1. Diketahui suatu polynomial A3 B 2 3C D 5
A15 B 6C 2 D 2 ? Jawab :
15
. Berapakah koefisien dari
n
n-1
2. Diberikan polinomial f(x) = x + a1x
n-2
+ a2x
+ ⋅⋅⋅ + an-1x + an dengan koefisien
a1, a2, ⋅⋅⋅, an semuanya bilangan bulat dan ada 4 bilangan bulat berbeda a, b, c dan d yang memenuhi f(a) = f(b) = f(c) = f(d) = 5. Tunjukkan bahwa tidak ada bilangan bulat k yang memenuhi f(k) = 8. Jawab :
3. Tunjukkan bahwa untuk sembarang bilangan real x maka x2 sin x + x cos x + > 0 Jawab:
4. ABCD adalah trapesium dengan AB sejajar DC, Diketahui panjang AB = 92, BC = 50, CD = 19, DA = 70. P adalah sebuah titik yang terletak pada sisi AB sehingga dapat dibuat sebuah lingkaran yang berpusat di P yang menyinggung AD dan BC. Tentukan panjang AP. Jawab :
5. Misalkan ABC adalah segitiga siku-siku dengan luas 1. Misalkan A’, B’ dan C’ adalah titik-titik yang didapat dengan mencerminkan titik A, B dan C berurutan terhadap sisi di hadapannya. Tentukan luas ΔA’B’C’. Jawab :
6. Diketahui himpunan S dimana S adalah himpunan bilangan asli yang tersusun dari angka 1, 3, 5, dan 7 dan tidak ada angka yang diulang. Berapakah nilai ratarata dari semua anggota S? Jawab :
7. Jika A adalah himpunan beranggotakan 50 unsur yang merupakan himpunan bagian dari himpunan {1, 2, 3, ⋅⋅⋅, 100} dan bersifat bahwa tidak ada dua bilangan di dalam A yang jumlahnya 100. Tunjukkan bahwa A mengandung suatu bilangan kuadrat murni. Jawab:
8. Misalkan n bilangan bulat lebih dari 6. Buktikan bahwa jika n-1 dan n+1 adalah bilangan prima maka n2 (n2 16) habis dibagi 720. Jawab:
9. Jika
1 1 1 dengan a, b c adalah bilangan asli dan FPB(a, b dan c) = 1, a b c
buktikan bahwa a + b adalah bilangan kuadrat. Jawab:
10.
2
0
sin 2010 x dx sin 2010 x cos 2010 x
Jawab:
=….
lim 11. Berapakah Jawab :
x 1
x 1 x 1 ?
12. Jika A adalah himpunan beranggotakan 50 unsur yang merupakan himpunan bagian dari himpunan {1, 2, 3, ⋅⋅⋅, 100} dan bersifat bahwa tidak ada dua bilangan di dalam A yang jumlahnya 100. Tunjukkan bahwa A mengandung suatu bilangan kuadrat murni. Jawab:
13. Sebuah bilangan asli n terdiri dari 7 digit berbeda dan habis dibagi oelh masingmasing digitnya. Tentukan ketiga digit yang tidak termasuk ke dalam digit dari n. Jawab:
14. Pada segitiga ABC, titik D, E dan F secara berurutan terletak pada sisi BC, CA dan AB yang memenuhi ∠AFE = ∠BFD, ∠BDF = ∠CDE dan ∠CED = ∠AEF. Buktikan bahwa ∠BDF = ∠BAC Jawab:
n
15. Tentukan Faktor Persekutuan Terbesar dari bilangan-bilangan berbentuk n − n untuk n = 3, 5, 7, … Jawab:
16. Seorang pemain catur memiliki waktu 11 minggu untuk menyiapkan diri mengikuti sebuah turnamen. Ia memutuskan untuk berlatih sedikitnya satu permainan setiap hari, namun tidak lebih dari 12 permainan selama seminggu. Perlihatkan bahwa ada beberapa hari berturut-turut yang selama itu pecatur tersebut berlatih tepat 21 permainan. Jawab:
5
5
5
5
5
17. Tunjukkan bahwa 1 + 2 + 3 + ⋅⋅⋅ + 99 + 100 habis dibagi 10100, namun tidak habis dibagi 3 Jawab:
3
18. Buktikan bahwa untuk n bilangan bulat, n + 11n habis dibagi 6 Jawab:
19. Misalkan n adalah bilangan bulat lebih dari 6. Buktikan bahwa n − 1 dan n + 1 2 2 keduanya prima maka n (n + 16) habis dibagi 720. Jawab:
20. Tunjukkan bahwa di antara lima bilangan bulat kita dapat memilih tiga di antaranya yang memiliki jumlah habis dibagi 3. Jawab:
21. M adalah titik tengah sisi BC pada suatu ΔABC. Tunjukkan bahwa jika AM : BC = 3 : 2 maka median dari B dan C akan saling tegak lurus. Jawab:
22. DEB adalah tali busur suatu lingkaran dengan DE = 3 dan EB = 5. Misalkan O adalah pusat lingkaran. Hubungkan OE dan perpanjangan OE memotong lingkaran di titik C. Diketahui EC = 1. Tentukan radius lingkaran tersebut. Jawab:
2
23. Tentukan semua bilangan real a yang memenuhi bahwa dua polinomial x + ax + 2 1 dan x + x + a memiliki sedikitnya satu akar yang sama. Jawab:
24. Misalkan n adalah bilangan lima angka dan m adalah bilangan empat angka yang didapat dengan menghapus angka yang ada di tengah dari bilangan n. Tentukan semua nilai n yang memenuhi bahwa n/m adalah bilangan bulat. Jawab:
25. (i) 15 kursi diatur melingkar dengan terdapat nama pada kursi tersebut yang disediakan untuk 15 tamu. Para tamu tidak mengetahui nama pada kursi terebut sampai dengan mereka duduk. Jika tidak ada satupun di antara ke-15 tamu tersebut yang duduk pada kursi yang sesuai dengan namanya, maka buktikan bahwa kita dapat memutar kursi sedemikian sehingga sedikitnya 2 orang tamu akan duduk pada kursi yang sesuai dengan namanya. (ii) Berikan contoh sebuah susunan sehingga hanya satu orang tamu yang duduk pada kursi yang sesuai dengan namanya dan bila kursi tersebut diputar tidak akan ada tamu yang duduk sesuai namanya lebih dari satu orang.
Jawab:
