0 bocormatematika.wordpress.com. Oleh: TIM Guru MATEMATIKA MA Negeri Purbalingga

Oleh: TIM Guru MATEMATIKA MA Negeri Purbalingga

0

bocormatematika.wordpress.com

BAB I BILANGAN A. Bilangan Bulat Bilangan bulat diberi lambang “B” terdiri dari bilangan bulat positif, nol , dan bilangan bulat negativ. B = {…,-2,-1,0,1,2,…..} a. Penjumlahan dan Pengurangan bilangan bulat 1) Penjumlahan dan sifat-sifatnya Penjumlahan bilangan dapat ditunjukkan dengan garis bilangan. Contoh : Gambar di bawah ini menunjukkan 2 + 3 = 5,

0

1

2

3

4

5

Sifat-sifat : a) Komutatif, a+b = b+a Contoh : 2+4 = 4+2 =6 b) Asosiatif, (a+b)+c = a + (b+c) Contoh : (-3+4)+(-6) = -5 = (-3)+(4+(-6)) c) Memiliki Invers (lawan), a + (- a) = (- a) + a = 0 2). Pengurangan dan sifat-sifatnya Mengurangi dapat ditunjukkan dengan garis bilangan. Contoh : Gambar di bawah ini menunjukkan 1 – 3 = - 2

-2

0

1

Sifat – sifat : a) Mengurangi a dengan b berarti menjumlahkan a dengan lawan b, a - b = a + (-b) b). Tidak Komutatif, a-b ≠ b-a Contoh : 5 – 7 = -2 ≠ 7 – 5 =2 c) Tidak asosiatif, (a – b ) – c ≠ a - (b – c) Contoh : (10 – 20 ) – 5 = - 15 ≠ 10 – (20 – 5) = - 5 b. Perkalian dan Pembagian Pada Bilangan Bulat 1) Perkalian dan sifat-sifatnya a) Komutatif, a x b = b x a Contoh : (3 x 2 = 2+2+2= 6) =( 2 x 3= 3 + 3 = 6) b) Asosiatif, (a x b) x c = a x ( b x c ) Contoh : (5 x 2) x 3 = 30 = 5 x (2 x 3) c) Distributif, a x (b + c) = (a x b) + (a x c) Contoh : - 2 x (10 + (- 1)) = -18 = ((-2) x 10 ) + (- 2) x (- 1)

1


2) Pembagian dan sifat-sifatnya a) Tidak komumatif, a : b ≠ b : a Contoh : 2 : 3 ≠ 3 : 2 b) Tidak Asosiatif, ( a : b ) : c ≠ a : (b : c ) c)

0 a = tidak didefinisikan  0 dan 0 a

c. Pemangkatan Bilangan Bulat 1) Pangkat dua (kuadrat) suatu bilangan Kuadrat suatu bilangan merupakan perkalian bilangan dengan dirinya sendiri, yaitu a2 = a x a. Contoh : 32 = 3 x 3 = 9 2) Pangkat tiga suatu bilangan Sebarang bilangan a, maka a3 = a x a x a Contoh : 2 3 = 2 x 2 x 2 = 8 d. Akar kuadrat dan Akar pangkat Tiga 1) Akar kuadrat suatu bilangan Akar kuadrat dari a , a = b , maka b 2 = a , dengan (a,b) ≥ 0 Sifat – sifat :

a)

ab  a  b a b  a  b

b) 2) Akar pangkat tiga suatu bilangan Akar pangkat tiga dari a , 3 a  b, jika, b3  a , dengan b bilangan bulat. Contoh : 3 8  2, sebab,23  8 e. Menaksir Hasil Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat 1) Pembulatan ke angka puluhan terdekat Untuk angka 1-4 dibulatkan ke bawah, dan untuk 5 – 9 dubulatkan ke atas 653  650 Contoh :

576  580

2) Pembulatan ke angka Ratusan Terdekat Untuk angka 1-4 dibulatkan ke bawah, dan untuk 5 – 9 dubulatkan ke atas 225  200 Contoh :

683  700

Latihan 1 Jawablah pertanyaan berikut ini dengan benar! 1. Tentukan perkiraan hasil akar kuadrat berikut ini : a. 95 c. 32 b. 20 d. 72 2. Berapakah panjang sisi sebuah persegi jika luas persegi tersebut sama dengan luas segitiga siku-siku dengan panjang sisi siku-sikunya adalah 9 cm dan 12 cm? 3. Berapakah panjang rusuk sebuah kubus dengan volume 64000 mm3? 4. Diketahui nilai 2,182 = 4,75 , tentukan nilai dari : a. 2182 c. 0,02182 2 b. 21,8 d. 21802 5. Jika diketahui a=2 dan b= -3, maka tentukan : a. a3 + b3 c. a3 x b3 3 3 b. a – b d. a3 : b3

2


B. Bilangan Pecahan a. Bilangan Pecahan dan Lambangnya Bilangan pecahan

a , dengan b  0 , senilai dengan pecahan yang jika dikalikan atau b

dibagi dengan bilangan yang sama. Dapat disederhanakan dengan membagi dengan FPB dari a dan b. Contoh :

4 42 2   , 2 FPB dari 4 dan 6 6 62 3

Pecahan Campuran merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan bulat dan pecahan,

b b , dengan a bilangan bulat dan , bilangan pecahan. c c c  a   b b Pecahan campuran a , dapat di jadikan pecahan biasa menjadi c c  1 3  1  1 4 Contoh : 1 =  3 3 3 a

b. Perbandingan, Bentuk Desimal, Persen, dan aritmatika sosial 1) Perbandingan a dengan b dinyatakan dengan a : b atau

a , merupakan bentuk b

pecahan yang paling sederhana Contoh : 6 : 8 =

6 3  8 4

2) Pecahan Desimal , merupakan pecahan dengan bilangan asli sebagai pembilang dan bilangan dasar sepuluh(kelipatan sepuluh) sebagai penyebut. Ditulis dengan dipisahkan oleh tanda koma. Dalam sistem desimal angka-angka dalam suatu bilangan mempunyai arti sebagai berikut: dst........ ratusan........... 1 2 3 , 4 5 6 ............. perseribuan ....... dst puluhan perseratusan satuan persepuluhan Contoh :

1 1 25 25  0,25 Cara merubah pecahan biasa ke decimal     0,25 4 25 100 4

(kalikan penyebut sehingga menjadi kelipatan 10) 3) Persen (%) merupakan pecahan dengan penyebut 100

85  85% 100 3). Harga Penjualan , Harga Pembelian, Untung, dan Rugi Contoh :

a. Harga Penjualan (HJ) Harga barang yang ditetapkan pedagang kepada pembeli. b. Harga Pembelian (HB) Modal atau sejumlah uang untuk membeli barang c. Untung (U) akan terjadi jika harga penjualan lebih dari harga pembelian d. Rugi (R) terjadi jika harga penjualan kurang dari harga pembelian e. HJ = HB + U atau HB = HJ - U ( Jika Untung ) f. HJ = HB – R atau HB = HJ + R( Jika Rugi) g. Prosentase Untung dan Rugi

Untung  100% H arg aPembelian P P = U =  HB  HJ 100 100  P

 Prosentase Untung (P) = U

3


HJ

P  HB 100 P 100  P = HB (1 + ) = HB ( ) 100 100

= HB + U

 Prosentase Rugi (P) R

= HB +

Rugi  100% H arg aPembelian P P = R =  HB  HJ 100 100  p =

P  HB 100 P 100  p = HB ( 1) = HB ( ) 100 100

= HB – R

HJ

= HB -

4). Rabat, Bruto , Tara , dan Netto a. Rabat ( Diskon ) adalah potongan harga yang diberikan penjual kepada pembeli b. Bruto (Berat Kotor) adfalah berat suatu barang dan tempatnya, c. Tara (potongan) merupakan berat tempat suatu barang, d. Netto (berat bersih) yaitu berat barang tanpa tempatnya Harga Bruto = Harga Netto + Rabat (diskon) Latihan 2 1. Tentukanlah pecahan yang senilai dengan pecahan

3 8 dan ! 4 10

2. Tentukan bentuk pecahan campuran dari pecahan berikut ini : a.

12 10

b.

13 11

3. Seorang ibu membagikan semangka kepada tiga orang anaknya, yaitu si A mendapat bagian, si B mendapat

1 2 bagian, dan si C mendapat bagian, jika berat semangka 3 5

tersebut 1,05 kg , manakah anak yang mendapat bagian paling banyak ? 4. Ubahlah pecahan biasa berikut menjadi pecahan desimal : a.

3 6

b.

5. a. Ubahlah pecahan

1 8

1 dalam bentuk persen! 20

b. Ubahlah bilangan 2,5 dalam pecahan biasa dan dalam bentuk permil! 6. Lia membeli sepeda motor seharga Rp.8.000.000,- kemudian menjualnya seharga Rp.6.000.000,-Sedangkan vita membeli TV seharga Rp.2.500.000,- kemudian menjualnya dengan harga Rp. 3.500.000,a. Untung atau rugikah Lia dan Vita ? b. Berapa prosentase untung atau rugi yang diperoleh Lia dan Vita 7. Amir membeli jaket Rp. 120.000,- dan akan menjualnya kembali , a. Berapa harga jualnya jika ia untung 5% b. Berapa harga jualnya jika ia rugi 5%

4


1 7

8. Sigit menjual barang seharga Rp.350.000,- berapakah harga pembeliannya jika Ia untung 30%! 9. Hitunglah besarnya uang yang harus dibayar jika mendapatkan rabat / Diskon sebesar a. 15% dari harga Rp.160.000,b. 12,5% dari harga Rp.40.000,10. Diah membeli 2 potong celana Rp. 145.000,- percelana, dan 3 potong kaos seharga Rp. 50.000,- perpotong , jika setiap potong barang mendapat rabat 25% maka, a. Berapa besarnya diskon yang diperoleh Diah untuk barang yang dibelinya b. Serapoa rupiah dia harus membayar. c. Operasi Pada Pecahan 1) Penjumlahan dan Pengurangan Penjumlahan dan Pengurangan pada pecahan dapat dilakukan jika penyebutnya sama, jika berbeda terlebih dahulu disamakan dengan menggunakan KPK. Contoh :

2 4 24 9    5 5 5 5 4 1 4  3 1  5 4  3 1  5 12  5 17        5 3 5 3 3 5 15 15 15 15

2) Perkalian dan Pembagian Perkalian pecahan dilakukan dengan mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut. Membagi dengan bilangan pecahan artinya mengalikan dengan kebalikan pecahan tersebut. Contoh :

