1 Pendahuluan I PENDAHULUAN

1 Pendahuluan

I PENDAHULUAN 1.1

Himpunan

Himpunan merupakan suatu konsep mendasar dalam semua cabang ilmu matematika. Mengapa himpunan adalah hal yang sangat penting dalam matematika?, untuk mencari jawaban yang paling tepat dari pertanyaan itu perhatikan hal berikut, a. Pernahkah kita melihat sepasukan pramuka yang sedang berbaris? Seandainya pemimpin pasukan memerintahkan ‘ belak kiri’ tetapi ada seorang pramuka yang berbelok ke kanan, apa kesan kita tentang pasukan itu? b. Perhatikan sekawanan burung pipit yang sedang terbang di angkasa, seandainya burung yang terdepan berbelok ke satu arah, maka burung pipit yang lainpun akan berbelok ke arah yang sama. Masih banyak contoh seperti itu yang memberikan kesan kepada kita bahwa sekumpulan objek mempunyai sifat keterikatan di antara anggotanya. Sejumlah atau sekumpulan benda atau objek berada dalam satu kesatuan, yang disebut himpunan, sedangkan sifat keterikatan itu disebut sifat himpunan, misalnya: ☯ Himpunan kata dalam kamus ☯ Mahasiswa dalam satu kelas ☯ Lembaran kertas dalam sebuah buku Apa yang telah kita bicarakan dan simpulkan dari sifat keterikatan tersebut di atas ialah: a. Tiap objek dalam kumpulan itu dapat dibedakan yang satu dari yang lain b. Dapat kita bedakan adanya objek yang terdapat dalam himpunan, dengan yang bukan dalam himpunan tersebut. Seperti pada contoh burung pipit di atas, kita melihat tiap burung pipit berbeda dengan burung pipit yang lain dalam kelompoknya. Bila kebetulan kelompok itu berpapasan dengan seekor burung elang, kita dengan mudah mengetahui bahwa burung elang itu bukan dari kelompok burung pipit tadi. Contoh lain dalam matematika, adalah a. Ilmu hitung adalah matematika yang berhubungan dengan himpunan bilangan,

Fungsi dan Sifat‐Sifatnya

2

b. Geometri (ilmu ukur) adalah matematika yang berhubungan dengan kumpulan titik. Kita dapat membedakan keadaan himpunan secara jelas, karena: a. Ada sejumlah benda (kongkrit atau abstrak) yang membentuk himpunan, b. Ada objek yang merupakan unsur (anggota) himpunan itu, c. Ada unsur yang tidak merupakan unsur suatu himpunan. LAMBANG UNSUR Definisi Setiap anggota suatu himpunan disebut unsur (elemen) himpunan yang bersangkutan. Misalnya Himpunan bilangan bulat positif yang lebih kecil dari 5, unsur himpunan ini adalah bilangan 1, 2, 3, 4. Bilangan lain yang tidak termasuk himpunan tersebut, misalnya adalah 5, 6, 7, 8, …. Suatu himpunan biasanya diberi nama dengan huruf besar, sedangkan unsur himpunan tersebut ditulis dengan huruf kecil yang berada dalam tanda { }. Jika himpunan bilangan bulat yang lebih kecil dari 5 itu kita namai dengan G, maka G={1, 2, 3, 4}, artinya 1∈G, 2∈G, 3∈G, dan 4∈G, sedangkan 5∉G, 6∉G, dan 7∉G. Contoh lain, adalah hi,punan yang terdiri atas huruf hidup abjad, yang kita namai himpunan A, jadi A={a, i, u, e, o}, a∈A, i∈A, u∈A, e∈A, dan o∈A. Sedangkan b∉A, c∉A dan sebagainya. Untuk menyatakan suatu himpunan pada umumnya digunakan 3 (tiga) cara, yaitu: 1. Dengan mendaftar anggota-anggotanya di antara kurung kurawal buka dan tutup Contoh a. P = {a, i, e, o, u} b. Q = {1, 3, 5, 7, 9} 2. Dengan menyatakan sifat-sifat keanggotaanya Contoh a. Himpunan Bilangan genap positif yang kurang dari 10. b. Himpunan Bilangan ganjil yang lebih besar dari 3 tetapi lebih kecil dari 23. 3. Dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan. Contoh a. P = { x | x adalah bilangan genap positif yang kurang dari 10}

3 Pendahuluan

b. Q = { x | x adalah bilangan ganjila yang lebih besar dari 3 tetapi kurang dari 23} Soal-Soal 1. Tuliskan himpunan berikut dengan tiga cara, a. Semua anggota keluarga anda di rumah, b. Semua bilangan bulat positif yang kurang dari 10, c. Semua pecahan yang pembilangnya satu, sedang penyebutnya bilangan bulat positif kurang dari 10. d. Semua angka yang kita gunakan, e. Semua bilangan bulat kelipatan 6 yang kurang dari 50. 2. Tulislah dengan cara lain (dua cara yang tidak disebutkan), himpunan di bawah ini. a. E = { 2, 4, 6, 8}, b. S = { 1, 4, 9, 16, 25}, c. N = {1, ½, 1/3, ¼}, d. P = {1, 4, 7, 10, 13}, e. T = {10, 100, 1000, 100000}. 3. Tulislah dengan cara mendaftar anggota-anggotanya dari himpunan di bawah ini. a. Semua hari dalam seminggu, b. Semua bulan dalam setahun, c. Semua jari tangan anda, d. Semua nama bulan yang mempunyai 30 hari. 4. Tulislah dengan cara menyatakan sifat-sifat yang dipenuhi oleh angotaanggotanya, himpunan berikut, a. Bilangan riil yang lebih besar dari 1000, b. Para mahasiswa yang telah lulus mata kuliah Struktur Aljabar, c. Himpunan segitig yang mempunyai luas 5 cm2. d. Bilangan bulat yang habis di bagi dua. HIMPUNAN BAGIAN Definisi Himpunan A disebut himpunan bagian (subset) daripada himpunan B, jika setiap unsur himpunan A merupakan unsur himpunan B.


