NAMA
: TITIK ASIATUN
NIM
: 125100301111054
TUGAS
: MATEMATIKA INDUSTRI
APLIKASI INTEGRAL DI BIDANG EKONOMI DAN KETEKNIKAN 1. Aplikasi di Bidang Ekonomi Contoh penggunan integral dalam dunia ekonomi salah satunya yaitu untuk menghitung surplus produsen dan surplus konsumen. Dasar pendekatan yang digunakan untuk analisis pasar adalah marjinalis (marjinal approach), yang mengatakan bahwa keputusan dalam memproduksi atau mengkonsumsi ditentukan oleh berapa besar tambahan pendapataan atau manfaat dari unit terakhir barang yang diproduksi atau dikonsumsi. Konsekuensi dar pemikiran ini bagi produsen adalah dia tidak menetapkanharga yang sama untuk setiap jumlah penjualan. Contoh kasus pasar mobil , satu unit mobil pertama di jual dengan harga Rp 82 juta, sedangkan unit ke dua baru akan dijual dengan harga Rp 84 juta dan seterusnya. Sebaliknya untuk konsumen untuk 1 unit pertama bersedia membeli dengan harga Rp 199 juta. Tetapi untuk unit selanjutnya, sebut saja unit kedua, konsumen hanya mau membeli dengan harga Rp 198 juta. Alasannya tambahan manfaat dari tambahan pemakaian mobil telah menurun (Pratama Rahardja, Mandala, 2004). Pada saat keseimbangan, konsumen membayar mobil yang dibeli jauh lebih sedikit dibanding kesediaan membayar. Sebaliknya produsen menerima uang lebih banyak daripada yang sebenarnya mereka harapkan (Pratama Rahardja, Mandala, 2004). Dalam kasus tersebut apa yang dialami oleh produsen disebut surplus produsen. Yaitu selisih antara jumlah yang diterima dengan yang mereka harapkan. Karena koonsumen bersedia membayar lebih dari harga yang diharapkan oleh produsen. Dalam kasus tersebut, surplus konsumen jumlahnya seluas segitiga ABE, yang merupakan selisih luas trapesium 0BEC (jumlah yang konsumen sedia membayar). Jumlah surplus produsen seluas segitiga FAE yang merupakan selisih antara luas segi empat 0AEC (jumlah yang konsumen bayarkan) dengan 0FEC (jumlah yang produsen sedia di bayar) (Pratama Rahardja, Mandala Manurnung,2004). harga S B A
E
F 0
D
(Pratama Rahardja, Mandala Manurnung,2004)
Surplus konsumen menytakan jumlah uang yang dihemat oleh konsumen ketika membeli barang pada harga P, yang berkaitan dengan jumlah X yang diminta. Gambar 3 memperlihatkan interprestasi surplus konsumen sebagai luas daerah dibawah kurva permintaan dan di atas garis p = P. (James stewart , 2001) P
P = p (x) Surplus konsumen (x,p) P=P 0
X
x
Gambar 3 (James stewart , 2001)
Contoh 1 Permintaan untuk suatu produk, dalam dolar, adalah p = 1200 – 0,2 – 0,0001 x2 tentukan surplus konsumen padansaat tingkat penjualan 500. PENYELESAIAN : karena banyaknya produk yang terjual adalah = 500, harga jualnya adalah P = 1200 – (0.2)(500) – (0.0001)(500)2 = 1075 Jadi, surplus konsumen adalah – 0,2x – 0,0001x2 – 1075) dx
dx =
2
=
) dx
= = = $ 3.333,33
0
2
500
–
(James stewart , 2001)
Contoh 2 Gambar 7.9 menunjukkan kurva permintaan D (x) = 2500 / x + 50 dan kurva penawaran S (x) = 0,01 x pngkat 2 untuk produk tunggal. Dengan titik ekuilibrium (x0, p0) = (50,25) Surplus konsumen = = 2500 ln (x + 50)050 – 1250 = 2500 ln 2 – 1250
Surplus produsen = (50) (25) = 1250 -
50 0
= 1250 -
(Berkey, 1994)
P
50
25
surplus konsumen
(50,25) = titik equilibrium Surplus produsen 50
x
S (x) = 0,1 x2 Gambar 7.9 kurva permintaan dan penawaran contoh 2 (Berkey, 1994)
2. Aplikasi integral di bidang keteknikan Integral digunakan untuk menghitung : Momen inesia , volume, luas, titik berat yang semuanya digunakan sebagai alat bantu dalam merancang kekuatan/ketahanan suatu bangunan. Selain itu integral juga digunakan dalam fisika. Didalam fisika, integral digunakan untuk menghitung usaha (W) dan tekanan fluida (P). Jika (F(x suatu gaya untuk menggerakkan suatu titik sempanjang
sumbu
x
dan
x
=a
sampai
x
=
b,
maka
usaha
W
=
.
