1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ® végtelen sorokat konvergencia szempontjából.
Tétel. (Cauchy-féle bels® konvergenciakritérium) A
végtelen sor akkor és csakis konvergens, ha bármely ε > 0 esetén van olyan N (ε) küszöbindex, hogy minden n > m > N (ε) esetén P∞
n=1 an
n X ak < ε. k=m+1
1.
∞ X 1 n
∞ X (−1)n
2.
n=1
3.
n
n=1
∞ X 1 n2
n=1
Határozza meg a következ® végtelen sorok összegét.
Tétel. (Geometriai sor összege) Ha |q| < 1, akkor a ∞ X
qn =
n=0
4.
∞ X n=1
7.
◦
∞ X n=1
10.
◦
5.◦
−3 n2 + 5n + 4
8.
∞ X 32n+2 − 5n n=1
13.
1 n(n + 1)
3n+7
∞ X 22n+1 + 3n−1 n=1
5n+1
∞ X n=1
•
∞ X n=1
11.
◦
n=0 qn
sor konvergens, és
1 1−q
1 2 n + 3n + 2
6.◦
1 log 1 − 2 n
9.
∞ X 22n+4 − 3n
5n
n=1
14.
P∞
∞ X 3n−1 + 2n+1
4n+3
n=1
∞ X n=1
◦
∞ n X 2 n=1
12.
◦
5
∞ X 32n+2 − 5n n=1
15.
3 + 3n
n2
32n+7
∞ √ n+1 X ( 2) n=1
22n−3
Vizsgálja meg a következ® végtelen sorokat konvergencia szempontjából valamelyik összehasonlító kritériumot használva.
1
Tétel. (Majoráns, minoráns kritérium) Ha a
P
an és a
P
bn pozitív tagú sorok
tagjaira véges sok indext®l eltekintve érvényes az an ≤ bn egyenl®tlenség, akkor (i) ha
P
bn konvergens, akkor
(ii) ha
P
an divergens, akkor
P
P
an is konvergens, és
bn is divergens.
Tétel. Ha an , bn > 0 minden n ∈ N esetén és lim
n→∞
akkor a
16.
◦
P
19.
22.◦
P
bn sorok közül vagy mindkett® divergens vagy mindkett® konvergens.
∞ n X 1 2 n=1
◦
an és
n
5
∞ X 2n + 5 3n2 − 1
17.◦
25.
∞ X n=1
20.
1 10n + 121
18.◦
1
21.
∞ X
p n=1
√ ∞ X 2 n+1−3 n2 − n + 1
∞ √ X n−2
23.◦
∞ X
sin
n=1
∞ X n=1
24.
n+2
n=1
∞ X n=1
◦
n(n + 1)
n=1
n=1
•
an = L > 0, bn
∞ X n=1
n2
n+3 − 2n + 4
1 (3n − 1)2 √
n3 − 5 n2 − 12
π n
A Cauchy-ekvikonvergencia tételt használva vizsgáljuk meg a következ® végtelen sorokat konvergencia szempontjából.
Tétel. (Cauchy-féle ekvikonvergencia) Ha sorozat, akkor a
∞ X
(an ) monoton csökken® és pozitív tagú
∞ X
an ,
n=1
2n a2n
n=1
sorok közül vagy mindkett® konvergens, vagy mindkett® divergens.
26.
∞ X 1 np
n=1
27.
∞ X
1 n ln2 n n=1
28.
∞ X n=1
√
1 n ln3 n
A hányados-, illetve gyökkritériumot használva vizsgálja meg a következ® végtelen sorokat konvergencia szempontjából. 2
Tétel. (Gyökkritérium) Legyen (an ) pozitív tagú sorozat, ekkor ha lim
√ n
n→∞
an
P < 1, akkor a Pan sor konvergens; > 1, hakkor a an sor divergens; = 1, akkor a P a lehet konvergens is, és divergens is. n
Tétel. (Hányadoskritérium) Legyen (an ) pozitív tagú sorozat, ekkor ha an+1 n→∞ an lim
29.
