02-9
PENDUGAAN DENGAN 2 KONDISI KETAKBIASAN PADA TEKNIK COKRIGING
NUNUNG NURSAID
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN LLMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2002
RINGKASAN NUNUNG NURSALD. Pendugaan dengan 2 Kondisi Ketakhiasan pada Teknik Cokrigirig. Dibimbing oleh MUHAMMAD NUR AID1 dan RETNO BUDIARTI. Data spasial adalah data yang dikumpulkan dari lokasi-lokasi yang saling berkorelasi satu sama lain. Persoalan yang ada pada data spasial adalah sulit melakukan pengukuran pada sernua lokasi karena lokasi bersifat kontinu. Oleh karena itn pendugaan titik-titik yang tidak dilaknkan pengukuran sangatlah penting. Salah satu ilustrasi dalam masalal~nyata adalah dalam industri minyak. Dipmeter mengukur lubang dan mencari kedalaman, juga terdapat beberapa parameter seperti sifat menyerap (porosily), perrneabilitas dan kejenuhan cairan yang bergantung pada kedalaman. Dalam tulisan ini akan dibahas pendugaan data spasial m e n ~ u n a k a nteknik cr~krighigyang dihadapkan pada dua masalah yaitu apakah akan menggunakan kondisi tak bias 1 atau menggunakan kondisi tak bias 2 sehingga ragam galat yang dihasilkan sekecil mungkin.
PENDUGAAN DENGAN 2 KONDISI KETAKBIASAN PADA TEKNIK COKRIGING
NUNUNG NURSAID
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTlTUT PERTANlAN BOGOR BOGOR 2002
Judul Nama Nrp Jurusan
: Pendugaan dengan 2 Kondisi Ketakbiasan pada Teknik Cokrrging : Nunung Nursaid : GO5498022 : Matematika
Menyetujui,
Dr. Muhammad Nur Aidi. MS Peinbimbing I
Tanggal Lulus : 3 1 Agustus 2002
\ Ir. Retno Budiarti, MS Pembimbing I1
Penulis dilahirkan di Cirebon pada tanggal 26 Juni 1980 sebagai anak ke empat dari delapan bersaudara, anak dari Bapak Sukardi dan Ibu Enin Mu'minin. Tahnn 1992 penulis lulus dari SD Negeri Cipeujeuh Wetan IV Sindanglaut Cirebon, melanjutkan ke SLTP Negeri I Sindanglaut Cirebon dan lulus pada tahun 1995, dan melanjutkan ke SMU Negeri 6 Cirebon dan lulus pada tahun 1998. Pada tahun yang sama lulus seleksi ~iiasuk IPB melalui jalur Undanyan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis memilih program studi Matematika denyan minor Industri di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan llmu Pengetalioan Alam. Selama masih duduk di banyku kuliah, penulis penah menjadi Asisten Dosen untuk mata kuliah Pengalltar Matematika, Matenlatika Dasar, Kalkulus, Kalkulus I, dan Persalnaan Diferensial Biasa. Juga pernah mengajar di salah satu sekolah menengah di Bogor, pengajar di Bimbingan Belajar l'ri~ate Plus Nurul Ilmi Bogor, dan sekarang masih menjadi pengajar Matematika di Pusat Birnbingan Belajar Ganesha Operation cabang Jabotabek dan Depok. Tahun 2002 penulis melaksanakan praktek di bayiali Pusat Informasi Badan Pena~iggula~lgari Darnpak Lingkungan (BAPEDAL), Departemen Lingkungan Hidup dan rnendalami masalah penggunaan soji~~lore ArcView untuk nlembantu pemecahan penggunaan data spasial.
