Folyásgörbe felvétele 1. Folyásgörbe felvétele hengeres próbatest egytengelyű húzó-igénybevételével Egytengelyű húzó-igénybevétel biztosítható a szakítóvizsgálatnál az egyenletes nyúlás határáig, vagy másképpen megfogalmazva a maximális erő értékéig. A folyásgörbe felvételénél a mérés során rögzíteni kell a megnyúlás / ∆L /, illetve a hozzátartozó erő / F / értékeit, vagyis az erő – út diagram kiválasztott adatait. Az egyenletes nyúlás határáig felvett erő – út diagram adatait mindenki a névsor szerinti saját sorszámának megfelelően megtalálja az adatok_húzó könyvtárban. Például a századik hallgató kiértékelendő adathalmaza: 100.csv . A fájl nevére / 100.csv / duplán kattintva az adathalmaz Excel táblázatban jelenik meg ömlesztett formában, amit oszlopossá kell átalakítani. Az átalakított oszlopokban megjelenő - adatokat 1. ábra bal oldali részén láthatjuk. A számadatok normál / tudományos / alakban jelennek meg, amiket célszerű általános formájú alakra hozni / Lásd 1. ábra jobb oldali részén /. Az átalakítás menete: A számadatok kijelölése ►Jobb egérgomb lenyomása a kijelölt adatoknál ►Cellaformázás ►Általános. A kiinduló próbatest méretei egységesen: átmérő D 0 = 10 mm , kiértékelési hossz L 0 = 50 mm . út
erő
0.00E+00
0.00E+00
2.50E-01
2.15E+04
5.00E-01
2.12E+04
1.00E+00
2.94E+04
1.50E+00
3.21E+04
2.00E+00
3.40E+04
2.50E+00
3.56E+04
3.00E+00
3.67E+04
3.50E+00
3.77E+04
4.00E+00
3.85E+04
4.50E+00
3.92E+04
5.00E+00
3.98E+04
5.50E+00
4.03E+04
6.00E+00
4.08E+04
6.50E+00
4.11E+04
7.00E+00
4.15E+04
7.50E+00
4.17E+04
8.00E+00
4.20E+04
8.50E+00
4.22E+04
9.00E+00
4.24E+04
9.50E+00
4.25E+04
1.00E+01
4.26E+04
1.05E+01
4.27E+04
1.10E+01
4.28E+04
1.15E+01
4.29E+04
1.20E+01
4.29E+04
1.25E+01
4.30E+04
1.30E+01
4.30E+04
1.35E+01
4.30E+04
1.36E+01
4.30E+04
út 0 0.25 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5 13.562
1. ábra A rendelkezésre álló adatok szemléltetése
erő 0 21461 21246 29439 32095 33985 35551 36742 37726 38539 39170 39803 40313 40751 41129 41455 41736 41977 42184 42360 42508 42632 42734 42816 42880 42927 42960 42980 42987 42987
Feladatok: 1. Az adatok alapján Excel táblázatkezelő segítségével rajzolja le az egyenletes nyúlás határáig az erő - út diagramot! 2. A közölt értékek alapján vegye fel a folyásgörbe Nádai - féle matematikai alakját a szélső pontok felhasználásával! Ezt a kiadott adatok alapján otthon, a számítógépes kiértékelő gyakorlat előtt kell meghatározni! 3. Határozza meg a folyásgörbe Nádai - féle matematikai alakját regressziószámítással! Ezt a feladatot a számítógépes kiértékelő gyakorlaton oldják meg. 4. Hasonlítsa össze az egyenletes nyúlás határához tartozó összehasonlító alakváltozást a keményedési kitevő értékével! 5. A közölt értékek, illetve a folyásgörbe matematikai alakjának felhasználásával határozza meg az anyag szakítószilárdságát! 6. Kiértékelés / A vizsgált anyag minősítése a terhelhetőség és az alakíthatóság szempontjából, az eredményekből levonható következtetések, az eredményeket befolyásoló tényezők, a modellezés kritikája stb. /
Megoldás:
1. Az erő – út diagram megrajzolása. A diagramot a 2. ábrának megfelelő alakban kérjük elkészíteni.
A diagram készítéséhez használjuk diagramvarázslót közül válasszuk a pont
össze
.
