SISTEM ANTRIAN M/G/1, M/M/1 DAN M/D/1
Oleh: GUSTANTI NINGRUM G54101034
PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2006
ABSTRAK GUSTANTI NINGRUM. Sistem antrian M/G/1, M/M/1 dan M/D/1. Dibimbing oleh RETNO BUDIARTI dan I G PUTU PURNABA. Sistem antrian yang dipelajari dalam karya ilmiah ini adalah sistem antrian M/G/1 tanpa waktu libur server dan dengan waktu libur server. M menyatakan pola kedatangan bersifat markov (proses kedatangan costumer menyebar Poisson dan waktu antar kedatangan menyebar exponensial), G menyatakan pola pelayanan bersifat umum (General) dan 1 menyatakan banyaknya server. Disiplin pelayanan yang digunakan adalah FIFO (First In First Out) dan kapasitas sistem tak terbatas, artinya tidak ada batasan untuk jumlah costumer yang masuk. Tujuan dari karya ilmiah ini adalah mempelajari penentuan nilai rata-rata dari banyaknya costumer di sistem, nilai rata-rata panjang antrian dan nilai rata-rata dari waktu antrian pada sistem antrian M/G/1 tanpa waktu libur server dan dengan waktu libur server. Diperoleh bahwa nilai rata-rata dari banyaknya costumer di sistem baik pada sistem antrian M/G/1 dengan waktu libur server ataupun tanpa waktu libur server meningkat secara linear sesuai dengan ragam dari waktu pelayanan. Nilai rata-rata dari banyaknya costumer sistem antrian M/G/1 dengan waktu libur server lebih banyak daripada nilai rata-rata dari banyaknya costumer pada sistem antrian M/G/1 tanpa waktu libur server. Begitu juga dengan nilai rata-rata dari panjang antrian dan waktu antriannya.
SISTEM ANTRIAN M/G/1, M/M/1 DAN M/D/1
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan alam Institut Pertanian Bogor
Oleh: GUSTANTI NINGRUM G54101034
PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2006
Judul Nama NRP
: : :
SISTEM ANTRIAN M/G/1, M/M/1 DAN M/D/1 Gustanti Ningrum G54101034
Menyetujui,
Pembimbing I
Pembimbing II
Ir. Retno Budiarti, M.S NIP. 131 804 163
Dr. Ir. I G Putu Purnaba, DEA NIP. 131 878 945
Mengetahui, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Prof. Dr. Ir Yonny Koesmaryono, M.S NIP. 131 473 999
Tanggal Lulus : ……………………
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 25 Agustus 1983 sebagai anak kelima dari lima bersaudara dari pasangan Bapak Supandi dan Ibu Sumini. Pada tahun 2001 penulis lulus dari SMUN 1 Jakarta dan berhasil menjadi mahasiswa Jurusan Matematika (yang sekarang berganti nama menjadi Departemen Matematika), Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI (Undangan Seleksi Masuk IPB). Selama mengikuti kegiatan perkuliahan, penulis aktif dalam kepengurusan GUMATIKA (Gugus Mahasiswa Matematika) pada periode 2002/2003.
PRAKATA Bismillaahirrahmaaniirahiim, Puji dan syukur penulis panjatkan kepada ALLAH SWT atas rahmat dan karunia yang diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Dengan segala kerendahan hati, penulis ingin mengucapkan terimakasih kepada: 1. Bu Retno selaku pembimbing 1 yang telah memberikan waktu dan kesediaannya untuk memberikan saran dan masukan. 2. Bapak Putu selaku pembimbing 2 atas bimbingannya dan telah membantu dalam penulisan karya ilmiah ini. 3. Bapak Wayan atas bimbingan dan kesediannya menjadi penguji. 4. Bapak dan Ibu yang telah membesarkan penulis dengan penuh kasih sayang. Terima kasih atas doa, dukungan, nasihat dan kesabarannya, khususnya di saat pengerjaan karya ilmiah ini. 5. Kakak-kakakku beserta keluarga besar yang telah memberikan dukungan dan doanya. 6. Seluruh dosen beserta staf Departemen Matematika atas ilmunya yang tak ternilai. 7. Muhammad Hanifudin yang telah mengisi hari-hariku dengan penuh kasih sayang, perhatian dan kesabaran. 8. Wulan dan Yenny yang telah bersedia menjadi sahabat dalam suka maupun duka. Semoga persahabatan ini tak lekang dimakan waktu. 9. Teman-teman angkatan 38 atas kenangan yang indah selama masa perkuliahan. 10. Seluruh rekan seperjuangan angkatan 35, 36, 37, 39 dan 40. 11. Rekan-rekan di Sinotif atas dukungan, semangat dan doanya. 12. Serta semua pihak yang telah membantu terselesaikannya skripsi ini. Penulis menyadari dalam penyusunan ini masih jauh dari sempurna. Penulis mengharapkan saran dan kritik yang membangun untuk kesempurnaan skripsi ini. Semoga skripsi ini bermanfaat baik bagi penulis maupun pihak-pihak lain yang memerlukan.
Bogor, Agustus 2006 Gustanti Ningrum
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL ……………………………………………………………………………. viii DAFTAR GAMBAR …………………………………………………………………………. viii DAFTAR LAMPIRAN ………………………………………………………………………. I
II
PENDAHULUAN Latar Belakang ……………………………………………………………………… Tujuan ……………………………………………………………………………….
1 1
LANDASANTEORI……………………………………………………………………..
3
III PEMBAHASAN Nilai Rata-rata Dari Banyaknya Costumer Pada Sistem Antrian M/G/1,M/M/1 dan M/D/1...................................................................................................................... Nilai Rata-rata Dari Panjang Antrian dan Waktu Antrian Pada Sistem Antrian M/G/1,M/M/1dan M/D/1.............................................................................................. Nilai Rata-rata Dari Banyaknya Costumer Pada Sistem Antrian M/G/1, M/M/1 dan M/D/1 dengan waktu libur server......................................................................... Nilai Rata-rata Dari Panjang Antrian dan Waktu Antrian Pada Sistem Antrian M/G/1,M/M/1dan M/D/1 dengan waktu libur server..................................................
V
viii
6 11 12 14
SIMPULAN ………………………………………………………………………………
16
DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………………………………
16
LAMPIRAN …………………………………………………………………………………..
19
DAFTAR TABEL 1 2
Halaman Notasi Bentuk Antrian…………………........................................................................... 4 Hasil Yang Diperoleh ……………………………........................................................... 16
DAFTAR GAMBAR 1
Halaman Peluang transisi dari i….................................................................................................... 7
DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 2 3 4 5 6
Pembuktian Teorema 1 dan Teorema 2………………………………………………… Pembuktian Teorema 6…………………………………………………………………. Perhitungan persamaan (29)……………………………………………………………. Perhitungan persamaan (39)……………………………………………………………. Perhitungan persamaan (77)……………………………………………………………. Perhitungan persamaan (86).............................................................................................
viii
19 20 21 22 23 24
PENDAHULUAN Karya ilmiah ini juga mempelajari tentang sistem antrian M/G/1 dengan waktu libur server, dimana jika server menemukan sistem kosong maka dia akan libur untuk suatu panjang waktu tertentu dan akan kembali ke sistem jika di akhir dari waktu liburnya dia menemukan costumer di dalam sistem. Contoh dari sistem antrian M/M/1 salah satunya adalah sistem pelayanan pasien pada suatu klinik. Pada klinik tersebut terdapat seorang dokter (server) yang melayani setiap pasien (costumer) yang datang dengan prioritas pelayanan disesuaikan dengan urutan kedatangan pasien. Waktu antar kedatangan maupun waktu pelayanan diasumsikan memiliki sebaran eksponensial, jumlah pasien tidak dibatasi dan pasien tersebut berasal dari populasi masyarakat yang banyaknya tak terhingga. Permasalahan yang di bahas dalam karya ilmiah ini berpedoman pada buku yang ditulis oleh Trivedi, K.S yang berjudul Probability and Statistics with Reliability Queuing and Computer Science Applications.
Latar Belakang Salah satu permasalahan yang ditemui dalam bidang matematika adalah mencari model yang sesuai dengan fenomena yang dihadapi sehingga menghasilkan solusi yang eksak dan dapat menjamin eksistensi dari solusi tersebut. Salah satu fenomena yang dapat dimodelkan adalah persoalan antrian. Masalah antrian ditimbulkan oleh kebutuhan akan pelayanan yang melebihi kemampuan (kapasitas) pelayanan atau fasilitas pelayanan, sehingga costumer yang datang tidak segera dilayani. Akibatnya costumer harus menunggu untuk beberapa waktu untuk dapat menerima pelayanan atau terkadang ada costumer yang meninggalkan sistem pelayanan karena tidak sabar menunggu. Dalam kehidupan sehari-hari ternyata masalah antrian sering kita jumpai dan hampir setiap orang pernah mengalaminya, misalnya di traffic light, antrian layanan telepon, layanan bank terhadap nasabah, truk-truk yang menunggu muatan, loket pembayaran listrik, dan lainlain. Salah satu model antrian yang ada dan akan dipelajari dalam karya ilmiah ini adalah sistem antrian M/G/1. M menyatakan pola kedatangan bersifat Markov, yaitu proses kedatangan costumer bersifat bebas dan menyebar Poisson, sedangkan waktu antar kedatangannya memiliki sebaran eksponensial. G menyatakan waktu pelayanan untuk setiap costumer bersifat umum (General) dan bebas, dengan tingkat rata-rata tertentu. Sistem antriannya memiliki 1 server. Disiplin pelayanan yang digunakan adalah FIFO (First In First Out), dengan kapasitas sistem tak terbatas. Jika waktu pelayanan pada sistem antrian ini diasumsikan menyebar eksponensial maka sistem antriannya menjadi sistem antrian M/M/1, sedangkan jika waktu pelayanannya diasumsikan konstan, maka akan didapatkan sistem antrian M/D/1.
Tujuan Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah mempelajari beberapa hal berikut: 1. Penentuan nilai rata-rata banyaknya costumer pada sistem antrian M/G/1, M/M/1 dan M/D/1 2. Penentuan nilai rata-rata dari panjang antrian dan waktu antrian pada sistem antrian M/G/1, M/M/1 dan M/D/1. 3. Penentuan nilai rata-rata banyaknya costumer pada sistem antrian M/G/1, M/M/1 dan M/D/1 dengan waktu libur server 4. Penentuan nilai rata-rata dari panjang antrian dan waktu antrian pada sistem antrian M/G/1, M/M/1 dan M/D/1 dengan waktu libur server.