KATA PENGANTAR Alhamdulillah penulis panjatkan ke-hadirat Nlah SWT yang telah memberikan rahmat dan hidayah-Nya sehingga pada akhirnya penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini tepat pada waktunya. Dalam penyusunan tulisan ini, penulis banyak mendapatkan bantuan dari berbagai pihak baik secara langsung maupun tidak langsung. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih ysng tak terhingga kepada : I . Bapak Dr. Ir. Muhammad Nur Aidi, MS selaku Pemhimbing 1, Ibu Ir. Retno Budiani, MS selaku Pembimbing 2, juga Bapak Dr. I Wayan Mangku selaku dosen penguji. 2. Al-Ustadz K.H Ahmad Zaini Dahlan pimpinan ponpes N-Imdad yang telah membina jasmani dan rohani penulis selama lebih kurang 4 tahun. 3. Penulis nggak pernah lupa untuk ngucapin terima kasih buat anak Matematika 35 yaig chakep, centil, imut-imut tapi amit-amit '~orryPris kalo tersinggung), jrtfrkies, ,fmrky, keren abis, gaul, norak, ilyebelin, ngeselin seperti Syauqi yang masih jomblo, Matzech, Pris yang emosinya stabil, Herdyn, Madhi, [Mila (pembahas 11, Liana, Irma 000 yang udah ngebantuin ngumsin transparansi pas mo seminar tms nungguin ampe sidang beres], Lilo, Puji, Sarah (pernbahas 2), Yunita, Samsul, Kiky, [Hepy (pembahas 3), DenBakh yang udah ngasih semangat dan nasihat pas mo seminar tms ngasih tumpangan buat tidur waktu malam lum'at buat persiapan seminar], Berlin, Ingeu, Anna (makasih atas dorongannya yang sangat berarti bagi saya), Indra, Izma, lim, Desi, Dinah (thanks sudah pinjemin printer 0 ) , Imeh dan ... yang penulis tidak bisa sebutkan namanya disini, OK. Terima kasih sekali khususnya buat syauqi 35 yang sudah ngebantu mecahin masalah pake' komputernya yang udah ketinggalan kereta. 4. Mahasiswa Matematika angkatan 32, 33, 34, 36, 37 dan 38 yang sudah memberikan kritik dan saran yang membangun bagi penulis, yang sudah meminjamkan buku, dan yang memberikan semangat juang 45 agar penulis bisa lulus secepatnya. 5 . Juga makasih buat santri-santri N-Imdad yang udah banyak ngebantu ngetik, ngeprint, nerjemahin, ataupun hal-ha1 lain dalam penyelesaian tulisan ini seperti Aziz, Faiz, Hadi, BimBim, Khariz. Goten dan semuanya. 6. Juga buat keluarga di rumah yang udah ngasih biaya. Terima kasih penulis ucapkan dari lubuk hati yang paling dalan kepada semuanya temtama Bapak Sukardi, Ibu Enin, Mbak Renih, Mbak Liha, Mbak Atun, Dudi, Yani, Ayu, Toh Gugun, Mas ling, Mas Mul, A Ibro, Mang Aan, Bi Ayi, Baenah, Neneng, Adah, Nia dan yang lainnya yang tidak bisa penulis sebutkan satu per satu disini. Akhirnya penulis merasa bahwa tulisan ini masih banyak kekurangannya. Untuk itu penulis sangat mengharapkan sekali kritik dan saran yang membangun untuk perbaikan tulisan ini dari para pembaca. Sebelum dan sesudahnya penulis ucapkan terima kasih.
Bogor, Agustus 2002 Nunung Nursaid
DAFTAR IS1 Halaman PENDAHULUAN LANDASAN TEORl
.............................. 1
........................................................................................................... I
DRIFT COKRIGING
........................................................................................................... 2 ........................................................................................................... 2
PEMBAHASAN
........................................................................................................... 4
DAFTAR PUSTAKA
...........................................................................................................8
DAFTAR TABEL Tabel perbandingan ragam galat ... .. . . . . ... ... ... .. . . . . ... ... ... .., . .. ... ... ., , , .. ... ... ... .., , . . ... ... ..., 7 Tabel nilai coi~flric~n dan c~o.rs-co~~nrin~~ .. . . .. ... ... ... .. . ...... ... ... ., . ... ... ... ...... ... ... ., .... ... ... 12
DAFTAR LAMPRAN Bukti Teorema 1 Bukti Teorema 3 Bukti penyelesaian Persamaan 4
9 10 11
PENDAHULUAN Latar B e l a h ~ n g Data spasial adalah data yang dikumpulkan dari lokasi-lokasi yang saling berkorelasi satu sama lain. Selanjutnya, korelasi suatu peubah U dan lfmenggambarkan hubungan keeratan antara U dan K Persoalan yang ada pada data spasial adalah sulit melakukan pengukuran pada semua lokasi karena lokasi bersifat kontinu. Oleh karena itu, pendugaan pada titik-titik yang tidak dilakukan pengukuran sangatlah penting. Metode pendugaan banyak variasinya, diantaranya adalah : 1) Ordinary Kriging yaitu pendugaan suatu nilai peubah pada suatu titik tertentu yang dilakukan dengan mengamati data yang sejenis pada daerah lain. 2) BIok Kriging yaitu pendugaan rata-rata suatu nilai pada suatu area dan area tersebut dipecah-pecah menjadi area-area yang lebih kecil dimana suatu nilai menggambarkan nilai potongan area yang kecil tersebut. 3 ) Cohiging yaitu pendugaan suatu nilai peubah pada suatu titik tertentu menggunakan data lebih dari satu peubah dengan mengamati data yang sejenis pada lokasi yang lain.