1 3 1 3 3    2 4 2 4 8 2 1 2 6 12     4 3 6 3 1 3

3) Pemangkatan Bilangan Pecahan

a Pemangkatan pecahan dengan n , b

n

a a a a      ....  , sebanyak n faktor. b b b b

2

2 2 2 4 Contoh :          3 3 3 9 n

m n  a m  a Pemangkatan pecahan berpangkat m dengan n ,       , b  0 b  b  

4)Operasi Pada Pecahan desimal a. Penjumlahan dan pengurangan pecahan ini dilakukan dengan meletakkan posisi koma pada jalur yang sama, operasi dilakukan seperti biasa. b. Perkalian dilakukan seperti biasa dengan menggeser koma ke kanan sebanyak bilangan di belakang koma. c. Pembagian dilakukan dengan menjadikan penyebutnya menjadi bilangan bulat, kemudian membagi seperti biasa dan menggeser koma ke kiri sebanyak bilangan di belakang koma. Contoh : 1. Penjumlahan:

20,25 3,5  23,75

5


2. Perkalian 2,4 x 1,52 = 3,648 Di belakang koma :(satu angka) (dua angka) (tiga angka) 3. Pembagian 12,1234 : 0,21 diubah dulu menjadi 1212,34 : 21 (dikali 100) kemudian dibagi seperti biasa. d. Perluasan Pecahan 1) Pembulatan Pecahan Untuk bilangan yang lebih dari 5 pembulatan ke atas, sehingga angka sebelumnya bertambah satu, sebaliknya jika kurang dari lima maka angka sebelumnya tetap, dan untuk bilangan yang tepat lima jika angka sebelumnya genap tetap dan jika ganjil bertambah satu. Contoh : 5,245 = 5,25 2) Bilangan Rasional Bilangan rasioonal dapat dinyatakan dalam bentuk

a , a, b  BilanganBu lat , dapat b

berupa bilangan bulat, pecahan desimal tak berhingga yang berulang, pecahan biasa dan pecahan campuran. 3) Bentuk Baku Bilangan Untuk bilangan yang lebih dari 10, dapat dinyatakan dalam, a  10n , n bilangan asli. Untuk bilangan yang kecil, antara 0 dan 1, dinyatakan dengan a 10 n . Contoh : 234 = 2,34  102 0,00034

= 3,4  104

Latihan 3 1. Hitunglah hasil dari operasi berikut ini :

2 1 1 1  3 2 2 3 1 1 c. 2  1 : 4 4 2 a.

c. 0,314 x 10 d. 10 , 75 + 0 , 125 – 5 , 45

2. Ubahlah pecahan berikut dalam bentuk persen : a.

4 25

b.

9 50

3. Nyatakanlah perbandingan-perbandingan berikut ini ke bentuk yang sederhana :

1 2 : 3 3

a. 125 : 75

c.

b. 25 kg : 150 ons

d. 1 jam : 45 menit

4. Ubahlah pecahan biasa berikut menjadi pecahan desimal : a.

1 5

b.

5 2

5. Tentukan diantara bilangan berikut yang merupakan bilangan rasional : a.

1 13

b. – 3

6

c. 0 , 13

e. – 0 , 333333….

d. – 0, 145

f. 1 , 4142135….


Uji Pemahaman Konsep I. Berilah tanda silang (X) pada jawaban yang paling tepat! 1. Diantara bilangan berikut yang letaknya dekat dengan -1 adalah …. A. –8 C. 3 B. –3 D. 5 2. Dari ketiga pernyataan berikut : i) -8 < 5 ii) -6 > -10 iii) 5 < -6 Pernyataan yang benar adalah …. a. i) dan ii) b. i) dan iii) c. ii) dan iii) d. i),ii), dan iii) 3. Jika p = -2 , q = 2 , dan r = -4 , maka nilai dari (–(p – r) + q) adalah …. a. -8 b. -4 c. 0 d. 4 4. Andi mempunyai kelereng 31 buah , kelereng tersebut akan diberikan kepada Aril 29 buah, sisa kelereng Andi adalah …. a. 1 c. 3 b. 2 d. 4 5. Jika „ * „ artinya kalikan bilangan pertama dengan yang kedua, kemudian ditambah bilangan pertama , maka nilai 5 * 3 adalah …. a. 15 c. 20 b. 18 d. 25 3 3 3  64   27  1  .... 6. a. -8 c. -1 b. -6 d. 0





7. Hasil dari ,  0,64   144 adalah …. a. -12,8 c. 12,08 b. -12,08 d. 12,8 8. Pecahan yang terletak diantara

5 6 dan 7 7 5 9 b. dan 7 35 a.

2 3 dan adalah …. 7 5 13 19 c. dan 35 35 4 6 d. dan 7 7

9. Perbandingan banyaknya hari yang berawalan huruf S dengan banyaknya hari dalam satu minggu adalah ….

1 6 3 b. 6

1 7 3 d. 7

a.

c.

10. Bentuk persen dari a. 4% b. 5%

7

1 adalah …. 20 c. 5% d. 4%


11. Pecahan biasa yang senilai dengan 12,5 % adalah ….

1 4 1 b. 8

1 16 1 d. 32

a.

c.

12. Nilai dari 5

3 2 3  4  2 adalah …. 7 3 5

1 21 63 b. 10 105

52 105 1 d. 11 15

a. 7

c.

4 5

13. Hasil dari 2 

7

2 1 adalah …. : 4 2

1 5 2 b. 2 5

3 5 4 d. 2 5

a. 2

c.

2

2

 1  2  14. Hasil dari     adalah ….  3   1 1 a. c. 9 9 1 1 b. d. 81 81 15. Jumlah kelereng Adit 24 butir, sedangkan kelereng Andi 12 butir lebih banyak dari kelereng Adit, Perbandingan jumlah kelereng Adit dan Andi adalah …. a. 2 : 3 c. 1 : 2 b. 2 : 1 d. 3 : 2 II. Isilah titik-titik di bawah ini dengan jawaban yang paling tepat! 1. Buatlah garis bilangan yang meletakkan titik-titik -4 , -2 , 0 , 2 , 4 , 6 dengan tepat! 2. Letak kota P 120 m diatas permukaan laut, jika letak kota Q 125 m lebih rendah dari kota P maka kota Q …dpl.

mn adalah … . l 7,04  2,65 , maka nilai dari 0,0704  704 adalah … .

3. Jika m=6, n=20 , dan l = -5 , maka nilai dari 4. Jika diketahui

5. Jika “” berarti kuadratkan bilangan kedua kemudian tambahkan pangkat tiga bilangan pertama. Maka nilai 3 (-2) adalah …. 6. Tentukan bentuk sederhana dari

65 .... 105

7. Perbandingan 45 menit dengan 2 jam adalah …. 8. Hitunglah 

5  7     =…. 6  8

9. Luas persegi panjang dengan panjang 0,752 m dan lebar 24,4cm adalah …. cm2 10. Nilai dari (7,5 x 10-4 ) : ( 2,5 x 10-2 ) adalah ….

8


III. Jawablah pertanyaan –pertanyaan berikut dengan Jelas dan tepat! 1. Hitunglah operasi pada bilangan bulat berikut ini: a. -10 + 5 – ( -11 ) c. – 8 x ( -1 ) : 4 2. Dalam suatu cerdas cermat terdapat 3 kelompok A, B , dan C, dalam penilaian jika menjawab benar untuk babak I mendapat nilai 10 , babak II mendapat nilai 25 , dan babak III mendapat nilai 50, jika salah pada babak I nilai 0, babak II nilai (-5), dan babak III nilai (-10 ). Jika setiap babak terdiri dari 5 soal, dan harus dijawab. Hitunglah nilai regu A jika babak I menjawab semua soal dengan benar, babak II menjawab benar 3 soal, dan babak II menjawab benar 2 soal! 3. Hituglah dengan cara yang paling mudah 13 x (-25) + 47x13 +13 x (-22) ! 4. Dari 50 penumpang bus terdiri dari 27 penumpang pria, berapa persenkah penumpang wanita? 5. Kolam ikan berbentuk persegi panjang dengan panjang 10,5 dan lebar

1 kali 3

panjangnya. Berapakah keliling kolam tersebut? 6. Dari hasil sensus pada suatu desa diperoleh hasil bahwa adalah petani,

1 dari seluruh kepala keluarga 4

1 3 sebagai pengusaha , sebagai guru , dan sisanya sebagai nelayan. 16 16

a. Berapa bagian jumlah kepala keluarga nelayan? b. Jika di desa tersebut ada 48 Kepala Keluarga, berapakah yang berprofesi sebagai pengusaha ? 7. Dua buah persegi panjang masing – masing berukuran 0,2 m x 0,05 m dan satunya 1,8 m x 0,5 m, tentukan perbandingan : a. Panjang b. Lebar c. Luas 8. Angka keberuntungan seseorang didasarkan pada namanya.Abjad A pada nama diberi angka 1, B diberi angka 2, dan seterusnya. Untuk menentukan angka keberuntungan dilakukan dengan menjumlahkan pada setiap huruf pada namamu, coba temukan angka keberuntunganmu dan angka keberuntungan teman sebangkumu! 9. Seorang buruh pabrik menerima upah Rp.40.000,00 tiap harinya. Apabila pada bulan Februari 2006 ia bekerja penuh setiap hari kerja (senin-sabtu), sedangkan tanggal 1 februari jatuh pada hari jumat, tentukan upah yang diterimanya dalam satu bulan tersebut! 10. Tentukan pecahan yang sesuai dengan bagian yang terasir pada gambar disamping!

