1.
Transzformációk mátrixa
Lineáris transzformációk. Definíció T test. Az A : T n → T n függvény lineáris transzformáció, ha tetsz˝oleges v, w ∈ T n vektorra és λ skalárra teljesül, hogy A(v + w) = A(v) + A(w) és A(λv) = λA(v). Vagyis A összegtartó és skalárszoros-tartó. F˝opélda (HF ellen˝orizni) Minden olyan egybevágósági (s˝ot hasonlósági) transzformáció a síkon és a térben, amely az origót fixálja (vagyis A(0) = 0). • forgatás az origó körül a síkon; • tükrözés az origóra (azaz 180◦ -os forgatás); • tükrözés egy origón átmen˝o egyenesre (síkra); • forgatás a térben egy origón átmen˝o egyenes körül; • nyújtás az origóból.
Tükrözés egyenesre. Példa Legyen R az y = x egyenesre való tükrözés. y=x
6
R 1 2 0 1
1 0 R = 0 1 2 1
1 0
0 1 = 1 0
1 2 R = 2 1 -
A tükrözés képlete. Kérdés Legyen R az y = x egyenesre való tükrözés. R
x =? y
1 0 0 1 Láttuk: R és R . Ezért = = 0 1 1 0 0 x 0 x x , +R =R + R =R y 0 y y 0 hiszen R összegtartó. A skalárszoros-tartás miatt ez 1 0 1 0 R x +R y = xR + yR = 0 1 0 1 y 0 1 0 y = . =x +y = + x 1 0 x 0 Vektor képe általános transzformációnál. Kérdés Legyen A : T 2 → T 2 lineáris transzformáció. a c 1 0 x Ha A = = =? és A , akkor A b d 0 1 y x x 0 x 0 =A + =A +A , 0 y y 0 y hiszen A összegtartó. A skalárszoros-tartás miatt ez 0 1 0 1 = + yA = xA +A y A x 1 0 1 0 a c ax cy ax + cy =x +y = + = . b d bx dy bx + dy A
Tehát minden vektor képét ki tudjuk számolni, ha ismerjük a, b, c, d értékét. Lineáris transzformáció mátrixa. Láttuk Legyen A : T 2 → T 2 lineáris transzformáció. Ha x ax + cy 1 a 0 c . = A = és A = , akkor A y bx + dy 0 b 1 d Definíció A fenti A mátrixa [A] =
a b
c 0 1 . (Az oszlopok képei.) és d 1 0
2
Definíció a c x ax + cy = (mátrix és vektor szorzata). b d y bx + dy Következmény: Vektor képének kiszámítása: A(v) = [A]v. A forgatás képlete. Példa Az origó körüli α szög˝u forgatás mátrixa [F] =
cos α sin α
− sin α . cos α
A megfelel˝o derékszög˝u háromszögek lerajzolásával: HF. Komplex számokkal: ez a forgatás szorzás cos α + i sin α-val. 0 1 x ↔ i. ↔ 1 és felel meg: Az x + i y számnak az 1 0 y cos α A [F] els˝o oszlopa: 1(cos α + i sin α) ↔ . sin α − sin α A második: i(cos α + i sin α) = − sin α + i cos α ↔ . cos α
2.
