ZÁKLADY GEODÉZIE
1 Měrové jednotky používané v geodézii Ke stanovení vzájemné polohy jednotlivých bodů zemského povrchu, je nutno měřit různé fyzikální veličiny. Jsou to zejména délky, úhly, plošné obsahy, čas, teplota, tlak a vlhkost. Tyto veličiny vyjadřujeme v měrových jednotkách (délkových, úhlových,…). V ČR používáme soustavu měrových jednotek SI. Soustava SI je definována Úřadem pro technickou normalizaci, metrologii a státního zkušebnictví jako česká technická norma na základě usnesení XI generální konference pro váhy a míry, konané v r 1960 v Paříži. Základní jednotky SI soustavy Veličina délka hmotnost čas elektrický proud termodynamická teplota svítivost látkové množství
Název jednotky metr kilogram sekunda ampér kelvin kandela mol
Značka m kg s A K cd mol
Odvozené (doplňkové) jednotky Tabulka odvozených jednotek soustavy SI Název veličiny Rozměr jednotky Název j. Značka j. rovinný úhel 1 radián rad prostorový úhel 1 steradián sr Vedlejší jednotky
Veličina rovinný úhel
délka
plošný obsah
Tabulka vedlejších jednotek soustavy SI Název Značka Vztah k hlavní jednotce (úhlový) stupeň ° (π/180) rad (úhlová) minuta ' (π/10 800) rad vteřina " (π/648 000) rad grad, gon g, gon (π/200) rad astronomická jednotka AU 1,49598.1011m parsek pc 3,0857.1016 m světelný rok ly 9,4605.1015 m hektar ha 104 m2
1.1 Míry délkové Před zavedením metrické soustavy se na našem území používaly míry odvozené z rozměrů lidského těla (loket, stopa, palec). Hodnoty téže veličiny se lišily svou velikostí podle místa vzniku. loket vídeňský loket pražský
= 0,777 558m = 0,593 91m
To vedlo ke snaze zavedení jednotné soustavy měr a vah. V návrzích nové délkové soustavy byl na prvním místě uváděn požadavek, aby základní měrová jednotka byla
ZÁKLADY GEODÉZIE jednotkou přirozenou, tj. byla vzata z přírody a odvozena tak, že každý si ji může kdykoliv, kdekoliv odvodit a ověřit. Nejlépe vyhovoval návrh určení délkové jednotky z rozměrů Země určených při druhém stupňovém měření. Stupňovým měřením byla určena délka zemského kvadrantu (čtvrtina poledníku) a základní délková jednotka byla definována jako desetimiliontá část čtvrtiny zemského poledníku a byla nazvána metrem. Současně byla na základě desetinného dělení vytvořena soustava násobných a dílčích délkových jednotek a nazvána soustavou metrickou. Rakousko-Uhersko přistoupilo k metrické míře v roce 1876. Československá republika přistoupila k mezinárodní úmluvě metrické podle vyhl. č. 351 Sb. z 24. 11. 1922 a v roce 1926 zakoupila prototyp národního metru č. 7. Později byl metr definován pomocí vlnové délky záření izotopu kryptonu. Současná definice metru zní: Metr je délka dráhy, kterou proběhne světlo ve vakuu za dobu 1/299 792 458 sekundy. V praxi se dosud můžeme setkat se starými mírami sáhovými, používanými na území Rakousko-Uherska do roku 1876. základem této soustavy je vídeňský sáh. sáh stopa palec čárka Míry plošné ar hektar kilometr čtverečný
1° = 6´ = 1,896 484m, 1´ = 12´´ = 0,316 081m, 1´´ = 12´´´= 0,026 340 1m, 1´´´= 0,002 195m
1a = 100m 1ha = 10 000m 1km = 10ha = 10 000a
1.2 Měrové jednotky úhlové Velikost úhlu se udává v míře obloukové (absolutní) nebo míře stupňové (úhlové). a) míra oblouková Radián (rad, ρ ): - je odvozená (doplňková) jednotka, - je rovinný úhel sevřený dvěma polopřímkami, které na kružnici opsané z jejich počátečního bodu vytínají oblouk o délce rovné jejímu poloměru, - plný úhel má hodnotu 2 π, úhel přímý π, úhel pravý )
1 π. 2
Obloukovou mírou α rozumíme obecně délku oblouku příslušející určitému středovému úhlu α jednotkové kružnice.