Pada beberapa fenomena, misalkan pendugaan terhadap kandungan sumber daya alam (misal : minyak bumi sebagai peubah utama (U)) seringkali menggunakan beberapa parameter yang mempunyai korelasi linear dengan kandungan sumber daya alam tersebut (sebagai peubah pelengkap (q). Pada kegiatan pendugaan kandungan sumber daya alam sering menggunakan teknik cokriging. Pada kajian ini dicoba menggunakan cohigi,~g. Salah satu ilustrasi dalam masalah nyata adalah dalam industri minyak. Dipmeter menykur lubang dan mencari kedalaman, juga terdapat beberapa parameter seperti sifat menyerap (porosity), permeabilitas dan kejenuhan cairan yang bergantung pada kedalaman (diambil dari Geosiatislics Modcli,~g Sparial Ut~ceriait~iy oleh Chiles, J. P. dan P. Delfiner). Tujuan Membandingkan C o h i g i ~ ~dengan g kondisi tak bias 1 dan Cokriging dengan kondisi tak bias 2.
LANDASAN TEORI Berikut ini diberikan beberapa pokok bahasan baik berupa definisi, lemma maupun teorema yang digunakan dalam penyusunan tulisan ini.
Definisi 2 : Jika V(x) suatu peubah acak diskret atau kontinu yang mempunyai momen kedua berhingga, maka ragam bagi V(x), dilambangkan Varpfx)), didefinisikan sebagai :
Definisi 1 : Nilai harapan bagi peubah V(r/ dilambangkan E[V(x)], diddenisikan sebagai :
Var{V(x)]= E [ ( v ( ~ ) - E [ V ( X ) ] ) ~ ] . (Helms, 1997),
E[V(x)]= ~ v i p [ v i jika ] . V(x) diskret dengan
Definisi 3 : Jika U(x) dan V(x) mempunyai momen kedua berhingga, maka colJarian U(wJ dan V O , dilambangkan Cov(U(x), V(x)), didefinisikan sebagai COIJ(U(X), V(x)) = C0ll(o;V ) = E [ W ] - E[U]EP/
i=l
kemungkinan nilai I>,, r 2 , ..., 11,, dan kngsi massa peluang p[vi]= p ( ~ ( x=) 1 1 ~ ) . dan m
q V ( x ) ] = [ilf[v]dv,jika Y(r) kontinu dengan
--
hngsi kepekatan peluang f [ v ] , dimana V(x) adalah peubah If yang tergantung pada lokasi X.
(Helms. 1997).
Untuk konstanta c terten:~, Coir(U,cj Cos(U,U) = E[U2] - (E[U])- = VarflJ). (Helms, 1997).