Transzformációk kompozíciója
Példa kompozícióra. Kérdés Melyik transzformációt kapjuk, ha el˝oször tükrözünk az y = x egyenesre, majd forgatunk az origó körül 90◦ -kal? Ez a két transzformáció kompozíciója (egymás utánja). x y x . = 7→ R y x y cos 90◦ − sin 90◦ 0 −1 y Mivel [F] = = , ezért képe sin 90◦ cos 90◦ 1 0 x 0y + (−1)x −x 0 −1 y y = = = F . 1y + 0x y 1 0 x x Az eredmény az y-tengelyre való tükrözés (Házi Feladat). A kompozíció mátrixa. Definíció Ha A, B : T 2 → T 2 transzformációk, akkor kompozíciójuk (A ◦ B)(v) = A B(v) tetsz˝oleges v ∈ T n esetén. Összetett függvény: el˝oször B-t, utána A-t alkalmazzuk. Tétel [A] =
a b
′ c a , [B] = ′ b d
c′ d′
H⇒ [A ◦ B] =
3
aa ′ + cb′ ba ′ + db′
ac′ + cd ′ . bc′ + dd ′
Definíció A fenti sor végén szerepl˝o mátrixot a sorban szerepl˝o els˝o két mátrix szorzatának nevezzük. A sorrend számít! Tehát [A ◦ B] = [A][B]: kompozíció mátrixa a mátrixok szorzata. A kompozíció mátrixának kiszámítása. Tétel [A] =
a b
′ a c , [B] = ′ b d
c′ d′
H⇒ [A ◦ B] =
aa ′ + cb′ ba ′ + db′
ac′ + cd ′ . bc′ + dd ′
Bizonyítás ′ ′ aa + cb′ a a c a′ 1 = . =A = A B b′ ba ′ + db′ b d b′ 0 Ezért A ◦ B els˝o oszlopa tényleg az, ami a tételben szerepel. ′ ′ ′ c ac + cd ′ c a c 0 = . =A = A B bc′ + dd ′ b d d′ d′ 1 Ezért A ◦ B második oszlopa is megfelel˝o. 0 −1 0 1 −1 0 Példa: [F ◦ R] = [F][R] = = . 1 0 1 0 0 1
3.
Transzformációk összege és skalárszorosa
Pontonkénti muveletek. ˝ Emlékeztet˝o Polinomfüggvények összege: ( f + g)∗ (b) = f ∗ (b) + g ∗ (b). Analízisben függvények összege: sin + cos az a függvény, amely tetsz˝oleges x helyen a sin(x) + cos(x) értéket veszi föl. Ez a pontonkénti összeadás. Definíció Legyenek A, B : T n → T n lineáris transzformációk és λ ∈ T . Az A és B összege az az A + B : T n → T n , melyre (A + B)(v) = A(v) + B(v) tetsz˝oleges v ∈ T n esetén. Az A λ-szorosa az a λA : T n → T n , melyre (λA)(v) = λ A(v) tetsz˝oleges v ∈ T n esetén. Az összeg és skalárszoros lineáris. Tétel Legyenek A, B : T n → T n lineáris transzformációk és λ ∈ T . Ekkor A + B és λA is lineáris transzformáció. Azaz: (1) A + B összegtartó. (2) A + B skalárszoros-tartó. 4
(3) λA összegtartó. (4) λA skalárszoros-tartó. Megjegyzés: Hasonlóan A ◦ B is lineáris. Mintabizonyítás (3)-ra (λA)(u + v) = λ A(u + v) = λ A(u) + A(v) = = λ A(u) + λ A(v) = (λA)(u) + (λA)(v). A λA definíciója miatt Az A összegtartása miatt A skalárral szorzás tulajdonsága miatt A λA definíciója miatt
Az összeg és skalárszoros mátrixa. Tétel 2 2 Legyenek transzformációk és λ ∈ T . Tegyük föl, hogy A,B : T → T′ lineáris a c a c′ [A] = . Ekkor és [B] = ′ b d′ b d a + a ′ c + c′ λa λc [A + B] = és [λA] = . b + b′ d + d ′ λb λd Definíció ′ a c a + ′ b b d
c′ a + a′ = ′ d b + b′
c + c′ a és λ d + d′ b
c λa = d λb
λc . λd
Tehát [A + B] = [A] + [B]: összeg mátrixa a mátrixok összege, és [λA] = λ[A]: λ-szoros mátrixa a mátrix λ-szorosa. Az összeg és skalárszoros mátrixa: bizonyítás. Tétel 2 2 Legyenek transzformációk és λ ∈ T . Tegyük föl, hogy A,B : T → T′ lineáris a c′ a c és [B] = ′ . Ekkor [A] = b d′ b d a + a ′ c + c′ λa λc [A + B] = és [λA] = . λb λd b + b′ d + d ′ Bizonyítás ′ a + a′ a a 1 1 1 + ′ = . = +B =A (A + B) b + b′ b b 0 0 0 λa 1 1 a (λA) . =λ A =λ = λb 0 0 b A második oszlop mindkét esetben hasonlóan számolható ki.
5