LANDASAN TEORI dilakukan dalam kondisi yang sama. Walaupun kita dapat mengetahui semua kemungkinan hasil yang akan muncul, tetapi
Definisi 1 (Percobaan Acak) Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan, yang biasanya
1
hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama semacam ini disebut percobaan acak. [ Hogg dan Craig, 1995 ]
Definisi 7 (Fungsi Sebaran) Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X adalah suatu fungsi F : R → [0,1] yang didefinisikan oleh
FX (x ) = Ρ( X ≤ x ) . [Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Definisi 2 (Ruang Contoh) Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω . [Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Definisi 8 (Peubah Acak Diskret) Jika himpunan nilai semua kemungkinan dari peubah acak X adalah himpunan yang dapat dicacah, maka X disebut peubah acak diskret. [Bain dan Engelhardt, 1992]
Definisi 3 (Kejadian) Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari ruang contoh Ω . [Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Definisi 9 (Fungsi Kerapatan Peluang) Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi p : R → [ 0,1] yang
Definisi 4 (Medan-σ) Suatu himpunan F yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh Ω , disebut medan- σ jika memenuhi kondisi berikut : 1. φ ∈ F.
diberikan oleh
p X (x ) = Ρ( X = x ) . [Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Definisi 10 (Peubah Acak Kontinu) Suatu peubah acak X disebut kontinu jika fungsi sebarannya dapat dinyatakan sebagai
c
2. Jika Α ∈ F maka A ∈ F. ∞
3. Jika A1, A2,… ∈ F maka ∪ Αi ∈ F .
x
FX ( x ) = ∫ f X ( u ) du ,
i =1
−∞
[Grimmett dan Stirzaker, 1992]
x ∈ R , dengan f : R → [0, ∞ ) adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi f disebut fungsi kepekatan peluang dari peubah acak X. [Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Definisi 5 (Ukuran Peluang dan Ruang Peluang) Suatu ukuran peluang P pada (Ω, F ) merupakan suatu fungsi P : F → [0,1] yang memenuhi : 1. Ρ(φ ) = 0 , Ρ(Ω ) = 1 .
Definisi 11 (Nilai Harapan) Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang p X (x ) , maka nilai harapan dari X adalah : Ε [ X ] = ∑ x pX ( x ) .
2. Jika A1, A2,… ∈ F adalah himpunanhimpunan yang saling lepas, yaitu Α i ∩ Α j = φ untuk setiap pasangan i ≠ j, maka
x
Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang f X (x ) , maka nilai harapan dari X adalah :
⎛ ⎞ Ρ⎜ ∪ Αi ⎟ = ∑ Ρ(Αi ) ⎝ i =1 ⎠ i =1 Pasangan (Ω,F ,P) disebut ruang peluang. [Grimmett dan Stirzaker, 1992] ∞
∞
∞
Ε [ X ] = ∫ x f X ( x ) dx . −∞
[Bain dan Engelhardt, 1992]
Definisi 6 (Peubah Acak) Suatu peubah acak X adalah suatu fungsi X :Ω → R dengan sifat bahwa {w ∈ Ω; X ( w) ≤ x} ∈ F , untuk setiap x ∈ R .
Definisi 12 (Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak) Misalkan X dan Y adalah peubah acak. Fungsi sebaran bersama dari X dan Y adalah FX ,Y (x, y ) = Ρ( X ≤ x, Y ≤ y ) .
[Grimmett dan Stirzaker, 1992] Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital seperti X , Y , Z . Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x,y,z.
[Grimmett dan Stirzaker, 1992]
2
Definisi 13 (Fungsi Kerapatan Peluang Bersama dan Fungsi Kepekatan Peluang Bersama) 1. Fungsi kerapatan peluang bersama dari peubah acak diskret X dan Y adalah fungsi p : R 2 → [0,1] yang diberikan oleh p X , Y ( x, y ) = Ρ ( X = x, Y = y ) .
Definisi 16 (Ragam) Ragam dari peubah acak X adalah nilai harapan dari kuadrat selisih antara X dengan nilai harapannya. Secara matematis dinyatakan sebagai :
2.
Definisi 17 (Fungsi Pembangkit Peluang) Misalkan X adalah peubah acak diskret yang nilainya berupa bilangan bulat tak negatif {0,1,2,…}, dan fungsi kerapatan peluangnya diberikan oleh Ρ ( X = t ) = p X ( t ) . Fungsi
[
Fungsi kepekatan peluang bersama dari peubah acak kontinu X dan Y adalah fungsi f : R 2 → [0, ∞] yang diberikan f X ,Y ( x, y ) =
∂ 2 FX ,Y (x, y )
. ∂x∂y [Grimmett dan Stirzaker, 1992]
oleh
pembangkit peluang dari peubah acak X
( )
didefinisikan oleh G ( z ) = Ε z X , yaitu
( )
p X ,Y ( x, y )
p X Y (x y ) = 2.
pY ( y )
∞
∞
t =0
t =0
G ( z ) = Ε z X = ∑ zt Ρ ( X = t ) = ∑ zt pX (t )
Definisi 14 (Fungsi Kerapatan Peluang Bersyarat dan Fungsi Kepekatan Peluang Bersyarat) 1. Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang bersama p X ,Y (x, y ) . Maka fungsi
kerapatan peluang bersyarat dengan syarat Y = y adalah
]
Var ( X ) = Ε ( X − Ε( X ))2 . [Bain dan Engelhardt, 1992]
[Grimmett dan Stirzaker,1992]
Teorema 1 Jika X adalah peubah acak diskret yang mempunyai fungsi pembangkit peluang G(z), maka E ( X ) = G ' (1). Bukti : Lihat Lampiran 1
dari X
,
dengan syarat pY ( y ) > 0 . Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang bersama f X ,Y (x, y ) . Maka fungsi
Teorema 2 Jika X adalah peubah acak diskret yang mempunyai fungsi pembangkit peluang G(z),
maka Var ( X ) = G ' ' (1) + G ' (1) − (G ' (1))2 Bukti : Lihat Lampiran 1
kepekatan peluang bersyarat dari X dengan syarat Y = y adalah f ( x, y ) , f X Y ( x, y ) = X ,Y fY ( y ) dengan syarat fY(y) > 0. [Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Definisi 18 (Proses Stokastik) Proses Stokastik {X (t ), t ∈ T } adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke ruang state S. [Ross, 1996]
Definisi 15 (Nilai Harapan Bersyarat) Misalkan X dan Y peubah acak kontinu dan f X Y (x, y ) adalah fungsi kepekatan peluang
Ε X Y = y = ∫ x f X Y ( x y ) dx .
Definisi 19 (Rantai Markov dengan Waktu Diskret) Proses Stokastik {X n , n = 0,1,2,...} dengan ruang state {0,1,2,…} disebut rantai Markov dengan waktu diskret jika untuk setiap n ∈ {0,1, 2,...} berlaku :
Jika X dan Y adalah peubah acak diskret dengan p X Y (x y ) adalah fungsi kerapatan
Ρ ( X n +1 = j X n = i )
bersyarat dari X dengan syarat Y = y. Nilai harapan dari X dengan syarat Y = y adalah :
[
]
∞
Ρ ( X n +1 = j X n = i, X n −1 = in −1 ,..., X 0 = i0
−∞
[Ross, 1996]
peluang bersyarat dari X dengan syarat Y = y, maka nilai harapan dari X dengan syarat Y = y adalah Ε X Y = y = ∑ x p X Y (x y ) .
[
)=
Definisi 20 (Rantai Markov dengan Waktu Kontinu) Suatu Proses Stokastik {X (t ), t ≥ 0} , dengan ruang state diskret {0,1,2,...} , disebut suatu
]
x
[ Hogg dan Craig, 1995 ]
3
rantai Markov dengan waktu kontinu jika untuk setiap t > 0, s > 0 dan i, j , x ( u ) ∈ {0,1, 2,...} , 0 ≤ u < s berlaku
(
Ρ X ( t + s ) = j X ( s ) = i, X ( u ) = x ( u ) ;0 ≤ u < s
(
)
= Ρ X (t + s ) = j X ( s ) = i .
[Ross, 1996] Definisi 21 (Proses Pencacahan) Suatu proses stokastik {N (t ), t ≥ 0} disebut proses pencacahan (counting process) jika N(t) menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t. [Ross, 1996]
Definisi 26 (Pola Pelayanan) Pola pelayanan biasanya dicirikan sebagai waktu pelayanan (sevice time) yaitu waktu yang digunakan oleh satu server untuk melayani satu costumer. Pola pelayanan juga dapat bersifat probabilistic, state independent atau state dependent. Selain itu dalam suatu sistem pelayanan, costumer dapat dilayani oleh satu atau lebih server. [Osaki, 1992] Definisi 27 (Kapasitas Sistem) Kapasitas Sistem adalah banyaknya costumer di sistem, baik costumer yang sedang dilayani maupun costumer yang terdapat dalam antrian. Suatu sistem antrian yang memiliki kapasitas tertentu, pada saat pelayanan penuh, costumer yang datang akan ditolak untuk masuk kedalam sistem. Dengan demikian costumer tersebut dipaksa pergi dari sistem tanpa menerima pelayanan. Sistem yang tidak mempunyai batasan terhadap jumlah costumer yang diijinkan untuk masuk ke dalam fasilitas pelayanan disebut kapasitas tak terbatas sedangkan proses sebaliknya disebut kapasitas terbatas. [Osaki, 1992]
Definisi 22 (Proses Poisson) Suatu proses pencacahan { N ( t ) ; t ≥ 0} disebut
proses Poisson dengan laju λ , λ > 0 jika dipenuhi tiga syarat berikut. (i) N ( 0 ) = 0. (ii) Proses tersebut memiliki inkremen bebas. Jadi banyaknya kejadian yang terjadi sampai waktu t, yaitu N ( t ) , adalah bebas terhadap banyaknya kejadian yang terjadi dalam interval waktu t , t + s ] , yaitu
(
N (t + s ) − N (t )
untuk
sembarang
bilangan nyata s > 0 . (iii) Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran Poisson dengan rataan λ t . Jadi untuk semua t , s > 0 , Ρ { N ( t + s ) − N ( s ) = k} =
e−λt ( λ t )
)
Definisi 25 (Pola Kedatangan) Pola kedatangan costumer dapat dicirikan oleh waktu antar kedatangan (interarrival time) yaitu waktu antara kedatangan costumer yang satu dengan costumer berikutnya. Pola ini dapat bersifat deterministic (tertentu) dan probabilistic (peubah acak yang mengikuti sebaran peluang tertentu). Pola ini juga dapat bergantung pada banyaknya costumer yang ada di sistem (state dependent) atau tidak bergantung pada banyaknya costumer di sistem (state independent). [Osaki, 1992]
k
k!
