1. Bevezet´ es 1.1. Differenci´ alegyenletek ´ es azok megold´ asai Differenci´alegyenlet alatt olyan f¨ uggv´eny egyenleteket ´ert¨ unk, melyekben f¨ uggetlen v´altoz´ok, f¨ uggv´enyek ´es azok deriv´altjai szerepelnek. Legegyszer˝ ubb differenci´alegyenletnek az y 0 = f (x), x ∈ [a, b],
(1.1)
alak´ u egyenletek, ahol f adott folytonos f¨ uggv´eny. A k´erd´est ebben az esetben, u ´gy is megfogalmazhatjuk, hogy melyik az az y f¨ uggv´eny amelyet ha deriv´alunk, a deriv´al´as eredm´enye az f f¨ uggv´eny lesz. Ennek a feladatnak a fontoss´ag´ara az al´abbi p´elda h´ıvja fel a legjobban a figyelmet: 1.1. P´ elda. Egy aut´o folytonosan halad egy egyenesvonal´ uu ´ton. A megtett u ´tat az id˝o f¨ uggv´eny´eben k´epzelj¨ uk el.
Feladatunk, hogy nyerj¨ unk inform´aci´ot a t0 id˝o pillanatban az aut´o sebess´eg´er˝ol. Ha az utat u ´gy k´epzelj¨ uk el mint az id˝o f¨ uggv´enye, akkor a fenti ´abr´ar´ol is vil´agosan l´atszik, hogy a T pontig az aut´o d(t0 ) t´avols´agot tesz meg (a kiindul´asi pontt´ol). Mivel egy´eb inform´aci´oval nem rendelekez¨ unk csak azzal, hogy mekkora utat tesz meg egy adott ideig, ez´ert a strat´egia amivel dolgozunk, hogy ”kicsi” id˝o eltelt´evel u ´jra megm´erj¨ uk a megtett u ´t hossz´at, ez azt jelenti, hogy d(t0 + ∆t) tett¨ unk meg az U pontig (ahol ∆t kicsi). Ekkor a T U szakaszon megtett u ´t hossza d(t0 + ∆t) − d(t0 ), m´ıg az eltelt id˝o ∆t, ez´ert a sebess´eg (´atlag sebess´eg) a T U szakaszon a k¨ovetkez˝o k´eplettel fejezhet˝o ki: d(t0 + ∆t) − d(t0 ) . ∆t Ez a sz´am akkor k¨ozel´ıti meg a legjobban a t0 id˝opillanatban a pillanatnyi sebess´eget, ha a ∆t nagyon kicsi (azaz ∆t → 0), ez´ert, felhaszn´alva a deriv´al´as ´ertelmez´es´et: v=
d(t0 + ∆t) − d(t0 ) = d0 (t0 ). ∆t→0 ∆t
v(t0 ) = lim
X 1
L´athajuk, hogy a fenti p´eld´aban, ha a sebess´eget megadjuk az id˝o f¨ uggv´eny´eben ´es kiv´ancsiak vagyunk az megtett u ´tra, akkor pontosan az (1.1) feladathoz jutottunk vissza. Egy differenci´alegyenletet k¨ oz¨ ons´ eges differenci´ alegyenlet nevez¨ unk, ha a benne lev˝o ismeretlen f¨ uggv´eny egy val´os vagy komplex v´altoz´ot´ol f¨ ugg (azaz az y f¨ uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´anya R vagy C). A differenci´alegyenletet parci´ alis differenci´ alegyenletnek nevezz¨ uk, ha az ismeretlen f¨ uggv´eny t¨obb N v´altoz´ot´ol f¨ ugg (ebben az esetben az ´ertelmez´esi tartom´any lehet R , N a t´er dimenzi´oja). A differenci´alegyenlet els˝o els˝orend˝ u, ha az tartalmazza az ismeretlen f¨ uggv´eny deriv´altj´at, de nem tartalmazza annak egyetlen magasabb rend˝ u deriv´altj´at sem. Egy differenci´alegyenlet m´asodrend˝ u ha tartalmazza az ismeretlen f¨ uggv´eny m´asodrend˝ u deriv´altj´at (tartalmazhatja az els˝o deriv´altj´at is) de nem tartalmazza annak magasabb rend˝ u deriv´altjait. Egy n-ed rend˝ u egyenletet a k¨ovetkez˝o alakban ´ırhatunk fel: F (x, y, y 0 , y 00 , ..., y (n) ) = 0,