ZÁKLADY GEODÉZIE b) míra stupňová Rovinný úhel je možné z praktických důvodů vyjádřit vedlejšími jednotkami: Tabulka vedlejších jednotek soustavy SI Veličina Název Značka Vztah k hlavní jednotce rovinný úhel stupeň ° (π/180) rad minuta ' (π/10 800) rad vteřina " (π/648 000) rad grad, gon g, gon (π/200) rad
Šedesátinné dělení, plný úhel = 360° stupňů 1° stupeň = 60´ minut 1´ minuta = 60´´ vteřin Setinné dělení, - v geodézii se častěji místo šedesátinného dělení používá dělení setinné. Při něm je plný úhel rozdělen na 400 gradů (gonů). - jeden grad se dělí na 100 gradových minut a 1 gradová minuta na 100 vteřin. - ve starší literatuře má gradová minuta označení c (centigrad) gradová vteřina cc (centicentigrad). - v současné době se používají hodnoty nazývané miligony (mgon), které vznikají dělením gradu v souladu s násobným kvocientem 10-3, tzn. 1 mgon = 10cc 1cc = 0,1 mgon. V geodetické praxi často potřebujme znát hodnotu jednoho radiánu, označeného řeckým písmenem ρ, vyjádřeného buď v míře stupňové nebo gradové. 1 radián = 1 radián =
180
π 200
π
≈ 57,295 779 51° ≈ 3438´ ≈ 206 265´´, ≈ 63,661 977 236 8 gon ≈ 63 661,977 236 8 mgon ≈ 636 620 cc ≈ 6,4.105cc.
Převodní vztahy úhlových měr Převodní vztahy mezi mírou stupňovou a gradovou: 360° = 400g ⇒ 1° =
10 g 9
1g =
9 ° = 0,9° 10
1c = 10mgon = 0,54´ = 32,4´´
1´ = 18,5185mgon = 1,85185c
1cc = 0,1 mgon = 0,324´´
1´´ = 0,3086 mgon = 3,086cc
Převodní vztahy mezi mírou obloukovou a úhlovou: )
V šedesátinném dělení
α =
V setinném dělení
α =
)
π 180°
π 200g
⋅ α° = ⋅ αg =
α° α′ α ′′ = = ρ° ρ′ ρ ′′ αg αc α cc = = ρg ρc ρ cc
ZÁKLADY GEODÉZIE 1. Jak veliký oblouk na rovníku odpovídá 1´? Velikost oblouku vypočteme ze vztahu: α′ 1 ) s = R = ⋅ 6377,397 = 1,85513km ρ′ 3438
kde R je velká poloosa na Besselově elipsoidu.
2. S jakou přesností je třeba změnit úhel, aby na vzdálenost 100m byla příčná odchylka p menší než 1cm? α =
p 1 ⋅ 10−2 ρ = ⋅ 6,4 ⋅ 105 = 64cc 2 R 1 ⋅ 10
úhel je třeba změřit s přesností větší než 64cc, např.:50cc.
ZÁKLADY GEODÉZIE Ze stupňů na minuty Př Převeďte 21o 15' na minuty. 21o 15' = 21o . 60 + 15' = 1 260' + 15' = 1 275' Z minut na stupně Př Zapište úhel o velikosti 2421' ve stupních. Vydělíme počet minut šedesáti a dostaneme hodnotu ve stupních: 2421o : 60 = 40,35o Potřebujeme-li výsledek ve stupních a minutách, musíme ještě převést desetinné číslo, a nebo hledat nejbližšího nižšího dělitele šedesáti. Tím je v našem případě číslo 2400. 2421' = 2400' + 21' = 2400 : 60 o + 21' = 40o 21' Vyjádření úhlu desetinným číslem Stačí si připomenout, že 1o = 3600". To znamená že počet vteřin musíme tímto číslem vydělit. Př:Vyjádřete velikost úhlu 12o 15' 18" desetinným číslem ve stupních. 12o 15' 18" = 12o + 15o: 60 +18o : 3 600 = 12o + 0,25o + 0,005o = 12,255o Z desetinného čísla na stupně převést např. 42,41o na stupně, minuty a vteřiny : 1. Oddělíme celé stupně 42,41o = 42o + 0,41o 2. Desetinnou část vynásobíme 60ti 0,41o.60= 24,6' 3. Opět oddělíme celou část a zapíšeme jako minuty 42o 24' + 0,6' 4. Vynásobíme desetinnou část minut 0,6'.60 = 10" 5. Zapíšeme výsledek. 42,41o = 42o 24' 10" Převeďte na minuty o
120
a) 2 = o
c) 0,5 =
30
o
'
b) 10,1 =
'
d) 5 20' =
o
606
320
'
'
Převeďte na stupně a minuty a) 100' =
1
o
40
c) 1000' =
16
o
40
'
b) 360' =
6
o
0
'
d) 125' =
2
o
05
'
'
Vyjádřete ve stupních a minutách o
a) 0,4 = o
c) 12,3 =
0
o
24
12
o
18
o
'
b) 20,25 =
'
d) 92,9 =
o
20
o
15
92
o
54
'
'
