakterizujeme kvantovým číslem, které se v kvantové fyzice označuje I. Kvadrát spinu je roven I 2 = h ¯ 2 I(I + 1). Přitom je I buď celočíselná, pak se jádro chová jako boson nebo neceločíselné a pak se chová jako fermion. Průmět spinu do vybraného směru nabývá známých kvantových hodnot Iz = M h ¯ , M = −I, −I + 1, . . . , I − 1, I, kde číslo M se označuje jako magnetické kvantové číslo. Jádra v základním stavu mají spin poměrně malý a sudo–sudá jádra mají spin nulový, to vše nasvědčuje tomu, že se v rámci slupkového modelu v jádře tvoří dvojice protonů s opačnými projekcemi spinu a podobné dvojice neutronů. Další charakteristickou veličinou je vnitřní parita jádra, kde se ukazuje, že při procesech excitace a deexcitace jádra nebo reakcí pod vlivem silné (α rozpad) nebo elektromagnetické interakce (γ rozpad) se parita celého systému zachovává. Jedním z důsledků existence parity jaderných stavů je nulový elektrický dipólový moment a elektrické vlastnosti jádra jsou tedy popsány až kvadrupólovým momentem. 55

KAPITOLA 6. ATOMOVÉ JÁDRO Magnetické vlastnosti jsou dány magnetickým momentem jádra, který je spojen se spinem jádra, neboť moment hybnosti je pro jádra v klidu roven nule. Proto se magnetický moment jádra definuje pomocí hodnoty projekce spinu jádra: µz = γIz = γ¯hM Bude-li vnější pole mít nenulovou pouze složku ve směru z, pak bude potenciální energie M jádra v tomto magnetickém poli U = −µz B = −γ¯ hM B = µB . Abychom stimulovali I přechod jádra na sousední energetickou hladinu ∆M = ±1, musíme na něj působit vysoko|µ|B frekvenčním elektromagnetickým polem, jehož kruhová frekvence bude h ¯ω = , která I se nazývá podmínkou jaderné magnetické rezonance. Měření magnetických momentů jader lze realizovat několika způsoby. Jednou z možností je studium jemné struktury čar, kde se spin určuje z počtu čar jemné struktury za předpokladu, že známe konstantu velmi jemné struktury a. Dále lze použít jaderné magnetické rezonance. Jaderná magnetické rezonance zkoumá jádro, které má vlastní magnetický moment a jeho chování ve vnějším magnetickém poli. Magnetický moment jádra je vektorovým součtem všech magnetických momentů nukleonů přítomných v jádře. Vložíme-li jádro do homogenního magnetického pole B0 , koná jeho magnetický moment otáčivý pohyb (precesi) okolo směru homogenního magnetické pole s rezonanční frekvencí νL . Tato precese po vypnutí pole zaniká, avšak jádro získá v magnetickém poli energii, kterou po vypnutí pole vyzáří. Frekvence záření se nazývá Larmovova frekvence νL a odpovídající energie záření je E = hνL = µB B0 . Rezonanční frekvence je úměrná použitému vnějšímu poli. Spiny jsou sice uspořádány ve směru vnějšího pole B0 , ale konají precesní pohyb s různou fází, mohou být vůči sobě posunuty. Pokud chceme docílit precese fázově shodné v makroskopickém měřítku, musíme přidat zdroj vysokofrekvenčního magnetického pole, které je kolmé na primární homogenní magnetické pole. Ovšem každý atom a dokonce izotop má jiný celkový magnetický moment a tudíž jinou Larmovovu frekvenci precese. Na základě této vlastnosti můžeme zkoumat látky a jejich prvkové složení a magnetické vlastnosti. Právě tyto rozdílné hodnoty Larmovovy frekvence hrají roli při detekci lehkých prvků metodou jaderné rezonance v lékařství, biologii a organické chemii. Atomy a jejich jádra jsou vázány v látce a tudíž je vnější magnetické pole ovlivněno lokálním vnitřním magnetickým polem v okolí atomu, které je dáno elektronovou strukturou. Pomocí jaderné magnetické rezonance lze zkoumat elektronovou strukturu a magnetické vlastnosti látek.

56

Kapitola 7 Radioaktivní procesy V současnosti známe asi 264 stabilních izotopů, ostatní se samovolně rozpadají. Radioaktivní procesy včetně štěpení probíhají samovolně bez vnějšího zásahu a jsou podmíněny nestabilitou systému (jádra) a možností přechodu do energeticky nižšího stavu. Známe radioaktivní řady, které jsou poměrně dlouhé a vyskytují se v nich všechny tři typy rozpadů α rozpad, β rozpad a γ rozpad (kapitoly 7.1, 7.2, 7.3), které rozlišujeme podle typu vyzářených částic při rozpadu. Známe například thoriovou řadu, začíná izotopem thoria 232 90 Th, dále neptuniovou, uranovou a aktiniovou řadu. Konečným stabilním izotopem těchto řad je některý z izotopů olova a v případě neptuniové řady je to bismut, nejtěžší stabilní nuklid. Radioaktivní látky, které nacházíme v přírodě se nazývají přirozené radionuklidy, naopak radionuklidy vyrobené v reaktorech nebo v jaderných reakcích se nazývají umělé. Některé radionuklidy se mohou rozpadat více způsoby a relativní pravděpodobnosti těchto rozpadů se nazývají větvící poměr. Jak bylo uvedeno v předchozím výkladu, lze charakterizovat daný rozpadový proces pomocí energie finálních produktů rozpadu, poločasem rozpadu a větvícím poměrem procesu. Další neméně důležitou veličinou je aktivita radionuklidu A. Aktivita je počet rozpadů v daném množství radionuklidu za 1 s. Jednotkou je Bq, becquerel. Ve starší literatuře se můžeme setkat s jednotkou 1 Ci (Curie)= 3,7 · 1010 Bq. Podíl aktivity A a hmotnosti radionuklidu m se nazývá měrnou aktivitou a, její jednotka je Bq · kg−1 . Empiricky nalezený zákon rozpadu je: N (t) = N (0) e−λt N (0) je počáteční množství radionuklidu. N (t) je pravděpodobný počet nerozpadlých atomů v čase t a λ je rozpadová konstanta. Střední doba života jádra je dána vztahem ln 2 τ = 1/λ a poločas rozpadu T = = τ ln 2 je čas, za který z původního počtu zůstane λ polovina jader. Zákon rozpadu je statistický zákon, proto počáteční počet jader musí být výrazně větší než jedna. Aktivita je definována jako určitý počet −∆N proměn za určitý 57

KAPITOLA 7. RADIOAKTIVNÍ PROCESY časový interval ∆t. A(t) = −

∆N ∆t

V přírodě existují jádra s poločasem rozpadu srovnatelným se stářím vesmíru 1020 let, tedy taková, která se neustále od okamžiku svého vzniku rozpadají (např. 238 U). Na druhé straně existují i přirozené radioizotopy s mnohem kratší dobou života a ty mohou vznikat např. při nárazu kosmického záření (jádra přilétávající k nám z vesmíru velkou rychlostí). Kdybychom vynesli třírozměrný graf, kde by byla závislost celkové energie jádra na protonovém a neutronovém čísle, pak bychom uviděli to, čemu se říká „údolí stabilityÿ. Po jeho levé straně jsou jádra bohatá na protony, která snižují svou energii vymrštěním protonu nebo β + rozpadem viz kapitola 7.2 nebo zachycením vnitřního elektronu, těžší jádra se rozpadají α rozpadem kapitola 7.1. Na pravé straně jsou jádra naopak bohatá na neutrony, ta snižují svou energii vyzářením neutronu nebo rozpadem β − viz obrázek 7.2. Radioaktivního rozpadu nestabilních izotopů se využívá i v jiných vědních oborech. Metoda měření aktivity radioaktivního uhlíku se např. uplatňuje v archeologii, paleontologii i geologii. Stáří organických látek mohou vědci zjistit podle míry rozpadu radioaktivního izotopu uhlíku 14 C. Ten vzniká v atmosféře přirozeně působením kosmického záření na dusík. Při fotosyntéze využívají zelené rostliny uhlík ve formě oxidu uhličitého a v rámci potravního řetězce ho předávají živočichům. Organismy tak v průběhu celého života vstřebávají kromě ostatních izotopů i uhlík 14 C. Poločas rozpadu uhlíku 14 C je přibližně 5700 let, to znamená, že za 5700 let se polovina uhlíku 14 C přemění zpět na dusík. Stáří organické hmoty lze proto stanovit, tak, že se změří podíl uhlíku, který ještě ve vzorku zůstal. Stáří hornin se zjišťuje podobně na základě poločasu rozpadu radioaktivního draslíku a argonu. Problém • Jaká část neutronů s kinetickou energií Tn = 0,025 eV letících ve svazku se rozpadem při průletu drahou délky l = 2 m? Známe střední dobu života neutronu τn = 896 s a jeho klidovou energii mn c2 = 938 MeV. [1,02 · 10−6 ] • Proč se jádra některých atomů rozpadají a jiná jsou stabilní?

7.1

α rozpad

Spontánní rozpad jádra, při kterém je vyzářena α částice má následující schematický zápis: A ZX

4 → A−4 Z−2 X + 2 He

Těžší jádra vyzáří částici α, protože její celková energie je v porovnání s energií, kterou by měly osamocené 4 nukleony, obzvláště nízká (vazebná energie α částice je vysoká). Tento 58

7.1. α rozpad proces probíhá pod vlivem silné interakce, která se uplatňuje především mezi nukleony v jádře. Na levé straně je označeno mateřské jádro s počty nukleonů A, Z a na pravé straně dceřinné jádro a α částice. Tento proces může proběhnout jedině tehdy, když je separační energie záporná. Sα (A, Z) = c2 [M (A − 4, Z − 2) + M (4, 2) − M (A, Z)] < 0 M jsou klidové hmotnosti jader. Z experimentálně určených hmotností jader se ukazuje, že nestabilitu vůči α rozpadu vykazují jádra s nukleonovým číslem větším než 150. Při rozpadu α vyletuje z jádra pouze jedna částice, takže její kinetická energie je jednoznačně určena. Spektrum kinetických energií α částic je tedy diskrétní a pro různé nuklidy leží v intervalu (1 MeV, 10 MeV). Kinetické energie α částic vykazují určité pravidelnosti. Rostou s nukleonovým číslem, nikoli monotónně. Pro izotopy daného prvku klesají kinetické energie vyletujících α částic s rostoucím nukleonovým číslem s výjimkou úzké oblasti kolem neutronového čísla N = 126. Není nezbytné, aby dceřinné jádro vzniklo v základním stavu, a proto spektrum energií α částic nemusí být bodové, ale má jemnou strukturu a skládá se z několika ostrých hodnot. Výběrová pravidla pro α rozpad jsou jednoduchá, neboť α částice má nulový spinový impulsmoment. Zůstává jí ovšem orbitální moment hybnosti, který je omezen trojúhelníkovou nerovností, neboť α částice odnese moment hybnosti l, který musí korespondovat s momentem hybnosti výchozího stavu a finálního stavu jádra: |Ii − If | ≤ l ≤ Ii + If Ii je spin mateřského jádra If je spin dceřinného jádra. Významnou charakteristikou α rozpadu jsou střední doby života, které leží v poměrně širokém intervalu (10−7 s, 1025 s). 10 Nejznámější α zářiče jsou např. jádro 241 s nebo jádro 211 95 Am, T1/2 = 1,48 · 10 84 Po, T1/2 = 0,52 s. Konzistentní výklad rozpadu α podala až kvantová mechanika, která vysvětlila spontánní vyzáření α částice s energií menší než je potenciál jádra. Z hlediska kvantové mechaniky popisujeme α částici pomocí vlnové funkce, a protože v případě reálného jádra potenciálová jáma není nekonečně hluboká, existuje nenulová pravděpodobnost, že se α částice bude nacházet vně potenciálu, tedy že dojde k rozpadu α. Tento jev se v kvantové mechanice nazývá „tunelovýÿ jev. Problém Jádro 213 Po bylo v laboratorní soustavě v klidu a rozpadlo se α rozpadem. Vyletující α částice měla kinetickou energii Tα = 8,34 MeV. Dceřinné jádro zůstalo v základním stavu. Určete celkovou energii Q uvolněnou v tomto procesu. Jakou část této energie představuje kinetická energie dceřinného jádra? Jaká je rychlost dceřinného jádro po zpětném odrazu? [ Q = 8,49 MeV, Todraz = 0,15 MeV, vodraz = 3,72 · 105 m · s−1 ] 59

KAPITOLA 7. RADIOAKTIVNÍ PROCESY

7.2

β rozpad

Při zkoumání β rozpadu se jaderná fyzika poprvé setkala s interakcí slabou. Zpočátku byly detekovány jen elektrony a nevědělo se, že se jedná o rozpad na tři produkty. Beta rozpad probíhá podle následujícího schématu: A ZX

A Y + e− + ν¯ → Z+1

Na levé straně výše uvedené rovnice je jádro s A nukleony a Z protony, na pravé straně je jádro vznikající při β rozpadu a počet jeho protonů je vyšší o jedničku a současně je vyzářen elektron a další částice, která se nazývá elektronové antineutrino. Elektronové antineutrino je částice neutrální, má spin 1/2 a hmotnost velmi blízkou nule. Je-li hmotnost neutrina nulová, pak se pohybuje rychlostí světla a jeho energii lze vyjádřit jako Eν¯ = cpν¯ . K rozpadu β může dojít tehdy, když je v souladu s relativistickým zákonem zachování energie a separační energie elektronu (energie potřebná k oddělení elektronu) je záporná. Původně se relace psala bez neutrina, protože se nevědělo o jeho existenci. Tvar spektra β rozpadu ovšem nebyl diskrétní, jako u α rozpadu, ale spojitý. Elektrony měly spojité spektrum kinetických energií od téměř nulové až po maximální energie viz obrázek 7.1.

Obrázek 7.1: Spektrum kinetických energií elektronů při rozpadu jádra

30 15 Po

Na základě výše uvedených poznatků W. Pauli vyslovil hypotézu, že jde o rozpad na tři částice. Trvalo však ještě dvacet let, než byla existence neutrina dokázána. Spojitost spektra je pak snadno vysvětlena, pokud si uvědomíme, že kinetická energie může být přerozdělena a neutrino odnése maximum energie a pak má elektron energii téměř nulovou a naopak. Tím, že dojde k vyzáření dvou částic, které předtím v jádře neexistovaly, se liší slabá interakce od silné. Maximální vyzářené energie elektronů se pohybují od 0,02 MeV, jádro 12 3 1 H až po 13,4 MeV, jádro 5 B. Beta rozpadu podléhají jak jádra lehká, tak středně těžká i 60

7.2. β rozpad

Obrázek 7.2: Celková energie jádra v závislosti na počtu protonů Z a neutronů N je nízká v oblasti „údolí stabilityÿ, které je naznačeno čtverečky. těžká. Nejlehčím β radioizotopem je právě výše uvedené tritium a nejtěžší je izotop 255 99 Es. Při měření β aktivních jader umělých radioizotopů byly objeveny další varianty β rozpadu: A ZX

A → Z−1 Y + e+ + ν

A ZX

A + e− → Z−1 Y + ν¯

V prvním případě dochází k poklesu počtu protonů. Druhý typ reakce se nazývá K záchyt. U těžších prvků je nenulová pravděpodobnost, že elektron ze slupky K bude zachycen jádrem. Vzniklé jádro má počet protonů snížen o jedničku. Oba výše uvedené procesy si mohou konkurovat. Všechny tři výše uvedené procesy β – rozpadu mají svůj původ v nestabilitě nukleonu. Neutron má větší klidovou energii než proton, proto se může rozpadat. Proton se může rozpadat jedině vázaný v jádře, kde jestliže je na energeticky vysoké slupce, může přejít na energeticky níže položenou slupku neutronu a vyzářit pozitron a elektronové neutrino. Rovněž bylo prokázáno pokusem z roku 1957, že v procesech pod vlivem slabé interakce se nezachovává parita. V tomto experimentu fyzičky Wu byla použita orientovaná jádra 61

KAPITOLA 7. RADIOAKTIVNÍ PROCESY (tzn. většina jader má stejný směr spinu) kobaltu 60 27 Co. Byla měřena intenzita elektronů v prostorovém úhlu vymezeném hybností elektronu. Pokud by se parita zachovávala, ve směru hybnosti p i ve směru opačném bychom detekovali stejný počet elektronů, což se nepotvrdilo. Narušení parity ve slabých interakcích bylo potvrzeno dalšími nezávislými experimenty.

