1. Mojmír ujel na kole během čtyř dnů celkem 118 km. Druhý den ujel o 12 km víc než první den, třetí den ujel polovinu toho, co druhý den a poslední den o 26 km méně než první den. Kolik km ujel v jednotlivé dny? 2. Součet čtyř po sobě jdoucích násobků čísla čtyři je 152. O jaká čísla se jedná? 3. Dvě pětiny turistů si fotí památky foťákem, tři sedminy fotí mobilem, zbylých 6 turistů nefotí. Kolik turistů fotí mobilem? 4. V 16:20 vyjede Martin na koloběžce rychlostí 12 km/h. V 17:50 se na ním vydá Tomáš na kole rychlostí 18 km/h. V kolik hodin a po kolika km Martina dostihne? 5. Praha a Paříž jsou vzdáleny 948 km. V 6:00 vyjede z Prahy kamion rychlostí 72 km/h. V 6:40 se proti němu vydá z Paříže osobní auto rychlostí 30 m/s. V kolik hodin a jak daleko od Prahy se potkají? 6. První čerpadlo by napustilo bazén za 5 hodin, druhé za 10 hodin a třetí za 12 hodin. Druhé čerpadlo se po dvou hodinách společné práce rozbije, zbylá dvě budou pracovat až do konce v pořádku. Za jak dlouho bude bazén napuštěn?
1. Mojmír ujel na kole během čtyř dnů celkem 118 km. Druhý den ujel o 12 km víc než první den, třetí den ujel polovinu toho, co druhý den a poslední den o 26 km méně než první den. Kolik km ujel v jednotlivé dny? Klasická součtovka, vypíšeme jednotlivé dny a snadno sestavíme rovnici. Mimochodem, abych si situaci zjednodušil, rozmyslím si, který ze dnů označím neznámou x. V zadání se píše, že třetí den ujel polovinu toho, co druhý den. Tato věta se dá říci také obráceně, tj. druhý den ujel dvojnásobek toho, co třetí. Takže neznámou označím třetí den (ono je to jedno, ale já se takto vyhnu zlomkům): První den…….2𝑥 − 12 Druhý den…..2x Třetí den…….x Čtvrtý den…..2𝑥 − 12 − 26 Celkem………..118 km Takže rovnice: 2𝑥 − 12 + 2𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 − 12 − 26 = 118 7𝑥 − 50 = 118 7𝑥 = 168
/+50 /: 7
𝑥 = 24 První den ujel 36 km, druhý den, 48 km, třetí den 24 km a čtvrtý den 10 km. 2. Součet čtyř po sobě jdoucích násobků čísla čtyři je 152. O jaká čísla se jedná? Taky klasická součtovka, zařadil jsem ji především proto, že úloha tohoto typu dělala zvláštní problémy. Zde je především potřeba si uvědomit, že za sebou jdoucí násobky čtyřky tvoří řadu čísel, z nichž každé další je o 4 větší než předchozí (4, 8, 12, 16, 20, ….). Zápis tedy bude vypadat takto: První číslo…..𝑥 Druhé číslo…𝑥 + 4 Třetí číslo…..𝑥 + 4 + 4 (nebo taky rovnou 𝑥 + 8) Čtvrté číslo..𝑥 + 4 + 4 + 4 (nebo taky rovnou 𝑥 + 12) Celkem……152 𝑥 + 𝑥 + 4 + 𝑥 + 4 + 4 + 𝑥 + 4 + 4 + 4 = 152 4𝑥 + 24 = 152 4𝑥 = 128 𝑥 = 32 Jde o čísla 32, 36, 40, 44.
