1. Target: mahasiswa undergraduate menjelang tingkat akhir atau mahasiswa graduate tanpa latar belakang fisika zat padat

Pengantar 1. Target: mahasiswa undergraduate menjelang tingkat akhir atau mahasiswa graduate tanpa latar belakang fisika zat padat. 2. Penjelasan Mata kuliah: tujuan perkuliahan ini adalah untuk memberikan pendahuluan fisika zat padat. Perkuliahan ini dibuat untuk memberi konsep dasar sekaligus tinjauan menyeluruh mengenai fisika zat padat. 3. Prasyarat perkuliahan: mekanika kuantum dasar. 4. Buku teks: Introduction to solid state physics, Charles Kittel, John Willey & Sons, Inc. 5. Pengajar: Agus Purwanto Ph.D, purwanto [email protected], http://purwanto.freeservers.com 6. Grading: PR 30 %, UTS 30 %, UAS 40 %

i

ii

Tabel 0.1: Minggu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Silabus Pendahuluan Fisika Zat Padat (diluar ekskursi dan ujian) Topik Subtopik Struktur Kristal Difraksi Ikatan dalam kristal Dinamika kristal vibrasi kisi sifat termal Elektron dalam zat padat model elektron bebas pengaruh potensial periodik struktur pita dan permukaan Fermi hantaran listrik pada logam Kristal semikonduktor elektron dan lubang sifat transport Magnetisme diamagnetisme paramagnetisme feromagnetisme antiferomagnetisme

Agus Purwanto, Ph. D

ii

January 17, 2006

Daftar Isi 1 Struktur Kristal 1.1 Susunan Atom Periodik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Vektor Translasi Kisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Basis dan Struktur Kristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Sel Kisi Primitif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Operasi Simetri Titik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Koordinat Hexagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Jenis Dasar Kisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Jenis Kisi 2-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Jenis Kisi 3-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Sistem Kristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Triklinik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Monoklinik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Ortorombik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Latihan 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Tetragonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.5 Kubus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.6 Trigonal dan Heksagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.7 Kesimpulan Mengenai Sistem Kristal . . . . . . . . . . . . . 1.5 Centering Kisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Pemusatan Badan / Body Centering (I) . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Pemusatan Muka / Face Centering (F) . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Pemusatan Satu-Muka (One-face centering / base centering). 1.5.4 Pemusatan Dua-Muka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.5 Pemusatan Khusus R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 14 Kisi Bravais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Triklinik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Monoklinik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3 Ortorombik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.4 Tetragonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.5 Kubus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 2 2 3 3 7 8 8 8 9 10 11 13 13 13 14 15 17 19 19 20 20 20 20 21 21 21 22 22 23

DAFTAR ISI

iv

1.6.6 Hexagonal, Trigonal (dan Rombohedral) 1.7 Sel Primitif dari 14 Kisi Bravais . . . . . . . . . 1.8 Sel Satuan Wigner-Seitz . . . . . . . . . . . . . 1.9 Sistem Indeks untuk Bidang Kristal . . . . . . . 1.10 Sifat berkaitan dengan bilangan rational . . . . . 1.10.1 Arah Kristalografi . . . . . . . . . . . . 1.10.2 Bidang Kristal . . . . . . . . . . . . . . 1.11 Struktur Kristal Sederhana . . . . . . . . . . . . 1.11.1 Struktur Sodium Chloride . . . . . . . . 1.11.2 Struktur Hexagonal Close-packed (hcp) . 1.11.3 Struktur Intan . . . . . . . . . . . . . . . 1.11.4 Struktur kubus zinc sulfide . . . . . . . . 2 Pendahuluan 2.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Sinar-X . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Neutron . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Hamburan oleh Pusat Penghambur Tunggal . . . 2.3 Difraksi dari Bahan Kristal . . . . . . . . . . . . 2.4 Sel Satuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Fungsi Periodik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Hubungan antara konstanta kisi . . . . . . . . . . 2.7 Kristal Tunggal vs. Polikristal . . . . . . . . . . 2.8 Struktur Magnet Sederhana . . . . . . . . . . . . 2.9 Konvolusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.1 Konvolusi yang melibatkan Fungsi Delta


iv

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

23 26 28 28 28 28 29 31 32 32 33 33

. . . . . . . . . . . .

35 35 35 35 36 37 38 39 40 44 44 46 46

January 17, 2006

Bab 1 Struktur Kristal Fisika zat padat banyak berkenaan dengan kristal dan elektron dalam kristal. Pemahaman mengenai fisika zat padat dimulai pada awal abad ke 20 setelah penemuan difraksi sinar-X oleh kristal dan sederet publikasi mengenai perhitungan sederhana dan prediksi yang sukses mengenai sifat kristal. Jika kristal ditumbuhkan dalam lingkungan yang konstan, blok yang identik akan berkembang secara teratur. Masing-masing blok tersebut merupakan atom atau sekelompok atom yang tersusun secara periodik dalam 3 dimensi. Hal ini sesuai dengan penemuan pada abad ke 18 mengenai bilangan indeks berupa bilangan bulat berkenaan dengan arah bidang kristal sebagaimana akan dibahas pada bab ini. Penemuan tersebut membuktikan bahwa kristal terdiri dari atom-atom yang tersusun secara periodik. Model atom periodik tersebut memungkinkan fisikawan berpikir lebih jauh mengenai sifat bahan kristal. Studi diperluas hingga mencakup bahan amorf (=nonkristalin=glass). Bidang yang lebih luas adalah fisika zat mampat dimana bahan cair juga dipelajari.

1.1 Susunan Atom Periodik Suatu kristal yang idela tersusun dari satuan struktur yang identik yang berulang tak-hingga. Pada kristal sederhana, satuan struktural tersebut berupa atom tunggal, seperti pada tembaga, perak, emas, besi, alumunium dan logam alkali. Pada kristal tidak sederhana, satuan struktural tersebut dapat terdiri dari banyak atom atau molekul. Struktur kristal dapa digambarkan melalui kisi dengan atom atau kelompok atom berada pada titik kisi tertentu. Kelompok atom tersebut di sebut sebagai basis, jika berulang dalam ruang membentuk struktur kristal.

1

1.1. SUSUNAN ATOM PERIODIK

2

1.1.1 Vektor Translasi Kisi Kisi didefinisikkan sebagai 3 vektor translasi dasar a1 , a2 dan a3 sedemikian sehingga susunan atom terlihat sama dalam segala hal ketika dilihat dari titik r ataupun dari titik r′ = r + u1 a1 + u2 a2 + u3 a3 ,

(1.1)

dengan u1 , u2 , u3 berupa bilangan bulat. Sekumpulan titik r′ sesuai dengan Pers. (1.1) mendefinisikan kisi. Kisi adalah susunan kelompok atom yang tersusun secara periodik dalam ruang. Kisi merupakan abstraksi matematis; struktur kristal tersusun ketika basis atom secara identik terletak pada titik kisi. Hubungan logisnya adalah: kisi + basis = struktur kristal.

(1.2)

Kisi dan vektor translasi a1 , a2 , a3 dikatakan primitif jika susunan atom yang memenuhi Pers. (1.1) menghasilkan volume yang terkecil. Kita biasa menggunakan vektor translasi primitif untuk mendefinisikan sumbu kristal. Namun demikian, sumbu kristal nonprimitif terkadang digunakan untuk memudahkan hubungan simetri kristal. Sumbu kristal a1 , a2 , a3 membentuk parallelepiped. Jika titik kisi hanya terletak di sudut parallelepiped, maka ia disebut sebagai parallelepiped primitif. Operasi translasi kisi didefinisikan sebagai pergeseran melalui vektor translasi: T = u1 a1 + u2 a2 + u3 a3 .

(1.3)

Dua titik kisi terhubung melalui vektor sesuai Pers. (1.3). Untuk menggambarkan struktur kristal, terdapat beberapa pertanyaan penting untuk dijawab: Apa kisinya ? Bagaimana pemilihan sumbu kristal a1 , a2 , a3 yang kita pilih ? Apa basisnya ? Lebih dari satu kisi selalu dimungkinkan untuk struktur tertentu, dan lebih dari satu set sumbu dapat digunakan untuk kisi tertentu. Basis ditentukan setelah pilihan-pilihan tersebut diambil. Semua (termasuk pola difraksi) konsisten asalkan Pers. (1.3) dipenuhi. Operasi simetri pada kristal membawa kristal tersebut ke dirinya sendiri. Hal ini mencakup pula operasi translasi kisi. Terdapat pula operasi rotasi dan refleksi, yang disebut sebagai operasi titik. Lebih lanjut, operasi simetri translasi dapat dikombinasikan dengan simetri titik. Buku teks kristalografi banyak membahas hal tersebut.

1.1.2 Basis dan Struktur Kristal Suatu basis atom terikat pada setiap titik kisi, dimana setiap basis adalah identik dalam komposisi, susunan dan arah. Jumlah atom dalam basis bisa saja satu, atau lebih dari satu. Posisi atom ke-j (di dalam basis) relatif terhadap titik kisinya adalah rj = xj a1 + yj a2 + zj a3 .

(1.4)

Kita selalu dapat memilih pusat koordinat sebagai titik kisi sehingga 0 ≤ xj , yj , zj ≤ 1.


2

January 17, 2006

1.2. OPERASI SIMETRI TITIK

3

1.1.3 Sel Kisi Primitif Parallelepiped yang didefinisikan dengan sumbu primitif a1 , a2 , a3 disebut sebagai sel primitif. Sebuah sel primitif adalah sel terkecil yang berulang secara periodik dalam 3 dimensi. Terdapat banyak cara untuk memilih sumbu primitif yang mendefinisikan sel primitif untuk setiap kisi. Banyak atom dalam seuatu sel primitif atau basis primitif selalu sama untuk setiap struktur kristal. Sel primitif selalu mengandung 1 titik kisi. Jika sel primitif adalah parallelepiped dengan titik kisi di setiap ujungnya (ada 8 ujung), maka jumlah total titik kisi dari sel tersebut adalah 8 × 18 = 1. Volume dari parallelepiped dengan sumbu a1 , a2 , a3 adalah Vc = |a1 • a2 × a3 |,

(1.5)

yang diperoleh dengan analisis vektor dasar. Basis berkenaan dengan sel primitif disebut sebagai basis primitif. Tidak ada basis yang mengandung atom kurang dari atom yang berada dalam basis primitif.

1.2 Operasi Simetri Titik Operasi simetri titik adalah operasi simetri terhadap suatu titik dalam ruang yang tidak bergerak selama operasi. Contohnya adalah rotasi dan cermin. Simetri translasi tidak termasuk disini karena translasi menyebabkan semua titik berpindah tempat. Kita juga ingin menyatakan simetri secara matematis. Kita ambil vektor a, b dan c yang diukur dari titik pusat yang sama, sedemikian sehingga a dan b tidak collinear sedangkan c tidak coplanar dengan bidang-ab. Catatan, ketiga vektor tersebut berfungsi sebagai sumbu acuan dan tidak harus saling tegak-lurus. Beberapa contoh hasil operasi simetri ditinjau dari operasi aktif dimana objek aktif (bergerak) dan operasi pasif dimana objek pasif (tidak bergerak) dapat dilihat pada Gambar 1.1. Ada dua cara untuk menyatakan efek dari operasi simetri: 1. operator aktif dimana operasi simetri memindahkan objek (vektor posisi) sedangkan sumbu acuannya tetap ditempatnya (lihat Gambar 1.1). 2. operator pasif dimana sumbu acuannya berpindah sedangkan objeknya tetap di tempat (lihat Gambar 1.1). Identitas Simetri terpenting adalah simetri yang dimiliki oleh semua benda: operasinya adalah operasi tidak melakukan apapun. Simetri operasi ini dilambangkan dengan 1 untuk notasi internasional dan E untuk notasi Schoenflies. Pernyataan matriksnya merupakan matriks satu atau matriks identitas.


3

January 17, 2006


4

HASIL OPERASI SIMETRI AKTIF

PASIF

b

Rotasi

a a

lipat-2

b

Rotasi

b

1 0 0 1 11 00 0 1 0 1 0 1 0a 1

lipat-4

b 1 0 0 1 0 1 1 0 11 00 0 1 0 1 a

b

Refleksi

’

b a

a

b

Inversi

’

b 00 11

a

a

Gambar 1.1: Contoh operasi simetri ditinjau dari operasi aktif dimana objek bergerak dan operasi pasif dimana objek tidak bergerak. Lingkaran dengan garis terputus menunjukkan posisi benda sebelum operasi aktif dilakukan.


4

January 17, 2006


5

Rotasi Operasi simetri rotasi sebesar 2π/α dengan α disebut sebagai order-rotasi diberi simbol α(Ca lpha) dalam notasi internasional(Schoenflies) [3]. Rotasi ini sering disebut sebagai rotasi murni atau proper.1 Pada tulisan ini hanya α = 1, 2, 3, 4, 6 yang akan dibahas. Menyatakan arah dari sumbu putar cukup diperlukan, karena rotasi dilakukan terhadap sumbu rotasi dengan arah tertentu. Karena sumbu rotasi merupakan garis dengan arah tertentu, kita dapat menyatakannya terhadap sumbu a, b dan c dengan vektor S = ua + vb + wc

(1.6)

dimana panjang vektor S diatur agar u, v dan w merupakan bilangan bulat. Konvensi kristalografi untuk menunjukkan arah adalah [uvw]. Operasi rotasi dinyatakan sebagai α[uvw] dalam notasi internasional atau Cα [uvw]. Salah satu cara untuk menyatakan operasi simetri adalah dengan gambar [3, 1, 2]. Lingkaran digunakan untuk mewakili atom atau kumpulan atom. Tanda +(−) digunakan untuk menyatakan bahwa objek nya berada di atas(bawah) bidang halaman. Inversi Operasi inversi sering pula disebut sebagai operasi inversi melalui suatu titik (lihat Gambar 1.2). Operasi ini lebih sulit dibandingkan dengan operasi rotasi karena sistem koordinatnya berubah dari sistem tangan kanan ke tangan kiri atau sebaliknya. Operasi ini megakibatkan titik dengan koordinat (x, y, z) dalam ruang menjadi titik dengan koordinat (−x, −y, −z). Sebagai catatan, dalam kristalografi, tanda minus biasa diletakkan di atas sehingga koordinat tersebut adalah (x, y, z). Secara matematis, operasi inversi tersebut dapat ditulis sebagai: {1(i)(x, y, z) = (x, y, z)}

(1.7)

Jika lingkaran digunakan untuk menggambarkan operasi simetri, perubahan chirality atau ”tangan” secara konvensi ditunjukkan dengan koma yang digambarkan dalam lingkaran tersebut. Tangan kanan dikatakan berhubungan secara enantiomorph dengan tangan kiri dan operasi inversi dikatakan sebagai operasi enantiomorphous. Akan kita lihat nanti bahwa bayangan cermin mempunyai sifat yang sama dengan sifat di atas sehingga sering dikatakan bahwa dua objek yang berhubungan secara enantiomorph merupakan bayangan cermin satu dengan lainnya. Dapat pula dikatakan bahwa yang satu adalah sistem tangan kanan sedangkan yang lainnya adalah sistem dengan tangan kiri. Tidak mungkin kedua sistem tersebut dihubungkan dengan simetri rotasi biasa. Sebagai catatan: jika kedua objek mempunyai sistem tangan yang sama, keduanya dikatakan saling kongruen. Tambahan, objek yang mempunyai simetri inversi di tengah (center) dikatakan bahwa objek itu centrosymmetric. 1

rotasi improper adalah rotasi yang diikuti dengan inversi atau refleksi.


