1 Popisná statistika. 2 Základy kombinatoriky. x = {15; 12; 18; 14; 21; 15; 17; 14; 25; 13},

Pˇr´ıklady na procviˇcov´an´ı 1

Popisn´ a statistika

Pˇ r´ıklad 1.1

Urˇcete prvn´ı, druh´e a v´ ybˇerov´e druh´e momenty datov´ ych soubor˚ u x = {15; 12; 18; 14; 21; 15; 17; 14; 25; 13}, y = {9; 21; 15; 32; 11; 5; 17; 12; 22; 11}. [ viz n´avody ]

Pˇ r´ıklad 1.2 Urˇcete stˇredn´ı hodnotu, smˇerodatnou odchylku a rozptyl, v´ ybˇerovou smˇerodatnou odchylku a rozptyl, modus, medi´an a rozpˇet´ı datov´eho souboru x 1; 2; 1; 3; 1;

1; 2; 2; 3; 3;

2; 2; 2; 1; 2;

2; 3; 2; 3; 1;

2; 2; 3; 2; 1;

3; 2; 2; 2; 1;

3; 1; 2; 2; 3;

1; 1; 3; 2; 2;

1; 1; 1; 2; 2;

1; 2; 1; 1; 2;

1; 3; 3; 1; 2;

1; 1; 1; 2; 3;

2; 2; 3; 1; 1;

1; 1; 2; 1; 2;

2; 1; 2; 2; 2;

3; 2; 1; 2; 2;

2; 2; 2; 2; 2;

2; 1; 3; 3; 1;

1; 3; 2; 1; 3;

2; 1; 3; 1; 2. [ viz n´avody ]

Pˇ r´ıklad 1.3 Urˇcete medi´an, doln´ı a horn´ı kvartil, rozpˇet´ı, mezikvartilov´e rozpˇet´ı a variaˇcn´ı koeficient datov´eho souboru a) x = {2; 15; 12; 25; 8; 19; 14; 6}, b) x = {6; 8; 1; 4; 6; 7; 4}. [ viz n´avody ] Pˇ r´ıklad 1.4

Statistick´ ym ˇsetˇren´ım byla z´ısk´ana n´asleduj´ıc´ı data (xi jsou hodnoty, ni ˇcetnosti) xi = {5; 6; 7; 8; 9},

ni = {19; 2; 4; 18; 7}.

Urˇcete poˇcet dat n, stˇredn´ı hodnotu x, modus x ˆ, median x ˜, doln´ı kvartil x ˜25 , horn´ı kvartil x ˜75 , rozpˇet´ı R, mezikvartilov´e rozpˇet´ı IQR, v´ ybˇerov´ y rozptyl s2 a v´ ybˇerovou smˇerodatnou odchylku s. [ viz n´avody ]

2

Z´ aklady kombinatoriky

Pˇ r´ıklad 2.1 Urˇcete poˇcet vˇsech trojcifern´ ych pˇrirozen´ ych ˇc´ısel, v jejichˇz dekadick´em z´apisu se kaˇzd´a ˇc´ıslice vyskytuje nejv´ yˇse jednou. [ 648 ]

1

Pˇ r´ıklad 2.2 Je d´an ˇctverec a na kaˇzd´e jeho stranˇe je zvoleno n vnitˇrn´ıch bod˚ u. Urˇcete poˇcet vˇsech r˚ uzn´ ych troj´ uheln´ık˚ u, jejichˇz vrcholy leˇz´ı na r˚ uzn´ ych stran´ach ˇctverce ve vyznaˇcen´ ych bodech. [ 4n3 ] Pˇ r´ıklad 2.3 V botn´ıku je po jednom p´aru pohorek, tenisek, sand´al˚ u, hnˇed´ ych a ˇcern´ ych polobotek. Kolika zp˚ usoby z nich lze vybrat a) nejdˇr´ıve levou a pak pravou botu, kter´e k sobˇe nepatˇr´ı; b) p´ar bot, kter´e k sobˇe nepatˇr´ı; c) dvˇe boty, kter´e k sobˇe nepatˇr´ı? [ a) 20, b) 40, c) 80 ] Pˇ r´ıklad 2.4 V koˇs´ıku je 12 jablek a 10 hruˇsek. Petr si m´a vybrat jablko nebo hruˇsku tak, aby Vˇera, kter´a si po nˇem vybere jedno jablko a jednu hruˇsku, mˇela co nejvˇetˇs´ı moˇznost v´ ybˇeru. [ jablko ]

Variace

Pˇ r´ıklad 2.5 Urˇcete, kolik dvojjazyˇcn´ ych slovn´ık˚ u je tˇreba vydat, aby byla zajiˇstˇena moˇznost vz´ajemn´eho pˇr´ım´eho pˇrekladu z rusk´eho, anglick´eho, nˇemeck´eho a francouzsk´eho jazyka? [ 12 ] Pˇ r´ıklad 2.6 Na MS v hokeji hraje 8 druˇzstev. Kolika zp˚ usoby jim lze udˇelit zlatou, stˇr´ıbrnou a bronzovou medaili. [ 336 ] Pˇ r´ıklad 2.7 cifry r˚ uzn´e.

Urˇcete poˇcet vˇsech ˇsesticifern´ ych ˇc´ısel, v jejichˇz dekadick´em z´apisu jsou vˇsechny [ 136 080 ]

Pˇ r´ıklad 2.8 Urˇcete poˇcet vˇsech pˇrirozen´ ych ˇc´ısel menˇs´ıch neˇz 500, v jejichˇz z´apisu jsou pouze cifry 4, 5, 6, 7, a to kaˇzd´a nejv´ yˇse jednou. [ 22 ] Pˇ r´ıklad 2.9 Kolik sud´ ych trojcifern´ ych ˇc´ısel lze vytvoˇrit z ˇc´ıslic 0, 1, 2, 3, jestliˇze se ˇc´ıslice nesm´ı opakovat? [ 10 ] Pˇ r´ıklad 2.10 Urˇcete poˇcet vˇsech pˇeticifern´ ych pˇrirozen´ ych ˇc´ısel, v jejichˇz dekadick´em z´ apisu je kaˇzd´a z ˇc´ıslic 0, 1, 3, 4, 7. [ 96 ] 2

Pˇ r´ıklad 2.11 Urˇcete, kolika zp˚ usoby je na pˇetim´ıstn´e lavici moˇzno posadit pˇet dˇet´ı, z nichˇz dva chtˇej´ı sedˇet vedle sebe. [ 48 ] Pˇ r´ıklad 2.12 Urˇcete poˇcet vˇsech pˇrirozen´ ych ˇc´ısel a) trojcifern´ ych, sestaven´ ych pouze z ˇc´ıslic 1, 3, 5, 7, 9, b) pˇeticifern´ ych, sestaven´ ych pouze z ˇc´ıslic 1, 3, 5. [ a) 125, b) 243 ] Pˇ r´ıklad 2.13 Pˇr´ıstupov´ y k´od do trezoru je tvoˇren posloupnost´ı tˇr´ı p´ısmen a ˇctyˇr ˇc´ıslic. Kolik r˚ uzn´ ych k´od˚ u je moˇzno sestavit, m´ame-li k dispozici 28 p´ısmen? [ 219 520 000 ] Pˇ r´ıklad 2.14 Kolik znaˇcek Morseovy abecedy lze vytvoˇrit pomoc´ı nejv´ yˇse ˇctyˇrprvkov´ ych skupin teˇcek a ˇc´arek? [ 30 ] Kombinace

Pˇ r´ıklad 2.15 K volejbalov´emu turnaji se pˇrihl´asilo 6 druˇzstev. Kolik utk´an´ı se bude hr´ at, bude-li hr´at kaˇzd´ y s kaˇzd´ ym? [ 15 ] Pˇ r´ıklad 2.16

Kolik pˇr´ımek je urˇceno deseti body, jestliˇze pr´avˇe ˇctyˇri z nich leˇz´ı na pˇr´ımce? [ 40 ]

Pˇ r´ıklad 2.17 Ve tˇr´ıdˇe je 19 chlapc˚ u a 12 d´ıvek. Kolika zp˚ usoby z nich lze vybrat tˇr´ıˇclennou skupinu, v n´ıˇz jsou 2 chlapci a jedna d´ıvka? [ 2 052 ] Pˇ r´ıklad 2.18 Urˇcete, kolika zp˚ usoby lze na ˇsachovnici vybrat trojici pol´ı tak, aby vˇsechna pole nebyla t´eˇze barvy. [ 31 744 ] Pˇ r´ıklad 2.19 Urˇcete, kolika zp˚ usoby lze na ˇsachovnici vybrat trojici pol´ı tak, aby vˇsechna leˇzela v t´emˇze sloupci. [ 448 ] Pˇ r´ıklad 2.20 Ze sedmi muˇz˚ u a ˇctyˇr ˇzen se m´a vybrat ˇsestiˇclenn´a skupina, v n´ıˇz jsou alespoˇ n tˇri ˇzeny. Kolika zp˚ usoby to lze prov´est? [ 161 ] Pˇ r´ıklad 2.21

Ve spoleˇcnosti ˇsesti lid´ı si pˇrit’ukl kaˇzd´ y s kaˇzd´ ym. Kolik cinknut´ı se ozvalo? [ 15 ] 3

3

Jevov´ a pravdˇ epodobnost

Pˇ r´ıklad 3.1 Definujte pravdˇepodobnostn´ı prostor pro n´ahodn´ y pokus spoˇc´ıvaj´ıc´ı v hodu dvˇema mincemi. Jako v´ ysledek pokusu bereme a) S - padne-li stejn´e na obou minc´ıch a R - padne-li r˚ uzn´e; b) R - padnou-li dva ruby, L - padnou-li dva l´ıcy a N - padnou-li nestejn´e strany; c) uspoˇr´adan´e dvojice stran (R nebo L), kter´e padly na prvn´ı a druh´e minci. [ viz n´avody ] Pˇ r´ıklad 3.2 Definujte pravdˇepodobnostn´ı prostor pro n´ahodn´ y pokus, spoˇc´ıvaj´ıc´ı v hodu dvˇema kostkami. Jako v´ ysledek pokusu bereme a) uspoˇr´adan´e dvojice bod˚ u na prvn´ı a druh´e kostce; b) souˇcet bod˚ u na obou kostk´ach. [ viz n´avody ] Pˇ r´ıklad 3.3 Definujte pravdˇepodobnostn´ı prostor pro n´ahodn´ y pokus, spoˇc´ıvaj´ıc´ı ve vylosov´an´ı dvou kor´alk˚ u z krabiˇcky, ve kter´e je 5 b´ıl´ ych, 3 modr´e a 2 zelen´e kor´alky. Za v´ ysledky pokusu povaˇzujeme uspoˇr´adan´e dvojice barev vytaˇzen´ ych kor´alk˚ u. Taˇzen´ı uvaˇzujeme a) s vracen´ım prvn´ıho kor´alku pˇred druh´ ym tahem; b) bez vracen´ı prvn´ıho kor´alku pˇred druh´ ym tahem. [ viz n´avody ] Pˇ r´ıklad 3.4 Provedeme 10 hod˚ u hrac´ı kostkou. Jako v´ ysledek bereme poˇcet ˇsestek, kter´e padly. Napiˇste pravdˇepodobnostn´ı prostor tohoto n´ahodn´eho pokusu. [ viz n´avody ]