3. Dvě pětiny turistů si fotí památky foťákem, tři sedminy fotí mobilem, zbylých 6 turistů nefotí. Kolik turistů fotí mobilem? Taky součtovka, ale tady neznáme celkový součet. Označíme jej tedy neznámou. Celkem…….. 𝑥 2 5
Foťákem….… 𝑥 (lze také napsat 3
Mobilem…..7 𝑥 (lze také napsat
2𝑥 ) 5
3𝑥 ) 7
Nefotí………6 2 3 𝑥+ 𝑥+6=𝑥 5 7
/∙ 35
14𝑥 + 15𝑥 + 210 = 35𝑥 29𝑥 + 210 = 35𝑥 210 = 6𝑥 35 = 𝑥 Už víme, že turistů bylo celkem 35, ale na to se nikdo neptal. Musíme tedy spočítat, kolik turistů fotí mobilem, tedy spočítat, kolik je tři sedminy z 35. Jedna sedmina z 35 je 5, takže tři sedminy je 15. Mobilem fotí 15 turistů. 4. V 16:20 vyjede Martin na koloběžce rychlostí 12 km/h. V 17:50 se na ním vydá Tomáš na kole rychlostí 18 km/h. V kolik hodin a po kolika km Martina dostihne? Jedná se o slovní úlohu o pohybu, kde se objekty dohání. Jedou tedy ze stejného startovního bodu, po stejné dráze a až druhý prvního dožene, budou mít za sebou i stejný počet km. Z toho vyplývá, že budeme v rovnici porovnávat dráhy obou objektů. v (km/h) t (h) s (km) Martin 12 𝑥 12𝑥 Tomáš 18 18(𝑥 − 1,5) 𝑥 − 1,5 V tabulce jsem samozřejmě vyšel z toho, že rozdíl časů je 1,5 hodiny, přičemž kratší čas měl Tomáš (vyjel o hodinu a půl později). Jak jsem psal výšek, dráhy obou se musí rovnat: 12𝑥 = 18(𝑥 − 1,5) 12𝑥 = 18𝑥 − 27 −6𝑥 = −27 𝑥 = 4,5 Čas Martina je 4,5 hodiny, protože vyjel v 16:20, pak je jasné, že byl dostižen ve 20:50. Za 4,5 hodiny stihl rychlostí 12 km/h ujet celkem 54 km. Souhrn: Martin byl dostižen ve 20:50 po 54 km.
5. Praha a Paříž jsou vzdáleny 948 km. V 6:00 vyjede z Prahy kamion rychlostí 72 km/h. V 6:40 se proti němu vydá z Paříže osobní auto rychlostí 30 m/s. V kolik hodin a jak daleko od Prahy se potkají? Slovní úloha o pohybu, kde objekty jedou proti sobě. Součet jejich drah tedy musí tvořit celkovou vzdálenost, která je na začátku (než vyjeli) dělila. Zde je také především potřeba dát si pozor na převody (rychlost kamionu je v km/h, rychlost auta v m/s). Také je potřeba správně vyjádřit rozdíl časů (ten je 40 minut, což jsou dvě třetiny hodiny). Kamion (z Prahy) Osobák (z Paříže)
v (km/h) 72 108
t (h) 𝑥
s (km) 72𝑥
2 2 108 (𝑥 − ) 3 3 Jak už jsem psal, součet obou drah musí být počet kilometrů, které dělí obě města. Tedy: 𝑥−
2 72𝑥 + 108 (𝑥 − ) = 948 3 72𝑥 + 108𝑥 − 72 = 948 180𝑥 − 72 = 948 180𝑥 = 1020 1020 17 2 = =5 180 3 3
𝑥=
Čas kamionu je 5 hodin a 40 minut. Protože vyjel v 6:00, čas setkání bude v 11:40. Ještě musíme zjistit vzdálenost od Prahy. Z Prahy vyjel kamion, takže když zjistíme jeho dráhu, máme požadovanou vzdálenost. Jeho dráha bude 72 ∙ Potkají se v 11:40 a to 408 km od Prahy.
17 = 408 3
6. První čerpadlo by napustilo bazén za 5 hodin, druhé za 10 hodin a třetí za 12 hodin. Druhé čerpadlo se po dvou hodinách společné práce rozbije, zbylá dvě budou pracovat až do konce v pořádku. Za jak dlouho bude bazén napuštěn? Nejdříve si spočítáme, jaká bude situace v době, kdy se rozbije druhé čerpadlo. Můžeme velmi snadno spočítat, jaká část bazénu je již napuštěna a kolik tedy zbývá napustit: 2 2 2 24 + 12 + 10 46 23 + + = = = 5 10 12 60 60 30 23 30
7
je napuštěno, z toho vyplývá, že 30 zbývá. Na tomhle zbytku už ale budou pracovat jen dvě
čerpadla: 𝑥 𝑥 7 + = 5 12 30
/∙ 60
12𝑥 + 5𝑥 = 14 17𝑥 = 14 𝑥=
14 17 14
Poté, co se prostřední čerpadlo rozbilo, trvala práce ještě 17 hodiny. Dohromady se tedy 14
bazén napouštěl 2 17 hodiny. Ok, tenhle výsledek není nic moc, v písemce bude určitě nějaký hezčí (tak, aby to šlo snadno převádět na minuty).
