σ = = (y', z' ) = EI (z') y'

178

5.4.2. Változó keresztmetszetű rudak tiszta hajlítása Enyhén változó keresztmetszetű, tiszta hajlításra igénybevett rúdnál az egyes pontok feszültségi állapota - a változó keresztmetszetű rudak tiszta nyomásához vagy húzásához hasonlóan - nem lineáris, hanem térbeli lesz. A gyakorlati számításokhoz azonban általában elegendő a z irányhoz tartozó normálfeszültséget figyelembe venni, s a többi feszültségkomponenst pedig ugyanúgy számítjuk, mint a prizmatikus rúd hajlításánál:

σ z'z' = σ zz = σ zz (y', z' ) =

M x' y' EI x'x' (z' )

5.65

csupán arra kell ügyelnünk, hogy a keresztmetszet változása miatt a hajlítás tengelyére vonatkozó másodrendű nyomaték a keresztmetszet helyének függvénye. A normálfeszültség tehát nemcsak y'-nek, hanem z'-nek is függvénye. Ugyanezen ok miatt a semleges tengely görbületi sugara sem állandó:

M x' 1 = ρ(z) EI x'x' (z)

,

5.66

a rúd alakja nem körív, hanem bonyolultabb görbe lesz. A semleges tengely alakjának meghatározásával később foglalkozunk. Az enyhén változó keresztmetszetű rúdban felhalmozott rugalmas energiát (5.63) integrálásával nyerjük, most azonban a keresztmetszet másodrendű nyomatékát nem emelhetjük ki az integráljel elé, hiszen az a z koordináta függvénye.

Erősen

és

hirtelen

változó

keresztmetszetű

rudak

hajlításánál (5.45. ábra) éppúgy feszültségcsúcsok lépnek fel,

mint

húzó-

vagy

nyomóigénybevételnél.

E

feszültségcsúcsokat, illetve a hossztengelyre merőleges irányú

normálfeszültségeket

és

az

esetleg

fellépő

nyírófeszültségeket megint alaktényezők felhasználásával számíthatjuk,

melyeket

műszaki

táblázatokból

határozhatunk meg. 5.4.3. Egyenletes szilárdságú hajlított rudak Az igénybevételek közti ismert kapcsolat, a

dM(z) = T(z) dz 5.45. ábra

5.67

összefüggés révén könnyen beláthatjuk, hogy tiszta

179

hajlításkor a hajlítónyomaték nagysága a rúd hossza mentén nem változhat. Változó nyomatéknál ugyanis nyíróigénybevételnek is ébrednie kellene, ilyenkor azonban már összetett (hajlítás és nyírás) a keresztmetszet igénybevétele. Most mégis feltesszük, hogy a hajlítónyomaték a rúd hossza mentén változik, de a nyíróigénybevétel hatását elhanyagoljuk. A hajlításból származó normálfeszültséget és annak maximumát a tiszta hajlításnál levezetett összefüggések analógiájára számíthatjuk:

σ z'z' =

M x' (z) y' , I x'x '

σ

z'z'max

=

M x' (z) K x'

5.68/a/b

Prizmatikus rúdnál a keresztmetszet alakja és jellemzői állandók, így a változó nagyságú hajlítónyomaték hatására a normálfeszültség eloszlására jellemző ferde egyenes meredeksége, s ezzel együtt azok szélső értéke is a keresztmetszet helyének függvénye. Az egyenletes szilárdságú húzott és nyomott rúd fogalmához hasonlóan a hajlított rudaknál is meghatározhatunk egy, a hajlítónyomaték változásához igazodó keresztmetszetet, amely mellett a normálfeszültségek szélső értéke minden keresztmetszetben ugyanakkora. Az ilyen hajlított rudat egyenletes szilárdságúnak nevezzük, jóllehet csak a szélső szálak feszültségei egyeznek meg, míg a szélső szálaknál kisebb távolságra lévő keresztmetszeti pontokban a szélső értékeknél alacsonyabb feszültségszintet kapunk (ezen kívül a húzott és nyomott öv szélső feszültségeinek sem kell abszolút értékre megegyezniük). Anyagfelhasználás szempontjából a leggazdaságosabb rúdalakot mégis az ezen a módon definiált egyenletes szilárdságú tartóval nyerjük. Az egyenletes szilárdságú tartó alakját a hajlítónyomatéki függvény mellett a keresztmetszet alakja befolyásolja döntően. Ha a hajlítóigénybevétel függvénye lineáris (ilyen az egyik végén befogott, szabad végén a rúdtengelyre merőleges hatásvonalú, koncentrál erővel terhelt tartó nyomatéki függvénye) és a keresztmetszet alakja téglalap, kétféleképpen is elkészíthetjük az egyenletes szilárdságú tartóalakot. A

1 K x' = sv 2 6 (s - a téglalap hajlítás tengelyével párhuzamos oldalának hosszúsága, v - az erre merőleges hosszúság) kifejezésnek megfelelően v állandó értéken tartásával s lineárisan változik, s állandó értéken tartása mellett pedig v-re egy másodfokú függvényt kapunk. Ezeket a függvényeket (5.68/b) felhasználával könnyen meghatározhatjuk. A levezetést az olvasóra bízzuk. E helyett inkább újra megvizsgáljuk a természet "mechanika tudását". Tegyük fel, hogy a rúd kör keresztmetszetű, s az 5.46. ábrának megfelelően, alsó vége befogott, felső szabad végén M0 koncentrált nyomaték és F koncentrált erő hat. Legyen σ 0 az a feszültség, amelyet szélső szálakban megengedünk és határozzuk meg, hogyan változzon az oszlop d(z) átmérője, hogy az egyenletes szilárdság elvét kielégítsük. A hajlítónyomatéki függvény:

180

M(z) = M0 + Fz, a kör keresztmetszet hajlítás tengelyére vonatkozó keresztmetszeti tényezője:

K x (z) =

d 3 (z)π . 32

(5.68/b) felhasználásával:

σ 0 = σ zzmax =

M x (z) M 0 + Fz = 3 K x (z) d (z)π 32

innen

d(z) =

3

32(M 0 + Fz) σ 0π

vagy

a

szabad végre vonatkozó

σ0 =

32M 0 d 30π

összefüggésből meghatározható a d0 kezdeti átmérővel kifejezve:

d(z) = d 0

3

5.46. ábra

M 0 + Fz M0

Az egyenlő szilárdságú hajlított oszlop kör keresztmetszetének átmérője tehát egy harmadfokú függvény szerint változik. Jó közelítéssel ilyen alakot vesznek fel a szél hajlító hatásának kitett fatörzsek, különösen akkor, ha a fa anyagának sűrűsége viszonylag kicsi s ezért a normáligénybevétel hatására kialakuló exponenciális határvonal nem szembeötlő (pl. a fenyőféléknél). A valóságban ez a két alak ötvöződik, a fatörzs alakjára jellemző meridiánvonal felső részén a hajlítás következtében kialakuló harmadfokú görbe, alsó részén pedig a nyomás hatására fellépő exponenciális görbe dominál. 5.4.4. Összetett keresztmetszetű rudak hajlítása Összetett keresztmetszetű rudak esetén a rétegek síkja és a hajlítónyomaték vektora által bezárt szög, a keresztmetszet alakja számtalan variációs lehetőséget biztosít. Ezek közül két, a gyakorlatban fontos esetet tanulmányozzák.

181

5.4.4.1. A rétegek síkja merőlegesen a hajlítónyomaték vektorára Terheljük tiszta egyenes hajlítással az 5.47. ábrán látható, téglalap keresztmetszetű, prizmatikus rudat, melyben a rétegek síkja párhuzamos a hajlítónyomaték síkjával. A rétegek magassága h, megegyezik a rúd magasságával, az i-edik réteg vastagsága pedig vi, rugalmassági modulusza Ei. Mivel a rétegek egymáshoz elmozdulásmentesen vannak összeerősítve, a deformációra jellemző görbületi sugarak egyenlők és meg kell egyezniük a homogénnak feltételezett rúd eredő görbületi sugarával. (5.57) felhasználásával:

5.47. ábra

M x'i 1 1 Mx = = = ρ i E i I xx,i ρ eredő E eredő I xx

,

ahol Ixx,i - az i-edik réteg másodrendű nyomatéka a hajlítás tengelyére, n

Ixx =

∑I

xx, i

- a teljes keresztmetszet másodrendű nyomatéka a hajlítás tengelyére,

i =1

Mx,i - a teljes Mx nyomatéknak az i-edik réteg által felvett része. Az igénybevétel definíciója értelmében tetszőleges keresztmetszetben: n

M x = ∑ M x,i . i=1

Helyettesítsük be ide az előző összefüggés első egyenlőségéből kifejezett Mx,i-t, majd a görbületi sugarak egyenlőségét felhasználva meghatározhatjuk az eredő rugalmassági moduluszt:

E eredő =

1 I xx

n

∑E I

i xx, i

i=1

12 = 3 vh

vih3 1 n Ei = ∑ Eiv i . ∑ 12 v i=1 i =1 n

Az egyes rétegekben a normálfeszültség eloszlására jellemző ferde helyzetű egyenes meredeksége a réteg rugalmassági moduluszával arányosan változik:

σ zz,i = E i ε zz,i = E i

Mx Ei M x y = Eiy = y ρi E eredő I xx E eredő I xx

182

5.4.4.2. A rétegek síkja párhuzamos a hajlítónyomaték vektorával Változtassuk meg a rétegződés irányát az 5.48/a. ábrának megfelelően. Az egyes rétegek keresztmetszetalakjára most csak annyi megkötést teszünk, hogy két szimmetriatengelyük legyen. A teljes keresztmetszet szempontjából elég, ha a hajlítónyomaték síkja szimmetriasík. A rétegek igénybevétele nem marad tiszta hajlítás, mert az elmozdulásmentes összeerősítés következtében az egyes rétegekben hajlítóigénybevétel mellett normálerő is fellép (a rétegek görbületi sugara különböző és kompatibilis alakváltozás létrejöttéhez bizonyos rétegeknek meg kell nyúlniuk, bizonyosaknak pedig össze kell nyomódniuk). Ha ismernénk az i-edik rétegben keletkező Mx,i hajlítónyomatékot és az Nz,i normálerőt, akkor a réteg súlyponti tengelyétől yi távolságra lévő pontban fellépő normálfeszültséget a két igénybevételtől származó normálfeszültség algebrai összegeként számítanánk. A normálfeszültség és a rugalmassági modulusz hányadosa pedig - a Hooke-törvény értelmében - megadja a z irányú fajlagos hosszváltozást:

ε zz,i =

σ zz,i Ei

=

M x,i E i I xx,i

 N 1  M x,i yi + =  y i + z,i E i Fi E i Fi E  E i I xx,i  E E N z,i

   ,  

5.69/a

illetve

5.48/a. ábra

ε zz,i =

N  1  M x,i yi + z,i  ,  E  J xx,i Ai 

5.69/b

ahol Fi és Ixx,i - az i-edik réteg keresztmetszet-területe a saját súlyponti tengelyére vonatkozó másodrendű nyomatéka, Ai és Jxx,i - az Ei/E-vel módosított terület és másodrendű nyomaték, amelyben E rugalmassági modulusz jellegű mennyiség, nagyságát teljesen szabadon választhatjuk, szerepe csak annyi, hogy az összefüggéseket egyszerűsíti.

183

A belső erők meghatározásához egyensúlyi és alakváltozási feltételeket kell megfogalmazni. A z irányú vetületi egyensúlyi egyenlet azt fejezi ki, hogy a teljes keresztmetszet összes normál-igénybevétele - z irányú külső erők hiányában - nulla:

∑F

iz

n

∑N

=0=

,

z,i

5.70

i =1

a belső erők és a terhelő nyomaték közti kapcsolatot pedig nyomatéki egyensúlyi egyenlettel fejezhetjük ki. Az 1. réteg súlypontján átmenő, x-szel párhuzamos tengelyre:

∑

n

M Sx1 = 0 = M x -

∑

n

M x, i +

∑a

i

Ni

,

5.71

i =1

i =1

ahol i

ai =

∑v

j

-

j=1

v1 + v i 2

,

az i-edik réteg súlypontjának az 1. réteg súlypontjától mért távolsága. Az első alakváltozási feltétel azt fejezi ki, hogy két réteg közös síkjában a szélső szálak fajlagos hosszváltozása megegyezik, ami az elmozdulásmentes kapcsolat következménye:

ε zz,i (felső sz á l)= ε zz,i+1 (alsó szá l ) ,

i = 1,2,..., n -1

5.72

a második alakváltozási feltétel pedig annak matematikai megfogalmazása, hogy a rúd valamely keresztmetszete az alakváltozás után is sík marad, tehát két egymás mellett lévő, z hosszúságú réteg viszonylagos szögelfordulása megegyezik:

∆ϕ = =

ε

zz,i

(alsó szá l ) - ε zz,i (fels ő szá l) vi

ε zz,i+1 (alsó szá l ) - ε zz,i+1 (fels ő szá l)

= ,

i = 1,2,...,n-1 .