4

Klasick´ a a statistick´ a definice pravdˇ epodobnosti

Pˇ r´ıklad 4.1 Jak´a je pravdˇepodobnost v´ yhry 1. ceny ve sportce pˇri jednom vsazen´ı? (Je tˇreba uhodnout 6 ˇc´ısel ze 46.) [ 1.06·10−7 ] Pˇ r´ıklad 4.2

S jakou pravdˇepodobnost´ı bude pˇri jednom hodu tˇremi kostkami souˇcet bod˚ u 5? 1 [ 36 ]

Pˇ r´ıklad 4.3 Ve tˇr´ıdˇe je 25 d´ıvek a 15 chlapc˚ u. N´ahodnˇe vybereme tˇri ˇz´aky. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze to budou dva chlapci a jedna d´ıvka? [ 0.266 ] Pˇ r´ıklad 4.4 Ve tˇr´ıdˇe je 20 ˇz´ak˚ u. Mezi nimi jeden Oldˇrich a jedna Boˇzena. Jm´ena ˇz´ak˚ u nap´ıˇseme na l´ıstky a vylosujeme dvˇe skupiny, ”vˇetˇs´ı” 8 ˇz´ak˚ u a ”menˇs´ı” 5 ˇz´ak˚ u (7 ˇz´ak˚ u nebude vylosov´ ano). S jakou pravdˇepodobnost´ı a) Oldˇrich a Boˇzena nebudou vylosov´ani? b) Oldˇrich a Boˇzena budou vylosov´ani do stejn´e skupiny? c) Boˇzena bude vylosov´ana do jedn´e skupiny, zat´ımco Oldˇrich nebude vylosov´an? 4

[ a) 0.11, b) 0.2, c) 0.24 ] Pˇ r´ıklad 4.5 V krabici je 6 b´ıl´ ych kuliˇcek a 4 ˇcern´e kuliˇcky. N´ahodnˇe vylosujeme 2 kuliˇcky. S jakou pravdˇepodobnost´ı a) nebude vybr´ana ani jedna b´ıl´a kuliˇcka? b) bude vybr´ana jedna b´ıl´a a jedna ˇcern´a kuliˇcka? c) obˇe kuliˇcky budou b´ıl´e? [ a) 0.13, b) 0.53, c) 0.33 ] ˇ Pˇ r´ıklad 4.6 Ctverec je tˇremi vodorovn´ ymi a tˇremi svisl´ ymi ˇcarami rozdˇelen na ˇsachovnici 4x4. Do kaˇzd´eho ˇr´adku je na jedno z jeho ˇctyˇr pol´ı um´ıstˇen hrac´ı k´amen. S jakou pravdˇepodobnost´ı v kaˇzd´em sloupci leˇz´ı pr´avˇe jeden k´amen? [

3 32

]

b)

1 15

]

Pˇ r´ıklad 4.7 Na poliˇcce je n´ahodnˇe rozestaveno 10 knih. Urˇcete pravdˇepodobnost, ˇze: a) urˇcit´e 3 knihy jsou v urˇcit´em poˇrad´ı postaveny vedle sebe, b) urˇcit´e 3 knihy jsou postaveny vedle sebe. [ a)

1 90 ,

Pˇ r´ıklad 4.8 Tˇri muˇzi a tˇri ˇzeny obsad´ı n´ahodnˇe ˇsest m´ıst kolem stolu. S jakou pravdˇepodobnost´ı sed´ı kolem stolu stˇr´ıdavˇe? [ 0.1 ] Pˇ r´ıklad 4.9 V krabici je 8 kuliˇcek s ˇc´ısly 1, 2, ..., 8. Postupnˇe (bez vracen´ı vyt´ahneme vˇsechny kuliˇcky. S jakou pravdˇepodobnost´ı v prvn´ıch tˇrech taz´ıch bude poˇrad´ı tahu shodn´e s ˇc´ıslem kuliˇcky? [

1 336

]

ˇ ıslice 1, 2, 3, 4, 5 jsou naps´any na l´ıstc´ıch. N´ahodnˇe vybereme tˇri l´ıstky a Pˇ r´ıklad 4.10 C´ poloˇz´ıme je vedle sebe v tom poˇrad´ı, jak jsme je vybrali. S jakou pravdˇepodobnost´ı vznikl´e trojcifern´e ˇc´ıslo bude sud´e? [

2 5

]

Pˇ r´ıklad 4.11 Ze 32 hrac´ıch karet vyb´ır´ame dvakr´at za sebou jednu kartu. Urˇcete pravdˇepodobnost, ˇze a) obˇe karty jsou esa, jestliˇze jsme prvn´ı kartu nevr´atili; b) obˇe karty jsou stejn´e barvy (napˇr. srdce), jestliˇze jsme prvn´ı vytaˇzenou kartu opˇet vr´atili zpˇet. [ a) 0.012, b) 0.25 ] Pˇ r´ıklad 4.12 V dod´avce 100 kus˚ u kˇriˇst’´alov´ ych v´az je 5 vadn´ ych. Pˇri kontrole vybereme n´ahodnˇe 4 kusy. S jakou pravdˇepodobnost´ı a) jedna vybran´a v´aza je vadn´a? b) alespoˇ n jedna z vybran´ ych v´az je vadn´a? [ a) 0.176, b) 0.188 ] 5

Pˇ r´ıklad 4.13 V´ yrobky povaˇzujeme za vadn´e, kdyˇz nemaj´ı pˇredepsanou hmotnost nebo rozmˇer. V´ yrobk˚ u, kter´e nemaj´ı spr´avn´ y rozmˇer, je 10%, tˇech, kter´e maj´ı ˇspatnou v´ahu je 30% a v´ yrobk˚ u bez vady je 65%. Urˇcete pravdˇepodobnost, ˇze n´ahodnˇe vybran´ y v´ yrobek m´a spr´avnou hmotnost, ale nem´a pˇredepsan´ y rozmˇer. [ 0.05 ] Pˇ r´ıklad 4.14 V antikvari´atˇe se sniˇzuje cena, jestliˇze m´a kn´ıˇzka vytrˇzen´ y alespoˇ n jeden list, nebo je poˇcm´aran´a. Kn´ıˇzek s vytrˇzen´ ym listem je 20%, poˇcm´aran´ ych kn´ıˇzek je 30% a bezvadn´ ych je 70%. S jakou pravdˇepodobnost´ı je n´ahodnˇe vybran´a kn´ıˇzka poˇcm´aran´a, ale m´a vˇsechny str´anky? [ 0.1 ] Pˇ r´ıklad 4.15 V loterii je n los˚ u, ze kter´ ych m vyhr´av´a. Nˇekdo si koupil k los˚ u. S jakou pravdˇepodobnost´ı vyhraje? [ viz n´avody ] Pˇ r´ıklad 4.16 V klobouku je 10 l´ıstk˚ u, na kter´ ych jsou naps´ana jm´ena 6 chlapc˚ u a 4 d´ıvek. L´ıstky zam´ıch´ame a postupnˇe dva z nich vylosujeme. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze na nich budou jm´ena dvou chlapc˚ u, jestliˇze: a) prvn´ı l´ıstek vr´at´ıme a druh´ y losujeme opˇet ze vˇsech l´ıstk˚ u? b) prvn´ı l´ıstek nevr´at´ıme a druh´ y losujeme z tˇech, co z˚ ustaly? [ a) 0.36, b)

1 3

]

Pˇ r´ıklad 4.17 V urnˇe je 5 b´ıl´ ych a 7 ˇcern´ ych kuliˇcek. Vyt´ahneme za sebou dvˇe kuliˇcky. Jak´ a je pravdˇepodobnost vytaˇzen´ı dvou b´ıl´ ych kuliˇcek, jestliˇze se po prvn´ım tahu kuliˇcka a) nevr´at´ı, b) vr´at´ı. [ a) 0.15, b) 0.17 ] Pˇ r´ıklad 4.18 Z´avod vykazuje pˇri v´ yrobˇe 10% zmetkovost. Urˇcete pravdˇepodobnost, ˇze mezi 4 n´ahodnˇe vybran´ ymi v´ yrobky nebude ani jeden vadn´ y. [ 0.656 ] Pˇ r´ıklad 4.19 Dod´avku 100 v´ yrobk˚ u kontrolujeme n´ahodn´ ym v´ ybˇerem. Celou dod´ avku povaˇzujeme za dobrou, jestliˇze v s´erii pˇeti vybran´ ych v´ yrobk˚ u nebude ˇz´adn´ y v´ yrobek vadn´ y. S jakou pravdˇepodobnost´ı dod´avka nebude dobr´a, jestliˇze v n´ı je 5% vadn´ ych v´ yrobk˚ u? [ 0.23 ]

Geometrick´ a pravdˇ epodobnost

Pˇ r´ıklad 4.20 Na u ´seˇcce d´elky 1 jsou (rovnomˇernˇe) n´ahodnˇe zvoleny 2 body. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze jejich vzd´alenost bude menˇs´ı neˇz 1/3? [ 6

5 9

]

Pˇ r´ıklad 4.21 Do kruhu o polomˇeru R je veps´an ˇctverec. Pot´e je do kruhu n´ahodnˇe vhozen bod. S jakou pravdˇepodobnost´ı tento bod padne do vepsan´eho ˇctverce? [

2 π

]

Pˇ r´ıklad 4.22 Rovina je rozdˇelena syst´emem rovnobˇeˇzek ve vzd´alenostech 6 cm. Pot´e je na ni vhozen kruh o polomˇeru 1. S jakou pravdˇepodobnost´ı kruh neprotne ˇz´adnou rovnobˇeˇzku? [

2 3

]

Pˇ r´ıklad 4.23 Hodiny, kter´e nebyly spr´avnˇe nataˇzeny, se zastav´ı. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze se velk´a ruˇciˇcka zastav´ı mezi ˇsestkou a dev´ıtkou? [

1 4

]

Pˇ r´ıklad 4.24 Necht’ pro dvˇe n´ahodnˇe zvolen´a ˇc´ısla x, y plat´ı 0 < x ≤ 1, 0 < y ≤ 1. S jakou pravdˇepodobnost´ı jejich souˇcet nen´ı vˇetˇs´ı neˇz 1 a souˇcin nen´ı menˇs´ı neˇz 0,09? [ 0.2022 ] Pˇ r´ıklad 4.25 Tyˇc dlouh´a d je n´ahodnˇe rozlomen´a na 3 kusy. S jakou pravdˇepodobnost´ı lze ze tˇr´ı vznikl´ ych ˇc´ast´ı sestrojit troj´ uheln´ık? [

1 4

]

Pˇ r´ıklad 4.26 Dvˇe osoby maj´ı stejnou moˇznost pˇrij´ıt na domluven´e m´ısto v jakoukoli dobu mezi dvan´actou a tˇrin´actou hodinou a jejich pˇr´ıchody jsou nez´avisl´e. Ten, kdo pˇrijde prvn´ı, ˇcek´ a na druh´eho dvacet minut a pak odejde. S jakou pravdˇepodobnost´ı se setkaj´ı? [

5 9

]

Podm´ınˇ en´ a pravdˇ epodobnost a nez´ avisl´ e jevy

Pˇ r´ıklad 4.27

´ Udaje o 100 narozen´ ych dˇetech jsou v tabulce:

V´ yˇska do 50 cm V´ yˇska nad 50 cm

V´aha do 3 kg 60 15

V´aha nad 3 kg 20 5

ˇ N´ahodnˇe vybereme jedno d´ıtˇe. Rekneme, ˇze nastal jev A, jestliˇze vybereme d´ıtˇe s v´ahou do 3 kg, nastal jev B, jestliˇze vybereme d´ıtˇe s v´ yˇskou do 50 cm. Rozhodnˇete, zda jevy A a B jsou z´avisl´e. [ Jsou nez´avisl´e. ]

7

Pˇ r´ıklad 4.28 V´ yrobek je postupnˇe obr´abˇen na dvou stroj´ıch. Pravdˇepodobnost kvalitn´ıho zpracov´an´ı v´ yrobku na prvn´ım stroji je 0,8 a na druh´em stroji 0,9. Stroje pracuj´ı nez´avisle na sobˇe. Jak´a je pravdˇepodobnost zhotoven´ı kvalitn´ıho v´ yrobku, tj. v´ yrobku, kter´ y nebyl pokaˇzen ani na jednom stroji? [ 0.72 ] Pˇ r´ıklad 4.29 Pˇr´ıstroj je sestaven z 300 nez´avisle pracuj´ıc´ıch souˇc´astek. Pravdˇepodobnost poruchy kaˇzd´e ze souˇc´astek za jednu smˇenu je 0,01. S jakou pravdˇepodobnost´ı v n´ahodnˇe vybran´e smˇenˇe bude pˇr´ıstroj pracovat bez poruchy? [ 0.049 ] Pˇ r´ıklad 4.30 Jevy A, B a C jsou vz´ajemnˇe nez´avisl´e a vˇsechny maj´ı pravdˇepodobnost 0,8. S jakou pravdˇepodobnost´ı pˇri jednom pokusu a) nastanou vˇsechny tˇri jevy souˇcasnˇe, b) nenastane ani jeden z jev˚ u, c) nastane pouze jev A, d) nastane pr´avˇe jeden z tˇechto jev˚ u. [ a) 0.512, b) 0.008, c) 0.032, d) 0.096 ] Pˇ r´ıklad 4.31 Pod´ıl ˇz´arovek ve skladu od urˇcit´eho v´ yrobce je 40%. Z tˇechto ˇz´arovek je 90% prvn´ı jakosti. S jakou pravdˇepodobnost´ı n´ahodnˇe vybran´a ˇz´arovka je od tohoto v´ yrobce a je prvn´ı jakosti? [ 0.36 ] Pˇ r´ıklad 4.32 H´az´ıme dvˇema kostkami. S jakou pravdˇepodobnost´ı a) padne souˇcet vˇetˇs´ı neˇz 6, jestliˇze na prvn´ı kostce padla dvojka? b) padne souˇcet vˇetˇs´ı neˇz 9, jestliˇze na prvn´ı kostce padlo sud´e ˇc´ıslo? [ a) 13 , b)

2 9

]

Pˇ r´ıklad 4.33 Z celkov´e produkce z´avodu je 4% zmetk˚ u. Z dobr´ ych v´ yrobk˚ u je 75% standardn´ıch. S jakou pravdˇepodobnost´ı n´ahodnˇe vybran´ y v´ yrobek je standardn´ı? [ 0.72 ] Pˇ r´ıklad 4.34 Tˇri sportovci h´az´ı nez´avisle jeden na druh´em oˇstˇepem. Prvn´ı pˇrekon´a hranici 80m pr˚ umˇernˇe v 80%, druh´ y v 70% a tˇret´ı v 50% hod˚ u. Kaˇzd´ y z nich jednou hod´ı. S jakou pravdˇepodobnost´ı bude pˇrekonan´a hranice 80m? [ 0.97 ] Pˇ r´ıklad 4.35 Je zn´amo, ˇze prvn´ı skupina student˚ u vyˇreˇs´ı u ´lohu s pravdˇepodobnost´ı 2/5, druh´ a s pravdˇepodobnost´ı 1/3. Obˇe skupiny ˇreˇs´ı u ´lohu nez´avisle na sobˇe. S jakou pravdˇepodobnost´ı bude u ´loha vyˇreˇsena? [ 0.6 ] 8

Pˇ r´ıklad 4.36 Dva sportovci stˇr´ılej´ı nez´avisle na stejn´ y c´ıl. Pravdˇepodobnost, ˇze c´ıl zas´ ahne prvn´ı, je 0,9 a druh´ y 0,8. S jakou pravdˇepodobnost´ı nezas´ahne c´ıl ani jeden z nich? [ 0.02 ] Pˇ r´ıklad 4.37 Pˇres kan´al se pˇren´aˇs´ı bin´arn´ı sign´al. Pravdˇepodobnost zmˇeny 0 nebo 1 na opaˇcn´ y znak je 1%, nez´avisle na pˇredchoz´ım znaku. Vyslali jsme sign´al 10110. S jakou pravdˇepodobnost´ı a) se sign´al pˇrenese spr´avnˇe? b) se pˇrenesla kombinace 11110? [ a) 0.951, b) 0.0096 ] Pˇ r´ıklad 4.38 Stˇrelec tˇrikr´at nez´avisle vystˇrelil na c´ıl. Pravdˇepodobnost z´asah˚ u je postupnˇe 0,5; 0,6; 0,8. S jakou pravdˇepodobnost´ı bude v c´ıli a) pr´avˇe jeden z´asah? b) alespoˇ n jeden z´asah? [ a) 0.26, b) 0.96 ] Pˇ r´ıklad 4.39 Pravdˇepodobnost, ˇze z´akazn´ık vejde do obchodu v pr˚ ubˇehu jedn´e minuty je 0,01. S jakou pravdˇepodobnost´ı v pr˚ ubˇehu 100 minut vejdou do obchodu tˇri z´akazn´ıci? [ 0.061 ] Pˇ r´ıklad 4.40 S jakou pravdˇepodobnost´ı pˇri pˇeti nez´avisl´ ych hodech kostkou padne a) ˇsestka pouze pˇri druh´em a ˇctvrt´em hodu? b) ˇsestka pr´avˇe dvakr´at? [ a) 0.016, b) 0.16 ] Pˇ r´ıklad 4.41 Pravdˇepodobnost, ˇze dod´avka bude m´ıt v´ıce neˇz 2% vadn´ ych v´ yrobk˚ u, je 0,08. S jakou pravdˇepodobnost´ı bude ve tˇrech dod´avk´ach z dvaceti v´ıce neˇz 2% vadn´ ych v´ yrobk˚ u? [ 0.14 ] Pˇ r´ıklad 4.42 Pˇri pokusu byl kˇr´ıˇzen b´ıl´ y a fialov´ y hr´ach. Podle z´akon˚ u dˇediˇcnosti by mˇely b´ yt 3/4 potomk˚ u fialov´e a 1/4 b´ıl´a. Vzkl´ıˇcilo 10 rostlin. S jakou pravdˇepodobnost´ı a) ˇz´adn´a rostlina nebude b´ıl´a? b) alespoˇ n tˇri rostliny budou fialov´e? c) fialov´ ych bude alespoˇ n 6 a nejv´ıce 8? [ a) 0.056, b) 0.999, c) 0.678 ] Pˇ r´ıklad 4.43 Pravdˇepodobnost, ˇze ve ˇctyˇrech pokusech nastane alespoˇ n jednou jev A je 0,59. S jakou pravdˇepodobnost´ı jev A nastane v jednom pokuse, jestliˇze pravdˇepodobnost je v kaˇzd´em pokuse stejn´a a pokusy jsou nez´avisl´e? [ 0.2 ]

9

Pˇ r´ıklad 4.44 Ve tˇr´ıdˇe, kde pomˇer chlapc˚ u a d´ıvek je 7:3, studuje s vyznamen´an´ım pˇetina chlapc˚ u a desetina d´ıvek. S jakou pravdˇepodobnost´ı n´ahodnˇe vybran´ y z´astupce tˇr´ıdy bude studovat s vyznamen´an´ım? [ 0.17 ] Pˇ r´ıklad 4.45 S jakou pravdˇepodobnost´ı pˇri hodu dvˇema mincemi padly dva ruby, jestliˇze v´ıme, ˇze padl alespoˇ n jeden rub? [ 13 ]

Pravdˇ epodobnost sjednocen´ı jev˚ u

Pˇ r´ıklad 4.46 V loterii je 1000 los˚ u. Jeden z nich vyhr´av´a 1. cenu, 5 los˚ u 2. cenu a 20 los˚ u 3. cenu. S jakou pravdˇepodobnost´ı zakoupen´ y los vyhraje? [ 0.026 ] Pˇ r´ıklad 4.47 Pravdˇepodobnost u ´spˇechu urˇcit´e akce je 0,8 pˇri prvn´ım pokusu a 0,9 pˇri druh´em pokusu. Jak´a je pravdˇepodobnost alespoˇ n jednoho u ´spˇechu, jestliˇze v´ ysledek prvn´ıho pokusu neovlivˇ nuje pravdˇepodobnost druh´eho pokusu? [ 0.98 ] Pˇ r´ıklad 4.48 Pˇr´ıstroj je sestaven z 300 nez´avisle pracuj´ıc´ıch souˇc´astek. Pravdˇepodobnost poruchy kaˇzd´e ze souˇc´astek za jednu smˇenu je 0,01. S jakou pravdˇepodobnost´ı v n´ahodnˇe vybran´e smˇenˇe bude m´ıt alespoˇ n jedna souˇc´astka pˇr´ıstroje poruchu? [ 0.951 ] ¯ A¯ ∩ B; A ∩ B; A¯ ∩ B. ¯ Pˇ r´ıklad 4.49 Pˇri n´ahodn´em pokusu m˚ uˇze nastat jeden z jev˚ u A ∩ B; Vˇsechny tyto jevy maj´ı stejnou pravdˇepodobnost 0,25. Jak´a je pravdˇepodobnost jevu A, jevu B a jevu A ∪ B? [ 0.5, 0.5, 0.75 ] Pˇ r´ıklad 4.50 S jakou pravdˇepodobnost´ı ve sportce vyhrajeme alespoˇ n p´atou cenu (tj. uhodneme alespoˇ n dvˇe ˇc´ısla z ˇsesti vsazen´ ych pˇri celkov´em poˇctu ˇc´ısel 46)? [ 0.169 ] Pˇ r´ıklad 4.51 Pˇr´ıstroj je sestaven ze tˇr´ı na sobˇe nez´avisle pracuj´ıc´ıch ˇc´ast´ı. Ve sledovan´em ˇcasov´em intervalu je pravdˇepodobnost poruchy kaˇzd´e z jeho ˇc´ast´ı 0,1. S jakou pravdˇepodobnost´ı a) ani jedna z ˇc´ast´ı nebude m´ıt poruchu? b) vˇsechny ˇc´asti budou m´ıt poruchu? c) pr´avˇe jedna ˇc´ast bude m´ıt poruchu? d) alespoˇ n jedna ˇc´ast bude m´ıt poruchu? [ a) 0.729, b) 0.001, c) 0.243, d) 0.271 ] 10