=
0 dan
Teorema 1 : Jika Ul,..., U, mempunyai momen kedua berhingga, maka
Cokriging Nilai dugaan cohiging adalah kombinasi linear dari data utama dan data pelengkap seperti yang di tuliskan berikut ini :
dengan
1s;<,s,, Bukti : (Lihat lampiran 1, halaman 9 ).
e
*
Corollary 2 : Jika Ul,..., U, adalah peubah acak bebas yang mempunyai momen kedua berhingga, maka
) ;Il
e
Var X U , = C v a r u , Bukti : Untuk i # . I ,
U i dan U i
Teorema 3 : Misalkan U . U,, V . momen kedua berhingga a ,. a h . .h , adalah sembarang. Maka
,
bebas
dan
mempunyai dan misalkan bilangan real
Uo adalah nilai dugaan U pada lokasi 0 U , , U Z,..., U , adalah data utama pada n lokasi herdekatan V,,V, ,..., V,,, adalah data pelengkap pada ni lokasi yang berdekatan al ,a,,..., a,, dan 6, ,bZ,..., h,,, adalah pembohot cokrigitig yang hams ditentukan Dengan memberikan h o sebagai parameter
dari pendugaan dengan U,, merupakan dugaan, maka dicoba mencari syarat apa yang hams diberikan agar kondisi tak bias terpenuhi. Jika R adalah peubah galat maka galat dugaan
Bnkti :(Lihat lampiran 2, halaman 10).
Drift Definisi 4 : Misalkan V(x) adalab peubab regional. Maka driji nz(x) didefinisikan nt(x) = E/V(x)]. Yaitu drift pada titik x adalah nilai harapan dari peubah regional Vpada titikx. (Olea, 1975). Definisi 5 : Misalkan V(x) adalah peubab regional dengan driji nz(x). Maka residrial Y(x) adalah : Y(x) = V(x) - n~(x). (Olea, 1975).
(2)
dengan * w' = (0,,a2,...,fl,,,bl,ha,..., h,,,-l)
U I , U ,,..., U,, adalah peubah acak yang merepresentasikan sifat U pada ti lokasi dimana U dijadikan sampel data V 2I , adalah peubah acak yang merepresentasikan sifat V pada m lokasi berdekatan dimana Vdijadikan sampel data. Persamaan (1) adalah kombinasi linear dari n+m+l peubah acak, yaitu U I,..., U,,, Vl,..., V , dan U,. Diperoleh ekspresi ragam R sebagai 0
dengan * Cov(U>UJadalah covarrat~antara U, dan U, * Cov(V,VJ adalah covnrratr antara V, dan V, e Cov(U,v adalah cross-co~~artmr antara U, dan
V,
Gugus pembobot cobigitg yang dicari hams memenuhi dua syarat. Pertama, pembobot harus sedemikian rupa sehingga nilai dugaan yang diberikan dalam (1) tak bias. Kedua, pembobot hams sedemikian rupa sehingga ragam galat yang diberikan dalam (4) adalah sekecil mungkin. Untuk mendaoatkan kondisi tak bias maka :
dimana E [ u=~tt$ ] dan E[v,]= Dan persamaan ini, terlihat bahwa salah satu cara menjamin ketakbiasan yaitu dengan membuat pembobot pada bagian penjumlahan yang pertama sama dengan 1 sedangkan pada bagian yang kedua sama dengan 0 :
,,,
:ai = l dan C b j = O i=L
dengan Cz adalah matriks covariatr dari Z Dengan memperluas dan menyederhanakan (3) diperoleh suatu ekspresi untuk ragam dari galat pendugaan dalam bagian pembobot colo.igi,rg dau covariatr antar peubah-peubah acak :
j=l
Sekarang dihadapkan dengan masalah minimisasi yang klasik yang bergantung kepada dua kendala. Dicoha mencari y g u s pembobot yang meminimisasi ragam galat yang diberikan dalam (4) dan juga memenuhi dua syarat tak bias. Dengan menggunakan metode pengali Lagrarige "8
~ a r (=~wlCiiv ) + 2 ~ ~ ( i- Ia) +, 2A2(Cbj) i=l
,=I
(6) dengan /II dan 2./ adalah pengali Lagrntige. Untuk meminimisasi (6) dihitung turunan parsial dari Var(R) terhadap rionr pembobot dan kedua pengali Lagrallge:
"I
- 2 C bjCo~~(VjUo) +C U I J ( ~ J ~ U ~ ) j=l
(4)
(Lihat Lampiran 3, halaman 11)
- 2Cov(UjlJ0)+2 4