◦
32.◦
∞ X 2n − 1 √ ( 2)n n=1
35.
∞ X n+1 n 2n − 1
31.
◦
n=1
33.◦
nn
∞ X n=1
∞ X 2n − 3n + 1 n=1
38.
30.
◦
∞ X 2n+1 n=1
◦
P < 1, akkor a Pan sor konvergens; > 1, hakkor a an sor divergens; = 1, akkor a P a lehet konvergens is, és divergens is. n
36.
n3 + n + 2
∞ X en n3
n=1
n! n 2 +1
34.◦
∞ X 3n n=1
∞ X 1 1 n 1+ 2n n
37.
n=1
n!
∞ X n! nn
n=1
∞ X 1 · 2 · . . . · (2n − 1) n=1
4 · 8 · . . . · 4n
Tétel. (Integrálkritérium) Legyen j ∈ N rögzített és f : [j, ∞) → R folytonos, monoton csökken® és pozitív. Ekkor a ∞ n=j f (n) végtelen sor akkor és csak akkor konvergens, ha az R∞ j f (x) dx improprius integrál konvergens. Ekkor P
Z j
illetve
Z j
∞
∞
f (x) dx ≤
f (x) dx ≤
∞ X
Z
n=j
∞ X
∞
f (n) ≤ j−1
f (x) dx,
∞
Z f (n) ≤ f (j) + j
n=j
39. Az integrálkritériumot használva igazolja, hogy a ◦
becslést az összegére ε = 0.01 pontossággal. 3
f (x) dx.
∞ X 1 sor konvergens, és adjon n2
n=1
40.◦ Az integrálkritériumot használva igazolja, hogy a becslést az összegére ε = 0.01 pontossággal.
∞ X n=1
n2
1 sor konvergens, és adjon +5
A Leibniz kritériumot használva vizsgálja meg a következ® végtelen sorokat konvergencia, illetve abszolút konvergencia szempontjából.
Tétel. (Leibniz-kritérium) Ha az (an ) pozitív tagú szigorúan monoton csökken® ( 0 < an+1 < an ) sorozatra limn→∞ an = 0, akkor a ∞ X
(−1)n an
n=1
sor konvergens. Tétel. Abszolút konvergens sor konvergens.
41.◦
∞ X (−1)n 2n − 1
42.◦
n=1
44.
◦
∞ X
(−1)n √ √ 3 n n − n n=1
∞ X
(−1)n
n=1
45.
◦
∞ X
(−1)n
n=1
3n + 1 n3 + 2
43.◦
∞ X
(−1)n
n=1
2n − 1 3n + 2
n+2 n2 + 5
Határozza meg a következ® hatványsorok konvergenciatartományát.
Tétel. (Cauchy-Hadamard) A
P∞
n=0 an x
n
hatványsor konvergenciasugara %, ahol
p an+1 1 n , = lim sup |an | = lim sup % an n→∞ n→∞
amennyiben a fenti határérték létezik és véges. Ha a határérték végtelen, akkor a konvergenciasugár 0, ha a határérték 0, akkor a konvergenciasugár végtelen.
46.◦ 49.
◦
∞ X xn n2n
47.◦
∞ X (n + 1)5 x2n
2n + 1
n=1
n=1
∞ X (x + 3)n
∞ X 5n xn
n=1
n2
50.
n!
n=1
48.◦
∞ X
2
3n xn
n=1
51.
∞ X (x − 3)n n=1
n2 2n
Határozza meg a következ® függvények Taylor-sorát a megadott pontok körül.
4
Taylor-sor. Legyen az f : I → R függvény akárhányszor dierenciálható a 0-t is tartalmazó nyitott I intervallumon. A
∞ X f (k) (0)
k!
n=0
xk
hatványsort az f függvény Taylor-sorának nevezzük.