5

January 17, 2006


6

+

(i)

+

+ +

+ +

+

+

+

+

+ (ii)

+ (iii)

(a) Rotasi (i) 2, (ii) 3, (iii) 6

+

,

-

(b) Inversi 1.

pandangan parallel tegak lurus +

,

+

-

,+

(c) Refleksi m=2.

-,

+

+

,-

(d) Rotasi-inversi 4

Gambar 1.2: Operasi simetri titik.


6

January 17, 2006


7

Pantulan terhadap bidang Operasi ini sering pula disebut sebagai operasi pantulan cermin (lihat Gambar 1.2) dan dilambangkan dengan m dalam notasi Internasional dan σ dalam notasi Schoenflies. Bidang pantul disebut sebagai bidang cermin. Misalkan suatu titik dengan koordinat (x, y, z) dipantulkan terhadap bidang cermin pada bidang x − z, operasi tersebut dapat ditulis sebagai {m[010]}(x, y, z) = (x, y, z)

(1.8)

Sebagai catatan, untuk menyatakan arah dari bidang cermin, digunakan simbol [uvw] yang memberikan arah dari suatu garis yang tegak lurus pada bidang cermin. Rotasi-inversi (rotasi improper) Operasi simetri ini merupakan operasi paduan, yaitu operasi yang merupakan perkalian dari dua operasi lainnya (lihat Gambar 1.2). Sistem Internasional [3] dengan sistem Schoenflies [5] menggunakan pendekatan yang berbeda. Dalam SI digunakan rotasi-inversi sedangkan dalam sistem Schoenflies digunakan rotasi-refleksi. Keduanya merupakan rotasi improper.

1.2.1 Koordinat Hexagonal simetri 6 3 (-x,-y,z)

A’’’’ (y-x,-x,z) simetri 3

A’’’ -x

2

(-y,x-y,z)

x-y -y

simetri 3 A’’’’’

b

x-y

A’’ (y,y-x,z) simetri 6

B’

x

5

(x-y,x,z)

B

simetri 6

A A’

(x,y,z) simetri 1

a Gambar 1.3: Posisi ekuivalen dalam sistem heksagonal.


7

January 17, 2006

1.3. JENIS DASAR KISI

8

Gambar 1.3 menunjukkan efek operasi 6m untuk m = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Sistem koordinat dikaitkan dengan sumbu-sumbu hexagonal. Gambar tersebut menunjukkan koordinat dari titiktitik yang dihasilkan dan bagaimana mereka diperoleh relatif terhadap sumbu hexagonal, a dan b yang membentuk sudut 1200 satu dengan lainnya. Dengan menggunakan gambar di atas, kita dapat pula melihat hubungan antara 3m dengan 6m . Jika kita mengoperasikan simetri 6 pada titik B di (x, y, z), kita akan mendapatkan titik B′ di (x − y, x, z) yang diperoleh dari:     1 −1 0 x    0 0 y  {6}(x, y, z) = 1 (1.9) 0 0 1 z

1.3 Jenis Dasar Kisi Kisi kristal dapat di petakan ke dirinya sendiri dengan translasi kisi T dan berbagai operasi simetri lain. Operasi simetri lain tersebut antara lain adalah operasi simetri rotasi (lihat Gambar 1.2) dengan sumbu melalui titik kisi. Besar sumbu rotasi adalah 2π, 2π/2, 2π/3, 2π/4, 2π/6 radian dan kelipatan bilangan bulatnya. Rotasi dengan besar sudut tersebut di atas, masingmasing di sebut sebagai rotasi lipat satu, dua, tiga, empat dan enam dan biasanya diberi simbol 1, 2, 3, 4, dan 6. Simetri rotasi lipat 5 tidak berlaku dalam kristalografi karena tidak semua bagian dalam ruang 3-D dapat ditutup oleh segi-lima (lihat Gambar 1.4). Grup titik kisi adalah sekumpulan operasi simetri yang bila diaplikasikan pada titik kisi akan memetakan kisi tersebut pada dirinya. Rotasi yang mungkin telah dibahas di atas. Dalam grup tersebut bisa terdapat simetri cermin m. Operasi simetri inversi terdiri dari operasi simetri rotasi lipat 2 diikuti dengan operasi simetri refleksi terhadap bidang yang tegak lurus sumbu rotasi; efeknya adalah mengganti r dengan −r.

1.3.1 Jenis Kisi 2-D Jumlah kisi yang mungkin adalah tak terbatas untuk 2 dimensi karena tidak ada batasan alamiah dari panjang vektor translasi kisi atau sudut di antaranya. Namun kisi khusus berjenis oblique invariant dalam rotasi 2π/3, 2π/4 atau 2π/6 atau dalam refleksi cermin. Kita harus memberi kondisi batas pada a1 dan a2 , jika kita ingin membangun kisi yang invariant dalam satu atau lebih operasi ini. Ada 4 jenis batasan yang berbeda dan masing-masingnya menghasilkan jenis kisi khusus. Jadi secara keseluruhan terdapat 5 jenis kisi yang berbeda dalam 2-D: kisi oblique dan 4 kisi khusus. Jenis kisi yang berbeda sering disebut sebagai kisi Bravais; kita katakan terdapat 5 kisi Bravais atau net dalam 2-D.

1.3.2 Jenis Kisi 3-D Grup simetri titik dalam 3-D membutuhkan 14 jenis kisi yang berbeda seperti tertera pada Tabel 1.1. Penjelasan mengenai timbulnya 14 jenis kisi tersebut dapat dilihat pada subbab 1.6


8

January 17, 2006

1.4. SISTEM KRISTAL

9

yang diawali dengan pembahasan pada subbab 1.4. Tabel 1.1: 14 jenis kisi dalam 3 dimensi jumlah kisi batasan dalam sel konvensional 1 a1 6= a2 6= a3 α 6= β 6= γ a1 6= a2 6= a3 Monoklinik 2(P,C) α = γ = 900 6= β Ortorombik 4(P,I,F,C) a1 6= a2 6= a3 α = β = γ = 900 Tetragonal 2(P,I) a1 = a2 6= a3 α = β = γ = 900 Kubus 3(P,I,F) a1 = a2 = a3 α = β = γ = 900 Trigonal 1 a1 = a2 = a3 α = β = γ < 1200 6= 900 Hexagonal 1 a1 = a2 6= a3 α = β = 900 ; γ = 1200 Sistem Triklinik

1.4 Sistem Kristal Sebelum menurunkan sistem kristal, perlu dipilih konvensi. Kita gunakan sistem koordinat tangan kanan dengan sumbu sel satuan a, b, dan c dengan sudut α, β dan γ. Perhatikan pemilihan sudutnya. Abjad untuk sudut dapat dianggap bersesuaian dengan abjad untuk sumbu dan kombinasi abjad antara sumbu dengan sudut adalah saling melengkapi. Misalnya, sudut diantara sumbu a dengan b adalah γ. Kita akan memulai penurunan sistem kristal dari operasi simetri terendah pada suatu sel satuan, dengan perkecualian sumbu putar tingkat-3 dan tingkat-6 menuju ke simetri tertinggi. Kita lakukan perkecualian tersebut karena komplikasinya, sehingga pembahasan untuk itu ditunda. Tujuh sistem kristal muncul karena aplikasi rotasi proper dan improper pada sumbu sel satuan atau vektor translasi dari kisi. Kita akan membahasnya secara matematis sederhana yang melibatkan matriks. Pertimbangkan operasi simetri R diaplikasikan pada vektor posisi umum r. Vektor posisi ini adalah vektor dari titik pusat dari suatu sel satuan. Titik pusat tersebut dipilih berimpit dengan titik kisi untuk mempermudah pembahasan. Vektor posisi tersebut dapat dinyatakan sebagai komponen sepanjang sumbu a, b dan c. Komponen-komponen tersebut biasa dinyatakan sebagai pecahan dari panjang sumbu sel satuan. Ini berarti bahwa titik dalam sel satuan dengan koordinat (x, y, z) terletak dengan jarak xa, yb, zc, dari titik pusat sel satuan. Koordinat pecahan tersebut dinamakan sebagai parameter posisi atom karena kita menggunakannya sebagai


9

January 17, 2006

1.4. SISTEM KRISTAL

10 A B C O D

Gambar 1.4: ∠ AOC=∠ COD = ∠ BOD = 1080 . Sisanya dari 3600 , yaitu 3600 − 1080 × 3 = 360 , adalah ∠ AOB. posisi atom dalam suatu struktur kristal. Vektor posisi r yang menghubungkan titik pusat ke titik (x, y, z) dapat ditulis sebagai: r = xa + yb + zc Sesudah mengoperasikan simetri R, titik baru pada (x′ , y ′, z ′ ) diperoleh :     ′   a11 a12 a13 x x  y ′  =  a21 a22 a23   y  a31 a32 a33 z z′

(1.10)

(1.11)

Koordinatnya merupakan pecahan karena titik kisi berada pada sel satuan. Titik baru tersebut adalah r′ = Rr = x′ a + y ′b + z ′ c; (1.12)

Karena kita mengambil R sebagai operasi simetri ketika membandingkan vektor komponen sepanjang sumbu sebelum dan sesudah operasi tersebut, kita memperoleh hubungan antara sumbu-sumbu sel satuan. Kita akan melihat bahwa operasi simetri pada kisi menimbulkan batasan-batasan tertentu pada geometri sel satuan yang merupakan hubungan antara panjang sumbu dengan sudut antar sumbu. Operasi rotasi pada sistem kristal adalah rotasi proper dan improper n dengan n = 1, 2, 3, 4, 6. Nilai n lain tidak dapat menutupi ruang dengan baik. Secara khusus untuk simetri rotasi lipat-5, keterbatasan geometri segi-lima untuk menutupi ruang diperlihatkan pada Gambar 1.4.

1.4.1 Triklinik Kasus ini sangat trivial sehingga simetri yang ada hanyalah 1 atau 1. Dengan menggunakan yang pertama, kita dapat menulis:   1 0 0 r′ = {1}r =  0 1 0  r = x′ a + y ′ b + z ′ c (1.13) 0 0 1 dimana


x′ =1x+0y+0z y ′ =0x+1y+0z z ′ =0x+0y+1z 10

(1.14)

January 17, 2006

1.4. SISTEM KRISTAL

11

atau: r′ = xa + yb + zc

(1.15)

Dalam kasus mudah ini, koordinat tidak berubah. Dengan cara yang sama, kita dapat mengoperasikan 1, sehingga: r′ = {1}r = −xa − yb − zc

(1.16)

Dalam kasus ini, semua tanda dibalik. Sebagai catatan, untuk kedua kasus di atas, koordinat x, y dan z tetap terikat dengan sumbu a, b dan c. Hal ini berarti tidak ada ketergantungan antar sumbu sehingga tidak ada batasan dalam geometri sel satuan. Oleh karenanya operasi simetri 1 dan 1 mendefinisikan sebuah sel satuan yang disebut triklinik dengan a 6= b 6= c

α 6= β 6= γ

(1.17)

Berikut ini adalah catatan penting. Tanda 6= berarti bahwa simetri tidak membutuhkan harga yang sama. Dalam eksperimen mungkin diperoleh bahwa sel satuan mempunyai sumbu-sumbu yang sama panjang dalam ketepatan eksperimental. Hal ini tidak berarti bahwa kristal tersebut mempunyai simetri tinggi. Dalam banyak kasus, simetri sebenarnya hanya jelas terlihat jika simetri dari susunan atomnya dalam sel satuan atau sifat fisis tertentu dipertimbangkan. Misalnya geometri sel satuan dari PbZrO3 , kristal tampak seperti tetragonal. Namun, susunan atim menunjukkan simetri yang jauh dari tetragonal. Terkadang, perubahan temperatur memungkinkan sel satuan terdistorsi sehingga simetri sebenarnya lebih jelas. Ingat bahwa simetri memberi keterbatasan pada sumbu dan sudutnya, dan bukan sebaliknya.

1.4.2 Monoklinik Dalam sistem kristal ini elemen simetri penting adalah rotasi tingkat-2 dan/atau cermin m. Misalkan sumbu rotasi dipilih sejajar dengan sumbu-c. Ini disebut first setting dan merupakan konvensi yang biasa digunakan oleh saintis zat padat.2 Sekarang kita perhatikan, keterbatasan yang muncul akibat operasi rotasi tersebut. Jelas bahwa utuk mendapatkan a menjadi −a karena rotasi, sumbu-a harus tegak lurus terhadap sumbu rotasi. Hal yang sama berlaku untuk sumbu b, sehingga b harus tegak lurus terhadap sumbu c namun tidak ada keterbasan terhadap sumbu-a. Operasi rotasinya secara matematis dapat ditulis sebagai: r′ = {2[001]} r = −xa − yb + zc

(1.18)

dan efek operasi m (dengan m tegak lurus c) adalah r′ = {m[001]} r = xa + yb − zc 2

(1.19)

Umumnya kristalografer menggunakan second setting dimana sumbu dipilih sejajar dengan b.


