1. konferencia: Egyenáramú hálózatok számítása 1.feladat: 2 kΩ
1 kΩ Határozzuk meg az R jelű ellenállás értékét!
20 V 10 V
V
R
5 kΩ
Megoldás: Az ellenállás értéke meghatározható az Ohm-törvény alapján. Ehhez ismernünk kell az ellenállás kapcsain fellépő feszültség értékét, valamint az ellenálláson átfolyó áramot. Az R ellenállás párhuzamosan kapcsolódik az 5 kΩ-os ellenállással, melyek közös feszültségét mutatja a V-mérő, tehát UR = 10 V. Az ellenállás árama a kör eredő áramának és az 5 kΩ-os ellenállás áramának a különbsége. Az 5 kW-os ellenállás árama az Ohm-törvénnyel közvetlenül meghatározható: U 10 V I 5 kΩ = = = 2 mA 2 kΩ R 5 kΩ A 2 kΩ-os és az 1 kΩ-os ellenállások sorba kapcsolódnak, melyek eredő feszültsége Kirchhoff huroktörvénye alapján: 20 V – 10 V = 10 V.
Ie 1 kΩ IR
10 V 20 V 10 V
I5kΩ
V
R
Így áramuk, amely egyúttal a kör eredő árama is: 10 V 10 mA . Ie = = (2 + 1) kΩ 3 Az 1 kΩ-os és az 5 kΩ-os ellenállások közös pontjára Kirchhoff csomóponti törvényét felírva:
5 kΩ
I e − I 5 kΩ − I R = 0 . Ebből az R ellenállás áramát kifejezve: I R = I e − I 5 kΩ = Tehát a keresett ellenállás-érték: R =
10 4 mA − 2 mA = mA . 3 3
10 V = 7,5 kΩ . 4 mA 3 1
Szekér: Elektrotechnika
BMF – KVK - VEI
2.feladat: 20 Ω Ug
60 Ω
30 Ω
20 Ω
30 Ω
10 Ω
V
Határozzuk meg a feszültségosztó bemenetére kapcsolt feszültség értékét, ha az ideális V-mérő 20 V-ot mutat! Ug = ? Megoldás: A V-mérő a 10 Ω-os ellenállás kapcsain fellépő feszültséget méri. U 20 V Az ellenállás árama az Ohm-törvény alapján: I10Ω = = = 2A. R 10 Ω Az ideális V-mérőn áram nem folyik (belső ellenállása végtelen nagy), ezért a 10 Ω-os és a 20 Ω-os ellenállások árama azonos (sorba vannak kapcsolva!). Így a 20 Ω-os ellenálláson fellépő feszültség az Ohm-törvény alapján: U 20Ω = R ⋅ I = 20 Ω ⋅ 2 A = 40 V . 40 V 20 Ω 60 Ω
Ug
30 Ω
20 Ω 20 V
2A 2A
30 Ω
V
V
20 V
10 Ω A jobb oldali hurokra Kirchhoff huroktörvényét felírva megkapjuk a harmadik elem, a 30 Ωos ellenállás feszültségének értékét: U 30Ω = 40 V + 20 V = 60 V . 40 V
120 V 20 Ω Ug
60 Ω
30 Ω
20 Ω
4A 2A
2A 2A 60 V 30 Ω
20 V
V
20 V
V 10 Ω
Az ellenállás árama az Ohm-törvény alapján: I 30Ω =
U 60 V = = 2A. R 30 Ω
2 Szekér: Elektrotechnika
BMF – KVK - VEI
Kirchhoff csomóponti törvénye alapján a másik – vízszintesen ábrázolt - 30 Ω-os ellenállás árama a két áram összege: I 30Ω = 2 A + 2 A = 4 A . Az 30 Ω-os ellenálláson fellépő feszültség az Ohm-törvény alapján: U 30Ω = R ⋅ I 30Ω = 30 Ω ⋅ 4 A = 120 V . A középső hurokra Kirchhoff huroktörvényét felírva megkapjuk a 60 Ω-os ellenállás feszültségének értékét: U 60Ω = 120 V + 60 V = 180 V . 120 V