4

Notasi yang digunakan adalah A⊆B, dibaca A himpunan bagian dari B, atau himpunan A termasuk himpunan B. Contoh B = {x|x huruf abjad}, maka A = {x|x huruf hidup abjad} merupakan himpunan bagian dari B. Ditulis A⊆B. Definisi Himpunan A disebut himpunan bagian sejati (proper subset) dari pada himpunan B, jika setiap unsur A merupakan unsur B, dan paling sedikit ada satu unsur B yang bukan unsur A. Notasi yang digunakan adalah A⊂B. Contoh 1. Himpunan C = {1, 3, 5} adalah subhimpunan sejati dari D = {5, 4, 3, 2, 1), karena setiap unsur C merupaka unsur D dan unsur 2 dan 4 merupakan unsur D, tetapi bukan merupakan unsur C. Sehingga C⊂D. 2. Himpunan E = {2, 4, 6} adalah subhimpunan dari F = {6,2,4}, karena setiap unsur E juga merupakan unsur F dan tidak ada unsur F yang bukan merupakan unsur E ,sehingga E⊆F. 3. Misalkan G = {2, 4, 6, …}, dan misalkan F = {2, 4, 8, 16, …} maka F⊆G. Selanjutnya agar tidak menimbulkan kebingungan mengenai simbol yang digunakan untuk selanjutnya kita gunakan simbol ⊆ untuk menyatakan bahwa A merupakan himpunan bagian dari B, kecuali disebutkan khusus untuk himpunan bagian sejati. Jika himpunan A bukan merupakan himpunan bagian dari B, maka ditulis A ⊄ B, contohnya jika himpunan C = {1, 3, 5} dan D = {5, 4, 3, 2, 1), maka D bukan merupakan himpunan bagian dari C, ditulis D⊄C. Jika suatu himpunan tidak mempunyai unsur (anggota), maka himpunan itu disebut himpunan kosong, dan dinyatakan dengan ∅ atau {}. Himpunan kosong tidak sama dengan {0}, yaitu ∅ ≠ {0}. Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan. Sebuah himpunan bagian dapat berisi beberapa unsur, semua unsur, atau kosong. Jadi, himpunan itu sendiri, dan himpunan kosong, merupakan himpunan bagian. Himpunan semula disebut dengan himpunan bagian tidak murni (improper

5 Pendahuluan

subset), sedangkan himpunan bagian yang lain yang berbeda dengan himpunan semula disebut himpunan bagian murni (proper subset). Sedangkan banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan yang banyak unsurnya n adalah 2n. Soal-Soal 1. Diberikan himpunan A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}. Tentukan himpunan bagian yang memenuhi, a. Unsurnya habis dibagi 3, b. Unsurnya merupakan kelipatan 4, c. Unsurnya merupakan bilangan kuadrat, d. Unsurnya bilangan ganjil . 2. Tulislah semua himpunan bagian dan tentukan berapa banyaknya himpunan bagian daripada himpunan berikut, a. {a} c. {a, b, c} e. {a, b, c, d, e} b. {a, b} d. {a, b, c, d} 3. Tentukan himpunan bagian daripada, a. {∅} b. {x | x2-x-12 = 0}

c. { x | x2 – x = 0}

4. Tentukan hubungan pasangan berikut, hubungkan dengan lambang ⊆ untuk himpunan bagian, dan dengan lambang ⊄ untuk bukan himpunan bagian, a. A = {2, 3, 5}, dan B B = { 1, 2, 3, 4, 5}, b. A = (0}, dan {0, 2, 3, 4}, c. A = ∅, dan B = {a, b, c}, d. A = {x,y}, dan B = { a, b, c}, e. A = {2, 4, 6}, dan B = { a, b, c}, f. A = { }, dan B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. KARDINALITAS SUATU HIMPUNAN Yang dimaksud dengan kardinalitas suatu himpunan adalah banyaknya unsur (anggota) yang dikandung oleh himpunan tersebut. Banyaknya unsur dalam himpunan dinyatakan dengan bilangan kardinal. Bilangan kardinal dinyatakan dengan notasi n(A). Contoh