5.73

v i+1 Helyettesítsük be a két utóbbi egyenlőségbe az (5.69/b) összefüggést, úgy, hogy yi-hez

alsó szál esetén vi/2-t, felső szál esetén -vi/2-t alkalmazunk. Rendezés után a következő két kifejezést nyerjük:

M x,i+1 J xx,i+1 M x,i+1 J xx,i+1

v i +1 + −

M x,i J xx,i

M x,i J xx,i

vi + 2

N z , i +1 A i +1

−2

N z,i Ai

=0 i = 1,2,...,n-1

=0

Ezek az egyenletek az (5.70) és (5.71) egyensúlyi egyenletekkel 2n egyenletből álló egyenletrendszert alkotnak, amelyből az n számú Mx,i és n számú Nz,i ismeretlen meghatározható. Ezeket

184

a kifejezéseket viszonylag egyszerűen megkapjuk, ha a fenti két egyenletből ismételt rekurzív helyettesítéssel kifejezzük az ismeretlen belső erőket Mx,i és Nz,i függvényében, majd ezek (5.70)-be és (5.71)-be való helyettesítése után az ismeretlenek meghatározhatók:

J xx, i

M x, i =

e1 =

∑a A ∑A i

,

A i (e 1 - a i ) J xx

N z, i = M x ahol

Mx

J xx

i

,

- a teljes keresztmetszet rugalmassági moduluszok arányában módosított

i

súlypontjának az 1. réteg súlypontjától mért távolsága, n

J xx =

∑ [J

xx,i

+ a 2i A i - e 2i A i ] ,

i=1

amely - mint az összefüggés alapján megállapíthatjuk - nem más, mint a teljes keresztmetszet módosított súlyponti x tengelyre vonatkozó módosított másodrendű nyomatéka. A belső erők ismeretében az i-edik réteg yi koordinátájú pontjában ébredő normálfeszültség:

σ zz,i =

M x,i I xx,i

yi +

N z,i

,

Fi

a feszültségeloszlás az 5.48. ábrán láthatóhoz lesz hasonló. A rúd semleges tengelyének görbületi sugarát a teljes keresztmetszet alsó és felső szálának fajlagos hosszváltozása alapján számítjuk:

1 ε zz (alsó szá l ) - ε zz (felső szá l) = n ρ ∑ vi

,

i=1

melyre (5.60/b)-vel az alábbi kifejezést kapjuk:

M 1 = ρ EJ

x

.

xx

Az eredő rugalmassági moduluszt úgy kapjuk, hogy a fenti összefüggést egyenlővé tesszük a homogénnek tekintett rúd Mx hatására kialakuló görbületével:

Mx 1 = ρ EJ xx

=

M

x

E ered ő I xx

,

ahonnan n

1 E eredő

=

1 I xx = E J xx

∑ [I

xx, i

+ (a i - e 1 ) 2 F i ]

i =1 n

∑E i =1

. i

2 i

2 1

[I xx, i + a F i - e F i ]

185

5.4.4.3. Eltérő húzó- és nyomórugalmassági modulusszal rendelkező anyagú rudak tiszta hajlítása A tiszta hajlítás elméleti tárgyalásánál láttuk, hogy a rúd semleges síkja alatt és felett eltérő előjelű normálfeszültségek ébrednek. Ha fenntartjuk azt a - gyakorlatilag jól teljesülő feltételt, hogy az eredetileg sík keresztmetszet az alakváltozás után is sík marad és a rúd anyagának rugalmassági modulusza húzásra és nyomásra különböző, akkor a normálfeszültségek eloszlása lineáris marad ugyan, de az egyenes meredeksége a húzott és nyomott övben különbözni fog. A változó meredekség ugyanakkor a semleges sík eltolódását vonja maga után, mert a normálfeszültségekből származó belső erők z irányú eredőjének nullával kell egyenlőnek lennie. A semleges tengely helyének, azaz a húzott és nyomott keresztmetszetrész zását

az

meghatáro-

5.4.4.2.

fejezet

eredményeinek felhasználásával végezhetjük el. Az eljárást a faanyagú rudak esetében leggyakrabban előforduló, téglalap keresztmetszeten mutatjuk be. A teljes keresztmetszetet az eltérő húzó- és nyomórugalmassági 5.48/b. ábra

moduluszoknak megfelelően két

részre osztjuk az egyelőre ismeretlen k tényező segítségével (5.48/b. ábra). A módosított súlypontnak a két réteg határvonalára kell esnie, így az előző fejezet módosított súlypontkoordinátát megadó kifejezésének felhasználásával: 2

e1 =

kh = 2

∑a

i

Ai

i=1 2

∑A i -1

i

E2 h (1 − k )hb E 2 = E1 E2 khb + (1 − k )hb E E 0+

,

ahonnan E1 = E+ és E2 = E- jelölés bevezetésével:

1

k = 1+

E+ E−

Faanyagnál E+ > E- , a fenti kifejezés nevezője mindig nagyobb 2-nél, a semleges tengely (a módosított súlypont) mindig a húzott oldal felé tolódik el. Az elvileg két rétegből álló keresztmetszet geometriai és rugalmassági jellemzőinek ismeretében már alkalmazhatjuk az előző fejezet összefüggéseit a normálfeszültség-eloszlás és

186

az eredő hajlító rugalmassági modulusz meghatározására. A húzott öv normálfeszültségeloszlása:

σ zz,1 =

kh F M x E 1 I xx,1 M x E1 1 2 M E+  kh  y1 + = y1 + = x  y1 +  , F1 I xx,1 E J xx F1 E J xx J xx E  2 N z,1

M x,1 I xx,1

a nyomott övé:

σ zz,2 =

M x,2 I xx,2

y2 +

N z,2 F2

=

M x E 2 I xx,2 I xx,2 E J xx

 kh  F2  − 2  2  M x E−  M E h  y2 + x 2 = y 2 − (1 − k).  F2 E J xx J xx E  2 

Könnyen ellenőrizhetjük, hogy a normálfeszültségek az 5.48/b. ábrának megfelelően alakulnak, s hogy a húzott és nyomott övben a feszültségeloszlás egyenesének meredeksége E+-szal és E-szal arányos. Az 5.4.4.2. fejezet utolsó összefüggésének felhasználásával megkapjuk az eredő hajlítórugalmassági moduluszt. Egyszerű rendezés után:

E ered ő

k2 = 3 E+ 3 k + (1 + k)

vagy a húzó- és nyomórugalmassági modulusszal kifejezve:

E eredő =

E+ E+ 1+ - − E

E+ E-

=

E+EE+ −

E+E- + E-

.

5.4.5. Erőtani méretezés 5.4.5.1. Megengedett feszültségen alapuló méretezési módszer A tiszta hajlításnál, mint láttuk, normálfeszültségek keletkeznek, így a méretezés során ezek maximumát kell összehasonlítani a megengedett feszültséggel:

σ

m ax

≤ σ

m

,

5.74

ahol

σ max =

M x' K x'

,

amelyben x' - a hajlítás tengelye, Mx' - a hajlítónyomaték vektorának x' tengelyre eső vetülete, Kx' - a keresztmetszet hajlítás tengelyére számított keresztmetszeti tényezője. Egyenes hajlításnál annyival egyszerűbb lesz a helyzet, hogy a hajlítás tengelye - minden külön számítás nélkül - a keresztmetszet súlypontjába tartozó, a hajlítónyomaték vektorával egybeeső másodrangú főtengely. Enyhén változó keresztmetszetű rúdnál abban a pontban kell számítani a normálfeszültség maximumát, amelyben az a lehető legnagyobb. Ha a rúd anyagának a megengedett feszültségen húzásra és nyomásra nem egyforma, akkor az ellenőrzést a pozitív és negatív feszültségmaximumokra is el kell végezni.

187

Alakváltozásra való méretezésnél a görbületi sugár minimuma nem lehet kisebb egy előírt, megengedett értéknél:

ρ min ≥ ρ m , ρ min -t a veszélyes keresztmetszetben az (5.67) kifejezéssel számítjuk.

5.75

Tervezésnél az (5.74) és (5.75) relációkban egyenlőséget tételezünk fel. 5.4.5.2. "Fél" valószínűséggel kiegészített határállapot módszer A rúd kielégíti az erőtani követelményeket, ha

MM ≤ MH ,

5.76

ahol MM-et a mértékadó teher alapján számítjuk, a határnyomaték pedig: MH = σ H Kx' , amelyet a veszélyes keresztmetszetben határozunk meg. Ha húzásra és nyomásra nem egyforma a határfeszültség, akkor az abszolút értékre kisebbet kell felhasználni. Alakváltozásra történő méretezésnél ugyanúgy járunk el, mint az előző módszernél, ρ min számításánál azonban a mértékadó nyomaték x'-re eső vetületét kell figyelembe venni. Tervezésnél itt is az egyenlőségekből indulunk ki. 5.5. Csavaró igénybevétel Láttuk, hogy tiszta hajlításnál a rúd feszültségi és alakváltozási állapotmezeje már nem homogén - mint húzásnál, nyomásnál és nyírásnál - az inhomogenitás csavaró igénybevételnél még szembetűnőbb. A csavarásnál keletkező feszültségek eloszlása, sőt magának a számításnak a módja is nagymértékben függ a keresztmetszet alakjától. 5.5.1. Kör (és körgyűrű) keresztmetszetű rudak tiszta csavarása Terheljük a kör keresztmetszetű, prizmatikus rúd véglapjait olyan - egyelőre nem részletezett - megoszló erőrendszerrel, hogy tetszőleges keresztmetszetben az igénybevétel: NK = N(z) = 0 , TK = T(z) = 0 , MK = M(z) = Mz = áll. legyen. A rúd keresztmetszeteinek igénybevétele, tehát Mz nagyságú, tiszta csavarónyomaték (5.49. ábra).

188

5.49. ábra A rúd alakváltozásáról a következőket állapíthatjuk meg. A körhenger alkotói az alakváltozás után csavaralakot vesznek fel. A keresztmetszetek a z tengely körül elfordulnak, de továbbra is síkok és eredeti alakjukkal egybevágóak maradnak. A rúd felületén kijelölt elemi derékszögű négyszög élhosszai nem, csak élszögei változnak meg. A z hosszúságú rúdelem (5.50. ábra) vizsgálatánál megállapíthatjuk, hogy amennyiben a két szélső keresztmetszet viszonylagos szögelfordulása ∆ϕ , akkor a henger z tengellyel párhuzamos szálainak γ szögváltozása a szál z tengelytől mért távolságának, 5.50. ábra r ∆ϕ = γ (r) ∆ z,

ahonnan

r-nek a függvénye. Az ábra alapján felírhatjuk:

γ (r) = r

∆ϕ , ∆z

mivel ∆ϕ és ∆ z hányadosa egy keresztmetszetben állandó, a γ szögváltozás r-nek lineáris függvénye. A rúd és a terhelés centrikus szimmetriája miatt a keresztmetszet síkjában lévő x és y tengelyrendszert tetszőlegesen el-forgathatjuk, ezért egy tetsző-legesen felvett pont környezetének elemi hasábja az 5.51/a. ábrán látható módon deformálódik. Az

εzy = εyz deformáció-

komponenseknek ugyanilyen indexű nyírófeszültség-komponensek felelnek meg a Hooke-

189

törvény értelmében (5.51/b. ábra). Vezessük be a σ zy = σ yz = τ jelölést. Ha az anyag nyírórugalmassági modulusza G, akkor

∆ϕ . ∆z

τ =τ (r) =Gγ (r)=Gr

5.77

A nyírófeszültség a keresztmetszet valamely pontjában arányos a pontnak a z tengelytől mért távol5.51. ábra

ságával, hatásvonala pedig merőle-

ges a középponttól a ponhoz húzott sugárra (5.49/e. ábra). A feszültség és a külső terhelés kapcsolatát a z tengelyre vonatkozó nyomatéki egyensúlyi egyenlet alapján határozhatjuk meg:

5.52. ábra

∑M

= 0 = M z - ∫ r τ(r)dA = M z - G

iz

A

∆ϕ 2 ∆ϕ r dA = M z - G IS , ∫ ∆z A ∆z

∆ϕ -t kifejezve és (5.77)-be helyettesítve kapjuk: ∆z M z τ (r) = r . IS

ahonnan

5.78

A feszültségeloszlást a kör keresztmetszet egy sugara mentén az 5.52. ábrán láthatjuk. Ne feledkezzünk meg arról, hogy a dualitás következményeként nemcsak a z normálisú, hanem az y normálisú felületen is fellépnek nyírófeszültségek. Erre különösen ott kell tekintettel lennünk, ahol a hossztengellyel párhuzamos síkokban az anyag nyírószilárdsága kisebb, mint a keresztmetszeti síkokban (pl. olyan fából készült rúd-

190

nál, amelynek hossztengelye párhuzamos a rostiránnyal). Ilyen esetekben a tönkremenetel a hossztengellyel párhuzamos síkok egymáson való elcsúszása következtében megy végbe. Egy rúd tetszőleges, r koordinátájú pontjában a feszültségi és alakváltozási állapot tenzorának mátrixa:

[T ] σ

  0 0 0 M  = 0 0 σ yz = z  IS  Mz  0 σ zy = r 0 IS 

   r    

 0 0  T ε = 0 0  σ zy   0 2G

[ ]

 0  σ yz   2G   0  

A két állapot Mohr-körei az 5.53. ábrán láthatók.