, az ábrázolási lehetőségek
alaptípust és a pontokat görbített vonalakkal kössük
Erő-út diagram a kontrakció kezdetéig 50000
F erő [N]
40000 30000 erő 20000 10000 0 0
5
10
15
dL elmozdulás [mm]
2. ábra A folyásgörbe felfogható egy keményedési diagramnak is. Az egyenletes keményedés az anyag folyáshatára után értelmezhető csak, ezért a kiértékelést a bemutatott diagramnál / 2. ábra / csak a negyedik pont értékeivel / ∆L= 1 mm, F= 29439 N / kezdjük. 2. A folyásgörbe Nádai – féle matemaktikai alakjának meghatározása a szélső értékek alapján Mint ismeretes a folyásgörbe az alakítási szilárdság / k f / értékét ábrázolja az összehasonlító alakváltozás ϕö függvényében. Nádai szerint a folyásgörbék / és általában a keményedési görbék / matematikailag gyakran jól leírhatók hatványfüggvénnyel:
k = a ϕö n , f
( 1)
ahol n a keményedési kitevő, az a pedig az alakítási szilárdság értéke ϕö = 1 esetén. A hatványfügg konkrét megadásához tulajdonképpen az n és az a értékeket kell meghatározni. Az n és az a értéke közelítőleg meghatározható az erő – út diagram két kiválasztott pontja alapján. Az egyik kiválasztott pont legyen mindig a folyáshatárt követő pont / pl.: ∆L= 1 mm, F= 29439 N /, a másik pedig a maximális erőnek megfelelő pont / pl.: ∆L= 13.562 mm, F= 42987 N /. A ∆L , F érték-párok alapján először a kiválasztott pontokhoz tartozó ϕö összehasonlító alakváltozás, illetve k alakítási szilárdság értékét kell meghatározni. f Az összehasonlító alakváltozás hosszméretváltozással.
értéke
ϕö = ϕL = ln
izotróp
anyagoknál
L 0 + ∆L L = ln L0 L0
kifejezhető
csupán
a (2)
Az alakítási szilárdság megadható a redukált feszültség ismeretében. Egytengelyű húzóigénybevételnél a redukált feszültség értéke megegyezik a valódi húzófeszültség értékével: F k = , f A
(3)
A pillanatnyi F erőhöz tartozó A keresztmetszet a térfogat-állandóság alapján számítható. A L = AL . 0 0 A=
A L A L 0 0 = 0 0 L L + ∆L 0
(4)
Figyelembe véve a (3, 4) összefüggéseket: k
f
=
F ( L + ∆L) 0 . A L 0 0
Behelyettesítve a (2) összefüggésbe az összehasonlító alakváltozások értékei:
ϕ ö1 = ϕ L1 = ln
ϕ ö 2 = ϕ L 2 = ln
L 0 + ∆L1 50 + 1 = ln = 0.0198 L0 50
L 0 + ∆L 2 50 + 13.562 = ln = 0.239 L0 50
Az alakítási szilárdságok értékei: k
f1
k f2 =
=
F1 (L + ∆L ) 29439 (50 + 1) N 0 1 = = 382.33 2 A L 10 π mm 2 0 0 0 50 4
F2 (L + ∆L ) 42987 (50 + 13.562) N 0 2 = = 695.78 A L 102 π mm 2 0 0 0 50 4
Felírva a Nádai - féle összefüggést a két pontra, majd azokat logaritmizálva:
lg k
= lg a + n lg ϕ f1 1
(5)
lg k
f2
= lg a + n lg ϕ
2
A két egyenletből kifejezve az n, majd az a értékét:
n=
a=
− lg k f2 f 1 = lg 695.78 − lg 382.33 ≅ 0.24 lg 0.239 − lg 0.0198 lg ϕ − lg ϕ 2 1
lg k
(8)
k
f 1 = 382.33 ≅ 980 N n 0.01980.24 mm 2 ϕ 1
a=
(9)
k
f 2 = 695.78 ≅ 980 N n 0.2390.24 mm 2 ϕ 2
Tehát a folyásgörbe Nádai-féle matematikai alakja kér mérési pont adataival meghatározva: k f = a ϕ n = 980 ϕ 0.24
3. A folyásgörbe matematikai alakjának meghatározása regresszió számítással. A kiértékeléshez Maple programot használunk, melyet a tájékoztatás kedvéért az alábbiakban közlünk.