untuk i = 1, ...,n
a(Vnr{Rh = 2= bi col.(vi vj) dbj i=l
+ 2?ni
f n i ~ o v ( ~ +i fbicol~(?v,) ~j) + A,
i=l
i=l
=cov(vjuo)
CU~J(U~V,)
untuk j = I, ..,m
i=~
+ 2A,
-2cov(vjun)
n,
Xui = I dan x b , = O
untuk j= I, ...,m
i=~
a(vaI'{~}) = ,(f ni -1) 32, i=~
a(vnr{~})=
(7)
bj,
812 j=l Sistem cokr.iging akhirnya diperoleh dengan menyamakan masing-masing ; + m i 2 persamaan ini dengan 0 dan menyusun ulang masing-masing dengan :
(8) Minimisasi ragam galat yang berhubungan dapat dihitung dengan menggunakan (4) atau untuk gugus utama dari syarat ketakbiasan, (4) dapat disederhanakan dengan membuat subsitusi yang menggunakan pengali Lngt'onge menjadi
v ~ ( R=)C O ~ ~ ( U- A~ U-~ ) n i ~ o i l ( ~ i ~ o ) i=l
,,,
bi cov(vi
-
f n j ~ o v ( ~ i ~ x, b) j+~ o v ( ~ , v jA,) + j=l
j=l
uo)
j=l
j=I
=col~(uiuo)
(9)
untuk i = I ,..,?I
PEMBAHASAN Pendugaan titik dilakukan pada grid IOXlO m2 . Radius terbatas sampai 40 m, dan kuadran digunakan untuk mendekati nilai total data dalam setiap kuadran sampai titik lebih dari 6. Dalam setiap kuadran, tidak lebih dari tiga sampel U yang digunakan dan sampel V juga tetap dipakai. Batasan akhir yang didekati dengan ekstrapolasi peubah utama adalah penempatan 2 data sampel U. Tidak ada titik dugaan yang lebih jauh dari 11 m dari nilai sampel U. Dua cokrigittg dapat dilakukan dengan masingmasing penggunaan gugus kondisi tak bias yang berbeda. Cokrigitzg pertama "1
meng~unakankondisi x n i =I dan x b j =O i=l
j=l
untuk bobot utama dan bobot pelengkap. Cokrigiilg kedua menggunakan kondisi tak bias 1, yang ditetapkan bahwa penjumlahan semua bobot harus sama dengan I:
Dengan alternatif kondisi ketakbiasan ini, penduga harus sedikit diubah. Nilai U yang tidak diketahui sekarang diduga sebagai kombinasi linear yang diboboti dari daerah dekat nilai U ditambah kombinasi linear dari
daerah dekat nilai V yang merupakan konstanta sedemikian sehingga meannya sama dengan mean nilai U: "8
On=?ai~+ , z b j ( v j -mr, + m u ) i=l
(11)
j=l
Penduga ini memerlukan infonnasi tarnbahan, katakanlah menduga mean U dan menduga mean V yang melebihi daerah dugaan. Satu cara sederhana untuk menduga mean &v dan
mu adalah menghitung rata-rata aritmetik dari 2 nilai sampel U dan bersamaan dengan 2 nilai sampel V. Asumsikan kedua dugaan ini tak bias, maka nilai hara~andari titik duaaan adalah :
dimana niu =E[u,] dan E[v,]= niir. Kondisi
,,
Cci, + zbj =l untuk
i=1
memastikan
bahwa
j=1
cokrigirig tak bias. Untuk melakukan pendugaan dengan teknik cohigirig memerlukan model linear coregionalisasi yang diperoleh dari sampel variogram yang diberikan oleh : yu ( / I )= 440000 + 70000SphI( / I ; )
+ 9500OSph,( h i ) y, (h)= 22000+40000Sp/1,(11;)
jika h > a (16) dimana h a I ) adalah model spheric01 dan n adalah range spherical. Untuk mencari nilai cosorinrl yang terdapat pada matriks cokrigillg menggunakan hubungan : C w (h)= YUY ( m f - ~ r (h) n~ c u (h)= Yu (m)-yu ( 4 (1 7 ) cv (h)= 71,( a )- Y v (h)
+45000Sph,( h i ) Contoh perhitungan :
yw (h) = 47000+50000Sph, ( h ; ) t 40000Sphl (hi )
(13) dimana vektor h:, dihitung sebagai berikut :
Perhatikan Gambar 1 (data diambil dari Isaaks, E. H. dan R. M. Srivastava dalam Applied Geosm(istics).Pertama menghitung coi,ariat, untuk UiU2 dan untuk yang lainnya caranya sama sebagai berikut :
=
[::;:]
sehingga hi = 0.5957
hr= jarak dua titik pada sumbu x h, = jarak dua titik pada sumbu y.