Pˇ r´ıklad 4.52 K osevu byly vybr´any dvˇe odr˚ udy pˇsenice, a to 20% 1. odr˚ udy a 80% 2. odr˚ udy. Pravdˇepodobnost vykl´ıˇcen´ı 1. odr˚ udy je 0,95 a 2. odr˚ udy 0,98. S jakou pravdˇepodobnost´ı n´ahodnˇe vybran´e zrno vykl´ıˇc´ı? [ 0.974 ] Pˇ r´ıklad 4.53 Dva stˇrelci stˇr´ılej´ı nez´avisle na c´ıl. Pravdˇepodobnost z´asahu prvn´ıho je 0,7 a druh´eho 0,8. S jakou pravdˇepodobnost´ı pˇri souˇcasn´em v´ ystˇrelu zas´ahne c´ıl alespoˇ n jeden z nich? [ 0.94 ] Pˇ r´ıklad 4.54 Skokan do d´alky m´a tˇri nez´avisl´e pokusy na to, aby se zlepˇsil. Pˇritom pravdˇepodobnost zlepˇsen´ı je v kaˇzd´em pokusu stejn´a, rovna 1/3. S jakou pravdˇepodobnost´ı se skokan bˇehem tˇr´ı pokus˚ u zlepˇs´ı? [ 0.704 ] Pˇ r´ıklad 4.55 Syst´em se skl´ad´a ze tˇr´ı zaˇr´ızen´ı jejichˇz pravdˇepodobnosti bezporuchov´eho chodu jsou postupnˇe 0,7; 0,8; 0,8. Urˇcete pravdˇepodobnost bezporuchov´eho chodu syst´emu, jsou-li zaˇr´ızen´ı zapojena a) v s´erii, b) paralelnˇe. [ a) 0.448, b) 0.988 ] Pˇ r´ıklad 4.56 Mezi 100 v´ yrobky je 15 vadn´ ych. N´ahodnˇe vybereme 10 v´ yrobk˚ u. S jakou pravdˇepodobnost´ı ve v´ ybˇeru budou nejv´ yˇse dva vadn´e v´ yrobky? [ 0.83 ] Pˇ r´ıklad 4.57 Z dvan´acti souˇc´astek jsou 2/3 bezvadn´ ych a 1/3 vadn´ ych. S jakou pravdˇepodobnost´ı pˇri souˇcasn´em vytaˇzen´ı tˇr´ı souˇc´astek bude mezi nimi alespoˇ n jedna vadn´a? [ 0.745 ] Pˇ r´ıklad 4.58 V urnˇe je jeden b´ıl´ y a ˇctyˇri ˇcern´e m´ıˇcky. Dvˇe osoby vytahuj´ı stˇr´ıdavˇe a bez vracen´ı vˇzdy po jednom m´ıˇcku. Vyhr´av´a ten, kdo prvn´ı vyt´ahne b´ıl´ y m´ıˇcek. S jakou pravdˇepodobnost´ı to bude ten, kdo zaˇc´ın´a? [

3 5

]

Pˇ r´ıklad 4.59 V urnˇe jsou tˇri b´ıl´e, pˇet ˇcern´ ych a dva ˇcerven´e m´ıˇcky. Dvˇe osoby vytahuj´ı stˇr´ıdavˇe a bez vracen´ı vˇzdy po jednom m´ıˇcku. Vyhr´av´a ten, kdo prvn´ı vyt´ahne b´ıl´ y m´ıˇcek a pˇri tahu ˇcerven´eho m´ıˇcku konˇc´ı hra nerozhodnˇe. S jakou pravdˇepodobnost´ı vyhraje ten, kdo zaˇc´ın´a? [ 0.395 ] Pˇ r´ıklad 4.60 Dva hr´aˇci h´azej´ı postupnˇe minc´ı. Vyhr´av´a ten, komu padne jako prvn´ı l´ıc. S jakou pravdˇepodobnost´ı vyhraje prvn´ı z hr´aˇc˚ u? [ 11

2 3

]

Nez´ avisl´ e pokusy

Pˇ r´ıklad 4.61

S jakou pravdˇepodobnost´ı pˇri 5 hodech kostkou padne alespoˇ n jednou ˇsestka? [ 0.598 ]

Pˇ r´ıklad 4.62 Test obsahuje 10 ot´azek a na kaˇzdou z nich jsou 4 moˇzn´e odpovˇedi (z nichˇz jen jedna je spr´avn´a). Student se neuˇcil a ot´azky zatrh´av´a zcela n´ahodnˇe. S jakou pravdˇepodobnost´ı zatrhne alespoˇ n 5 ot´azek spr´avnˇe? [ 0.078 ] Pˇ r´ıklad 4.63 Je zn´amo, ˇze urˇcit´ y l´ek u ´spˇeˇsnˇe l´eˇc´ı dan´e onemocnˇen´ı v 90% pˇr´ıpad˚ u. S jakou pravdˇepodobnost´ı alespoˇ n ˇctyˇri z pˇeti pacient˚ u budou t´ımto l´ekem vyl´eˇceni? [ 0.918 ] Pˇ r´ıklad 4.64 Automat vyrob´ı za minutu 10 souˇc´astek. Pravdˇepodobnost vyroben´ı vadn´e souˇc´astky je 0,01. Po kolika minut´ach bude pravdˇepodobnost, ˇze byl vyroben alespoˇ n jeden zmetek, rovna minim´alnˇe 0,8? [ 16 ] Pˇ r´ıklad 4.65 Pravdˇepodobnost, ˇze spotˇreba elektrick´e energie ve vˇsedn´ı den urˇcit´eho roˇcn´ıho obdob´ı pˇres´ahne stanovenou normu, je 0,3. S jakou pravdˇepodobnost´ı v pˇeti n´ahodnˇe vybran´ ych vˇsedn´ıch dnech nebude norma ani jednou pˇrekroˇcena? [ 0.168 ]

´ Upln´ a pravdˇ epodobnost a Bayes˚ uv vzorec

Pˇ r´ıklad 4.66 Na skladˇe jsou souˇc´astky ze tˇr´ı tov´aren. Prvn´ı tov´arna m´a pr˚ umˇernˇe 0,3%, druh´ a 0,2% a tˇret´ı 0,4% zmetk˚ u. Prvn´ı tov´arna dodala 1000, druh´a 2000 a tˇret´ı 2500 souˇc´astek. S jakou pravdˇepodobnost´ı n´ahodnˇe vybran´a souˇc´astka bude zmetek? [ 0.0031 ] Pˇ r´ıklad 4.67 V d´ılnˇe pracuje 20 dˇeln´ık˚ u, kteˇr´ı vyr´abˇej´ı stejn´e souˇc´astky. Kaˇzd´ y z nich vyrob´ı za smˇenu stejn´e mnoˇzstv´ı. Deset z nich vyrob´ı 94% v´ yrobk˚ u 1.tˇr´ıdy, ˇsest 90% a ˇctyˇri 85%. S jakou pravdˇepodobnost´ı n´ahodnˇe vybran´ y v´ yrobek bude 1.tˇr´ıdy? [ 0.91 ] 12

Pˇ r´ıklad 4.68 Pˇri sportovn´ı stˇrelbˇe vol´ı stˇrelec n´ahodnˇe jednu ze ˇctyˇr puˇsek. Pravdˇepodobnosti z´asahu jednotliv´ ych puˇsek jsou 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Jak´a je pravdˇepodobnost z´asahu pˇri jednom v´ ystˇrelu? [ 0.75 ] Pˇ r´ıklad 4.69 Na skladˇe je 70% pˇr´ıstroj˚ u prvn´ı jakosti a 30% druh´e jakosti. Pravdˇepodobnost, ˇze pˇr´ıstroj 1. jakosti pracuje bez poruchy je 0,95 a pˇr´ıstroj 2. jakosti 0,7. Organizace koupila jeden pˇr´ıstroj a ten pracoval bez poruchy. S jakou pravdˇepodobnost´ı byl pˇr´ıstroj 1. jakosti? [ 0.76 ] Pˇ r´ıklad 4.70 Ocelov´e odlitky jsou kontrolovan´e rentgenov´ ym pˇr´ıstrojem. Ten odhal´ı chybu v odlitku s pravdˇepodobnost´ı 0,98 a dobr´ y odlitek oznaˇc´ı jako vadn´ y s pravdˇepodobnost´ı 0,001. Je zn´amo, ˇze se chyba vyskytuje ve 0,3% odlitk˚ u. S jakou pravdˇepodobnost´ı je v´ yrobek oznaˇcen´ y pˇr´ıstrojem za chybn´ y skuteˇcnˇe vadn´ y? [ 0.747 ] Pˇ r´ıklad 4.71 Pˇri vyˇsetˇrov´an´ı pacienta je podezˇren´ı na tˇri navz´ajem se vyluˇcuj´ıc´ı onemocnˇen´ı. Pravdˇepodobnost v´ yskytu prvn´ı choroby je 0,3, druh´e 0,5 a tˇret´ı 0,2. Laboratorn´ı zkouˇska je pozitivn´ı u 15% nemocn´ ych s prvn´ı nemoc´ı, 30% nemocn´ ych s druhou a 30% nemocn´ ych s tˇret´ı nemoc´ı. Jak´a je pravdˇepodobnost druh´e nemoci, je-li po laboratorn´ım vyˇsetˇren´ı v´ ysledek pozitivn´ı? [ 0.588 ] Pˇ r´ıklad 4.72 V d´ılnˇe pracuje 10 dˇeln´ık˚ u, kteˇr´ı za smˇenu vyrob´ı stejn´ y poˇcet v´ yrobk˚ u. Pˇet z nich vyrob´ı 96% standardn´ıch v´ yrobk˚ u, tˇri 90% a dva 85%. N´ahodnˇe vybereme jeden v´ yrobek a ten je standardn´ı. S jakou pravdˇepodobnost´ı jej vyrobila prvn´ı skupina dˇeln´ık˚ u? [ 0.52 ]

5

N´ ahodn´ a veliˇ cina

Pˇ r´ıklad 5.1 V osud´ı je pˇet l´ıstk˚ u oznaˇcen´ ych ˇc´ısly 1,2,3,4,5. Najednou vyt´ahneme tˇri l´ıstky. N´ahodn´a veliˇcina X ud´av´a souˇcet vytaˇzen´ ych ˇc´ısel. Najdˇete rozdˇelen´ı t´eto n´ahodn´e veliˇciny. [ viz n´avody ] Pˇ r´ıklad 5.2 Ze spoleˇcnosti 10 osob, kter´e tvoˇr´ı 7 muˇz˚ u a 3 ˇzeny, vybereme n´ahodnˇe 3 osoby. N´ahodn´a veliˇcina X ud´av´a poˇcet ˇzen ve v´ ybˇeru. Najdˇete rozdˇelen´ı t´eto n´ahodn´e veliˇciny. [ P (0) = 0.292, P (1) = 0.525, P (2) = 0.175, P (3) = 0.008. ] Pˇ r´ıklad 5.3 Automobil postupnˇe proj´ıˇzd´ı kˇriˇzovatkami se semafory tak dlouho, dokud ho nˇekter´ y ze semafor˚ u nezastav´ı. Kaˇzd´ y ze semafor˚ u automobil s pravdˇepodobnost´ı 1/3 zastav´ı a s pravdˇepodobnost´ı 2/3 nech´a projet. N´ahodn´a veliˇcina X ud´av´a poˇcet kˇriˇzovatek, kter´ ymi automobil projede, neˇz bude zastaven. Najdˇete jej´ı rozdˇelen´ı. [ P (0) = 0.333, P (1) = 0.222, P (2) = 0.148, P (3) = 0.099P (4) = 0.066, ... ] 13

Pˇ r´ıklad 5.4 H´az´ıme tˇrema kostkami. N´ahodn´a veliˇcina je d´ana poˇctem ˇsestek, kter´e pˇri hodu padly. Najdˇete rozdˇelen´ı t´eto n´ahodn´e veliˇciny. [ P (0) = 0.5787, P (1) = 0.3472, P (2) = 0.0694, P (3) = 0.0046. ] Pˇ r´ıklad 5.5 Tˇrikr´at vystˇrel´ıme na c´ıl. Pravdˇepodobnost z´asahu pˇri kaˇzd´em v´ ystˇrelu je p = 0, 7. Urˇcete rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti poˇctu z´asah˚ u, jestliˇze v´ ystˇrely jsou nez´avisl´e. [ P (0) = 0.0270, P (1) = 0.1890, P (2) = 0.4410, P (3) = 0.3430. ] Pˇ r´ıklad 5.6 Napiˇste hustotu n´ahodn´e veliˇciny X, ˇr´ıd´ıc´ı se rovnomˇern´ ym rozdˇelen´ım pravdˇepodobnosti na intervalu h−1; 2i. [ viz n´avody ] Pˇ r´ıklad 5.7

N´ahodn´a veliˇcina X m´a rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti s hustotou f (x) = c

1 , 1 + x2

x ∈ (−∞, ∞).