A hengeres próbatest kiinduló átmérője, illetve hossza: > D0:=10.0;L0:=50.0; D0 := 10.0 L0 := 50.0
Adja meg az erők kiválasztott értékeit! A kiválasztott értékek száma legalább 10 legyen. Az értékek között használjon vesszőt, a legvégén pontosvesszőt! pl.: > F:=[29439, 32095, 33985, 35551, 36742, 37726, 38539, 39170, 39803, 40313, 40751, 41129, 41455, 41736, 41977, 42184, 42360, 42508, 42632, 42734, 42816, 42880, 42927, 42960, 42980, 42987, 42987];
Az alábbi sor átírható! > F:=[29439, 32095, 33985, 35551, 36742, 37726, 38539, 39170, 39803, 40313, 40751, 41129, 41455, 41736, 41977, 42184, 42360,
42508, 42632, 42734, 42816, 42880, 42927, 42960, 42980, 42987, 42987]; F := [ 29439, 32095, 33985, 35551, 36742, 37726, 38539, 39170, 39803, 40313, 40751, 41129, 41455, 41736, 41977, 42184, 42360, 42508, 42632, 42734, 42816, 42880, 42927, 42960, 42980, 42987, 42987 ]
Adja meg a megnyúlások kiválasztott értékeit! Az értékeket három tizedes pontossággal kérjük megadni! Az értékek száma a megadott erőértékek számának felel meg. pl. dL:=[1, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 3.5, 4.0, 4.5, 5.0, 5.5, 6.0, 6.5, 7.0, 7.5, 8.0, 8.5, 9.0, 9.5, 10.0, 10.5, 11.0, 11.5, 12.0, 12.5, 13.0, 13.5, 13.562]; --az alábbi sor átírható! > dL:=[1, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 3.5, 4.0, 4.5, 5.0, 5.5, 6.0, 6.5, 7.0, 7.5, 8.0, 8.5, 9.0, 9.5, 10.0, 10.5, 11.0, 11.5, 12.0, 12.5, 13.0, 13.5, 13.562]; dL := [ 1, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 3.5, 4.0, 4.5, 5.0, 5.5, 6.0, 6.5, 7.0, 7.5, 8.0, 8.5, 9.0, 9.5, 10.0, 10.5, 11.0, 11.5, 12.0, 12.5, 13.0, 13.5, 13.562 ]
Több adatot nem kell megadni, csak végig kell a programot lépésről lépésre futtatni! > with(stats); [ anova , describe , fit , importdata , random , statevalf , statplots , transform ]
A próbatest hossza, szélessége egységesen adott! / Lásd segédlet! / > ls:=[]:lkf:=[];lf:=[];lxy:=[]; lkf := [ ] lf := [ ] lxy := [ ] > for i from 1 to nops(F) do F1:=F[i]:B1:=B[i]:dL1:=dL[i]: #print(F1):#print(B1):print(dL1): L1:=L0+dL1:A0:=D0*D0*Pi/4:A1:=A0*L0/L1:kf1:=evalf(F1/A1); fL:=log(L1/L0);f1:=fL; lkf:=[op(lkf),op([kf1])]; lf:=[op(lf),op([f1])];od: > print(lkf); [ 382.3255693, 420.9056187 , 450.0188775 , 475.2818600, 495.8824938 , 513.9663151, 529.9492911 , 543.6134432 , 557.4662894, 569.7419739 , 581.1207883, 591.7478822 , 601.7164566 , 611.1091447 , 619.9826057, 628.4109422 , 636.4262398, 644.0621120 , 651.3689791 , 658.3684862 , 665.0832969, 671.5370935 , 677.7387886, 683.7296353 , 689.5203288 , 695.1059033 , 695.7845894 ] > print(lf);