11

January 17, 2006

1.4. SISTEM KRISTAL

12

Perbedaan tanda dalam Pers. 1.18 antara komponen sepanjang sumbu c disatu pihak dan komponen pada arah a dan b dilain pihak menunjukkan hubungan tegak lurus sebagaimana ditunjukkan dengan perkalian skalar dari komponen-komponen tersebut sebelum dan sesudah transformasi. Sebelum transformasi, untuk sumbu a dan c kita mempunyai: xa • zc

(1.20)

x′ a • z ′ c = −xa • zc

(1.21)

Sesudah transformasi: dimana ruas kanan diperoleh dengan menggunakan Pers. 1.18 yang menunjukkan x′ = −x dan z ′ = z. Pers. (1.20) dan (1.21) adalah invariant (bentuknya sama) karena kristalnya tidak berubah sehingga: x z |a| |c| cos β = −x z |a| |c| cos β (1.22) sehingga cos β = − cos β

(1.23)

β = 900

(1.24)

atau β = 900 berarti a tegak lurus terhadap c. Dengan cara yang sama, ditemukan b tegak lurus terhadap c (α = 900 ). Untuk a dan b: x′ y ′ |a| |b| cos γ = −x y |a| |b| cos γ

(1.25)

yang jika Pers (1.18) digunakan, tidak ada kesimpulan yang dapat ditarik. Oleh karenanya γ tidak punya keterbatasan. Kenyataan bahwa kita tidak harus saling menukar besaran sumbu berarti bahwa tidak ada keterbatasan pada panjangnya. Oleh karenanya, untuk first setting dalam sistem monoklinik: a 6= b 6= c α = β = 900 γ 6= 900 (1.26)

Sebagai catatan, biasanya dipilih γ > 900 . Penggunaan Pers. (1.19) akan menghasilkan kesimpulan yang sama. Untuk second setting dimana sumbu rotasi sejajar dengan sumbu-b atau bidang cermin tegak lurus dengan sumbu-b, diperoleh: a 6= b 6= c

α = γ = 900

β 6= 900

(1.27)

Setting ini biasa digunakan kristalografer dan dipilih sebagai gambaran monoklinik yang paling sering digunakan.


12

January 17, 2006

1.4. SISTEM KRISTAL

13

1.4.3 Ortorombik Dalam sistem ini, kita tinjau efek simetri 2 atau 2 (analog dengan bidang cermin). Misalkan terdapat sumbu putar lipat 2 sepanjang sumbu a (atau [100]) dan sumbu b (atau [010]). Maka: {2[100]}r = xa − yb − zc

(1.28)

{2[010]}r = −xa + yb − zc

(1.29)

dan Dengan mengalikan kedua persamaan di atas, diperoleh: {2[100]}{2[010]}r = −xa − yb + zc

(1.30)

yang tidak lain merupakan rotasi lipat-2 dengan sumbu sejajar terhadap sumbu-c (atau [001]). Hal ini berarti bila kita mempunyai dua sumbu putar lipat-2, kita otomatis mempunyai yang ketiga. Lebih dari itu, pertukaran tanda menunjukkan hubungan tegak lurus. Persamaan (1.28) menunjukkan bahwa a tegak lurus terhadap b dan c. Persamaan (1.29) menunjukkan bahwa b tegak lurus terhadap a dan c. Hal ini adalah analog dengan pembahasan pada monoklinik. Oleh karenanya, ketiga sumbu yang dihasilkan adalah saling tegak lurus. Karena koordinat tidak saling bertukar, maka tidak ada pembatasan dalam hal panjang sumbu. Kesimpulannya adalah sumbu lipat-2 menghasilkan sistem kristal yang disebut ortorombik dengan a 6= b 6= c

α = β = γ = 900

(1.31)

LAT IHAN 1.1 Lakukan hal di atas dengan bidang cermin.

1.4.4 Tetragonal Dalam kasus ini, kita tinjau pembatasan yang timbul akibat operasi rotasi lipat-4 atau 4. Dengan penalaran yang sama dengan sistem monoklinik, didapat bahwa jika dipilih sumbu rotasi sejajar dengan sumbu-c (pilihan konvensional), a dan b harus tegak lurus terhadap c. Operasi lipat-4 juga berarti bahwa (+a) pindah ke (+b), (+b) pindah ke (-a), (-a) pindah ke (-b), (-b) pindah ke (+a). Secara matematis, hal ini dapat ditulis sebagai: r′ = {4[001]} r = −ya + xb + zc

(1.32)

r′ = {43 [001]} r = ya − xb + zc

(1.33)

Demikian pula: Sekali lagi, tanda yang berlawanan menunjukkan bahaw a, b dan c adalah saling tegak lurus. Perhatikan bahwa sekarang ada saling pertukaran antara x dan y yang berarti bahwa a dan b


13

January 17, 2006

1.4. SISTEM KRISTAL

14

harus mempunyai panjang yang sama. Oleh karenanya, simetri 4 atau 4 menghasilkan sistem kristal baru yang disebut tetragonal dengan a = b 6= c

α = β = γ = 900

(1.34)

Tentu saja c bisa lebih besar atau kecil daripada a = b.

1.4.5 Kubus Sistem ini merupakan sistem dengan simetri tertinggi. Kita harus berhati-hati dalam mendefinisikan sistem ini. Simetri merupakan hal penting untuk mendefinisikan sistem kristal. Simetri menentukan pemilihan sumbu dan tidak sebaliknya. Apakah elemen simetri terpenting dalam sistem kubus ? Mungkin mengherankan, namun simetri tersebut bukanlah sumbu lipat-4 yang saling tegak lurus. Simetri terpenting tersebut adalah empat sumbu lipat-3 yang berhubungan dengan diagonal badan, < 111 >, dari sel satuan kubus.3 Dalam bab berikutnya akan dibahas bahwa kubus mungkin saja tidak mempunyai sumbu lipat-4 dalam simetrinya. Dapat dibuktikan dengan teori grup atau trigonometri bola, bahwa jika kristal mengandung lebih dari satu sumbu lipat-3, maka kristal tersebut harus mengandung keempat sumbu lipat-3 sekaligus, dengan saling membentuk sudut 1090 28′ . Sekarang kita akan membuktikan bahwa empat sumbu lipat-3 akan menghasilkan sel satuan kubus. Rotasi lipat-3 sejajar dengan [111] dioperasikan pada vektor r menghasilkan: {3[111]} r = za + xb + yc

(1.35)

{32 [111]} r = ya + zb + xc

(1.36)

dan Karena komponen telah saling bertukar secara bebas, mereka haruslah sama panjang. Rotasi lipat-3 sejajar dengan [111], menghasilkan: {3[111]} r = ya − zb − xc

(1.37)

{32 [111]} r = −za + xb − yc

(1.38)

dan Sebagai tambahan dari sama panjangnya sumbu-sumbu, kita melihat bahwa tandanya berpermutasi yang menandakan bahwa semua sumbunya saling tegak lurus. Maka pilihan kita dari empat sumbu lipat-3 memberikan sistem kristal baru yang dinamakan sistem kristal kubus dengan a = b = c α = β = γ = 900 (1.39) 3 kurung angular melambangkan kumpulan arah dengan simetri yang ekuivalen. Dalam hal ini, < 111 > berarti kumpulan [111], [111], [111], [111], [111], [111], [111], dan [111].


14

January 17, 2006

1.4. SISTEM KRISTAL

15

1.4.6 Trigonal dan Heksagonal Kita telah sengaja menunda pembahasan mengenai sistem ini karena keduanya mengandung permasalahan khusus yang membuatnya berbeda degnan sistem kristal lain. Berbagai hal yang membingungkan muncul dalam literatur; diharapkan pembahasan berikut akan membantu memperjelas permasalahan. Kita mulai dengan sistem heksagonal. Sistem kristal ini dapat didefinisikan dengan simetri 6 atau 6. Perhatikan bahwa kita menemukan kesulitan yang konseptual karena 6 adalah ekuivalen dengan rotasi improper lipat-3 dari tipe Schoenflies S53 , atau proper rotasi lipat-3 dengan refleksi tegak lurus (3/m dalam notasi Internasional). Ini cukup membingungkan karena heksagonal dapat dijelaskan dengan sumbu lipat-6 dan lipat-3. Untuk heksagonal, sumbu-a dengan b membentuk sudut 1200 . Operasi simetri 6 menghasilkan:   1 −1 0 0 0  r = x′ a + y ′b + z ′ c r′ = {6[001]} r =  1 (1.40) 0 0 1 dimana:

x′ = 1x − 1y + 0z y ′ = 1x + 0y + 0z z ′ = 0x + 0y + 1z

(1.41)

{6[001]} r = x(a + b) − ya + zc

(1.42)

r′′ = {62 [001]} r = xb + y(−a) − b + zc

(1.43)

sehingga: Dengan cara yang sama diperoleh:

dan seterusnya. −a−b

−a

−b

b

a+b

a Gambar 1.5: Sumbu-sumbu dalam sistem heksagonal. Adanya saling tukar koordinat x dan y, relatif terhadap sumbu a dan b, menunjukkan bahwa a dan b harus mempunyai panjang yang sama. Lebih lanjut, akan diperlihatkan bahwa persamaan ini konsisten dengan sumbu a dan b membentuk sudut 1200. Perkalian skalar dari


15

January 17, 2006

1.4. SISTEM KRISTAL

16

komponen sepanjang sumbu a dan b sebelum transformasi dapat dihubungkan dengan perkalian sesudah transformasi. Untuk {6[001]}r: xa • yb = x(a + b) • (−ya)

(1.44)

x y |a| |b| cos γ = x y [−|a| |b| cos γ − |a|2 ]

(1.45)

Maka: dan karena |a| = |b|, hal tersebut menghasilkan: cos γ = −1/2

(1.46)

Maka sumbu-a dan b saling membentuk sudut 1200 . Dengan cara yang sama, kita dapat membuktikan bahwa c adalah tegak lurus terhadap a dan b. Kesimpulannya adalah bahwa simetri lipat-6 menghasilkan: a = b 6= c α = β = 900 γ = 1200 (1.47) Perlu dicatat bahwa selain sumbu-a dan b, terdapat arah lain, −a − b yang ekuivalen dalam besaran dan 1200 dari a dan b. Kita dapat memilihnya sebagai sebuah sumbu, sehingga terdapat empat sumbu yang mungkin dalam sistem ini. Keempat sumbu tersebut biasa digunakan dalam analisa morfologi kristal. Namun demikian kita hanya akan menggunakan notasi dengan 3 sumbu. Catatan lain adalah ada buku yang menggambarkan bahwa sel satuan kisi heksagonal adalah prisma heksagonal. Ini adalah salah. Sel satuan primitif heksagonal berbentuk parallelepiped. Kita mendefinisikan sistem kristal trigonal sebagai ditentukan oleh operasi simetri tunggal 3 atau 3. Catat lagi kesulitan konseptual dengan simetri 3. Kini, beberapa penulis memperlakukan sistem trigonal sebagai kasus khusus dari sistem heksagonal karena keduanya mempunyai hubungan yang sama antara sumbu-sumbu sel satuannya. Permasalahannya adalah sebagai berikut: terdapat dua cara untuk mendefinisikan sistem kristal. Yang pertama adalah menggunakan simetri dari kristal (sebagaimana kita gunakan) dan yang kedua adalah dengan menggunakan simetri dari kisi. Dalam kasus terakhir ini, kita mempunyai kisi heksagonal (diberi lambang P), dengan simetri lipat-6 sehingga muncul sistem kristal heksagonal. Sistem lain dalam skema ini adalah sistem kristal rombohedral (diberi lambang R) dimana terdapat simetri lipat-3 tanpa simetri lipat-6. Pemilihan sumbu koordinatnya dapat dilihat pada Gambar 1.6. Dalam pendekatan ini, tidak ada sistem trigonal, walaupun jumlah total sistem kristal tetap tujuh. Walaupun ada keuntungan dengan menggunakan sistem ini, kita akan menggunakan sistem Tabel Internasional dimana kita mempunyai sistem heksagonal dan trigonal yang terpisah, dengan sistem rombohedral sebagai kasus khusus dari sistem trigonal. Sekarang kita akan membahas kasus khusus tersebut dengan menjelaskan sel satuan rombohedral. Kondisi sumbu dan sudut adalah a=b=c


α=β=γ 16

(1.48) January 17, 2006

1.4. SISTEM KRISTAL

17 E

b

c

(a)

D

F F

E

D

G B

A

b

A C

C

G B

a

(b) a

(c) Gambar 1.6: Sumbu-sumbu dalam sistem rombohedral dimana simetri 3 atau 3 membuat sudut yang sama antara a, b dan c. Untuk menurunkan sistem kristal rombohedral, kita mulai dengan kisi heksagonal lalu melakukan center dengan menambahkan atom pada posisi (2/3, 1/3, 1/3) dan (1/3, 2/3, 2/3). Titik-titik tersebut ditambahkan sehingga total hasil kumpulan titik (titik kisi heksagonal original plus titik baru tersebut) mempunyai simetri trigonal dan tidak lagi mempunyai simetri heksagonal. Centering dalam sistem kristal akan dibahas secara lengkap dalam subbab 1.5 (dimulai pada halaman 19), sehingga kita akan membahas detailnya nanti. Namun demikian, perlu dicatat bahwa sel satuan rombohedral adalah primitif dan konsisten dengan sistem kristal trigonal namun tidak dengan sistem kristal heksagonal karena rombohedral tidak mempunyai simetri 6 atau 6.

1.4.7 Kesimpulan Mengenai Sistem Kristal Panjang sumbu dan sudut antar sumbu untuk tujuh sistem kristal ditentukan oleh kondisi simetri. Hasilnya dilampirkan berikut ini. Daripada menggunakan tanda 6= seperti sebelumnya, lebih baik menekankan hanya parameter yang mempunyai keterbatasan saja. Dalam subbab 1.5 (dimulai pada halaman 19) dan 1.6 (dimulai pada halaman 21) akan ditunjukkan bahwa hanya ada 14 kisi yang berbeda untuk memenuhi seluruh ruang. Kisi ini disebut sebagai 14 kisi ruang atau lebih sering disebut sebagai 14 kisi Bravais [1, 2]. Sebagaimana dibahas pada subbab 1.4 (dimulai pada halaman 9), terdapat 7 sistem kristal. Mungkin terpikirkan bahwa dengan mengkombinasikan 7 sistem kristal dengan ide kisi primitif diperoleh total 7 kisi bravais yang berbeda (satu untuk setiap sistem kristal). Namun demikian, kisi trigonal dan heksagonal adalah ekuivalen, sehingga hanya terdapat 6 kisi bravais yang dibentuk dengan cara demikian. Kisi-kisi tersebut merupakan sel satuan primitif dan diberi label P.