Taylor-formula. Ha az f : I → R függvény (n + 1)-szer folytonosan dierenciálható a 0-t is tartalmazó I intervallumon, akkor minden x ∈ I esetén f (x) =
∞ X f (k) (0) k=0
k!
ahol Rn+1 (x) =
xk + Rn+1 (x),
f n+1 (c) n+1 x (n + 1)!
valamely 0 és x közötti c számra.
Tétel. Ha a P∞
n=0 an
xn ,
hatványsor konvergens a (−c, c) intervallumon, és f (x) = P n x ∈ (−c, c), akkor az f függvény Taylor-sora ∞ n=0 an x , azaz P∞
n n=0 an x
f (n) (0) = an n!
(n ∈ {0, 1, 2, . . .})
52.
f (x) =
1 , x0 = 0 1 − x2
53.◦
f (x) =
1 , x0 = 2 1−x
54.
f (x) =
1 , x0 = 0 1 + x2
55.◦
f (x) =
1 , x0 = −1 1 + 2x
56.
f (x) = sin x, x0 = 0
57. Az ln (1 + x) függvény Taylor-sorát felhasználva adjon becslést ln 27 értékére. 58.◦ Határozza meg az
f (x) = ex függvény 0 körüli Taylor-sorának els® három tagját,
majd ennek segítségével becsülje az Z 0
integrált.
5
1
ex dx
59. A sin x függvény Taylor-sorát felhasználva adjon becslést az Z
1/2
0
sin x dx x
integrál értékére.
60.• Határozza meg az
függvény x0 = 0 körüli Taylor sorának els® négy tagját, majd ennek segítségével adjon becslést az f (x) = e−x
2 /2
1 √ 2π
Z
1
e−x
2 /2
dx
−1
határozott integrálra.
Tétel. Legyen a
hatványsor konvergens a (−c, c) intervallumon. De niáljuk az f : (−c, c) → R függvényt a következ®képpen: P∞
n=0 an x
n
f (x) :=
∞ X
an xn .
n=0
Ekkor a
∞ X
(n + 1)an+1 xn = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + ...
n=0
hatványsor is konvergens a (−c, c) intervallumon, az f függvény dierenciálható a (−c, c) intervallumon, és 0
f (x) =
∞ X
(n + 1)an+1 xn .
(x ∈ (−c, c)).
n=0
Tétel. Legyen a
hatványsor konvergens a (−c, c) intervallumon. De niáljuk az f : (−c, c) → R függvényt a következ®képpen: P∞
n=0 an
f (x) :=
∞ X
an xn .
n=0
Ekkor a
∞ X an n+1 a1 a2 x = a0 x + x2 + x3 + ... n+1 2 3
n=0
hatványsor is konvergens a (-c,c) intervallumon, az f függvény folytonos a (−c, c) intervallumon, és Z f (x) dx =
∞ X an n+1 x n+1
n=0
6
(x ∈ (−c, c)).
Tétel. Legyen a
P∞
n=0 an x
n
hatványsor konvergens a (−c, c) intervallumon, és legyen f (x) =
∞ X
an xn ,
n=0
ha x ∈ (−c, c). Ha az f függvény kiterjeszthet® a (−c, c] intervallumra úgy, hogy c-ben P n folytonos legyen, akkor a ∞ n=0 an x hatványsor konvergens c-ben is, és f (c) =
∞ X
an cn .
n=0
61.◦ Határozza meg az f (x) = ln (1 − x) függvény Taylor-sorát az a = 0 pont körül, és ezt felhasználva határozza meg a
∞ X (−1)n+1
n
n=1
=1−
1 1 1 + − + ... 2 3 4
sor összegét.
62.◦ Határozza meg az f (x) = arctan x függvény Taylor-sorát az a = 0 pont körül, és ezt felhasználva határozza meg a
∞ X (−1)n+1 n=1
2n + 1
=1−
1 1 1 + − + ... 3 5 7
sor összegét.