untuk k = 0,1,2,… [Ross, 1996] Definisi 23 (Sebaran Eksponensial) Peubah acak kontinu X dikatakan memiliki sebaran eksponensial dengan parameter λ , λ > 0 , jika memiliki fungsi kepekatan peluang sebagai berikut ⎧⎪λ e− λ x , x ≥ 0 f ( x) = ⎨ x < 0. ⎪⎩0, [Ross, 1996]
Definisi 28 (Disiplin Antrian) Secara umum disiplin antrian adalah cara untuk menentukan costumer mana yang akan dilayani lebih dulu oleh server. [Osaki, 1992] Definisi 29 (Pemodelan Antrian) Bentuk antrian secara umum dinotasikan oleh Kendall-Lee sebagai (a/b/c) : (d/e/f), dimana masing-masing simbol a, b ,c, d, e dan f dijelaskan dalam tabel berikut : No. Karakteristik Simbol Keterangan Eksponensial 1. a = Sebaran M Deterministik waktu antar D Erlang jenis k kedatangan Ek General G
Definisi 24 (Karakteristik Antrian) Sistem antrian dicirikan oleh lima komponen utama yaitu : pola kedatangan costumer, pola pelayanan costumer, banyaknya server, kapasitas sistem dan disiplin antrian. [Medhi, 1991]
4
No. 2.
3. 4.
Karakteristik b = Sebaran waktu pelayanan
Simbol M D Ek G
c = jumlah server
1,2,.. ∞
d = Disiplin Pelayanan
FIFO LIFO SIRO PRI GD
5. 6.
C = C ∩ ( C1 ∪ C2 ∪ ...Ck ) , maka
Keterangan Eksponensial Deterministik Erlang jenis k General
Ρ ( C ) = Ρ ( C1 ) Ρ ( C C1 ) + Ρ ( C2 ) Ρ ( C C2 ) + ... + Ρ ( C k ) Ρ ( C Ck ) = ∑ Ρ ( Ci ) Ρ ( C Ci ). k
i =1
Persamaan diatas dinamakan Teorema Total Peluang. First In First Out Last In First Out Service In Random Order Priority General Dicipline
Bukti : C = C ∩ ( C1 ∪ C2 ∪ ...Ck ) = ( C ∩ C1 ) ∪ ( C ∩ C2 ) ∪ ... ∪ ( C ∩ Ck ) . (1)
C ∩ Ci , i = 1, 2,..., k adalah kejadian yang saling lepas, sehingga Ρ ( C ) = Ρ ( C ∩ C1 ) + Ρ ( C ∩ C2 ) + ... + Ρ ( C ∩ Ck ) .
e = Kapasi1,2,.. ∞ tas Sistem f = Populasi 1,2,.. ∞ Costumer Tabel 1. Notasi Bentuk Antrian
(2)
Ρ ( C ∩ Ci ) adalah fungsi kerapatan peluang
bersama, sehingga berdasarkan Definisi 14 didapat Ρ ( C ∩ Ci ) = Ρ ( Ci ) Ρ ( C Ci ) , i = 1, 2,...k , (3)
dimana Ρ ( C Ci ) adalah fungsi kerapatan
Definisi 30 (Steady-state) Suatu keadaan pada antrian dikatakan steadystate jika nilai peluangnya tidak lagi bergantung pada nilai peluang awal. Dengan kata lain, setelah periode waktu yang cukup lama sistem mencapai keadaan setimbang. [Cooper, 1981]
peluang bersyarat dari kejadian C dengan syarat kejadian Ci . Oleh karena itu persamaan (2) menjadi Ρ ( C ) = Ρ ( C1 ) Ρ ( C C1 ) + Ρ ( C2 ) Ρ ( C C2 ) + ... + Ρ ( Ck ) Ρ ( C Ck ) = ∑ Ρ ( Ci ) Ρ ( C Ci ). k
Definisi 31 (Memoryless) Peubah acak X disebut bersifat tanpa memori, atau memoryless, jika untuk setiap s, t ≥ 0 Ρ ( X > t + s X > t ) = Ρ ( X > s) .
i =1
(4)
Terbukti. ٱ [ Hogg dan Craig, 1995 ]
[ Ross, 1996 ] Teorema 3 Peubah acak kontinu X bersifat memoryless jika dan hanya jika X menyebar eksponensial.
Teorema 5 (Aturan L’Hôpital) Andaikan lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0 . Apabila x →u
x →u
lim ⎡⎣ f ' ( x ) / g ' ( x ) ⎤⎦ ada, maka f ( x) f '( x) lim = lim x →u g ( x ) x →u g ' ( x )
Bukti : Lihat Ross (1996) Teorema 4 (Teorema Total Peluang) Misalkan C1 , C2 ,..., Ck adalah himpunan bagian dari ruang contoh Ω sehingga Ρ ( Ci ) > 0, i = 1, 2,..., k . C1 , C2 ,..., Ck adalah
Di sini, u dapat mewakili sembarang simbol a, a-, a+, - ∞ atau + ∞ .
Bukti : Lihat Purcell dan Varberg (1987).
kejadian yang saling lepas dan k ⎛ ⎞ Ρ ⎜ ∪ Ci ⎟ = Ρ ( Ω ) = 1 . Misalkan C adalah ⎝ i =1 ⎠ kejadian yang lainnya sehingga Ρ ( C ) > 0 .
Teorema 6 (Teorema Little) Perhatikan sebuah sistem pada keadaan setimbang dimana costumer datang, tetap di sistem untuk beberapa waktu (disebut waktu tunggu) dan kemudian pergi. Misal λ adalah laju costumer yang datang, W rata-rata waktu
Jika C diekspresikan sebagai
5
L = λ W.
tunggu dan L rata-rata banyaknya costumer yang ada, maka jika nilai rata-rata λ , W, L ada, ketiganya memenuhi persamaan
[Cooper, 1981]
Bukti : Lihat Lampiran 2 .
PEMBAHASAN waktu itu costumer sudah selesai dilayani dan kemudian meninggalkan sistem. Kepergian dari costumer ini dibagi menjadi dua kasus. Kasus pertama adalah kepergian costumer menyebabkan sistem menjadi kosong (tidak ada lagi costumer pada sistem). Kasus kedua adalah kepergian costumer tidak menyebabkan sistem menjadi kosong karena ada satu atau lebih costumer yang juga menunggu untuk dilayani. Misalkan peubah acak Tn (n = 1,2,3,…) menyatakan waktu dari kepergian costumer ke-n dan X n menyatakan banyaknya
Nilai Rata-rata Dari Banyaknya Costumer Pada Sistem Antrian M/G/1, M/M/1 dan M/D/1 Sistem antrian yang dibahas dalam karya ilmiah ini adalah sistem antrian dengan server tunggal dimana proses kedatangan costumer menyebar Poisson dengan laju kedatangan λ . Waktu pelayanan untuk costumer bersifat bebas, memiliki sebaran tertentu dengan fungsi sebaran FB dan fungsi kepekatan peluang (fkp)
fB
serta rata-ratanya
1
μ
.
costumer di sistem pada waktu Tn , sehingga
Waktu pelayanan pada sistem antrian ini tidak terikat pada proses kedatangan dan jangka waktu. Waktu libur pada sistem antrian ini adalah ketika suatu pelayanan telah selesai dilakukan. Disiplin antrian pada sistem ini tidak bergantung pada waktu pelayanan. Costumer akan dilayani berdasarkan urutan kedatangan mereka, sehingga disiplin antriannya adalah FIFO (First In First Out). Sistem antrian di atas dikenal dengan sistem antrian M/G/1. Misalkan peubah acak N (t ) menyatakan banyaknya costumer dalam sistem sampai dengan waktu t yaitu banyaknya costumer yang ada pada antrian ditambah seorang costumer yang sedang dilayani. Jika N (t ) ≥ 1 maka tentunya ada seorang costumer yang sedang dilayani pada waktu t. Karena waktu pelayanan costumer tidak diasumsikan menyebar eksponensial (sehingga tidak bersifat memoryless), maka dalam rangka menentukan peluang dari N (t + s ) ,
X n = N (Tn ) , n = 1,2,3,…
Proses stokastik
akan
ditunjukkan menjadi rantai Markov dengan parameter diskret, yang dikenal sebagai rantai Markov imbedded dari proses stokastik parameter kontinu { N ( t ) , t ≥ 0} .