sehingga hi = 0.2716 (14) Panjang h; dan hi diberikan aloenkan oleh olen : r,
%-
,
Selanjutnya substitusi ke persamaan (16), 0.5957 ( o , 5 ( ~ . 5 r 7 ) 3 Sphl (hi)= ( 1 . 5 ) ~ - -
I \-7-
= 0.788 I
(15) (15)
0.2716 sphI(h;) )) -- -- -- -- -sphI(h;)= = (( II S S0.2716 1 = 0.397
Substitusi ke persamaan (13) akan diperoleh : y , (m) = 440000 + 70000(0.788)+95000(0.397) = 532875 Dengan cara yang sama akan diperoleh : yu(h) = 505760 Sehingga Coif7J,Ud = 532875-505760 =27115 (Lihat Tabel 1 di Lampiran 4 halaman 13)
Gambilr I .
Cokriging dengan kondisi tak bias 1 : 2
3
i=O
j-1
xaiUi = l dan x b j V j = 0 Berdasarkan hasil yang ada di Tabel I halaman 13, dengan substitusi ke persamaan (8) diperoleh matriks coi~aria~? sebagai berikut :
'92875 27115 55280 15050 16910 I
27115 92875 15050 55280 8570 1
55280 15050 49385 14055 15465
15050 55280 14055 49385 7740
16910 8570 15465 7740 49385
1 1 0 0 0
0 0 1 1 1
o
o
o
o o -a,
\o
0
1
1
1
0 o,\-A>
'a, a, b, b, h,
Kunligurosi dola cakrirrgi,rg yang mongondunp dua date utama dnn tigo data pelcngkap LolasilitikBsmpe(
Dengan menggunakan soflware MapleV akan diperoleh bobot seperti di Tabel 2 halaman 7. Dari persamaan (2) diperoleh:
z
2
;=I
j=~
['
3
E[R]=E x n i U i + z b j v j ;=I
j=l
= ~[465.11]
E[u,] = 465.11 Dan dari persamaan (1) diperoleh :
Uo =465.11 sehingga Vmm) = 34159.82
3
x a , + x b , =1
3
I<= x n , U , + ~ b j V j - U ,
E[u,]
Cokriging dengan kondisi tak bias 2: ;=I
j=~
Dan Persamaan 2 diperoleh : &[Uo]= E[640.162]
EIUo]=640.162 Dan dari persamaan (1 1) diperoleh : A
Uo = 640.162 sehingga Var(R) = 56405 1.5416
'I'skl 2. ?hhlperbandingon unluk cukriging dcngan kondisi tali bias I dnn eob.;ging dungan kondisi talc bins 2
Mungkin ha1 yang penting untuk diperhatikan dalam Tabel 2 adalah dugaan cc)krigi,g negatif Alasan untuk dugaan negatif 111
mula-mula dengan kondisi tak bias 236, = 0 j=l
Untuk jumlah bobot sama dengan no1 maka beberapa nilai dugaan hams negatif Pada saat bobot yang negatif dikalikan dengan nilai sampel V yang besar, dugaan negatif dapat muncul. Jika hasil kali negatif jumlahnya hesar dalam nilai mutlak dari pada jumlah bobot positif, maka dugaannya negatif.
