1 Modelování pružného podloží

1

MODELOVÁNÍ PRUŽNÉHO PODLOŽÍ

1

Modelování pružného podloží

• Úloha mechaniky zemin • Modely pružného podloží – interakce podloží se základovými konstrukcemi – Boussinesqův model (pružný poloprostor) [2]: homogenní izotropní podloží, charakterizováno dvěma materiálovými parametry E a ν. Plně trojrozměrný model u(x, y, z) 6= 0 v(x, y, z) 6= 0 w(x, y, z) 6= 0 – Westergaardův model (pružný poloprostor) [5]: homogenní aniso-

1

1

MODELOVÁNÍ PRUŽNÉHO PODLOŽÍ

2

tropní podloží, charakterizováno parametry E a ν. Kinematické předpoklady u(x, y, z) = 0

v(x, y, z) = 0

w(x, y, z) 6= 0

– Model pružné vrstvy [3]: založen na představě deformační zóny

J. Boussinesq

H. L. F. von Helmholtz

Pasternak

H. M. Westergaard

Winkler

2

WINKLER-PASTERNAKŮV MODEL PRUŽNÉ VRSTVY

2

2.1

3

Winkler-Pasternakův model pružné vrstvy

Kinematické předpoklady

• Posuny u a v jsou zanedbatelné vůči posunu w u(x, y, z)

=

0

v(x, y, z)

=

0

• Posun w lze vyjádřit v závislosti na posunu povrchu w(x, y, z) = w(x, y, 0)ψ(z) = w(x, y)ψ(z)

2


4

• Funkce ψ(z) závisí na materiálových vlastnostech podloží a vlastnostech základové konstrukce. Vzhledem ke značné neurčitosti vstupních dat v geotechnických problémech postačuje u tenkých vrstev uvažovat lineární průběh. V každém případě ψ splňuje podmínky ψ(0) = 1,

2.2

ψ(h) = 0.

Geometrické rovnice

• Nenulové složky tenzoru deformace εz (x, y, z)

=

γzx (x, y, z)

=

γzy (x, y, z)

=

∂w ∂ dψ(z) = (w(x, y)ψ(z)) = w(x, y) ∂z ∂z dz ∂w ∂u ∂w(x, y) + = ψ(z) ∂x ∂z ∂x ∂w ∂v ∂w(x, y) + = ψ(z) ∂y ∂z ∂y

(1)

2


5

• Ostatní složky εx (x, y, z) = 0, εy (x, y, z) = 0,

γxy (x, y, z) = 0

• Kompaktní zápis dψ(z) εz (x, y, z) = w(x, y) dz     ∂    γ (x, y, z)    zx ∂x = ∂  w(x, y)ψ(z)  γzy (x, y, z)     ∂y γ(x, y, z) = ∇w(x, y)ψ(z)

2.3

Konstitutivní rovnice

• Pro jednoduchost neuvažujeme vliv počátečních deformací

(2)

(3)

2


6

• Normálová napětí σz (x, y, z)

= λ(x, y, z)(1 − ν(x, y, z))εz (x, y, z) = Eoed (x, y, z)εz (x, y, z)

(4)

• Smyková napětí τzx (x, y, z)

= Gx (x, y, z)γzx (x, y, z)

τzy (x, y, z)

= Gy (x, y, z)γyz (x, y, z)

• Kompaktní zápis       τ (x, y, z)   γ (x, y, z)  Gx (x, y, z) 0 zx zx  =   τzy (x, y, z)  0 Gy (x, y, z)  γzy (x, y, z)  τ (x, y, z)

= G(x, y, z)γ(x, y, z)

2


2.4

7

Statické rovnice

• Všechny nenulové složky napětí působí ve směru osy z ⇒ jediná podmínka rovnováhy ∂τzx (x, y, z) ∂τzy (x, y, z) ∂σz (x, y, z) + + + Z(x, y, z) = 0 ∂x ∂y ∂z • Kompaktní zápis    τzx (x, y, z)  ∂σz (x, y, z) ∂ ∂ + + Z(x, y, z) = 0  τzx (x, y, z)  ∂x ∂y ∂z ∇T τ (x, y, z) +

2.5

∂σz (x, y, z) + Z(x, y, z) = 0 ∂z

(5)

Okrajové podmínky

• Kinematické okrajové podmínky – není třeba specifikovat (viz též cvičení č. 5)

2


8

• Statické okrajové podmínky – Na povrchu pružné vrstvy (z = 0 m) σz (x, y, 0)nz (x, y) − pz (x, y)

=

0

−σz (x, y, 0) − pz (x, y)

=

0

(6)

2


9

– Na „svislých hranáchÿ (x ∈ Γ × h0; hi) τzx (x, y, z)nx (x, y) + τzy (x, y, z)ny (x, y) − τ (x, y, z) = 0   n o  τ (x, y, z)  zx − τ (x, y, z) = 0 nx (x, y) ny (x, y)  τzy (x, y, z)  nT (x, y)τ (x, y, z) − τ (x, y, z) = 0