(1.2)
ahol F valamely Ω ⊂ Rn+2 tartom´anyon ´ertelmezett val´os vagy komplex f¨ uggv´eny. Az (1.2) egyenlet megold´asain valamely I ⊂ R intervallumon, olyan y : I → R(C) f¨ uggv´enyeket ´ert¨ unk amelyekre: (i) y ∈ C n (I) (az y f¨ uggv´eny n-szer folytonosan differenci´alhat´o); (ii) (x, y(x), y 0 (x), y 00 (x), ..., y (n) (x)) ∈ Ω, ∀x ∈ I; (iii) F (x, y(x), y 0 (x), y 00 (x), ..., y (n) (x)) = 0, ∀x ∈ I. Az (1.2) egyenlet megold´asainak tanulm´anyoz´asa szempontj´ab´ol nagy el˝ony ha az n-ed rend˝ u deriv´altat 0 (n−1) ki tudjuk fejezni az egyenletb˝ol, az x, y, y , ..., y seg´ıts´eg´evel, azaz (1.2) egyenlet helyett a k¨ovetkez˝o egyenletet tekintj¨ uk: y (n) = f (x, y, y 0 , y 00 , ..., y (n−1) ), ∀x ∈ I. (1.3) A fenti egyenlet megold´as´at hasonl´oan ´ertelmezhetj¨ uk, mint az ´altal´anos esetben. 1.2. P´ elda. Legyen F (x, y, z) = x + yz egy h´aromv´altoz´os f¨ uggv´eny. Ekkor a differenci´alegyenlet a k¨ ovetkez˝o alakot ¨olti: x + y · y 0 = 0, azaz
x y 0 = − , y 6= 0. y
Egyszer˝ u helyettes´ıt´essel bel´athatjuk, hogy √ √ y1 = − R2 − x2 , y2 = R2 − x2 alak´ u f¨ uggv´enyek megold´asai a megadott differenci´alegyenletnek a (−R, R) intervallumon. A tov´abbiakban c´elunk, hogy adjunk, n´eh´any egyszer˝ ubb t´ıpusra megold´asi m´odszert.
2
X
2. Egyszer˝ u egyenletek 2.1. Sz´ etv´ alaszthat´ o v´ altoz´ oj´ u differenci´ alegyenletek A legegyszer˝ ubb differenci´alegyenlet amint m´ar l´attuk a bevezet˝oben is, az y 0 (x) = f (x), x ∈ I alak´ u, ahol f : I → R adott folytonos f¨ uggv´eny, egy I ⊂ R intervallumon, ahol I lehet korl´atos, nem korl´atos, z´art, ny´ılt vagy f´elig z´art. Az ilyen t´ıpus´ u egyenletekr˝ol m´ar hallottunk k¨oz´episkol´as tanulm´anyaink sor´an. Ugyanis az ilyen egyenletek megold´asa nem jelent t¨obbet mint meghat´arozni az f (x) f¨ uggv´eny primit´ıv f¨ uggv´enyeit. Teh´at, ha F (x) az f (x) f¨ uggv´eny egy primit´ıv f¨ uggv´enye, akkor y(x) = F (x) + c. 2.1. Feladat. Oldjuk meg a k¨ovetkez˝o differenci´ alegyenleteket: 1. y 0 (x) = sin(x);
3. y 0 (x) = ctg(x); √ 4. y 0 (x) = x 1 + x2 .
2. y 0 (x) = ln x;
1. ´abra. Megold´as
Megold´ as. Ezen feladatok megold´asa nem jelent m´as mint kisz´am´ıtani a jobb oldalon lev˝o f¨ uggv´enyek egy primit´ıv f¨ uggv´eny´et. R 1. Vil´agos, hogy ki kell sz´am´ıtanunk sin(x)dx integr´alt. Teh´at: Z y(x) = sin(x)dx = − cos(x) + c. 2. Hasonl´oan mint a fenti esetben: Z Z Z 1 y(x) = ln xdx = 1 ln xdx = x ln x − x dx = x ln x − x + c. x Megjegyezend˝o, hogy itt felhaszn´altuk a parci´alis integr´al´as k´eplet´et: Z
Z
0
f (x)g(x)dx = f (x)g(x) −
f (x)g 0 (x)dx. (2.1)
3. Ebben az esetben Z y(x) =
Z ctg(x)dx =
cos(x) dx = sin(x) 3
Z
(sin(x))0 dx = ln | sin(x)| + c. sin(x)
Ennek a feladatnak a megold´asa sor´an felhaszn´altuk, hogy Z
u0 (x) dx = ln |u(x)| + c. u(x)
4. Vil´agos, hogy Z y(x) =
(2.2)
√ x 1 + x2 dx.