Urˇcete konstantu c. [c= Pˇ r´ıklad 5.8

1 π

]

N´ahodn´a veliˇcina je d´ana distribuˇcn´ı funkc´ı F (x)

F (x) =

   0

pro x ≤ 0, pro 0 < x ≤ 1, pro x > 1 .

x2

  1

Urˇcete a) hustotu pravdˇepodobnosti f (x),

b) pravdˇepodobnost P (0, 25 < X < 0, 75). [ a) 2x pro x ∈ h0; 1i jinde nula, b) P = 0.5 ]

Pˇ r´ıklad 5.9

Hustota pravdˇepodobnosti n´ahodn´e veliˇciny X je d´ana pˇredpisem f (x) =

   0

x−

  0

1 2

pro x ≤ 1, pro 1 < x ≤ 2, pro x > 2 .

Urˇcete distribuˇcn´ı funkci F (x). [ F (x) = 0.5(x2 − x) pro x ∈ h1; 2i, vlevo nula, vpravo jedna. ] Pˇ r´ıklad 5.10

Distribuˇcn´ı funkce n´ahodn´e veliˇciny X je d´ana pˇredpisem F (x) =

   0

pro x ≤ 0, a + b sin x pro 0 < x ≤ π2 ,   1 pro x > π2 .

Urˇcete a) konstanty a, b; b) hustotu pravdˇepodobnosti f (x); c) pravdˇepodobnost P (0 < X < π4 ). [ a) a = 0, b = 1, b) f (x) = cos x pro x ∈ h0; π/2i, c) P = 14

√

2 2

]

Pˇ r´ıklad 5.11 ulkou

Najdˇete stˇredn´ı hodnotu a rozptyl n´ahodn´e veliˇciny, jej´ıˇz rozdˇelen´ı je d´ano tab-

xi P (xi )

0 1/2

1 1/4

2 . 1/4 [ E[X] = 34 , D[X] =

Pˇ r´ıklad 5.12

]

1 6

]

Najdˇete stˇredn´ı hodnotu a rozptyl n´ahodn´e veliˇciny X, jej´ıˇz hustota je

f (x) =

6

11 16

   x

pro 0 < x ≤ 1, 2 − x pro 1 < x ≤ 2,   0 jinde .

[ E[X] = 1, D[X] =

Rozdˇ elen´ı

Pˇ r´ıklad 6.1 Automat vyrob´ı za minutu 20 souˇc´astek. Vadnou souˇc´astku vyrob´ı s pravdˇepodobnost´ı 0.01. Po kolika minut´ach vyrob´ı alespoˇ n jednu vadnou souˇc´astku s pravdˇepodobnost´ı minim´alnˇe 0.8? [ Po osmi minut´ ach. ] Pˇ r´ıklad 6.2 Pravdˇepodobnost, ˇze bude vyroben vadn´ y izol´ator, je 0.05. S jakou pravdˇepodobnost´ı budou mezi 80 vyroben´ ymi izol´atory 4 vadn´e? [ 0.195 ] Pˇ r´ıklad 6.3 Bylo statisticky zjiˇstˇeno, ˇze na tis´ıc metr˚ u urˇcit´e l´atky pˇripad´a pr˚ umˇernˇe pˇet kaz˚ u. Pro dod´avku bylo pˇripraveno 50 stometrov´ ych bal´ık˚ u. Jak´ y poˇcet bezvadn´ ych bal´ık˚ u lze v t´eto dod´avce oˇcek´avat? [ 30 ] Pˇ r´ıklad 6.4 Ze zkuˇsenosti v´ıme, ˇze pˇri norm´aln´ım chodu stroje je v pr˚ umˇeru 0.1% v´ yrobk˚ u vadn´ ych. Ke stroji nastoupil nov´ y pracovn´ık a z 5 000 v´ yrobk˚ u, kter´e zhotovil, bylo 11 vadn´ ych. Spad´a tento poˇcet do bˇeˇzn´eho stavu, nebo je vyˇsˇs´ı, napˇr. vzhledem k nezkuˇsenosti nov´eho pracovn´ıka? [ Poˇcet vadn´ ych v´ yrobk˚ u ukazuje na nezkuˇsenost pracovn´ıka. ]

15

7

Limitn´ı vˇ ety

Pˇ r´ıklad 7.1 Pravdˇepodobnost v´ yskytu jevu v jednom pokusu je 0.3. S jakou pravdˇepodobnost´ı lze tvrdit, ˇze relativn´ı ˇcetnost v´ yskytu tohoto jevu je ve 100 pokusech v mez´ıch 0.2 aˇz 0.4? [ 0.97 ] Pˇ r´ıklad 7.2 Pravdˇepodobnost, ˇze se za dobu T porouch´a pˇr´ıstroj, je 0.2. S jakou pravdˇepodobnost´ı se za dobu T ze 100 pˇr´ıstroj˚ u porouch´a a) alespoˇ n 20, b) m´enˇe neˇz 28, c) 14 aˇz 26 pˇr´ıstroj˚ u? [ a) 0.5, b) 0.977, c) 0.866 ] Pˇ r´ıklad 7.3 Pˇri jednom pokusu z´ısk´ame kladn´ y v´ ysledek s pravdˇepodobnost´ı 0.05. Kolik je tˇreba prov´est pokus˚ u, abychom s pravdˇepodobnost´ı 0.8 z´ıskali alespoˇ n 5 kladn´ ych v´ ysledk˚ u? [ n = 144 ]

8

N´ ahodn´ y v´ ybˇ er

Pˇ r´ıklad 8.1

Urˇcete hodnotu a, pro n´ıˇz plat´ı P (Z ≤ a) = 0, 01,

v´ıte-li, ˇze Z ∝ N (0 1) a z0,01 = 2, 326 je kritick´a hodnota rozdˇelen´ı. [ a = −2.326 ] Pˇ r´ıklad 8.2

Urˇcete hodnotu a, pro n´ıˇz plat´ı P (Z ≤ a) = 0, 99,

v´ıte-li, ˇze Z ∝ N (0 1) a z0,01 = 2, 326 je kritick´a hodnota rozdˇelen´ı. [ a = 2.326 ] Pˇ r´ıklad 8.3

Urˇcete hodnotu a, pro n´ıˇz plat´ı P (Z > a) = 0, 99,

v´ıte-li, ˇze Z ∝ N (0 1) a z0,01 = 2, 326 je kritick´a hodnota rozdˇelen´ı. [ a = −2.326 ] Pˇ r´ıklad 8.4

Urˇcete hodnotu a, pro n´ıˇz plat´ı P (X ≤ a) = 0, 01,

v´ıte-li, ˇze X ∝ N (µ σ 2 ), µ = 1, σ 2 = 16 a z0,01 = 2, 326 je kritick´a hodnota rozdˇelen´ı N (0 1). [ a = −8.304 ] 16

Pˇ r´ıklad 8.5

Urˇcete hodnotu a, pro n´ıˇz plat´ı P (X ≤ a) = 0, 99,

v´ıte-li, ˇze X ∝ N (µ σ 2 ), µ = 1, σ 2 = 16 a z0,01 = 2, 326 je kritick´a hodnota rozdˇelen´ı N (0 1). [ a = 10.304 ] Pˇ r´ıklad 8.6

Urˇcete hodnotu a, pro n´ıˇz plat´ı P (X > a) = 0, 99,

v´ıte-li, ˇze X ∝ N (µ σ 2 ), µ = 1, σ 2 = 16 a z0,01 = 2, 326 je kritick´a hodnota rozdˇelen´ı N (0 1). [ a = −8.304 ] Pravdˇ epodobnost, ˇ ze n´ ahodn´ a veliˇ cina je z intervalu

Pˇ r´ıklad 8.7 Po silnici se pohybuje kolona 20 vojensk´ ych vozidel, kter´a maj´ı vlivem nestejn´eho n´akladu, nahuˇstˇen´ı pneumatik atd. nestejnou v´ yˇsku. Ta m´a norm´aln´ı rozdˇelen´ı N(µ; σ 2 ), kde µ = 2.93 a σ 2 = 0.002. V´ yˇsky automobil˚ u jsou navz´ajem nez´avisl´e. V cestˇe stoj´ı most vysok´ y 3m. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze a) prvn´ı vozidlo neprojede, b) n´ahodnˇe vybran´e vozidlo neprojede, c) vˇsichni projedou. [ a) 0.058, b) 0.058, c) 0.296 ] Pˇ r´ıklad 8.8 Pˇredpokl´ad´ame, ˇze pasaˇz´eˇri leteck´e spoleˇcnosti Flyways Airline maj´ı pr˚ umˇernou v´ahu 75kg se smˇerodatnou odchylkou 12.5kg. Letadlo m´a nosnost 3900kg a kapacitu 50 pasaˇz´er˚ u. S jakou pravdˇepodobnost´ı bude letadlo pˇri pln´em obsazen´ı pˇret´ıˇzeno? [ P = 0.045 ] Pˇ r´ıklad 8.9 Hmotnost ”kilov´eho” balen´ı m´a u dobˇre seˇr´ızen´eho pln´ıc´ıho stroje v´ahu 1012,5g se smˇerodatnou odchylkou 7,5g. Kontrola n´ahodnˇe vyb´ır´a nˇekolik balen´ı z kaˇzd´e s´erie a zjiˇst’uje, zda jejich pr˚ umˇern´a hmotnost je minim´alnˇe 1kg. Pokud ne, firma plat´ı pokutu 1500Kˇc. Jak´ a je pravdˇepodobnost pokuty, je-li rozsah v´ ybˇeru a) n = 1 b) n = 4 c) n = 16. . [ a) P = 0.048; b) P = 4.10−4 ; c) P = 0 ] Pˇ r´ıklad 8.10 V roce 1975 mˇeli muˇzi v Americe pˇr´ıjem norm´alnˇe rozdˇelen´ y se stˇredn´ı hodnotou $10 000 a smˇerodatnou odchylkou $8 000. a) N´ahodnˇe vybereme jednoho muˇze. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze se jeho plat bude od stˇredn´ı hodnoty liˇsit o v´ıce neˇz $5 000? b) Provedeme v´ ybˇer o velikosti n = 100 muˇz˚ u. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze se jejich pr˚ umˇern´ y plat bude od stˇredn´ı hodnoty liˇsit o v´ıce neˇz $5 000? . [ a) P = 0.532; b) P == 0 ] 17

9

Vlastnosti bodov´ ych odhad˚ u

Pˇ r´ıklad 9.1

Je d´an v´ ybˇer X = [X1 , ..., Xn ] z rozdˇelen´ı s hustotou 1 1 f (x) = e− θ x , x > 0 , θ

s prvn´ım a druh´ ym obecn´ ym momentem µ1 = θ a µ02 = 2θ2 . ym a konzistentn´ım odhadem parametru θ. Ukaˇzte, ˇze statistika T = X je nestrann´ [ T je nestrann´ y i konzistentn´ı odhad ] Pˇ r´ıklad 9.2

Je d´an v´ ybˇer X = [X1 , ..., Xn ] z rozdˇelen´ı s hustotou f (x) = λe−λx , x > 0 ,

s prvn´ım a druh´ ym obecn´ ym momentem µ1 =

1 λ

a µ02 =

2 . λ2

ym a konzistentn´ım odhadem parametrick´e funkce Ukaˇzte, ˇze statistika T = X je nestrann´

1 λ.