9


BAB II OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR A. Bentuk Aljabar 1. Pengertian Suku Pada Bentuk Aljabar a. Suku Tunggal dan Suku Banyak i) 2ab2 ii) 5p2 + 7pq iii) 6x2 + 4xy – 7y Bentuk i) disebut bentuk aljabar suku satu atau suku tunggal, sedangkan bentuk ii), iii) disebut suku banyak atau polinom yaitu bentuk aljabar yang terdiri dari dua suku atau lebih. b. Suku-suku Sejenis Pengertian koefisien dan variabel Contoh :1. -7a ( -7 disebut koefisien, a disebut variabel) 2. 3xy , 3 disebut koefisien , xy disebut variabel Suku-suku yang sejenis adalah suku-suku yang memiliki variabel yang sama dan pangkat dari variabel tersebut juga sama. Contoh: 5x2 – 7x + 9xy – 2x2 – 5y – 12xy Bentuk aljabar di atas terdiri dari 6 suku yaitu 5x2 , -7x , 9xy , -2x2 , -5y dan -12xy dan memiliki suku-suku yang sejenis yaitu 5x2 dan –2x2 serta 9xy dan –12xy 2. Operasi Pada Bentuk Aljabar a. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar. Penyederhanaan penjumlahan maupun pengurangan bentuk aljabar dapat dilakukan dengan mengelompokkan suku-suku yang sejenis. Contoh: Tentukan jumlah dari 7x + 5y –3 dan 7x + 12y –1 Jawab : (7x + 5y –3) + (7x + 12y –1) = 7x + 7x + 5y + 12y –3 –1 = 14x + 17y – 4 b. Perkalian bentuk aljabar Dalam mengoperasikan perkalian bentuk aljabar, berlaku : axb = b x a = ab x(x+k) = x2 + kx ( x + p )( x + q ) = x2 + (p + q)x +pq (x + p )( x+q+r ) = x2 + (p + q + r )x + p(q + r) Hasil perkalian dua bilangan bulat, yaitu : i). (+)  (+) = (+) ii). ()  () = (+) iii). (+)  () = ()  (+) = () Contoh : 1. 4 (3p – 2q ) = ( 4 x 3p ) – (4 x 2q ) = 12p – 8q 2. (y – 3)(5y-4) = 5y2 – 19y +12 c. Pembagian Bentuk Aljabar. Penyedederhanaan dilakukan sifat-sifat berikut ini : 1). am x an = a m+ n 2). am : an = a m-n Contoh : x8 : (x2  x6) = x8 : (x2 + 6) = x8 : x8 = x8-8 = x0 =1

10


d. Pemangkatan Bentuk Aljabar Arti pemangkatan bentuk aljabar Pemangkatan merupakan perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Misal untuk sembarang bilangan , maka a2 = a  a atau juga an = a  a  a  a  …..  a, sebanyak n suku atau n faktor. Contoh : 1. (3a)2 = 9a2 2 2. Pemangkatan suku dua, a  b  a 2  2ab  b2 Latihan 1 1. Tentukan banyak suku dan masing-masing sukunya dari bentuk aljabar berikut ini! a. –5x + y + 5z b. 5x2 – 4xy + y2 – 1 c. p3 + 3p2q – 3pq2 + 5q3 + pq3 2. Tentukan suku-suku yang sejenis pada bentuk-bentuk aljabar berikut ini! a. –2x + 2y + 2x – 8 b. 2p2 – 8p2q + 3p2 + p2q – 6pq + q2 - 33pq c. x3 + 4x3y2 – 16y2 + 5x2 – 2x2y3 + 7y2 – 9x3y2 – ax2y3 3. a. Tentukan jumlah dari 4(3a2 + 2b – 9) dan 3(6a2 – 5b + 10) b. Tentukan hasil pengurangan –2(5x2– 3x + 5) dari 5(3x2 + 4x – 8) 4. Tentukan hasil perkalian bentuk aljabar berikut ini! a. (7pq – 5)(4pq + 3) b. (3x – 8y)(4x2 – 12xy + 9) 5. Tentukan hasil dari (3a – 2b)(2a + 3b) + (a –b)(4a – 5b) 6. Sederhanakanlah bentuk aljabar beriku ini! a. 12a6b4c3 : – 4a4b3c b. (x2y2 x4y3) : x3y4 7. Tentukan hasil pemangkatan bentuk aljabar berikut ini! a. (– a3b4y)3 b. (2p – 3q)4 c. (2x – 3y – z) 8. Tentukan hasil dari operasi bentuk aljabar berikut ini! a. – 3(x2 – 3y + 4z3) + 4(2x2 – 5y + 2z3) b. 4(5a + 3b3 – 4c2) – 2(12a – 2b3 + 6c2) 9. Tentukan hasil dari perkalian berikut ini! a. – 2p2r(3p2q – 3qr + 2qr2 – 2pq2) b. (– x2 – 4y4)(5x2 – 3xy + 8y2) 10. Tentukan hasil dari pemangkatan bentuk aljabar berikut ini! a. (p3q2  p4q2) : (pq2  p5q) b. (– 2x – 3y + z)2 B. KPK, FPB, dan Pecahan Bentuk Aljabar 1. KPK dan FPB Bilangan Cacah a. Kelipatan Persekutuan Kecil (KPK) Merupakan hasil kali faktor prima berbeda dengan mengambil pangkat tertinggi untuk factor prima sama. Contoh : KPK dari 3ab dengan 4a2c , Faktor Prima 3ab : 3,a,b 2 Faktor Prima 4a c : 4, a2 ,c KPK dari 3ab dengan 4a2c = 3 x 4 x a2 x b x c = 12a2bc

11


b. Faktor Persekutuan Besar (FPB) FPB merupakan perkalian faktor prima yang sama dengan mengambil pangkat terendahnya. Contoh : FPB dari 8ab dengan 4ad adalah : 8ab = 23 x a x b 4ad = 22 x a x d FPB 8ab dengan 4ad adalah 22 x a = 4a 2. Pecahan Bentuk Aljabar a. Penjumlahan dan Pengurangan Pada pecahan bentuk aljabar penjumlahan dan pengurangan dapat dilakukan dengan menjumlahkan atau mengurangkan pembilangnya sehingga jika penyebutnya berbeda disamakan dahulu. Contoh :

4 2 4b 2a 4b  2a     a b ab ab ab

b. Operasi perkalian dan pembagian

a c ac   b d bd a c a d ad 2).     b d b c bc 2 b 2b b Contoh :    a 4 4a 2a 1).

c. Operasi Pemangkatan n

a a a a      .....  , sebanyak n faktor. b b b b 3

 4x  4 x 4 x 4 x 64 x3   Contoh :     3 y y y y  y  Latihan 2 Kerjakan soal di bawah ini dengan benar! 1.Nyatakan bilangan berikut kedalam perkalian faktor prima berpangkat : a. 12 b. 21 c. 72 d. 96 2. Ubahlah bentuk aljabar berikut kedalam perkalian factor berpangkat : a. 15 ab2 c. 36 x2y3z4 2 3 b. 27 ab c d. x2y2z2 2 5 3. Diketahui bentuk aljabar 128 xy z dan 72 x3y5z. a. Tentukanlah faktorisasi prima dari kedia bentuk aljabar tersebut. b. Carilah FPB dan KPK dari bentuk aljabar tersebut. 4. Sederhanakanlah ! a.

12m 4 n 2 20m7

b.

20 s10t 9 75s 2t11

5. Sederhanakanlah !

8 x 2 y 24 x : a. 3 y 27 xy

b.

c.

x  32 x  7 : 2 x  7 x  3 3x

6. Sederhankanlah pecahan aljabar berikut a.

12

4y 2  x 2y

b.

8x 2 y 3 z 5 72 xy 2 z 8

4 xy 2 x  xy 2 2 y


7. Ubahlah kedalam pecahan yang penyebutnya terkecil a.

6ab2 x  y  3a 2 2 x  y 

b.

2 x  y 3  y   y  3x  2 y 

8. Selesaikan opersai pecahan aljabar berikut : a.

4 x2 x  30 x  1  x  1 8x 2

b.

5 xy 3 6 x 2 y  7 x 3 y 30 x 4 y

9. Tiga orang bernama A, B , dan C bersepeda bersama setiap 12 km A berhenti minum, setiap 16 km B berhenti minum, dan c setiap 18 km. Setelah berapa km, mereka berhenti minum secara bersamaan. 10. Tentukan FPB dan KPK dari : a. 12 pq3r2 dan 18 p2qr4 c. 6pq , 20 p2q , dan 24q2p b. 21b dan 49 b2 d. 4pqr2 , 6 pq2r, dan 8 p2qr Uji Pemahaman Konsep I. Berilah tanda silang (x) huruf a, b, c atau d pada jawaban yang paling benar! 1. Bentuk aljabar 2x2 – 3x2y – 2xy2 + 3x2y2 – 2y2 mempunyai suku sebanyak …. a. 3 c. 4 b. 5 d. 6 2. Koefisien suku ke – 2 dari bentuk aljabar 4a3 – 16a2b + 24ab2 – 18 b3 adalah … . a. 4 c. 24 b. –16 d. –18 3. Hasil dari penjumlahan 3a +9b – 10 dan 8a – 8b + 11 adalah … . a. 11a + 17b + 1 c. 11a + b + 1 b. 11a + b - 21 d. 11a + 17b – 21 4. Bentuk sederhana dari 2x(x – y) + y(x – y )adalah … . a. 2x2 – xy + y2 c. 2x2 – xy + y2 2 2 b. 2x + 5xy + y d. 6x2 + 5xy – 7y2 5. Nilai dari 15x – 3(4x-5) adalah … a. 3x – 15 c. 11x+15 b. 3x + 15 d. 12x+15 6. Bentuk sederhana dari perkalian -2a(5a – 4b + 2ab) adalah … . a. 10a2+8ab+4a2b c. -10a2+8ab-4a2b 2 2 b. -10a -8ab-4a d. -10a+8ab+4a2b 7. Hasil dari perkalian (5xy – 6y) (3xy + 2y) adalah … . a. 15x2y2+28xy+12y2 c. 15x2y2-8xy+12y2 2 2 2 b. 15x y -8xy-12y d. 15x2y2+8xy-12y2 6 7 8 2 3 8. Nilai dari pembagian 27a b c : (3a bc 3a2b3c2) adalah …. a. 3a3b2c3 c. 3a2b3c3 3 3 2 b. 3a b c d. 3a2b2c3 9. Nilai dari perpangkatan (4a2 – 7b)2 adalah … . a. 16a4-56a2b+49b2 c. 16a2-56a2b+49b2 4 2 2 b. 16a -49b +49b d. 16a4-56a2b-49b2 10. Hasil dari

3p 6 p adalah ….  5 10

a. 0 b. -

3p 5

13

3p 5 3p d.  10 c.