7.3

γ rozpad a vnitřní konverze

Při rozpadu α i při rozpadu β nemusí jádro vzniknout v základním stavu. Jádro je systém nukleonů, které spolu díky svým magnetickým momentům interagují také elektromagneticky. Projevem této interakce je také γ rozpad. Jedná se o radiační přechody, kdy jádro vyzařuje gama kvanta (elektromagnetické záření). Spektrum těchto gama kvant je diskrétní, neboť se jedná o přechody z jedné diskrétní excitované hladiny jádra na druhou. Energie gama kvant je určena Bohrovou podmínkou h ¯ ω = Ei − Ef , Ei > Ef . Energie gamma kvant vyzářených jádrem se výrazně liší od gama kvant vyzářených při přechodech v atomovém obalu. Při gama rozpadu se vyzářené energie pohybují v intervalu (0,05 MeV, 10 MeV). V případě, kdy nemůže proběhnout gama přechod do nižšího stavu, protože to nedovolují výběrová pravidla, např. stav excitovaný má spin 0 a základní také, může dojít k tzv. vnitřní konverzi. Při vnitřní konverzi předá jádro svou energii elektronu, který je vyzářen z elektronového obalu atomu. Opět je spektrum elektronů při elektronové konverzi diskrétní. Problémy • Izomerní jádro 81m Se s excitační energií 103 keV přechází do základního stavu buď vyzářením gama kvanta nebo procesem vnitřní konverze na K slupce (vazbová energie K slupky je 12,7 keV). Určete kinetické energie a rychlosti odraženého jádra v obou případech. [TSe = 0,07 eV, vSe = 409 m·s−1 nebo vnitřní konverze TSe = 0,6 eV, vSe = 1196 m·s−1 ] • Vyhledejte příklady zářičů α, β a γ, které mají nejdelší poločasy rozpadu.

62

Kapitola 8 Jaderné reakce Jaderné reakce jsou obdobou reakcí chemických, na levou stranu se zapisují jádra, která do reakcí vstupují a napravo, které částice z reakce vystupují. Mezi nimi je znaménko plus, čímž se zdůrazňuje, že částice jsou na sobě nezávislé. V jaderných reakcích se mohou uplatnit tři základní interakce silná, elektromagnetická a slabá, neboť nukleony interagují všemi způsoby. Rozsah oblasti, ve které působí silná interakce má zhruba rozměr jádra tj. 10−14 −10−15 m. Tomu také odpovídá charakteristická doba reakce pod vlivem silné interakce 10−24 s. Reakce, kde se uplatňuje elektromagnetická interakce, probíhají v mnohonásobně delším intervalu, neboť dosah elektromagnetických interakcí je výrazně větší.

8.1

Zákony zachování v jaderných reakcích

Pro reakce obecně platí zákon zachování počtu nukleonů a zákon zachování náboje. Vzhledem k tomu, že objekty vstupují a vystupují z reakcí volné, bude platit zákon zachování relativistické energie a hybnosti: X i

Ei =

X

X

Ef ,

− → pi =

X

i

f

− → pf

f

Zavádíme veličinu energie reakce Q, jedná se o uvolněnou energii v exoenergetických reakcích pokud Q > 0, nebo spotřebovanou v endoenergetických reakcích Q < 0. Q=(

X

mi −

i

X

mf )c2

f

Reakce endoenergetické se mohou uskutečnit jedině v případě, že je jim dodána energie Q ≥ Qmin , kde Qmin je minimální (prahová) energie, za které reakce ještě proběhne. 63

KAPITOLA 8. JADERNÉ REAKCE Takové reakce nazýváme prahové reakce. V jaderných reakcích se rovněž zachovává moment hybnosti, protože mikročástice jsou kvantové objekty, proto tento zákon má následující formu: X i

Lzi =

X

Lzf ,

L2i = L2f

f

Důležitou veličinou jsou účinné průřezy jaderných reakcí. Udávají pravděpodobnost procesu a závislost této pravděpodobnosti na energii. Diferenciální účinný průřez navíc uvádí závislost pravděpodobnosti procesu (reakce) na prostorovém úhlu. Obecně rozdělujeme jaderné reakce na elastické a inelastické (pružné a nepružné). Při elastickém procesu (např. proton nalétává na jádro atomu) dochází k předání energie mezi srážejícím se protonem a jádrem, beze změny struktury částic (např. jádro se nerozpadne a po rozptylu je jako celek) a beze změny stavu (částice vycházející z reakce nejsou v excitovaném stavu). V inelastických (nepružných) procesech mohou vznikat nové částice a částice v excitovaných stavech. V částicové fyzice vždy pracujeme s velkými počty reagujících částic, proto popisujeme reakce pomocí pravděpodobnosti. Elastické a inelastické procesy probíhají v tomto velkém souboru částic souběžně, neboť existuje více reakcí, které mají pro daný konkrétní případ nenulové pravděpodobnosti, že se uskuteční. Máme-li reakci, při níž nalétává proton na jádro atomu, může dojít k jeho elastickému rozptylu tj. bude odkloněn elektrostatickým odpuzováním jádra viz Rutherfordův rozptyl kapitola 1.2, proton může být pohlcen v jádře a místo něj vyzářen neutron či α částice nebo proton excituje jádro atd. S jakou pravděpodobností tyto reakce proběhnou nám udává účinný průřez reakce σr . Jestliže je pro nějakou reakci nenulový účinný průřez reakce σr , pak je nenulový i účinný průřez pro elastický rozptyl σel . Jakýkoli proces (reakce) je provázen elastickým rozptylem. Účinné průřezy jsou obecně závislé na energii. Totální účinný průřez danéhoP procesu σtot je součtem všech účinných průřezů reakce a elastického rozptylu σtot = σel + nr=1 σr , kde σr představují všechny možné kanály reakce. Pokud bychom počítali integrální účinný průřez reakce pod vlivem elektromagnetické interakce např. Rutherfordův rozptyl, pak by tato veličina měla velikost řádově 10−26 m2 . Při odhadu účinného průřezu pod vlivem silné interakce, který popisuje např. srážku neutronů s jádry boru, dostáváme hodnotu účinného průřezu řádově 10−28 m2 . Dosah elektromagnetického působení je mnohonásobně vyšší, než dosah silné interakce, která se omezuje pouze na prostor o velikosti jádra, a proto je účinný průřez pro reakce probíhající pod vlivem elektromagnetické interakce vyšší. Slabá interakce má na jaderné procesy vliv mizivý, neboť jí odpovídá účinný průřez řádově 10−47 m2 . Problém V jaderné reakci p + 7 Li → 7 Be + n s energií reakce Q = −1,64 MeV se produkují neutrony, které v laboratorním systému stojí. 64

8.2. Typy reakcí . Jaká je kinetická energie nalétávajících protonů Tp ? (M je hmota nukleonu, mLi = 7M , . mBe = 7M ) [Tp = 1,92 MeV]

8.2

Typy reakcí

Jaderné reakce můžeme rozdělit podle toho jak probíhají buď na reakce přímé nebo reakce probíhající přes složené jádro. Reakce přímá probíhá po dobu odpovídající průletu částice – projektilu jádrem, dojde k vytržení části jádra nebo k elastickému či inelastickému procesu. Při přímých reakcích vylétne původní i vyražená částice v malém rozptylovém úhlu vůči původnímu směru nalétávající částice. Reakce jdoucí přes složené jádro trvá déle, neboť dojde k přerozdělení energie přinesené projektilem v jádře a dráha vyletujících částic není ovlivněna směrem příletu projektilu. Částice jsou rovnoměrně vyzářeny do prostoru. Složené jádro se navíc může nacházet v různých excitovaných stavech a po nějaké době se rozpadá. Reakce přes složené jádro lze dále rozdělit na rezonanční a nerezonanční. Aby vzniklo složené jádro, musí se nalétávající nukleon dostat na nějakou neobsazenou hladinu v jádře, které přísluší nějaká nenulová šířka hladiny Γ. Budou-li jednotlivé hladiny v jádře od sebe dostatečně vzdáleny, musí mít reakce rezonanční charakter. Pokud se hladiny budou překrývat, nalétávající nukleon může mít poměrně široký rozsah energií, aby došlo k reakci. Na obrázku 8.1 vidíme příklad nerezonančního účinného průřezu reakce protonu s jádrem mědi. Reakce se zapisují v uzavřeném tvaru, kde vně závorky stojí mateřské jádro vlevo a dceřinné jádro vpravo. V závorce je uvedena nalétávající částice vlevo a vyletující částice vpravo. 63 62 29 Cu(p, 2n)30 Zn