2.6 2.6.1

Řídicí rovnice Dimenzionální redukce problému

• Integrací podmínky rovnováhy (5) podle z s vahou ψ dostáváme Z h ∂σz (x, y, z) ∇T τ (x, y, z) + + Z(x, y, z) ψ(z) dz = 0 ∂z 0

(7)

2


10

• Podtržený člen upravíme pomocí integrace per partes Z h Z h ∂σz (x, y, z) dψ(z) h ψ(z) dz = [σz (x, y, z)ψ(z)]0 − dz σz (x, y, z) ∂z dz 0 0 Z h dψ(z) (1) = −σz (x, y, 0) − σz (x, y, z) dz dz 0 Z h dψ(z) (6) = pz (x, y) − σz (x, y, z) dz dz 0 • Po dosazení dostáváme Z h Z 0 = ∇T τ (x, y, z)ψ(z) dz − 0

h

σz (x, y, z)

0

Z + pz (x, y) +

dψ(z) dz dz

h

Z(x, y, z)ψ(z) dz 0

• Tato úprava nám umožňuje přejít z třírozměrné úlohy na dvojrozměrnou.

2


11

• Poloha je nyní charakterizována pomocí dvou prostorových souřadnic x = {x, y}T • Podmínku rovnováhy ve svislém směru vyjádříme pomocí – (zobecněných měrných) posouvajících sil q(x) Z h τ (x, z)ψ(z) dz q(x) = 0

– (zobecněné měrné) normálové síly nz Z h dψ(z) nz (x) = σz (x, z) dz dz 0 – (zobecněného) plošného zatížení p Z h p(x) = pz (x) + Z(x, z)ψ(z) dz 0

• Tedy ∇T q(x) − nz (x) + p(x) = 0

(8)

2


12

• Obdobným způsobem modifikujeme statické okrajové podmínky (7) Z h Z h nT (x) τ (x, z)ψ(z) dz − τ (x, z)ψ(z) dz = 0 0

0 T

n (x)q(x) − q(x) 2.6.2

=

0

(9)

Konstitutivní rovnice

• Normálové síly nx Z h Z h dψ(z) dψ(z) (4) nz (x) = σz (x, z) dz = Eoed (x, z)εz (x, z) dz dz dz 0 0 ! Z h dψ(z) dψ(z) (2) = Eoed (x, z) dz w(x, y) = C1 (x)w(x, y) dz dz 0 • Výsledkem je tedy vztah nz (x) = C1 (x)w(x, y),

(10)

2


kde konstanta C1 [Nm−3 ] Z C1 (x) =

h

Eoed (x, z)

0

13

dψ(z) dz

2 dz

je též někdy nazývána součinitel ložnosti. • Posouvající síly q     Z  q (x)  h τzx (x, z)  x = ψ(z) dz  qy (x)  0  τzy (x, z)     Z h  γ (x, z)  Gx (x, z) 0 (5) zx   = ψ(z) dz 0 0 Gy (x, z)  γzy (x, z)      Z h Gx (x, z) 0 (5)    ψ 2 (z) dz  ∇w(x) = 0 0 Gy (x, z) =

C2 (x)∇w(x)

2


14

• Pro případ Gx = Gy = G q(x) = C2 (x)∇w(x),

(11)

kde C2 [Nm−1 ] Z C2 (x) =

h

G(x, z)ψ 2 (z) dz.

(12)

0

• Orientační hodnoty konstant C1 a C2 [4]a .

a Ilustraci

výpočtu těchto konstant lze též nalézt v seminární práci R. Grebíka: Prut na pružném podloží - zjištění tuhosti podloží http://ksm.fsv.cvut.cz/∼zemanj/download/seminar/MK/2003 2004/grebik.pdf

2


Domací úkol 1. Vzájemně porovnejte dimenzionální redukci trojrozměrných rovnic pružnosti pro případ ohybu mindlinovských nosníků, ohybu mindlinovských desek a pružné vrstvy podloží. Pro vzájemné porovnání se můžete inspirovat následující tabulkou

15

2


16

Nosník Kinematické předpoklady Pole posunů Pole deformace (nenulové složky) Pole napětí (nenulové složky) Nezávislé podmínky rovnováhy Identicky splněné podmínky rovnováhy Základní deformační neznámé Vnitřní síly Podmínky rovnováhy ve vnitřních silách + způsob odvození Nové členy v konstitutivních rovnicích Modifikace statických okrajových podmínek

Deska

Podloží

2


2.7

Diferenciální rovnice pružné vrstvy

• Uvažujeme izotropní a homogenní materiál (vzhledem k souřadnicím x a y) C1 (x) = C1 ,

C2 (x) = C2 .

• Po dosazení konstitutivních rovnic (10) a (11) do podmínky rovnováhy (8) dostáváme C2 ∇T ∇w(x) − C1 w(x) + p(x) = 0, tedy C2 ∆w(x) − C1 w(x) + p(x) = 0 • Z hlediska matematické terminologie se tato parciální diferenciální rovnice nazývá Helmholtzovou rovnicí.