6

a. A = { m, u, r, e, d}, himpunan A mempunyai 5 unsur dan ditulis n(A)=5. Dibaca “kardinalitas himpunan A adalah 5 (lima) atau bilangan kardinal himpunan A adalah 5 (lima)”. b. B = ∅, himpunan B tidak mempunyai unsur, atau mempunyai bilangan kardinal nol, ditulis n(B) = 0. Himpunan hingga (finite set) adalah himpunan yang memiliki banyaknya unsur hingga, jadi dapat dicacah. Untuk menulis suatu himpunan yang memiliki unsur banyak sekali, tidak perlu semua unsurnya ditulis, cukup ditulis beberapa unsur permulaan, kemudian tiga titik dan unsur terakhir. Contoh a. B adalah himpunan bilangan bulat positif yang habis dibagi oleh 3, dan kurang daripada 1000. Himpunan tersebut ditulis B = {3, 6, 9, …, 999} b. Himpunan bilangan bulat positif genap antara 8 dan 1000. Himpunan tersebut ditulis A={10, 12, 14, …, 998}. Himpunan tak berhingga (infinite set), adalah himpunan yang memiliki unsur yang tak berhingga banyaknya. Untuk menuliskannya dengan cara pendaftaran, cukup dengan menuliskan beberapa unsur permulaan, dan diakhiri dengan tiga titik. Contoh a. N adalah himpunan bilangan bulat psitif ganjil, ditulis N = {1,3, 5, …}. b. H adalah himpunan bilangan bulat positif yang lebih besar daripada 20, ditulis H = {21, 22, 23, …}. Himpunan yang memuat semua semesta pembicaraan disebut dengan himpunan semesta (universal set), Untuk memehami lebih lanjut tentang himpunan semesta perhatikan contoh berikut, a. Jika kita berbicara tentang mahasiswa jurusan matematika UNM, maka himpunan semua mahasiswa UNM dapat dianggap sebagai himpunan semesta. b. R = {x | x bilangan bulat} P = {x | x bilangan bulat positif} Q = {x | x bilangan bulat negatif} Di sini R, himpunan bilangan bulat dapat dianggap himpunan semesta.

7 Pendahuluan

Definisi A’ disebut komplemen A jika A’ = {x | x bukan unsur A} atau A’ = {x | x ∉A}. Contoh a. Jika kita mempunyai himpunan U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, dan himpunan A = {2, 3, 4}, maka himpunan A merupakan himpunan bagian dari U. Sedangkan Himpunan B = {1, 5, 6, 7, 8} merupakan himpunan lain yang termuat di U, tetapi tidak dimiliki oleh himpunan A, maka himpunan B disebut himpunan komplemen atau himpunan pelengkap daripada himpunan A, begitu pula sebaliknya. b. Jika U adalah himpunan semua mahasiswa UNM, A himpunan mahasiswa wanita, dan B himpunan mahasiswa laki-laki, maka A komplemen dari B, dan sebaliknya. c. Jika N = {x | x bilangan bulat positif} dan A = {x | x bilangan bulat positif ganjil}, maka A’ = { x | x bilangan bulat positif genap}. Jika A = {1, 2, 3, 4}, dan B = {1, 3, 5, 7, 9}. Kedua himpunan ini memiliki unsur yang sama, yaitu 1 dan 3. Himpunan yang demikian disebut dengan himpunan yang bersekutu (joint set), dan unsurnya yang sama itu dinamai unsur sekutu. Jadi, dua himpunan atau lebih disebut himpunan bersekutu, jika masing-masing memuat paling sedikit satu unsur sekutu. Dua atau lebih himpunan yang tidak memilki unsur sekutu dinamai himpunan lepas. Misalnya, C = {1, 3, 5, 7} dan D = {2, 4, 6} adalah himpunan lepas, karena tak ada satupun unsur yang bersekutu. Soal-Soal 1. Diantara himpunan berikut, manakah yang hingga dan yang tak hingga, jika hingga, sebutkan pula jumlah unsur. a. A adalah himpunan titik pada sebuah bidang data, b. B adalah himpunan semua mata kuliah yang diajarkan pada jurusan matematika FMIPA UNM, c. C adalah himpunan bilangan bulat positif, d. D adalah himpunan semua penduduk yang berdiam di kota Makassar, e. E adalah himpunan semua mahasiswa, f. F = {1, 4, 9, 16, …}, g. G adalah himpunan bilangan bulat antara 10 dan 500 yang habis di bagi 7. h. H = {2, 4, 6, 8, …, 100} i. I adalah himpunan bilangan ganjil antara 1 dan 100 yang mempunyai kelipatan 3,


8

j. J adalah himpunan saudara kandung anda. 2. Bila A = [x | x bilangan ganjil kurang dari 30}, B = {x | x bilangan bulat positif kurang dari 50 yang habis dibagi 3}, U = {1, 2, 3, …, 50}, tentukan. a. berapakah n(A) + n(B)? b. komplemen himpunan A terhadap U, c. tentukan komplemen himpunan B terhadap U. 3. Bila P = {x | x bilangan kelipatan 3 yang kurang dari 150}, dan Q = {x|x bilangan ganjil yang kurang dari 20}, berpakah n(P) + n(Q)? 4. Sebutkan himpunan manakah yang berikut merupakan himpunan bersekutu dengan hanya memperhatikan dua himpunan, dan yang himpunan lepas. a. A = {1, 2, 3, …, 50}, b. B = {1, 2, 3, …}, c. C = {100, 101, 102, …, 150}, d. D = {a, b, c, …,z}, e. E = {a, b, c, …,k}, f. F = {p, q, r, …, z}. HIMPUNAN YANG SAMA Definisi Dua himpunan A dan B adalah sama, yaitu A=B, jika dan hanya jika A⊆B dan B⊆A. Jika A himpunan bagian dari B, maka kita dapat menulis B⊇A Yang dibaca “ B adalah superhimpunan dari A” atau “B memuat A”. Selanjutnya kita menulis A B atau B A Jika A bukanlah himpunan bagian dari B. Catatan: 1. Himpunan ∅ (kosong) merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan. 2. Jika A bukan himpunan bagian dari B, yaitu jika A B, maka ada sekurangkurangnya satu unsur A yang bukan unsur B. 1.2 Himpunan dari himpunan Himpunan-Himpunan Kerapkali terjadi bahwa obyek-obyek sebuah himpunan adalah himpunanhimpunan sebagai contoh, himpunan dari semua himpunan bagian A. Untuk menghindari sebutan “himpunan dari himpuan-himpunan”, maka biasanya secara praktis disebut keluarga “himpunan-himpunan” atau “kelas himpunan-himpunan”.