63.• Határozza meg az
f (x) = (1 + x) ln (1 + x) függvény Taylor-sorát az a = 0 pont
körül, és ezt felhasználva határozza meg a ∞ X (−1)n+1 n=2
n2
−n
=
1 1 1 1 − + − + ... 2 6 12 20
sor összegét.
Tétel. (Binomiális sorfejtés) Ha |x| < 1, akkor ∞ X α n (1 + x) = x , n α
n=0
ahol
α α(α − 1)(α − 2) . . . (α − n + 1) = , n! n
7
α = 1. 0
64.◦ A binomiális sorfejtést használva határozza meg az f (x) =
√
1 + x függvény a = 0
pont körüli Taylor-sorának els® 4 tagját.
A megfelel® függvények binomiális sorfejtését felhasználva adjon becslést a következ®kre.
65.◦
√
68.
√ 3
6
7
66.◦
√
69.
√ 4
67.◦
1.5
3
19
70. A binomiális sor segítségével becsülje meg ◦
Fourier-sor Az f
√ 3
1/2
Z 0
p 3 x2 + 1 dx értékét.
(−π, π) intervallumon integrálható függvény Fourier-sora ∞
a0 X + an cos nx + bn sin nx, 2
f (x) ∼
n=1
ahol
Z
1 an = π
és
π
−π
1 bn = π
Z
f (x) cos nx dx,
π
−π
n = 0, 1, 2, . . .
f (x) sin nx dx,
n = 1, 2, . . .
Tétel. (Parseval-formula) Ha az f függvény négyzetesen integrálható a (−π, π) intervallumon, akkor Z
∞
π
f (x) − −π
a0 X + an cos nx + bn sin nx 2
!!2
dx → 0,
(n → ∞),
n=1
továbbá érvényes az úgynevezett Parseval-formula: 1 π
∞
π
a2 X 2 f (x) dx = 0 + (an + b2n ). 2 −π
Z
2
n=0
71.• Adja meg az f (x) = x függvény Fourier-sorát, majd ennek segítségével számítsa ki a ∞ X 1 n2
n=1
sor összegét. 8
72. Határozza meg az f (x) = sgn x függvény Fourier-sorát.
2. Dierenciálegyenletek Oldja meg a következ® szétválasztható változójú dierenciálegyenleteket, illetve kezdetiérték problémákat.
Szétválasztható változójú dierenciálegyenlet. A h(y)y 0 = g(x)
típusú egyenletet szétválasztható változójú dierenciálegyenletnek nevezzük. x y
74.◦
xyy 0 = 1 − x2
y0 = 1 + y2
76.◦
y 0 tan x = y
77.◦
y 0 + yx − x
78.◦
xy 0 = y 2 − y
79.
x2 y 0 + y 0 = 2xy
73.◦
y0 = −
75.◦
81.
y 0 − y sin x = 0
83.
2yy 0 cos x = tan x √ y(π) = 2
y(π) = −3
80.
y 0 (x + 3) − y + 1 = 0
82.
xy 0 + y = y 2
y(−1) = 0
y(1) =
1 2
84.• A rádium bomlási sebessége arányos a pillanatnyi rádiummennyiséggel. Ha a bom-
lás következtében a rádium mennyisége kereken 1600 év alatt a felére csökken, a kiindulási anyag mennyiségének hány százaléka bomlik el 100 év alatt?
Oldja meg a következ® homogén fokszámú dierenciálegyenleteket.
9
Homogén fokszámú dierenciálegyenlet. Az y0 = f
y x
illetve
,
y0 = f
x y
alakú egyenleteket változóiban homogén fokszámú dierenciálegyenletnek nevezzük. Az els® esetben az u = y/x, a másodikban a v = x/y helyettesítést elvégezve az u + xu0 = f (u),
illetve
v − xv 0 = g(v)v 2
szétválasztható változójú dierenciálegyenlethez jutunk.