Setelah sistem berjalan lama sekali, t → ∞ , peluang dari banyaknya costumer tidak bergantung lagi pada t, atau sistem dikatakan dalam keadaan steady-state , maka sebaran limit dari N ( t ) adalah sama dengan sebaran limit dari banyaknya costumer yang diperhatikan pada waktu kepergian costumer lain , berarti lim P ⎡⎣ N ( t ) = k ⎤⎦ = lim P ( X n = k ) . (6) t →∞
n →∞
Misalkan Yn , n = 1, 2,... , menyatakan banyaknya kedatangan costumer selama waktu pelayanan costumer ke-n. Peubah acak Y1 , Y2 ,.... saling bebas dan identik, serta bebas dari X n . Jika kepergian costumer ke-n meninggalkan sistem yang tidak kosong, maka kepergian costumer ke-n+1 akan meninggalkan costumer-costumer yang sama dalam antrian yang ditinggalkan oleh kepergian costumer ke-n kecuali dirinya sendiri, ditambah dengan semua costumer yang sampai ke sistem selama waktu pelayanan costumer ke-n+1, sehingga didapat X n +1 = X n − 1 + Yn +1 , X n > 0. (7)
dimana s > 0 , disamping N (t ) , juga diperlukan informasi dari waktu yang dihabiskan costumer tersebut dalam pelayanan. Dengan kata lain kita juga memerlukan nilai dari N ( u ) , 0 < u < t . Itu
berarti bahwa proses stokastik
{ X n , n = 1, 2,...} ini
(5)
{ N (t ), t ≥ 0}
ini bukanlah suatu rantai Markov. Untuk menyederhanakan permasalahan di atas kita perhatikan suatu titik waktu dari kepergian seorang costumer, dimana pada
6
Di sisi lain, jika costumer ke-n meninggalkan sistem yang kosong, maka kedatangan costumer ke-n+1 akan menemukan server yang idle sehingga costumer tersebut segera dilayani. Costumer ke-n+1 akan meninggalkan costumercostumer yang lain yang sampai selama waktu pelayanan costumer ke-n+1, sehingga X n +1 = Yn +1 , X n = 0. (8)
Berdasarkan persamaan (7) dan (8) didapatkan peluang transisi sebagai berikut: pij = P ( X n +1 = j X n = i )
Dilihat dari persamaan (7) dan (8) serta diketahui Yn +1 bebas dari X 1 , X 2 ,..., X n , maka untuk menentukan peluang transisi dari X n +1 dimana diberikan nilai X n , kita tidak memerlukan nilai-nilai dari X 1 , X 2 ,..., X n −1 ,
Dinotasikan :
⎧ P (Yn +1 = j − i + 1) , jika i > 0, j ≥ i − 1, ⎪⎪ = ⎨ P (Yn +1 = j ) , jika i = 0, j ≥ 0, ⎪ selainnya. (10) ⎪⎩0,
∞
dimana diketahui ∑ a j = 1 . Untuk kasus j =0
dimana costumer meninggalkan sistem dalam keadaan kosong, keadaan sistem akan tetap kosong sampai ada kedatangan costumer sehingga peluang transisi untuk i = 0 sama dengan untuk i = 1. Matriks peluang (dimensi tak hingga) dari { X n } diberikan oleh:
{ X n , n = 1, 2,...}
sehingga diketahui bahwa
P (Yn +1 = j ) = a j ,
adalah rantai Markov. Peluang transisi dari banyaknya costumer sebesar j saat kepergian costumer ke-n+1 jika diketahui banyaknya costumer sebesar i saat kepergian costumer ke-n adalah : (9) P ( X n +1 = j X n = i ) = pij .
⎡ a0 ⎢ ⎢ a0 ⎢0 P =⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎢⎣ .
Karena transisi ini diamati hanya pada saat kepergian costumer dan juga dikarenakan hanya ada 1 server, maka jelas bahwa X n +1 < X n − 1 tidak mungkin terjadi. Sedangkan X n +1 ≥ X n − 1 adalah situasi yang mungkin untuk semua nilai kedatangan Yn +1 bila X n > 0 , dengan kata lain j ≥ i − 1 atau j − i + 1 ≥ 0 untuk semua Yn +1 bila X n > 0 .
a1
a2
a1
a2
a0
a1
0
a0
0
0
.
.
a3 ....⎤ ⎥ a3 ....⎥ a2 .... ⎥ ⎥ a1 .... ⎥ a0 .... ⎥ ⎥ . .... ⎥⎦
Keadaan ini ditunjukkan pada dibawah ini
gambar
aj-i+1 a3
a1
…
i-2
i-1
a2
i
i+1
i+2
…..
j
a0
Gambar 1 Peluang transisi dari i P ( X n +1 = j ) = P (Yn +1 = j ) .P ( X n = 0 ) +
Misalkan limit peluang dari state j dinotasikan oleh v j , ditulis
j +1
∑ P (Yn +1 = j − i + 1) .P ( X n = i )
v j = lim P ( X n = j ) = lim P ( X n +1 = j ) (11) n →∞
berdasarkan diketahui
i =1
n →∞
Teorema
Total
j +1
P ( X n +1 = j ) = a j .P ( X n = 0 ) + ∑ a j −i +1.
Peluang,
P ( Xn = i) .
∞
P ( X n +1 = j ) = ∑ P ( X n +1 = j X n = i ). i =0
P ( Xn = i) .
i =1
(13)
Jika kedua ruas pada persamaan (13) dikenakan limit n → ∞ , maka
(12)
Berdasarkan persamaan (10), persamaan (12) menjadi
7
lim P ( X n +1 = j ) = lim a j .P ( X n = 0 ) +
n →∞
1 1 ⇔ G ( z ) − G ( z ) GA ( z ) = v0GA ( z ) − v0GA ( z ) z z ( z − GA ( z ) ) G ( z ) = ( z − 1) v0GA ( z ) ⇔ z z z − 1) v0 GA ( z ) ( ⇔ G (z) = . (20) z − GA ( z )
n →∞
j +1
lim ∑ a j −i +1.P ( X n = i )
n →∞ i =1
v j = a j . lim P ( X n = 0 ) + n →∞
j +1
∑ a j −i +1. lim P ( X n = i ) n →∞
i =1
j +1
v j = a j v0 + ∑ a j −i +1vi .
Perhatikan persamaan (15) dan (16), untuk nilai z = 1 didapat (21) G (1) = G A (1) = 1 .
(14)
i =1
Berdasarkan aturan L’Hôpital persamaan (21) didapat ( z − 1) v0GA ( z ) G (1) = lim G ( z ) = lim z →1 z →1 z − GA ( z )
Sekarang kita definisikan fungsi G ( z ) dan G A ( z ) pembangkit peluang sebagai berikut: ∞
G (z) = ∑ vj z j .
(15)
j =0
⇔ 1 = lim v0
∞
GA ( z ) = ∑ a j z j .
z →1
(16)
j =0
⇔ 1=
Subtitusikan persamaan (14) ke dalam persamaan (15), didapat ∞
∞ j +1
j =0
j = 0 i =1
G ( z ) = ∑ v0 a j z j + ∑ ∑ vi a j −i +1 z j .
∞
j =0
i =1 j = i −1
∞
∞
∞
= v0 ∑ a j z + ∑ j
j =0 ∞
∑
i =1 j −i +1= 0 ∞ ∞
vi a j −i +1 z
= v0 ∑ a j z + ∑ ∑ vi ak z j
j =0
i =1 k = 0
∞
∞ ∞
j =0
i =1 k = 0
∞
G ' (1) = ∑ jv j = E [ X n ] .
∞ 1 ∞ = v0 ∑ a j z j + ∑ vi z i ∑ ak z k . z i =1 j =0 k =0
sehingga fungsi pembangkit G ( z ) diperlukan
j − i + 1)
untuk menghitung rata-rata dari banyaknya costumer dalam keadaan steady-state, dimana E [ N ] = lim E [ X n ] = G ' (1) . (25) n →∞
Dilihat dari persamaan (23), untuk mencari G ( z ) , kita terlebih dahulu harus
(18)
mencari Perhatikan bagian dari suku kedua pada
i =1
i =0 ∞
i i o ∑ vi z = ∑ vi z − v0 z
= ∑ vi z i − v0 . i =0
sehingga
diperlukan
Misalkan peubah acak B menyatakan waktu pelayanan seorang costumer, dengan kedatangan costumer menyebar Poisson, maka fkp bersyarat dari Yn +1 adalah:
i =1
∞
GA ( z ) ,
penghitungan a j = P (Yn +1 = j ) .
∞
persamaan (18) yaitu ∑ vi z i , ∞
(24)
j =0
= v0 ∑ a j z j + ∑ ∑ vi ak z k z i z −1 ∞
(23)
Jika persamaan (15) diturunkan terhadap z, kemudian substitusikan z = 1, maka didapat
j
k + i −1
(k =
(22)
sehingga persamaan (20) menjadi (1 − ρ )( z − 1) GA ( z ) G (z) = . z − GA ( z )
G ( z ) = v0 ∑ a j z j + ∑ ∑ vi a j −i +1 z j ∞
v0 1 − G ' A (1)
Misalkan ρ = G ' A (1) , maka v0 = 1 − ρ ,
Jika kita membalikkan urutan penjumlahan, maka persamaan (17) menjadi ∞
( z − 1) G ' A ( z ) + GA ( z ) 1 − G 'A ( z )
⇔ v0 = 1 − G ' A (1) .
(17)
dan
(19)
P (Yn +1 = j B = t ) = e− λt
Berdasarkan persamaan (15), (16) dan (19) , persamaan (18) menjadi 1 G ( z ) = v0G A ( z ) + ( G ( z ) − v0 ) G A ( z ) z 1 1 = v0 G A ( z ) + G ( z ) G A ( z ) − v0 G A ( z ) z z
Berdasarkan Teorema (versi kontinu), maka didapat ∞
( λt ) j j! Total
.
(26) Peluang
a j = ∫ P (Yn +1 = j B = t ) f B ( t ) dt 0
8
( λt ) j
∞
a j = ∫ e−λt
f B ( t ) dt .
j!
0
Berdasarkan Teorema 1, kita dapatkan nilai rata-rata dari banyaknya costumer yang datang selama waktu pelayanan seorang costumer (dalam keadaan steady-state), yaitu
(27)
Dengan mensubstitusi persamaan (27) ke dalam persamaan (16) maka didapat
( λt ) j
∞ ∞
GA ( z ) = ∑ ∫ e−λt ∞ ∞
GA ( z ) = ∑ ∫ e −λt
( λtz )
= ∫e
⎡ ∞ ( λ tz ) j ⎤ ⎢∑ ⎥ f B ( t ) dt. ⎢ j =0 j ! ⎥ ⎣ ⎦
−λt
0
memerlukan pembangkit
f B ( t ) dt
j!
j =0 0
∞
j
∑
( λtz ) j j!
j =0
∞
G '' A ( z ) = ∫ e
(28)
∞
= eλ tz
G '' A (1) = λ 2 ∫ t 2 f B ( t ) dt
(29)
0
= λ E ⎡ B2 ⎤ ⎣ ⎦ 2
(
0
f B ( t ) dt .
(
(30)
0 ∞
= ∫e
− λ t (1− z )
( −t ) f B ( t ) dt . ( −λ )
− λ t (1− z )
.λ t f B ( t ) dt .
0
)
)
2
(36)
(dinotasikan Var ( B ) = σ B2 ). Berdasarkan Teorema 2, maka didapat
(
)
Var (Y ) = λ 2σ B2 + ρ 2 + ρ − ρ 2 = λ 2σ B2 + ρ . (37) Nilai rata-rata dari banyaknya costumer di sistem, dalam keadaan steady-state, ditentukan dengan mengambil turunan pertama dari G ( z ) terhadap z dan kemudian
mengambil limit z → 1 , ∞
(31)
E [ N ] = lim E [ X n ] = ∑ jv j = lim G ' ( z ) . (38) n →∞
Jika memasukkan nilai z = 1, maka persamaan (31) menjadi
j =1
z →1
Dengan menggunakan aturan L’Hôpital, maka didapat λ 2σ B2 + ρ 2 . (39) E[N ] = ρ + 2 (1 − ρ )
∞
G ' A (1) = ∫ λ t f B ( t ) dt 0
∞
= λ ∫ t f B ( t ) dt
(lihat Lampiran 4)
0
= λ E [ B].