5.53. ábra A középponttól különböző r távolságra lévő pontok feszültségi állapota hasonló, csak a feszültségek nagysága különböző. A Mohr-körök jellege is ugyanaz, csupán átmérőik változnak r függvényében. Az 5.5.3. ábra segítségével megállapíthatjuk, hogy az egyik főfeszültségi, illetve főalakváltozási irány az x tengely, a másik két főirányt pedig az x, y tengelyek x tengely körüli 45°-os elforgatásával nyerjük. A főfeszültségek és főalakváltozások értéke:

σ 1 = -σ 3 = σ zy = σ yz

, ε 1 = -ε 3 = ε zy = ε yx .

A nyírófeszültség maximuma a keresztmetszet szélső pontjaiban, a kerületen ébred:

τ max =

Mz M M R= z = z IS IS KS R

,

5.79/a

ahol KS - a keresztmetszet poláris keresztmetszeti tényezője. Az L hosszúságú rúd alakváltozását, amely a fentiek értelmében a két végkeresztmetszet egymáshoz viszonyított elfordulása, egy szögelfordulással jellemezzük. Ezt az egyensúlyi egyenletből fejezhetjük ki:

191

Mz ∆z , GI S

∆ϕ = amelyből

ϕ = a

M z dz + ϕ * , GIS

∫

ϕ * integrálási állandót a kerületi feltételekből határozhatjuk meg. Ha az L hosszúságú rúd

egyik vége befogott, azaz egyik végének elfordulását meggátoljuk (5.5.4. ábra), a kerületi feltétel: ϕ (z = 0) = 0. E feltétel mellett a szögelfordulás:

ϕ(z) =

Mz z , GI S

a maximális szögelfordulás:

ϕ max = ϕ(z = L) =

M zL GI S

5.79/b

5.54. ábra amely a végkeresztmetszetek relatív elfordulása. A GIS szorzatot a rúd csavarómerevségének nevezzük. A dz hosszúságú rúdelemben felhalmozott rugalmas energia:

dU b =

1 1 (σ zy ε zy + σ yz ε yz )dV = [∫ 2σ zy ε zy dA]dz = 2 2 A

2

1 M2z

5.80

1 σ zy 1 M 2z 2 1 M 2z = [∫ dA]dz = [∫ 2 r dA]dz = dz 2 A G 2 A GI S 2 GI S2 2

Az L hosszúságú rúdban felhalmozott rugalmas energia és a külső erők saját munkája:

U

b

~ = U

b

=

∫ dU

b

1 = 2

L

∫ 0

M 2z 1 M 2z L dz = GIS 2 GIS

5.81

Könnyen beláthatjuk, hogy a körgyűrű keresztmetszet esetén a fent elmondottak érvényesek maradnak. Ilyenkor IS természetesen a körgyűrű poláris másodrendű nyomatékát jelenti. A feszültségeloszlás lineáris, de - az 5.55. ábrának megfelelően - feszültség csak a keresztmetszet anyagi pontjaiban ébred. Az a feltételezés, hogy csavaráskor a keresztmetszetek az alakváltozás során síkok maradnak, csak kör és körgyűrű keresztmetszetű rudak esetén teljesül. Minden egyéb 5.55. ábra

- tömör vagy üreges - keresztmetszetű rúdnál

192

a sík keresztmetszet görbült felületté alakul, a keresztmetszet pontjai egymáshoz képest z irányban elmozdulnak. Ezt az alakváltozási jelenséget öblösödésnek nevezzük. Ilyenkor a keresztmetszet alakja is változást szenved. Ha a keresztmetszet öblösödését semmi sem gátolja, szabad csavarásról beszélünk, ha az öblösödést akadályozzuk, gátolt csavarásról. Ez utóbbi esetben a rúdban z irányú normálfeszültségek is ébrednek, amelyek nagysága, különösen vékony falú csöveknél, jelentős lehet és ezek a normálfeszültségek eloszlására is hatással vannak. A következőkben a szabad csavarás néhány egyszerűbb esetét tárgyaljuk. 5.5.2. Vékony falú, zárt szelvényű prizmatikus rudak tiszta csavarása Legyen a tiszta csavarásnak kitett prizmatikus rúd keresztmetszete egy olyan kétszeresen összefüggő tartomány (5.56. ábra), amelynél a külső és belső határoló vonal távolsága, azaz a cső falvastagsága változhat, de a rúd egyéb méreteihez képest kicsi. A falvastagságot felező vonal a középvonal. Ha a keresztmetszet öblösödése nem gátolt, akkor normálfeszültségek nem ébrednek s az egyetlen feszültségkomponens a nyírófeszültség. A z normálisú keresztmetszet-felület azon pontjaiban, amelyek a külső és belső kerületen helyezkednek el, a nyírófeszültség hatásvonala az adott kerületi ponthoz húzott érintővel csak párhuzamos lehet. Ha a nyírófeszültségnek érintőre merőleges komponense is lenne, akkor a dualitás tétel értelmében a rúd palástfelületén is ébrednie kellene nyírófeszültségnek, ami lehetetlen, mert a rúd palástfelülete tehermentes (tehát nincs, ami ezt a hatást kifejtse). Ez az egyensúlyi követelmény néhány egyszerű, de fontos feltételezést tesz lehetővé. Mivel a csőkeresztmetszet falvastagságának kicsinek kell lennie, feltehetjük, hogy egy s ívkoordinátával jellemzett helyen a középvonalra merőleges egyenes mentén az összes nyírófeszültség párhuzamos a középvonalhoz húzott érintővel és nagyságuk is azonos (a falvastagságnak megfelelő kis szakaszon a változás akár irány, akár nagyság szempontjából nem lehet jelentős) (5.56/a. ábra).

5.56. ábra

193

Vágjuk ki a csőnek egy ∆z hosszúságú és középvonalának tetszőleges ívhosszúságú darabját (5.56/b. ábra). A dualitás következményeként az A pontban a z normálisú síkon ébredő

τ 1 nyírófeszültség megegyezik a z tengellyel párhuzamos síkon (az ábrán -y normálisú sík) fellépő nyírófeszültséggel. Ugyanezt mondhatjuk a B ponthoz tartozó τ 2 feszültségkomponensekről is. A z tengellyel párhuzamos vetületi egyenlet a következő alakú:

∑F

= 0 = τ1v 1z - τ 2 v 2 z ,

iz

ahonnan

τ 1 v 1 = τ 2 v 2 = τ (s)v(s) = á ll.. ami azt jelenti, hogy a cső falvastagságának és a nyírófeszültségnek a szorzata, az ún. nyírófolyam minden pontban ugyanakkora. Ennek figyelembevételével a z tengelyre vonatkozó nyomatéki egyensúlyi egyenletben szereplő integrálkifejezés könnyen átalakítható) 5.56/a. ábra):

∑M

iz

= 0 = M z - ∫ τ (s)v(s)k(s)ds = Mz - τ (s)v(s) ∫ k(s)ds ,

ahol k(s) - a középvonal s ívkoordinátájú pontjának a csőkeresztmetszete súlypontjától mért távolsága. A k(s)ds szorzat az ábrán látható, sraffozott háromszög területének a kétszerese, ezért a zárt görbe mentén vett integrál a középvonal által bezárt terület kétszeresét adja. A fenti összefüggésből a nyírófeszültség kifejezhető:

τ(s) =

Mz 2A k v(s)

,

5.82

ahol Ak - a csőkeresztmetszet középvonala által bezárt terület. Nyilvánvaló, hogy a nyírófeszültség maximum a legkeskenyebb falvastagságú helyen keletkezik:

τ m ax =

M z 2 A k v m in

.

5.83

A végkeresztmetszetek relatív szögelfordulását a rugalmas energia és a külső erők saját munkájának egyenlőségéből határozhatjuk meg: L  M 2z M z2 L 1 τ2 1  dV = v(s)ds dz =   2∫ G 2G ∫0 ∫ 2 2 A 2k v 2 (s) 8GA 2k  1 WSk = Mz ϕ max , 2

Ub =

ds

∫ v(s)

,

a kettő egyenlőségéből:

ϕ max = M z L

1 4GA 2k

ds

∫ v(s)

.

5.84

Az utóbbi három számozott összefüggést Bredt-féle képleteknek nevezik. 5.5.3. Téglalap keresztmetszetű prizmatikus rudak tiszta csavarása A tömör, téglalap keresztmetszetű prizmatikus rudak csavarásának rugalmasságtani feladata elemi úton már nem oldható meg. A rugalmasságtan alapegyenleteinek felhasználásá-

194

5.57. ábra val azonban a feszültségek és az alakváltozások meghatározásához szükséges összefüggések végtelen sorok formájában megadhatók. Ezeknek az összefüggéseknek a levezetése meglehetősen bonyolult, ezért csak a végeredményeket közöljük, illetve magyarázzuk. Ha a szabad csavarás esetére szorítkozunk, az alakváltozásra a következő megállapításokat tehetjük (5.57/a. ábra): - a keresztmetszetek nem maradnak síkok, öblösödnek, a rúdtengely irányából nézve azonban a téglalap alak változatlan marad, a keresztmetszet a z tengely körül merev testként - az öblösödéstől eltekintve - fordul el, - a rúd felszínén berajzolt hálózat szögtorzulása az oldallapok közepén a legnagyobb (a hoszszabbik oldalon a maximális), a sarkokon a derékszög nem változik. Ezek alapján a feszültségekről a következőket mondhatjuk: - a keresztmetszetek szabad öblösödése miatt normálfeszültségek nem ébrednek, - a keresztmetszet pontjainak feszültségi állapota tiszta nyírás, a középpontban és a sarokpontokban nem ébred nyírófeszültség, a legnagyobb nyírófeszültségek a keresztmetszet szélein keletkeznek, ezek hatásvonala mindig párhuzamos az adott oldallal, a keresztmetszet többi pontjában a nyírófeszültségeknek x és y irányú összetevője is van, ezen összetevők nagysága a két tengely mentén parabolikusan változik (5.57/b. ábra). A maximálisan nyírófeszültség a téglalap hosszabbik oldalának közepén ébred:

τ max =

Mz αa 2 b

, ha b ≥ a ,

5.85

az L hosszúságú rúd véglapjainak relatív elfordulása:

ϕ max = ahol

M zL β a 3 bG

,

5.86

195

α =

β =

β 8 1− 2 π 1 3

∞

∑

i = 1 , 3 , 5 ..