Cokrigitig dengan kondisi tak bias 1 lehih diterima karena mempunyai galat yang lebih kecil dibandingkan cokriging dengan kondisi tak bias 2. Pengarub nilai yang lebih kuat dalam pendugaan ini mengacu pada pilihan kondisi tak bias yang menghasilkan hobot lebih yang diberi tanda untuk peubah pelengkap. Sebagai ringkasan bahwa cokriging dengan kondisi tak bias 2 kurang memuaskan. Misalkan kasus dimana hanya dua nilai data pelengkap yang ditemukan sama jauhnya dari titik pendugaan dan dari semua data utama. Karena dua nilai data pelengkap sama jauhnya, maka hams diberi bobot yang sama. Meskipun solusi ini secara matematika benar, tapi sulit untuk memhayangkan proses fisika yang mana skema bobotnya benar. Melalui metode ini akan menurunkan kebiasan, tapi tidak menurunkan penyebaran galat yang besar. Menggunakan kondisi tak bias 1, bagaimanapun dapat melakukan perbaikan, tidak hanya dalam kehiasan dan penyebaran galat., tapi juga dalam kejadian dugaan negatif yang lebih rendah. Melalui pendekatan ini diperlukan pendugaan prior dari mean global U dan V, ha1 ini jelas bahwa kejadian dengan dugaan yang lebih sederhana dari mean global, kita dapat memperbaiki pendugaan.
KESIMPULAN DAN SARAN Metode pendugaan data spasial dengan cokriging, mempakan suatu metode yang digunakan untuk menduga nilai pada suatu titik yang tidak dilakukan pengamatan dengan mengynakan data lebih dari satu peubah. C(>krigirigdengan kondisi tak bias 1 mempunyai ragam galat yang lebih kecil dibandingkan cokr~ging dengan kondisi tak
bias 2. Sehingga cokrigi,~gdengan kondisi tak bias 1 lebih diterima daripada cokriging dengan kondisi tak bias 2. Tulisan ini masih dapat dilanjutkan dan dikembangkan lagi menjadi tnlisan yang lebih lengkap. Misalnya jika terdapat ?erggel effecl. Juga contoh-contoh kasus lain yang bisa diselesaikan dengan cokrigit~g.
DAFTAR PUSTAKA Chiles, J. P. & P. Delfiner. 1999. Geostalislics Moiielirlg Spalinl Urlcermiilty. John Wiley & Sons, New York. Helms, L. L. 1997. I?~lrodrrclio~zlo I'robabiliiy Theory with Cor~tmrporary Applicaio~s. W.H. Freeman and Company, New York.
Isaaks, E. H. & R. M. Srivastava. 1989. Applied Geoslalislics. Oxford University Press, Oxford. Olea, R. A. 1975. Oplin~rrrii Mnppirrg Techr~iq~ies ~isii~gRegiorialized Variable Tt~eory.Empresa Nacional del Petroleo, Santiago, Chile.
LAMPIRAN
,
Lampiran 1 : Bukti Teorema 1
Karena E
[;I]] Uj
=
=
C plr, ,maka
'I C I7[(U ,. -
j=l
PlIj ~
]+~$E[(U~-~~I~)(U,-A~~~)] i=l ,=I irj
Lampiras 2 : Bukti Teorema 3 Untuk membuktikan teorema diatas, kita gunakan teorema lain yang tidak diberikan buktinya disini, yaitu : Jika U,, ..., U, adalah peubah acak dengan nilai harapan berhingga dan- c,, ...,c, adalah konstanta real, maka i c j u j mempunyai nilai harapan berhingga dan E j=I
Sehingga { = a r U j ] = = ~ ; E [ u ~dan ]
{e j=l
,=I
bjV,] = ~ b j E [ V , ] .