85.◦
xy 0 = 2y + x
88.◦
xe x + y − xy 0 = 0
91.
x2 − y 2 + 2xyy 0 = 0
y
86.
y0 −
y = x2 x
87.◦
x − y + xy 0 = 0
89.◦
x2 y 0 = 2xy − y 2
90.◦
y0 =
x+y x−y
Oldja meg a következ® els®rend¶ lineáris dierenciálegyenleteket.
Lineáris dierenciálegyenlet. Az y 0 + p(x)y = q(x)
alakú egyenletet lineáris dierenciálegyenletnek nevezzük. Ha q(x) = 0, akkor a lineáris dierenciálegyenletet homogénnek, különben inhomogénnek nevezzük. Tétel. Az inhomogén lineáris dierenciálegyenlet általános megoldását az yIH = yH + yp
összefüggés szolgáltatja, ahol yH = cf (x) a homogén egyenlet megoldása, yp az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása.
Konstansvariáció. Az inhomogén egyenlet yp partikuláris megoldását yp = c(x)f (x) alakban keressük, melyet az eredeti egyenletbe visszahelyettesítve c(x)-re a következ® egyenletet kapjuk c0 (x)f (x) = q(x).
10
y = x2 x
92.
y 0 + yx − x = 0
93.
y0 −
95.◦
y 0 + y = e−x
96.
xy 0 −
98.◦
y 0 cos x + y sin x = 1
y =x x+1
99.
94.◦
y 0 − xy = x3
97.◦
xy 0 + y = x ln x
(x + 1)y 0 − y = 3x4 + 4x3
Határozza meg F −1 (F )-et, ha,
Laplace-transzformáció. Az f függvény Laplace-transzformáltja: Z
∞
L[f ](s) := 0
f (x)e−sx dt.
Deriváltakra vonatkozó szabályok: L[f 0 ] = sL[f ] − f (0),
100.
F (s) =
103.
F (s) =
2 s3
s2
7s − 1 + 3s + 2
L[f 00 ] = s2 L[f ] − sf (0) − f 0 (0).
101.
F (s) =
104.
F (s) =
s2
3 +9
3 6s + 2 s−6 s +6
102.
F (s) =
105.
F (s) =
s2
s−1 − 2s + 5
2s + 1 s(s − 1)(s + 2)
Oldja meg a következ® kezdetiérték problémákat Laplace-transzformáció segítségével. y 00 − y 0 − 2y = 0
106.
y 00 − 2y 0 + 5y = −8e−x
107.
y(0) = −2 y 0 (0) = 5
y 0 (0) = 12
y 00 − 4y 0 + 5y = 4e3x
108.
y 00 + 2y 0 + 5y = 3e−x sin x
109.
y(0) = 2 y 0 (0)
y 00 − 4y = 3e−x
111.
y(0) = 1 y 0 (0) = 0
y(0) = 0 y 0 (0) = 3
=7
y 00 + 4y = e−x cos x
110.
y(0) = 2
11
y(0) = 1 y 0 (0) = 5
3. Többváltozós valós függvények Határozza meg a következ® függvények értelmezési tartományát.
112.◦
f (x, y) =
114.
r
◦
√
1−x
1−x 1−y r
116.
f (x, y) =
118.
f (x, y) =
y − 2y + 1 y2 − x − 1
p y sin x
113.◦
f (x, y) = ln (1 + y)
115.◦
f (x, y) =
p x2 + y 2 − 3
117.
f (x, y) =
p sin x cos y
119.
f (x, y) =
p p 1 − x2 + 1 − y 2
Határozza meg a következ® határértékeket.