17

January 17, 2006

1.4. SISTEM KRISTAL

18

Tabel 1.2: Tujuh Sistem Kristal Simetri Penentu

Sistem Kristal Kondisi

1 atau 1

Triklinik

tidak ada

2 atau 2

Monoklinik

α = β = 900 (1stsetting) α = γ = 900 (2ndsetting)

tiga sumbu lipat-2 atau 2

Ortorombik

α=β=γ

4 atau 4

Tetragonal

a=b α = β = γ = 900

empat sumbu lipat-3 atau 3

Kubus

a=b=c α = β = γ = 900

6 atau 6

Heksagonal

a=b α = β = 900 ; γ = 1200

3 atau 3

Trigonal

sama seperti heksagonal (a = b = c; α = β = γ)


18

January 17, 2006

1.5. CENTERING KISI

19

Delapan kisi Bravais lainnya diperoleh dengan mengambil 6 kisi-P dan mempertimbangkan apa yang terjadi jika titik kisi lainnya ditambahkan pada tempat-tempat tertentu4 . Pertanyaan pertama yang muncul adalah, sesudah centering, apakah susunan yang baru masih merupakan kisi ? Pertanyaan kedua adalah apakah ia akan membentuk kisi baru ? Hal ini menghasilkan 8 kisi centered dimana 7 dengan nama yang diberikan (body-centered, face-centered dan oneface-centered) dan sebuah simbol baru (I, F, dan A, B, atau C). Kisi baru kedelapan adalah kisi heksagonal centered yang dapat dianggap sebagai kisi rombohedral primitif sesudah meredefinisi sumbu acuan. Akan ditunjukkan bahwa satu sistem kristal dapat mempunyai semua kisi ruang (P, I, F, dan C) sementara beberapa sistem kristal hanya dapat mempunyai kisi-P. Untuk setiap sistem kristal, jelas bahwa kisi I, F, atau C mempunyai sel satuan yang mengandung lebih dari satu titik kisi karena berbagai titik kisi centering. Sebagaimana dibahas pada bab terdahulu, sel satuan dengan lebih dari satu titik kisi merupakan sel satuan multiply-primitive.

1.5 Centering Kisi Sebagaimana dikemukakan terdahulu, pemberian sumbu acuan dihubungkan dengan simetri rotasi dari sistem kristal akan memberikan kisi-P atau primitif. Untuk kisi-kisi tersebut, kita ingin menambahkan titik lain sedemikian sehingga kondisi kisinya masih dipertahankan. Pada saat yang sama, penambahan tersebut jangan sampai merubah sistem kristal. Ini adalah dua kondisi yang penting jika kita ingin membentuk kisi Bravais baru. Sebagai contoh, jika kita mulai dengan kisi primitif kubus dan menambahkan titik kisi lain sedemikian sehingga kita masih mempunyai kisi, kita juga harus memastikan bahwa kisi baru ini masih mempunyai simetri kubus. Kita membahas penambahan titik kisi secara umum pada bagian ini dan hasil khusus untuk masing-masing sistem kristal pada bagian lain. Karena kondisi kisi harus dipertahankan jika titik baru ini ditambahkan, titik harus ditambahkan pada posisi dengan simetri tinggi dari kisi-P. Jenis posisi ini adalah: titik tunggal pada pusat badan dari setiap sel satuan; sebuah titik pada pusat dari permukaan dari sel satuan; sebuah titik pada pusat dari satu muka dari sel satuan; dan centering khusu pada sistem trigonal yang memberi sistem rombohedral. Kita akan membahas masing-masing centering secara terpisah.

1.5.1 Pemusatan Badan / Body Centering (I) Untuk jenis pemusatan ini, titik tambahan harus ditempatkan pada akhir dari vektor (a/2 + b/2 + c/2). Hasil kisinya diberi simbol I (berasal dari bahasa Jerman Innenzentrierung). Perhatikan bahwa sel satuan ini mengandung dua titik kisi, satu pada titik pusat (0,0,0) dan satu pada pusat badan (1/2,1/2,1/2). Titik kisi lain adalah milik dari sel satuan sebelahnya. Alternat4

Proses penambahan tersebut dinamakan centering.


19

January 17, 2006

1.5. CENTERING KISI

20

ifnya, kita dapat mengatakan 1/8 dari titik kisi pada setiap 8 sudut dari sel satuan dan satu titik kisi berada pada posisi pusat badan.

1.5.2 Pemusatan Muka / Face Centering (F) Untuk jenis pemusatan ini, tiga titik baru ditambahkan pada sel satuan primitif. Mereka diletakkan pada pusat dari setiap muka pada setial sel satuan arau pada posisi di titik akhir dari vektor (a/2 + b/2), (a/2 + c/2), dan (b/2 + c/2). Kisi yang diperoleh diberi lambang F. Sel satuan konvensionalnya mengandung 4 titik kisi pada (0,0,0), (1/2, 1/2, 0), (1/2, 0, 1/2), dan (0, 1/2, 1/2). Alternatifnya, kita dapat mengatakan bahwa sel satuan ini mengandung 1/8 atom pada setiap titik kisi di setiap 8 sudut dan 1/2 dari titik kisi pada setiap 6 muka.

1.5.3 Pemusatan Satu-Muka (One-face centering / base centering). Dalam pemusatan ini, hanya satu muka yang dipusatkan. Jika pemusatan dilakukan pada bidang-ab (pada a/2 + b/2), kisi yang dihasilkan diberi lambang C. Demikian pula, kisi diberi lambang A jika pemusatana dilakukan pada bidang-bc. Dalam setiap kasus, terdapat dua titik kisi per sel satuan. Ringkasnya: untuk pemusatan A: (0,0,0) dan (0,1/2,1/2) untuk pemusatan B: (0,0,0) dan (1/2,0,1/2) untuk pemusatan C: (0,0,0) dan (1/2,1/2,0)

1.5.4 Pemusatan Dua-Muka Pemusatan dengan dua-muka yang independen tidak akan pernah membentuk kisi, karena lingkungan untuk semua titik tidak sama.

1.5.5 Pemusatan Khusus R Kita telah membahas pada bab sebelumnya bahwa sel satuan trigonal dapat dipusatkan sedemikian sehingga membentuk sel rombohedral. Ada dua posisi pemusatan rombohedral, pada ±(2/3, 1/3, 1/3) dan ±(1/3, 2/3, 1/3). Kisi yang dihasilkan diberi simbol R. Kisi rombohedral cukup membingungkan. Bagian dari kebingungan tersebut muncul dari kisi rombohedral yang dapat diacu sebagai sumbu rombohedral sehingga menghasilkan sel satuan rombohedral dengan satu titik kisi, atau sebagai sumbu heksagonal dengan sel satuan yang mirip heksagonal dan mempunyai tiga titik kisi per sel. Pada kisi rombohedral pemusatan badan atau muka dapat dilakukan. Namun demikian, kisi yang dihasilkan tidak merupakan kisi yang baru karena kisi-R masih dapat dibentuk, dengan sudut yang berbeda untuk sumbu-sumbunya dan dengan hanya satu titik kisi per sel.


20

January 17, 2006

1.6. 14 KISI BRAVAIS

21

1.6 14 Kisi Bravais Untuk membahas 14 kisi Bravais, kita akan mempertimbangkan 7 sistem kristal dan melihat kisi ruang yang unik yang dapat dibentuk untuk setiap kasus. Sebagaimana pada bab terdahulu, kita akan memulai dengan simetri terendah, triklinik dan secara bertahap menuju ke simetri tertinggi. Seperti sebelumnya, kita akan menunda pembahasan mengenai sistem trigonal dan heksagonal.

1.6.1 Triklinik Dalam sistem ini, tidak terdapat pembatasan pada panjang atau arah dari sumbu sel satuan. Oleh karenanya kita selalu dapat melakukan pemusatan dan kisi yang dihasilkannya akan selalu unik. Namun demikian, tidak ada yang baru dari kisi baru tersebut. Sel primitif yang lebih kecil dapat ditentukan dengan panjang dan arah sumbu yang sembarang. Oleh karenanya, untuk sistem kristal triklinik, hanya terdapat satu kisi Bravais, yaitu primitif atau kisi-P.

1.6.2 Monoklinik Pada paragraf ini kita menggunakan 1st setting yang mengambil sumbu lipat-2 unik sebagai sumbu-c. Jika kita melakukan C-centering (bidang-ab), tidak ada kisi baru yang terbentuk (lihat Gambar 1.7). Kisi yang terbentuk masih dapat digambarkan sebagai kisi-P dengan nilai a

00 1111 11 11 00 00 11 0000 11 0 1111 00 11 b 00 11 00 00 110000 11 00 0000 1111 0000 1111 11 00 00 11 11 a00 00 11 00 11 Gambar 1.7: Kisi monoklinik C-Centered diproyeksikan pada bidang a − b dengan atom-atom berada pada posisi (0, 0, 0) dan (1/2, 1/2, 0), dan kisinya digambarkan dengan garis terputus. Sel satuan dengan garis tidak-putus dan diarsir menunjukkan monoklinik kisi-P dengan parameter kisi yang berbeda dengan parameter kisi-C. dan γ yang berbeda namun masih merupakan monoklinik dimana c tegak lurus terhadap a dan b dengan γ dan semua panjang sumbunya tidak saling berhubungan. Maka untuk sistem kristal monoklinik, P ≡ C. Namun demikian, kisi baru didapatkan untuk pusat muka B. Hal ini adalah kaerna tidak mungkin mempertahankan kondisi dasar monoklinik dan tetap menggambarkannya sebagai kisi-P. Kita tahu bahwa kisi masih mempunyai simetri lipat-2. Kisi dengan pusat muka B disebut sebagai kisi-B. Dengan cara yang analog, bidang bc dapat dipusatkan sehingga memperoleh


21

January 17, 2006


22

kisi-A. Dapat dibuktikan bahwa dengan pemilihan sumbu-a dan b, monoklinik kisi-F dan I dapat digambarkan sebagai kisi-B (B ≡ F ≡ I ≡ A). Oleh karena itu, dalam monoklinik 1st setting, hanya terdapat dua kisi Bravais, P dan B. 2ndsetting, yang lebih disukai oleh kristalografer, menggunakan sumbu lipat-2 unik sebagai sumbu-b. Dalam kasus ini, pembahasan di atas masih berlaku namun dengan peruabahan sumbu. Oleh karenanya, untuk setting ini, dua kisi Bravais-nya adalah kisi-P dan C dengan C ≡ F ≡ I ≡ A.

1.6.3 Ortorombik Kita dapat menganggap bahwa kisi ortorombik primitif muncul dari kisi monoklinik primitif dengan menambahakn batasan bahwa sudut ketiga harus 900 . Maka semua vektor translasi sel satuan adalah 900 satu dengan lainnya namun dengan panjang yang saling tidak berhubungan. Dalam sel ortorombik, setiap muka dapat dipusatkan, namun jika kita mencoba untuk membuat sel satuan primitif darinya, dengan cara yang sama seperti sel monoklinik C-centered, kita akan mendapatkan sumbu yang tidak ortogonal. Karenanya, kita dapat memperoleh kisi C-centered yang dapat digambarkan sebagai kisi-A atau B dengan mengubah sumbu. Dalam sistem kristal ini, kisi-F dan I berbeda dari kisi-P atau C. Oleh karenanya, untuk sistem kristal ortorombik, terdapat 4 kisi Bravais unik, P, I, F dan C. Sekalilagi, pusat muka-C, A dan B adalah identik namun dengan mempertukarkan sumbu.

1.6.4 Tetragonal Kita telah mengetahui bahwa secara umum kisi tidak akan diperoleh jika dua muka, muka-A dan B dipusatkan (centered). Lebih lanjut, kondisi tetragonal dengan simetri lipat-4 tidak akan terpenuhi jika satu dari dua muka dipusatkan. Jadi, untuk pusat muka tunggal, hanya pusat muka-C saja yang harus dipertimbangkan. Pemusatan ini memang menghasilkan kisi namun masih saja sama dengan kisi-P yang diputar 450 dengan sumbu-c. Oleh karenanya, dalam sistem tetragonal, P ≡ C. Karena sel primitif merupakan sel yang lebih kecil, sel-P biasa dipilih. Bagaimana dengan pusat badan ? Sebagaimana pada kisi ortorombik, pusat badan dari kisi tetragonal masih memberi kisi. Lingkungan dari setiap titik masih identik, dengan setiap titik mempunyai 8 tetangga terdekat dengan jarak dan arah yang sama. Simetri lipat-4 masih terpenuhi. Oleh karenanya, kisi-I merupakan kisi baru dalam sistem kristal tetragonal. Pemusatan muka (Face-centering) juga memberikan kisi dalam sistem kristal tetragonal. Namun, seperti kisi-P yang dapat diperoleh dari kisi-C dengan memutar sumbu tetragonal 450 , kisi I dapat diperoleh dari kisi-F. Oleh karenanya F ≡ I dalam sistem kristal tetragonal dan karena sel I kecil dibandingkan dengan F, sel-I lebih sering digunakan. Kesimpulan dalam sistem tetragonal adalah bahwa hanya terdapat dua kisi Bravais yang berbeda, yaitu kisi-P dan kisi-I. Sebagai catatan, C ≡ P dan F ≡ I.


22

January 17, 2006


23

1.6.5 Kubus Untuk pusat badan, setiap titik dikelilingi oleh 8 tetangga terdekat, semuanya dengan posisi relatif yang sama, dan empat sumbu lipat-3. Maka kristal kubus dapat membentuk kisi-I yang sering disebut sebagai kisi bcc (body-centered cubic). Untuk pusat muka, setiap titik kisi dikelilingi oleh 12 tetangga terdekat. Lebih lanjut, 4 sumbu lipat-3 masih dimiliki. Kisi-F ini sering dilambangkan sebagai kisi f cc (face-centered cubic). Kubus tidak dapat memiliki kisi pusat dasar karena pemusatan hanya satu muka akan merusak empat sumbu lipat-3. Kesimpulannya adalah bahwa untuk sistem kristal kubus, kisi Bravaisnya adalah kisi P, I dan F.