[ 0.01980262730 , 0.02955880224 , 0.03922071315 , 0.04879016417 , 0.05826890812 , 0.06765864847 , 0.07696104114 , 0.08617769624 , 0.09531017980 , 0.1043600153 , 0.1133286853 , 0.1222176327 , 0.1310282624 , 0.1397619424 , 0.1484200051 , 0.1570037488 , 0.1655144385 , 0.1739533071 , 0.1823215568 , 0.1906203596 , 0.1988508587 , 0.2070141694 , 0.2151113796 , 0.2231435513 , 0.2311117210 , 0.2390169005 , 0.2399928021 ] > loglkf:=map(proc(x) evalf(log(x)) end proc, lkf); loglkf := [ 5.946272521 , 6.042408625, 6.109289532 , 6.163908018, 6.206338991 , 6.242157728 , 6.272781325 , 6.298238412, 6.323402034 , 6.345183581, 6.364958632 , 6.383080670 , 6.399786332 , 6.415275576, 6.429691422 , 6.443194319, 6.455868527 , 6.467795169 , 6.479076270 , 6.489764784, 6.499912291 , 6.509569254, 6.518761946 , 6.527562569 , 6.535996180 , 6.544064213, 6.545040114 ] > loglf:=map(proc(x) evalf(log(x)) end proc, lf); loglf := [ -3.921940658 , -3.521373703 , -3.238550275 , -3.020226540 , -2.842686636 , -2.693280091 , -2.564455944 , -2.451343879 , -2.350618656 , -2.259908672 , -2.177462963 , -2.101951949 , -2.032342236 , -1.967814715 , -1.907709152 , -1.851485596 , -1.798696846 , -1.748968366 , -1.701983355 , -1.657471475 , -1.615200189 , -1.574968037 , -1.536599340 , -1.499939987 , -1.464854045 , -1.431221016 , -1.427146347 ] > e:=fit[leastsquare[[x,y], y=a*x+b]]( [loglf,loglkf]); e := y = 0.2399059628 x + 6.887419966 > kf_log:=rhs(e);
kf_log := 0.2399059628 x + 6.887419966
> lxy0:=[]; lxy0 := [ ] > for j from 1 to nops(loglf) do v:=loglf[j]; w:=loglkf[j]; lxy0:=[op(lxy0),[op([v]),op([w])]]; od: > lxy0;
[ [ -3.921940658 , 5.946272521 ], [ -3.521373703 , 6.042408625 ], [ -3.238550275 , 6.109289532 ], [ -3.020226540 , 6.163908018 ], [ -2.842686636 , 6.206338991 ], [ -2.693280091 , 6.242157728 ], [ -2.564455944 , 6.272781325 ], [ -2.451343879 , 6.298238412 ], [ -2.350618656 , 6.323402034 ], [ -2.259908672 , 6.345183581 ], [ -2.177462963 , 6.364958632 ], [ -2.101951949 , 6.383080670 ], [ -2.032342236 , 6.399786332 ], [ -1.967814715 , 6.415275576 ], [ -1.907709152 , 6.429691422 ], [ -1.851485596 , 6.443194319 ], [ -1.798696846 , 6.455868527 ], [ -1.748968366 , 6.467795169 ], [ -1.701983355 , 6.479076270 ], [ -1.657471475 , 6.489764784 ], [ -1.615200189 , 6.499912291 ], [ -1.574968037 , 6.509569254 ], [ -1.536599340 , 6.518761946 ], [ -1.499939987 , 6.527562569 ], [ -1.464854045 , 6.535996180 ], [ -1.431221016 , 6.544064213 ], [ -1.427146347 , 6.545040114 ] ] > plot([kf_log, lxy0], x=-4..-1, color=[red,blue], style=[line,point],labels=["log_fi", "log_kf"],thickness=[3,1],font= [TIMES, ROMAN,15]);
> loga:=subs(x=0,kf_log);
loga := 6.887419966 > kn:=kf_log-loga; kn := 0.2399059628 x > n:=subs(x=1,kn); n := 0.2399059628 > a:=exp(loga); a := 979.8700551