140 V 20 Ω
30 Ω
7A
Ug
40 V 20 Ω
4A 2A
3A
2A 2A
V
20 V
60 V
180 V 60 Ω
20 V
30 Ω
10 Ω
Az 60 Ω-os ellenállás árama az Ohm-törvény alapján: I =
U 180 V = = 3A. R 60 Ω
Kirchhoff csomóponti törvénye alapján az eredő áram (a 20 Ω-os ellenállás árama) a két áram összege: I 30Ω = 4 A + 3 A = 7 A . A 20 Ω-os ellenálláson fellépő feszültség az Ohm-törvény alkalmazásával: U = R ⋅ I 30Ω = 20 Ω ⋅ 7 A = 140 V . 120 V
140 V 20 Ω Ug
40 V
30 Ω
7A
20 Ω
4A 2A
3A
2A 2A
V
20 V
60 V
180 V 60 Ω
20 V
30 Ω
10 Ω
A bal oldali hurokra Kirchhoff huroktörvényét felírva megkapjuk a keresett generátorfeszültség értékét: U g = 140 V + 180 V = 320 V . Tehát a feszültségosztó kimenetén megjelenő és a bemenetére kapcsolt feszültségek közötti U 20 V 1 arány: A= V = = . U g 320 V 16 Mivel az áramkör lineáris, ezért ez a feszültség-arány tetszőleges feszültség rákapcsolása esetén fennáll. Pl. Ug = 240 V feszültség rákapcsolása esetén a V-mérő által mutatott érték ’A’ ismeretében közvetlenül is számolható: 1 U V = A ⋅ U g = ⋅ 240 V = 15 V . 16 3 Szekér: Elektrotechnika
BMF – KVK - VEI
3.feladat: 4Ω
Határozzuk meg a megadott áramkör eredő ellenállását az AB kapocspár felől!
4Ω
A
Megoldás:
Ha a felrajzolt ábra alapján az ellenállások soros-párhuzamos kapcsolódását nem tudjuk RAB=? 3Ω 5Ω egyértelműen megállapítani, akkor célszerű a kapcsolást úgy átrajzolni, hogy a ezek a 1Ω B kapcsolódások egyértelműen tisztázhatók legyenek. Ehhez végig kell követnünk, hogy az A pontból a B pontba milyen áramutakon juthatunk el. Ügyeljünk arra, hogy az eredeti ábra és az átrajzolt ábra villamosan egyenértékű legyen! Az átrajzolt ábra alapján a soros-párhuzamos összevonások már elvégezhetők.
A 5Ω
4Ω
4Ω
3Ω
Először a két 4 Ω-os ellenállást vonhatjuk össze (párhuzamos kapcsolás), majd ezek eredője (2 Ω) sorba kapcsolódik a 3 Ω-os ellenállással. Az így adódó 5 Ω kapcsolódik párhuzamosan az 5 Ω-os ellenállással, majd ezekkel sorba az 1 Ω-os ellenállás. Az elvégzendő műveleteket tömör matematikai formában is megadhatjuk: R AB = [(4 + 4) + 3] ⊗ 5 + 1 = 3,5 Ω .
1Ω
B
Tehát a megadott ellenállás-hálózat egyetlen egy 3,5 Ω-os ellenállással helyettesíthető.
4.feladat: 6A
8Ω
Határozzuk meg a megadott kétgenerátoros áramkörben a generátorok teljesítményét, valamint a bejelölt ágáram értékét!
I=?