 192 a 1 − π5 b 

,

1 i 2 ch

iπ b 2a

1 iπ b  th . 2a  i = 1 , 3 , 5 ... 5 ∞

∑

Nagyon keskeny derékszögű négyszögekre, ahol v = a << b,

1 , ezért 3 3M M M = 2 z = 3z v = z v Ib v b v b 3

α=β= τ max

és

ϕ max =

3M z L M z L = IbG v 3 bG

,

5.87/a,b

ahol Ib a keskeny derékszögű négyszög hosszabbik élével egybeeső tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatéka. Más alakú, de tömör keresztmetszetű rudak csavarásakor keletkező feszültségek és alakváltozások is végtelen sorok formájában adhatók meg. A leggyakrabban előforduló keresztmetszetek (háromszög, ellipszis, stb.) megfelelő összefüggései szakkönyvekben fellelhetők. 5.5.4. Vékony falú, nyitott szelvényű prizmatikus rudak tiszta csavarása A gép- és építőipari szerkezetekben gyakran előfordulnak olyan csavarásra igénybe vett rudak, amelyek keresztmetszete nyitott és - jó közelítéssel - vékony derékszögű téglalap összegére bontható (5.58. ábra).

5.58. ábra Szabad csavarásnál a keresztmetszet öblösödik ugyan, de a z tengely körül merev testként fordul el. A teljes keresztmetszet szögelfordulása tehát megegyezik részeinek, azaz a közelítőleg vagy pontosan keskeny téglalapoknak az elfordulásával. Jó közelítéssel feltehetjük, hogy a részkeresztmetszetek egymástól függetlenül dolgoznak és csavarómerevségük arányában veszik fel a teljes csavarónyomatékot: n

M z = ∑ M zi , i=1

ahol n - a keresztmetszet felbontott téglalapjainak száma, Mzi - az i-edik keresztmetszetrészre ható csavarónyomaték.

196

Az i-edik rész elfordulása (5.87/b)-vel számítható:

ϕi =

M zi L M L = zi 3 GI bi v b G i i 3

,

ahol vi és bi az i-edik téglalap szélessége és hosszúsága, a teljes keresztmetszet elfordulása:

ϕ=

M zL M zL = n GI b v 3b G∑ i i 3 i=1

.

5.88

A kettő egyenlőségéből meghatározható a részkeresztmetszetekre eső csavarónyomaték:

M zi = M z

I bi Ib

.

A nyírófeszültségek maximuma az egyes téglalapok hosszabbik oldalán van. (5.87/a) felhasználásával:

M zi M vi = z vi I bi Ib

τ imax =

5.89/a

Mivel Mz és Ib minden téglalapra ugyanaz, az abszolút maximális nyírófeszültség a legvastagabb részkeresztmetszet hosszabbik oldalának közepén ébred:

τ m ax =

Mz v m ax . Ib

5.89/b

5.5.5. Erőtani méretezés 5.5.5.1. Megengedett feszültségen alapuló méretezési módszer A kimutatandó alapreláció:

τ m ax ≤ τ m ,

5.90

ahol τ max-ot a csavart keresztmetszet jellegének megfelelően az (5.79/a), (5.83), (5.85), (5.89/b) összefüggésekkel számítjuk. τ m értékei a tiszta nyírás megengedett feszültségeivel egyeznek meg.

ϕ max

Hasonlóan mutatjuk ki az alakváltozási feltétel kielégülését: ≤ ϕm .

5.91

A maximális relatív keresztmetszetelfordulást az (5.79/b), (5.84), (5.86), (5.88) kifejezésekkel számítjuk a keresztmetszet alakjának megfelelően. A megengedett szögelfordulást a szerkezet használhatósága szabja meg, illetve táblázatokból vehetjük ki.

197

5.5.5.2. "Fél" valószínűséggel kiegészített határállapot módszer A vizsgálat során ki kell mutatni, hogy MM ≤ MH

5.92

ahol MM a mértékadó igénybevétel hatására keletkező csavarónyomaték, MH-t a keresztmetszet alakjának megfelelő összefüggéssel számítjuk τmax = τH helyettesítéssel. Az alakváltozás ellenőrzésénél a

ϕM ≤ ϕH

5.93

5.6. Hajlítás és nyírás (közönséges hajlítás) Az összetett igénybevételek közül a leggyakrabban előforduló az ún. közönséges hajlítás, mikor a hajlítóigénybevétellel egy időben nyíróigénybevétel is fellép. Terhelje az egyenes, prizmatikus rudat olyan külső erőrendszer, hogy tetszőleges keresztmetszet igénybevételeire fennálljon: NK = N(z) = 0 , TK = T(z) = Ty(z) , MK = M(z) = Mx(z) . A terhelés síkja tehát minden keresztmetszetben az y,z sík, az igénybevételek azonban helyről-helyre változnak. Az egyensúly kielégítése következtében - mint azt a sztatikában megismertük - a hajlítónyomaték és a nyíróigénybevétel között fenn kell állnia a

d M x (z) = T y (z) dz

5.94

kapcsolatnak. A két igénybevétel vizsgálata nem történhet egymástól függetlenül, hiszen a két igénybevétel egymásnak függvénye. Az (5.94) összefüggés indokolja ennek az összetett igénybevételfajtának a gyakoriságát, mert tulajdonképpen azt mondja ki, hogy változó nagyságú hajlítóigénybevétel mellett mindig kell ébrednie nyíróerőnek is, a rúdtengelyre merőleges terhelések esetén - és ez a leggyakoribb terheléstípus - pedig a hajlítóigénybevétel a hossztengely mentén változik. Közönséges hajlításkor a feszültségi és alakváltozási viszonyok lényegesen függenek a rúd geometriai jellemzőitől, különösen keresztmetszetének alakjától és a terhelés, illetve az igénybevételek hatósíkjának a keresztmetszet főtengelyeihez viszonyított helyzetétől. A továbbiakban a közönséges hajlítás olyan speciális eseteivel foglalkozunk csak, amikor a prizmatikus rúd keresztmetszetének legalább egy szimmetriatengelye van és a hajlítóigénybevétel vektora erre a tengelyre merőleges vagy vele párhuzamos (tehát egyenes hajlításról van szó).

198

5.6.1. A hajlítónyomaték vektora merőleges a keresztmetszet szimmetriasíkjára A közönséges hajlítás feszültségi és alakváltozási viszonyainak elemi úton történő vizsgálatánál feltételezzük, hogy a hajlítóigénybevétel hatására keletkező normálfeszültségek eloszlása megegyezik a tiszta hajlításnál meghatározottéval. Most egyenes hajlítással állunk szemben, így a normálfeszültségeket az (5.60)-as kifejezéssel számíthatjuk. A különbség csupán annyi lesz, hogy a

σ zz (z) =

M x (z) y I xx

5.95

kifejezésnek megfelelően az eloszlásra jellemző egyenes (5.59/b. ábra) meredeksége a hely függvényében változik, a hajlítónyomaték nagyságával arányosan. A közönséges hajlításból származó normálfeszültségek szélső értéke abban a keresztmetszetben ébred, amelyben a legnagyobb a hajlítónyomaték:

σ +zz,max = σ −zz,max =

M x,max I xx M x,max I xx

ex =

M x,max

e' x =

Kx M x,max K' x

,

5.96/a

.

5.96/b

A nyírásból származó feszültségek meghatározásánál tegyük fel, hogy a keresztmetszet tetszőleges, x,y koordinátájú pontjában a nyírófeszültség két, σ zy és σ zx összetevőre bontható.

5.59. ábra

199

Határozzuk meg először az y tengellyel párhuzamos komponenst. Vizsgáljuk meg ehhez a rúd egy ∆z hosszúságú elemének egy tetszőleges y koordinátától lefelé eső részét (5.59/f. ábra). E rúdelem bal oldali keresztmetszetének pontjaiban σ zz(z) jobb oldali keresztmetszetének pontjaiban

σ zz(z+ ∆ z) normálfeszültségek hatnak a hajlítás következtében. Mindkét

keresztmetszet pontjaiban nyírófeszültségek is hatnak, a legfelső, y koordinátájú pontokban a nyírófeszültség-komponensek σ zy és σ zx. A dualitás tétel következményeként a rúdelem y normálisú felületén is ébrednie kell

σ yz = σ zy nyírófeszültségnek. Mivel a ∆ z elemi hosszú-

ság, feltehetjük, hogy az y normálisú felületen a nyírófeszültség megoszlása egyenletes. A rúdelemre ható erők z irányú vetületi egyensúlyi egyenlete a következő alakot ölti:

∑F

iz

= 0 - ∫ σ zz (z)dA + ∫ σ zz (z + ∆z)dA + σ yz v(y)∆z , A'

A'

ahol A' = A'(y) - a keresztmetszet y koordinátáitól kifelé eső részének területe, v(y) - pedig a keresztmetszet szélessége az y koordinátájú helyen. Rendezzük az egyenletet és használjuk fel a (5.95) és (5.94) összefüggéseket:

σ zy = σ yz = =

-1 σ zz (z + ∆z) - σ zz (z) -1 dσ zz (z) dA = dA = ∫ ∆z v(y) A' v(y) A∫' dz

Ty ( z ) Ty ( z ) Ty ( z )S' x ( y) -1 dM x ( z ) y' 1 dA = y' dA = y' dA = , 5.97 ∫ ∫ ∫ v(y) A' dz I xx v(y) I xx I xx v(y) A' I xx v(y)

ahol az S'x(y) jelölésben a vessző arra utal, hogy nem a teljes keresztmetszet, hanem csak az y koordinátától kifelé eső keresztmetszet-terület x tengelyre vonatkozó sztatikai nyomatékáról van szó. A fenti összefüggést Zsuravszkij-képletnek nevezzük első levezetőjéről. Ez megadja a z koordinátájú keresztmetszet y koordinátájú pontjaiban a közönséges hajlítás nyíróigénybevételéből származó nyírófeszültségnek y irányú komponensét. Ez a nyírófeszültség-komponens, mint a képlet mutatja, az x koordinátának nem függvénye, σ zy nagysága tehát az x tengellyel párhuzamos egyenesek mentén azonos. A feszültség eloszlásának jellege Sx(y)-tól ésd v(y)-tól, azaz a keresztmetszet geometriai alakjától függ. A sztatikai nyomatékokra vonatkozó összegzési tétellel könnyen beláthatjuk, hogy y koordinátájú szál alatt és felett lévő keresztmetszet-terület x tengelyre vonatkozó elsőrendű nyomatéka abszolút értékre megegyezik: Sx,egész = S'x,alsó + S'x,felső = 0 , mert a súlyponton átmenő tengelyre a sztatikai nyomaték nulla. Az egyenlőség szerint S'x,alsó = - S'x,felső . A fentiek miatt, valamint annak érdekében, hogy az (5.97) a nyírófeszültség-komponenst előjelhelyesen adja meg, az összefüggésben a részterület sztatikai nyomatékának abszolút értékét kell behelyettesíteni.

200

Az (5.97) összefüggés tüzetesebb analízisével a nyírófeszültség y tengely menti eloszlásáról is képet nyerhetünk. A szélső szálakban Sx(y=ex vagy e'x) = 0, ezért itt nyírófeszültség nem ébred. Ez összhangban van azzal, hogy a rúd tehermentes felületén egyébként sem ébredhet

σ yz feszültségkomponens. A nyírófeszültség abszolút maximuma, vagy legalább helyi maximuma az y=0 helyen lesz, mert az összes lehetséges S'x közül a hajlítás tengelyétől egyik oldalra eső keresztmetszetrész sztatikai nyomatéka a legnagyobb. Ha a keresztmetszet szélessége ugrásszerűen változik, akkor az eloszlásfüggvényben is ugrás van. Maga az eloszlásfüggvény

5.60. ábra másod- (pl. téglalap keresztmetszet esetén) vagy magasabb fokú parabola (5.59/c. ábra). Az 5.60. ábrán néhány keresztmetszet jellegzetes feszültségeloszlását mutatjuk be. A közönséges hajlításnak kitett rúd akkor a leggazdaságosabb anyagfelhasználású, ha a másodrendű nyomatéka a hajlítás tengelyére ugyanakkora keresztmetszet-terület esetén a lehető legnagyobb. Ez akkor teljesül, ha minél több terület esik a hajlítás tengelyétől távol. Ilyen keresztmetszetalak pl. az 5.60/b. ábrán látható, vagy az I és U szelvényű idomacél. Ezekben az esetekben a σ zy nyírófeszültségek maximuma mindig a hajlítás tengelyében van a legnagyobb nyíróerőnek kitett keresztmetszetben:

σzy,max =

Ty,maxS'x (y= 0) I xx v(y= 0)

A

.