Závislost účinného průřezu výše uvedené reakce na energii je hladká, bez výrazných úzkých maxim (rezonancí). Pokud jde o reakci kladně nabité částice, dochází při nižších energiích s velkou pravděpodobností k Rutherfordově rozptylu, při dostatečně vysoké energii projektilu může dojít k jaderné reakci. Aby kladně nabitá částice pronikla do jádra, musí překonat coulombické Z1 Z2 e2 , kde Z1 a Z2 jsou náboje projektilu a jádra, R je poloměr jádra. odpuzování Uc = 4πε0 R R odhadneme empirickým vztahem R = r0 A1/3 . Druhý člen vstupující do hry je bariérový h ¯ 2 l(l + 1) efekt, který je vyvolán orbitálním momentem hybnosti U0 = , l = 0, 1, 2, . . ., kde 2mR2 m je hmotnost nalétávající částice a R poloměr jádra. Součet těchto členů Uc + Uo určuje celkem přesně výšku bariéry., která je řádově MeV. Nejčastěji běžně používané projektily jsou protony (např. prvková analýza materialů, vybuzení RTG záření, studium jaderných reakcí), které po dopadu na jádro iniciují reakce (p, n), (p, p), (p, d), (p, γ). Pravděpodobnost posledně uvedené reakce je malá ve srovnání s ostatními, její účinný průřez může narůstat v případě, kdy jsou ostatní reakce potlačeny výběrovými pravidly. Souběžně může 65

KAPITOLA 8. JADERNÉ REAKCE

Obrázek 8.1: Závislost účinného průřezu reakce

63 62 29 Cu(p, 2n)30 Zn

na energii projektilu

nastat elastický rozptyl, nebo tzv. coulombická excitace, kdy je jádro ve vzbuzeném (excitovaném) stavu po inelastickém procesu pod vlivem elektromagnetické interakce. Reakce s neutrony se liší tím, že potenciálová bariéra při průniku do jádra je nižší o coulombický člen. Neutron se snadno dostane do jádra, zvláště má-li nižší energii a tudíž má orbitální moment nulový. Tato skutečnost vysvětluje velké účinné průřezy na jádrech pro velmi malé energie neutronů řádově eV. Jedna z nejběžnějších reakcí je radiační záchyt neutronu (n, γ) reakce. Tato reakce má zvláště vysoký účinný průřez pro neutrony s energií menší než 0,5 MeV.

8.3

Štěpení a termojaderná fúze

Štěpná reakce je nesmírně významná v jaderné energetice. Při této reakci se jádro rozštěpí na dvě nebo více jader. Štěpení na dvě jádra je více pravděpodobné. Základní štěpná reakce, která umožňuje využití uranu, je exoenergetická reakce po absorpci neutronu v jádře. A1 A2 n + 235 92 U → Z1 X1 + Z2 X2 + kn + mγ

kde zákon zachování dává Z1 + Z2 = 92, A1 + A2 + k = 236, k = 2, 3, m = 1, 2, . . . r. V reakci štěpení současně se štěpnými produkty vznikají dva nebo tři neutrony a tvrdé fotony gama viz obrázek 8.2. Hmotnosti jader tj. štěpných produktů mají poměrně široký rozptyl, jejich zastoupení má dvě maxima pro A = 95,139. Původ štěpné reakce se dá vysvětlit vznikem metastabilního 66

8.3. Štěpení a termojaderná fúze

Obrázek 8.2: Štěpná reakce a její produkty

jádra po pohlcení neutronu, které se ve stavu výraznější deformace může roztrhnout. Neutrony vzniklé v primární reakci mohou dále štěpit jádra uranu, jedná se o řetězovou reakci, ta se však udrží jen za určitých podmínek. Důležitou podmínkou je vhodné palivo, které ve většině typů reaktorů musí být obohaceno izotopem 235 92 U typicky na 4 % (záleží na konstrukci reaktoru), aby probíhala řetězová reakce. V reaktorech se tedy nepoužívá čistý štěpný materiál, jinak je tomu u jaderných zbraní viz níže. Izotop uranu 235 92 U je zastoupen 238 pouze 0,712 % v přírodním uranu. Ostatní izotopy mají zastoupení 92 U 99, 274 % a izotop 234 92 U pouze 0,006 %. Oceníme-li energii uvolňující se na jeden proces, pak je to Q ≈ 180 MeV, což je velmi mnoho ve srovnání s jinými exoenergetickými reakcemi. Jádra vznikající štěpením mají přebytek neutronů a jsou β radioaktivní nebo vyzáří neutrony. Takto vzniklé neutrony se nazývají sekundární zpožděné neutrony. Protože jejich energie dosahuje až 1 MeV, musí být tzv. moderátorem zpomaleny, aby se zvětšil účinný průřez dalšího štěpení. Jako moderátor se nejčastěji používá těžká voda D2 O, protože deuterium má nízký účinný průřez pro zachycení neutronu, ale vysoký pro inelastický rozptyl, při němž neutron ztrácí energii. Dále se jako moderátor používá v menší míře grafit, avšak grafitové reaktory vykazují menší stabilitu. Souběžně se štěpením probíhá elastický rozptyl neutronů a významným kanálem reakce je zachycení neutronu v reakci (n, γ). Těžká jádra lze štěpit jedním neutronem a v důsledku štěpení vzniká více než jeden neutron. Proces štěpení tedy může být základní reakcí v samoudržující se řetězové reakci, jejím nositelem budou neutrony. Protože každý nový řetězec začíná jednou částicí, je rozmnožení řetězců ekvivalentní rozmnožení částic. Proto se k popisu rozvětvených řetězců používá pojmu multiplikační koeficient. Každý neutron, účastnící se v řetězové reakci, prochází následujícím cyklem: vzniká v reakci štěpení, jistou dobu existuje ve volném stavu, pak se buď ztrácí nebo znovu štěpí jádro a dává vzniknout novým neutronům (tzv. neutronový cyklus). Multiplikačním koeficientem neutronů k pak nazýváme poměr počtu neutronů následujícího pokolení k počtu neutronů v předchozím pokolení v celém objemu prostředí, rozmnožujícího neutrony. 67

KAPITOLA 8. JADERNÉ REAKCE Multiplikační koeficient může nabývat tří význačných hodnot: Kritický stav je charakterizován podmínkou k = 1. Při k < 1 se stav látky nazývá podkritický a řetězová reakce zaniká. V nadkritickém stavu je k > 1 a řetězová reakce se lavinovitě rozvíjí do té doby, kdy z nějakých příčin nastane k < 1. Protože se těžká jádra mohou dělit samovolně, je vždy v prostředí obsahujícím těžká jádra přítomen malý počet neutronů a tedy vždy se najde první neutron, který může začít řetězovou reakci. Kromě toho se volné neutrony objevují jako produkty jaderných reakcí, vzbuzených kosmickým zářením, takže při k > 1 řetězová reakce štěpení začíná samovolně a okamžitě. Spouštění reaktoru a jeho regulace se zajišťuje tzv. regulačními tyčemi, které se zasouvají mezi palivové tyče. Regulační tyče jsou vyrobeny z kadmia, které má vysoký účinný průřez pohlcení neutronu a tak zasunutí kadmiových tyčí mezi palivové tyče zpomalí nebo zastaví štěpnou reakci v reaktoru. V prostředí z čistých štěpících se materiálů je doba neutronového cyklu t À 10−8 s. Při k = 1,1 jeden počáteční neutron způsobí za 6 µs vznik 1026 neutronů, tzn. 1026 štěpení. Taková situace odpovídá štěpení 400 kg uranu za dobu 6 µs. Tento příklad ukazuje, že rychlost narůstání řetězové reakce je neobyčejně vysoká. Okamžité uvolnění energie při této reakci pak představuje jaderný výbuch. Síla jaderného výbuchu se udává pomocí ekvivalentního množství nejvíce rozšířené výbušniny – trinitrotoluenu (TNT). Energie uvolněná při štěpení 1 kg uranu je rovna energii uvolněné při výbuchu 20000 tun TNT. V čistém štěpícím se materiálu, např. v 235 U, lze řetězovou reakci snadno uskutečnit. Kritická hmotnost pro čistý štěpící se materiál z 235 U je 48 kg, což je koule o poloměru 8,5 cm. Jaký je tedy princip fungování atomové bomby? V atomové bombě jsou odděleně dvě nebo více podkritických množství štěpícího se materiálu taková, že jejich spojením vznikne množství nadkritické. Při odpálení klasická trhavina vstřelí jedno podkritické množství do druhého, přičemž vznikne nadkritické množství štěpícího se materiálu. Začne probíhat rozvětvená řetězová reakce, okamžitě se uvolňuje obrovské množství energie a dochází k výbuchu. Masivní obal atomové pumy má za úkol držet štěpící se materiál co nejdéle pohromadě a odrážet neutrony zpět do štěpícího se materiálu, aby došlo k co největší četnosti štěpných reakcí. Díky náročné technologii výroby čistých štěpících se materiálů je jejich cena velmi vysoká, proto jejich výskyt zůstává omezen a používají se hlavně pro vojenské účely. Jiný způsob, jak přeměnit část klidové energie jader na kinetickou energii (tedy na teplo), je jaderná syntéza (též fúze nebo slučování). Spojíme-li dvě lehká jádra, bude mít výsledné jádro větší vazebnou energii na jeden nukleon, a proto jeho energie bude menší než energie jader, která do reakce vstupovala. Uvolněná kinetická energie je odnášena uvolněnými protony, neutrony nebo γ zářením. K tomu, aby se lehká jádra k sobě dostatečně blízko přiblížila, musí mít vysokou rychlost a energii potřebnou k překonání odpudivých elektrostatických sil. Aby reakce probíhala ve velkém objemu, je třeba látku zahřát na vysokou teplotu alespoň 50 milionů K. To je hlavní podmínkou syntézy, proto se označuje jako termojaderná fúze.