11. Hasil dari

3x 2 xy adalah ….   2 y x2

a. 3x b. 3y

c. 3 d. -3

12. Hasil dari pemangkatan (2a2 – b2 + 3c2)2 adalah … a. 4a4 – 4a2b2 + b4 + 12a2c2 + 6b2c2 + 9c4 b. 4a4 – 4a2b2 + b4 + 12a2c2 - 6b2c2 + 9c4 c. 4a4 – 4a2b2 - b4 + 12a2c2 - 6b2c2 + 9c4 d. 4a4 – 4a2b2 - b4 + 12a2c2 + 6b2c2 + 9c4

4 x  7 x 12 y 3 13. Hasil adalah ….   2 y 3 y 14 x3  4y a. x

4 x3 c. 3 y

4 y2 b. 2 x

 4x2 d. y2

14. KPK dari 3ab, 6a2b2c , dan 15 abc adalah …. a. 30abc c. 60ab2c 2 b. 60a bc d. 30a2b2c 15. Pada tanggal 1 januari A,B, dan C bermain bulu tangkis bersama-sama , A bermain 3 hari sekali , B 4 hari sekali , dan C 6 hari sekali , pada tanggal berapa mereka bermain bersama-sama lagi …. a. 12 Januari 2005 c. 14 Januari 2005 b. 13 Januari 2005 d. 15 Januari 2005 II. Isilah titik-titik pada soal berikut ini dengan jawaban yang benar! 1. Suku-suku yang sejenis dari bentuk aljabar 5a4 b3 – 47 a3 b2 + 16a2b – 42ab2 + 15a2b3 + 2a3b2 adalah … 2. Hasil pengurangan –5(4y2 – 2y + 8) dari 4(6y2 – 7y – y) adalah … 3. Hasil dari perkalian bentuk alajabar (-7pq) (p2 – 7pq + 7q2 – 1) adalah … 4. Hasil pembagian (4a2b3  5a3b6) : 15a3b8 adalah … 5. Hasil dari pemangkatan (a - 3b + 2c)2 adalah … III. Kerjakanlah soal-soal di bawah ini dengan benar! 1. Tentukan nilai dari perkalian bentuk aljabar (2x – 3y) (14x2 – 10xy + 9y2) ! 2. Tentukanlah hasil dari operasi bentuk aljabar berikut ini! a. Jumlahkanlah 2x (-3x2 + 6xy – 6y2) dan -x (2x2 - 3xy – 2y2) b. Kurangkanlah –ab (3a -12b + 3) dari 6ab (2a –5b – 2) 3. Carilah nilai pemangkatan dari bentuk aljabar berikut ( 3x – 12y –3z ) 2 4. Umur Ayah dua kali umur Budi, sedangkan umur Budi dua tahun lebih tua dari adiknya yang bernama Angga, jika Angga lahir pada tahun 1999, Berapakah umur ayah sekarang? 5. Hambatan total (R) dari tiga resistor yang disusun pararel ditentukan dengan rumus

1 1 1 1    , jika R1 nilainya 2x, R2 nilainya 3x dan R3 nilainya 4x maka tentukan R R1 R2 R3 hambatan total resistor dalam bentuk paling sederhana!

14


BAB III PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL (PLSV) DAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL(SPLDV) A. Pernyataan, Kalimat Terbuka, dan Persamaan Linear dengan satu variabel (PLSV) 1. Pernyataan dan Kalimat Terbuka Pernyataan adalah kalimat yang sudah diketahui nilai kebenarannya Contoh : Hasil perkalian 2 dengan 3 adalah 6 ( benar ) Kalimat terbuka merupakan kalimat yang belum diketehui nilai kebenarannya, karena masih mengandung variabel atau peubah. Contoh : X + 2 = 6 , Disebut kalimat terbuka dengan X sebagai Variabel / Peubah, Kalimat tersebut menjadi benar jika X diganti dengan 4, X = 4 disebut penyelesaian {4} disebut Himpunan Penyelesaian 2. Persamaan Linear dengan satu variabel (PLSV) Bentuk umum PLSV adalah ax + b = 0 , dengan a 0 Menyelesaikan Persamaan Linear dengan satu variabel a. Dengan Cara Substitusi Contoh : x- 2 = 3, x bilangan ganjil Dengan mensubstitusikan x = 5 maka didapat 5 – 2 = 3 sehingga HP = {5} b. Menambah atau Mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama Contoh : x – 2 = 3 maka x – 2 + 2 = 3 + 2 Diperoleh x = 5 c. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama Contoh : 3x = 12, kedua ruas dikalikan

1 1 1 ; 3  x   12 ; x =4 3 3 3

Latihan 1 Jawablah soal - soal berikut ini dengan singkat dan tepat! 1. Tentukan apakah kalimat di bawah ini pernyataan atau kalimat terbuka: a. Ibu kota jawa tengah adalah Semarang b. 3 dibagi 3 adalah 3 c. 2x + 3 = 8 2. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut, a. Jumlah sisi segitiga adalah empat b. Arti dari 4 x 6 = 4+4+4+4+4+4 c. Faktor dari 9 adalah 1,3,dan 9 3. Tentukan himpunan penyelesaian dari : a. X – 1 = 2 , X bilangan asli ( dengan substitusi ) b. X + 3 = 0 , X bilangan bulat 4. Tentukan Himpunan Penyelesaian dari , a.

x 1  5 2

b.

2a  3  5 5

5. Dengan x anggota bilangan rasional tentukan Himpunan Penyelesaian dari : a. -

2x 4 2 3

15

b.

4a 3a   10 5 2


6. Tentukan himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka berikut ini, a. X – 5 = 5 , X angka bilangan asli b. Y adalah faktor dari 21, Y bilangan prima 7. Tentukan Himpunan Penyelesaian dari : a. (2 x + 2) + ( 3 x – 4 ) = ( 3 x – 6 ) b.

x  3  2 x  6  3x  2 2

3

4

8. Tentukan Himpunan Penyelesaian dari ,

2y 4 3 3a 1 8 b.   4 2 3 a.

9. Tentukan penyelesaian dari

2x  3 x 1  ! 5 3

10. Dengan x anggota bilangan rasional tentukan Himpunan Penyelesaian dari : a. x + 6 =1 b. 2 x + 5 = 3 - 2 B. Model Matematika Untuk menerjemahkan soal cerita (kalimat cerita) kedalam kalimat matematika (model matematika), dapat ditempuh langkah-langkah berikut ini : 1. Terjemahkan kalimat cerita itu kedalam kalimat matematika (model matematika) yang berbentuk persamaan atau pertidaksamaan. 2. Selesaikan model matematika yang berbentuk persamaan atau pertidaksamaan tersebut. Contoh : 1. Empat kali sebuah bilangan adalah 28, tentukan bilangan tersebut! Jawab : Misal bilangan tersebut adalah x maka diperoleh 4 (x) = 28 x 2.

=

28 = 7, 4

Jadi bilangan tersebut adalah 7. Sebuah segitiga dengan panjang sisi 4p, 5p, dan 6p, jika keliling segitiga tersebut adalah 45 cm, maka tentukan ukuran segitiga tersebut! Jawab : Diketahui keliling segitiga 45 cm, maka 4p + 5p + 6p = 45 5p 6p 15p = 45 p

4p

=

45 =3 15

Jadi ukuran segitiga tersebut adalah 4x3 , 5x3, 6x3 atau 12cm, 15 cm, dan 18 cm.

Latihan 2 Jawablah soal - soal berikut ini dengan singkat dan tepat! 1. Nyatakan kalimat di bawah ini degan kalimat Matematika a. Syarat berat badan TNI sebanyak-banyaknya 80 Kg b. Jumlah ayam adi ditambah 10 ekor lebih dari 20 ekor. 2. Loly ingin membuat kerangka persegi panjang dari bahan kawat, dengan panjang (x+2) cm dan lebar x cm, jika jumlah panjang dan lebar persegi tersebut 10 cm, tentukan : a. Rumus PLSV untuk mencari panjang dan lebar b. Panjang kawat yang di butuhkan Loly untuk membuat persegipanjang tersebut.

16


3. Jumlah tiga bilangan genap berurutan adalah 42. Selisih bilangan terbesar dengan yang terkecil adalah ... . 4. Ali akan membuat kotak dengan panjang (2x+4) dan lebar (x+2) jika panjang kawat yang digunakan Ali tidak melebihi 78 cm, tentukan a. Bentuk Pertidaksamaan dari bentuk di atas b. Tentukan ukuran kotak tersebut. 5. Biaya untuk melakukan perjalanan ke Jakarta Rp.100.000,00 untuk orang dewasa dan separuh harga untuk anak balita, jika suatu rombongan membawa 2 balita berapa jumlah orang dewasa paling banyak bisa ikut jika dana yang tersedia hanya Rp.1.000.000,00! C. Bentuk-bentuk Sistem Persamaan Linier Dua Variabel 1. Persamaan Linier dengan Dua Variabel Persamaan linier dengan dua variabel adalah suatu persamaan yang tepat memiliki dua variabel dan masing-masing variabelnya berpangkat satu. Contoh: 1. x + y = 6 2. 2a + 3b = 6 3. 2p + 3q - 12 = 0 4.

m n - =1 3 2

2. Sistem Persamaan Linier dengan Dua Variabel Sistem persamaan linier dengan dua variabel adalah dua buah persamaan linier dengan dua variabel yang hanya mempunyai satu penyelesaian. Contoh: 1. x + 2y = 15 dan 3x + y = 10 2. x + y = 5 dan 2x + 3y = 13 Suatu persamaan linier dapat dinyatakan dalam suatu variabel terhadap variabel yang lainnya. Contoh: 1. Nyatakan dalam x dan y pada persamaan-persamaan berikut: a. 5p + 2x = 3p b. 2y - 4b = 10 b Jawab: a. 5p + 2x = 3p 2x = 3p - 5p 2x = -2p x=

 2p 2

x = -p

b. 2y - 4b = 10 b 2y = 10b + 4b 2y = 14b 14b y= 2 y = 7b Pengganti-pengganti variabel yang merupakan penyelesaian dari sistem persamaan linier disebut akar dari sistem Persamaan Linier tersebut.

17


2. Tunjukkan bahwa x = 4 dan y = 3 merupakan akar dari sistem persamaan linier dua variabel x + 2y = 10 dan 2x - y = 5 Jawab: Nilai x dan y disubtitusikan pada persamaan x + 2y = 10 dan 2x - y = 5 sehingga diperoleh: x + 2y = 10 4 + 2 (3) = 10 4+6 = 10 10 = 10 (benar) 2x - y =5 2 (4) – 3 =5 8–3 =5 5 = 5 (benar) Karena nilai x = 4 dan y = 3 merupakan penyelesaian untuk persamaan x + 2y = 10 dan 2x - y = 5 maka x = 4 dan y = 3 merupakan akar dari sistem persamaan linier dua variable x + 2y = 10 dan 2x - y = 5.

Latihan 3 Diskusikan dan jawablah soal-soal berikut dengan jawaban yang singkat dan tepat! 1. Diantara persamaan-persamaan berikut manakah yang merupakan sistem persamaan linier dengan dua variabel? a. 4x + 3y =13 dan 4p + 5q = 13 b. p - 2q = -3 dan 2p + 3q = 8 c. 2.

3. 4.

5.

6.