5.98

nyírófeszültség

komponensének

x

irányú

meghatározásánál

abból

indulhatunk ki, hogy a kereszt-metszetnek egy y koordinátájú

szélső

pontjában

az

eredő

nyírófeszültség hatásvonalának az adott pontban a ke-resztmetszet kontúrvonalához húzható érintővel párhuzamosnak kell lennie (5.59/a. ábra). Ha nem így lenne, akkor a dualitás tétel értelmében a rúd külső normálisú felületelemén is ébrednie kellene nyírófeszültségnek,

ami

teher-mentes

felületi

pontban lehetetlen. A kerületi pontokban tehát az 5.61. ábra

eredő nyírófeszültség hatásvonalát a keresztmet-

201

szet alakja meghatározza (5.59/a. és 5.61. ábra). Egy y koordinátájú szélső pontban az eredő nyírófeszültség hatásvonalának és az y tengelynek a metszéspontját jelöljük K-val, s e pont távolságát az y koordinátától t = t(y)-nal. Nem követünk el nagy hibát, ha feltételezzük, hogy az y koordinátájú,

az

x

tengellyel

párhuzamos

egyenes

pontjaiban

olyan

σ zx

nyírófeszültségkomponensek ébrednek, hogy az eredő nyírófeszültség hatásvonala mindig átmegy az y koordinátának megfelelő t(y)-nal kijelölt K ponton (5.61. ábra). E feltételezés és a kerületi pontokhoz húzandó érintők y tengellyel bezárt szögének, ϕ -nek ismerete elegendő a

σ zx nyírófeszültség-komponensek számításához. A K pont helyét az ábra alapján a t(y) =

v(y) 2tgϕ

összefüggéssel határozhatjuk meg. Az x irányú nyírófeszültségkomponenst aránypár felállításával kapjuk:

σ zx (x, y) = σ zy (y)

x t(y)

.

5.99

Az összefüggésből következik, hogy σ zx x tengely menti megoszlása lineáris (5.59/e. ábra). Feltételünk szerint az y tengely szimmetriatengely, így a σ zx feszültségkomponensekből származó erők a keresztmetszeten belül egyensúlyi erőrendszert alkotnak. Ha a kerületi ponthoz húzott érintő párhuzamos az y tengellyel, a K pont a végtelenbe esik, így ezen az x tengellyel párhuzamos szálon

σ zx feszültségkomponensek nem ébrednek. Pl. téglalap keresztmetszet

esetén csak σ zy komponensek keletkeznek. Általános esetben az eredő nyírófeszültség:

τz =

2 σ zx + σ 2zy = σ zy 1 +

x2 . t 2 (y)

5.100

A nyírófeszültségek eloszlásának ismeretében beláthatjuk, hogy közönséges hajlításkor az alakváltozás során a keresztmetszet nem maradhat sík. A σ zy nyírókomponensek hatására ugyanis, azok nagyságával arányos, szögváltozás lép fel. Mivel a nyírófeszültségek másodvagy annál magasabb fokú függvény szerint oszlanak meg, a ∆ z hosszúságú tartódarabon belül felvett elemi hasábok γ zy szögváltozása a szelvény magasságának függvényében változik, s az 5.62. ábrának megfelelően az eredetileg sík keresztmetszet S alakot vesz fel. Természetesen a σ zx nyírókomponensek hatására is fellép szögváltozás, így a keresztmetszet kétszer görbült alakot ölt. A nyírófeszültségek által okozott keresztmetszet-torzulás azonban a legtöbb esetben olyan kis mértékű, hogy a sík keresztmetszet megmaradásának feltételezésével levezetett, hajlításból származó normálfeszültségek összefüggése a gyakorlatban kielégítő pontosságúnak mondható.

202

5.62. ábra

5.64. ábra

203

A nyírófeszültségek szerepét és jelentőségét a következő példán láthatjuk be. Az 5.63./a. ábrának megfelelően helyezzünk két téglalap keresztmetszetű rudat egymás fölé minden összeerősítés nélkül. Közönséges hajlításkor, ha még az érintkezési felületen fellépő súrlódást is elhanyagoljuk, a két rúd egymástól függetlenül működik és a terhelésből származó hajlítónyomatékot és nyíróerőt egyenlő arányban veszik fel. A két rúd az érintkezési felületen egymáson megcsúszik, alakváltozásuk és feszültségeloszlásuk teljesen azonos. Ha valamilyen módon (betét, ragasztás) sikerül elérni, hogy a két gerenda egymáson ne csúszhasson meg, hogy együtt dolgozzon, akkor a két keresztmetszet egyetlen keresztmetszetként működik, s ennek megfelelően alakul a normál- és nyírófeszültségek eloszlása. Könnyen kiszámíthatjuk, hogy az utóbbi esetben (5.63/b. ábra) a rúd kétszer akkora nyomatékkal terhelhető, mint az ugyanolyan keresztmetszetű, de egymástól függetlenül működő szerkezet. A nyírófeszültségek eloszlásának ábráján láthatjuk, hogy a rudak elcsúszását éppen a rúdtengellyel párhuzamos, y normálisú felületen ébredő nyírófeszültségeknek kell megakadályozni. Ezt a feszültségkomponenst a σ zy feszültségkomponens dualitáspárja szolgáltatja. Ragasztásnál pl. olyan ragasztóanyagot kell alkalmazni, amelynek nyírószilárdsága nagyobb az igénybevételből származó, a ragasztás síkjában ébredő nyírófeszültségnél. Betétes kapcsolat kialakításnál olyan betéteket kell alkalmazni, hogy azok egy adott h hosszúsághoz tartozó, z irányú csúsztatóerőt képesek legyenek felvenni. Az 5.64. ábrának megfelelően a z hosszúsághoz tartozó elemi csúsztatóerő:

dH = σ yz v(y)dz =

Ty (z)S x (y) I xx v(y)

v(y)dz =

Ty (z)S x (y) I xx

dz ,

Az egy betétre eső h hosszúságú szakaszon fellépő csúsztatóerőt a kifejezés integrálásával kapjuk: h

S x (y) h S (y) H = ∫ dH = Ty (z)dz = x AT , ∫ I xx 0 I xx 0

5.101

ahol AT - a nyíróerő ábra h hosszúságú szakaszra eső területe. Sx(y)-ban y azt a koordinátát jelenti, amelybe a betétek középvonala esik (az ábrán látható esetben az y = 0, súlyponti szál). A közönséges hajlításnak kitett rúd egy általános helyzetű pontjának feszültségi és alakváltozási állapotát az alábbi két mátrixreprezentáció mutatja:

 0  Tσ =  0 σ xz 

0 0 σ yz

σ zx   σ zy  σ zz 

,

− µε zz  Tε =  0  ε xz 

0 − µε zz ε yz

ε zx   ε zy . ε zz 

Ha a keresztmetszet alakja téglalap vagy négyzet, tehát az oldalak párhuzamosak az y tengelylyel, akkor σ zx = σ xz = 0 és ε zx = ε xz = 0. Vannak a keresztmetszetnek olyan speciális pontjai, amelyekben a feszültségi és alakváltozási állapotok egyszerűsödnek. A szélső szálakban

204

nyírófeszültség nem ébred, ott a feszültségi állapot lineáris. A semleges sík pontjaiban a feszültségi állapot síkbeli marad ugyan, de minden normálfeszültség-komponens nulla. Az 5.65. ábrán megrajzoltuk a derékszögű háromszög keresztmetszet jellegzetes pontjaiban a feszültségi Mohrköröket. Közönséges hajlításnál a dz hosszúságú rúdelemben felhalmozott energia a külső erők saját munkájával kifejezve:

5.65. ábra

1 1 dU b = (σ zz ε zz + σ zy ε zy + σ yz ε yz )dV = ( σ zz ε zz + 2 σ zy ε zy )dAdz = 2 2 2 2 2 Ty S x Ty2 1 Mx 1 M 2x 2 = y dA + 2 2 ∫ dA dz = +χ dz 2 EI 2xx ∫A 2 EI 2xx GA GI xx v A ahol

A χ= 2 I xx

∫ A

S 2x ( y ) dA v 2 (y)

.

5.103

χ azt fejezi ki, hogy a nyírófeszültségek eloszlása nem egyenletes. Bevezetésével a nyíróigénybevételből származó rugalmas energia számítását a tiszta nyíráséhoz hasonlóan végezzük (lásd az (5.44/a) összefüggést). χ értéke egyedül a keresztmetszet geometriai jellemzőinek függvénye. Derékszögű négyszög esetén 1,2; körnél 1,19; I szelvényre jó közelítéssel 2,15. 5.6.2. A hajlítóigénybevétel nyomatéká-nak vektora párhuzamos a keresztmetszet szimmetriatengelyével A tapasztalat azt mutatja, hogy ha a nyíróigénybevétel hatásvonala nem párhuzamos a keresztmetszet szimmetriatengelyével, akkor - különösen vékony falú, nyitott szelvényű rudak-

205

nál - a keresztmetszet a z tengely körül el is fordul az 5.66. ábrán látható módon. Ebből arra kell következtetnünk, hogy a hajlító- és nyíróigénybevétel mellett járulékos igénybevételként csavarónyomatéknak is fel kell lépnie. Ezt a jelenséget nem vizsgáljuk teljes általánosságban, hanem klasszikus példán, egy vékony falú, U alakú szelvényen mutatjuk be. Más szelvények esetén ugyanezt a vizsgálati módszert kell alkalmazni. A fejezet címének megfelelően egyenes hajlítással van dolgunk, így a hajlítónyomatékból származó normálfeszültséget (5.60)-nal kell számítanunk. A vékony falvastagságú rudak csavarásánál már megtanultuk, hogy a nyírófeszültségek nagysága a szelvényvastagság mentén jó közelítéssel állandó, hatásvonaluk pedig mindig párhuzamos a kérdéses pontban a keresztmetszet kontúrjához húzott érintővel. Az U szelvény h magasságú szárában tehát a nyírófeszültségek hatásvonala az y, a b hosszúságú szárakban pedig az x ten5.66. ábra

gellyel párhuzamos.

5.67. ábra A σ zx = σ xz feszültségkomponenst az 5.67/b. ábrán látható elemi rúddarabra ható feszültségekből származó erők z irányú vetületi egyensúlyi feltételéből határozhatjuk meg. Az s

206

ívkoordinátával jellemzett helyen (s egyben az elem szélessége) az elem z normálisú felületén

σ zx feszültség ébred, amely a dualitás tétel értelmében egyenlő a ∆ z hosszúságú, x normálisú felületen keletkező σ xz nyírófeszültséggel. Mivel a ∆ z elemi hosszúság, feltehetjük, hogy a v(s)∆z nagyságú felület minden egyes pontjában ugyanekkora nyírófeszültség ébred. Az egyensúlyi egyenlet:

∑F

iz

=0=

∫σ

zz

(z + ∆z)dA -

A'

∫σ

zz

(z)dA - σ xz v(s)∆z ,

A'

Rendezve és (5.60) behelyettesítésével:

σ xz = σ zx =

σ zz (z + ∆z) - σ zz (z) dσ zz (z) 1 1 dA = dA = ∫ ∫ v(s) A ' z v(s) A' z

Ty (z) Ty (z)S' x (s) dM x (z) y 1 = dA = ydA = ∫ ∫ v(s) A' dz I xx I xx v(s) A' I xx v(s)

5.104

.

Az összefüggés formailag a Zsuravszkij-képlet, de ne tévesszük szem elől, hogy benne az S'x(s) és v(s) értelmezése más, mint az (5.97)-es kifejezésben. S'x(s) az s ívhosszúságú keresztmetszetrész sztatikai nyomatéka a hajlítás tengelyére, esetünkben

S' x (s) =

h v (s ) , 2

v(s) - pedig a szelvény x tengellyel párhuzamos keresztmetszetének vastagsága. Példánkban a sztatikai nyomaték s-nek elsőfokú függvénye, v állandó, így a σ zx feszültségkomponens megoszlása lineáris. Az 5.68. ábrán vázoltuk az x tengellyel párhuzamos keresztmetszetrészek nyírófeszültségének eloszlását (a felső száron a sztatikai nyomaték előjelet vált, így a nyírófeszültség iránya is ellentettje lesz az alsónak). A nyírófeszültség szélső értéke az A és B jelű sarokpontokban lesz:

σ zx,max =

Ty (z) h Ty (z)hb vb = I xx v 2 2I xx

.