Ekkor, elv´egezz¨ uk az t = 1 + x2 , v´altoz´o cser´et, ekkor dt = 2xdx, ´ıgy visszahelyettes´ıtve a fenti integr´alba: Z √ Z √ 3 2 32 2 1 1 t 1 (1 + x ) t= 3 +c= · + c. y(x) = x 1 + x2 dx = 3 2 2 2 2 2 A k¨ovetkez˝o t´ıpus´ u differenci´alegyenlet, amelyet tanulm´anyozni fogunk az a sz´etv´aszthat´o v´altoz´oj´ u differenci´alegyenletek, azaz a k¨ovetkez˝o t´ıpus´ u differenci´alegyenletek: ´ Ertelmez´ es. Azokat a differenci´alegyenleteket amelyek y 0 (x) =
dy = g(x)h(y) dx
(2.3)
alakban ´ırhat´ok fel, sz´ etv´ alaszthat´ o differenci´alegyenletnek nevezz¨ uk, vagy sz´ etv´ alaszthat´ o v´ altoz´ oj´ u differenci´alegyenletnek nevezz¨ uk.
Megold´ asi m´odszer. A tov´abbiakban vizsg´aljuk, meg hogy tudunk-e egy ´altal´anos m´odszert adni a sz´etv´alaszthat´o v´altoz´oj´ u differenci´alegyenletek megold´as´ara. Tekints¨ uk m´egegyszer az eredeti egyenletet: y 0 = g(x)h(y). Ekkor osszuk el az egynlet mindk´et oldal´at h(y)-nal: f (y)y 0 (x) = g(x), 1 f¨ uggv´enyt jel¨olt¨ uk. Ekkor ha integr´aljuk mindk´et oldalt, alakot kapjuk, ahol f (y) f¨ uggv´ennyel az h(y) akkor a k¨ovetkez˝ot figyelhetj¨ uk meg: Z Z 0 f (y(x))y (x)dx = g(x)dx.
4
Legyen ekkor y(x) = t, ´ıgy y 0 (x)dx = dt, azaz Z Z f (t)dt = g(x)dx. Legyenek most F illetve G a f illetve a g primit´ıv f¨ uggv´enyei. Ekkor a k¨ovetkez˝ot kapjuk: F (t) = G(x) + c, azaz figyelembe v´eve a t = y(x) helyettes´ıt´est: F (y(x)) = G(x) + c. F 2.1. P´ elda. Tekints¨ uk a k¨ovetkez˝o differenci´alegyenleteket: y 0 (x) = y 2 (x)xe3x+4y illetve y 0 (x) = y + ln(x), akkor k¨onnyen l´athat´o, hogy az els˝o egyenlet sz´etv´alaszthat´o differenci´alegyenlet, m´ıg a m´asodik egyenlet nem sz´etv´alaszthat´o v´altoz´oj´ u differenci´alegyenlet. Ugyanis g(x)
h(y)
y 0 (x) = y 2 (x)xe3x+4y = (xe3x ) · (y 2 e4y ) M´ıg a m´asik egyenlet eset´en nem tudjuk fel´ırni az y + ln(x) ¨osszeget olyan szorzat alakj´aban amelyben a t´enyez˝ ok x ´es y f¨ uggv´enyei, azaz g(x) · h(y) alakban. X A tov´abbiakban n´ezz¨ unk n´eh´any alkalmaz´ast az eddig ismertetett egyenletekre: 2.2. Feladat. Oldjuk meg a k¨ovetkez˝o differenci´alegyenleteket: 4
1. y 0 (x) = (1 + x)y; 0 y (x) = xy , 2. y(4) = −3. 0
x 6. y 0 (x) = − 1−y(x) 2;
7. y 0 (x) = 3x2 (1 + y(x)2 ); 8. y 0 (x) =
2
3. y (x) = y − 4; 2y (e − y) cos xy 0 (x) = ey sin(2x), 4. y(0) = 0. 0 √ y (x) = x y, 5. y(0) = 0.
9. 10.
5
3x2 +4x+2 ,x 2(y−1)
∈ [−2, ∞).
y 0 (x) = 2y 2 x, y(0) = 1. √ y 0 (x) = y, x ∈ [0, ∞) y(0) = 0.