68

8.3. Štěpení a termojaderná fúze Jak bylo zmíněno výše, lze energii získávat štěpením jader těžších A > 60 nebo termojadernou fůzí z jader lehčích A < 60. Tyto termojaderné reakce probíhají ve hvězdách typu našeho Slunce, kde je ovšem dostatek času a dostatečná teplota, aby reakce probíhaly ve velkém měřítku a samy se udržovaly. Termojaderné reakce umožňují hvězdám typu Slunce ustáleně zářit. Exotermické reakce jsou dobře prozkoumány, z hlediska energetického jsou slibné následující: d + d → 32 He + n p + 73 Li → α + α

(Q = 3,25 MeV) (Q = 17 MeV)

Hlavní překážkou realizace termojaderné fúze v podmínkách na Zemi je právě nutnost udržet tak vysokou teplotu dostatečně dlouho. Vytvoří se vlastně plasma – látka zahřátá na vysokou teplotu, kde jsou prakticky všechny atomy zcela ionizovány a kde mohou probíhat syntézy jader. Je třeba využívat vhodné palivo, vůbec nejrychlejší jaderná syntéza je reakce D + T → 32 He + n (Q = 17,6 MeV) D je deuterium a T je tritium. Tritium je nejtěžší izotop vodíku, který je β radioaktivní a v přírodě se vyskytuje jen v malých množstvích. Můžeme jej však vyrobit tak, že lithium odstřelujeme neutrony. Ovšem udržet plasma v uzavřeném prostoru je problém, neboť žádný materiál nedokáže odolávat takovéto teplotě, pro udržení plasmatu se používá např. magnetické pole, kdy jsou nabité částice drženy v pohybu na kružnici. Zařízení, kde se toto realizuje, se nazývá tokamak. Hustota částic je v něm docilována 1020 částic · m−3 a doba, po kterou lze plasma udržet je okolo sekundy. Zdá se, že první termojaderné elektrárny budou založeny na principu tokamaku viz obrázek 8.3, je třeba ovšem vyřešit problémy s ochlazováním plasmatu vyzařováním do okolí, poškozování pevných částí reaktoru intenzívním proudem vysokoenergetických částic atd. Výhoda termojaderných reakcí spočívá v levnějším palivu, čistším provozu (nevzniká prakticky žádný radioaktivní odpad), větší bezpečnosti (nemůže dojít k nekontrolovatelné reakci, protože plasma rychle chladne). Problémy • Zamyslete se nad tím, jaká podmínka pro počet sekundárních neutronů musí být splněna, aby se štěpná reakce v jaderném reaktoru udržela. • Existují i jiné reakce než štěpení, ze kterých lze získávat energii? [ Poměr primárních a sekundárních neutronů tj. těch, které následně vzniknou štěpením musí být 1, aby se udržela štěpná reakce. ] 69

KAPITOLA 8. JADERNÉ REAKCE

Obrázek 8.3: Tokamak – reaktor ve tvaru pneumatiky. Uvnitř je magnetické pole, které je vytvářeno proudem ve vodiči, který ovíjí reaktor obrázek b. Plasma se vytvoří elektrickým polem, souběžně s tokamakem je velká cívka obr. c, do níž je přiveden proudový impuls, elektrické pole ionizuje plyn v tokamaku, ionty se urychlují a dále ionizují ostatní atomy ve srážkách a vytváří se prstenec horkého plasmatu.

8.4

Elementární částice

Pod částicí mikrosvěta si představujeme objekt mikrosvěta, který je za určitých fyzikálních podmínek stálý a má vyhraněné kvantové vlastnosti např. klidovou hmotnost, elementární náboj atd. Proton, neutron a také elektron a foton, částice, se kterými jsme se seznámili v předchozích kapitolách nazýváme elementárními částicemi. Slovo elementární znamená jednoduchý a má vyjádřit, že se jedná o částici v podstatě dále nedělitelnou. Dnes je zřejmé, díky experimentům s vysoce energetickými částicemi (1 GeV), že např. nukleny mají vnitřní strukturu, která je ovšem netriviální. Nukleony se skládají ze tří částic, které jsou také označovány jako partony nebo kvarky (tyto partony však nemohou existovat samostatně, pouze jako vázané v mikročásticích, proto dokazování jejich existence bylo poměrně obtížné). Elementární částice na sebe navzájem působí interakcemi. Podle současných experimentálních možností stanovení struktury částic můžeme za bodové částice považovat leptony a partony. K leptonům neboli „lehkýmÿ částicím patří elektron a neutrino a k nim blízké částice. Leptony jsou fermiony, neboť mají spin 1/2 a interagují prostřednictvím slabé interakce nebo v případě nabitých leptonů prostřednictvím elektromagnetické interakce. 70

8.4. Elementární částice Foton tvoří samostatnou skupinu viz tabulka 8.1.

Tabulka 8.1: Třídění elementárních částic do skupin Dále je skupina hadronů, které se tak nazývají díky tomu, že interagují silně (řecky hadros znamená silný). Hadrony se dále dělí na baryony a mezony. Baryony tedy težké částice jsou proton, neutron, lambda, sigma, ksí atd. viz [4] a tabulka 8.1 a mezony jsou částice se střední hmotností jako pion, mezony atd. Baryony patří k fermionům a mezony k bosonům. Nabité partony jsou nazývány kvarky a v současné době se předpokládá, že platí kvarkový model, kde baryony jsou složeny ze tří kvarků a všechny mezony z páru kvark – antikvark.

8.4.1

Interakce mezi částicemi

Částice spolu navzájem interagují několika způsoby. První typ interakce je interakce silná, která působí jen mezi hadrony a není proto universální. Konstanta interakce je řádově 1, ale působí na velmi malé vzdálenosti 10−15 m. Tato interakce je nábojově nezávislá (nerozlišuje mezi nabitou částicí např. protonem a částicí neutrální např. neutron) a jejím typickým projevem je interakce mezi nukleony v jádře a produkce částic při vysokoenergetických srážkách hadronů. Typické účinné průřezy se pohybují kolem 10−28 − 10−30 m2 a doba 71

KAPITOLA 8. JADERNÉ REAKCE trvání procesů pod vlivem silné interakce je cca 10−22 s. Druhým typem interakce je interakce elektromagnetická, která působí mezi elektricky nebo magneticky nabitými částicemi. Elektrostatická interakce je popsána Coulombovým zákonem a charakterizuje tu část elektromagnetické interakce, která váže elektrony v atomovém obalu a zodpovídá za chemické vazby. Velikost elektromagnetické interakce určuje konstanta jemné struktury α a tato interakce je asi 100× slabší než interakce silná, ale působí na velké vzdálenosti. Učinné průřezy této interakce se pohybují v řádu 10−26 m2 a doba trvání procesu je typicky 10−15 –10−20 s. Dalším typem interakce je slabá interakce. Již podle názvu můžeme usoudit, že je několikanásobně slabší než ostatní výše uvedené interakce (silová konstanta slabé interakce cca 10−5 (M c2 ) není bezrozměrná). Slabá interakce je původem „pomalýchÿ rozpadů částicm tyto procesy probíhají typicky 10−13 s. Dosah působení slabé interakce je ∼ 10−18 m. Posledním typem interakce je gravitační interakce. Tato interakce působí na obrovské vzdálenosti a je pouze přitažlivá, jedná se o absolutně univerzální interakci, která působí mezi všemi částicemi. Je velmi slabá ve srovnání s výše uvedenými interakcemi, neboť její konstanta interakce je ∼ 10−11 m3 · kg−1 · s−2 .