5.105

A függőleges száron ébredő nyírófeszültségek az előző fejezetben megismert módon, a Zsuravszkij-képlettel számíthatók. Egy y koordinátájú helyen:

S' x (y) =

h v h h vb + ( - y)( + y) , 2 2 2 2

ezt (5.97)-be helyettesítve:

Ty (z) h 2 ( - y2 ) . 5.106 2I xx 2I xx 4 h Az összefüggés az y = ± pontokban, a sarokpontokban éppen (5.105)-öt adja. E pontokban 2 tehát a két nyírókomponens nagysága megegyezik. A keresztmetszet függőleges szárán a σ zy σ zy =

Ty (z)hb

+

komponens megoszlása parabolikus az 5.68. ábrának megfelelően.

207

A nyírófeszültség eloszlásának ismeretében határozzuk meg a z+ ∆ z koordinátájú keresztmetszetben a belőlük származó belső erők eredőjét (5.69. ábra). Az y tengellyel párhuzamos részkeresztmetszeten ébredő nyírófeszültségekből keletkező belső erő (5.106) alapján éppen a keresztmetszet külső igénybevételének megfelelő nyíróerővel egyenlő:

5.68. ábra

5.69. ábra

Tyτ ( z ) = Ty(z) ,

208

aminek az y irányú vetületi egyensúlyi egyenletből is következnie kell. Az x tengellyel párhuzamos szárak feszültségeiből származó erők erőpárt alkotnak, melynek nyomatéka: b

M τz (z) = ∫ h σ zx dA = h ∫

h vs Ty (z)h 2 v b Ty (z)h 2 b 2 v 2 . vds = sds = I xx v 2I xx ∫0 4I xx

Ty (z)

0

Az erőből és nyomatékból álló erőrendszert átalakíthatjuk egy eC-vel eltolt hatásvonalú egyetlen Ty(z) erővé, ahol

M τz ( z ) h 2 b 2 v eC = τ = 4I xx Ty ( z )

.

5.107

A C pontot, melynek helyét a szelvényvastagság közepétől felmért eC távolság adja meg, a keresztmetszet nyírási vagy tau-középpontjának nevezzük. Az 5.69/c. ábráról megállapíthatjuk, hogy a nyírófeszültségekből származó belső erők eredője és a külső terhelés következtében ébredő nyíróigénybevétel (melyet mindig a súlypontra számítunk) erőpárt alkot, ami Mz(z) = Ty(z)(eS + eC) nagyságú csavaróigénybevételt okoz. Ennek hatására fordul el a keresztmetszet a nyírási középponton átmenő, z tengellyel párhuzamos egyenes körül. Ha meg akarjuk gátolni a közönséges hajlításnak kitett rúd elcsavarodását, akkor az Mz(z) nyomatékot valamilyen módon ki kell egyensúlyozni. Ennek egyik legegyszerűbb módja, ha a külső terhelést úgy visszük fel a rúdra, hogy a belőle származó Ty(z) nyíróerő hatásvonala ne a keresztmetszet súlypontján, hanem nyírási középpontján menjen át. Ilyenkor a csavarónyomaték eltűnik, mert Ty(z) és Tyτ (z) egyensúlyi erőrendszert alkot. Az U szelvényre levezetett eredmények és megállapítások teljesen tetszőleges alakú, vékony falú, nyitott vagy zárt, sőt, tömör keresztmetszetű szelvényekre is általánosíthatók. Minden keresztmetszetalaknál található egy - annak csak geometriai méreteitől függő - pont, a nyírási középpont, amelynek az a tulajdonsága, hogy ha a nyíróigénybevétel hatásvonala azon átmegy, akkor a keresztmetszet a rúdtengely körül nem fordul el, mert csavaróigénybevétel nem lép fel. A nyírási középpont mindig rajta van a keresztmetszet szimmetriatengelyén, így kétszeresen szimmetrikus alaknál egybeesik a geometriai középponttal (súlyponttal). Amennyiben a nyíróigénybevétel hatásvonala átmegy a nyírási középponton, a közönséges hajlítás során felhalmozott rugalmas energiát (5.102)-vel számíthatjuk, egyébként a csavarásból származó rugalmas energiát is figyelembe kell venni. 5.6.3. Közönséges hajlításnak kitett prizmatikus rúd alakváltozása Először a hajlítónyomaték hatására fellépő alakváltozást vizsgáljuk egyenes és ferde hajlítás esetén, majd a nyírásból keletkező alakváltozással foglalkozunk.

209

5.6.3.1. Egyenes hajlításnak kitett rúd alakváltozása A prizmatikus rúd terheléséről feltételezzük, hogy a hajlítónyomaték síkja tartalmazza a keresztmetszet valamelyik fő másodrendű tengelyét és a nyíróerő hatásvonala átmegy a nyírási középponton, azaz csavarásmentes, egyenes hajlításról van szó. A hajlításból származó alakváltozását első lépésben a nyírásból származó alakváltozás elhanyagolásával számítjuk. Az 5.70. ábrán látható kéttámaszú tartó, melyet a hely függvényében változó q(z) intenzitású megoszló erőrendszerrel terhelünk, z koordinátájú keresztmetszetében Mx(z) nagyságú hajlítóigénybevétel ébred. Ennek hatására a ∆z hosszúságú rúdelem véglapjai - a tiszta hajlításnál megismert módon - elfordulnak és egymással ∆ϕ szöget zárnak be. A rúdelem meggörbül. A ∆ z elemi hosszúságon a nyomaték csak olyan kis mértékben változik, hogy a görbületi sugarat a tiszta hajlításnál levezetett (5.57) kifejezéssel számíthatjuk:

M x (z ) 1 = ρ (z) E I xx

5.108

A lényeges különbség az, hogy a görbületi sugár a hajlítónyomaték értékének megfelelően helyről-helyre változik.

5.70. ábra

210

A semleges sík súlyponton átmenő, meggörbült vonalát rugalmas szálnak nevezzük. Ez az alakváltozás során csak meggörbül, hossza azonban változatlan marad. Ha ismerjük a rugalmas szál deformálódott alakjának egyenletét, akkor ismerjük az egész rúd hajlításból származó alakváltozását. A rugalmas szál egyenletének meghatározásához az 5.70/b. ábrán nagyítva (és kicsit torzítva) kirajzoltuk a rúd ∆ z hosszúságú elemét az alakváltozás utáni állapotban. A görbületi sugár és a rúdelem két végkeresztmetszetének egymáshoz viszonyított szögelfordulása között a súlyponti szál változatlan ∆ z hossza teremt kapcsolatot:

lim ∆z→ 0

∆ϕ x dϕ x 1 = =∆z dz ρ(z)

,

5.109

a negatív előjel azt fejezi ki, hogy pozitív hajlítónyomaték esetén a görbületi sugárral jellemzett simuló kör középpontja (0 pont) a rúdtengely -y irányítású oldalára esik. Jelöljük a rugalmas szál y tengellyel párhuzamos eltolódását, melyet lehajlásnak nevezünk, a z koordinátájú keresztmetszetben uy = uy(z)-vel. A

∆ z hosszúságú rugalmas vonaldarab elmozdulás-növekmé-

nye az ábra alapján: ∆ uy = ∆ z sin ϕ x ≅ ∆zϕ x , amelyben az utolsó egyenlőséget azért fogadhatjuk el, mert korábbi megállapodásunknak megfelelően csak kis alakváltozásokat engedünk meg, ϕ x tehát csak kicsi lehet, kis szögek szinusza pedig jó közelítéssel megegyezik argumentumukkal. Rendezzük a fenti egyenlőséget és képezzük a ∆z → 0 átmenetet:

ϕx =

du y

.

dz

5.110

Újabb z szerinti differenciálással: 2 ϕx d uy = dz dz 2

.

majd (5.109) és (5.108) felhasználásával:

d 2u y dz

2

= u ''y ( z ) =

ϕx M ( z) 1 ==- x dz ρ(z) EI xx

.

5.111

Ez az összefüggés a hajlított rúd rugalmas szálának differenciálegyenlete. A differenciálegyenletet matematikai meggondolásokkal is levezethetjük. Tudjuk, hogy tetszőleges uy = uy(z) függvény tetszőleges pontjához tartozó simulókör görbületi sugarát az

− u '' y 1 = ρ( z ) (1 + u ' y 2 )1,5

összefüggéssel számíthatjuk. Tegyük ezt egyenlővé (5.108)-cal:

− u '' y

(1 + u ' y ) 2

1, 5

=

M x ( z) EI xx

.

211

Ha meggondoljuk, hogy u'y = tg ϕ x = ϕ x , amelyről feltételeztük, hogy olyan kicsi mennyiség, hogy az egységnél lényegesen kisebb, akkor az előző kifejezés nevezője jó közelítéssel egy, tehát éppen az (5.111)-es differenciálegyenlethez jutunk. A rugalmas szál differenciálegyenletének megoldása adja a rugalmas vonal egyenletét. (5.111) egy hiányos másodrendű differenciálegyenlet, megoldását viszonylag egyszerűen kapjuk, feltéve, hogy a nyomatéki függvény egymás után kétszer integrálható:

ϕ x (z) =

du y (z) dz

=-

∫

M x (z) dz + ϕ * , EI xx

5.112/a

 M (z)  u y (z) = - ∫  ∫ x dz + ϕ * dz + u * ,  EI xx 

5.112/b

ahol u* és ϕ * a kerületi feltételekből (a rúd megfogási, illetve alátámasztási körülményeiből) meghatározható integrálási állandó. Az első összefüggés a rugalmas vonalhoz húzott érintő iránytangensét adja, ami a kis alakváltozások feltétele miatt a keresztmetszet x tengely körüli elfordulásával egyenlő, ϕ x = tg ϕ x . Homogén, prizmatikus rúdnál az EIxx hajlítómerevség állandó, ezért az (5.112) kifejezésekben kiemelhető az integráljel elé. Állandó hajlítómerevségű rúdnál deriváljuk (5.111)-et kétszer egymás után és vegyük figyelembe az igénybevételek között fennálló sztatikai összefüggéseket:

d 3u y dz 3 d 4u y dz 4

=-

Ty (z) 1 dM x (z) =EI xx dz EI xx

,

1 d 2 M x (z) 1 dTy (z) q(z) = = = EI xx EI xx dz EI xx dz 2

5.113

.

5.114

Az utolsó kifejezés azt a magától értetődő tényt fejezi ki, hogy az alakváltozás végső soron a külső terhelés függvénye. Ha a külső terhelésből indulunk ki, akkor az alakváltozás meghatározásához egy negyedrendű differenciálegyenletet kell megoldanunk. Célszerűbb azonban az (5.112) összefüggésekből kiindulni, mert a hajlítónyomatékot általában könnyebb sztatikai eszközökkel meghatározni. Az (5.110) és (5.111) differenciálegyenletek lineárisak, ami lehetővé teszi az alakváltozás meghatározásánál a szuperpozíciós elv alkalmazását. Ez azt jelenti, hogy egy összetett külső terhelésű, közönséges hajlításnak kitett rúd hajlításból származó alakváltozási jellemzői a részterhelések hatására kialakuló alakváltozások algebrai összegzésével nyerhetők (feltéve, hogy minden részterhelésnek ugyanaz a hajlítási síkja). Az elv alkalmazása lehetővé teszi, hogy bo-

212

nyolult terhelésű tartók alakváltozási jellemzőit ún. táblázatos módszerrel oldjuk meg. Ehhez egy olyan táblázatra van szükség, amely különböző tartótípusokra (konzoltartó, két támaszú tartó, stb.) egyszerű terhelések esetén megadja a rugalmas szál egyenletét, esetleg az alakváltozási jellemzők szélső értékeit, illetve azok helyét. Ha ezekből a részterhelésekből sikerül összeállítani a számítandó feladatnak megfelelő összetett terhelést, akkor a részalakváltozások algebrai összege adja a tartó eredő alakváltozását. A fenti célt szolgáló táblázatokat műszaki, szilárdságtani összefoglalók, szakkönyvek tartalmaznak. A hajlításból származó alakváltozást O. Mohr eljárásával is meghatározhatjuk. Ez a módszer lehetőséget ad az alakváltozások szerkesztésére is. Az eljárás alkalmazhatóságát a következő gondolatmenet alapozza meg. Irjuk fel az igénybevételeket összekapcsoló, a sztatikai egyensúlyi feltételt kifejező összefüggéseket integrál alakban: Ty(z) = - ∫ q(z)dz + T* , Mx(z) = - ∫ [ ∫ q(z)dz + T*]dz + M*