Karena
maka
,,, + k f li=lj u j . ~ j=l b,v,)
=.[('ajujXfbjvj]] ($~;EI.;I)['~~*I) ,J
,,<
= z;=Iz ,=aI ; b , ~ [ ~ ; V , ]- ( ~ $=I a i E [ U j j]=) ~[ ~ b j E [ V j ~
Lampiran 3 : (Bukti penyelesaian Persamaail (4))
Tabel I . Nilai eovrrria,f dan nas-covmia~zuntuk data yang d i k a a n &lam Gambnr I mcnggunakan model linear eoregionnlisasi yang diberikan &lam Pcrsnmaan (13)
Lampiran 5 : (Bukti yang menjamin nilai ragam galat minimum) Teorema 4 :(Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal) Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a, b) yang memuat titik kritis c, I. Jika f'(x) > 0 untuk semua x dalam (a, c) dan f'(x) < 0 untuk semua x dalam (c, b) maka f (c) adalah nilai maksimum lokalf: 2. Jika f'(x) < 0 nntuk semua x dalam (a, c) dan f'(x) > 0 untuk semua x dalam (c, b) maka f (c) adalah nilai minimum lokalf: 3. Jika f'(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f (c) bukan nmilai ekstrim lokalf: Teorema 5 : (Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Lokal) Andaikan f'dan f" ada pada setiap titik dalam selang terbuka (a, b) yang memuat c, dan andaikan f'(c) = 0 . 1. Jika f"(c) > 0 , f(c) adalah nilai minimum lokalf: 2. Jika f"(c) < 0 , f(c) adalah nilai maksimum lokalf: Bukti : 1. Berdasarkan definisi dan hipotesis, f"(c) = Lim f'b-f'(4 **C x-C = Linz f'(x)-0 >0 X+C
X-C
sehingga dapat disimpulkan bahwa terdapat selang (a,p) (mungkin pendek) disekitar c dimana f'(x) > o , -
x-C Kedua ketaksamaan ini menunjukkan bahwa f'(x) < 0 untuk a < x < c dan f'(x) > 0 untuk c < x < p . Jadi, menurut Teorema Uji Turunan Pertama, f (c) adalah nilai minimum lokal. CB Terbukti.
2. Bukti serupa dengan (1)
Berdasarkan teorema diatas untuk menjamin nilai ragam minimum adalah sebagai berikut :
=~ ( C O V ( U ~ U C~O)V+( U ~ U ~C)O+V ( U ~ U ~ ) )
untuk i = 1, ...,n
a 2 ( v a r ( R ) ) =2=Cov(Vivj) abjz i=l = 2(cov (v,v, )+ cov (v,v* )+ Cov (v]v3)+ Cov (vzvl)+ cov (v21/* )+ cov (v2v3)) + ~ ( C O V(v3v, )+ cow (v3v2)+ Cov (v3v3)) untuk j = 1, ...,m Karena nilai covarian positif dan nilai cross-covarian lebih kecil dari nilai covarian, maka :
,,
a2(vQ~(R)) > aaj 2
dan
a2( v a r ( ~ ),O, )
abiZ Sehingga nilai ragam galat akan minimum.
Teorema 6 : Matriks A adalah suatu matrik simetrik. Matriks A adalah matriks definit positif jika dan hanya jika semua akar cirinya positif. Bukti :
(-4 Matriks A adalah matriks definit positif maka x T ~ > x 0. Akan dibuktin dibuktikan 'm(.Ua akar cirinya positif. Jika vektor ciri berpadanan dengan A maka berlaku A x = A x sehingga
xTAx maka A=->O llxl12 .. .. Terbukti A > 0 .
(4 Matriks A mempunyai akar ciri yang semuanya positif. Akan dibuktikan matriks A definit positif. Menurut teorema bahwa ( Jika A adalah matriks simetrik maka vektor-vektor ciri yang berbeda akan ortogonal) dan dengan menerapkan prosedur Gram-Smith menjamin bahwa vektor-vektor ciri yang didapatkan dengan prosedur ini akan ortonormal. Misalkan ,x2,...,.x,,) adalah gugus ortonormal dari vektor ciri A. Jika x adalah vektor bukan no1 dalam %",
x=alx, + a 2 x 2 +...+a,x,
Oleh karenUOIeh karena itu,
MB :
" T ri
dengan ai = C X
MB :r
dan
i=l
MB :
"
2
Chi) i=l
MB :j
T
x ~ x = ( a +~ ax2 x~2 + . . . + a , x , ) T ( a l X 1 ~ I+n2x2A2+...+ a,,x,,~,)
T
Karena semua akar ciri matriks A positif, maka min Ai z 0 yang berarti 5 A n > 0 Terhukti matriks A adalah matriks definit positif.
=I I x I
2
.