1.6.6 Hexagonal, Trigonal (dan Rombohedral) (a)

(b)

γ

(c)

b

a

Gambar 1.8: Berbagai aspek heksagonal dan trigonal. Dalam Gambar 1.8, kita gambar 4 sel satuan primitif. Kita lakukan centering seperti pada sistem kristal lain. Pertama, kita pertimbangkan titik pada pusat badan untuk semua sel primitif tersebut [pada posisi (a/2 + b/2)]. Kisi hexagonal tidak terbentuk karena simetri 6 atau 6 tidak berlaku. Bahkan sistem kristal adalah ortorombik. Kisi hexagonal juga tidak terbentuk jika dilakukan centering pada (a/2 + b/2) + c/2). Pusat muka juga tidak membentuk kisi hexagonal. Kisi hexagonal akan tetap terpenuhi jika dilakukan centering pada posisi (1/3, 2/3, 0) dan (2/3, 1/3, 0). Namun demikian, kisi tersebut masih primitif dengan panjang dan arah yang berbeda dengan sel awal. Dilain pihak, dengan melakukan centering pada posisi (1/3, 2/3, 2/3) dan (2/3, 1/3, 1/3) yang keduanya dapat ditulis ±(1/3, 2/3, 2/3) kita memperoleh kisi baru. Kisi tersebut mempunyai simetri 3 dan tidak lagi mempunyai simetri 6 atau 6. Sebagaimana dibahas sebelumnya, sekarang kita dapat mendefinisikan sel baru dengan bentuk rombohedral dan kisi primitif yang terbentuk disebut sebagai kisi rombohedral. Dilain pihak kita masih dapat menganggapnya sebagai hexagonal dengan 3 titik kisi per sel satuan. Oleh karenanya kita dapat mengambil sel satuan primitif yang mempunyai a = b = c dan α = β = γ dengan sumbu lipat-3 yang membentuk sudut yang sama terhadap ketiga sumbu, atau kita dapat mengambil sumbu lipat3 sebagai sumbu utama c. Yang disebut terakhir adalah sel satuan rombohedral dengan sumbu hexagonal dengan a = b, α = β = 900 , γ = 1200 . Simbol R digunakan untuk kisi rombohedral, tidak tergantung sumbu acuan heksagonal atau rombohedral.


23

January 17, 2006


24

Perlu dicatat hal lain yang juga menimbulkan kebingungan: kita melakukan centering dari kisi heksagonal untuk menghasilkan kisi baru dengan simetri lipat-3. Kisi demikian dapat disebut sebagai trigonal. Kisi rombohedral yang terbentuk dapat dianggap sebagai sistem trigonal. Namun demikian, jika didefinisikan dengan sel satuan awal, kita masih mengatakannya sebagai sumbu acuan heksagonal dan bukan trigonal. Alasannya adalah untuk kisi primitif, tidak ada perbedaan antara heksagonal dan trigonal; perbedaan muncul jika centering dilakukan. Walaupun sel satuan rombohedral mempunyai keuntungan karena hanya mengandung satu titik kisi, lebih mudah mempertimbangkan sel satuan hexagonal karena koordinat heksagonal lebih mudah divisualisasi. Sumbu rombohedral dapat diarahkan relatif terhadap sumbu heksagonal dengan 2 cara. Daripada melakukan centering pada ±(2/3, 1/3, 1/3), kita dapat mengambil ±(1/3, 2/3, 1/3). Rombohedron yang terbentuk adalah terputar 1800 terhadap yang pertama. Setting yang pertama disebut obverse sedangkan yang kedua disebut reverse. Setting pertama sering digunakan, dan pembahasan berikut menggunakan yang pertama. Ada gunanya menulis hubungan antara sistem koordinat rombohedral dengan heksagonal. Subscript r menunjukkan rombohedral sedangkan h untuk heksagonal. Untuk mengubah dari sumbu heksagonal ke rombohedral:       ar 2/3 1/3 1/3 ah  br  =  −2/3 1/3 1/3   bh  (1.49) cr −1/3 −2/3 1/3 ch Sehingga: ar = (2/3)ah + (1/3)bh + (1/3)ch

(1.50)

Dengan mengambil perkalian skalar dengan dirinya sendiri, kita menemukan: ar • ar = a2r = (4/9)a2h + (1/9)b2h + (1/9)c2h + (4/9) ah bh cos 1200

(1.51)

yang dapat disederhanakan menjadi: ar = (1/3)(3a2h + c2h )1/2 = (ah /3)(3 + c2h /a2h )1/2

(1.52)

Sudut rombohedral dapat diperoleh dengan cara yang sama. Dengan mengambil perkalian skalar antara ar dan br , kita memperoleh: ar • br = [(2/3)ah + (1/3)bh + (1/3ch )] • [−(1/3)ah + (1/3)bh + (1/3ch )] (1.53) = −(2/9)a2h + (1/9)b2h + (1/9)c2h + (1/9)ah bh cos 1200 Akan tetapi: Sehingga:


ar • br = a2r cos γr

(1.54)

cos αr = cos βr = cos γr (1/3)(ch /ah )2 − (1/2) = (1/3)(ch /ah )2 + 1

(1.55)

24

January 17, 2006


25

Untuk konversi dari sumbu rombohedral ke heksagonal, kita mempunyai:       ah 1 −1 0 ar  bh  =  0 1 −1   br  ch 1 1 1 cr

(1.56)

Transformasi ini merupakan inverse dari matriks terdahulu, dan menghasilkan: 3[1 − (4/3) sin2 (αr /2)] ch = ah 2 sin(αr /2) ah = 2 ar sin(αr /2)

(1.57) (1.58)

Sebagai catatan, jika kita ingin mentransfer koordinat dari satu orientasi kelainnya, matriks transformasinya merupakan inverse transpose dari matriks awalnya. Hal ini berarti jika matriks A mengkonversi sumbu sel satuan dari orientasi 1 ke orientasi 2, sedangkan matriks B mengkonversi koordinat dari orientasi 1 ke orientasi 2, maka B = (A−1 )T . dimana superskrip T menunjukkan transpose. Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut. Matriks B mengkonversi koordinat (x0 , y0 , z0 ) ke (xn , yn , zn ):     xn x0  yn  = B  y0  (1.59) zn z0 dan matriks A mengkonversi sumbu sel satuan a0 , b0 , c0 menjadi an , bn , cn     an a0  bn  = A  b0  cn c0

(1.60)

Vektor x0 a0 + y0 b0 + z0 c0 harus invariant dalam transformasi (operasi pasif) dari sumbu sel satuan, xn an + yn bn + zn cn = x0 a0 + y0 b0 + z0 c0 (1.61) atau

an bn cn

sehingga:



   xn a0  yn  = a0 b0 c0  b0  zn c0   x n a0 b0 c0 B −1  yn  = zn

an bn cn

= (B −1 )T

a0 b0 c0

Dengan membandingkan bentuk Pers. (1.63) dengan Pers. (1.60) diperoleh: T B −1


25

(1.62)

(1.63)

(1.64) January 17, 2006

1.7. SEL PRIMITIF DARI 14 KISI BRAVAIS

26

Berdasarkan pembahasan di atas, untuk mentransformasi koordinat heksagonal menjadi koordinat rombohedral, kita gunakan :      xr 1 0 1 xh  yr  =  −1 1 1   yh  (1.65) zr 0 −1 1 zh dan konversi dengan arah sebaliknya:      xh 2/3 −1/3 −1/3 xr  yh  =  1/3 1/3 −2/3   yr  zh 1/3 1/3 1/3 zr

(1.66)

1.7 Sel Primitif dari 14 Kisi Bravais Untuk kisi Bravais I, F, atau C terdapat masing-masing titik kisi 2, 4 dan 2. Untuk setiap kisi di atas, sel primitif yang mengandung satu titik kisi dapat dibentuk. Secara umum, setiap sel satuan dengan pemusatan (centering) selalu dapat dibentuk sel satuan primitifnya. Akan kita lihat bahwa sel primitif itu sendiri (jika terisolasi dari kisinya) tidak menunjukkan simetri penuh dari sistem tertentu. Namun demikian, ia tetap merupakan sel satuan, karena translasi paralel terhadap kisi primitif sebesar vektor translasinya akan memenuhi ruang dan menghasilkan kisi original. Contoh-contoh akan memperjelas hal tersebut. Gambar 1.9 menunjukkan sel primitif yang dibentuk dari suatu (a) kisi-F, (b) kisi-I dan (c) kisi-C yang masing-masing mengandung hanya satu titik kisi. Untuk Gambar 1.9(a), vektor translasi dasar dari sel primitif dinyatakan dalam vektor translasi dari kisi Bravais F konvesional: a1 = (a + c)/2 a2 = (a + b)/2 a3 = (b + c)/2

(1.67)

Hal yang sama dilakukan untuk kisi-I pada Gambar 1.9 sehingga diperoleh hubungan: a1 = (a + b − c)/2 a2 = (−a + b + c)/2 a3 = (a − b + c)/2

(1.68)

sedangkan untuk kisi-C pada Gambar 1.9(c): a1 = (a − b)/2 a2 = (a + b)/2 a3 = c

(1.69)

Sel primitif pada Gambar 1.9(a) (dari kisi konvensional kubus) terlihat berbentuk rombohedral. Hal ini berarti bahwa pada sel tersebut terdapat satu sumbu rotasi lipat-3 dan tidak


26

January 17, 2006

1.7. SEL PRIMITIF DARI 14 KISI BRAVAIS

27 c

c

a1

a2 a3

a3 b b a2

a

a

(a) Kisi-F

(b) Kisi-I

a1

a3 c

b a2

a1 a

(c) Kisi-C

Gambar 1.9: Sel primitif konvensional kisi-F, I dan C. memperlihatkan simetri penuh seperti yang diharapkan dari kisi-F kubus. Dengan kalimat yang lebih sederhana, kisi primitif tidak memiliki simetri penuh seperti sel konvensionalnya. Yang penting bagi kisi primitif adalah kisi tersebut dapat menutupi ruang 3-D (tanpa tumpang tindih) dengan translasi yang berulang. Namun dari segi visual, lebih mudah untuk mempertimbangkan struktur kristal yang memiliki simetri penuh sehingga sel satuan konvensional dari kisi Bravais lebih sering digunakan. Sebagai catatan, sel primitif untuk kisi-F dan kisi-I adalah rombohedral dengan sudut rombohedral masing-masing α = 600 dan 1090 28′ . Penting untuk dicatat bahwa fisikawan zat padat dan kimiawan sering lebih menyukai bekerja dalam sel satuan primitif, walaupun hal ini berarti bekerja dalam sel dengan simetri yang lebih rendah. Hal ini adalah karena sel primitif mengandung satu titik kisi per sel-satuan yang merupakan sel terkecil yang mempunyai invarian translasi penuh dari Hamiltonian. Untuk problem perhitungan seperti evaluasi mode normal dari vibrasi atau keadaan elektronik dalam teori pita (band theory), bekerja dalam sel primitif akan memberikan hasil jumlah keadaan (number of states) dengan proses yang lebih sederhana. Jika sel konvensional digunakan untuk permasalah tersebut, proses centering harus diperhatikan dan hasil jumlah mode atau keadaan harus dibagi dengan jumlah titik kisi dalam sel. Catatan tambahan, pemilihan sel primitif tidaklah unik. Namun sel primitif seperti ditunjukkan pada Gambar 1.9 cukup sering digunakan oleh kebanyakan ilmuwan.


27

January 17, 2006

1.8. SEL SATUAN WIGNER-SEITZ

28

1.8 Sel Satuan Wigner-Seitz Terkadang, sel satuan tertentu dipilih untuk menggambarkan aspek tertentu dari struktur kristal. Misalnya, kemungkinan terdapat perubahan struktur pada temperatur tertentu (transisi fasa) dari struktur sederhana pada temperatur tinggi ke struktur yang lebih rumit pada temperatur rendah. Sel satuan yang dipilih pada struktur sederhana bisa relatif rumit (mengandung banyak titik kisi di centering pada berbagai posisi) yang sengaja dipilih untuk menggambarkan hubungan dengan strukturnya pada temperatur rendah. Disamping pilihan sel satuan di atas, masih ada sel satuan primitif lain yang sering digunakan untuk teori pita electronik. Sel tersebut dikenal sebagai sel Wigner-Seitz (sering pula disebut sebagai sel proximity, domain Dirichlet atau sel Voronoi). Sel ini diperoleh dengan cara: 1. tentukan titik pusat dengan memilih titik kisi sembarang, 2. buat vektor ke semua titik kisi tetangga, 3. susun bidang yang tegak lurus terhadap garis vektor tersebut dan berada ditengah-tengah vektor tersebut, 4. sel Wigner-Seitz adalah sel dengan volume terkecil disekitar titik pusat yang dibatasi oleh bidang-bidang tersebut. Untuk setiap kisi Bravais, paling tidak terdapat satu sel Wigner-Seitz [4].

1.9 Sistem Indeks untuk Bidang Kristal Arah kristal ditentukan dengan 3 titik tak kolinear pada bidang. Jika masing-masing titik terletak pada sumbu kristal yang berbeda, bidang dapat dinyatakan dengan koordinat titik-titik tersebut dalam konstata kisi a1 , a2 , a3 . Namun akan lebih berguna untuk analisis struktur untuk menyatakan arah sebuah bidang dengan indeks yang ditentukan berdasarkan aturan berikut:

1.10 Sifat berkaitan dengan bilangan rational Karena titik kisi dapat selalu ditentukan oleh bilangan rational, sifat kisi berhubungan dengannya dikatakan rational. Arah dan bidang yang memenuhi hal tersebut adalah arah dan bidang kristalografi.

1.10.1 Arah Kristalografi Karena kristal adalah anisotropik, diperlukan cara sederhana untuk menyatakan arah dan bidang kristalografi yang pada akhirnya akan berguna untuk membahas sifat kristal tersebut.


28

January 17, 2006

1.10. SIFAT BERKAITAN DENGAN BILANGAN RATIONAL

29

z 2 3

y

1

x

Dua titik kisi mendefinisikan arah kristalografi. Misalkan kita telah memilih suatu sel satuan primitif. Dua vektor Qu,v,w dan Qnu,nv,nw dengan u, v, w bilangan bulat merupakan dua vektor yang berbeda, namun berarah sama. Arah tersebut dinyatakan sebagai [u v w]. Jika sel bukan merupakan sel yang primitif, u, v, w dan n merupakan bilangan rational. Oleh karenanya Q1/2,3/2,−1/3 dan Q5/2,15/2,−5/3 mendefinisikan arah yang sama. Indeks dari Q1/2,3/2,−1/3 dapat difaktorkan untuk memperoleh penyebut yang sama sehingga: Q1/2,3/2,−1/3 = Q3/6,9/6,−2/6 → [3 9 − 2] = [3 9 2] yang dibaca sebagai ”tiga sembilan minus dua”.