5x 3y 2x - 3y  - 3 dan 3 2 5 3

d. x2 + x = 0 dan x - 3y = 0 Nyatakan persamaan-persamaan berikut dalam x dan y! a. 15p - 2x = 6p b. 12a = -15y + 24 Tunjukkan apakah x = 3 dan y = -6 merupakan akar dari sistem persamaan x + y = 3 dan 2x - 3y = 16 Di antara persamaan-persamaan berikut ini, manakah yang merupakan sistem persamaan linier dengan dua variabel? a. 2x - 5y = 15 dan a + 3b = 6 b. 3p + 4q = -12 dan 5p - q = 10 c. x2 - 4x + 14 = 0 dan 3x - 5y + 15 = 0 Nyatakan dalam x dan y persamaan-persamaan berikut ini: a. 3a - 2x = -5a b. 2p + 3x = -9p c. 5y - 7b = 18b d. 6 - 3y = 9b Dengan metode substitusi dan eliminasi tentukan penyelesaian dari sistem

persamaan berikut ini! a. 2x - y = 2 dan x - 2y = -5 b. 3x + 2y = 11 dan 2x - 4y - 18 = 0 c. 2x = -3y + 19 dan 4x - 2y = -2 7. Tentukan penyelesaian sistem persamaan berikut ini ! 1 a. x + y = 2 dan 2x – y = 14 3 1 1 1 1 b. x + y = 1 dan x - y = 4 2 5 3 5

18


8. Keliling sebuah persegi panjang adalah 150 cm. Jika lebar persegi panjang tersebut 5 cm kurang dari panjangnya, tentukan luas persegi panjang tersebut! 9. Harga 10 buku dan 2 pensil adalah Rp. 5.400,00 Sedangkan harga 5 buku dan 4 pensil adalah Rp. 3.300,00.Tentukan harga 8 buku dan 8 pensil. 10. Sebuah pertandingan sepakbola dapat menjual tiket kelas I dan kelas II sebanyak 450 lembar. Harga tiket kelas I Rp. 20.000,00 dan tiket kelas II Rp. 15.000,00. Hasil penjualan seluruh tiket adalah Rp. 8.125.000,00 Tentukan masing-masing banyaknya tiket kelas I dan tiket kelas II yang terjual! Uji Pemahaman Konsep I. Berilah tanda silang ( X ) pada jawaban yang paling tepat 1. Diantara kalimat berikut manakah yang merupakan pernyataan…. a. Di mana rumah kamu ? b. 2 Adalah faktor dari 9 c. 2 + x < 2 d. 9 – x = 10 2. Dari : a. 2x + 5 =7 b. 3a +5 = 8 – 0 c. 13 adalah akar dari 196 d. – 4 adalah bilangan asli Yang merupakan kalimat terbuka adalah …. a. i dan ii b. i dan iii c. ii dan iii d. iii dan iv 3. Penyelesaian dari x kelipatan dari 3 , dengan x = 1,2,3,4,….,10, adalah …. a. 1 , 2 b. 3 , 6 c. 6 , 9 d. 5 , 10 4. Untuk x = 2,3,4,6,9 tentukan penyelesaian dari x  2  6 …. a. 2,4,6 b. 2,3,4,6 c. 4,6,9 d. 2,3,4,6,9 5. Himpunan penyelesaian dari 3b + 13 = 4 adalah …. a. {9} b. {3} c. {-3} d. (-9} 6. Penyelesaian dari 4r – 2 = 8 – r adalah …. a. 1 b. 2 c. 4 d. 8 7. Penyelesaian dari a. 30 b. -12

19

 5x  10 adalah …. 6 c. 5 d. -15


8. Segitiga sama kaki memiliki panjang sisi a cm , 20 cm , dan a cm , jika keliling segitiga 54 cm , bentuk persamaan dari persoalan tersebut adalah …. a. a + 54 = 20 b. 54 – a = 20 c. 2a + 20 =54 d. 20 – 2a = 54 9. Jika 4(y+2) – 2 (y+1) = 8 , maka nilai dari y – 1 adalah …. a. 0 c. 1 b. 2 d. 3 10. Penyelesaian dari

2x  3 x 1  adalah … . 5 3

a. –10 b. –11 c. –12 d. –14 11. Jumlah tiga bilangan genap berurutan adalah 42. Selisih bilangan terbesar dengan yang terkecil adalah ... . a. 4 c. 8 b. 6 d. 10 12. Panjang suatu persegi panjang 5 cm lebihnya daripada lebarnya. Keliling persegi panjang 98 cm. Panjang persegi panjang adalah ... . a. 22 cm c. 25 cm b. 23 cm d. 27 cm 13. Diantara persamaan berikut ini yang bukan merupakan sistem persamaan linear dua variabel adalah … a. 2x + 5y = -10 dan 4x + 3y = 12 c. 2p + 3q = 8 dan p – 2q = 3 b. a2 – 6ab + 9b2 = 0 dan a + b = 4

d.

7x 4 y 2x  y   10dan 3 2 3 4

14. Titik (3,2) merupakan penyelesaian dari sistem persamaan linear…. a. 2x –y = 4 dan x + y = -5 c. 2x – y = 4 dan x + y = 5 b. 2x –y = -4 dan x – y = -5 d. 2x – y = -4 dan x – y = 5 15. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 3x – y =1 dan x + 2y = 5 adalah …. a. {(1,2)} b. {(2,1)} c. {(-2,1)} d. {(1,-2)} 16. Penyelesaian sistem persamaan x + 2y = 4 dan x = -y adalah …. a. x = 4 dan y = 4 b. x= -4 dan y = 4 c. x = 4 dan y = -4 d. x = -4 dan y = -4 17. Penyelesaian sistem persamaan 2x + 4y – 8 = 0 dan 5x + 2y + 4 = 0 adalah …. a. {(-2,-3)} b. {(2,-3)} c. {(2,3)} d. {(-2,3)} 18. Penyelesaian dari

2 2 x  3 y   1 1 dan 1 x  y  4 adalah …. 3 3 2

a. x = -2 dan y = 4 b. x = 2 dan y = 4

c. x=-4 dan y = 2

d. x = 4 dan y = 2

19. Keliling sebuah persegi panjang adalah 86 cm, apabila lebarnya 7 cm kurangnya dari panjangnya maka luas persegi panjang tersebut adalah …. a. 500 cm2 b. 450 cm2 c. 400 cm2 d. 300 cm2 20. Harga 6 buah buku tulis dan 5 buah pensil adalah Rp. 9.750,00, sedangkan harga 10 buah buku tulis dan 6 buah pensil adalah Rp. 14.500,00 Jumlah harga 3 buahbuku tulis dan 2 buah pensil adalah …. a. Rp. 3.750,00 b. Rp. 4.000,00 c. Rp. 4.500,00 d. Rp. 5.250,00

20


II. Isilah titik-titik di bawah ini dengan jawaban yang benar ! 1. Tiga kali uang Andi ditambah uang Vita adalah Rp.64.000,- , jika uang vita Rp.16.000,maka uang andi adalah …. 2. Jumlah 2 bilangan asli yang berurutan adalah 31 , bilangan tersebut adalah …. 3. Himpunan penyelesaian dari

2 x  6  2  6 5

adalah ….

4. Himpunan penyelesaian dari 5x – 2 12 = 12½ bilangan nyata adalah ... . 5. Pak Daffa membayangkan sebuah bilangan asli, jika dikalikan dua kemudian hasilnya dijumlahkan 15 maka diperoleh hasil 35. Bilangan yang dibayangkan Pak Daffa adalah …. 6. Panjang busur setengah lingkaran yaitu

22r 7

lebih panjang dari diameternya,

penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah … . 7. Penyelesaian dari sistem persamaan 3x + 2y – 12 = 0 dan 2x + y = 7 adalah …. 8. Himpunan penyelesaian sistem persamaan y = ¾ x dan 2y = 3x – 12 adalah …. 9. Penyelesaian dari sistem persamaan 0,75x + 0,5y = 4,25 dan 2x – 3y = - 6 adalah …. 10. Jumlah dua buah bilangan adalah 325 dan selisihnya 25, maka bilangan yang besar dibagi selisih kedua bilangan tersebut adalah …. III. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan jelas dan benar 1. Tentukan penyelesaian dari

2p  4 p  2  5 4 3

2. Andi ingin membuat persegipanjang dari bahan kawat dengan ukuran panjang 3 cm lebihnya dari lebarnya. Jika panjang seluruh kawat yang digunakan adalah 30 cm, tentukan bentuk persamaan dari persoalan tersebut! 3. Harga 6 buah apel sama dengan harga 3 buah jeruk , harga 3 Jeruk ditambah 4 Apel adalah Rp. 20.000,- , dengan memisalkan jeruk = y , maka tentukan bentuk persamaan dalam y ! 4. Dua kali kelereng Tono dikurangi 5 kelereng kurang dari kelereng Adi . Jika kelereng Adi 2 lusin lebih 1 kelereng, tentukan : a. Bentuk pertidaksamaan dalam x dan penyelesaiannya b. Berapakah kemungkinan jumlah kelereng terbanyak yang bisa dimiliki Tono 5. Sebuah segitiga memiliki panjang sisi 4x, 5x, dan 6x. Jika kelilingnya 45 cm maka tentukan panjang sisi dari segitiga tersebut! 6. Andi mengendarai sepeda motor, setelah menempuh 50 km pertama menghabiskan x liter bensin, Jika Andi sampai di tujuan menempuh jarak 300 km maka berapa literkah bensin yang di habiskan Andi! 7. Tentukan penyelesaian sistem persamaan berikut ini dengan metode eliminasi ! a. 5x – y + 21 = 0 dan 3x = -2y – 10 b. 3x + 4y = 20 dan 4x – 10 = 3y 8. Persamaan garis px + qy = -12 melalui titik (-3,2) dan (–9, –2). a. Buatlah sistem persamaan dalam p dan q b. Tentukan nilai p dan q dengan metode eliminasi 9. Tentukan penyelesaan system persamaan berikut ini !

1 1 1 1 x  y  1 dan x  y  2 2 5 4 5 x3 y 8 b.  y  4 dan x = 2 3 a.

10. Harga 4 ekor sapi dan 6 ekor kambing adalah Rp. 16.500.000,00. Harga 3 ekor sapi dan 8 ekor kambing adalah Rp. 15.000.000,00 Tentukan harga 2 ekor sapi dan 5 ekor kambing!