(32)
Cara lain untuk mendapatkan nilai ratarata dari banyaknya costumer di sistem dalam keadaan steady-state adalah sebagai berikut. Persamaan (7) dan (8) dapat dijadikan satu persamaan, yaitu X n +1 = X n − U ( X n ) + Yn +1 (40)
Karena waktu pelayanannya diasumsikan 1 , maka mempunyai tingkat rata-rata
μ
didapat
ρ = G ' A (1) = λ.
2
= λ 2Var ( B ) + ρ 2 .
maka dengan menggunakan aturan rantai didapat dG A G 'A ( z ) = dz d λ (1 − z ) dG A = . d λ (1 − z ) dz ∞
)
= λ 2Var ( B ) + λ E [ B ]
Bila fungsi GA ( z ) diturunkan terhadap z
= ∫e
(
= λ 2 Var ( B ) + E [ B ]
∞
= ∫e
λ t f B ( t ) dt . (35)
Untuk nilai z = 1 maka didapatkan
GA ( z ) = ∫ e− λt eλtz f B ( t ) dt − λ t (1− z )
− λ t (1− z ) 2 2
0
(lihat Lampiran 3), maka 0 ∞
turunan kedua dari fungsi yaitu dengan GA ( z ) ,
menurunkan persamaan (31) terhadap z sehingga didapat
Karena ∞
(34)
Untuk mendapatkan Var (Y ) maka kita
f B ( t ) dt.z j
j!
j =0 0
λ . μ
E [Y ] = G ' A (1) = ρ =
1
μ
=
λ . μ
dimana U ( X n ) adalah peubah acak yang
(33)
didefinisikan sebagai
9
⎧1 U ( Xn ) = ⎨ ⎩0
jika X n > 0, jika X n = 0.
berdasarkan persamaan (42), (43), (44) dan (45) maka persamaan (51) menjadi E ⎡ N 2 ⎤ = E ⎡ N 2 ⎤ + E ⎡⎣U ( X ) ⎤⎦ + E ⎡Y 2 ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − 2 E [ N ] + 2 E [ N ] E [Y ]
(41)
Dengan mengasumsikan suatu solusi dalam keadaan steady-state untuk n → ∞ , maka lim E [ X n ] = lim E [ X n +1 ] = E [ N ] (42) n →∞
− 2 E ⎡⎣U ( X ) ⎤⎦ E [Y ] .
n →∞
lim E ⎡ X n2 ⎤ = lim E ⎡ X n2+1 ⎤ = E ⎡ N 2 ⎤ (43) ⎣ ⎦ n →∞ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Berdasarkan persamaan (46) maka persamaan (52) menjadi 0 = ρ + E ⎡Y 2 ⎤ − 2 E [ N ] + 2 E [ N ] ρ − 2 ρ 2 (53) ⎣ ⎦ sehingga didapat ρ + E ⎡⎣Y 2 ⎤⎦ − 2 ρ 2 E[N ] = . (54) 2 (1 − ρ )
n →∞
lim E [Yn ] = lim E [Yn +1 ] = E [Y ]
n →∞
n →∞
(44)
lim E ⎡Yn2 ⎤ = lim E ⎡Yn2+1 ⎤ = E ⎡Y 2 ⎤ . (45) ⎣ ⎦ n →∞ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
n →∞
Dengan mengambil ukuran nilai harapan pada persamaan (40) dan kemudian diberikan nilai limit untuk n → ∞ , maka persamaan (40) menjadi E [ X ] = E [ X ] − E ⎡⎣U ( X ) ⎤⎦ + E [Y ]
Selanjutnya, diketahui bahwa
(
E ⎡Y 2 ⎤ = Var (Y ) + E [Y ] ⎣ ⎦
Kemudian persamaan (40) dikuadratkan sehingga diperoleh bentuk X n2+1 = ( X n − U ( X n ) + Yn +1 )
2
2
=ρ+
= X n2 + U 2 ( X n ) + Yn2+1 − 2 X nU ( X n ) + 2 X nYn +1 − 2U ( X n ) Yn +1.
X n .U ( X n ) = X n .
(57)
( )
Sekarang diasumsikan bahwa waktu pelayanan pada sistem antrian tersebut menyebar secara eksponensial, maka sistem antriannya disebut sistem antrian M/M/1. Waktu pelayanan dari sistem antrian ini 1 1 dan ragam 2 , mempunyai nilai rata-rata
(49)
(50)
μ
μ
sehingga berdasarkan persamaan (57) kita dapatkan nilai rata-rata dari banyaknya costumer pada sistem antrian M/M/1 yaitu sebagai berikut λ 2σ B2 + ρ 2 E[N ] = ρ + 2 (1 − ρ )
Dengan mengambil nilai harapan dari persamaan (50) dan sejak X n dan Yn +1 saling bebas maka didapatkan E ⎡ X n2+1 ⎤ = E ⎡ X n2 ⎤ + E ⎡⎣U ( X n ) ⎤⎦ + E ⎡Yn2+1 ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − 2 E [ X n ] + 2 E [ X n ] E [Yn +1 ] − 2 E ⎡⎣U ( X n ) ⎤⎦ E [Yn +1 ] .
λ 2σ B2 + ρ 2 . 2 (1 − ρ )
dari waktu pelayanan σ B2 .
Sehingga persamaan (47) menjadi X n2+1 = X n2 + U ( X n ) + Yn2+1 − 2 X n + 2 X nYn +1 − 2U ( X n ) Yn +1.
(55)
Terlihat dari persamaan (57) bahwa nilai rata-rata dari banyaknya costumer di sistem meningkat secara linear sesuai dengan ragam
(47)
Dari persamaan (41) maka didapatkan U 2 ( Xn ) = U ( Xn ) (48) dan
2
Substitusi persamaan (37) ke persamaan (55), (56) E ⎡Y 2 ⎤ = λ 2σ B2 + ρ + ρ 2 . ⎣ ⎦ Dengan mensubstitusi persamaan (56) kedalam persamaan (54), maka didapat ρ + λ 2σ B2 + ρ + ρ 2 − 2 ρ 2 E[N ] = 2 (1 − ρ )
(46)
( X n+1 )2 = ( X n − U ( X n ) + Yn +1 )
)
= Var (Y ) + ρ 2 .
⇔ E ⎡⎣U ( X ) ⎤⎦ = E [Y ] = G ' A (1) = ρ.
(52)
(51)
λ2 =ρ+
Karena sistem diasumsikan dalam keadaan steady-state untuk n → ∞ , maka
10
1
μ2
+ ρ2
2 (1 − ρ )
E [ N ] = ρ + E [Q ].
2
⎛λ⎞ 2 ⎜ ⎟ +ρ μ E[N ] = ρ + ⎝ ⎠ 2 (1 − ρ )
= =
Berdasarkan persamaan (57), maka didapat nilai rata-rata dari panjang antrian pada sistem antrian M/G/1, yaitu λ 2σ B2 + ρ 2 E [Q ] = . (61) 2 (1 − ρ )
ρ2 + ρ2 2 (1 − ρ )
=ρ+
ρ .2 (1 − ρ ) + 2 ρ 2 2 (1 − ρ ) ρ
(1 − ρ )
Jika waktu pelayanannya diasumsikan eksponensial (sistem antrian M/M/1), maka didapat
.
(58)
Jika diasumsikan bahwa waktu pelayanannya bersifat konstan, maka sistem antriannya disebut sistem antrian M/D/1, dimana σ B2 = 0 , sehingga dengan mudah didapatkan nilai rata-rata dari banyaknya costumer pada sistem antrian ini yaitu sebagai berikut λ 2 .0 + ρ 2 E[N ] = ρ + 2 (1 − ρ ) =ρ + =
1− ρ
ρ2
2 (1 − ρ )
.
M/D/1
mempunyai
(62)
ρ2
2 (1 − ρ )
.
(63)
Dilihat dari persamaan (62) dan persamaan (63), maka diketahui bahwa ratarata dari panjang antrian pada sistem antrian M/D/1 merupakan setengahnya dari rata-rata panjang antrian pada sistem antrian M/M/1. Waktu tunggu adalah waktu yang dihabiskan oleh costumer didalam sistem yaitu waktu dalam antrian ditambah waktu pelayanan. Untuk mendapatkan rata-rata dari waktu tunggu, kita menggunakan Teorema Little, yaitu (64) E [ N ] = λ .E [T ]
(59)
Terlihat dari persamaan (59), bahwa nilai rata-rata dari banyaknya costumer dari sistem antrian
ρ2 . (1 − ρ )
E [Q ] =
2 (1 − ρ ) −
E [Q ] =
Sedangkan untuk waktu pelayanan yang bersifat konstan (sistem antrian M/D/1), didapat
ρ2
ρ
(60)
ρ2
dimana E [T ] menyatakan rata-rata waktu
2 (1 − ρ )
yang dihabiskan costumer di dalam sistem (waktu tunggu). Berdasarkan persamaan (57) dan (64) maka didapat λ 2σ B2 + ρ 2 ρ+ = λ .E [T ] (65) 2 (1 − ρ )
kurangnya dari nilai rata-rata banyaknya costumer pada sistem antrian M/M/1.