Derékszög¶ és polárkoordináta-rendszer kapcsolata. x = r cos ϕ r =
p x2 + y 2
y = r sin ϕ tan ϕ =
y x
120.◦
xy 2 (x,y)→(2,−1) x2 + y 4
121.◦
122.◦
2xy 2 (x,y)→(0,0) x + y 2
123.
(x,y)→(0,0)
124.•
xy 2 (x,y)→(0,0) x2 + y 4
125.◦
x+1 (x,y)→(2,∞) y − 1
126.◦
xy + 2x − 3y + 1 yx + x2 (x,y)→(2,∞)
127.◦
xy + 2x − 3y + 1 yx + x (x,y)→(∞,∞)
lim
lim
lim
lim
sin xy x (x,y)→(0,2) lim
lim
x
x2 − y 2 x2 + y 2
lim
lim
De níció alapján határozza meg a következ® függvények parciális dierenciálhányadosait a megadott helyen.
12
Parciális derivált. Legyen adott az f : D ⊂ R2 → R függvény. Tegyük fel, hogy értelmezve van x0 = (x0 , y0 ) ∈ D egy környezetében. Ha a
f
f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 ) ∂f (x0 ) = fx0 (x0 ) = fx0 (x0 , y0 ) := lim h→0 ∂x h
határérték létezik és véges, akkor azt mondjuk, hogy f x-szerint parciálisan dierenciálható az x0 pontban, az fx0 (x0 ) értéket pedig az f x0 pontban vett x-szerinti parciális deriváltjának nevezzük.
128.◦
129.◦
f (x, y) = xy 2 , P (2, 3)
f (x, y) =
p 2x − y + 1, P (2, 1)
Totális dierenciálhatóság. Legyen adott az f : D ⊂ R2 → R függvény. Tegyük fel, hogy f értelmezve van x0 ∈ D egy környezetében. Az f függvény (totálisan) dierenciálható az x0 pontban, ha létezik A = (A1 , A2 ) ∈ R2 és a 0 egy V környezetében értelmezett ω : V → R függvény úgy, hogy f (x) = f (x0 ) + A · (x − x0 ) + ω(x − x0 )
az x0 egy környezetében lév® minden x pontra, továbbá ω(x − x0 ) = 0. lim x→x0 kx − x0 k
Ekkor az A = (A1 , A2 ) ∈ R2 vektort az f függvény x0 pontban vett gradiensének nevezzük. Jelölés: ∇f (x0 ) = A.
Totális dierenciálhatóság szükséges feltétele. Ha az f : D ⊂ R2 → R függvény totálisan dierenciálható az x0 = (x0 , y0 ) ∈ D pontban, akkor mindkét változója szerint parciálisan is dierenciálható, továbbá ∇f (x0 ) =
∂f ∂f (x0 ), (x0 ) = fx0 (x0 ), fy0 (x0 ) . ∂x ∂y
Totális dierenciálhatóság elegend® feltétele. Ha az x0 = (x0 , y0 ) ∈ D pont valamely környezetében az f : D ⊂ R2 → R függvény mindkét parciális deriváltja létezik, továbbá az x0 pontban folytonosak, akkor f (x, y) az x0 pontban totálisan dierenciálható és ∇f (x0 ) =
∂f ∂f (x0 ), (x0 ) = fx0 (x0 ), fy0 (x0 ) . ∂x ∂y
13
130.◦ De níció szerint mutassa meg, hogy az
f (x, y) = x2 + xy − y 2 függvény totális
dierenciálható, majd határozza meg a gradiens vektorát és parciális deriváltjait.
131.◦ Határozza meg az f (x, y) =
p
|xy| függvény parciális deriváltjait és totális dieren-
ciálját az origóban.
Határozza meg a következ® függvények érint®síkjának egyenletét az adott M pontokban.
Érint®sík egyenlete. Legyen az f (x) függvény dierenciálható az x0 = (x0 , y0 ) pontban. A
z = f (x0 ) + ∇f (x0 )(x − x0 )
egyenlet¶ sík az f függvény (x0 , f (x0 )) pontbeli érint®síkja.