A feladatot kétféle módon is megoldjuk: 4Ω
6Ω
12 Ω
1. A szuperpozíció elvének alkalmazásával 2. Egyenértékű átalakítások alkalmazásával
60 V
4 Szekér: Elektrotechnika
BMF – KVK - VEI
1. Megoldás: A szuperpozíció elvének alkalmazásakor a feladat megoldását egygenerátoros áramkörök számítására vezetjük vissza. A két generátor hatását külön-külön megvizsgáljuk, majd az eredő hatást a részmennyiségek szuperponálásával (előjeles összegzésével) kapjuk meg. 6A
,
8Ω
4Ω
UGI
I
,
8Ω
+ ,
IGU
6Ω
12 Ω
4Ω
,,
I
UGI
,,
6Ω
,,
12 Ω
IGU
60 V A feszültség-generátor hatására kialakuló részmennyiségek meghatározásához az áramkör erdő ellenállását kell ismerni. A generátor kapcsai felől az eredő ellenállás: R AB = 4 + 8 + 6 ⊗ 12 = 4 + 8 + 4 = 16 Ω 60 V ' A feszültségforrás hatására kialakuló részmennyiségek: I GU = = 3,75 A 16 Ω 6Ω ' U GI = U 8Ω = 3,75 A ⋅ 8 Ω = 30 V illetve I ' = I12Ω = 3,75 A ⋅ = 1,25 A . 6 Ω + 12 Ω 6A
3,75 A
3A
1,25 A
5A
+ 1,25 A
2A
3,75 A
3A
60 V Az áramgenerátor hatására kialakuló részmennyiségek meghatározásakor vegyük észre, hogy az alsó három ellenállás eredője (4+6⊗12=8 Ω) párhuzamosan kapcsolódik a 8 Ω-os ellenállással. Tehát az eredő ellenállás az áramforrás kapcsai felől: 8⊗8=4 Ω. Az áramforrás hatására kialakuló részmennyiségek: 8Ω '' '' U GI = I G ⋅ Re = 6 A ⋅ 4 Ω = 24 V illetve I GU = −6 A ⋅ = −3 A . 8Ω +8Ω Utóbbi esetben a negatív előjel oka, hogy a részáram tényleges iránya a bejelölttel ellentétes! 5 Szekér: Elektrotechnika
BMF – KVK - VEI
A rövidzár ág áramának meghatározásához a 8 Ω-os és a 6 Ω-os ellenállások áramát kell 8Ω 12 Ω ismerni: I 8' 'Ω = 6 A ⋅ = 3 A illetve I 6' 'Ω = 3 A ⋅ = 2A. 8Ω +8Ω 6 Ω + 12 Ω Tehát I ' ' = I 8' 'Ω + I 6' 'Ω = 3 A + 2 A = 5 A . A tényleges mennyiségek az így meghatározott részmennyiségek szuperponálásával (előjeles összegzésével) kaphatók meg: A feszültségforrás árama:
' '' I GU = I GU + I GU = 3,75 A - 3 A = 0,75 A ,
így a teljesítménye:
PGU = −U G ⋅ I GU = -60 V ⋅ 0,75 A = -45 W . (termelő)
Az áramforrás kapocsfeszültsége:
' '' U GI = U GI + U GI = 30 V + 24 V = 54 V ,
így a teljesítménye:
PGI = −U GI ⋅ I G = -54 V ⋅ 6 A = -324 W . (termelő)
A keresett ágáram:
I = I ' + I ' ' = 1,25 A + 5 A = 6,75 A .
2. Megoldás: A feladat a szuperpozíció alkalmazása nélkül is megoldható, ha a párhuzamosan kapcsolt 6 és 12 Ω-os ellenállásokat összevonjuk (4 Ω), és az áramforrást feszültségforrással helyettesítjük: 6A 48 V 8Ω 8Ω
8Ω
48 V
4Ω IGU
A fentiek figyelembe vételével egy egyszerű soros áramkör adódik.