Nilai Rata-rata Dari Panjang Antrian dan Waktu Antrian Pada Sistem Antrian M/G/1, M/M/1 dan M/D/1
sehingga,
N pada persamaan (57) menyatakan banyaknya costumer di sistem (dalam keadaan steady-state) setelah waktu kepergian seorang costumer. Jika didefinisikan panjang antrian (dinotasikan dengan Q) adalah banyaknya costumer yang ditemukan oleh costumer yang datang selama waktu pelayanan seorang costumer lain yang terlebih dahulu datang, maka N merupakan panjang antrian ditambah dengan banyaknya costumer yang datang selama waktu pelayanan seorang costumer yang baru meninggalkan sistem karena sudah selesai dilayani, sehingga N =Y +Q
E [T ] =
1
μ
+
λσ B2 + ρ
1
μ
2 (1 − ρ )
ρ 2 2 μ σ B +1 μ = + μ 2 (1 − ρ ) 1
(
(
)
)
ρ C 2 +1 1 μ B = + 2 (1 − ρ ) μ
(66)
dimana CB 2 = μ 2σ B2 . Persamaan (66) menyatakan rataan total dari waktu yang dihabiskan costumer di sistem yaitu rataan waktu dari pelayanan ditambah rataan waktu yang dihabiskan
E [ N ] = E [Y ] + E [Q ]
11
costumer di dalam antrian. Karena suku pertama dari persamaan (66) diketahui sebagai rata-rata dari waktu pelayanan, maka diketahui bahwa suku kedua merepresentasikan rata-rata dari waktu antrian (dinotasikan dengan E [W ] ). Akhirnya dari
Misalkan H menyatakan banyaknya kedatangan costumer yang datang selama waktu libur server. Didefinisikan fungsi pembangkit peluang untuk H yaitu,
persamaan (66) didapatkan rata-rata dari waktu antrian yaitu sebagai berikut
dimana H j adalah peluang dari awal periode
(
)
ρ C 2 +1 μ B E [W ] = . 2 (1 − ρ )
∞
H (z) = ∑ H j.z j j =1
sibuk server yang menemukan j costumer sedang menunggu pelayanan. Jika X n > 0, maka dengan jelas diketahui bahwa X n +1 = X n − 1 + Yn +1 , sesuai dengan model pada sistem antrian M/G/1 yang telah kita bahas sebelumnya (tidak ada waktu libur server). Jika X n = 0, maka server akan pergi untuk libur dan tidak kembali untuk memulai pelayanan sampai ada H ≥ 1 di sistem, sehingga didapat X n +1 = H − 1 + Yn +1 , X n = 0 . (71)
(67)
Berikut ini merupakan rata-rata dari waktu antrian untuk sistem antrian M/M/1 dan sistem antrian M/D/1 berturut-turut sebagai berikut E [W ] =
E [W ] =
ρ μ (1 − ρ )
ρ
2 μ (1 − ρ )
(68) .
(70)
(69)
Didefinisikan peubah acak ⎧K , K > 0 CH , K = ⎨ ⎩H , K = 0 sehingga persamaan (71) menjadi X n +1 = CH , X n − 1 + Yn +1 .
Dengan membandingkan persamaan (68) dan persamaan (69), maka juga didapatkan bahwa rata-rata waktu antrian pada sistem antrian M/D/1 merupakan setengahnya dari rata-rata waktu antrian pada sistem antrian M/M/1.
(72) (73)
Didefinisikan fungsi pembangkit peluang ∧
G n +1 ( z ) = E ⎡ z X n+1 ⎤ ⎣ ⎦
Nilai Rata-rata Dari Banyaknya Costumer Pada Sistem Antrian M/G/1, M/M/1 dan M/D/1 dengan Waktu Libur Server
−1+Yn+1 ⎤ C . = E ⎡⎢ z H , X n ⎣ ⎦⎥
Sekarang kita perhatikan sistem antrian M/G/1 dalam keadaan steady-state dengan variasi sebagai berikut. Server bekerja secara kontinu selama setidaknya ada satu costumer di sistem. Ketika server telah menyelesaikan pelayanan terhadap costumer dan menemukan sistem kosong, maka server akan pergi keluar sistem untuk suatu panjang waktu yang disebut dengan waktu libur server. Di akhir waktu liburnya, server kembali ke sistem dan bersiap untuk memulai melayani costumer kembali, jika ada, yang sampai selama waktu libur server. Jika di akhir waktu liburnya server mengetahui bahwa tidak ada costumer yang menunggu, maka server akan segera mengambil waktu libur kembali dan berlanjut terus sampai server menemukan setidaknya ada satu costumer yang sedang menunggu ketika server kembali dari waktu liburnya.
(74)
Karena X n , Yn +1 dan H adalah peubah acak yang saling bebas, maka persamaan (74) menjadi ∧
C G n +1 ( z ) = E ⎢⎡ z H , X n ⎥⎤ E ⎡ z −1 ⎤ E ⎡ zYn+1 ⎤ . (75) ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
Misalkan n → ∞ , sehingga sistem dalam keadaan steady-state, kita dapatkan E ⎡ zY ⎤ ∧ CH , X ⎤ ⎣ ⎦ ⎡ G (z) = E z ⎣ ⎦ E [ z] = E ⎡z ⎣ dimana
CH , X
∞
⎤ ⎦
GA ( z ) z
(76)
C C E ⎡ z H , X ⎤ = ∑ E ⎡ z H , X X = k ⎤.Ρ ( X = k ) (77) ⎣ ⎦ k =0 ⎣ ⎦ (lihat lampiran 5),
12
E ⎡z ⎣
CH , X
∞
⎤ = E ⎡ z H X = 0 ⎤ .Ρ ( X = 0 ) + ∑ E ⎡ z X X = k ⎤ .Ρ ( X = k ) ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎦ k =1 ∞
= ∑ zj
H j .Ρ ( X = 0 )
j =1
E ⎡z ⎣
CH , X
Ρ ( X = 0)
∞
Ρ ( X = 0 ) + ∑ z k .Ρ ( X = k ) k =1
⎡∧
⎤ = H [ z ] p ( 0) + G ( z ) − p ( 0 )⎤ X X ⎢ ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ ∧
= ⎡⎣ H [ z ] − 1 ⎤⎦ p X ( 0 ) + G ( z ) .
(78)
Dengan mensubstitusi persamaan (78) ke dalam persamaan (76) maka didapat ∧ ∧ ⎡ ⎤ GA ( z ) G ( z ) = ⎢ ⎡⎣ H ( z ) − 1 ⎤⎦ p X ( 0 ) + G ( z ) ⎥ ⎣ ⎦ z ∧ ∧ GA ( z ) GA ( z ) ⇔ G ( z) − G ( z) = ⎡⎣ H ( z ) − 1 ⎤⎦ p X ( 0 ) z z ∧ ⎛ GA ( z ) ⎞ GA ( z ) ⇔ G ( z ) ⎜1 − ⎟ = ⎡ H ( z ) − 1 ⎤⎦ p X ( 0 ) ⎜ z ⎟⎠ ⎣ z ⎝ ∧ ⎛ z − GA ( z ) ⎞ GA ( z ) ⇔ G ( z)⎜ ⎟⎟ = ⎣⎡ H ( z ) − 1 ⎦⎤ p X ( 0 ) ⎜ z z ⎝ ⎠ ∧ ⎡ H ( z ) − 1 ⎦⎤ p X ( 0 ) G A ( z ) ⇔ G (z) = ⎣ . z − GA ( z )
Untuk
menentukan
pX ( 0) ,
Dengan mensubstitusi persamaan (82) ke persamaan (79) maka didapat
terlebih
dahulu kita buat persamaan (79) menjadi
∧ ⎡ H ( z ) − 1 ⎤⎦ (1 − ρ ) G A ( z ) G (z) = ⎣ H ' (1) z − GA ( z )
∧
⎡ H ( z ) − 1 ⎤⎦ Ρ X ( 0 ) =⎣ . GA ( z ) z − GA ( z ) G (z)
(80)
Untuk nilai z = 1, maka didapat G (1) = G A (1) = H (1) = 1 . Bila kita kenakan
∧ ⎡ H ( z ) − 1 ⎤⎦ G (z) = ⎣ G (z) H ' (1) ( z − 1)
limit z → 1 , maka dengan menggunakan Aturan L’Hôpital persamaan (80) menjadi ∧
⎡ H ( z ) − 1 ⎤⎦ p X ( 0 ) = lim ⎣ GA (1) z →1 z − GA ( z ) G (1)
= lim
z →1
= =
1 − G 'A ( z )
H ' (1) p X ( 0 ) 1 − G ' A (1)
, 1− ρ sehingga kita dapatkan 1− ρ pX ( 0) = . H ' (1)
.
(84)
Dari persamaan (84) kita mengetahui bahwa fungsi pembangkit peluang dari banyaknya costumer akibat kepergian seorang costumer yang sudah selesai dilayani, dimana diperhatikan adanya waktu libur ∧ ⎡ H ( z ) − 1 ⎤⎦ server ( G ( z ) ) merupakan ⎣ H ' (1) ( z − 1)
H ' ( z ) pX ( 0 )
H ' (1) p X ( 0 )
. (83)
Berdasarkan persamaan (23) maka kita dapatkan
∧
1=
(79)
kalinya dari fungsi pembangkit peluang untuk banyaknya costumer akibat kepergian seorang costumer yang sudah selesai dilayani, dimana tidak ada waktu libur server ( G ( z ) ).