72

Kapitola 9 Průchod částic hmotou Pohybují-li se elementární částice hmotou, interagují s ní, vyvolávají změny a rovněž ony samy jsou touto hmotou silně ovlivněny. Na základě typických interakcí s hmotou můžeme také elementární částice detekovat. Přístroje, které elementární částice detekují, se nazývají detektory.

9.1

Průchod nabitých částic hmotou

Těžká nabitá částice, jejíž hmotnost je srovnatelná s hmotností protonu nebo větší (např. α částice), při průchodu látkou bude interagovat s atomy materiálu. Dojde ke srážkám a k rozptylu. Částice může být odražena Rutherfordovým rozptylem nebo prochází tzv. mnohonásobným rozptylem. Pokud je těchto rozptylů mnoho, úhlová odchylka od původního směru se zprůměruje a výsledný úhel výletu vzhledem k původnímu směru částice bude velmi malý. Odchylka od původního směru je tím menší, čím větší je energie částice. Když částice dostatečně sníží svou energii v nepružných srážkách, pak ztrácí energii jiným způsobem a to ionizací atomů a molekul. Přibližný vztah popisující ionizační ztráty těžké kladné nabité částice s energií Ek v intervalu (1 MeV, 105 MeV) lze vyjádřit takto: −

dEk ∼ z 2 ne ϕ(v) dx

ne je hustota elektronů v materiálu, z je náboj mikročástice a ϕ je funkce rychlosti mikdEk ročástice. Pokud bychom zobrazili závislost energetických ztrát − na kinetické energii dx mikročástic Ek dostaneme závislost viz obrázek 9.1. dEk Pozorujeme, že energetické ztráty − s rostoucí kinetickou energií částice klesají až dodx sáhnou tzv. minima ionizace v oblasti, kde kinetická energie částice je srovnatelná s dvojnásobkem její klidové energie Ek = 2mc2 (m je hmotnost částice). Dále pozorujeme nárůst 73

KAPITOLA 9. PRŮCHOD ČÁSTIC HMOTOU

Obrázek 9.1: Energetické ztráty nabité částice v závislosti na kinetické energii nabité částice Ek v jednotkách klidové energie částice mc2 ionizace spojený s relativistickými efekty, protože částice má vysokou energii a rychlost, tudíž je třeba uvažovat relativistické vztahy. Při velmi malých energiích ionizace ustává, neboť energie částice nestačí na ionizační proces. Vzhledem k tomu, že v dostatečně silné vrstvě materiálu absorbátoru se částice zastaví, má smysl definovat extrapolovaný dolet Rext viz obrázek 9.2. Např. pro částice α z přirozených zářičů leží dolety ve vzduchu v intervalu 3–7 cm. Pro poměr doletů R1 , R2 dvou částic s různou hmotností m1 , m2 platí: R1 : R2 = m1 /z12 : m2 /z22 z1 , z2 jsou náboje daných nabitých částic. Závislost doletu na kinetické energii částic se vyjadřuje poloempirickými vzorci např. pro α částice ve vzduchu lze použít vzorec pro 3/2 dolet R = 0,318 · Ek , kde R dostaneme v cm a Ek zadáváme v MeV. Procházejí-li elektrony látkou interagují s atomy nebo molekulami především elektromagneticky. Vzhledem k tomu, že mají stejnou hmotnost jako elektrony v obalu, bude mít na jejich brzdění v látce vliv především elektronová hustota materiálu. Elektrony ztrácejí energii ionizací atomů a molekul, jde tedy o ionizační ztráty. Dále bude při svém brzdění v materiálu vyzařují elektromagnetické brzdné záření. Tyto ztráty se nazývají radiační ztráty. Radiační ztráty lze přesně spočítat v kvantové elektrodynamice. Obecně lze radiační ztráty popsat vztahem: ¶ µ Z 2 r02 dEk K(E) = nEk − dx rad 137 e2 = 2,82 · 10−15 m je tzv. klasický poloměr elektronu a n je počet atomů (4πε0 )2 mc2 v objemové jednotce. Výraz K(E) závisí slabě na energii. Z je protonové číslo materiálu,

r0 =

74

9.2. Interakce fotonů s hmotou kterým nabité částice prochází. Porovnáme-li radiační a ionizační ztráty můžeme psát následující vztah: µ ¶ dEk dx rad µ ¶ ≈ Ek Z dEk dx ion Energie, při které dojde k vyrovnání ztrát, se nazývá kritická energie. Rovněž se udává veličina radiační nebo vyzařovací délka X0 . Je to délka, na které klesne energie elektronu na 1/e původní velikosti. Pro vyzařovací délku platí přibližný vztah X0 = const/ρZ 2 , kde ρ je hustota prostředí a Z protonové číslo použitého materiálu. Brzdné záření elektronu vede při vysokých energiích k rozhodujícím energetickým ztrátám. Při srážkách elektronů s atomy dochází k velkým změnám hybnosti elektronu, proto nelze jednoduše definovat jeho dolet jako v případě těžkých nabitých částic a navíc jsou elektrony nerozlišitelné, proto nelze rozlišit, zda jde o původní elektron nebo elektron vyražený z atomu.

9.2

Interakce fotonů s hmotou

Fotony jsou částice neutrální, proto se procesy, které se odehrávají v materiálu při interakci s fotony značně liší od procesů s nabitými částice. Máme-li svazek fotonů procházejících materiálem, hustota toku fotonů se snižuje s rostoucí tloušťkou materiálu. Můžeme tedy psát empirický vztah I(x) = I0 exp(−nσx) = I0 exp(−µx), kde I(0) je hustota toku těsně před vstupem svazku do vzorku látky. Fotony procházející látkou jsou absorbovány atomovými obaly a jen zčásti vyzařovány zpět se stejnou frekvencí. Míru schopnosti absorbce daného materiálu určuje lineární koeficient zeslabení µ a je roven součinu počtu atomů v objemové jednotce n a pravděpodobnosti absorbce σ. Dále lze definovat hmotový absorpční koeficient jako µ/ρ, který popisuje míru absorpce 1 gramu absorbátoru, ρ je hustota prostředí. Fotony mohou reagovat několika různými způsoby, které snižují jejich energii. Jedním z procesů, které probíhají je fotoefekt. Fotoefekt probíhá pouze na elektronu vázaném v obalu atomu. Účinný průřez pro fotoefekt vykazuje výrazná maxima, mají-li vstupující fotony energii v oblasti vazbových energií elektronů pro jednotlivé slupky. Protože energie gama kvanta je většinou výrazně vyšší než tyto vazbové energie, nejčastěji probíhá fotoefekt na elektronech v K slupce, které jsou nejvíce vázány. Účinný průřez pro fotoefekt klesá s rostoucí energií gama kvanta. Na slupce K probíhá fotoefekt s 5× větší pravděpodobností než na slupce L. Druhý proces, který významně přispívá k zeslabení hustoty toku fotonů, je Comptonův efekt viz kapitola 5.6. Pravděpodobnost procesu klesá se vzrůstající energií vstupujícího gama kvanta. Třetím procesem, který přispívá k oslabení intenzity svazku, je vytvoření páru částice a antičástice, elektronu a pozitronu v poli jádra (účinný průřez procesu σpZ ) nebo v poli 75