21


BAB IV FUNGSI A. Bentuk Fungsi 1. Relasi a. Pengertian Relasi Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan antara anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B. Contoh : 1. Relasi “Kendaraan roda “

A

B

Becak Sepeda Motor Bajaj Mobil

Dua Tiga Empat

2. Relasi “ Faktor Dari “

A

B

1 2 3 4

2 4 6

b. Menyatakan Relasi Relasi “faktor dari” dari Himpunan A {2,3,4} ke himpunan B {4,6,8} dapat dinyatakan dalam tiga cara berikut ini : 1. Diagram panah

A 2 3 4

B 4 6 8

2. Diagram cartesius

B 8 6 4 A

4 2 3pasangan 3. Himpunan berurutan R = { (2,4), (2,6), (2,8), (3,6), (4,4), (4,8)}

22


2. Pemetaan atau Fungsi a. Pengertian Pemetaan (Fungsi). Pemetaan atau fungsi dari A ke B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. Contoh :

A

B

A

B

A

B

3 4 5

1 2 3 4

1 2 3

1 2 3 4

a b c d

x y z

i

ii

iii

Contoh ii) bukan pemetaan sedangkan contoh i) dan iii) adalah pemetaan. Pada contoh iii) A disebut daerah asal (domain), B disebut daerah kawan (kodomain), dan {x, y} disebut daerah hasil (range). b. Menyatakan Pemetaan Karena pemetaan merupakan relasi maka pemetaan juga dapat dinyatakan dengan tiga cara yaitu : 1. Diagram panah 2. Diagram cartesius 3. Himpunan pasangan berurutan. c. Notasi pemetaan dan banyaknya pemetaan yang mungkin 1. Notasi Pemetaan Pemetaan atau fungsi dari himpunan A ke himpunan B dinyatakan dalam notasi dan rumus dalam fungsi f. A B Notasi f : x y Rumus f(x) = y, untuk setiap x anggota himpunan A dan y angota himpunan B. 1. Banyaknya pemetaan yang mungkin Jika n(a) = a dan n(B) = b maka banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B adalah ba dan dari B ke A adalah ab d. Korespondensi satu-satu. Pemetaan dari A ke B disebut korespondensi satu-satu apabila setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B dan anggota B dipasangkan dengan tepat satu anggota A. A B Contoh :

x y z

1 2 3

Jika n(A) = n(B) = n maka banyaknya korespondensi satu-satu dari A ke B adalah : n x (n-1) . (n-2) . ………. . 3 . 2 . 1 Contoh: A ={p,q,r,s,t} dan B = {1,2,3,4,5}maka n(A) = n(B) = 5 Banyaknya korespondensi satu-satu dari A ke B yang mungkin adalah: 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

23


Latihan 1

Kerjakan soal berikut dengan benar! 1. Buatlah dua relasi yang mungkin dari himpunan A = {3,4,5} ke himpunan B = {5,6,7,8}! 2. Empat orang anak bernama Irvan, Wawan, Mia, Ratna. Wawan dan Mia berkulit kuning, anak yang lain tidak. Wawan dan Ratna berambut keriting, anak yang lain tidak. Irvan dan Mia berbadan tinggi , anak yang lain tidak. a. Tulislah himpunan P yang anggotanya anak-anak dan himpunan Q yang anggotanya sifat anak-anak! b. Gambarlah diagram panah yang memasangkan setiap anak dengan sifatnya. c. Siapakah anak yang berkulit kuning dan berambut keriting? d. Siapakah anak yang berbadan tinggi tetapi tidak berkulit kuning? 3. Diketahui diagram panah berikut : A B a. Tulislah domain, kodomain, dan range dari pemetaan tersebut. a b. Gambarlah diagram cartesius dan tulis himpunan 1 pasangan berurutannya! b 2

3 4

c

4. Diketahui P ={huruf vokal}, da Q ={bilangan prima kurang dari 11}. a. Tulislah anggota himpunan P dan Q! b. Berapakah banyaknya pemetaan yang mungkin dari Q ke P! 5. Berapakah banyaknya korespondensi satu-satu yang mungkin dari himpunanhimpunan berikut ini: a. Dari himpunan N ={bilangan genap antara 10 dan 20} ke himpunan M ={kelipatan 3 antara 15 dan 30}. b. Dari himpunan A ={p,q,r,s,t,u}ke himpunan B ={bilangan prima antara 10 dan 30}. B. Merumuskan suatu fungsi 1. Notasi dan rumus fungsi. Jika fungsi f memetakan setiap x anggota A ke y anggota B dirumuskan : f:x  y Dibaca fungsi f memetakan x ke y, fungsi f dinyatakan dalam rumus f(x) = y Contoh : Fungsi f : x  2x – 7 Rumus fungsinya adalah f(x) = 2x – 7 2. Variabel bebas dan variabel bergantung. Suatu fungsi f dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutanyaitu {(x,y) | y = f(x), x  D} dengan D daerah asal (domain) fungsi f. Sehingga untuk y = f(x) , variabel x disebut variabel bebas dan y disebut variabel terikat. Contoh : y = f(x) = 3x + 2 dengan daerah asal {-2, -1, 0, 1, 2}. Tentukan daerah bayangan dan himpunan pasangan berurutannya! Jawab : y = f(x) = 3x + 2 Nilai fungsinya disajikan dalam tabel berikut ini : x -2 -1 0 1 2 3x + 2 -4 -1 2 5 8 Pasangan (-2, -4) (-1, -1) (0, 2) (1, 5) (2, 8) berurutan

24


C. Menghitung Nilai Fungsi Nilai suatu fungsi diperoleh dengan cara mensubstitusikan setiap nilai x yang diberikan pada rumus fungsi tersebut. Contoh: Suatu fungsi didefinisikan f : x  -2x + 3, Tentukan : a. Rumus fungsi ! b. Bayangan dari x = 3! c. Nilai a jika f(a) = -7! Jawab : a. Rumus fungsi f : x  -2x + 3, adalah f(x) = -2x + 3 b. Bayangan dari x = 3 adalah, f(3) = -2 (3) + 3 = -6 + 3 = -3 c. Nilai a jika f(a) = -7 f(a) = -2(a) + 3 -7 = -2a + 3 2a = 10 a =5 Latihan 1 Kerjakan soal berikut dengan benar! 1. Diketahui sebuah fungsi f : x  ½ x - 1 a. Tentukan rumus fungsi tersebut! b. Tentukan daerah hasil fungsi tersebut jika diketahui daerah asalnya adalah {0,1,2,3,4,5} c. Tuliskan himpunan pasangan berurutannya! 2. a. Tuliskan himpunan pasangan berurutan fungsi f : x  x2 dengan daerah asal {0,1,2,3,4} b. Gambarlah grafik himpunan pasangan berurutan fungsi tersebut! 3. Suatu fungsi didefinisikan f(x) = - ½ x- 4, Tentukan : a. Notasi fungsi ! b. Bayangan dari x = -4 c. Nilai a jika f(a) = -7 4. Buatlah tabel fungsi f(x) = 2x2 – 2x – 4 dengan daerah asal {bilangan bulat antara -4 dan 5} 5. Suatu fungsi dinotasikan dengan f : x  ax + b , Jika f(-3) = 6 dan f(9) = 2 , Tentukan : a. Nilai a dan b ! b. Rumus fungsinya !

Uji Pemahaman Konsep I. Berilah tanda silang (x) pada huruf a, b, c atau d pada jawaban yang paling tepat ! 1. Diketahui himpunan pasangan berurutan {(0,2), (1,3),(2,4),(3,5),(4,6)}. Relasi tersebut menunjukkan …. a. “lebih dari” c. “dua lebihnya dari” b. “kurang dari” d. “dua kurangnya dari” 2. Jika A = {2,3,4,5} dan B = { 2,4,6,8 } himpunan pasangan berurutan relasi “satu ditambah setengah dari” dari himpunan A ke himpunan B adalah … a. {(2,4), (3,6),(4,8)} c. {(2,2), (3,6),(4,8)} b. {(2,2), (3,4),(4,6),(5,8)} d. {(2,8), (3,6),(4,4),(5,2)}

25


3.

A

B

2

4

3

6

4

8

Relasi dari himpunan A ke himpunan B pada diagram panah disamping adalah …. a. faktor dari c. lebih dari b. kurang dari d. setengah dari

4. Dari himpunan pasangan berurutan berikut yang merupakan pemetaan adalah …. a. {(2,a), (3,b),(3,c),(4,d)} c. {(2,a), (3,a),(4,a),(5,a),(6,a)} b. {(2,a), (3,b),(4,c),(2,d)} d. {(2,a), (2,b),(2,c),(2,d),(2,e)} 5.

a b c d

p q r s

Daerah hasil dari pemetaan yang ditunjukkan pada diagram panah di samping adalah …. a. {a,b,c,d} c. {a,b,c,d,p,q,r} b. {p,q,r,s} d. {p,q,r}

6. Diketahui : A = {x | x < 4 , x bilangan asli} B = {x | x < 4 , x bilangan prima} C = {x | x faktor prima dari 70} D = {x | 2 < x < 10 , x bilangan ganjil} Yang dapat berkorespondensi satu-satu adalah …. a. A dan B b. A dan C

c. B dan D d. C dan D

7. Banyaknya korespondensi satu-satu yang mungkin terjadi dari himpunan P = { bilangan prima kuarang dari 13 } ke himpunan Q ={ faktor dari 16} adalah …. a. 8 cara c. 24 cara b. 16 cara d. 120 cara 8. Pada pemetaan g : x  ½ (x-5), jika g : a  - 4 , maka nilai a adalah …. a. -3 c. 3/2 b. – 3/2 d. 3 9. Suatu fungsi dinotasikan f : x  ax + b jika f(-2) = 7 dan f(5) = - 7, maka nilai a dan b adalah …. a. 2 dan 3 c. 2 dan -3 b. -2 dan 3 d. -2 dan -3 10. Fungsi h : x  mx + n diketahui h(-2) = 1 dan h(0) = 5 maka nilai h (-7) adalah …. a. 5 c. - 9 b. –2 d. – 15 II. Isilah Titik-titik pada soal berikut ini dengan jawaban yang tepat! 1. Dari himpunan pasangan berurutan {(0,0), (3,1), (6,2), (9,3),(12,4)} relasinya adalah …. 2. Jika A = {2,3,5,7} dan B = {faktor prima dari 30} maka banyaknya pemetaan yang mungkin dari himpunan A ke himpunan B adalah …. 3. Diketahui fungsi f(x) =

1 (x – 4) dengan daerah asal lima bilangan cacah yang pertama, 3

maka himpunan pasangan berurutannya adalah …. 4. Untuk fungsi g : x  4 – 3x dengan g(a) = - 17 maka nilai a adalah …. 5. Fungsi f(x) = ax + b diketahui f(-2) = 7 dan f(3) = -3 maka nilai a + b adalah ….