(81)
Berdasarkan Teorema 1, nilai rata-rata dari banyaknya costumer di sistem antrian M/G/1 dengan waktu libur server (dalam
(82)
13
keadaan steady state) juga ditentukan dengan mengambil turunan pertama dari fungsi
steady-state) setelah waktu kepergian seorang costumer pada sistem antrian M/G/1 dengan waktu libur server, maka
∧
pembangkit peluang G ( z ) terhadap z dan
∧
⎡ ⎤ E ⎢ N ⎥ = lim E [ X n ] ⎣ ⎦ n →∞ = lim E [ X n +1 ] = lim G ' ( z ) . z →1
(89)
∧
∧
n →∞ ∧
∧
N =Y +Q
kemudian mengambil limit z → 1 ,
dimana Q adalah banyaknya costumer yang ditemukan oleh costumer yang datang selama waktu pelayanan seorang costumer lain yang terlebih dahulu datang. Dengan mengambil nilai harapan dari persamaan (92), didapat ⎡∧⎤ ⎡∧⎤ E ⎢ N ⎥ = E [Y ] + E ⎢Q ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∧ ⎡ ⎤ = ρ + E ⎢Q ⎥ . (90) ⎣ ⎦ Sehingga dari persamaan (86) kita dapatkan nilai rata-rata dari panjang sistem antrian M/G/1 dengan waktu libur server adalah sebagai berikut ⎡ ∧ ⎤ λ 2σ B2 + ρ 2 H '' (1) + (91) E ⎢Q ⎥ = . 2 (1 − ρ ) 2 H ' (1) ⎣ ⎦ Berikut ini merupakan nilai rata-rata dari panjang antrian pada sistem antrian M/M/1 dan M/D/1 dengan waktu libur server berturut-turut sebagai berikut H '' (1) ⎡∧⎤ ρ2 + (92) E ⎢Q ⎥ = 1 2 ρ − ) H ' (1) ⎣ ⎦ ( 1 (dimana σ B2 = 2 ),
(85)
Dengan menggunakan aturan L’Hôpital maka kita dapatkan ⎡∧⎤ λ 2σ B2 + ρ 2 H '' (1) (86) + E ⎢N ⎥ = ρ + 2 (1 − ρ ) 2 H ' (1) ⎣ ⎦ (lihat Lampiran 6). Suku pertama dan kedua pada persamaan λ 2σ B2 + ρ 2 (86) yaitu ρ + adalah nilai rata2 (1 − ρ ) rata dari banyaknya costumer pada sistem antrian M/G/1 dengan tidak ada waktu libur server. Sehingga diperoleh bahwa nilai ratarata dari banyaknya costumer sistem antrian M/G/1 dengan waktu libur server adalah H '' (1) lebihnya dari nilai rata-rata 2 H ' (1) banyaknya costumer pada sistem antrian M/G/1 dengan tidak ada waktu libur server. Hal ini menyebabkan nilai rata-rata banyaknya costumer pada sistem antrian M/M/1 dengan waktu libur server juga H '' (1) lebihnya dari nilai ratamerupakan 2 H ' (1)
μ
H '' (1) ρ2 + E ⎢Q ⎥ = ⎣ ⎦ 2 (1 − ρ ) 2 H ' (1) ⎡∧⎤
(93)
(dimana σ B2 = 0 ). Untuk mendapatkan nilai rata-rata dari waktu tunggu pada sistem antrian M/G/1 dengan waktu libur server, kita gunakan Teorema Little, yaitu
rata banyaknya costumer pada sistem antrian M/M/1 dengan tidak ada waktu libur server, yaitu sebagai berikut H '' (1) ⎡∧⎤ ρ + (87) E ⎢N ⎥ = . ⎣ ⎦ (1 − ρ ) 2 H ' (1)
⎡∧⎤ ⎡∧⎤ E ⎢ N ⎥ = λ .E ⎢T ⎥ (94) ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡∧⎤ dimana E ⎢T ⎥ menyatakan rata-rata waktu ⎣ ⎦ yang dihabiskan costumer di dalam sistem (waktu tunggu) untuk sistem antrian M/G/1 dengan waktu libur server.
Begitu juga untuk sistem antrian M/D/1 dengan waktu libur server, yaitu H '' (1) ⎡∧⎤ ρ ρ2 − + E ⎢N ⎥ = . (88) − − ρ ρ 1 2 1 2 H ' (1) ( ) ⎣ ⎦
Nilai Rata-rata Dari Panjang Antrian dan Waktu Antrian Pada Sistem Antrian M/G/1, M/M/1 dan M/D/1 dengan waktu libur server
Berdasarkan persamaan (86) dan (94) maka didapat ⎡∧⎤ λ 2σ B2 + ρ 2 H '' (1) + = λ.E ⎢T ⎥ (95) ρ+ 2 (1 − ρ ) 2 H ' (1) ⎣ ⎦
∧
N pada persamaan (86) menyatakan banyaknya costumer di sistem (dalam keadaan
14
sehingga
λσ B2
+ρ
dari waktu pelayanan adalah
1
H '' (1) ⎡∧⎤ 1 μ + E ⎢T ⎥ = + 2 1 2 ' (1) .λ μ ρ − H ( ) ⎣ ⎦
(
)
(
)
ρ C 2 +1 ∧ H '' (1) ⎡ ⎤ 1 μ B E ⎢T ⎥ = + + 2 (1 − ρ ) 2λ H ' (1) ⎣ ⎦ μ 2
(
)
(
)
ρ
C 2 +1 H '' (1) ⎡∧⎤ μ B E ⎢W ⎥ = + 2 (1 − ρ ) 2λ H ' (1) ⎣ ⎦
(96) dimana
2
σ B2
dimana CB = μ . Suku pertama dan suku kedua pada
(
, maka dari
persamaan (96) kita dapatkan nilai rata-rata dari waktu antrian costumer pada sistem antrian M/G/1 dengan waktu libur server yaitu sebagai berikut
ρ 2 2 μ σ B +1 H '' (1) μ = + + 2 (1 − ρ ) 2λ H ' (1) μ 1
1
μ
ρ C 2 +1 μ B 2 (1 − ρ )
(97)
merupakan nilai rata-
rata dari waktu antrian costumer pada sistem antrian M/G/1 dengan tidak ada waktu libur server. Berikut ini merupakan nilai rata-rata dari waktu antrian untuk sistem antrian M/M/1 dan sistem antrian M/D/1 dengan waktu libur server berturut-turut sebagai berikut H '' (1) ⎡∧⎤ ρ + (98) E ⎢W ⎥ = ⎣ ⎦ μ (1 − ρ ) 2λ H ' (1)
)
ρ C 2 +1 1 μ B persamaan (96) yaitu + adalah μ 2 (1 − ρ )
nilai rata-rata dari waktu tunggu pada sistem antrian M/G/1 dengan tidak ada waktu libur server, sehingga diperoleh bahwa nilai ratarata dari waktu tunggu pada sistem antrian M/G/1 dengan waktu libur server adalah H '' (1) lebihnya dari nilai rata-rata waktu 2λ H ' (1)
H '' (1) ⎡∧⎤ ρ E ⎢W ⎥ = + ⎣ ⎦ 2μ (1 − ρ ) 2λ H ' (1)
tunggu pada sistem antrian M/G/1 dengan tidak ada waktu libur server.
dimana
Persamaan (96) menyatakan rataan total dari waktu yang dihabiskan costumer di sistem yaitu rataan waktu dari pelayanan ditambah rataan waktu yang dihabiskan costumer di dalam antrian. Karena rata-rata
ρ
μ (1 − ρ )
dan
ρ
2μ (1 − ρ )
(99)
berturut-
turut merupakan nilai rata-rata dari waktu antrian costumer pada sistem antrian M/M/1 dan M/D/1 (tidak ada waktu libur server)
15
SIMPULAN sistem antrian M/M/1, sedangkan jika waktu pelayanannya diasumsikan konstan, maka akan didapatkan sistem antrian M/D/1. Berikut ini adalah hasil yang dikaji dalam tulisan ini :
Tulisan ini mempelajari sistem antrian M/G/1 dan sistem antrian M/G/1 dengan waktu libur server. Jika waktu pelayanan pada sistem antrian ini diasumsikan menyebar eksponensial maka sistem antriannya menjadi Sistem Antrian
Rata-rata banyaknya costumer
ρ+
M/G/1
Rata-rata waktu antrian
λ 2σ B2 + ρ 2 2 (1 − ρ )
ρ C 2 +1 μ B 2 (1 − ρ )
ρ2 (1 − ρ )
ρ μ (1 − ρ )
λ 2σ B2 + ρ 2 2 (1 − ρ )
ρ
M/M/1
(1 − ρ ) ρ
M/D/1 M/G/1 dengan waktu libur server M/M/1 dengan waktu libur server M/D/1 dengan waktu libur server
Rata-rata panjang antrian
1− ρ
−
ρ2
(1 − ρ ) ρ 1− ρ
−
2 (1 − ρ )
2 μ (1 − ρ )
λ 2σ B2 + ρ 2 H '' (1) + 2 (1 − ρ ) 2 H ' (1)
ρ C 2 +1 H '' (1) μ B + 2 (1 − ρ ) 2λ H ' (1)
2 (1 − ρ )
+
H '' (1)
H '' (1) ρ2 + (1 − ρ ) 2 H ' (1)
2 H ' (1)
ρ2
2 (1 − ρ )
+
H " (1) 2 H ' (1)
)
ρ
ρ2
λ 2σ B2 + ρ 2 H '' (1) ρ+ + 2 (1 − ρ ) 2 H ' (1)
ρ
(
ρ2
2 (1 − ρ )
+
H '' (1)
2 H ' (1)
(
)
ρ
μ (1 − ρ )
ρ
+
2 μ (1 − ρ )
+
H '' (1)
2λ H ' (1)
H '' (1)
2λ H ' (1)
Tabel 2. Hasil Yang Diperoleh Keterangan : λ : laju kedatangan costumer, 1 : rata-rata waktu pelayanan,
σ B2 = ragam dari waktu pelayanan, CB 2 = μ 2σ B2
μ
ρ=
λ , μ
PUSTAKA Bain, L. J. & M. Engelhardt. 1992. Introduction to Probability and Mathematical Statistical. Ed. Ke-2. University of Missouri-Rolla, Boston.
Grimmett, G. R. & D.R Stirzaker. 1992. Probability and Random Processes. Ed. Ke-2. Clarendon Press, Oxford.
Cooper, R. B. 1981. Introduction to Queueing Theory. North-Holland, New York.
Hogg, R. V. & A. T. Craigg. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Ed. Ke-5. Prentice hall, New Jersey.
16
Medhi, J. 1991. Stochastic Model in Queueing Theory. Academic Press, inc. California.
Ross, S. M. 1996. Stochastic Process. Ed. Ke2. John Wiley & Sons, New York. Trivedi, K. S. 1988. Probability and Statistics with Reliability Queuing and Computer Science Applications. Prentice Hall of India, New Delhi.
Osaki,S. 1992. Applied Stochastic System Modelling. Springer-Verlag, Germany. Purcell, E. J. & D. Varberg. 1999. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I. Ed. Ke-5. Erlangga, Jakarta.
17
18
Lampiran 1. Pembuktian Teorema 1 dan Teorema 2
Bukti Teorema 1: ∞
Diketahui fungsi pembangkit peluang dari peubah acak X adalah G ( z ) = ∑ z t . p X ( t ) . Akan t =0
dibuktikan E ( X ) = G ' (1). Jika G ( z ) diturunkan terhadap z, maka didapatkan ∞
G ' ( z ) = ∑ tz t −1 p X ( t ) t =0
∞
⇒ G ' (1) = ∑ t p X ( t ) t =0
= E(X ) .
Terbukti.ٱ
Bukti Teorema 2 :
Akan dibuktikan Var ( X ) = G ' ' (1) + G ' (1) − (G ' (1))2 .
[
Var ( X ) = Ε ( X − Ε( X ))2
(
]
= Ε X − 2. X .Ε ( X ) + ( Ε ( X ) ) 2
( ) = Ε ( X ) − ( Ε ( X ))
2
= Ε X 2 − 2 (Ε ( X )) + (Ε ( X )) 2
2
2
) 2
.