5.115/a ,

5.115/b

ahol T* és M* integrálási állandók. Azonnal látszik, hogy az (5.112) és a fenti összefüggések matematikailag teljesen analógok, csupán az integrandusz függvény fizikai tartalma más, az egyik helyen a külső teherintenzitás, a másikon az EIxx-szel módosított hajlítónyomaték. A sztatikában megismert nyíróerő- és nyomatékszámítás, illetve szerkesztés (5.115) szerint egyszeres, majd kétszeres integrálással egyenértékű. Magától értetődő tehát az a gondolat, hogy ha a tartóra a q(z) teherfüggvény helyett az EIxx-szel osztott Mx(z) nyomatéki függvényt tesszük fel külső, megoszló terhelésként és meghatározzuk - formailag teljesen úgy, mint tényleges terhelésnél - a nyíróerő- és nyomatéki függvényeket (számítással vagy szerkesztéssel), akkor (5.112) értelmében a rúd keresztmetszet-elfordulását és lehajlását, illetve ezek függvényét vagy ábráját kapjuk. Egyetlen egy dologban lesz különbség, ez pedig az integrálási állandók meghatározása. Az alakváltozás számításánál ugyanis nem a nyíróerőre és hajlítónyomatékra, hanem a szögelfordulásra és lehajlásra vonatkozó kerületi feltételeket kell kiegyenlíteni. Ez gyakorlatilag úgy történik, hogy a módosított nyomatéki függvényt nem az eredeti tartóra, hanem annak helyettesítő tartójára tesszük fel. A helyettesítő tartót az eredetiből alakítjuk ki a csuklók és a merev befogások áthelyezésével. Az átalakítás szempontja az, hogy ahol az eredeti tartó keresztmetszete elfordul és el is tolódik, ott a helyettesítő tartón nyíró- és hajlítóigénybevételnek is ébrednie kell. Ez azt jelenti, hogy a támaszoknál csuklókat, a szabad végeken merev befogásokat, a merev befogásoknál szabad végeket kell létesíteni. Néhány egyszerű tartótípus helyettesítő tartóját mutatjuk be az 5.71. ábrán. Az 5.72. ábrán pedig két példát látunk a Mohr-eljárás alkalmazására.

213

5.72. ábra Szerkesztésnél természetesen ügyelni kell a különböző léptékek helyes felvételére. Szemléletünknek megfelelően megállapíthatjuk, hogy a helyettesítő tartók igénybevételi ábrái az eredeti tartók alakváltozási függvényeinek felelnek meg. 5.6.3.2. Ferde hajlításnak kitett rúd alakváltozása A ferde hajlításkor fellépő alakváltozás meghatározásánál éppúgy, mint a ferde hajlítás következtében ébredő normálfeszültség meghatározásának, többféle módja is van. Az egyik lehetőség az, hogy megkeressük a hajlítás tengelyét, az x' tengelyt az (5.56) kifejezéssel. A rugalmas szál eltolódása (lehajlása) erre a tengelyre lesz merőleges. Ezután már felhasználhatjuk az (5.112) összefüggéseket azzal a módosítással, hogy bennük a nyomatéki függvény az eredő nyomaték x' tengelyre eső vetülete, a másodrendű nyomaték pedig a keresztmetszet x' tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatéka lesz.

214

A másik megoldásnál az 5.40. ábrának megfelelően felbontjuk az eredő nyomatékot a keresztmetszet főtengelyeivel párhuzamos M 1 és M 2 összetevőkre, azaz a ferde hajlítást két egyenes hajlítás összegére bontjuk. M 1 hatására a keresztmetszet elfordul az 1-es főtengely körül ϕ 1-gyel és eltolódik a 2-es főtengellyel párhuzamosan u2-vel. M 2 hatására ϕ 2 keresztmetszetelfordulás és u1 eltolódás keletkezik. A különböző irányú elmozduláskomponensek a kis alakváltozás feltételezése miatt vektorálisan összegezhetők. Az eredő szögelfordulás és elmozdulás:

ϕ x' = ϕ 1 e 1 + ϕ 2 e 2 ,

5.116/a

u y' = u 2 e 2 + u 1 e1 ,

5.116/b

ahol e 1 és e 2 a keresztmetszet fő másodrendű tengelyeinek egységvektora. 5.6.3.3. A közönséges hajlításnak kitett rúd nyírásból származó alakváltozása A nyírásból származó alakváltozás meghatározásához azt kell belátnunk, hogy a ∆z hosszúságú rúdelem súlyponti tengelye a keresztmetszet torzulása következtében (5.73. ábra) ferde helyzetbe kerül. A ∆ z szakaszra eső eltolódás-növekmény:

du y = dz sinγ

max

≅ dzγ max =

σ zy,max

G

dz =

Ty (z)S' x (y = 0) GI xx v(y = 0)

dz .

Integrálva a fenti kifejezést, megkapjuk a rúd rugalmas szálainak egyenletét, amely a nyírási alakváltozás következménye:

u y = ∫ du y =

AS' x (y = 0) Ty (z) dz + u * , I xx v(y = 0) ∫ GA

5.117/a

ahol u* - a rúd kényszerkapcsolatai alapján meghatározható integrálási állandó. Az (5.117/a) összefüggés a valóságosnál nagyobb nyírási eltolódásokat ad, mert a keresztmetszet legnagyobb szögváltozásával számol és feltételezi, hogy ez a keresztmetszet minden pontjában ugyanekkora. Mi már tudjuk, hogy ez nem így van és a nyírófeszültségek parabolikus eloszlását figyelembe vehetjük a nyírási alakváltozás meghatározásánál, ha a saját munkák tételét alkalmazzuk. E szerint az elemi tartódarabra ható külső erők saját munkája egyenlő a deformáció során felhalmozott rugalmas energiával: 2 1 Ty ( z ) dW = Ty (z)du y = dU b = χ dz , 2 GA S k

215

mert

a

külső

nyíróigénybevétel,

erő

a

amely

felszabadított hatásvonalával

párhuzamosan a keresett duy-nal mozdul el, a belső rugalmas energiánál pedig (5.102) második tagját vettük csak figyelembe, hoszen csak a nyírási alakváltozást keressük. Az egyenlőségből fejezzük ki duy-t és integrálva a kifejezést megkapjuk a rugalmas szál nyírási lehajlásának egyenletét:

u y (z) = χ ∫

Ty (z) GA

dz + u * .

5.117/b

A hajlításból és a nyírásból származó alakváltozás algebrailag összegezhető, mert a 5.73. ábra

normálfeszültségből és a nyírófeszültségből

származó belső energia egymástól függetlenül számítható. Az alakváltozásra kapott összefüggések szerint a hajlításból és nyírásból származó alakváltozás nagysága az igénybevételek mellett a rúd geometriai viszonyaitól és az anyagának rugalmas jellemzőitől függ. Pontos vizsgálatoknál mindig meg kell határozni a nyírási alakváltozást is. A hajlítási alakváltozás mellett a nyírási alakváltozás általában akkor hanyagolható el, ha E és G között nincs nagyságrendi különbség és a hajlított rúd fesztávolsága (alátámasztási köze) lényegesen nagyobb, mint keresztmetszetének hajlítás tengelyére merőleges mérete. Faszerkezetek hajlított elemeinél a nyírási alakváltozást mindig figyelembe kell venni, mert a faanyag rostokkal párhuzamos EL rugalmassági modulusza két nagyságrenddel is nagyobb lehet, mint a rostirányra merőleges síkhoz tartozó nyíró-rugalmassági modulusz. 5.6.4. Összetett keresztmetszet közönséges hajlítása A közönséges hajlítás hajlításból származó feszültségeloszlásának és alakváltozásának jellemzőit az 5.4.4. fejezetben tulajdonképpen már tárgyaltuk. A változás csupán annyi, hogy a

σ zz,i normálfeszültségek nemcsak a keresztmetszeten belül változnak, hanem a hely szerint változó Mx(z) nyomatéknak és Nz(z) normálerőnek megfelelően a z tengely mentén is. A nyírófeszültségek eloszlása a rétegződés jellegétől függ.

216

5.6.4.1. A rétegek síkja merőleges a hajlítónyomaték vektorára Az 5.47. ábrának megfelelő esetben az Mx(z) hajlítónyomaték változása következtében fellépő nyíróigénybevétel az y tengellyel párhuzamos. Azt, hogy a teljes Ty(z) hogyan oszlik meg az egyes rétegekre, az 5.4.4.1. fejezet első összefüggésének z szerinti deriválásával határozhatjuk meg:

dM x (z) 1 dM x,i (z) 1 = E i I xx,i dz E eredő I xx dz

,

(5.77) felhasználásával:

Ty,i (z) =

E i I xx,i E i I xx,i dM x (z) = n Ty (z) . E eredő I xx dz ∑ E i I xx,i i=1

Mint látjuk, érdekes módon, a rétegek nem a nyíró rugalmassági moduluszok, hanem az Ei moduluszok és a hajlítás tengelyére vonatkozó másodrendű nyomatékainak arányában veszik fel a teljes nyíróigénybevételt. Az i-edik réteg nyírófeszültség-eloszlását a Zsuravszkij-képlettel számítjuk. A nyírási alakváltozás már függ a réteg nyíró rugalmassági moduluszától. Azt is beláthatjuk, hogy a rétegek különböző nagyságú nyírófeszültségei és nyíró rugalmassági moduluszai miatt mindegyik réteg síkja különböző mértékben vetemedne, ezt azonban az elmozdulásmentesen összekapcsolt rétegek nem teszik lehetővé. Gátolt alakváltozás jön létre, ami összetett feszültségi állapot kialakulását vonja maga után (pl. ébrednie kell

σ xz nyíró-

komponensnek is). 5.6.4.2. A rétegek síkja párhuzamos a hajlítónyomaték vektorával Az 5.48. ábrának megfelelő esetben a nyíróigénybevétel hatásvonala merőleges a rétegek síkjára. A nyírófeszültségek eloszlását a

∆ z hosszúságú rúdelem i-edik rétegének súly-

pontjától yi távolságra eső síkjától lefelé található rúdrészre ható belső erők egyensúlyi feltétele alapján határozhatjuk meg (5.74. ábra). A z irányú vetületi egyensúlyi egyenlet:

∑ Fz = 0 = -

i −1

∑ ∫ σ zz, j (z)dFj + j=1 Fj

i −1

∑∫σ

zz, j

(z + ∆z)dFj -

i=1

Fj

- ∫ σ zz,i (z)dFi + ∫ σ zz,i (z + ∆z)dFi - σ yz,i (z)b i ∆z Fi

,

Fi

melyben a jelölések az 5.4.4.2. fejezetével azonosak. Rendezés és ∆z → 0 határátmenet képzésével:

σ yz,i (z) =

1 bi

i-1

∑∫ j=1 Fj

dσ zz, j (z) dz

dFj +

1 bi

∫ Fi

dσ zz,i (z) dz

dFi

217

5.74. ábra A σ zz,i(z) feszültségkomponens z szerinti differenciálhányadosát is az 5.4.4.2. fejezet összefüggéseinek felhasználásával határozhatjuk meg:

dσ zz,i (z) dz

=

=

dM x,i y i dN z,i 1 y A (e - a ) + = Ty,i i + Ty i 1 i = dz I xx,i dz Fi I xx,i J xx Fi

Ty  J xx,i A (e - a )   yi + i 1 i  J xx  I xx,i Fi 

ahol figyelembe vettük, hogy

Ty,i =

dM x,i dz

=

J xx,i dM x J xx,i = Ty dz J xx J xx

.