KAPITOLA 9. PRŮCHOD ČÁSTIC HMOTOU elektronu σpe . Přítomnost jádra nebo elektronu je nutná pro zachování energie a hybnosti soustavy. Vytvoření páru elektron – pozitron v poli elektronu je mnohem méně pravděpodobné. Aby došlo k vytvoření páru e+ e− , musí energie gama kvanta být větší než dvojnásobek klidové energie elektronu 2me c2 pro pár vzniklý v poli jádra a 4me c2 pro pár e+ e− v poli elektronu. Jako přibližný výraz pro vyjádření účinného průřezu pro vznik páru elektron–pozitron lze použít vztah: σpZ = Z 2 αr02 K (E) K nabývá různých hodnot pro různé energie fotonu. Rozdíly mezi hodnotomi veličiny K pro různé atomy je dána rozdílným stíněním pole jádra elektronovým obalem atomu. Účinný průřez pro tvorbu párů se zvyšuje s rostoucí energií fotonu Eγ . Přibližné vztahy pro účinné průřezy jednotlivých procesů jsou následující: Pro fotoefekt, Comptonův jev, vytvoření páru elektron–pozitron σf ∼

Z5 7/2

Eγ Z σC ∼ Eγ σp ∼ Z 2 ln 2 Eγ

Obrázek 9.2: Závislost počtu těžkých nabitých částic N prošlých vrstvou látky x. Na obrázku je definován střední dolet Rs , extrapolovaný dolet Rext a maximální dolet částic Rmax . Problém Hmotnostní koeficient absorpce (tj. míra absorpce jedním gramem látky na 1 cm2 ) RTG záření s vlnovou délkou λ = 20, 9 pm pro železo je roven 1,26 cm2 · g−1 . Určete odpovídající atomový koeficient absorpce µA tj. míra absorpce odpovídající jednomu atomu železa. (ρFe = 7870 kg · m−3 ) [µA = 1,172 · 10−22 cm−2 ] 76

Kapitola 10 Detektory a spektrometry Detektory jsou přístroje, které jsou schopny zaznamenat mikročástice a případně jejich trajektorii nebo velikost energie, náboj. Důležité veličiny, které charakterizují kvalitu detektorů jsou: Detekční účinnost zařízení je rovna pravděpodobnosti, že mikročástice bude detektorem zaregistrována. Mrtvá doba je čas, po který je detektor necitlivý k zaregistrování další částice. Prostorové rozlišení, určuje minimální vzdálenost dvou částic, které lze od sebe rozlišit. Časové rozlišení, určuje minimální časový interval, mezi průchody dvou částic, které lze rozlišit. Energetické rozlišení, určuje minimální interval energií dvou částic, které mohou být rozlišeny. Většina experimentů vyžaduje měřit energii částic. Nabité částice, pokud se zastaví v detektoru, odevzdají veškerou energii, která je přeměněná na proudový impuls. Energie rovnež může být určena z doletu částic v daném prostředí nebo pro energie s E > 100 MeV lze použít dráhových komor nebo měření trajektorie nabitých částic v magnetickém poli. Určování nebo měření energie nazýváme spetroskopií nebo spektrometrií. Pro spektrometrii gama záření je třeba použít některých elektromagnetických procesů, které probíhají při interakci gama kvant s prostředím a určit energii gama kvanta pomocí měření energií sekundárně vznikajících elektronů. Podobně jako u detektorů i u spektrometrů jsou důležité charakteristiky. Je to jejich energetické rozlišení a detekční účinnost nebo světelnost. Energetické rozlišení spektrometru lze definovat pomocí zdroje monoenergetických částic. Při měření těchto částic zjišťujeme rozdělení energie. Je-li energie částic E0 rozložena s po∆E . Pološířka ∆E udává lošířkou ∆E, pak je energetické rozlišení dáno vztahem ε = E0 možnou polohu další spektrální čáry, kterou lze s daným rozlišením od druhé čáry rozlišit. Energetické rozlišení se obvykle udává v procentech, pro velmi dobré přístroje dosahuje

77

KAPITOLA 10. DETEKTORY A SPEKTROMETRY 0,1 %. Detekční účinnost ξ je definována jako poměr zaregistrovaných signálů za jednotku času I I k počtu částic, které dopadnou za jednotku času do detektoru Id , neboli ξ = . Id

10.1

Plynem plněné detektory

V plynem plněných detektorech se využívá efektu ionizace nabitými částicemi v plynu. Máme-li kondenzátor na němž je napětí a mezi deskami je plyn, pozorujeme slabý proudový signál tzv. ionizační proud vyvolaný napětím. Umístíme-li do blízkosti radioaktivní zářič, pozorujeme zvýšení ionizačního proudu, neboť nabité ionizované částice jsou nuceny se pohybovat k deskám kondenzátoru. Budeme-li měnit napětí na deskách kondenzátoru a měřit ioniozační proud získáme charakteristiku daného obvodu. Zde se nachází několik výrazných oblastí viz obrázek 10.1.

Obrázek 10.1: Voltampérová charakteristika detektoru plněného plynem • V první oblasti platí Ohmův zákon, se zvyšujícím napětím úměrně roste proud. Druhá oblast se nazývá oblast nasyceného proudu, kde všechny vznikající ionty jsou odvedeny k elektrodám. • Ve třetí oblasti se objevuje ionizace nárazem. Elektrony vzniklé v primární ionizaci mají dostatečnou energii, aby dál ionizovaly. Tato oblast se dělí na oblast plné proporcionality IIIa, tj. úměrnosti mezi ionizací vyvolanou primární částicí a velikostí 78

10.2. Scintilační detektory ionizačního proudu I, a na oblast částečné proporcionality IIIb. Pro oblast okolo bodu G, což je Geigerův práh, je příslušné napětí již tak velké, že jakákoli primární částice vyvolá ionizační kaskádu a způsobí velký nárůst ionizačního proudu. Pro napětí nad Geigerovým prahem dochází k zapálení samostatného výboje v plynu. Ionizační komory pracují v oblasti II, v oblasti nasyceného proudu. Proudový impuls vyvolaný primární částicí je v tomto případě malý, proto se používají ionizační komory pouze pro detekci toku částic, než pro měření jednotlivých částic. Registrují dlouhodobě a trvale toky mikročástic na pracovištích s ionizujícím zářením. Ionizační komory jsou vhodné pro detekci těžkých nabitých částic a částic α. Druhým typem detektorů plněných plynem jsou proporcionální detektory. Tyto detektory pracují v oblasti IIIa, mají obvykle tvar válce, plášť je pokovený a vytváří katodu a uvnitř je tenká anoda viz obrázek 10.2. Proporcionální detektory se plní směsí argonu, methanu a dalších plynů. Pokud chceme detekovat tímto způsobem gama kvanta nebo neutrony, detekujeme elektrony uvolněné gama kvantem nebo zvolíme vhodnou náplň tak, aby netrony vyvolaly jadernou reakci, jejímž produktem jsou nabité částice.

Obrázek 10.2: Proporcionální detektor Třetí typ detektorů jsou Geiger–Müllerovy počítače nebo detektory, které pracují v blízkosti Geigerova prahu. Tvarem se podobají proporcionálním detektorům, ale mají napětí na anodě tak velké, že při vlétnutí primární částice do objemu detektoru dojde k výboji v plynu. Aby detektor mohl registrovat další částice, je třeba výboj přerušit. Proto se do náplně přidává organický plyn, který pohlcuje ultrafialové záření a snižuje pravděpodobnost dalšího uvolnění elektronů pomocí fotoefektu a tím umožňuje přerušit výboj v detektoru. Po výboji je však část molekul nevratně rozštěpena a proto jsou tyto detektory schopny detekovat jen omezený počet částic. Geiger–Müllerovy detektory mají životnost zachycení cca 1010 částic.

10.2

Scintilační detektory

Jedna z nejstarších metod detekce, kterou používal již Rutherford, je detekce pomocí scintilačních materiálů, které po dopadu nabité částice vysílají světelné záblesky tj. scintilace. 79

KAPITOLA 10. DETEKTORY A SPEKTROMETRY Soudobé scintilační detektory se skládají ze scintilátoru, světlovodu a fotonásobiče. Scintilátor je látka, která vysílá po excitaci nabitými částicemi záření ve viditelné nebo ultrafialové části spektra. Mohou to být krystalické látky, kapalné i plastické látky např. antracen nebo polystyren. Mezi scintilátor a fotonásobič je vložen světlovod, což je vhodně tvarovaná součást z průhledného materiálu, kterým je veden signál ze scintilátoru na fotokatodu fotonásobiče. Ve fotonásobiči se mění velmi slabé světelné signály na elektrické pulsy. Ve fotonásobiči je fotokatoda s nízkou výstupní prací pro fotoefekt. Citlivé scintilační detektory mohou zaregistrovat částice, které ztratí ve scintilátoru pouze 4 keV. K detekci gama záření se využívá elektromagnetických procesů popsaných v kapitole 9.2. a často se užívají scintilátory jako např. BGO (Bi4 Ge3 O12 ).