A tov´abbiakban megmutatjuk n´eh´any feladat megold´as´at. Megold´ as. Ezen feladatokat a fenti m´odszer seg´ıts´eg´evel fogjuk megoldani. 1. Vil´agos, hogy az egyenlet a k¨ovetkez˝o alakba ´ırhat´o: y 0 (x) = 1 + x, y(x) amelyet integr´al´assal a k¨ovetkez˝o alakra hozhatjuk: Z Z 0 y (x) dx = (1 + x)dx. y(x) Felhaszn´alva az (2.2) ¨osszef¨ ugg´est: ln |y(x)| = x +
x2 x2 + c, ´ıgy y(x) = ±cex+ 2 . 2
2. Hasonl´oan j´arva el, mint az el˝oz˝o feladat eset´en: y(x)y 0 (x) = x, azaz
y 2 (x) x2 = + c. 2 2
Ekkor felhaszn´alva, hogy y(4) = −3, 16 9 = + c, 2 2 ekkor c = − 27 . Ekkor visszahelyettes´ıt´essel √ y(x) = ± x2 − 7, x ≥ 4. 3. Ebben az esetben is u ´gy j´arunk el mint az el˝oz˝oekben: y 0 (x) = 1, y 2 (x) − 4 azaz, alkalmazva az elemi t¨ortekre val´o felbont´ast 1 1 1 − y 0 (x) = 1, 4 y−2 y+2 ekkor integr´alva mindk´et oldalt 1 1 ln |y − 2| − ln |y + 2| = x + c1 , 4 4 a´trendezve a k¨ovetkez˝o ¨osszef¨ ugg´eshez jutunk: y − 2 = 4x + c2 , ln y + 2 6
ahol c2 = 4c1 jel¨ol´est vett¨ uk figyelembe. Az utols´o ¨osszef¨ ugg´est tov´abb alak´ıtva: y−2 = ±e4x+c2 , y+2 ekkor ism´et bevezetve a c = ±ec2 jel¨ol´est a k¨ovetkez˝o megold´ashoz jutunk: 1 + ce4x y(x) = 2 . 1 − ce4x Megjegyezend˝o, hogy ebben az esetben elvesztett¨ unk k´et darab megold´ast. Ugyanis, ha az eredeti egyenletben szerepl˝o jobb oldali kifejez´est t´enyez˝ok szorzat´ara ´ırjuk fel, akkor y 0 (x) = (y(x) − 2)(y(x) + 2), azaz ha y(x) = ±2 a´lland´o f¨ uggv´enyeket tekintj¨ uk, akkor ezen f¨ uggv´enyek kiel´eg´ıtik az eredeti egyenletet.
K´ epletek els˝ o r´ esz Deriv´ alhat´ os´ ag ´ Ertelmez´ es. Legyen f : A → R f¨ uggv´eny. Ekkor az f f¨ uggv´eny deriv´alhat´onak (differenci´alhat´onak) nevezz¨ uk, ha l´etezik ´es v´eges a lim
x→x0
f (x0 + h) − f (x0 ) f (x) − f (x0 ) <∞ = lim h→0,x0 +h∈A x − x0 h
hat´ar´ert´ek. Ekkor az f f¨ uggv´eny deriv´altj´at f 0 (x0 )-val jel¨olj¨ uk, melynek ´ert´eke: f 0 (x0 ) = lim
x→x0
f (x) − f (x0 ) x − x0
Hasonl´oan ´ertelmezhet˝o a jobb ´es baloldali deriv´alt fogalma is: fl0 (x0 ) =
lim
x→x0 ,x<x0
´es
f (x) − f (x0 ) x − x0
f (x) − f (x0 ) x→x0 ,x>x0 x − x0 . Ekkor vil´agos, hogy f 0 (x0 ) l´etezik ha fs0 (x0 ) = fd0 (x0 ), ´es f 0 (x0 ) = fs0 (x0 ) = fd0 (x0 ). Tov´abbiakban n´eh´any k¨oz´episkolai tanulm´anyokb´ol ismert k´epletet szeretn´enk feleleven´ıteni. fr0 (x0 ) =
lim
7