A folyásgörbe matematikai alakja: > kf:=a*x^n;
kf := 979.8700551 x 0.2399059628 > ki:=convert(kf,string); ki := "979.8700551*x^.2399059628" > out:=cat("kf = ",ki); out := "kf = 979.8700551*x^.2399059628" > lxy:=[]; lxy := [ ] > for j from 1 to nops(lf) do v:=lf[j]; w:=lkf[j]; lxy:=[op(lxy),[op([v]),op([w])]]; od: > lxy; [ [ 0.01980262730 , 382.3255693 ], [ 0.02955880224 , 420.9056187 ], [ 0.03922071315 , 450.0188775 ], [ 0.04879016417 , 475.2818600 ], [ 0.05826890812 , 495.8824938 ], [ 0.06765864847 , 513.9663151 ], [ 0.07696104114 , 529.9492911 ], [ 0.08617769624 , 543.6134432 ], [ 0.09531017980 , 557.4662894 ], [ 0.1043600153 , 569.7419739 ], [ 0.1133286853 , 581.1207883 ], [ 0.1222176327 , 591.7478822 ], [ 0.1310282624 , 601.7164566 ], [ 0.1397619424 , 611.1091447 ], [ 0.1484200051 , 619.9826057 ], [ 0.1570037488 , 628.4109422 ], [ 0.1655144385 , 636.4262398 ], [ 0.1739533071 , 644.0621120 ], [ 0.1823215568 , 651.3689791 ], [ 0.1906203596 , 658.3684862 ], [ 0.1988508587 , 665.0832969 ], [ 0.2070141694 , 671.5370935 ], [ 0.2151113796 , 677.7387886 ], [ 0.2231435513 , 683.7296353 ], [ 0.2311117210 , 689.5203288 ], [ 0.2390169005 , 695.1059033 ], [ 0.2399928021 , 695.7845894 ] ] > plot([kf, lxy], x=0.01..1, color=[red,blue], style=[line,point],thickness=[3,2],title=out,font= [TIMES, ROMAN,15],numpoints=2,view=[0..1,0..1000]);
Ha a végére ért, kattintson a restart sorra, majd újból használhatja a programot! > restart; >
A regressziószámítás eredménye gyakorlatilag megegyezik a kétpontos módszer adta eredménnyel / k f = a ϕ n = 980 ϕ 0.24 /. A megegyezés annak is köszönhető, hogy az adathalmaz nem valós mért értékeket tartalmaz, hanem azokat a számítógép segítségével generáltuk.
4. Az egyenletes nyúlás határához tartotó összehasonlító alakváltozás és a keményedési kitevő összehasonlítása Az egyenletes nyúlás határánál / a maximális erő értékénél / az összehasonlító alakváltozás értéke ϕe = 0.239 A keményedési kitevő értéke pedig n=0.24 Az szakirodalom alapján ismerjük, hogy n ≈ ϕ e Ez az adott feladatnál is teljesül.
> A0:=10^2*Pi/4;
A0 := 25 π
> Rm:=evalf(42987/A0); Rm := 547.3274830 > e:=exp(1); e := e > evalf(980*(0.24/e)^0.24); 547.3260237
5. Szakítószilárdság értéke a diagram alapján
F N 4 ⋅ 42987 R m = max = = 547.3 2 A 10 π mm 2 0 Szakítószilárdság a folyásgörbe matematikai alakjának felhasználásával az egyenletes nyúlás határánál / ϕ = ϕ = n /:
ö
e
k
f2
=
F2 (L + ∆L ) F L ϕ 0 2 = 2 2 = Rm e e A L A L 0 0 0 0
k
f2
= a ϕe n = a n n
Amiből
0.24 n nn N 0.24 n R m= a = a = 980 = 547.3 e e en mm 2 Tehát a folyásgörbe matematikai alakja alapján meghatározható a szakítószilárdság értéke.
6. A kapott eredmények kiértékelése