1.10.2 Bidang Kristal Teorema Geometri Bidang Berikut ini adalah dua teorema mengenai geometri bidang yang relevan dengan bidang dalam kristal 1. Teorema: Jika P0 (x0 , y0 , z0 ) adalah suatu titik pada bidang dan Nha, b, ci adalah vektor normal terhadap bidang tersebut, maka persamaan bidangnya adalah: a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0

(1.70)

Bukti: Misalkan P (x, y, x) merupakan sembarang titik pada suatu bidang dan V(P0 P ) adalah vektor: V(P0 P ) = hx − x0 , y − y0 , z − z0 i (1.71) Sesuai dengan definisi ortogonalitas antara dua vektor, maka: V(P0 P ) • N = 0


29

(1.72) January 17, 2006

1.10. SIFAT BERKAITAN DENGAN BILANGAN RATIONAL

30

Substitusi N = ha, b, ci dan Pers. (1.71) pada Pers. (1.72) menghasilkan Pers. (1.70), yaitu: a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0 (1.73) 2. Teorema: Jika a, b dan c tidak satupun berharga nol, maka grafik persamaan: ax + by + cz + d = 0

(1.74)

adalah berbentuk bidang dan ha, b, ci adalah vektor normal terhadap bidang tersebut.

Bukti: Misalkan b 6= 0, maka titik (0, −d/b, 0) terletak pada bidang dengan Pers. (1.74) karena Pers. (1.70) menghasilkan d a(x − 0) + b(y + ) + c(z − 0) = 0 b

(1.75)

sehingga Pers. 1.74 terpenuhi. Prosedur serupa berlaku jika a 6= 0 atau c 6= 0. Pers. (1.70) dan Pers. (1.74) disebut sebagai persamaan Catersian untuk bidang. Pers. (1.70) analog dengan bentuk persamaan garis 2-D. Pers. (1.74) adalah persamaan tingkat satu umum untuk tiga variabel dan juga disebut sebagai persamaan garis (namun untuk 3-D). Suatu bidang dapat dibentuk dari : 1. tiga titik non-kolinear 2. sebuah garis dan sebuah titik yang tidak terletak pada garis tersebut 3. dua garis yang saling bersinggungan 4. dua garis paralel Untuk menggambar bidang dari persamaannya, proses biasa dimulai dari penentuan titik-titik yang memotong masing-masing sumbu. Setelah itu, ketiga titik tersebut dihubungkan sehingga membentuk bagian dari bidang yang dimaksud. Misalkan kita hendak men-sketsa bidang dengan persamaan: 2x + 4y + 3z = 8

(1.76)

Dengan mensubstitusi nol untuk y dan z, diperoleh x = 4. Dengan cara serupa, diperoleh perpotongan terhadap sumbu y dan z, masing-masing y = 2 dan z = 38 . Setelah ketiga titik tersebut diplot dalam sistem koordinat, ketiganya dihubungkan dengan garis sehingga bagian dari bidang yang dimaksud dapat di sketsa.


30

January 17, 2006

1.11. STRUKTUR KRISTAL SEDERHANA

31

Kaitan Indeks Miller dengan Bidang Kristal Proses difraksi yang digunakan dalam kristalografi sangat tergantung pada bidang kristal yang memenuhi hukum Bragg. Dalam kristalografi, indeks Miller h, k, l sering digunakan untuk mengindeks bidang. Dalam sel satuan kristal, persamaan untuk itu dapat ditulis sebagai: hx + ky + lz = 1

(1.77)

Sketsa bidang tersebut dapat dimulai dengan menentukan titik perpotongan bidang tersebut dengan ketiga sumbu Cartesian. Perpotongan di sumbu x, y dan z masing-masing adalah x = 1 , y = k1 dan z = 1l . h Bidang Sekeluarga Bidang dengan keluarga yang sama akan mempunyai arah normal (tegak lurus) yang sama. Misalkan terdapat bidang dengan persamaan: z x y + + =1 9 6 15

(1.78)

Persamaan tersebut dapat pula ditulis sebagai 10x + 15y + 6z = 90

(1.79)

Bidang yang sama dapat pula diperoleh jika ruas kanan dari Pers. (1.79) diganti menjadi faktor kelipatan terkecil dari 10, 15 dan 6, yaitu 30: 10x + 15y + 6z = 30

(1.80)

Pers. (1.80) dapat pula ditulis sebagai x y z + + =1 3 2 5

(1.81)

Oleh karenanya, dapat disimpulkan bahwa bidang kristal yang sekeluarga dapat ditentukan melalui persamaan bidang. Dalam hal ini, bidang (9 6, 15) sekeluarga dengan bidang (3 2 5) 1 1 1 dan ( 10 ). 15 6

1.11 Struktur Kristal Sederhana Kita bahas struktur kristal sederhana untuk tujuan umum: struktur sodium chloride, cesium chloride, hexagonal close-packed, intan dan zinc sulfide kubus.


31

January 17, 2006


32

1.11.1 Struktur Sodium Chloride Sodium chloride, NaCl, mempunyai kisi FCC. Basisnya terdiri dari 1 atom Na dan 1 atom Cl yang terpisah dengan jarak 12 diagonal ruang sel kubus. Terdapat 4 satuan NaCl pada masingmasing sel dengan atom Cl pada posisi (0, 0, 0); ( 12 , 21 , 0); ( 12 , 0, 12 ); (0, 21 , 12 ); dan atom Na pada posisi ( 12 , 12 , 21 ); (0, 0, 21 ); (0, 12 , 0); ( 21 , 0, 0). Masing-masing atom mempunyai 6 atom terdekat dengan jenis yang berlawanan. Kristal yang tergolong mempunyai struktur serupa dengan NaCl adalah: ˚ ˚ Kristal a(A) Kristal a(A) LiH 4,08 AgBr 5,77 MgO 4,20 PbS 5,92 MnO 4,43 KCl 6,29 NaCl 5,63 KBr 6,59

1.11.2 Struktur Hexagonal Close-packed (hcp)

0

b

a

Gambar 1.10: Lapisan bola yang tersusun secara close-packed. Lapisan pertama dan kedua masing-masing ditandai dengan lingkaran hitam kecil dan ∇ hitam. Lapisan ketiga dapat berupa lapisan serupa dengan lapisan pertama (hexagonal close-packed) atau lapisan yang ditandai dengan tanda △ hitam (face-centered cubic). Sel satuan (primitif) hexagonal ditunjukkan dengan |a| = |b|. Dalam sel satuan hexagonal close-packed, atomnya berada pada (0,0,0) dan ( 23 , 31 , 21 ). Terdapat banyak cara untuk mengatur bola identik dalam susunan teratur yang memaksimalkan banyak atom (lihat Gambar 1.10). Contohnya adalah FCC dan HCP. Fraksi volume total yang diisi bola atom adalah 0,74 untuk keduanya. Bola disusun sebagai lapisan closest-packed tunggal A dengan menemoatkan masing-masing bola saling bersentuhan dengan 6 bola lainnya. Lapisan ini bisa merupakan bidang dasar struktur HCP atau bidang (1 1 1) struktur FCC. Lapisan kedua, yaitu lapisan B, diperoleh dengan menempatkan bola pada lapisan B bersinggungan dengan 3 bola dilapisan A (lihat Gambar 1.10). Lapisan ketiga, yaitu lapisan C, dapat ditambahkan dengan 2 cara. Kita peroleh struktur FCC jika bola pada lapisan C ditumpukkan di atas lubang lapisan A yang tidak diisi


32

January 17, 2006


33

oleh bola di lapisan B. Kita peroleh struktur HCP jika lapisan C sama dengan lapisan A, artinya bola pada lapisan ketiga diletakkan di atas bola di lapisan pertama. Struktur HCP mempunyai sel primitif dalam kisi heksagonal dengan 2 atom sebagai basisnya. Sel primitif FCC mempunyai basis satu atom (lihat Gambar 1.9). Perbandingan c/a untuk HCP adalah (8/3)1/2 = 1, 633. Biasanya kristal dianggap HCP jika perbandingan c/a sedikit berbeda dengan nilai teoritis ini. Jumlah atom terdekat untuk struktur Tabel 1.3: Perbandingan c/a untuk beberapa kristal dalam struktur HCP Kristal c/a Kristal c/a Kristal c/a He 1,633 Zn 1,861 Zr 1,594 1,886 Gd 1,592 Be 1,581 Cd Mg 1,623 Co 1,622 Lu 1,586 Ti 1,586 Y 1,570 HCP dan FCC adalah 12. Jika energi ikat (atau energi bebas) tergantung hanya pada ikatan tetangga terdekat peratom, maka energi struktur FCC dan HCP adalah sama.

1.11.3 Struktur Intan Kisi intan adalah FCC. Basis primitifnya adalah 2 atom identik di (0, 0, 0) dan ( 14 , 41 , 41 ). Karenanya sel konvensional kubusnya mengandung 8 atom. Tidak ada sel primitif intan yang hanya mengandung 1 atom. Masing-masing atom mengandung 4 tetangga terdekat dan 12 tetangga berikutnya. Struktur intan relatif kosong: bola atom mengisi 0.34 bagian volume sel satuan, hanya merupakan 46 % faktor isi dari FCC atau HCP. Struktur intan adalah contoh dari ikatan kovalen berarah yang ditemukan pada kolom IV dalam tabel periodik. Carbon, silikon, germanium dan tin dapat mengkristal pada struktur intan masing-masing dengan konstanta kisi a = 3, 56; 5, 43; 5, 65; dan 6, 46; dengan a adalah sisi kubus konvensional.

1.11.4 Struktur kubus zinc sulfide Struktur intan dapat dilihat sebagai 2 struktur FCC yang saling tergeser seperempat diagonal ruang. Struktur kubus zinc sulfide (zinc blende) diperoleh dengan menempatkan atom Zn pada satu FCC dan S pada FCC lainnya. Sel konvensionalnya adalah kubus. Koordinat atom Zn adalah (0, 0, 0), (0, 12 , 21 ), ( 12 , 0, 12 ) dan ( 21 , 21 , 0); koordinat atom S adalah ( 14 , 41 , 14 ), ( 41 , 43 , 43 ), ( 34 , 41 , 43 ) dan ( 34 , 43 , 41 ). Kisinya adalah FCC. Ada 4 molekul ZnS per sel konvensional. Di sekitar setiap atom terdapat 4 atom berlawanan berjarak sama terletak di ujung tetrahedron reguler. Struktur intan memungkinkan operasi inversi di tengah garis yang menghubungkan atom terdekat. Kubus ZnS tidak mempunyai simetri inversi. Contoh struktur kubus ZnS dapat dilihat pada Table 1.4


33

January 17, 2006


34

Tabel 1.4: Contoh struktur kubus ZnS ˚ ˚ Kristal a(A) Kristal a(A) CuF 4,26 ZnSe 5,65 SiC 4,35 GaAs 5,65 CuCl 5,41 AlAs 5,66 ZnS 5,41 CdS 5,82 AlP 5,45 InSb 6,46 GaP 5,45 AgI 6,47


34

January 17, 2006

Bab 2 Pendahuluan 2.1 Latar Belakang Bagaimana kita dapat menentukan posisi relatif dari atom dalam cuplikan padat atau cair ? Dengan cara tertentu, kita perlu melihat ke dalam bahan dengan kaca pembesar yang sesuai. Namun melihat dengan cahaya tampak tidak akan cukup. Pertama, kita hanya dapat melihat benda yang transparan, dan kedua, tidak ada mikroskop yang memungkinkan kita melihat atom secara individual. Pengamatan dengan cahaya tampak terbatas pada orde mikrometer (10−6 m), yang sama dengan 1000 kali lebih panjang dibandingkan dengan jarak antar atom (sekitar 10−10 m).

2.1.1 Sinar-X Sinar-X mempunyai panjang gelombang lebih pendek dibandingkan dengan panjang gelombang dari cahaya tampak, sehingga kita dapat menggunakannya untuk mengamati posisi atom. Untuk kebanyakan bahan kristal, teknik ini cukup berguna. Sinar-X didifraksikan oleh bahan dan posisi atom relatif dapat ditentukan dari pola difraksi. Namun demikian, tidak semua atom dapat dengan mudah terlihat oleh sinar-X: atom-atom ringan pada kulit manusia tidak menghamburkan sinar-X dan demikian pula amalgam penambal gigi. Meskipun hal ini merupakan hal yang biasa bagi dokter gigi, hal ini cukup memalukan bagi ilmuwan. Sinar-X dihamburkan oleh elektron disekitar inti atom. Akibatnya, atom berat dengan banyak elektron (seperti merkuri) menghamburkan sinar-X lebih efisien dibandingkan dengan atom ringan (seperti oksigen atau hidrogen). Oleh karenanya sinar-X menembus langsung dengan atenuasi yang sangat kecil.

2.1.2 Neutron Bagaimana dengan neutron ? Neutron tidak bermuatan dan momen dipol listriknya dapat diabaikan karena kecilnya. Karenanya, neutron dapat menembus bahan jauh lebih baik diband35

2.2. HAMBURAN OLEH PUSAT PENGHAMBUR TUNGGAL

36

ingkan dengan partikel bermuatan. Lebih dari itu, neutron berinteraksi dengan atom melalui inti sehingga tidak melalui gaya listrik dan gaya nuklir berjarak sangat pendek dengan ordo beberapa fermi (1 fermi = 10−15 m). Oleh karenanya, dari sudut pandang neutron, bahan tidak terlalu rapat karena ukuran pusat penghambur 100.000 kali lebih kecil dibandingkan jarak antar pusat penghambur tersebut. Maka neutron dapat berjalan dengan jaraka yang jauh tanpa terhambur atau terserap. Penguatan atau pengurangan intensitas berkas neutron berenergi rendah oleh alumunium, sebagai contoh, adalah sekitar 1 % per-mm dibandingkan dengan 99% atau lebih per-mm untuk sinar-X.