4Ω
48 V + 4Ω ⋅ I GU − 60 V + 4Ω ⋅ I GU + 8Ω ⋅ I GU = 0
60 V Ebből a keresett áram:
Mivel ezek egyenértékű átalakítások, ezért a feszültségforrás árama (IGU) nem változik meg, a helyettesítő áramkörben egy Kirchhoff huroktörvény felírásával közvetlenül meghatározható. Az óramutató járásával megegyező körüljárási irányt feltételezve:
I GU =
60 V − 48 V = 0,75 A , 4 Ω + 4 Ω + 8Ω
ami az előző számítások során kapott értékkel nyilvánvalóan megegyezik. A további számítások a fenti érték ismeretében már az eredeti kapcsolás alapján végezhetők el. 6 Szekér: Elektrotechnika
BMF – KVK - VEI
Az ’A’ jelű csomópontra a csomóponti törvényt felírva: 0,75 A + 6 A − I 8Ω = 0
I 8Ω = 6,75 A
amiből
Az áramforrás kapocsfeszültsége megegyezik a 8 Ω-os ellenálláson fellépő feszültséggel: U GI = 8 Ω ⋅ I 8Ω = 8 Ω ⋅ 6,75 A = 54 V . 6A
I8Ω
I
UGI
A
C
B
8Ω 4Ω
6Ω
12 Ω
I12Ω
0,75 A
60 V A 12 Ω-os ellenállás áramát a feszültségforrás áramából meghatározhatjuk egy áramosztó képlettel: I12Ω = 0,75 A ⋅
6Ω = 0,25 A . 6 Ω + 12 Ω
Ugyanezt megkapjuk, ha a huroktörvényt felírjuk a külső körre: 54 V + 12Ω ⋅ I12Ω − 60 V + 4Ω ⋅ 0,75 A = 0 , amiből a keresett áram:
I12Ω =
60 V − 54 V - 3 V = 0,25 A . 12 Ω
A 12 Ω-os ellenállás áramának ismeretében a ’C’ jelű csomópontra a csomóponti törvényt felírva: I − 6 A − I12Ω = 0
amiből
I = 6,25 A
Ezek az eredmények nyilvánvalóan megegyeznek az előző módszerrel meghatározott eredményekkel!
7 Szekér: Elektrotechnika
BMF – KVK - VEI
5.feladat: 20 Ω
10 Ω
30 Ω
85 V
3A
Határozzuk meg az 5 Ω-os ellenálláson fellépő teljesítmény értékét!
5Ω
Megoldás: A feladatot a helyettesítő feszültségforrás tételének (Thevenin-tétel) alkalmazásával oldjuk meg. Ehhez az 5 Ω-os ellenállást kiemeljük a hálózatból, és a helyén fellépő üresjárási feszültség lesz a helyettesítő feszültségforrás belső feszültsége. 0,5 A
Az 5 Ω-os ellenállás kiemelését követően a 20 Ω-os és a 30 Ω-os ellenállások árama azonos lesz, tehát sorba kapcsolódnak. Az áramkör áramát a 3 A-es áramgenerátor határozza meg. Így a fenti ellenállások árama az áram-osztó képlet alkalmazásával közvetlenül számolható:
10 Ω
85 V
3A I 30Ω = 3 A ⋅
20 Ω
30 Ω
0,5 A
Ub
10 Ω = 0,5 A 10 Ω + (20 + 30) Ω
Vigyázat! Az áramosztó képletet mindig a két párhuzamosan kapcsolódó ág eredő ellenállásaira kell felírni! A jobboldali hurokra a huroktörvényt felírva megkapjuk a keresett feszültség értékét: U b − 85 V - 30Ω ⋅ 0,5 A = 0
amiből
U b = 85 V + 15 V = 100 V .
A helyettesítő generátor belső ellenállása a dezaktivizált hálózat eredő ellenállása az 5 Ω-os ellenállás kapcsai felől számolva. A dezaktivizálásnál az áramforrást szakadással (I=0), míg a feszültségforrást rövidzárral (U=0) kell helyet20 Ω tesíteni. Most a 10 W-os és a 20 W-os ellenállások kapcsolódnak sorba, így az eredő ellenállás az adott kapcsok felől:
10 Ω
30 Ω
Rb = (10 Ω + 20 Ω) ⊗ 30 Ω = 15 Ω .