[ T je nestrann´ y i konzistentn´ı odhad ] Pˇ r´ıklad 9.3

Je d´an v´ ybˇer X = [X1 , ..., Xn ] z rozdˇelen´ı s hustotou f (x) = π(1 − π)x , x = 0; 1; ... ; π ∈ (0; 1) ,

s prvn´ım a druh´ ym obecn´ ym momentem µ1 =

1−π π 2 − 3π + 2 a µ02 = . π π2 1−π . π [ T je nestrann´ y i konzistentn´ı odhad ]

Ukaˇzte, ˇze statistika T = X je nestrann´ ym a konzistentn´ım odhadem parametrick´e funkce

Pˇ r´ıklad 9.4

Je d´an v´ ybˇer X = [X1 , ..., Xn ] z rozdˇelen´ı s hustotou r

f (x) =

2 1 − x22 . e 2σ , x ∈ (0; ∞) , π σ

s prvn´ım a druh´ ym obecn´ ym momentem µ1 = σ Ukaˇzte, ˇze statistika T =

q

π 2X

q

2 π

a µ02 = σ 2 .

je nestrann´ ym a konzistentn´ım odhadem parametru σ. [ T je nestrann´ y i konzistentn´ı odhad ]

Pˇ r´ıklad 9.5

Je d´an v´ ybˇer X = [X1 , ..., Xn ] z rozdˇelen´ı s hustotou f (x) = π x (1 − π)1−x , x ∈ {0; 1} ,

s prvn´ım a druh´ ym obecn´ ym momentem µ1 = π a µ02 = π. Pn

Xi

a) Ukaˇzte, ˇze statistika T = p =

i=1

b) Ovˇeˇrte, zda statistika T = n1 = funkce nπ.

Pn

n

je nestrann´ ym a konzistentn´ım odhadem parametru π.

i=1 Xi

je nestrann´ ym a konzistentn´ım odhadem parametrick´e [ a) ano oba; b) nestr. ano, konz. ne ] 18

Pˇ r´ıklad 9.6 Statistick´ ym pr˚ uzkumem byl vytvoˇren v´ ybˇer 2000 dat x = (x1 , ..., x2000 ). Utvoˇr´ıme 3 statistiky pro odhad stˇredn´ı hodnoty µ: T1 : pr˚ umˇer ze vˇsech sud´ ych dat z v´ ybˇeru. T2 : pr˚ umˇer ze vˇsech lich´ ych dat z v´ ybˇeru. T3 : pr˚ umˇer z prvn´ı poloviny dat z v´ ybˇeru. Porovnejte vydatnosti jednotliv´ ych statistik. [ Jsou stejn´e. ] Pˇ r´ıklad 9.7 Pro odhad parametru θ byly vytvoˇreny tˇri nestrann´e a nez´avisl´e statistiky T1 , T2 , T3 , pro nˇeˇz plat´ı: D[T1 ] : D[T2 ] : D[T3 ] = 2 : 1 : 3 . a) Zjistˇete, zda statistiky S1 = 2T1 − T2 a S2 = T1 + T2 jsou nestrann´e odhady parametru θ. 3 b) Kter´a ze statistik S3 = T1 +T a S4 = T1 +T32 +T3 je vydatnˇejˇs´ı? 2 [ a) S1 je, S2 nen´ı nestrann´a; b) S4 je vydatnˇejˇs´ı. ]

10

Konstrukce bodov´ ych odhad˚ u

Pˇ r´ıklad 10.1 Metodou maxim´aln´ı vˇerohodnosti i momentovou metodou odhadnˇete parametr δ exponenci´aln´ıho rozdˇelen´ı Ex(A, δ) s hustotou 1 x−A f (x) = e− δ , δ kde je E [X] = δ + A, D [X] = δ 2 . [ δˆ = x − A ] Pˇ r´ıklad 10.2 Metodou maxim´aln´ı vˇerohodnosti i momentovou metodou odhadnˇete parametr π geometrick´eho rozdˇelen´ı Ge(π) s hustotou f (x) = π(1 − π)x , kde je E [X] =

1−π 1−π , D [X] = . π π2 [π ˆ=

1 ] x+1

Pˇ r´ıklad 10.3 Metodou maxim´aln´ı vˇerohodnosti i momentovou metodou odhadnˇete parametr π negativn´ıho binomick´eho rozdˇelen´ı N egBi(π) s hustotou !

f (x) = kde je E [X] = n 1−π π , D [X] = n

x+n−1 n π (1 − π)x , n−1

1−π π2 [π ˆ=

19

n ] x+n

Pˇ r´ıklad 10.4

Metodou maxim´aln´ı vˇerohodnosti odhadnˇete parametr ω rozdˇelen´ı s hustotou r

f (x) =

2ω − ωx2 e 2 π

pro x > 0, ω > 0 , (tady π = 3.14) . [ω ˆ=

1 ] x2

Pˇ r´ıklad 10.5 V urˇcit´em obchodˇe byla sledov´ana doba ˇcek´an´ı z´akazn´ıka na obsluhu a shrom´aˇzdˇena n´asleduj´ıc´ı data Xi ni

hodnota ˇcetnost

5 365

15 245

25 150

35 100

45 70

55 45

65 . 25

Pˇredpokl´ad´ame, ˇze doba ˇcek´an´ı m´a exponenci´aln´ı rozdˇelen´ı 1 x f (x) = e− δ , x > 0. δ Metodou maxim´aln´ı vˇerohodnosti odhadnˇete parametr δ (stˇredn´ı doba ˇcek´an´ı). [ δˆ = x = 20 ] Pˇ r´ıklad 10.6 Na s´erii televizor˚ u se prov´adˇely zkouˇsky. Na kaˇzd´em televizoru byl zaznamen´ av´ an poˇcet poruch za dobu 100 hodin. Pˇredpokl´ad´ame, ˇze sledovan´ y znak (poˇcet poruch / 100 hod.) m´ a Poissonovo rozdˇelen´ı λx f (x) = e−λ . . x! V´ ysledky mˇeˇren´ı jsou v tabulce Xi ni

hodnota ˇcetnost

0 199

1 169

2 87

3 31

4 9

5 3

6 1

7 . 1

Metodou maxim´aln´ı vˇerohodnosti odhadnˇete parametr λ (stˇredn´ı poˇcet poruch za 100 hod. provozu). ˆ=x=1] [λ Pˇ r´ıklad 10.7 Pˇri kontrole v´ yrobk˚ u se ˇsesti stejn´ ymi souˇc´astkami byl zjiˇst’ov´an poˇcet vadn´ ych souˇc´astek. V´ ysledky kontroly jsou v tabulce Xi ni

hodnota ˇcetnost

0 170

1 356

2 290

3 130

4 33

5 15

6 . 6

Metodou moment˚ u odhadnˇete parametr π binomick´eho rozdˇelen´ı n´ahodn´e veliˇciny X - poˇcet vadn´ ych souˇc´astek v´ yrobku. Pravdˇepodobnostn´ı funkce binomick´eho rozdˇelen´ı je !

f (x) =

n x π (1 − π)n−x . x

20

[π ˆ = 0.26 ]

Pˇ r´ıklad 10.8 Po 10 dn˚ u jsme zaznamen´avali poˇcet pˇretrˇzen´ ych nit´ı pˇri ˇsit´ı na stroji. Z´ıskali jsme n´asleduj´ıc´ı u ´daje xi

poˇcet

20

17

21

19

18

17

18

21

20

18 .

Pˇredpokl´ad´ame rovnomˇern´e rozdˇelen´ı f (x) =

1 prox ∈ {µ − h; µ + h}. 2h

Metodou moment˚ u urˇcete parametry µ a h. ˆ = 2.5 ] [µ ˆ = 18.9, h Pˇ r´ıklad 10.9 Na 200 vzorc´ıch jsme zjiˇst’ovali koncentraci chemick´e l´atky v %. Pˇredpokl´ad´ ame, ˇze koncentrace m´a rozdˇelen´ı N (µ; σ 2 ). V´ ysledky pokusu jsou v tabulce Xi ni

hodnota ˇcetnost

0,3 6

0,5 9

0,7 26

0,9 25

1,1 30

1,3 26

1,5 21

1,7 24

1,9 20

2,2 8

2,3 . 5

Metodou moment˚ u odhadnˇete parametry µ a σ 2 . [µ ˆ = 1.266, σˆ2 = 0.247 ] Pˇ r´ıklad 10.10 Pˇredpokl´ad´ame, ˇze obsah s´ıry v sebran´ ych vzorc´ıch rudy m´a rozdˇelen´ı N (µ; σ 2 ). V´ ysledky mˇeˇren´ı jsou v tabulce Xi ni

hodnota ˇcetnost

32,4 3

32,8 7

33,2 12

33,6 6

34,0 6

34,4 1

34,8 . 1

Metodou moment˚ u odhadnˇete parametry µ a σ 2 . [µ ˆ = 33.3, σˆ2 = 0.31 ]

21

N´avody k pˇr´ıklad˚ um 11

Popisn´ a statistika

x = 16.4, y = 15.5, s2x = 14.44, sxy = 1.9, s2y = 55.25 a v´ ybˇerov´e s2 (x) = 16.04, s(xy) = 2.11, s2 (y) = 61.39.

N´ avod 1.1:

x = 1.85, sx = 0.726, s2x = 0.528, v´ ybˇerov´e s = 0.73, v´ ybˇerov´e s2 = 0.533, modus x ˆ = 2, median x ˜ = 2, rozpˇet´ı R = 2.

N´ avod 1.2:

N´ avod 1.3:

V poˇrad´ı ze zad´ an´ı: a) 13; 7; 17; 23; 10; 0.584; b) 6; 4; 7; 7; 3; 0.455 .

N´ avod 1.4:

n = 50, x = 6.84, x ˆ = 5, x ˜ = 7.5, x ˜25 = 5, x ˜75 = 8, R = 4, IQR = 3, s2 = 2.505 a

s = 1.583.