2.2 Hamburan oleh Pusat Penghambur Tunggal Proses hamburan pada dasarnya adalah proses mekanika kuantum. Secara formal, proses tersebut harus diterangkan sebagai fungsi gelombang dari berkas dan penghambur. Fungsi gelombang penghambur, sesuai dengan namanya, berbentuk gelombang, yaitu suatu fungsi yang berosilasi secara sinusoidal dalam ruang dan waktu. Kuadrat absolut dari amplitude dari gelombang tersebut pada posisi tertentu memberikan kemungkinan bahwa partikel akan ditemukan pada posisi tersebut. Tidak terdapat perbedaan fisis jika kita membicarakan gelombang yang mewakili partikel atau probabilitas bahwa partikel berada pada lokasi tertentu. Kedua gambaran tersebut akan memberikan matematika yang equivalen. Dalam kasus tertentu, gambaran yang satu lebih mudah dipahami dibandingkan dengan gambaran yang lain. Hamburan partikel oleh pusat penghambur dapat diterangkan dalam cross section σ, diukur dalam barn (1 barn = 10−28 m2 ), yang equivalen dengan luasan efektif yang diwakili oleh penghambur yang dilalui oleh partikel. Untuk partikel neutron, ia akan terhambur secara isotropik dimana probabilitas partikel terhambur adalah sama kesegala arah. Hamburan tersebut isotropik karena potensial inti penghambur, yang dalam hal ini adalah nukleus, berjarak sangat pendek sehingga nukleus dapat dianggap sebagai titik penghambur. Dilain pihak, sinar-X tidak terhambur secara isotropik karena awan elektron sekitar atom yang menghamburkan sinar-X berukuran sebanding dengan panjang gelombang dari sinar-X. Misalkan pada saat tertentu, partikel datang dengan fungsi gelombang eik•r pada inti penghambur. Fungsi gelombang tersebut merupakan gelombang bidang dengan amplitude satu dan dinyatakan sebagai fungsi dari vektor posisi r. Sebagai catatan, modulus kuadrat dari fungsi gelombang tersebut adalah satu yang berarti mempunyai probabilitas yang sama untuk ditemukan dimanapun dalam ruang namun mempunyai momentum tertentu yaitu mv = hk/2π. Simpul gelombang (yaitu titik dimana fasa k • r adalah sama dengan nπ, dimana n adalah bilangan bulat) merupakan gelombang bidang. Sesuai dengan pembahasan terdahulu, kita harus memilih amplitude gelombang neutron sedemiian sehingga kuadrat amplitude memberikan probabilitas untuk menemukan partikel pada posisi r sehingga konsisten dengan jumlah partikel dalam berkas yang digunakan. Namun demikian karena kita hanya tertarik pada perbandingan antara amplitude dari berkas datang dan terhambur, kita dapat memilih amplitude dari berkas datang menjadi satu untuk sementara.


36

January 17, 2006

2.3. DIFRAKSI DARI BAHAN KRISTAL

37

Berapakah amplitude dari gelombang neutron yang dihamburkan oleh nukleus ? Hal itu tergantung dari kekuatan interaksi antara neutron dengan nukleus. Karena gelombang neutron terhambur secara isotropik, fungsi gelombangnya dapat ditulis sebagai (−b/r)eikr jika inti penghambur berada pada pusat sistem koordinat. Muka gelombangnya berbentuk bola. Faktor (1/r) dalam fungsi gelombang terhambur tersebut memberikan hukum kuadrat terbalik yaitu intensitas berkas terhambur sebanding dengan r −2 dengan r menyatakan jarak dari sumber hamburan. Konstanta b merupakan panjang hamburan dari nukleus yang menyatakan kekuatan interaksi antara neutron dengan nukleus penghambur. Bagaimana hubngan antara panjang hamburan b dengan tampang lintang σ yang keduanya merupakan ukuran kekuatan dari interaksi hamburan ? Tampang lintang σ merupakan luasan yang berkaitan dengan panjang b melalui hubungan sederhana σ = 4πb2 - sebagaimana panjang hamburan seperti setengah dari jari-jari nukleus yang terlihat oleh neutron.

2.3 Difraksi dari Bahan Kristal

ald Spher Ew e kf

ki

2θ Q=

τ

Gambar 2.1: Bola Ewald 2-D (garis terputus). Titik-titik merupakan titik kisi balik. Arah vektor gelombang datang ki menunjukkan arah berkas sinar datang pada cuplikan. Pusat lingkaran dipilih sehingga vektor ki berakhir pada suatu titik kisi balik. Radius bola Ewald ki = 2π/λ. Berkas difraksi terbentuk bila bola ini menyinggung titik lain dengan vektor gelombang terhambur kf dan kf = ki . Vektor hamburan Q = ki − kf dengan besarnya Q = 4π sin θ, sedangkan λ 2θ adalah sudut hamburan. Vektor hamburan Q tidak selalu sama dengan τ = ha∗ + kb + lc (notasi zat padat), namun dalam pembahasan ditekankan Q = τ . Kita dapat mempelajari struktur kristal melalui difraksi dari foton, neutron dan elektron. Difraksi tergantung pada struktur kristal dan panjang gelombang. Pada panjang gelombang ˚ superposisi dari gelombang yang terhambur secara elastik oleh masingoptis seperti 5000 A, masing atom dalam kristal menghasilkan refraksi optik biasa. Jika panjang gelombang dari


37

January 17, 2006

2.4. SEL SATUAN

38

radiasi adalah sebanding dengan atau lebih kecil dari konstanta kisi, kita akan menemukan arah berkas terdifraksi yang berbeda dibandingkan dengan arah berkas datang. W. L. Bragg memberikan penjelasan sederhana mengenai berkas terdifraksi dari kristal. Penurunan Bragg sederhana namun meyakinkan karena hasilnya sesuai dengan pengamatan. Misalkan berkas datang dipantulkan secara spekular (seperti pantulan pada cermin) dari bidang paralel yang terdiri dari atom dalam kristal. Sudut berkas datang sama dengan sudut berkas terpantul. Berkas difraksi muncul ketika pantulan dari bidang paralel dari kumpulan atom dalam kristal berinterferensi secara konstruktif. Kita membahas hamburan elastik (=difraksi) dimana energi dari berkas tidak berubah setelah dipantulkan. Misalkan bidang kisi paralel terpisah dengan jarak d. Radiasi datang pada bidang kertas. Perbedaan lintasan dari berkas terpantul dari bidang yang saling berdekatan adalah 2d sin θ dimana θ diukur dari bidang. Interferensi konstruktif muncul jika perbedaan lintasan adalah kelipatan bilangan bulat n untuk panjang gelombang λ tertentu, sehingga: 2 d sin θ = nλ

(2.1)

Pers. 2.1 adalah hukum Bragg. Pantulan Bragg dapat terjadi hanya pada panjang gelombang λ ≤ 2d. Itulah sebabnya mengapa kita tidak dapat menggunakan cahaya tampak untuk menga˚ mati jarak antar bidang yang berskala A. Hukum Bragg merupakan konsekuensi dari periodisitas pada kisi. Perhatikan bahwa hukum ini tidak menjelaskan komposisi atom yang berkaitan dengan titik kisi. Komposisi tersebut ditentukan oleh intensitas relatif untuk berbagai order difraksi (dinyatakan dengan n) dari bidang paralel tertentu. Selain dengan hukum Bragg, difraksi dapat pula dijelaskan dengan bola Ewald seperti ditunjukkan pada Gb. 2.1. Gambar tersebut membantu kita memahami kondisi yang harus dipenuhi agar terjadi difraksi dalam 3-D.

2.4 Sel Satuan Keteraturan dalam zat padat sering dihubungkan dengan periodisitas sehingga sifat bahan dapat ditinjau secara mikroskopik berdasarkan unit terkecil yang berulang secara periodik. Unit terkecil ini disebut sebagai sel satuan yang penentuannya dapat dilakukan dengan dua cara yaitu dengan: 1. parallelepiped terkecil yang didefinisikan dengan vektor satuan a, b dan c dalam kisi langsung atau a∗ , b∗ dan c∗ dalam ruang kisi balik. Besaran vektor satuan disebut sebagai konstanta kisi (parameter kisi) dan konstanta kisi balik, masing-masing untuk kisi langsung dan balik. 2. Cara kedua adalah dengan menarik bidang secara tegak lurus yang membagi garis melalui pusat ke titik di ruang kisi langsung/balik sehingga garis tersebut menjadi dua bagian yang sama besar. Volume terkecil yang dibatasi dengan bidang tersebut disebut dengan sel Wigner Seitz (untuk kisi langsung) dan sel Brillouin pertama (untuk kisi balik).


38

January 17, 2006

2.5. FUNGSI PERIODIK

39

2.5 Fungsi Periodik Untuk mempermudah pembahasan, tinjau 1-D. Prasyarat periodisitas adalah: φ(x + a) = φ(x)

(2.2)

dimana x adalah vektor (1-D) dalam ruang kisi langsung dan a adalah konstanta kisi 1-D. Vektor x dapat dinyatakan sebagai besaran tanpa satuan yang kelipatan dari konstanta kisi: x=xa

(2.3)

φ(x + a) = exp(igx) exp(iga) = φ(x) exp(2πih) = φ(x)

(2.4)

Persamaan 2.2 dapat didetailkan:

Persamaan 2.4 menunjukkan bahwa: 1. Fungsi periodiknya adalah: φ(x) = exp(igx)

(2.5)

exp(iga) = exp(2πih)

(2.6)

g = 2πh/a

(2.7)

2. munculnya hubungan yang menyatakan bahwa dengan h merupakan bilangan bulat. Dalam 3-D, kita dapat menggunakan hubungan orthonormalitas (orthogonal dan normalitas) yang secara berturut-turut adalah: a • b∗ = b • c∗ = c • a∗ = a∗ • b = b∗ • c = c∗ • a = 0

(2.8)

a • a∗ = b • b∗ = c • c∗ = 1

(2.9)

dan untuk menyederhanakan perhitungan. Oleh karenanya, pers. 2.3, 2.7 dan 2.5 masing-masing dapat ditulis sebagai r = xa + yb + zc (2.10) b∗ τ = 2π ha bi∗ + kb bj∗ + cl k (2.11) = 2π (h a∗ + k b∗ + l c∗ ) φ(r) = exp(iτ • r)

(2.12)

Perhatikan bahwa besaran parameter kisi dimunculkan dalam pers. (2.10) dan (2.11) karena vektor r dan τ mempunyai dimensi yang dalam hal ini masing-masing adalah dimensi panjang dan panjang−1.


39

January 17, 2006

2.6. HUBUNGAN ANTARA KONSTANTA KISI

40

Latihan 1 Penggunaan sifat orthonormal berdasarkan pers. (2.8) dan (2.9) memungkinkan penulisanτ • r = 2π(hx + ky + lz) dengan x, y dan z merupakan besaran tanpa satuan. Buktikan pers. (2.10), (2.11) dan (2.12). Hal di atas cukup langsung, namun demikian kita akan memakai notasi fisika zat padat yang sedikit berbeda dengan notasi kristalografi. PERHAT IAN Untuk pindah dari notasi kristalografi ke notasi teori zat padat kita harus memindahkan 2π dari pers. (2.11) ke pers. (2.9) sehingga pers. (2.11) dan pers. (2.9) masing-masing menjadi: b∗ τ = ha bi∗ + kb bj∗ + cl k (2.13) ∗ ∗ = h a + k b + l c∗ dan a • a∗ = b • b∗ = c • c∗ = 2π

(2.14)

Notasi ini akan digunakan pada seluruh pembahasan dalam diktat ini.

2.6 Hubungan antara konstanta kisi Sesuai dengan namanya, pers. (2.8) menunjukkan sifat ortogonalitas, misalnya a∗ adalah ortogonal (tegak lurus) terhadap b dan c. Hubungan ini dapat diperjelas dengan menuliskan: a∗ = λb × c

(2.15)

dimana λ adalah suatu konstanta yang akan dicari harganya. Untuk itu, kita substitusikan pers. (2.15) ke pers. (2.9) sehingga: a • a∗ = λa • b × c = 2π ⇒ λ = 2π(a • b × c)−1 = sehingga diperoleh: a∗ =

2π (b × c) V

2π V

(2.16)

(2.17)

atau dalam besaran saja:

2π b c sin α (2.18) V dimana α adalah sudut yang dibentuk oleh vektor b dan c. Persamaan lainnya diperoleh dengan melakukan permutasi dari a ⇒ b ⇒ c dan untuk sudutnya α ⇒ β ⇒ γ. Lihat gambar 2.2 sebagai contoh untuk kasus sistem kristal hexagonal. a∗ =


40

January 17, 2006


41

b

0

b*

a* a Gambar 2.2: Proyeksi sel satuan pada bidang (a, b) dari kisi langsung dan kisi baliknya. Kedua kisi tersebut digambarkan secara berimpit untuk menunjukkan bahwa a ⊥ b∗ dan a∗ ⊥ b. Perlu dicatat bahwa kisi langsung berdimensi panjang sedangkan kisi balik berdimensi panjang−1 sehingga kisi balik mengecil jika kisi langsung membesar. Latihan 2 Buktikan bahwa kisi balik dari triklinik dan monoklinik adalah triklinik dan monoklinik juga, namun kisi balik dari kisi F adalah kisi I dan sebaliknya. Secara detail: 1. Dalam kisi monoklinik, b∗ kb sedangkan a∗ dan c∗ berada pada bidang (a, c), sehingga: a∗ = 2π/(a sin β) b = 2π/b c∗ = 2π/(c sin β) α∗ = γ ∗ = π/2 β ∗ = π − β

(2.19) (2.20)

2. Dalam kisi rhombic, tetragonal dan kubus a∗ ka, b∗ kb, c∗ kc dan a∗ = 2π/a,

b∗ = 2π/b,

c∗ = 2π/c,

α∗ = β ∗ = γ ∗ = π/2

(2.21)

3. Dalam kisi trigonal dan heksagonal c∗ kc sedangkan a∗ dan b∗ berada pada bidang (a, b): √ a∗ = b∗ = 2/(a 3), c∗ = 1/c, α∗ = β ∗ = π/2, γ ∗ = π/3. (2.22) Untuk basis rhombohedral : sin α a(1 − α + 2 cos3 α)1/2 cos α α∗ = β ∗ = γ ∗ , cos α∗ = − 1 + cos α

a∗ = b∗ = c∗ =

3 cos2

(2.23) (2.24)