Rb 8 Szekér: Elektrotechnika
BMF – KVK - VEI
Ezek ismeretében a helyettesítő kapcsolás már felrajzolható, ami alapján a számítás elvégezhető. Az 5 Ω-os ellenállás árama:
15 Ω
I= I
Az ellenállás teljesítménye:
5Ω
100 V
100 V = 5A. 15 Ω + 5 Ω
P5Ω = I 2 ⋅ R = 5 2 A 2 ⋅ 5 Ω = 125 W . Gyakorlásképpen oldjuk meg a feladatot a szuperpozíció elvének alkalmazásával is!
6.feladat: 30 Ω
180 V
10 Ω
60 Ω
20 Ω
V
Határozzuk meg az ideális V-mérő által mért feszültség értékét! Megoldás: A V-mérő a 20 Ω-os ellenállás feszültségét méri, ezért a 20 Ω-os ellenállást kiemeljük a hálózatból, a megmaradó részre pedig alkalmazzuk Thevenin tételét. 30 Ω
180 V
30 Ω
10 Ω
Ub
60 Ω
A helyettesítő feszültségforrás belső feszültsége: 30 Ω
120 V
10 Ω
60 Ω
U b = 180 V ⋅
Rb
60 Ω = 120 V . 60 Ω + 30 Ω
A helyettesítő feszültségforrás belső ellenállása: Rb = 10 Ω + 30Ω ⊗ 60Ω = 30 Ω . 20 Ω
A helyettesítő kép alapján az ellenállás feszültsége a feszültségosztó képlettel egyszerűen meghatározható: 20 Ω U 20Ω = 120 V ⋅ = 48 V . 30 Ω + 20 Ω 9
Szekér: Elektrotechnika
BMF – KVK - VEI
7.feladat: Határozzuk meg a megadott áramkörben a feszültségforrások teljesítményét, valamint a bejelölt ágáram értékét! 60 Ω
A
B
I =?
20 Ω 60 Ω
C
U1= 80 V 60 Ω
U2= 100 V
U2
U1
20 Ω
Megoldás: Vegyük észre, hogy az ABC pontok közötti háromszög-kapcsolást csillagkapcsolássá átalakítva olyan (két csomóponttal rendelkező) hálózatot kapunk, amelyre a Millmann-tétel alkalmazható. Mivel a háromszög-kapcsolásban szereplő ellenállások értéke azonos (60 Ω), a csillag-kapcsolást alkotó ellenállások értéke is azonos lesz és harmadrésze az előbbinek (20 Ω).
A
20 Ω
20 Ω
0
20 Ω
20 Ω Ig1
B
Ig2
C
U00’ U2
U1
20 Ω
0’
A Millmann-tételt felírva:
U1 U U1 80 V + 2 +U2 + 100 V (20 + 20) Ω 20 Ω 2 2 U 00' = = = = 70 V 1 1 1 1 1 2 + + + +1 (20 + 20) Ω (20 + 20) Ω 20 Ω 2 2 A feszültségforrások áramait Kirchhoff huroktörvényének alkalmazásával határozhatjuk meg. A huroktörvényt a bal oldali hurokra felírva: − U1 + 20Ω ⋅ I g1 + 20Ω ⋅ I g1 + U 00' = 0 amiből I g1 =
U1 − U 00' 80 V − 70 V = = 0,25 A . 40 Ω 40 Ω
A generátor teljesítménye: PG1 = −U1 ⋅ I g1 = -80 V ⋅ 0,25 A = -20 W (termelő). 10 Szekér: Elektrotechnika
BMF – KVK - VEI
A huroktörvényt a jobb oldali hurokra felírva: − U 00' − 20Ω ⋅ I g 2 + U 2 = 0
I g2 =
amiből
U 2 − U 00' 100 V − 70 V = = 1,5 A . 20 Ω 20 Ω
A generátor teljesítménye: PG 2 = −U 2 ⋅ I g 2 = -100 V ⋅ 1,5 A = -15 W (termelő). A bejelölt áram meghatározását – a feszültségforrások áramainak ismeretében – az eredeti kapcsolás alapján határozhatjuk meg: 60 Ω
A
B
I=? 20 Ω
60 Ω
60 Ω
C Ig1 U1
Ig2 U2
20 Ω
Írjuk fel Kirchhoff huroktörvényét a külső hurokra: − U1 + 20Ω ⋅ I g1 + 60Ω ⋅ I − U 2 = 0 , amiből I=
U1 − U 2 − 20Ω ⋅ I g1 60 Ω
=
80 V − 100 V - 20Ω ⋅ 0,25A − 25 V = = −0,417 A . 60 Ω 60Ω
A kapott eredmény értelmezése: A bejelölt ágban folyó áram nagysága 0,417 A, míg a negatív előjel azt jelenti, hogy az áram tényleges iránya az ábrán bejelölttel ellentétes. Gyakorlásképpen oldjuk meg a feladatot a szuperpozíció elvének alkalmazásával is. A megoldás során ügyeljünk arra, hogy az U2 feszültségforrás részáramainak meghatározásakor hídkapcsolás adódik, de a háromszög-csillag átalakításra nincs szükség, mivel a híd kiegyenlített.