12

Z´ aklady kombinatoriky

N´ avod 2.1:

9·9·8

N´ avod 2.2:

4n 3n 2n 6

N´ avod 2.3:

a) 5·4, b) 10·4, c) 10·8

N´ avod 2.4:

11·10 = 110; 12·9 = 108

N´ avod 2.5:

V2 (4)

N´ avod 2.6:

V3 (8)

N´ avod 2.7:

V6 (10) − V5 (9)

N´ avod 2.8:

V1 (4) + V2 (4) + V2 (3)

N´ avod 2.9:

V2 (3) − V1 (2) + V2 (3)

N´ avod 2.10:

P (5) − P (4)

N´ avod 2.11:

2·P (4)

22

N´ avod 2.12:

a) V30 (5), b) V50 (3)

N´ avod 2.13:

V30 (28)·V40 (10)

N´ avod 2.14:

V40 (2) + V30 (2) + V20 (2) + V10 (2)

N´ avod 2.15:

C2 (6)

N´ avod 2.16:

C2 (10) − C2 (4) + 1

N´ avod 2.17:

C2 (19)·C1 (12)

N´ avod 2.18:

2·C2 (32)·C1 (32)

N´ avod 2.19:

8·C3 (8)

N´ avod 2.20:

C3 (4)·C3 (7) + C4 (4)·C2 (7)

N´ avod 2.21:

C2 (6)

13

Jevov´ a pravdˇ epodobnost

N´ avod 3.1: a) Ω = {S, R}, A = {∅, {S}, {R}, {SR}},

S 0.5

E P (E)

R 0.5

b) Ω = {R, L, N }, A = {∅, {R}, {L}, {N }, {RL}, {RN }, {LN }, Ω}, E P (E)

c) Ω = {RR, RL, LR, LL}, A - m´ a 24 = 16 prvk˚ u,

RR 1 4

E R L 1 P (E) 14 4 RL LR LL 1 4

1 4

1 4

N´ avod 3.2: a) Ω = {{1, 1}, {1, 2}, {1, 3}, ..., {6, 6}}, A - m´a 236 = 68 719 476 736 prvk˚ u, E P (E)

{1, 1}

{1, 2}

{1, 3}

1 36

1 36

1 36

{6, 6}

... ...

1 36

b) Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, A - m´a 211 = 2048 prvk˚ u, E P (E)

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1 36

2 36

3 36

4 36

5 36

6 36

5 36

4 36

3 36

2 36

1 36

Spoleˇcn´e: Ω = {bb, bm, bz, mm, mz, zz}, A m´a 26 prvk˚ u, a) Pravdˇepodobnost jednoho tahu jsou P (b) = 0.5, P (m) = 0.3, P (z) = 0.2.

N´ avod 3.3:

23

N 1 2

Odtud napˇr. P (bb) = 0.52 , P (bm) = 0.5·0.3, atd b) Pravdˇepodobnosti urˇc´ıme napˇr pomoc´ı kombinac´ı P (bb) =

C2 (5) C2 (10) ,

P (bm) =

C1 (5)C1 (3) C2 (10) ,

Ω = {0, 1, 2, ..., 10}, A m´a 211 prvk˚ u,
1
k 5
10−k pravdˇepodobnosti: P (k) = 10 , k = 0, 1, ..., 10 k 6 6

N´ avod 3.4:

14

Klasick´ a a statistick´ a definice pravdˇ epodobnosti

N´ avod 4.1:

1 C6 (46)

N´ avod 4.2:

6 63

N´ avod 4.3:

C2 (15)·C1 (25) C3 (40)

N´ avod 4.4:

V2 (7) V2 (20)

=

C2 (4) C2 (10) ,

b)

a)

N´ avod 4.5:

a)

N´ avod 4.6:

V4 (4) V40 (4)

N´ avod 4.7:

a)

N´ avod 4.8:

2P (3)·P (3) P (6)

N´ avod 4.9:

P (5) P (8)

=

=

2 625 9 880

21 190 ,

V2 (8)+V2 (5) V2 (20)

b)

6·4 C2 (10) ,

c)

=

19 95 ,

C2 (6) C2 (10)

24 256

P (8) P (10) ,

b)

P (3)P (8) P (10)

N´ avod 4.10:

2V2 (4) V3 (5)

N´ avod 4.11:

a)

C2 (4) C2 (32) ,

N´ avod 4.12:

a)

5C3 (95) C4 (100) ,

N´ avod 4.13:

P (H ∩ R0 ) – mnoˇzinov´ y diagram

N´ avod 4.14:

P (C ∩ S 0 ) – mnoˇzinov´ y diagram

N´ avod 4.15:

1−

N´ avod 4.16:

a)

V20 (6) V20 (10) ,

b)

C2 (6) C2 (10)

N´ avod 4.17:

a)

C2 (5) C2 (12) ,

b)


5 2 12

b)

4V20 (8) V20 (32)

b) 1 −

C4 (95) C4 (100)

Ck (n−m) Ck (n)

24

c)

V1 (8)·7+V1 (5)·7 V2 (20)

=

91 380

atd.

N´ avod 4.18:

(1 − 0.1)4

N´ avod 4.19:

1−

N´ avod 4.20:

1 2 3·3

N´ avod 4.21:

2R2 πR2

N´ avod 4.22:

4 6

N´ avod 4.23:

15 60

N´ avod 4.24:

0.5 − 0.1·0.9 − 0.12 −

N´ avod

4.25:

x ≤ d2 , y ≤ d2 , y ≥

d 2

C5 (95) C5 (100)

+2

R 1/3 0

( 13 + x)dx

R 0.9 0.1

0.09 x

dx

Prvn´ı dva d´ıly oznaˇc´ıme x a y. Pˇr´ızniv´e v´ ysledky jsou d´any plochou: − x. Vˇsechny v´ ysledky plochou: x ∈ (0, d), y ≤ d − x.

N´ avod 4.26:

´ Tot´eˇz jako Uloha 4.20.

N´ avod 4.27:

Plat´ı P (A ∩ B) = P (A)·P (B)

N´ avod 4.28:

0.8·0.9

N´ avod 4.29:

(1 − 0.01)300

N´ avod 4.30:

a) 0.83 , b) 0.23 , c) 0.8·0.22 , d) 3·(0.8·0.22 )

N´ avod 4.31:

0.4·0.9

N´ avod 4.32:

a) 26 , b)

N´ avod 4.33:

P (S|D)P (D) = 0.75(1 − 0.04)

N´ avod 4.34:

1 − (1 − 0.8)(1 − 0.7)(1 − 0.5)

N´ avod 4.35:

2 5

N´ avod 4.36:

(1 − 0.9)(1 − 0.8)

N´ avod 4.37:

a) 0.995 , b) 0.01·0.994

+

1 3

−

0+1+3 18

21 53

= 1 − (1 − 25 )(1 − 31 )

25

N´ avod 4.38: a) 0.5(1 − 0.6)(1 − 0.8) + (1 − 0.5)0.6(1 − 0.8) + (1 − 0.5)(1 − 0.6)0.8, b) 1 − (1 − 0.5)(1 − 0.6)(1 − 0.8) 100 3

N´ avod 4.39: N´ avod 4.40:

20 3

N´ avod 4.42: 10 6





3 6 4


1 4 4

+

a)
10 7

0.013 0.9997


5 3 6

a)

N´ avod 4.41:

c)








1 2 6 ,

b)

5 2





5 3 6


1 2 6

0.083 0.9217



10 3 10 , b) 1 − 14 − 10 43 4




3 7 1 3 3 8 1 2 + 10 8 4 4 4 4


1 9 4

− 45

N´ avod 4.43:

(1 − p)4 = 1 − 0.59 ⇒ p = 0.2

N´ avod 4.44:

0.2·0.7 + 0.1·0.3

N´ avod 4.45:

Moˇzn´e: RR, RL, LR; pˇr´ızniv´e: RR

N´ avod 4.46:

1+5+20 1000

N´ avod 4.47:

0.8 + 0.9 − 0.8·0.9

N´ avod 4.48:

1 − 0.99300

N´ avod 4.49:

Pouˇzijte vzorce ¯ = P (A) − P (A ∩ B) P (A ∩ B)


3 2 4


1 8 4 ,

¯ = P (A ∪ B) = 1 − P (A ∪ B), a P (A¯ ∩ B)

nebo mnoˇzinov´ y diagram C6 (40)+6C5 (40) C6 (46)

N´ avod 4.50:

1−

N´ avod 4.51:

(1 − 0.1)3 , 0.13 , 3·0.1(1 − 0.1)2 , 1 − (1 − 0.1)3

N´ avod 4.52:

0.95·0.2 + 0.98·0.8

N´ avod 4.53:

0.7 + 0.8 − 0.7·0.8 = 1 − 0.3·0.2

N´ avod 4.54:

1−

N´ avod 4.55:

a) 0.7·0.82 , b) 1 − 0.3·0.22

N´ avod 4.56:

C10 (85) C10 (100)


2 3 3

+

15C9 (85) C10 (100)

+

C2 (15)C8 (85) C10 (100)

26

N´ avod 4.57:

1−

C3 (8) C3 (12)

N´ avod 4.58:

1 5

V2 (4) 1 V2 (5) · 3

N´ avod 4.59:

0.3 +

N´ avod 4.60:

P∞

N´ avod 4.61:

1−


5 5 6

N´ avod 4.62:

P10

Ci (10)0.25i 0.7510−i

N´ avod 4.63:

P5

Ci (5)0.9i 0.15−i

N´ avod 4.64:

0.99n = 1 − 0.8 ⇒ n = 160.14 ⇒ asi 16 min

N´ avod 4.65:

(1 − 0.3)5

N´ avod 4.66:

4 5 2 + 0.002 11 + 0.004 11 0.003 11

N´ avod 4.67:

0.94·0.5 + 0.9·0.3 + 0.85·0.2

N´ avod 4.68:

0.6·0.25 + 0.7·0.25 + 0.8·0.25 + 0.9·0.25

N´ avod 4.69:

0.95·0.7 0.95·0.7+0.7·0.3

N´ avod 4.70:

0.98·0.003 0.98·0.003+0.001·0.997 .

+

V2 (5) 3 V2 (10) · 8

i=1

i=5

i=4

P (4) V4 (5) ·1

+

+


1 2i−1 2

V4 (5) 1 V4 (10) · 2

=2

P∞

i=1


1 i 4

1/4 = 2 1−1/4

Pozn.: ”odhal´ı chybu” znamen´ a ”prohl´ as´ı za vadn´ y za podm´ınky, ˇze je v nˇem chyba”.

N´ avod 4.71:

0.3·0.5 0.15·0.3+0.3·0.5+0.3·0.2

N´ avod 4.72:

0.96·0.5 0.96·0.5+0.9·0.3+0.85·0.2

15

N´ ahodn´ a veliˇ cina

N´ avod 5.1:

x P (x)

6 0.1

N´ avod 5.2:

P (x) =

Cx (3)·C3−x (7) , C3 (10)

N´ avod 5.3:

P (x) =

1 3


2 x 3

7 0.1

8 0.2

9 0.2

10 0.2

x = 0, 1, 2, 3

, x = 0, 1, 2, ...