Beberapa sifat penting dari kisi balik adalah: 1. Perkalian skalar antara vektor pada kisi langung r dan vektor pada kisi balik τ adalah: r • τ = (xa + yb + zc) • (ha∗ + kb∗ + lc∗ ) = 2π(x h + y k + z l)


41

(2.25)

January 17, 2006


42

y bA B 0

C

x

a Gambar 2.3: Proyeksi pada bidang x − y menggambarkan bidang difraksi sebagai garis AC. Jarak AC ke pusat koordinat merupakan jarak ke bidang berikutnya sehingga sering disebut sebagai jarak antar bidang (dhkl ). Untuk kasus ini, bidang AC memotong sumbu-x, y dan z masing masing pada 34 , 21 dan ∞. Kebalikan dari angka perpotongan tersebut masing-masing 2 −1/2 4 22 adalah 34 , 2 dan 0 sehingga Pers. (2.30) menghasilkan jarak antar bidang d = (3a) + . 2 b2 Dapat dibuktikan bahwa jarak ini adalah sama dengan jarak dari titik pusat koordinat ke titik B dengan catatan bahwa OB ⊥ AC. 2. Vektor Q = τ = ha∗ + kb∗ + lc∗ adalah tegak lurus pada kelompok bidang (hkl). Hal ini dapat dibuktikan dengan melihat Gambar 2.3, yaitu akan dibuktikan bahwa garis OB= |Q| = τ adalah tegak lurus terhadap garis AC dalam 2-D: OB • AC = = = = =

τ • (a/h − b/k) (ha∗ + kb∗ + lc∗ ) • (a/h − b/k) a • a∗ − b • b∗ 2π − 2π 0

(2.26)

Perluasan pembuktian untuk bidang difraksi 3-D tidak sulit1. 3. Jika d adalah jarak bidang (hkl) dalam kisi langsung, maka besaran vektor hamburan adalah: Q = 1/d (2.27) Persamaan ini dapat dibuktikan dengan Q=

4π sin θ λ

(2.28)

yang tertera pada penjelasan Gb. 2.1 dan persamaan Bragg, yaitu Pers. (2.1). 4. Hubungan τ dengan d dapat dicari dengan menggunakan gambar 2.3. Prosesnya adalah dengan memproyeksikan OC ke vektor satuan dengan arah sejajar dengan OB dimana 1

Fundamentals of Crystallography, C. Giacovazzo, ed., Oxford Univ. Press (1992), hlm. 65.


42

January 17, 2006


43

OB merupakan jarak antar bidang untuk (hkl) yang bersangkutan. Persamaannya adalah: τ dhkl = OC • τ 3a 4 ∗ ∗ = • a + 2b 4τ 3 2π = τ

(2.29)

5. Jarak antar bidang untuk simetri umum dapat ditulis: dhkl = (h2 a∗2 + k 2 b∗2 + l2 c∗2 + 2hka∗ b∗ cos γ ∗ + 2hla∗ c∗ cos β ∗ + 2klb∗ c∗ cos α∗ )−1/2 (2.30) ∗ ∗ ∗ dimana a , b dan c dapat diperoleh berdasarkan Pers. (2.17) berikut permutasi sikliknya dan sudut2 ∗ ∗ b •c ∗ α = arc cos (2.31) b∗ c∗ berikut permutasi sikliknya Pers. (2.30) dapat dibuktikan dimulai dengan mengambil 2 vektor yang berbeda dalam ruang kisi balik3 . Vektor tersebut adalah: τ1 = h1 a∗ + k1 b∗ + l1 c∗

(2.32)

τ2 = h2 a∗ + k2 b∗ + l2 c∗

(2.33)

dan Perkalian skalar antara kedua vektor tersebut menghasilkan:

τ1 •τ2 = h1 h2 a∗2 +k1 k2 b∗2 +l1 l2 c∗2 +(h1 k2 +h2 k1 ) a∗ b∗ +(h1 l2 +h2 l1 ) a∗ c∗ +(k1 l2 +k2 l1 ) b∗ c∗ (2.34) Lalu, ambil τ1 = τ2 = τ , sehingga: p τ = |τ • τ | = (h2 a∗2 +k 2 b∗2 +l2 c∗2 +2hka∗ b∗ cos γ ∗ +2hla∗ c∗ cos β ∗ +2klb∗ c∗ cos α∗ )1/2 (2.35) Maka didapatkan Pers. (2.30). Latihan 3 Buktikan bahwa item 2 dan 3 tersebut benar. 2 3

gunakan perkalian skalar antara dua vektor untuk mencari sudut antara kedua vektor tersebut. Perhatikan bahwa besaran τ secara umum tidak dapat diambil langsung dari Pers. (2.13).


43

January 17, 2006

2.7. KRISTAL TUNGGAL VS. POLIKRISTAL

44

2.7 Kristal Tunggal vs. Polikristal Sesuai dengan namanya, kristal tunggal mempunyai orientasi bidang yang tunggal. Pada arah tertentu pada bahan, misalkan arah membujur, indeks Miller (hkl) yang muncul pada pola difraksi adalah tunggal. Untuk melihat indeks Miller lain, kita harus memutar cuplikan dan juga sudut hamburan 2θ dengan besar dan arah yang sesuai. Kombinasi sudut yang dibutuhkan bisa merupakan kombinasi dari empat sudut yang tersedia pada peralatan Four Circle Diffractometer (FCD) baik dengan sumber neutron maupun sinar-X. Peralatan neutron FCD tersedia di PPSM, BATAN, Serpong. 010

011

0 1 -1

111

001

101

1 -1 1

110

100

1 -1 0

1 1 -1

1 0 -1

0 0 -1

1 -1 -1

0 -1 1

0 -1 -1

0 -1 0

1 0 0 kubus sel satuan: 5.640 5.640 5.640 90.000 90.000 90.000

Gambar 2.4: Proyeksi stereografik untuk kubus dilihat dari bidang (100). Polikristal mempunyai orientasi bidang yang acak sehingga besarnya kemungkinan munculnya bidang yang ada adalah sama pada arah kristal tertentu (misalkan pada arah membujur). Orientasi yang acak ini menimbulkan sudut lain kecuali sudut hamburan menjadi tidak relevan untuk ditentukan. Proses pengukuran menjadi lebih sederhana dibandingkan dengan pengukuran untuk kristal tunggal karena hanya sudut hamburan 2θ yang perlu diatur. Namun demikian, proses analisa lebih rumit karena timbulnya multiplisitas (kelipatan) karena beberapa bidang (hkl) bisa muncul secara berimpit pada pola difraksi. Diatas dikatakan bahwa orientasi bidang pada polikristal adalah acak. Namun demikian tidak tertutup kemungkinan adanya bidang tertentu yang lebih disukai (preferred orientation). Pengukuran distribusi prefered orientation dapat diukur dan hasilnya sering disebut textur dari bahan.

2.8 Struktur Magnet Sederhana Tipe struktur magnet paling sederhana adalah tipe komensurat dimana perbandingan antara sel satuan magnetik dengan sel satuan kristal dapat dinyatakan dengan perbandingan antara 2 bilan-


44

January 17, 2006

2.8. STRUKTUR MAGNET SEDERHANA

45

gan bulat. Untuk memudahkan visualisasi, kita ambil struktur dalam 1-D seperti diperlihatkan pada Gb. 2.5 yang menunjukkan struktur (a) feromagnet kolinear, (b) antiferomagnet kolinear dan (c) feromagnet nonkolinear dalam kisi langsung dan balik. Periodisitas magnetik feromagnet kolinear seperti ditunjukkan pada Gb. 2.5(a.i) adalah sama dengan periodisitas kristal. Oleh karenanya, kontribusi magnetik muncul berimpit dengan kontribusi kristalografi pada ruang kisi balik. Dalam kasus antiferomagnet kolinear seperti ditunjukkan pada Gb. 2.5(b) periodisitas magnetik dengan kristal adalah berbeda dalam kisi langsung dan balik. Dalam kisi langsung, sel satuan magnetik berukuran dua kali ukuran sel satuan kristal sehingga sering disebut sebagai cell doubling. Oleh karenanya, kontribusi magnetik muncul diantara kontribusi kristal: kontribusi magnetik berindeks refleksi tengahan (half-integer-indexed). Perhatikan bahwa kontribusi magnetik tersebut tidak muncul berimpit dengan kontribusi kristal dalam pola difraksi tersebut.

Commensurate Order (i) Direct lattice

(a) Ferromagnet

(ii) Reciprocal lattice

a*= 2 π /a a

am

am*

(b) Antiferromagnet an* an

am

am*

(c) NoncollinearFerromagnet

an* an

Gambar 2.5: Beberapa jenis struktur magnet sederhana yang menunjukkan susunan (a) kolinear feromagnet, (b) kolinear antiferomagnet dan (c) nonkolinear feromagnet dalam ruang kisi (i) langsung dan (ii) balik. Dalam kisi langsung, lingkaran dan panah masing-masing menunjukkan atom dan momen magnet. Dalam kisi balik, titik dan silang masing-masing menunjukkan intensitas pengamatan (puncak Bragg) dari struktur kristal dan magnet. an dan am masing-masing menunjukkan parameter kisi a kristal dan magnet. Kombinasi dari kedua kasus di atas, yaitu munculnya kontribusi magnetik tengahan sekali-


45

January 17, 2006

2.9. KONVOLUSI

46

gus kontribusi magnetik berimpit dengan kontribusi kristal dalam pola difraksi, dapat digambarkan dalam kasus feromagnet nonkolinear (Gb. 2.5(c)). Dalam ruang kisi langsung, periodisitas magnetik adalah dua kali periodisitas kristal, sehingga muncul kontribusi magnetik di antara kontribusi kristal dalam pola difraksi. Namun demikian, kontribusi magnetik juga muncul berimpit dengan kontribusi kristal sebagai indikasi bahwa terdapat momen magnetik net yang tidak nol pada bidang yang sesuai dengan refleksi kristal.

2.9 Konvolusi Suatu persamaan matematis, terutama dalam hal difraksi, dapat diselesaikan secara kualitatif dan relatif mudah. Hal ini terutama dapat membantu pemahaman mengenai teori difraksi namun tidak digunakan untuk mendapatkan hasil secara kuantitatif sehingga layak publikasi. Teknik konvolusi merupakan teknik matematis yang dapat diterapkan baik secara kuantitatif maupun kualitatif. Operasi konvolusi muncul dalam banyak area sains dan sangat terkait dengan interpretasi dari banyak pengukuran eksperimental. Hal ini muncul misalnya jika intensitas dari garis spektrum diukur dengan scanning dengan detektor yang mempunyai bukaan input yang terbatas. Pembahasan disini dimulai secara matematis, namun akan diperlihatkan berguna untuk diterapkan secara kualitatif. Konvolusi (convolution atau folding) dari dua fungsi ρ(r) dan g(r) dapat ditulis sebagai: Z C(u) = ρ(r) ∗ g(r) = ρ(r) g(u − r) dr (2.36) S

dimana S adalah ruang r. Perhatikan bahwa integran dalam pers. (2.36) merupakan fungsi dari u dan r sedangkan hasil integral hanya merupakan fungsi dari u saja. Hubungan antara ρ(r) dan g(r) adalah simetrik sehingga dapat ditulis: ρ(r) ∗ g(r) = (r) ∗ ρ(r)

(2.37)

Meng-konvolusi dua fungsi sangat sering berefek melebarkan fungsi yang satu karena fungsi lainnya. Sebagai contoh, konvolusi dari dua fungsi Gaussian N(σ1 , a1 ) dan N(σ2 , a2 ) adalah fungsi Gaussian N((σ12 + σ22 )1/2 , a1 + a2 ).

2.9.1 Konvolusi yang melibatkan Fungsi Delta Dengan menggunakan identitas : Z

S

f (r) δ(r − r0 ) dr = f (r0 )

(2.38)

dan pers. (2.36), maka konvolusi dari suatu fungsi delta adalah: δ(r − r0 ) ∗ ρ(r) = ρ(u − r0 )


46

(2.39) January 17, 2006

2.9. KONVOLUSI

47

Jika r dan u dianggap berasal dari ruang yang sama, kita dapat memilih koordinat yang sama untuk keduanya, sehingga pers. (2.39) menjadi: δ(r − r0 ) ∗ ρ(r) = ρ(r − r0 )

(2.40)

Terlihat pada pers. (2.40) bahwa konvolusi antara ρ(r) dengan δ(r−r0 ) adalah equivalen dengan menggeser pusat koordinat sebesar r0 . Sekarang, misalnya f (x) adalah fungsi yang didefinisikan diantara 0 dan a. Karena untuk kristal berlaku: +∞ X L(x) = δ(x − xn ) (2.41) n=−∞

dimana xn = na dan n adalah bilangan bulat maka: L(x) ∗ f (x) =

+∞ X

n=−∞

δ(x − xn ) ∗ f (x) =

+∞ X

n=−∞

f (x − na) = ρ(x)

(2.42)

dimana ρ(x) adalah fungsi periodik dari −∞ ke +∞, yang sama dengan f (x) untuk 0 ≤ x ≤ a dengan periode a. Masing-masing suku dalam penjumlahan adalah f (x) yang bergeser sebesar na. Dapat disimpulkan bahwa setiap fungsi f (x) yang periodik dengan periode a adalah equivalen dengan konvolusi dari fungsi f (x) = ρ(x) yang didefinisikan diantara 0 dan a, dengan deret fungsi delta pada posisi titik kisi4 .

4

lihat gambarnya pada halaman 183 dari buku Fundamentals of Crystallography yang diedit oleh C. Giacovazzo


47

January 17, 2006

Daftar Acuan [1] BURNS , G., AND G LAZER , A. M. Space groups for solid state scientists. Academic Press, Inc., 1990. [2] G IACOVAZZO , C. Fundamentals of crystallography. Oxford Univ. Press., 1992. [3] H AHN , T., Ed. International tables for crystallography. International Union of Crystallography, 1987. [4] K ITTEL , C. Introduction to solid state physics. John Wiley & Sons, Inc., 1986. [5] KOVALEV, O. V. In Representations of the crystallographic space groups, H. T. Stokes and D. M. Hatch, Eds. Gordon and Breach Science Publishers, 1993.

48

1. Target: mahasiswa undergraduate menjelang tingkat akhir atau mahasiswa graduate tanpa latar belakang fisika zat padat

Recommend Documents