9 Pendahuluan

Dalam keadaan ini dan untuk menghindari kekeliruan, kita akan menggunakan hurufhuruf script untuk menyatakan keluarga himpunan, yaitu Α, Β, Φ, Γ, Η, … Contoh a. Dalam ilmu ukur kita baisanya mengatakan bahwa “suatu kelurega garis-garis” atau “suatu keluarga kurva-kurva” karena garis-garis dan kurva-kurva mereka ini sendiri adalah himpunan-himpunan dari titik-titik. b. Himpunan {{2,3}, {2}, {5,6}} adalah keluarga himpunan-himpunan. Anggotaanggotanya adalah himpunan {2,3}, {2}, {5,6}. Secara teoritis, dapat terjadi bahwa sebuah himpunan mempunyai beberapa anggota yang mana mereka sendiri adalah himpunan-himpunan dan beberapa anggota lainnya bukanlah himpunan-himpunan, meskipun dalam setiap kasus ini jarang terjadi. c. Misalkan A={2, {2,3}, 4, {2,5}}. Maka A bukanlah keluarga himpunanhimpunan, disini beberapa anggota A adalah himpunan-himpunan dan beberapa tidak. Himpunan yang Ekivalen • •

Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama. Notasi : A ~ B ↔ ⏐A⏐ = ⏐B⏐

Contoh Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab ⏐A⏐ = ⏐B⏐ = 4

Himpunan Saling Lepas • • •

Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama. Notasi : A // B Diagram Venn: U A

B


10

Contoh Jika A = { x | x ∈ P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B. Himpunan Kuasa • Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri. • Notasi : P(A) atau 2A • Jika ⏐A⏐ = m, maka ⏐P(A)⏐ = 2m. Contoh Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { ∅, { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }} Contoh 13. Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P(∅) = {∅}, dan himpunan kuasa dari himpunan {∅} adalah P({∅}) = {∅, {∅}}. Operasi Terhadap Himpunan a.

Irisan (intersection) • Notasi : A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B }

Contoh (i) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A ∩ B = {4, 10} (ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A ∩ B = ∅. Artinya: A // B b. Gabungan (union) •

Notasi : A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }

11 Pendahuluan

Contoh (i) Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A ∪ B = { 2, 5, 7, 8, 22 } (ii) A ∪ ∅ = A c.

Komplemen (complement) •

Notasi :

A = { x | x ∈ U, x ∉ A }

Contoh Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 }, (i) (ii)

A = {2, 4, 6, 8} jika A = { x | x/2 ∈ P, x < 9 }, maka A = { 1, 3, 5, 7, 9 } jika A = {1, 3, 7, 9}, maka

Contoh Misalkan: A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil impor C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990 D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu


12

(i) “mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar negeri” (E ∩ A) ∪ (E ∩ B) atau E ∩ (A ∪ B) (ii) “semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta” A ∩ C ∩ D (iii) “semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual lebih dari C ∩D∩B Rp 100 juta” d. Selisih (difference) • Notasi : A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B } = A ∩ B

Contoh (i) Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A = ∅ (ii) {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2} e.

Beda Setangkup (Symmetric Difference) • Notasi: A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B) = (A – B) ∪ (B – A)

Contoh Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A ⊕ B = { 3, 4, 5, 6 } Contoh Misalkan U = himpunan mahasiswa P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80 Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80 Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80.

13 Pendahuluan

(i) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai A” : P ∩ Q (ii) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P ⊕ Q (iii) “Ssemua mahasiswa yang mendapat nilai C” : U – (P ∪ Q) 2 TEOREMA 2. Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut: (a) A ⊕ B = B ⊕ A (hukum komutatif) (b) (A ⊕ B ) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C ) (hukum asosiatif) Perkalian Kartesian (cartesian product)

•

Notasi: A × B = {(a, b) ⏐ a ∈ A dan b ∈ B }

Contoh 20. (i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka C × D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) } (ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka A × B = himpunan semua titik di bidang datar Catatan: 1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: ⏐A × B⏐ = ⏐A⏐ . ⏐B⏐. 2. Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) ≠ (b, a). 3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A × B ≠ B × A dengan syarat A atau B tidak kosong. Pada Contoh 20(i) di atas, D × C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) } ≠ C × D. 4. Jika A = ∅ atau B = ∅, maka A × B = B × A = ∅ Contoh 21. Misalkan A = himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi goreng, m = mie rebus }

B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es dawet } Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan di atas? Jawab: ⏐A × B⏐ = ⏐A⏐⋅⏐B⏐ = 4 ⋅ 3 = 12 kombinasi dan minuman, yaitu {(s, c), (s, t), (s, d), (g, c), (g, t), (g, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m, c), (m, t), (m, d)} Contoh 21. Daftarkan semua anggota himpunan berikut: (d) P(P({3})) (a) P(∅) (b) ∅ × P(∅) (c) {∅}× P(∅)