Contoh 1 Tentukan titik berat luasan yang dibatasi oleh parabola kerapatan = 1 Penyelesaian : Titik potong dari grafik tersebut, adalah X = 0 dan X = 10 y
0
10
M=
dx =
=
( =(
- x) dx
x3/2 –
=(
=
x
0
10
= 16 3/2
- X) dx = . X5/2 dx =
0
10
) dx
= 66 10 0
= 83
= 10x dan garis y = x, dan
dan Jadi titik berat luasan tersebut adalah (Hasyim Baisuni , 1986) Contoh soal 2 Tentukan letak titik berat luasan
yang terletak dikuadran pertama
b
0
a
Penyelesaian : Persamaan elips tersebut dapat dirubah menjadi : x = a cos dx = -a sin
dan y = b sin
d ; dy = b cos
batas : x = 0
=
luas luasan = S
d
x=a = -ab = -ab 0
= -ab Grafik dipandang sebagai x = g(y), maka : =
dy = =
=
=
0
/2
=
/2
=
=
0
/2
=
Jadi titik berat luasan adalah
(Hasyim Baisuni , 1986)
Contoh 3 sebuah per panjangnya 25 cm diregangkan menjadi 30 cm dengan gaya F = 4,5 kg ditanyakan usaha untuk meregangkan per dari panjang 35 cm menjadi 45 cm. Penyelesaian : F = kt ,t = (30 -25) cm = 5 cm, maka 4,5 = k.5 k = 0,9
W=k
dimana
= 35 -25 = 10 = 45 -25 = 20 20
Jadi W = 0,9
10
= 1,35 m-kg (Hasyim Baisuni , 1986)
Contoh 4 Lempeng lingkkaran jari –jari 3 ft di masukkan dalam air, sehingga setengah lempeng benda berada di bawah permukaan air. Hitunglah tekanan zat cair yang bekerja pada lempeng tersebut. Penyelesaian :
y= Batas x = 0 W = 62,4 P = 2 (62,4) = 2 (62,4)
0 dx 3/2 3 0
= 11232,2 lb (Hasyim Baisuni , 1986)
Contoh 5 Sebuah tabung (cylinder) dengan jari-jari = 3 m dan tinggi = 6 m, diisi penuh air. Hitunglah usaha kenaikan air sampai puncak (tabung penuh), rapatan jenis (density) air = 1 .
Penyelesaian : Volume keratan tebal Δy = 9 Δy m3 dan beratnya = 9.000 Δy kg Usaha W = Dmana
= 0 dan
=6
Jadi W = 9000 = 9000 = 9000 (18) = 162.000 m-kg
6 0
m-kg
DAFTAR PUSTAKA Baisuni, Hasyim. 1986. Kalkulus Edisi 1 Cetakan 1. Jakarta: Universitas Indonesia (UI press) Berkey. 1994. Applied Calculus Third Edition. America: Saunders Collage Publising Rahardja, Pratama dan Mandala. Teori Ekonomi Mikro Suatu Pengantar Edisi Ketiga. Jakarta: Universitas Indonesia Stewart, james. 2001. Kalkulus Edisi Keempat. Jakarta: Erlangga