132.◦
f (x, y) = x2 + xy + 2y 2 , M (1, 2)
134.
f (x, y) = x2 y + 2x2 − y, M (2, 1)
133.
f (x, y) = xy 2 − 2x + 1, M (0, 4)
Határozza meg a következ® függvények u irány szerinti deriváltját a megadott P pontban.
Irány menti derivált. Legyen adott az f : D ⊂ R2 → R függvény. Tegyük fel, hogy f értelmezve van x0 = (x0 , y0 ) ∈ D egy környezetében. Az f függvény x0 pontban vett u (kuk = 1) irány szerinti deriváltja az f (x0 + hu) − f (x0 ) h→0 h
fu0 = lim
határérték, ha létezik és véges.
Tétel. Ha az f : D ⊂ R2 → R függvény dierenciálható az x0 pontban, akkor f bármely u, (kuk = 1) irány szerint dierenciálható x0 -ban, és fu0 (x0 ) = ∇f (x0 ) · u
135.◦
f (x, y) = x2 y, P (−1, 1), u(3, 4)
136.
3 4 f (x, y) = x − xy, P (1, 2), u − , 5 5
◦
2
14
137.
f (x, y) = 3xey
138.
f (x, y) = x tan y − exy , P (1, 0), u(1, 1)
2
sin x
, P (0, 1), u(−2, 2) 2
Határozza meg a következ® függvények széls®értékeit.
Széls®érték létezésének szükséges feltétele. Ha az f (x) : D ⊂ R2 → R függvény dierenciálható az x0 pontban, és ott lokális széls®értéke van, akkor ∇f (x0 ) = 0. Széls®érték létezésének elegend® feltétele. Tegyük fel, hogy az f (x) : D ⊂ R2 → R függvénynek léteznek és folytonosak a másodrend¶ parciális deriváltjai az x0 pont egy környezetében, továbbá ∇f (x0 ) = 0. Legyen 00 00 00 D(x0 ) = fxx (x0 ) · fyy (x0 ) − [fxy (x0 )]2
Ha • D(x0 ) < 0, akkor x0 nem lokális széls®értékhely; 00 (x ) > 0 akkor f -nek x -ban lokális minimuma van; • D(x0 ) > 0 és fxx 0 0 00 (x ) < 0 akkor f -nek x -ban lokális maximuma van. • D(x0 ) > 0 és fxx 0 0
139.◦
f (x, y) = (x − 1)2 + 2y 2
140.
f (x, y) = y 2 + 2x2 y + x2
141.
f (x, y) = yx2 /2 − yx + y 2 + 17
142.
f (x, y) = x2 − xy + y 2 − 2x + y
143.◦
f (x, y) = x4 + y 4 − 2x2 + 4xy − 2y 2
144.
f (x, y) = 2x2 + y 2 − 2xy + 4x − 2y + 5
145. Egy téglatest egy pontba összefutó éleinek a hossza 12. Mekkorák a lehet® legnagyobb ilyen térfogatú téglatest élei?
Oldja meg a következ® egzakt dierenciálegyenleteket.
15
Egzakt dierenciálegyenlet. A P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0
egyenletet egzakt dierenciálegyenletnek nevezzük, ha Py0 = Q0x . Ekkor van olyan U (x, y) függvény, melynek totális dierenciálja dU = P (x, y)dx + Q(x, y)dy.
147.
146.
(2xy − 3)dx + x dy = 0
148.
149.◦
(cos x − x sin x + y)dx + (x − cos y)dy = 0
◦
2
1 2xy + 2 x +1
dx +
◦
√ 4 x−y−1 √ √ + dy = 0 2 x−y 2 x−y
dx
1 2 + x dy = 0 y
Határozza meg az integrálási tartományt és írja fel a határokat a fordított sorrendben történ® integráláshoz.
150.