17

3

SLABÁ FORMULACE

3

18

Slabá formulace

• Požadujeme, aby platilo Z T δw(x) ∇ C2 (x)∇w(x) − C1 (x)w(x) + p(x) dx = 0 Ω

pro všechny váhové funkce δw(x). • Aplikací Gaussovy věty upravíme předchozí rovnost na nT q=q viz (9)

Z

Z z }| { T 0 = δw(x) nT (x)C2 (x)∇w(x) dx − (∇δw(x)) C2 (x)∇w(x) dx Ω ZΓ Z − δw(x)C1 (x)w(x) dx + δw(x)p(x) dx Ω

Ω

3

SLABÁ FORMULACE

19

• Slabé řešení w(x) tedy splňuje pro všechna δw(x) Z Z T (∇δw(x)) C2 (x)∇w(x) dx = δw(x)C1 (x)w(x) dx + Ω Ω Z Z δw(x)q(x) dx + δw(x)p(x) dx Γ

3.1

Ω

Galerkinovská aproximace

• Aproximace neznámých w(x) a jejich gradientů ∇T w(x) w(x) ≈ N (x)r,

∇T w(x) ≈ ∇T N (x)r = B(x)r.

• Aproximace váhové funkce δw(x) a jejího gradientu ∇T δw(x) δw(x) ≈ N (x)δr,

∇T δw(x) ≈ ∇T N (x)δr = B(x)δr.

3

SLABÁ FORMULACE

20

• Aproximace slabé formulace Z Z T T B(x)δr C2 (x)B(x)r dx = N (x)δr C1 (x)N (x)r dx + Ω Ω Z Z T T N (x)δr p(x) dx, N (x)δr q(x) dx + Γ

Ω

pro všechna δr. • Soustava lineárních rovnic K r = R = Rq + Rp , kde K

=

Z ZΩ

Rq

= ZΓ

Rp

= Ω

N (x)C1 (x)N (x) + B (x)C2 (x)B(x) dx T

N T (x)q(x) dx N T (x)p(x) dx

T

4

NEKONEČNÝ A DOKONALE TUHÝ PÁS NA PRUŽNÉM PODLOŽÍ

4

Nekonečný a dokonale tuhý pás na pružném podloží

• Uvažujeme pás šířky 2b na homogenním a izotropním podloží • Řešení rozdělíme na část odpovídající okolní zemině a na část pod základem • Rovnice pružné vrstvy d2 w(y) C1 w(y) − C2 =0 dy 2

21

4


• Řešení w(y) = Ae−αy + Beαy , kde

C1 α = C2 2

• Okrajové podmínky y→∞: y=0:

w→0⇒

B=0

w = w0 ⇒ A = w0

• Průběh sednutí okolní zeminy √

w(y) = w0 e−

C1 /C2 y

• Posouvající síla na okraji základu p dw(y) qy (y = 0) = C2 |y=0 = −w0 C1 C2 dy • Velikost poklesu základu w0 určíme z podmínky rovnováhy pro příčný

22

4


proužek šířky 1 m vyjmutý z pásu p 2bf = 2w0 C1 C2 + C1 w0 2b ⇒ w0 = √

23

f f = ∗ C1 C1 C2 + C1 b

• Efektivní konstanta podloží pro modelování pásu √ C1 C2 ∗ C1 = C1 + b • Obdobným způsobem lze „opravitÿ zbývající konstanty podloží; viz [1, kapitola 2.1.2] 2 Prosba. V případě, že v textu objevíte nějakou chybu nebo budete mít námět na jeho vylepšení, ozvěte se prosím na [email protected]. Opravy verze -001: Odstraněná celá řada překlepů a nepřesností (na chyby upozornil J. Šejnoha) Opravy verze 000: Změněno Eeod na Eoed , opraveny indexy u smykového napětí na str. 6 (na chyby upozornil Z. Janda), str. 21: opravena poloha souřadnice z (na chybu upozornil J. Skoček), str. 23: opraven výpočet efektivní konstanty C1 (oprava po přednášce) Verze 001

REFERENCE

Reference [1] Z. Bittnar and J. Šejnoha, Numerické metody mechaniky, vol. I, ES ČVUT, Praha, 1992. [2] J. Boussinesq, Application des potentiels a l’etude de l equilibre et du mouvement des solides elastiques, Gauthier-Villars, Paris, 1885. [3] V. Kolář and I. Němec, Modelling of soil-structure interaction, Academia, Praha, 1990. [4] P. Kuklík, Příspěvek k řešení vrstevnatého podloží, Pozemní stavby 7 (1984). [5] H. M. Westergaard, A problem of elasticity suggested by a problem in soil mechanics: Soft material reinforced by numerous strong horizontal sheets, Contributions to the Mechanics on Solids, Dedicated to S. Timoshenko by his Friends on the Occasion of his 60th Birthday Anniversary, The Macmillan Company, New York, 1938.

24

1 Modelování pružného podloží

Recommend Documents