11 Szekér: Elektrotechnika
BMF – KVK - VEI
8.feladat: Határozzuk meg a megadott áramkörben a 2 kΩ-os ellenálláson két nap alatt keletkező veszteség értékét! 80 V
W2kΩ = ? 4 kΩ
4 kΩ
120 V
2 kΩ 4 kΩ
6 kΩ
Megoldás: Mivel csak a 2 kΩ-os ellenállás jellemzőinek meghatározását kell elvégezni, ezért célszerű ennek az ellenállásnak a kapcsaira a hálózat Thevenin-generátoros helyettesítő képét meghatározni. 80 V A 2 kΩ-os ellenállás kiemelése után a hálózat nagyon egyszerűen számolható, mert a középső ágban illetve az alsó ágban található ellenállások sorba kapcsolódnak, és a rákapcsolt feszültség a generátorok feszültségéből közvetlenül meghatározható.
4 kΩ
4 kΩ
A
40 V
40 V
Ub
120 V A középső ágban található két 4 kΩ-os ellenállásra közvetlenül jut a 80 V-os generátor feszültsége, így azok feszültsége ennek fele-fele, tehát 40 V.
120 V
80 V
B
6 kΩ 4 kΩ A külső hurokban a két generátor feszültsége összeadódik, és ez jut az alsó ágban található ellenállásokra. A feszültségosztó képlet alkalmazásával: U 6Ω = 200 V ⋅
6 kΩ = 120 V , 4 k Ω + 6 kΩ
míg a 4 kΩ-os ellenállásra jutó feszültség: U 4Ω = 200 V − 120 V = 80 V . A helyettesítő feszültségforrás belső feszültsége meghatározható a jobb oldali hurokra felírt huroktörvényből: 120 V − U b − 40 V = 0 ,
amiből
U b = 120 V − 40 V = 80 V .
12 Szekér: Elektrotechnika
BMF – KVK - VEI
A helyettesítő generátor belső ellenállásának meghatározásához rajzoljuk át az áramkört: 4 kΩ
4 kΩ
4 kΩ
B
A
A 4 kΩ B
4 kΩ
Rb
4 kΩ
6 kΩ
6 kΩ
Az eredő ellenállás: R AB = Rb = 4k Ω ⊗ 4kΩ + 4kΩ ⊗ 6kΩ = 2 kΩ + 2,4 kΩ = 4,4 kΩ A helyettesítő kapcsolás alapján a 2 kΩ-os ellenállás feszültsége: 4,4 kΩ
U 2kΩ = 80 V ⋅
A
2 kΩ = 25 V . 4,4 kΩ + 2 kΩ
Az ellenállás teljesítménye: 2 kΩ
80 V
P2kΩ =
U 22kΩ 2 kΩ
=
25 2 V 2 = 312,5 mW 2 kΩ
Az ellenálláson két nap alatt keletkező veszteség:
B
W2kΩ = P2kΩ ⋅ t = 0,3125 W ⋅ 48 h = 15 Wh .
13 Szekér: Elektrotechnika
BMF – KVK - VEI