Obrázek 10.3: Spektrum gama záření získané scintilačním detektorem, C je Comptonova hrana, A je maximum úplného pohlcení, H je číslo kanálu a N je četnost signálů.

10.3

Polovodičové detektory

Podobně jako v ionizační komoře, může ionizace probíhat i v pevné látce. Tyto detektory pak mají lepší energetické a časové rozlišení a v pevné látce se zabrzdí i částice s větší energií. Ze všech pevných látek mají nejvhodnější vlastnosti (nízký šum, minimální rekombinace vzniklých iontů, velká pohyblivost nabitých částic) polovodičové monokrystaly křemík a germanium. Tyto polovodiče však nemají dostatečný měrný odpor tj. snížený šum při pokojové teplotě, proto se používá jejich chlazení kapalným dusíkem. Polovodiče zapojené v závěrném směru mají větší oblast bez nábojů tzv. aktivní oblast, která předsta80

10.4. Dráhové komory vuje citlivý objem detektoru. Oblast bez náboje lze zvětšovat přikládaným napětím nebo zlepšením čistoty materiálu a speciálními příměsemi. Nejčastěji jsou používány bariérové polovodičové detektory s p–n přechodem. Používá se křemík a na něj je nanesena zlatá folie. Detektory pracují při pokojové teplotě a jsou vhodné pro spektroskopii těžkých iontů nebo α částic. Dále jsou to detektory, které mají tloušťku citlivé vrstvy až 1 cm. Jsou to většinou germaniové detektory s příměsí lithia Ge(Li). Germaniový detektor může mít citlivý objem až 100 cm3 a je chlazen na teplotu kapalného dusíku 77 K.

10.4

Dráhové komory

Na rozdíl od výše uvedených detektorů dráhové komory mohou zaznamenat souřadnice místa, kudy částice prošla. V těchto detektorech nabitá částice svými ionizačními účinky mění stav náplně tak, že se vytvoří viditelné stopy drah nabitých částic. Do této kategorie patří mlžné komory, bublinové komory, jiskrové komory a jaderné emulze. Hlavní součástí mlžných komor je uzavřená komora naplněná plynem s příměsí nasycených par. Změníme-li podmínky tak, aby vznikly páry přesycené, pak dochází ke kondenzaci na iontech vytvořených nabitou částicí. Většinou se komory umísťují do magnetického pole, kde je vektor magnetické indukce kolmý na rovinu, v níž pozorujeme nebo fotografujeme dráhu částic. Dráhy částic jsou zakřivené a ze zakřivení v magnetickém poli určíme náboj a hybnost částic. Bublinové komory jsou naplněné kapalinou zahřátou těsně pod bod varu, při expanzi kapaliny vznikne přehřátá kapalina, kde ionizující částice vytváří bublinky. Tyto bublinky lze osvětlit a vyfotografovat a tím zachytit dráhu částic. Objemy těchto komor dosahují až 15 m3 . Umísťují se rovněž do magnetického pole. Rovněž lze určit hybnost a náboj částice. U dostatečně pomalých částic lze měřit jejich dolet. Jiskrové komory registrují jiskrové výboje způsobené ionizací plynu nabitou částicí procházející komorou. Výboj nastane mezi dvěma elektrodami, na kterých je vysoké napětí.

10.5

Registrace neutronů

V předchozích kapitolách jsme viděli, že při detekci nabitých částic a fotonů se využívá jejich elektromagnetické interakce s náplní detektoru. Neutron může sice interagovat elektromagneticky díky svému magnetickému momentu, ovšem to je interakce velmi slabá. Proto se pro registraci neutronů využívá silné interakce a to tak, aby jedním z produktů reakce byla nabitá částice. Účinnost registrace neutronů závisí na velikosti účinného průřezu reakce. Pokud chceme detekovat tzv. pomalé neutrony tj. s kinetickými energiemi do 0,3 eV, používají se reakce na lehkých jádrech např. 105 B(n, α)73 Li, 63 Li(n, α)31 H. Produkty 81

KAPITOLA 10. DETEKTORY A SPEKTROMETRY výše uvedených reakcí jsou také nabité částice α, které lze snadno detekovat. Energie vyletujících α částic je okolo 2 MeV pro tyto reakce, takže je lze detekovat např. polovodičovými detektory. K detekci pomalých neutronů lze rovněž použít štěpné reakce. Účinné průřezy pro štěpení 233 239 izotopů 235 92 U a 92 U nebo 94 Pu jsou poměrně velké pro neutrony s energií menší než 0,5 eV. Výhodou tohoto způsobu detekce je, že těžké produkty mají dostatečnou energii a jsou dobře detekovatelné. Pro registraci rychlých neutronů lze použít jaderné reakce zmíněné výše, s tím, že je třeba vzít v úvahu klesající účinný průřez s rostoucí energií. Rychlé neutrony lze detekovat také tzv. prahovými detektory, kde se využívá prahových reakcí při nichž vzniká radioaktivní jádro. Při rozpadu radioaktivního jádra jsou pak vyzářeny nabité částice, které jsou detekovány.

10.6

Detekce fotonů

Při detekci záření gama, tedy detekci fotonů, využíváme elektromagnetické interakce fotonů s prostředím. Energii fotonů lze určovat např. měřením lineárního součinitele zeslabení µ, který závisí na energii, tato závislost je však pro různé materiály různá. Pro spektrometrii záření gama se nejčastěji používají scintilační a polovodičové detektory. V těchto detektorech reaguje gama záření s prostředím a elektrony uvolněné z těchto procesů jsou detektorem registrovány. Při dopadu monoenergetického gama záření pozorujeme spektrum charakteristického tvaru, jehož jednotlivé částí odpovídají různým procesům. Na obrázku 10.2 vidíme především maximum úplného pohlcení, do něhož přispívají všechny případy, kdy bylo gama kvantum úplně pohlceno v objemu detektoru. Velikost amplitudy pulsu je úměrná energii pohlceného gama záření. Možné případy přispívající do maxima úplného pohlcení jsou: Fotoefekt, kdy elektron odnáší energii gama kvanta a atom se deexcituje vyzářením RTG záření a oba produkty elektron i RTG záření jsou v detektoru pohlceny. Comptonův rozptyl přispívá do maxima úplného pohlcení tehdy, když elektron a rozptýlený foton jsou ve spektrometru zcela pohlceny. Vytvoření páru elektron a pozitron prispívá do maxima tehdy, když se obě vzniklé částice zabrzdí v detektoru a anihilační záření z anihilační reakce e+ + e− → γ + γ je také zcela pohlceno v detektoru. Problémy • Záření jakého typu má největší pronikavost? • Jaké stínění byste navrhli pro různé typy záření (např. α, β částice, neutrony, γ kvanta)? 82

Literatura [1] Úlehla, Suk, Trka: Atomy, jádra, částice, Akademia, 1990. [2] Janča, Kapička, Štěrba, Trka: Obecná fyzika IV, SPN, 1989. [3] Handbook of Spectroscopy, Edited by G. Gauglitz, T. Vo–Dinh, Wiley–VCH Verlag, Weinheim, 2003. [4] Suk, Štěrba, Trka: Atomová a jaderná fyzika I, II, SPN, 1987. [5] Ch. Kittel, Úvod do fyziky pevných látek, Academia Praha, 1985 [6] Macháček: Encyklopedie fyziky, Mladá fronta, 1995. [7] Davydov: Kvantová mechanika, SNP Praha, 1976. [8] Feynman, Leighton, Sands: Feynmanove prednášky z fyziky 5, Alfa, Bratislava, 1989. [9] http://space.fjfi.cvut.cz/web/blazej/pevlas/pevnolas.ppt [10] http://omega.ujf.cas.cz/CFANR/pixe.html

Obrázky jsou zapůjčeny z knih [1], [4], [6].

83