(100)
Turunan kedua dari fungsi pembangkit peluang G(z) adalah sebagai berikut ∞
G " ( z ) = ∑ t ( t − 1) z t − 2 p X ( t ) t =0 ∞
⇒ G " (1) = ∑ t ( t − 1) p X ( t ) t =0 ∞
∞
t =0
t =0
⇒ G " (1) = ∑ t 2 p X ( t ) − ∑ t p X ( t ) ,
sehingga kita dapatkan, ∞ 2 ⎛∞ ⎞ ∞ ⎛∞ ⎞ G " (1) + G ' (1) − ( G ' (1) ) = ⎜ ∑ t 2 p X ( t ) − ∑ t p X ( t ) ⎟ + ∑ t p X ( t ) − ⎜ ∑ t p X ( t ) ⎟ t =0 ⎝ t =0 ⎠ t =0 ⎝ t =0 ⎠ ∞ ⎛∞ ⎞ = ∑ t 2 pX (t ) − ⎜ ∑ t pX (t ) ⎟ t =0 ⎝ t =0 ⎠
( )
2
2
= Ε X 2 − ( Ε ( X )) . 2
(101)
Berdasarkan persamaan (100) dan persamaan (101) maka didapatkan Var ( X ) = G ' ' (1) + G ' (1) − (G ' (1))2
Terbukti.ٱ
19
Lampiran 2. Pembuktian Teorema 6
Bukti : Misalkan
A (T ) menyatakan
total
banyaknya
kedatangan
selama
periode
T
dan B (T ) menyatakan total waktu tunggu (dalam sistem) dari semua costumer yang tiba selama periode T, sehingga kita dapatkan rata-rata kedatangan selama periode T yaitu A (T ) . λ (T ) = T Rata-rata waktu tunggu di sistem selama periode T adalah B (T ) . W (T ) = A (T )
(102)
(103)
Rata-rata banyaknya costumer di sistem selama periode T adalah B (T ) L (T ) = T B (T ) A (T ) = . . (104) A (T ) T Substitusikan persamaan (102) dan persamaan (103) kedalam persamaan (104) sehingga didapatkan L (T ) = W (T ) . λ (T ) . (105) Sekarang kita asumsikan sistem dalam keadaan steady-state sehingga T → ∞ limitnya ada lim λ (T ) = λ T →∞
lim W (T ) = W
T →∞
lim L (T ) = L .
T →∞
Oleh karena itu persamaan (105) menjadi L = λW . Terbukti.ٱ
20
Lampiran 3. Perhitungan persamaan (29) ∞
∑
j =0
( λ tz ) j
= 1 + λ tz +
j!
( λtz ) j
∞
Jika kita misalkan λ tz = x maka ∑ ∞
S ( x) = ∑
( x)
j =0
j!
+
2!
3!
+ ...
(106)
xj = S ( x) j =0 j ! ∞
= ∑
j!
j =0
( λ tz )2 ( λ tz )3
( x ) 2 ( x )3
j
=1+ x +
2!
+
3!
+ ... ,
(107)
untuk nilai x = 0, maka S ( 0 ) = 1 . Jika S ( x ) diturunkan terhadap x maka didapat dS ( x )
= 1+ x +
( x ) 2 ( x )3
+ + ... . (108) dx 2! 3! Ternyata kita dapatkan bahwa S ( x ) sama dengan turunannya (terhadap x), sehingga dapat ditulis
dS ( x )
= S ( x) . dx Sekarang kita lakukan pemisahan variabel pada persamaan (109), yaitu dS ( x ) = dx , S ( x)
(109)
(110)
kemudian integralkan kedua ruas pada persamaan (113), sehingga didapat dS ( x ) = ∫ dx ∫ S ( x) ⇔ ln S ( x ) = x + c . Dengan mensubstitusikan x = 0 pada persamaan (111), didapat ln S ( 0 ) = 0 + c ⇔ ln1 = c ⇔c=0
kita dapatkan nilai c = 0, sehingga
ln S ( x ) = x ⇔ S ( x ) = ex .
Dengan menggantikan kembali x = λ tz , maka kita dapatkan S ( λ tz ) = eλtz ∞
⇔ ∑
j =0
( λtz ) j j!
21
= eλtz .
(111)
Lampiran 4. Perhitungan persamaan (39) Persamaan (23) kita tuliskan kembali : G (z) =
(1 − ρ )( z − 1) GA ( z ) . z − GA ( z )
(112)
Persamaan (112) kita turunkan terhadap z sehingga, G ' ( z ) = (1 − ρ )
{GA ( z ) + ( z − 1) .G ' A ( z )} ( z − GA ( z ) ) − {( z − 1) .GA ( z ) .(1 − G ' A ( z ) )} . 2 ( z − GA ( z ) )
Kenakan limit z → 1 , maka persamaan (113) akan menjadi bentuk
(113)
0 , sehingga kita dapat 0
menggunakan aturan L’Hôpital untuk persamaan (113),
{GA ( z ) + ( z − 1) .G ' A ( z )} ( z − GA ( z ) ) − {( z − 1) .GA ( z ) . (1 − G ' A ( z ) )} 2 z →1 ( z − GA ( z ) ) {2G ' A ( z ) + ( z − 1) .G '' A ( z )} ( z − GA ( z ) ) + {( z − 1) .GA ( z ) .G '' A ( z )} = lim (1 − ρ ) z →1 2 ( z − G A ( z ) ) (1 − G ' A ( z ) ) {2G ' A ( z ) + ( z − 1) .G '' A ( z )} + lim 1 − ρ ( z − 1) .GA ( z ) .G '' A ( z ) . = lim (1 − ρ ) ( ) z →1 z →1 2 (1 − G ' A ( z ) ) 2 ( z − G A ( z ) ) (1 − G ' A ( z ) )
lim G ' ( z ) = lim (1 − ρ ) z →1
(114)
Kita lakukan pengitungan pada suku pertama di ruas kanan dari persamaan (114) terlebih dahulu {2G ' A ( z ) + ( z − 1) .G '' A ( z )} = 1 − ρ G ' A (1) lim (1 − ρ ) ( ) z →1 2 (1 − G ' A ( z ) ) (1 − G ' A (1) ) =ρ
(115)
(berdasarkan persamaan (33)). Suku kedua di ruas kanan pada persamaan (117) masih berbentuk
0 , sehingga kita gunakan 0
aturan L’Hôpital sekali lagi, (1 − ρ ) GA ( z ) .G '' A ( z ) ( z − 1) ( z − 1) .GA ( z ) .G '' A ( z ) lim (1 − ρ ) = lim .lim → 1 → 1 z →1 z z 2 ( z − G A ( z ) ) (1 − G ' A ( z ) ) 2 (1 − G ' A ( z ) ) ( z − GA ( z ) ) =
(1 − ρ ) GA (1) .G '' A (1) 1 .lim . → 1 z 2 (1 − G ' A (1) ) (1 − G ' A ( z ) )
Berdasarkan persamaan (36) maka persamaan (116) menjadi
(1 − ρ ) .1. ( λ σ B + ρ ( z − 1) .GA ( z ) .G '' A ( z ) = 2 (1 − ρ ) 2 ( z − G A ( z ) ) (1 − G ' A ( z ) ) 2
lim (1 − ρ ) z →1
2
2
).
(116)
1
(1 − ρ )
λ 2σ B2 + ρ 2 . (117) 2 (1 − ρ ) Dengan memasukkan nilai-nilai yang didapat dari persamaan (115) dan persamaan (117) ke dalam persamaan (114), maka didapat λ 2σ B2 + ρ 2 lim G ' ( z ) = ρ + z →1 2 (1 − ρ ) sehingga kita dapatkan λ 2σ B2 + ρ 2 E [ N ] = lim G ' ( z ) = ρ + . z →1 2 (1 − ρ ) =
22
Lampiran 5. Perhitungan persamaan (77)
Perhitungan dilakukan dari ruas kanan ∞
∑ E ⎡z k =0 ⎣
CH , X
∞
X = k ⎤ .Ρ ( X = k ) = ∑ ⎦ k =0
∞
∑
CH , X = 0
∞
= ∑
∞
∑
k = 0 CH , X = 0
= =
∞
∑
CH , X = 0 ∞
∑
CH , X = 0
= E ⎡z ⎣
z
z
z
CH , X
z
CH , X
CH , X
CH , X
( Ρ(z . .Ρ z
(
∞
k =0
CH , X
(
CH , X
) , X = k) .Ρ ( X = k ) X = k .Ρ ( X = k )
Ρ( X = k)
.∑Ρ z .Ρ z
CH , X
CH , X
CH , X
⎤. ⎦
23
)
,X =k
)
Lampiran 6. Perhitungan persamaan (86)
Persamaan (83) kita tuliskan kembali
∧ ⎡ H ( z ) − 1 ⎤⎦ G (z) = ⎣ G (z) . H ' (1) ( z − 1)
(118)
Persamaan (118) kita turunkan terhadap z sehingga didapat ∧
G '( z ) =
(
)
H ' ( z ) .G ( z ) + ( H ( z ) − 1) .G ' ( z ) ( z − 1) − ( H ( z ) − 1 ) .G ( z ) 1 . . H ' (1) ( z − 1)2
(119)
Bila kita kenakan limit z → 1 pada persamaan (119), maka
(
)
H ' ( z ) .G ( z ) + ( H ( z ) − 1) .G ' ( z ) ( z − 1) − ( H ( z ) − 1 ) .G ( z ) 1 . . z →1 H ' (1) ( z − 1)2
∧
lim G ' ( z ) = lim z →1
Persamaan (120) berbentuk
0 0
(120)
, kita dapat menggunakan aturan L’Hôpital untuk menghitung
persamaan diatas, sehingga didapat ∧ H '' ( z ) .G ( z ) + 2 H ' ( z ) .G ' ( z ) + ( H ( z ) − 1) .G '' ( z ) .( z − 1) 1 lim G ' ( z ) = lim . z →1 z →1 H ' (1) 2( z − 1) = =
H '' (1) .G (1) + 2 H ' (1) .G ' (1) + 0 1 . 2 H ' (1) H '' (1) + 2 H ' (1) .G ' (1) 2 H ' (1)
= G ' (1) +
.
H '' (1)
(121)
2 H ' (1)
Karena G ' ( z ) = lim G ' ( z ) = E [ N ] maka berdasarkan persamaan (39), kita dapatkan z →1
∧
lim G ' ( z ) = ρ + z →1
λ 2σ B2 + ρ 2 H '' (1) + . 2 (1 − ρ ) 2 H ' (1)
24
25
LAMPIRAN