Z
152.
Z
◦
2Z 5
f (x, y) dy dx
−3
0
1 Z x2
0
x
151.
Z
153.
Z
◦
f (x, y) dy dx
0
1
2Z x 0
f (x, y) dy dx
2 Z 1/x 0
f (x, y) dy dx
Számítsa ki az alábbi kett®s integrálokat.
154.
RR
155.
Z
157.
Z
D (x
2
+ 2y) dy dx, ahol D az x = 0 és az x + 2y = 2 egyenlet¶ egyenesek által
határolt háromszög.
0
1
1Z x x2
x + y dy dx
2 Z 1/x 0
xy dy dx
16
156.
Z
158.
Z
0
0
1 Z x2 0 1Z
√
x2
x2 + 2y dy dx
x
x + y 3 dy dx
159.
RR
160.
RR
D
x2 + y 2 dy dx, ahol D az egység sugarú kör.
dy dx, ahol D az az origó középpontú körgy¶r¶, mely küls® körének sugara 2, bels® körének sugara pedig 1. 2xy D x2 +y 2
161.• Határozza meg az R sugarú gömb térfogatát. 162.• Határozza meg az
R∞
−∞ e
integrál értékét.
−x2 /2
4. Komplex függvénytan Mely pontokban dierenciálhatóak a következ® komplex érték¶ függvények?
Komplex dierenciálhatóság. Legyen a
z0 pont az f (z) függvény értelmezési tar-
tományának tolródási pontja. Az f (z) függvényt z0 pontban dierenciálhatónak nevezzük, ha a lim
∆z→0
f (z0 + ∆z) − f (z0 ) ∆z
határérték létezik és véges.
163.
f (z) = zz
164.
f (z) = Rez
165.
f (z) = z · |z|2
Igazolja, hogy a következ® függvények harmonikusak, majd határozza meg a harmonikus társat.
Harmonikus társ keresés. A kétszer folytonosan dierenciálható u(x, y) függvényt harmonikusnak nevezzük, ha teljesíti a Laplace-egyenletet: u00xx + u00yy = 0.
A v(x, y) függvényt az u(x, y) függvény harmonikus társának nevezzük, ha harmonikus és teljesíti a Cauchy-Riemann egyenleteket: u0x = vy0 , −u0y = vx0
17
166.
u(x, y) = x2 − 5xy + 3y − y 2
168.
u(x, y) = x3 y − xy 3 + 2x + 3y
167.
x3 − 3xy 2
Határozza meg a következ® kifejezések értékét.
Komplex exponenciális és logaritmus függvény. Az Euler-képlet eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ
felhasználásával: ez = e|z| (cos (arg z) + i sin (arg z)), ln z = ln |z| + i arg z.
√
169.
eiπ
170.
e
172.
ln (1 + i)
173.
ln (1 −
175.
ii
176. Határozza meg az
Z L
3+i
√
3i)
171.
21−i
174.
ln i
(z + 3 − 2i) dz integrál értékét, ahol L a −2i középpontú, r = 1
sugarú körnek az A = −i, B = 1 − 2i pontjait összeköt® negyed körív (A → B )
177. Határozza meg az
Z L
(z − i) dz integrál értékét, ahol L a −i középpontú, r = 2 sugarú
körnek az A = i, B = −3i pontjait összeköt® fél körív (A → B )
178. Határozza meg az
Z L
(z − i) dz integrál értékét, ahol L a −i középpontú, r = 2 sugarú
körnek az A = i, B = −3i pontjait összeköt® fél körív (A → B ) Z
179. Határozza meg az (|z|2 − 2i) dz integrál értékét, ahol L az A = 3 − i, B = 1 + 2i L pontokat összeköt® szakasz 180. Határozza meg az •
Z L
(|z| + 3 − 2i) dz integrál értékét, ahol L az A = −i, B = 1 − 2i
pontokat összeköt® szakasz
18