27

11 0.1

12 0.1


1 x 6


5 3−x 6

N´ avod 5.4:

P (x) = Cx (3)

N´ avod 5.5:

P (x) = Cx (3)0.7x 0.33−x , x = 0, 1, 2, 3

N´ avod 5.6:

f (x) =

N´ avod 5.7:

Mus´ı platit:

1 3

, x = 0, 1, 2, 3

pro x ∈ [−1; 2], jinak nula. R∞ −∞

f (x)dx = 1

N´ avod 5.8: a) Hustota je derivac´ı distribuˇcn´ı funkce. b) P (a < X < b) = F (b) − F (a).

N´ avod 5.9: N´ avod 5.10: b) f (x) =

dF (x) dx ;

Podle definice je F (x) =

Rx −∞

f (ξ)dξ. Integrujeme po ˇc´astech.

a) mus´ı platit: F (x) je spojit´a, tj. F (0) = 0 a F (π/2) = 1; c) P (X < π/4) = F (π/4) = sin(π/4).

N´ avod 5.11:

Pro v´ ypoˇcet pouˇzijeme sumaci.

N´ avod 5.12:

Pro v´ ypoˇcet pouˇzijeme integraci.

16

Rozdˇ elen´ı

Nez´ avisl´e pokusy. Pravdˇepodobnost n dobr´ ych souˇc´astek je (1 − 0.01)n , a ta se m´a log(1−0.8) rovnat 1 − 0.8. Odtud n ≥ log(1−0.01) = 160. Tento poˇcet souˇc´astek se vyrob´ı za 8 minut.

N´ avod 6.1:

N´ avod 6.2: Protoˇze p = 0.05 je mal´e a n = 80 je velk´e, lze povaˇzovat toto rozdˇelen´ı za Poissonovo, s parametrem λ = np = 80·0.05 = 4. Z tabulek urˇc´ıme P (X = 4) = 0.195. N´ avod 6.3:

N´ ahodnou veliˇcinu definujeme jako poˇcet vad na jednom metru. Ta m´a Poissonovo rozdˇelen´ı s parametrem λ = np = 100·0.005 = 0.5. (Jeden bal´ık m´a 100 m, na jednom metru je kaz s pravdˇepodobnost´ı 0.005). Pravdˇepodobnost bezvadn´eho bal´ıku (coˇz je vlastnˇe pod´ıl bezvadn´ ych bal´ık˚ u v 0 . . dod´avce) je P (X = 0) = λ0! exp {−λ} = exp {−0.5} = 0.607. Bezvadn´ ych bal´ık˚ u tedy bude 0.607·50 = 30.

N´ avod 6.4: Pravdˇepodobnost vadn´eho v´ yrobku je p = 0.001. Poˇcet v´ yrobk˚ u n = 5000. N´ahodn´a veliˇcina popisuje bˇeˇznou v´ yrobu. Je definov´ana jako poˇcet vadn´ ych v´ yrobk˚ u ve vyroben´ ych a m´a Poissonovo rozdˇelen´ı s λ = np = 5000·0.001 = 5. Pravdˇepodobnost, ˇze pˇri bˇeˇzn´e v´ yrobˇe bude 11 nebo v´ıce zmetk˚ u, je P (X ≥ 11) = 1 − P (X < 11) = 1 − F (11) = 0.014. Takto vysok´ y poˇcet zmetk˚ u je tedy za bˇeˇzn´ ych okolnost´ı velmi nepravdˇepodobn´ y.

28

17

Limitn´ı vˇ ety

N´ avod 7.1:

Zad´ an´ı: P (p ∈ (0.2; 0.4)) = P0 . Normov´an´ı: Z = √ p−π

√

π(1−π)

n.

Pˇrepoˇcet a normov´ an´ı: P (p ≥ 0.4) = P (Z ≥ 2.18) = (1 − P0 )/2 = 0.015. Odtud: P0 = 0.97.

N´ avod 7.2:

√

Normov´ an´ı: Z = √ p−π

π(1−π)

n, pod´ıl p = n+ /n, kde n+ je poˇcet.

0.28−0.2 a) z = 0.2−0.2 0.46 10 = 0.5, P (Z > 0) = 0.5. b) Z = 0.46 10 = 1.74, P (Z < 1.74) = 0.959. c) 0.17−0.2 0.26−0.2 Z1 = 0.46 10 = −1.3; Z1 = 0.46 10 = 1.3, P (Z ∈ (−1.3; 1.3)) = 1 − 2·P (Z > 1.3) = 1 − 2·0.097 = 0.806.

N´ avod 7.3:

+ −nπ . nπ(1−π)

Normov´ an´ı: Z = √n +



Zad´an´ı a normovan´e zad´ an´ı: P (n ≥ 5) = P . 2 n − 213.4n + 10000 = 0 ⇒ n = 144.

18

+

−5n nπ(1−π)

Z ≥ √n



+ −5n nπ(1−π)

= 0.8. Odtud √n

= z0.8 = −0.84

⇒

N´ ahodn´ y v´ ybˇ er

N´ avod 8.1:

a je 0.01-kritick´ a hodnota, tj. minus 0.01-kvantil.

N´ avod 8.2:

a je 0.99-kritick´ a hodnota, tj. 0.01-kvantil.

N´ avod 8.3:

a je 0.99-kvantil, tj. minus 0.01-kvantil.

N´ avod 8.4:

P (X ≤ a) = 0.01

⇒ |{z}

P Z≤

a−1 4




= 0.01 ⇒

a−1 4

= ζ0.01 = −2.326.

⇒ |{z}

P Z≤

a−1 4




= 0.99 ⇒

a−1 4

= ζ0.99 = 2.326.

⇒ |{z}

P Z>

a−1 4




= 0.99 ⇒

a−1 4

= z0.99 = −2.326.

normov´ an´ı

N´ avod 8.5:

P (X ≤ a) = 0.99

normov´ an´ı

N´ avod 8.6:

P (X > a) = 0.99

normov´ an´ı 3−2.93 a) P (X > 3) = P (Z > √ ) = P (Z > 1.565) = 0.058; b) tot´eˇz jako pˇredchoz´ı, c) 0.002 P (”jeden projede”) = 1 − P (X > 3) = 0.941; P (”vˇsichni projedou”) = 0.94120 = 0.296.

N´ avod 8.7:

N´ avod 8.8: N´ ahodn´ a veliˇcina S - souˇcet vah pasaˇz´er˚ u m´a norm´aln´ı rozdˇelen´ı se stˇredn´ı hodnotou √ √ nµ = 50·75, a rozptylem nσ = 5012.5     √ √ = P Z > 3900−50·75 = P (Z > 1.697) = 0.045. Hled´ame P (S > 3900) |{z} = P Z > S−nµ nσ 12.5 50 normov´ an´ı

2 X − hmotnost  balen´  ı ∼N (µ; σ ), µ = 1012.5, σ = 7.5. 2 Pr˚ umˇern´a v´aha v´ ybˇeru X ∼ N µ, σn  √  Poˇc´ıt´ame: P (X > 1000) = P Z > X−µ n pro n = 1, 4, 16. σ

N´ avod 8.9:

N´ avod 8.10:

X - plat ∼ N (10000, 80002 ).

29

a) N´ahodn´a veliˇcina: P (|X − 10000| > 5000) = 2P (X > 15000)

= |{z}

2P Z >

15000−10000 8000




= 0.532

normov´ an´ı

b) V´ ybˇer:  P (|X − 10000| > 5000) = 2P Z >

19

X−µ √ n σ



= 2P Z >

15000−10000 8000

√


. 100 = 0.

Vlastnosti bodov´ ych odhad˚ u

Nestr.: E[T ] = µ1 = θ. Konz.: D[X] = µ02 − µ21 = 2θ2 − θ2 = θ2 ; D[T ] = D[X]/n = θ /n → 0 pro n → ∞.

N´ avod 9.1: 2

Nestr.: E[T ] = µ1 = 1/λ. Konz.: D[X] = µ02 − µ21 = 2(1/λ)2 − (1/λ)2 = (1/λ)2 ; D[T ] = D[X]/n = (1/λ)2 /n → 0 pro n → ∞ .

N´ avod 9.2:

N´ avod 9.3:

Nestr.: E[T ] = µ1 =

1−π π .

Konz.: D[X] = µ02 − µ21 =

1−π π2 ;

D[T ] = D[X]/n → 0 pro

n → ∞.

N´ avod 9.4:

Nestr.: E[T ] =

q

2 π µ1

= σ. Konz.: D[X] = µ02 − µ21 =

π−2 2 π σ ; D[T ]

= D[X]/n → 0 pro

n → ∞.

N´ avod 9.5:

a) E[T ] = µ1 = π; D[T ] = D[X]/n = π(1 − π)/n → 0 pro n → ∞ b) E[T ] = nπ; D[T ] = nD[X] = nπ(1 − π) → ∞ pro n → ∞.

N´ avod 9.6: V´ ybˇerov´ y pr˚ umˇer je nestrann´ y odhad stˇredn´ı hodnoty. Proto je jeho vydatnost d´ana rozptylem. Ten je D[T ] = D[X]/n u ´mˇern´ y poˇctu dat, kter´ y je ve vˇsech v´ ybˇerech stejn´ y. N´ avod 9.7: a) E[S1 ] = 2E[T1 ] − E[T2 ] = 2θ − θ = θ, E[S2 ] = E[T1 ] + E[T2 ] = θ + θ = 2θ; b) Oznaˇc´ıme: D[T2 ] = σ 2 ⇒ D[T1 ] = 2σ 2 , D[T3 ] = 3σ 2 . Potom   1 3 D[S3 ] = D T1 +T = 4 (D[T1 ] + D[T3 ]) = 54 σ 2 ; 2  T +T  +T D[S4 ] = D 1 32 3 = 19 (D[T1 ] + D[T2 ] + D[T3 ]) = 32 σ 2 .

20

Konstrukce bodov´ ych odhad˚ u

N´ avod 10.1:

Q = − 1δ ; U = x − A; S = n(x − A); R = − ln δ

N´ avod 10.2:

Q = ln(1 − π); U = x; S = nx; R = ln π

N´ avod 10.3:

Q = ln(1 − π); U = x; S = nx; R = n ln π

N´ avod 10.4:

Q = − ω2 ; U = x2 ; S = nx2 ; R = 0.5 ln ω

30

N´ avod 10.5:

Q = − 1δ ; U = x; S = nx; R = − ln δ

N´ avod 10.6:

Q = ln λ; U = x; S = nx; R = −λ

N´ avod 10.7:

f (x) =

6 x




π x (1 − π)6−x , x = 0, 1, ..., 6; E[X] = 6π; x = 1.56

µ1 = µ; µ02 = µ2 + h2 /3; M1 = x = 18.9; M20 = 359.3; p 2 ˆ = 3(M 0 − µ rovnice: µ ˆ = x; µ ˆ2 + h3 = M20 ⇒ µ ˆ2 ) ˆ = x; h 2

N´ avod 10.8:

µ1 = µ; µ02 = σ 2 + µ ˆ2 ; M1 = x = 1.266; M20 = 1.85; rovnice: µ ˆ = x; σ 2 + µ ˆ2 = M20 ⇒ µ ˆ = x; σˆ2 = M20 − µ ˆ2

N´ avod 10.9:

µ1 = µ; µ02 = σ 2 + µ ˆ2 ; M1 = x = 33.3; M20 = 1111.4; 0 rovnice: µ ˆ = x; σ + µ ˆ = M2 ⇒ µ ˆ2 ˆ = x; σˆ2 = M20 − µ

N´ avod 10.10:

2

2

31