26


III. Jawablah soal-soal berikut dengan uraian yang singkat dan tepat ! 1. Diketahui A = {1,2,3,4} dan B = {2,4,6}. Relasi dari himpunan A ke himpunan B didefinisikan “ faktor dari “ nyatakan relasi tersebut dengan : a. Diagram panah b Himpunan pasangan berurutan 2. Jika P = { faktor prima dari 42 } dan Q = {bilangan prima kurang dari 7}, tunjukkan dengan diagram panah banyak korespondensi satu – satu yang mungkin dari P ke Q. 3. Diketahui fungsi f : x  - ¼ (x +3) , tentukan : a. Bayangan dari 0 dan 5 b. Nilai x jika f : x  - 7/2 4. Diketahui fungsi f(x) = x2 – 1 a. Buatlah tabel untuk daerah asal { -3,-2,-1,0,1,2,3,4,5} b. Buatlah grafik dari pemetaan tersebut dan gambarlah kurva yang mulus melalui titik-titik tersebut. 5. Suatu fungsi dirumuskan f(x) = ax + b. jika diketahui f(-30 = 8 dan f(6) = 3 tentukan : a. Nilai a dan b b. Notasi fungsinya. c. Bayangan dari 2. 6. Suatu relasi ditunjukkan oleh himpunan pasangan terurut {(–8,  1, –4), ( 

1 ), (–4, –1), (–2, –2), (– 2

1 , –8) 2

a. Tulislah anggota – anggota dari himpunan pertama dan himpunan ke dua! b. Nyatakan dengan kata – kata relasi dari himpunan pasangan terurut tersebut! c. Gambarlah grafik cartesius untuk relasi tersebut, kemudian kurva yang mulus melalui titik – titik tersebut! 7. Diketahui suatu himpunan A = {1, 2, 3, …, 20}. Relasi pada didefinisikan dengan “x adalah seperempat y” dengan x dan y anggota himpunan A. a. Nyatakan relasi tersebut sebagai himpunan pasangan berurutan (x, y) b. Apakah relasi tersebut merupakan suatu pemetaan? Mengapa? 8. Tiga kesebelasan sepak bola Juventus, AC Milan dan AS Roma. Dalam suatu kompetisi setiap kesebelasan tersebut akan bertanding melawan setiap kesebelasan yang lain sebanyak dua kali, satu kandang dan satu tandang. Apabila setiap pertandingan disajikan dalam himpunan pasangan berurutan, tentukan himpunan pertandingan yang harus dilakukan kemudian gambarlah diagram panahnya! 9. Untuk memberi kode harga barang seorang pedagang memilih kata PUTRA SOLEH dengan setiap huruf mewakili angka 0 sampai 9 urut dari huruf P sampai dengan huruf H. Suatu barang yang harganya Rp 2750,00 diberi kode TLSP/PP a. Bagaimana menandai harga (i) Rp 1.725,00 (ii) Rp 3.525,00 b. Apa arti kode berikut ini: (i) HTSP/PP (ii) UPLTS/PP 10. Diketahui suatu fungsi yang dirumuskan f(x) = 12 + 2x – 2x2. a. Buatlah tabel fungsi tersebut dengan daerah asal {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} b. Berdasarkan fungsi tersebut tentukan nilai maksimum fungsi, pembuat nol fungsi dan daerah hasilnya. c. Gambarlah grafik fungsi tersebut dalam diagram cartesius dengan kurva yang mulus.

27


BAB V STATISTIKA A. UKURAN PEMUSATAN DATA 1. Rataan Hitung (mean) Rataan Hitung (mean) adalah jumlah semua nilai data ynag diamati dibagi banyknya data yang diamati. Secra rumus ditulis:

x1  x2  x3  ....  xn X n Catatan :  X = Rataan Hitung (Mean)  Xn = data ke – n  n = Banyaknya data Apabila datanya dalam bentuk tabel, maka rataan hitung dirumuskan:

X 

 f .X f i

i

i

Catatan :  fi = frekuensi ke – i  Xi = data ke – i Contoh 1 Dari data pada tabel dibawah tentukan rataan hitungnya! Data 2 3 4 5 6 7 8

Frekuensi (f) 2 1 5 6 7 3 6

Jawab:

X 

 f .x f i

i

i

2.2  1.3  5.4  6.5  7.6  3.7  6.8 X  2 1 5  6  7  3  6 188 X   6,26 30

Jadi rataan hitung data tersebut adalah 6, 26 2. Median Median adalah nilai tengah suatu data yang telah diurutkan, untuk jumlah data genap median adalah rataan hitung dari dua nilai data yang ada di tengah. Untuk menentukan median dari data tungal dapat dilakkukan dengan cara: a. Mengurutkan data kemudian dicari nilai tengahnya (untuk data kecil) b. Untuk data yang jumlahnya besar setelah diurutkan gunakan rumus:  Untuk data ganjil

Me  X 1 2

28

n 1




Untuk data genap

X n  Xn Me 

  1  2 

2

2

Contoh 2 Dari data dibawah ini tentukan medianya Data 2 3 4 5 6 7 8

Frekuensi (f) 2 1 5 6 7 3 6

Jawab

X n  Xn Me 

  1  2 

2

2



X 15  X 16 6  6  6 2 2

Jadi median dari data tersebut dalah 6

3. Modus Modus adalah nilai data yan paling sering muncul. Jika data disajkan dengan tabel maka modus adalah data dengan frekuensi paling besar atau paling banyak. Contoh 3 Diberikan data sampel tentang nilai 10 siswa untuk bidang studi matematika sebagai berikut: 6 8 5 7 9 6 7 6 8 5 Tentuakan modus dari data diatas! Jawab: Karena nilai 6 paling sering muncul (3 kali) maka modus dari data diatas adalah 6. Latihan 1 1. Mean, Median dari data: 12, 11, 14, 8, 17, 14, 11, 9, 17 berturut-turut adalah … . 2. Modus dari data : 3, 3, 8, 7, 4, 2, 8, 8, 3, 5 adalah … . 3. Rataan dari data: 2, 3, 2, 7, 5, 8, 7, 7, 11, 9, 12 adalah … . 4. Nilai rata-rata ulangan matematika dari 40 siswa adalah 51. Jika seorang siswa yang mendapat nilai 90 tidak dimasukkan dalam rata-rata, maka nilai rata-rata ulangan matematika menjadi … . 5. Nilai k yang memenuhi bila diketahui rataan hitung pada tabel berikut adalah 22,12 adalah … xi fi 20 3 21 5 22 k 23 6 24 4

29


B. PENYAJIAN DATA Hal yang perlu diperhatikan ketika membuat grafik : 1. Menentukan sumbu absis (X) dan ordinat (Y). Sumbu absis mencantumkan nilai dan sumbu ordinat mewakili frekuensi. 2. Menentukan perbandingan antara X dan Y. Lazimnya sumbu X dibuat lebih panjang. 3. Pemberian nama pada tiap sumbu. 4. Pemberian nama pada grafik. Jenis Grafik, Bagan dan Diagram : Histogram, Poligon, Ogive, Bagan melingkar, grafik batang, Piktogram, diagram garis. 1. Histogram Grafik ini disebut juga Bar diagram yakni grafik berbentuk segi empat. Dasar pembuatan dengan menggunakan batas nyata atau titik tengah. 2. Poligon Grafik ini juga populer dengan sebutan poligon frekuensi. Dibuat dengan menghubungkan titik tengah dalam bentuk garis (kurve). Grafik ini mendasarkan pada titik tengah dalam pembuatannya. 3. Grafik Ogive Disebut juga grafik frekuensi meningkat (kumulatif), karena cara pembuatannya dengan menjumlah frekuensi pada tiap nilai variabel. 4. Grafik Batang atau balok Yaitu grafik yang berbentuk persegi panjang yang lebarnya sama dan dilengkapi dengan skala atau ukuran sesuai data yang bersangkutan. Setiap batang tidak boleh saling melekat atau menempel dan jarak tiap batang harus sama. Susunan grafik ini boleh tegak atau mendatar.Diagram batang dapat pula digunakan untuk membandingkan gambaran dua keadaan atau lebih secara visual. Sebagai contoh sebagai berikut:

Pertumbuhan 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Keterangan : Industri Jasa

Korsel

China

Taiwan

Indon. Malaysia Philipina

Pertumbuhan sector Industri dan Jasa beberapa negara Asia tahun 1995 5. Piktogram Yaitu grafik data yang menggunakan gambar atau lambang dalam penyajiannya. 6. Grafik garis Yaitu grafik data berupa garis yang diperoleh dari ruas garis yang menghubungkan titik-titik pada bilangan.

30


Grafik jenis ini dibuat dengan 2 sumbu yakni sumbu X menunjukkan bilangan yang sifatnya tetap, seperti tahun, ukuran dan sebagainya. Sedangkan pada sumbu Y ditempatkan bilangan yang sifatnya berubah-ubah seperti, harga, biaya dan jumlah. Sebagai contoh perhatikan diagram di bawah ini:

Pertumbuhan 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1990

1991

1992

1993

1994

1995

Dari gambar di atas dengan mudah bisa disimpulkan bahwa suatu negara telah berhasil melakukan pembangunan di bidang jasa sehingga pertumbuhannya mengalami kenaikan yang sangat cepat sejak tahun 1990 hingga 1993, kemudian menurun dan kembali membaik pada tahun 1995. 7. Bagan melingkar/ grafik melingkar Yaitu grafik atau bagan berupa lingkaran yang telah dibagi menjadi beberapa bagian sesuai dengan proporsi data. Biasanya dinyatakan dalam persen. Untuk mendapatkan besarnya segmen/bagian setiap variabel dalam lingkaran, maka digunakan besarnya sudut yang dimiliki oleh masing-masing variabel yang dihitung dengan cara berikut : Gaji dan Upah = 1900,8/3.714,0 x 100% = 51,17% (dibulatkan menjadi 51,2%) Besarnya sudut = 51,17% x 3600 = 184,24  1840 , dan seterusnya sama untuk variabel lainnya

31


Latihan 2 Kerjakan soal di bawah ini denganbenar! 1. Perhatikan gambar! Diagram lingkaran di samping menunjukkan jenis pekerjaan penduduk di desa Jatimalang yang berjumlah nelayan PNS 90 2520 orang. Banyaknya penduduk yang bekerja debagai PNS adalah … orang. TNI 15 0

0

lain-lain 75 0

2.

petani 60 0

Carilah sebuah data di sekitarmumu kemudian sajikan dalam bentuk diagram batang, garis, dan lingkaran! Uji Pemahaman Konsep