Penyelesaian: (a) P(∅) = {∅} (b) ∅ × P(∅) = ∅ (ket: jika A = ∅ atau B = ∅ maka A × B = ∅) (c) {∅}× P(∅) = {∅}× {∅} = {(∅,∅)) (d) P(P({3})) = P({ ∅, {3} }) = {∅, {∅}, {{3}}, {∅, {3}} } Perampatan Operasi Himpunan

n

A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An = I Ai i =1 n

A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = U Ai i =1

n

A1 × A2 × ... × An = i×=1 Ai n

A1 ⊕ A2 ⊕ ... ⊕ An = ⊕ Ai i =1 Contoh 22. (i) A ∩(B1∪B2 ∪ ... ∪Bn) = (A∩ B1) ∪ (A ∩ B2) ∪ ... ∪ (A ∩ Bn) n

n

i =1

i =1

A ∩ (U Bi ) = U ( A ∩ Bi ) (ii) Misalkan A = {1, 2}, B = {a, b}, dan C = {α, β}, maka A × B × C = {(1, a, α), (1, a, β), (1, b, α), (1, b, β), (2, a, α), (2, a, β), (2, b, α), (2, b, β) } Hukum-hukum Himpunan 1. Hukum identitas: − A∪∅=A − A∩U=A

2. Hukum null/dominasi: − A∩∅=∅ − A∪U=U

14

15 Pendahuluan

3. Hukum komplemen: − A∪ A =U − A∩ A =∅

4. Hukum idempoten: − A∪A=A − A∩A=A

5. Hukum involusi:

( A) = A

6. Hukum penyerapan (absorpsi): − A ∪ (A ∩ B) = A − A ∩ (A ∪ B) = A

7. Hukum komutatif: − A∪B=B∪A − A∩B=B∩A

8. Hukum asosiatif: − A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C − A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

9. Hukum distributif: − A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) − A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

10. Hukum De Morgan:

−

− −

A∩ B A∪ B

= =

A∪ B A∩ B

11. Hukum 0/1 − −

∅ =U U =∅

Prinsip Dualitas

•

Prinsip dualitas: dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar. Contoh: AS kemudi mobil di kiri depan Inggris (juga Indonesia) kemudi mobil di kanan depan Peraturan: (a) di Amerika Serikat, - mobil harus berjalan di bagian kanan jalan, - pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiri untuk mendahului, - bila lampu merah menyala, mobil belok kanan boleh langsung (b) di Inggris, - mobil harus berjalan di bagian kiri jalan, - pada jalur yang berlajur banyak, lajur kanan untuk mendahului, - bila lampu merah menyala, mobil belok kiri boleh langsung

16


Prinsip dualitas: Konsep kiri dan kanan dapat dipertukarkan pada kedua negara tersebut sehingga peraturan yang berlaku di Amerika Serikat menjadi berlaku pula di Inggris.

•

(Prinsip Dualitas pada Himpunan). Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti ∪, ∩, dan komplemen. Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti ∪ → ∩, ∩ → ∪, ∅ → U, U → ∅, sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan S* juga benar dan disebut dual dari kesamaan S. 1. Hukum identitas: A∪∅=A

Dualnya: A∩U =A

2. Hukum null/dominasi: A∩∅=∅

Dualnya: A∪U=U

3. Hukum komplemen: A∪ A =U

Dualnya: A ∩ A= ∅

4. Hukum idempoten: A∪A=A

Dualnya: A∩A=A

5. Hukum penyerapan: A ∪ (A ∩ B) = A

Dualnya: A ∩ (A ∪ B) = A

6. Hukum komutatif: A∪B=B∪A

Dualnya: A∩B=B∩A

7. Hukum asosiatif: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C 8. Hukum distributif: A ∪ (B ∩ C)=(A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 9. Hukum De Morgan:

Dualnya: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C Dualnya: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Dualnya:

A∪ B = A ∩ 10. Hukum 0/1

∅= U

B

A∩ B Dualnya: U =∅

=

A∪B

17 Pendahuluan

Contoh 23. Dual dari (A ∩ B) ∪ (A ∩ B ) = A adalah

(A ∪ B) ∩ (A ∪ B ) = A. Prinsip Inklusi-Eksklusi

Untuk dua himpunan A dan B: ⏐A ∪ B⏐ = ⏐A⏐ + ⏐B⏐ – ⏐A ∩ B⏐ ⏐A ⊕ B⏐ = ⏐A⏐ +⏐B⏐ – 2⏐A ∩ B⏐ Contoh 24. Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5?

Penyelesaian: A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3, B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5, A ∩ B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK – Kelipatan Persekutuan Terkecil – dari 3 dan 5, yaitu 15), yang ditanyakan adalah ⏐A ∪ B⏐. ⏐A⏐ = ⎣100/3⎦ = 33, ⏐B⏐ = ⎣100/5⎦ = 20, ⏐A ∩ B⏐ = ⎣100/15⎦ = 6 ⏐A ∪ B⏐ = ⏐A⏐ + ⏐B⏐ – ⏐A ∩ B⏐ = 33 + 20 – 6 = 47 Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5. Untuk tiga buah himpunan A, B, dan C, berlaku ⏐A ∪ B ∪ C⏐ = ⏐A⏐ + ⏐B⏐ + ⏐C⏐ – ⏐A ∩ B⏐ – ⏐A ∩ C⏐ – ⏐B ∩ C⏐ + ⏐A ∩ B ∩ C⏐ Untuk himpunan A1, A2, …, Ar, berlaku: ⏐A1 ∪ A2 ∪ … ∪ Ar⏐ = ∑ ⏐Ai⏐ – ∑ ⏐Ai ∩ Aj⏐ + i