T´ etel (Deriv´al´asi szab´alyok). Legyenek f, g : A ⊂ R → R deriv´alhat´o f¨ uggv´enyek az x ∈ A pontban. Ekkor ´erv´enyesek az al´abbi dervi´al´asi szab´alyok: • (f + g)0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x) (¨osszeg deriv´altja); • (cf )0 (x) = cf 0 (x), minden c ∈ R eset´en; • (f · g)0 (x) = f 0 (x) · g(x) + g 0 (x) · f (x) (szorzat deriv´altja); 0 0 0 (x)f (x) (x) • ha g(x) 6= 0, fg(x) (x) = f (x)g(x)−g (h´anyados deriv´altja); g 2 (x) • ha f : I → J, g : J → R, f deriv´alhat´o az x0 ∈ I-ben ´es g deriv´alhat´o y0 = f (x0 ), akkor (g ◦ f )0 (x0 ) = g 0 (y0 )f 0 (x0 ); • ha f : I → J folytonos, bijekt´ıv, deriv´alhat´o x0 , u ´gy, hogy f 0 (x0 ) 6= 0, akkor f −1 : J → I deriv´alhat´o az y0 pontban, y0 = f (x0 ) ´es 0 f −1 (y0 ) =
1 f 0 (x
0)
A tov´abbiakban vizsg´aljuk meg az alapf¨ uggv´enyeink deriv´altjait. Elemi f¨ uggv´ enyek deriv´ altjai 1. f (x) = c akkor f 0 (x) = 0; 2. f (x) = xn , n ∈ N akkor f 0 (x) = nxn−1 ; 3. f (x) = xr , r ∈ R, x > 0 akkor f 0 (x) = rxr−1 ; √ 4. f (x) = x, x > 0 akkor f 0 (x) = 2√1 x ; 5. f (x) = ln(x), x > 0 akkor f 0 (x) = x1 ; 6. f (x) = ax , a 6= 1, a > 0, x > 0 akkor f 0 (x) = ax ln(a); 7. f (x) = ex akkor f 0 (x) = ex ; 8. f (x) = sin(x) akkor f 0 (x) = cos(x); 9. f (x) = cos(x) akkor f 0 (x) = − sin(x); 8
.
10. f (x) = tan(x), x 6= (2k + 1) π2 , k ∈ Z akkor f 0 (x) = 11. f (x) = cot(x), x 6= kπ, k ∈ Z akkor f 0 (x) =
−1 ; sin2 (x)
12. f (x) = arcsin(x), x ∈ [0, 1] akkor f 0 (x) =
√ 1 ; 1−x2
13. f (x) = arccos(x), x ∈ [0, 1] akkor f 0 (x) =
√ −1 ; 1−x2
14. f (x) = arctan(x) akkor f 0 (x) =
1 ; cos2 (x)
1 . 1+x2
¨ Osszetett f¨ uggv´ eny deriv´ altja Ebben a r´eszben, olyan o¨sszetett f¨ uggv´enyek deriv´altjait soroljuk fel, amelyeket nagy hasznoss´aggal tudjuk felhaszn´alni a differenci´alegyenletek tanulm´anyoz´asa sor´an. Legyen u egy f¨ uggv´eny. Ekkor ´erv´enyesek: 1. f (u) = c eset´en f 0 (u) = 0; 2. f (u) = un , n ∈ N eset´en f 0 (u) = nun−1 · u0 ; 3. f (u) = ur , r ∈ R, u > 0 eset´en f 0 (u) = rur−1 · u0 ; √ 4. f (u) = u, u > 0 akkor f 0 (u) = 2√1 u · u0 ; 5. f (u) = ln(u), u > 0 akkor f 0 (u) =
1 u
· u0 ;
6. f (u) = au , a 6= 1, a > 0, u > 0 akkor f 0 (u) = au ln(a) · u0 ; 7. f (u) = eu eset´en f 0 (u) = eu · u0 ; 8. f (u) = sin(u) akkor f 0 (u) = cos(u) · u0 ; 9. f (u) = cos(u) eset´en f 0 (u) = − sin(u) · u0 ; 10. f (u) = tan(u), cos(u) 6= 0, akkor f 0 (u) = 11. f (u) = cot(u), sin(u) 6= 0 akkor f 0 (u) =
1 cos2 (u)
−1 sin2 (u)
· u0 ;
· u0 ;
12. f (u) = arcsin(u), u ∈ [0, 1] akkor f 0 (u) =
√ 1 1−u2
· u0 ;
13. f (u) = arccos(u), u ∈ [0, 1] akkor f 0 (u) =
√ −1 1−u2
· u0 ;
14. f (u) = arctan(u) akkor f 0 (u) =
1 1+u2
· u0 .
9