I. Berilah tanda silang (x) pada huruf a, b, c atau d pada jawaban yang paling tepat ! 1. Diketahui hasil ulangan seorang anak dengan nilai sebagai berikut : 6, 8, 8, 7, 6, 7, 8, 6, 8, 7. Nilai rata-rata anak tersebut adalah ... . A. 7,0 B. 7,1 C. 7,2 D. 7,3 2. Nilai rata-rata 40 anak adalah 6,2. Jika ditambah nilai dua anak yang lain rata-ratanya menjadi 6,25. Rata-rata nilai dua anak tadi adalah ... . A. 7,25 B. 7,3 C. 7,35 D. 7,4 3. Nilai rata-rata sekelompok anak adalah 6. Jika ditambah nilai seorang anak yang lain yang mendapat nilai 9,5 rata-ratanya menjadi 6,1. Banyaknya anak dalam kelompok semula adalah ... A. 32 C. 36 B. 34 D. 38 4. Nilai rata-rata siswa putra adalah 6,5 dan nilai rata-rata siswa putri 7. jika nilai rata-rata siswa dalam kelas adalah 6,82, maka perbandingan banyaknya siswa putra dengan siswa putri adalah ... . A. 5 : 12 C. 9 : 16 B. 4 : 13 D. 8 : 15 5. Diagram di bawah menunjukkan hasil panen dalam setahun terakhir di KUD “Maju”. Jika total panen mendapatkan 45 ton, maka hasil dari panen padi sebanyak ... . kacang kedelai 300 800 jagung

A. B. C. D.

32

padi

20 ton 22 ton 25 ton 30 ton


6. Diagram batang di bawah menunjukkan data produksi gula pada pabrik “Madu manis” dalam empat tahun terakhir. Banyaknya produksi gula pada tiga tahun terakhir adalah ... ton 425 400 350 300 250 200 2003

2004

2005

2006

tahun

A. 358 ton B. 825 ton C. 1075 ton D. 1275 ton 7. Diagram garis di bawah menunjukkan perubahan suhu badan seorang pasien dari pukul 07.00 sampai 11.00. Kenaikan suhu paling besar terjadi pada selang pukul ... . suhu 38 37 36 35 34

07.00

08.00

09.00

10.00

11.00

jam

A. 07.00 – 08.00 B. 08.00 – 09.00 C. 09.00 – 10.00 D. 10.00 – 11.00 8. Tinggi badan rata-rata dari data di bawah adalah ... . Tinggi badan 130 135 136 138 frekuensi 8 12 10 10 A. 130 B. 135 C. 136 D. 138 9. Jika nilai rata-ratanya 7,25 maka banyaknya anak yang mendapat nilai 8 adalah ... . Nilai 5 6 7 8 9 frekuensi 4 8 10 x 8 A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 10. Median dari data di bawah adalah ... . Nilai 6 7 8 9 10 frekuensi 6 8 6 7 9 1 A. 7 2 B. 8 C. 8 12 D. 9

33


II. Isilah Titik-titik pada soal berikut ini dengan jawaban yang tepat! 1. Data milai ulangan matematika Asep pada semester I sebagai berikut : 7, 7 12 , 8, 7 12 , 8 12 , 9, 8 12 , 9. Maka nilai rata-ratanya adalah … . 2. Data nilai ulangan siswa klas VI sebagai berikut : (untuk soal nomor 2 – 4)

6, 7, 5, 8, 9, 7, 6, 8, 9, 8, 8, 9, 7, 8, 6, 9, 7, 5, 9, 8 Nilai median data itu adalah … . 3. Berdasarkan data di atas, maka nilai modusnya adalah … . 4. Berdasarka data di atas, maka nilai meannya adalah … . 5. Nilai rata-rata ulangan matematika dari 40 siswa adalah 51. Jika seorang siswa yang mendapat nilai 90 tidak dimasukkan dalam rata-rata, maka nilai rata-rata ulangan matematika menjadi … . III. Jawablah soal-soal berikut dengan uraian yang singkat dan tepat ! 1. Nilai rata-rata ulangan Matematika dari 30 siswa adalah 7. Kemudian 5 orang siswa mengikuti ulangan susulan sehingga nilai rata-rata keseluruhan menjadi 6,9. Nilai ratarata siswa yang mengikuti ulangan susulan adalah ... . 2. Diberikan sebuah data : 4, 3, 3, 4, 3, 7, 5, 5, 7, 7, 5, 9, 7, 9. Tentukan: a. Mean b. Median c. Modus 3. Data pekerjaan di desa “Maju”. Jumlah penduduk usia kerja 120 orang, dengan rincian pekerjaan sebagai berikut: 40 orang sebagai petani, 20 orang sebagai PNS, 30 orang sebagai karyawan swasta, 10 orang sebagai TNI/POLRI, 15 orang pedagang, sisanya masih menganggur. Dari data tersebut buatlah diagram: a. Garis b. Batang c. Lingkaran

34


BAB VI KONVERSI SATUAN Dalam berbagai bidang ilmu pastilah kita akan berjumpadengan system satuan, dalam berbagai kasus seringkali kita harus melakukan manipulasi ataupun konversi satuan itu dalam standar internasional, ataupun untuk menyesuaikan dalam perhitungan. Pada kesempatan kali ini kita mencoba melakukan konversi satuan pada beberapa topic di berbagai bidang ilmu, baik pada ilmu eksakta (Fisika, Kimia, Biologi,dsb) ataupun dalam ilmu social (Geografi, Ekonomi, dan sebagainya). Dengan menggunakan sistem metrik, satuan yang lebih besar atau lebih kecil didefinisikan dalam bentuk perkalian atau kelipatan 10. Misalnya, 1 kilometer = 1.000 m, 1 1 1 meter, dan 1 milimeter = 1.000 centimeter = 100 meter. Awalan centi-, kilo-, mili-, dan sebagainya disajikan pada Tabel berikut. Awalan

Simbol

Faktor

exapentateragigamegakilohektodekadecicentimiliMikronanopikofemtoatto

E P T G M k h da d c m

1018 1015 1012 10 9 10 6 10 3 10 2 101 10 1 10 2 10 3 10 6 10 9 10 12 10 15 10 18

 n p f a

Awalan-awalan pada Tabel tersebut dapat digunakan untuk semua besaran fisika. 1 miligram = 1 mg = 10 3 g

Panjang 1 nanometer = 1 nm = 10 9 m

Waktu

1 mikrometer = 1 m = 10 m

1 nanosekon = 1 ns = 10 9 s

1 centimeter = 1 cm = 10 2 m

1 mikrosekon = 1 s  10 6 s

1 kilometer = 1 km = 103 m

1 milisekon = 1 ms = 10 3 s

6

Massa 1 kilogram = 1 kg = 10 3 g

1 mikrogram  1 g  10 6 g

35


LATIHAN 1 1. Ungkapkan nilai-nilai berikut dengan menggunakan awalan: (a) 108 kg, (b) 10 6 m, (c) 5  10 7 s. 2. Isilah titik-titik di bawah ini! (a) 1 milisekon = ….. sekon (b) 1 gigameter = ….. meter (c) 1 dekagram = ….. gram

Konversi Satuan Kita pernah mendengar informasi tentang beberapa ukuran yang dinyatakan dalam satuan tertentu. Organisasi negara-negara pengeskpor minyak (OPEC) menggunakan barrel sebagai satuan volume. Dalam bidang pelayaran, jarak yang ditempuh kapal biasanya diukur dengan satuan mil. Di Amerika Serikat, satuan volume diukur dengan satuan gallon. Nah, bagaimanakah kita dapat memahami satuan-satuan ini? Untuk memahami satuan-satuan di atas, kita perlu mengubah satuan-satuan tersebut menjadi satuansatuan yang mudah dipahami. Perubahan satuan ini biasanya disebut dengan istilah konversi satuan. Konversi satuan ini dapat dilakukan dengan menggunakan faktor konversi satuan, sebagaimana disajikan berikut ini: Massa Luas 1 kg = 1.000 g = 0,0685 slug 1 cm2 = 0,155 inci2 1 slug = 14,59 kg 1 m2 = 104 cm2 = 10,76 kaki2 Panjang 1 m = 100 cm = 1.000 mm = 106 m = 109 nm 1 km = 1.000 m = 0,6214 mil 1 m = 3,281 kaki = 39,37 inci 1 cm = 0,3947 inci 1 inci = 2,540 cm 1 kaki 30,48 cm 1 mil = 5.280 kaki = 1,609 km 1 mil laut = 6.080 kaki

Volume 1 liter = 1.000 cm3 = 1.000 cc 1 liter = 1 dm3 1 ml = 1 cm3 3 1 kaki = 0,02832 m3 = 28,32 liter = 7,477 galon 1 galon = 3,788 liter

Waktu 1 menit = 60 s 1 jam = 3.600 s 1 hari = 86.400 s 1 tahun = 365, 24 hari = 3,156  107 s

Untuk memudahkan melakukan konversi besaran panjang, massa, dan waktu kalian dapat menggunakan tangga konversi, seperti ditunjukkan pada Gambar 1.17. Setiap naik satu anak tangga, nilai mula-mula dibagi 10. Sebaliknya, setiap turun satu anak tangga, nilai mula-mula harus dikalikan 10. Untuk memberi gambaran penggunaan tangga konversi, perhatikan uraian di bawah ini.

36


Misalnya, kalian ingin mengkonversi 3,45 meter ke sentimeter. Dalam tangga konversi, satuan cm terletak dua anak tangga di bawah satuan m. Artinya, untuk mengkonversi satuan meter ke sentimeter kita harus menuruni dua anak tangga. Jadi, kita harus mengalikan bilangan mula-mula, yaitu 3,45, dengan 100. Diperoleh,

3,45 m  3,45  100 cm  345 cm. Sekarang seandainya kalian ingin mengkonversi 405 gram ke kilogram. Dalam tangga konversi, satuan kilogram terletak tiga anak tangga di atas satuan gram. Artinya, untuk mengkonversi satuan gram ke kilogram kita harus menaiki tiga anak tangga. Jadi, kita harus membagi bilangan mula-mula, yaitu 405, dengan 1.000. Diperoleh,

405 gram 

405 kg  0,405 kg. 1.000

Sebagai alternatif, untuk mengubah satuan dapat dilakukan dengan mengalikan sebuah pecahan yang bernilai satu. Sebagai contoh, dengan mengingat 1 m = 100 cm maka

1m 100 cm   1. 100 cm 100 cm Jadi,

232 cm  232 cm 

37

1m  2,32 m. 100 cm 


Contoh Soal

 60 s    180 s.  1 me nit 

1. 3 menit  (3 me nit)  

 36 km    1.000 m   1 ja m 

36.000 m

    10 m/s. 2. 36 km/jam     j a m 3.600 s    3.600 s      1 km LATIHAN 2 Isilah titik-titik di bawah ini. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

600 cm = … dm 250 dam = … mm 538 cm3 = … L 225 cc = dm3 25 mL = … dm3 0,07 km = … km 2 kL = … L 2,45 kg = … mg

38


9. 200 mil = km 10. 600 kaki = … cm 11. 12 inci = … cm 12. 500 mg = … g 13. 5 galon = … cm3 14. 245 mm = … dm 15. 2.075 mg = … g

0 bocormatematika.wordpress.com. Oleh: TIM Guru MATEMATIKA MA Negeri Purbalingga

Recommend Documents