1≤i ≤ j ≤ r

∑

1≤i ≤ j ≤ k ≤ r

⏐Ai ∩ Aj ∩ Ak⏐ + … +


18

(-1)r-1 ⏐A1 ∩ A2 ∩ … ∩ Ar⏐ Partisi

•

Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A1, A2, … dari A sedemikian sehingga: A1 ∪ A2 ∪ … = A, dan (a) Ai ∩ Aj = ∅ untuk i ≠ j (b)

Contoh 25. Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka { {1}, {2, 3, 4}, {7, 8}, {5, 6} adalah partisi A. Himpunan Ganda

•

Himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut himpunan ganda (multiset). Contohnya, {1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 4}, {}.

• • •

Multiplisitas dari suatu elemen pada himpunan ganda adalah jumlah kemunculan elemen tersebut pada himpunan ganda. Contoh: M = { 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1 }, multiplisitas 0 adalah 4. Himpunan (set) merupakan contoh khusus dari suatu multiset, yang dalam hal ini multiplisitas dari setiap elemennya adalah 0 atau 1. Kardinalitas dari suatu multiset didefinisikan sebagai kardinalitas himpunan padanannya (ekivalen), dengan mengasumsikan elemen-elemen di dalam multiset semua berbeda.

Operasi Antara Dua Buah Multiset:

Misalkan P dan Q adalah multiset: 1. P ∪ Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas maksimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q. Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q ={ a, a, b, c, c }, P ∪ Q = { a, a, a, b, c, c, d, d } 2. P ∩ Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas minimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q. Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q = { a, a, b, c, c } P ∩ Q = { a, a, c } 3. P – Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan: − multiplisitas elemen tersebut pada P dikurangi multiplisitasnya pada Q, jika selisihnya positif − 0, jika selisihnya nol atau negatif. Contoh: P = { a, a, a, b, b, c, d, d, e } dan Q = { a, a, b, b, b, c,

19 Pendahuluan

c, d, d, f } maka P – Q = { a, e } 4. P + Q, yang didefinisikan sebagai jumlah (sum) dua buah himpunan ganda, adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan penjumlahan dari multiplisitas elemen tersebut pada P dan Q. Contoh: P = { a, a, b, c, c } dan Q = { a, b, b, d }, P + Q = { a, a, a, b, b, b, c, c, d } Pembuktian Pernyataan Perihal Himpunan

•

Pernyataan himpunan adalah argumen yang menggunakan notasi himpunan.

•

Pernyataan dapat berupa: 1. Kesamaan (identity) Contoh: Buktikan “A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)” 2. Implikasi

Contoh: Buktikan bahwa “Jika A ∩ B = ∅ dan A ⊆ (B ∪ C) maka selalu berlaku bahwa A ⊆ C”. 1. Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn Contoh 26. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) dengan diagram Venn.

Bukti:

A ∩ (B ∪ C)

(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Kedua digaram Venn memberikan area arsiran yang sama. Terbukti bahwa A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). • Diagram Venn hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak banyak jumlahnya.


•

20

Metode ini mengilustrasikan ketimbang membuktikan fakta. Diagram Venn tidak dianggap sebagai metode yang valid untuk pembuktian secara formal.

21 Pendahuluan

2. Pembuktikan dengan menggunakan tabel keanggotaan Contoh 27. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan bahwa A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

Bukti: A B C A ∩ (B ∪ C) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) B∪C A∩B A∩C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Karena kolom A ∩ (B ∪ C) dan kolom (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) sama, maka A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). 3. Pembuktian dengan menggunakan aljabar himpunan. Contoh 28. Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa (A ∩ B) ∪ (A ∩

B) = A

Bukti: (A ∩ B) ∪ (A ∩ B ) = A ∩ (B ∪ B ) (Hukum distributif) =A∩U (Hukum komplemen) =A (Hukum identitas) Contoh 29. Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa A ∪ (B – A) = A ∪ B Bukti: A ∪ (B – A) = A ∪ (B ∩ A ) (Definisi operasi selisih) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ A ) (Hukum distributif) = (A ∪ B) ∩ U (Hukum komplemen) =A∪B (Hukum identitas) Contoh 30. Buktikan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B, bahwa (i) A ∪ ( A ∩ B) = A ∪ B dan (ii) A ∩ ( A ∪ B) = A ∩ B Bukti: (i) A ∪ ( A ∩ B) = ( A ∪ A ) ∩ (A ∩ B) (H. distributif) = U ∩ (A ∩ B) (H. komplemen) = A∪B (H. identitas)


(ii)

22

adalah dual dari (i) A ∩ ( A ∪ B) = (A ∩ A ) ∪ (A ∩ B) = ∅ ∪ (A ∩ B) = A∩B

(H. distributif) (H. komplemen) (H. identitas)

Pembuktian dengan menggunakan definisi

•

Metode ini digunakan untuk membuktikan pernyataan himpunan yang tidak berbentuk kesamaan, tetapi pernyataan yang berbentuk implikasi. Biasanya di dalam implikasi tersebut terdapat notasi himpunan bagian (⊆ atau ⊂).

Contoh 31. Misalkan A dan B himpunan. Jika A ∩ B = ∅ dan A ⊆ (B ∪ C) maka A ⊆ C. Buktikan!

Bukti: (i) Dari definisi himpunan bagian, P ⊆ Q jika dan hanya jika setiap x ∈ P juga ∈ Q. Misalkan x ∈ A. Karena A ⊆ (B ∪ C), maka dari definisi himpunan bagian, x juga ∈ (B ∪ C). Dari definisi operasi gabungan (∪), x ∈ (B ∪ C) berarti x ∈ B atau x ∈ C. (ii) Karena x ∈ A dan A ∩ B = ∅, maka x ∉ B Dari (i) dan (ii), x ∈ C harus benar. Karena ∀x ∈ A juga berlaku x ∈ C, maka dapat disimpulkan A ⊆ C .

23 Pendahuluan

1.2 FUNGSI

Misalkan untuk tiap-tiap unsur dalam sebuah himpunan A dipasangkan dengan sebuah unsur tunggal dari himpunan B. Kita menyebut pemasangan demikian adalah suatu fungsi. Jika kita memisalkan f menyatakan pemasangan ini, maka kita tuliskan f:A B yang dibaca “f adalah fungsi dari A ke dalam B”. Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah kawan (kodomain) dari f. Jika a unsur di A maka unsur dalam B yang merupakan pasangan untuk a disebut peta (image) dari a dan dinyatakan oleh f(a) yang dibaca “f dari a” Misalkan A dan B adalah himpunan yang tidak kosong. Sebuah relasi f dari A pada B disebut fungsi jika untuk setiap x ∈ A terdapat satu dan hanya satu y ∈B dimana (x ,y ) ∈ f . Contoh 32 1. Relasi R1 didefinisikan pada himpunan A = {3, 4, 5} sebagai R1 = {(3,4),(4,4), (5,3)}. Relasi R1 tersebut merupakan sebuah fungsi. 2. Relasi R2 didefinisikan pada himpunan A = {3, 4, 5} sebagai R2 = {(3,4),(3,5), (4,4), (5,3)}. Relasi R2 tersebut bukan sebuah fungsi. 3. Relasi R3 didefinisikan pada himpunan A = {3, 4, 5} sebagai R3 = {(3,4),(3,5), (5,3)}. Relasi R3 tersebut bukan sebuah fungsi. 4. Di antara relasi-relasi berikut, relasi manakah yang merupakan fungsi ?

Jika f merupakan fungsi yang memasangkan kepada setiap anggota A satu dan hanya satu anggota B , atau ditulis f : A → B, maka A disebut sebagai domain dan B disebut sebagai co-domain. Jika f(x) = y , maka y disebut image dari x di bawah f dan x disebut preimage dari y . Contoh 33


24

Dari contoh 1, fungsi R1 = {(3,4),(4,4), (5,3)}. Himpunan A = {3, 4, 5} merupakan domain dan co-domain dari fungsi R1 . Daerah hasil (range) dari f : A → B adalah himpunan image dari semua anggota A di bawah fungsi f. Contoh 34 f • f(a) = X. P Q • image dari d adalah X. • domain dari f adalah P = {a, b, c, d} •X a• • co-domain dari f adalah Q = { X, Y, Z } b• •Y • f(P) = { X, Y } c• • preimage dari Y adalah c •Z d• • preimage dari X adalah a, b dan d • f({c,d}) = {X,Y } • range dari f adalah {X,Y } Contoh 35 a. Misalkan ∇ adalah himpunan bilangan real, dan f : ∇ ∇, yang didefinisikan oleh f(x) = x2, maka f merupakan fungsi, peta dari -3 adalah 9, oleh karena itu kita dapat pula menuliskan f(-3)=9. b. Misalkan A={a, b, c, d} dan B={a, b, c}. Definisikan sebuah fungsi f dari A ke dalam B melalui korespondensi f(a)=b, f(b)=c, f(c)=c dan f(d)=b. c. Misalkan A={1, -1} dan ∇ adalah bilangan real. Misalkan f memasangkan tiap-tiap bilangan rasional dalan ∇ dengan 1 dan untuk setiap bilangan irrasional dalam ∇ dipasangkan dengan -1. Maka f: ∇ A dan f didefinisikan oleh ⎧ 1 jika x rasional f ( x) = ⎨ ⎩− 1 jika x irrasional Karena sebuah fungsi f dari A ke dalam B, dan sering pula disebut peta dari A ke dalam B, dengan demikian istilah fungsi f sering pula disebut dengan pemetaan f. Dengan demikian istilah fungsi f mempunyai pengertian yang sama dengan istilah pemetaan f. RANGE DARI FUNGSI Misalkan f suatu fungsi dari A ke dalam B, yaitu misalkan f:A B. maka setiap unsur dalam B tidak perlu muncul sebagai peta dari unsur-unsur A. Himpunan semua unsur-unsur dalam B yang merupakan peta dari unsur-unsur A dinamakan range dari f atau disebut daerah hasil dari f. Contoh 36

25 Pendahuluan

a. Misalkan fungsi f:∇ ∇, yang didfinisikan oleh f(x)=x2, maka daerah hasil dari f adalah Im f = {x∈∇∩{0}} b. Misalkan A={a, b, c, d} dan B={a, b, c}. Definisikan sebuah fungsi f dari A ke dalam B melalui korespondensi f(a)=b, f(b)=c, f(c)=c dan f(d)=b, maka Im f = {b, c} FUNGSI SATU-SATU dan PADA Misalkan f memetakan A ke dalam B, maka f disebut suatu fungsi satu-satu (one-one function) jika unsure-unsur yang berbeda dalam B merupakan peta dari unsure-unsur yang berbeda dari A, yaitu jika tidak ada dua buah unsure dalam A yang mempunyai peta yang sama. Secara singkat f : A B adalah satu-satu jika f(a) = f(a’), maka a=a’ atau yang ekivalen dengannya yaitu jika a ≠ a’, maka f(a) ≠ f(a’). Fungsi f disebut fungsi pada (onto) atau surjectif jika setiap y pada B memiliki preimage. Dengan kata lain, untuk setiap y dalam B terdapat sebuah x dalam A demikian hingga f(x) = y . Fungsi f disebut bijectif jika f merupakan fungsi satu-satu dan pada . Contoh 37 1. Fungsi pada contoh 3 di atas bukan merupakan fungsi satu-satu dan bukan merupakan fungsi pada. Dengan demikian, fungsi tersebut bukan merupakan fungsi bijektif. 2. Nyatakan fungsi-fungsi berikut sebagai fungsi satu-satu, fungsi pada atau fungsi bijektif.

Jika terdapat bijeksi antara himpunan A dan himpunan B, maka banyaknya anggota kedua himpunan tersebut harus sama. Dengan kata lain, kedua himpunan tersebut harus memiliki kardinalitas yang sama. Contoh 38

26


Fungsi-fungsi berikut didefinisikan pada himpunan bilangan riil R. Tentukan fungsi yang merupakan fungsi satu-satu, fungsi pada atau fungsi bijektif. f(x) = x f(x) = x2 f(x) = x3 f(x) = | x | INVERS DARI FUNGSI Misalkan f sebuah fungsi dari himpunan A pada himpunan B. Invers dari fungsi f adalah relasi f- -1 : B → A dimana f- -1 (B) = { x | f- (x) = y , x ∈ A , y ∈ B }. Contoh 39

f

P

Diketahui fungsi f- : P → Q

•X

a• b• c• d•

Invers dari fungsi tersebut adalah :

Q X• Y• Z•

Q

•Y •Z

f-1

P •a •b •c •d

Contoh 40 Diketahui fungsi f- : P → Q , dimana P = { 2,4,6 } , Q = { 1,2,4,9,16,25,36 } -1 -1 dan f (x) = x2. Invers dari fungsi f adalah f (x) = √x dimana x ∈ Q dan f (x) ∈ P. Contoh 41 Fungsi-fungsi berikut didefinisikan pada himpunan bilangan riil R. Tentukan invers dari setiap fungsi tersebut. 1. f(x) = x 2. f(x) = x2 3. f(x) = x3

27 Pendahuluan

4. f(x) = | x | Sebuah fungsi disebut sebagai fungsi invers jika invers dari fungsi tersebut merupakan sebuah fungsi. Contoh 42 Di antara fungsi-fungsi yang didefinisikan pada himpunan bilangan riil R berikut, fungsi mana yang merupakan fungsi invers. 1. f(x) = x 2. f(x) = x2 3. f(x) = x3 4. f(x) = | x | Komposisi Fungsi C dan g : A B adalah fungsi. Komposisi f Misalkan f : B dengan g , ditulis f og adalah fungsi dari A kepada C yang didefinisikan sebagai f og (x) = f ( g (x)) Contoh 43 Jika f (x) = x2 dan g (x) = 2x + 1, maka f og (x) = f (g (x)) = (2x+1)2 dan g of (x) = g (f (x)) = 2x2 + 1 Contoh 44 P

f

g

Q

a• b• c• d•

Tentukan f og dan g of.

R

•X

•p

•Y

•q

•Z

•r


28

Prinsip Indusi pada N Sejak bilangan asli di masukkan dalam bagian bilangan asli beberapa sifat-sifat dari bilangan asli N yang sering digunakan dalam matakuliah analisis real, sifat-sifat tersebut dikenal dengan prinsip induksi. Prinsip ini dikenal sebagai dasar dalam pembuktian yang dikenal dengan induksi matematika. Sifat-sifat tersebut di uraikan berikut ini secara berturut-turut. Teorema (Well-OrderingProperty) setiap himpunan bagian tak kosong S dari N mempunyai unsur terkecil.

Bukti teorema ini akan diberikan pada lampiran Teorema (Principle of Induction) Misalkan S ⊆ N sehingga (1) 1∈S, dan (2) untuk setiap bilangan asli n, dengan n∈S, sehingga n + 1 ∈ S, maka S=N. Bukti Misalkan E=N\S, dan E=Ø maka diperoleh S=N. Sekarang andaikan S≠N (yaitu E ≠ Ø), menurut teorema di atas terdapat unsur terkecil m dari E. Dapatkah m=1, jawabnya tidak, sebab 1∈S. jadi m-1 juga bilangan asli (karena m>1, sehingga m1∈N). Karena m unsure terkecil E, tentunya m-1 bukan di E melainkan di S. Berdasrkan hipotesis (2) m = m – 1 + 1 ∈S. Hal ini tidak mngkin karena m unsur terkecil dari E. Hal ini mengatakan bahwa pengandaian salah. Jadi haruslah S=N.

1 Pendahuluan I PENDAHULUAN

Recommend Documents