Helyettesítsük be a differenciálhányadost a nyírófeszültség kifejezésébe és rendezzük az összefüggést:

Ty  i-1 J xx, j ∑ σ yz,i (z) = J xx b i  j=1 I xx, j 

∫ y dF j

j

+

Fj

A j (e1 - a j ) Fj

∫ dF

j

Fj

+

J xx,i I xx,i

 A i (e1 - a i ) ∫! y i dFi + Fi ∫! dFi  . Fi Fi 

A szögletes zárójel első integrálkifejezése a j-edik réteg saját súlyponti tengelyére vonatkozó sztatikai nyomatéka, tehát nulla, a második integrál a j-edik réteg keresztmetszet-területe, a harmadik integrál az i-edik réteg yi alatti keresztmetszetének sztatikai nyomatéka az i-edik réteg súlyponti tengelyére (S'x,i), a negyedik pedig az i-edik réteg yi koordináta alatti keresztmetszetterülete (F'i). Térjünk vissza a módosított keresztmetszet-jellemzőkről az eredetiekre:

J xx,i =

Ei I xx,i E

és A i =

A fenti jelölésekkel:

Ei Fi . E

218

σ yz,i (z) = σ zy,i (z) = i −1

∑ E (e = Ty (z)

j=1

j

1

Ty  i-1 E j E e 1 - a j Fj + i ( S' x,i +(e 1 - a i )F' i ∑ J xx b i  j=1 E E

(

)

 ) = 

)

- a j Fj + E i ( S x,i + (e 1 - a i )F' i ) n

(

b i ∑ I xx, j + a 2j Fj − e 12 Fj j=1

)

A nyírófeszültség-eloszlásra, mint megállapíthatjuk, egy Zsuravszkij-képlethez hasonló kifejezést kapunk, hiszen az előző kifejezés számlálójában a keresztmetszet yi koordinátától lefelé eső területének Ej-vel módosított sztatikai nyomatéka található (a teljes keresztmetszet módosított súlyponti tengelyére). Egy fiktív nyírófeszültség-eloszlást az 5.74. ábrán mutatunk be. 5.6.5. Erőtani méretezés Annak ellenére, hogy a közönséges hajlítás összetett igénybevételi forma és hatására a keresztmetszet pontjaiban általában a lineárisnál bonyolultabb feszültségi állapot ébred, az előző pontokban tárgyalt terhelési és keresztmetszeti körülmények, valamint csavarásmentes állapot esetén az erőtani tervezésnél nincs szükség a töréselméletek által levezetett összehasonlító feszültségek számítására, mert a hajlításból és a nyírásból származó normál- és nyírófeszültségek szélső értékeinek helye elkülönül. Ha mégis meghatároznánk a keresztmetszet valamelyik általános helyzetű pontjában a σ zz és σ zy komponenseknek megfelelő összehasonlító feszültséget, az mindig kisebb lenne, tehát kevésbé veszélyes, mint a hajlításból származó normálfeszültség maximuma. A műszaki feladatok többségében közönséges hajlítás során a hajlítás támaszt nagyobb követelményeket a szerkezeti elemmel szemben, ezért tervezéskor úgy járunk el, hogy hajlításra meghatározzuk a rúd keresztmetszeti méreteit, majd ezeket nyírásra ellenőrizzük. 5.6.5.1. Mengedett feszültségen alapuló méretezési módszer A méretezés során a következő relációk fennállását kell kimutatni:

σ +zz,max ≤ σ +m ,

σ −zz,max ≤ σ −m ,

τ max ≤ τ m

5.118/a/b/c

ahol σ +m , σ −m , τ max - az anyag megengedett húzó-, nyomó- és nyírófeszültsége. A relációk bal oldalán álló maximális feszültségeket a terhelés és a keresztmetszet jellege, illetve viszonya alapján az 5.4. és 5.6. fejezet megfelelő összefüggéseivel számítjuk (ne feledkezzünk meg arról, hogy τ max általában a σzy és σzx nyírófeszültség-komponensek vektoriális eredőjeként számítandó).

219

Vékony falú, hajlított szelvényeknél előfordulhat (pl. az 5.68. ábrán látható szelvény A és B pontjában), hogy a keresztmetszet bizonyos pontjaiban egyszerre nagy normál- és nyírófeszültségek is ébrednek. Ilyen esetben a (5.118/a) reláció bal oldalára a rúd anyagának megfelelő törési elmélettel számított összehasonlító feszültséget kell helyettesíteni. Alakváltozásra történő méretezésnél a rúd maximális lehajlását kell összehasonlítani a hatósági előírások által megadott értékkel:

u max ≤ u m ,

5.119

um - et általában a fesztávolság százalékában adják meg. Pontos számításoknál a hajlítási mellett a nyírási alakváltozást is figyelembe kell venni. Tervezéskor a (5.118/a/b) vagy (5.119) összefüggések egyenlőségéből kiindulva meghatározzuk a keresztmetszeti méreteket, majd ezeket nyírásra is ellenőrizzük. Ha összehasonlító feszültséget kell számítani, akkor csak arra van lehetőség, hogy az előre (többé-kevésbé találomra) felvett keresztmetszetet ellenőrizzük. 5.6.5.2. "Fél" valószínűséggel kiegészített határállapot módszer A méretezés során azt kell kimutatni, hogy a rúd veszélyes keresztmetszetében a külső terhekből származó mértékadó hajlítónyomaték és nyíróerő nem nagyobb, mint a határ hajlítónyomaték, illetve a határ nyíróerő:

MM ≤ MH ,

TM ≤ TH ,

5.120/a/b

ahol a keresztmetszet határnyomatéka egyenes hajlításnál:

M H = σHKx , a határnyíróerő:

TH = τ H

I xx v(y = 0) S x (y = 0

,

melyben σ H és τ H a szerkezet anyagának határ húzó- vagy nyomófeszültsége és határ nyírófeszültsége. Ferde hajlításkor az (5.58) kifejezést használhatjuk a határnyomaték meghatározására. A határnyíróerőt, ha a keresztmetszet módosító hatását is figyelembe kell venni, az (5.100), (5.105) és (5.106) kifejezések alkalmas átalakításával számolhatjuk.

220

Alakváltozásra való méretezésnél a rúd megfelelő, ha

uM ≤ uH ,

5.121

ahol uM-et az (5.112/b), (5.116/b) és (5.117/b) kifejezések felhasználásával határozzuk meg, úgy, hogy az igénybevételek helyére azok mértékadó értékét helyettesítjük. A határlehajlásokat szabványok írják elő. Tervezéskor hasonlóan járunk el, mint megengedett feszültségeken alapuló eljárásnál. 5.7. Hajlítás és normáligénybevétel Ennél az összetett igénybevételfajtánál a rúd tetszőleges keresztmetszetének súlypontjában normáligénybevétel (húzó- vagy nyomóerő) és hajlítóigénybevétel hat. Egy ilyen erőrendszer azonban mindig átalakítható az 5.75. ábrán látható módon egy, a súlyponttól t = M/N távolsággal párhuzamosan eltolt, N erőből álló erőrendszerré, amely az eredetivel sztatikai és szilárdságtani szempontból egyenértékű. Ezért a hajlítónyomatékból és normálerőből álló összetett igénybevételt - a normálerő értelmétől függően - külpontos húzásnak, illetve nyomásnak nevezzük. Mivel a hajlítónyomaték és a normálerő egymástól függetlenül változhat - nincs köztük olyan kapcsolat, mint a hajlítónyomaték és a nyíróerő között - együttes fellépésük és hatásuk külön-külön tárgyalható és összegezhető. Az eredő feszültségeloszlást azért is könnyű meghatározni, mert mindkét igénybevételből a z normálisú keresztmetszetsíkon normálfeszültségek ébrednek. A központos húzás vagy nyomás a keresztmetszeten egyenletes normálfeszültségeloszlást eredményez, a hajlítás pedig lineárisan változót. Az általánosabb, ferde hajlítás esetét figyelembe véve (5.38. ábra) az x', y', z' koordinátarendszerben a keresztmetszet egy y' koordinátájú pontjában a normálfeszültséget az (5.58) kifejezés adja, a normáligénybevételből származó feszültséget pedig (5.16)-tal számítjuk. Mindkét normálfeszültség azonos hatásvonalú, ezért eredőjüket algebrai összegzéssel kapjuk (5.76. ábra):

σ z'z' = σ z'z' (y' ) =

N M x' + y' A I x'x'

5.122/a

ahol a normálerő és a hajlítónyomaték előjelét, valamint a koordinátatengelyek pozitív irányítását az 5.2.1. és az 5.4.1. fejezetben megfogalmazott definíciók szerint választjuk meg. Természetesen annak sincs akadálya, hogy a ferde hajlítást az (5.62) kifejezésnek megfelelően visszavezessük két egyenes hajlítás összegére. Ilyenkor a keresztmetszet másodrendű főtengelyeinek rendszerében a normálfeszültség kifejezése három tagból áll:

221

5.75. ábra

σ zz =

M N M1 + η- 2 ξ A I1 I2

5.122/b

Ha eleve egyenes hajlításról van szó, akkor a fenti kifejezésben a harmadik tag nulla, s a másodrendű főtengelyeket x,y-nal jelölve:

σ zz =

N Mx + y A I xx

5.122/c

A (5.112) összefüggések azt mutatják, hogy a semleges sík nem megy át a keresztmetszet súlypontján, ahhoz képest a hajlítás tengelyével párhuzamosan eltolódik. Helye ott lesz, ahol a normáligénybevételből és a hajlításból származó normálfeszültségek azonos nagyságúak, de ellentétes értelműek. Egyenes vagy ferde hajlításnál a semleges sík és a keresztmetszet síkjának metszésvonalát (a semleges tengelyt) az eredő normálfeszültségi ábra segítségével az 5.76. és 5.77. ábrán látható módon könnyen megszerkeszthetjük. Egyenes hajlításnál a semleges tengely súlyponti tengelytől mért távolságát a (5.122/b)ből határozhatjuk meg, ha annak bal oldalát nullával tesszük egyenlővé:

d=-

N Ix Mx A

5.123/a

222

5.76. ábra Ferde hajlításnál a semleges tengely egyenletét (5.122/c)-ből számíthatjuk, ha annak bal oldalát is nullával tesszük egyenlővé:

η=

M 2 I1 N I1 ξM1 I2 M1 A

5.123/b

Ha a semleges tengely metszi a keresztmetszetet, akkor abban húzó- és nyomófeszültségek is ébrednek (5.77. ábra), ha éppen érinti, akkor csak azonos előjelű normálfeszültségek keletkeznek, melyek nagysága az érintő pont(ok)ban nulla. Ha a semleges tengely kívül esik a keresztmetszet kontúrján, a normálfeszültségek mindig azonos előjelűek és sohasem nullák. A

223

5.77. ábra normálfeszültségek előjelének különösen ott van jelentősége, amikor a teherviselő rúd anyaga csak nyomó-, esetleg csak húzófeszültségek felvételére alkalmas. A gyakorlatban sok olyan anyag van, amely nyomóigénybevételnek ellenáll, de húzásnak csak csekély mértékben vagy egyáltalán nem (kő, tégla, beton, alapozások legalsó keresztmetszete, azaz a talaj). Ilyen esetben mindig ellenőriznünk kell, nem ébred-e a keresztmetszetben húzófeszültség. Ha a nyomás és hajlítás együttesét külpontos nyomásként értelmezzük, akkor annak feltétele, hogy a keresztmetszet egyetlen pontjában se ébredjen húzófeszültség, az, hogy a normálerő hatásvonalának súlyponttól mért távolsága egy bizonyos értéket ne haladjon meg, azaz a hatásvonal egy bizonyos területen belül maradjon. Ezt a súlypontot mindig tartalmazó területet a keresztmetszet magidomának nevezzük. Jelöljük az y tengelyen elhelyezkedő N erő hatásvonalának súlyponttól mért távolságát t-vel (5.76. ábra). Ennek maximumát, azaz a magidom y tengellyel vett metszéspontját abból a feltételből határozhatjuk meg, hogy az e'x'-vel megadott szélső szálban a húzófeszültségnek nullával kell egyenlőnek lennie. (5.112/a) felhasználásával:

0=-

N Ntcosα + e' x' , A I x'x'

ahonnan a másodrendű nyomatékokra vonatkozó Ix'x' = Aix'2 összefüggés felhasználásával:

I x'x' i x' 2 t= = Ae' x' cosα e' x' cosα

.

5.124

Az összefüggés azt mutatja, hogy a magidom alakja és nagysága csupán a keresztmetszet geometriai jellemzőitől függ, éppen ezért a magidom pusztán ábrázoló geometriai eszközökkel is meghatározható (antipólus és antipoláris szerkesztéssel), amivel itt részletesen nem foglalkozunk. Az 5.78. ábrán bemutatjuk néhány gyakori síkidom magidomát. A (5.124) kifejezés használatára példaként határozzuk meg a kör keresztmetszetének magidomát. Ez a központos szimmetria miatt szintén kör, melynek sugara d/8, mert bármely súlyponton átmenő x' tengelyre Ix'x' = d4 π /64, A = d2 π /4, e'x' = d/2 és ix' = d/4.

224

A külpontosan húzott rudak vagy a zömök nyomott rudak alakváltozását a két tiszta igénybevételből származó alakváltozás vektori összegzésével kapjuk (jóllehet a normálerőből származó alakváltozás a hajlítási alakváltozás mellett gyakorlatilag elhanyagolható). A karcsú külpontosan nyomott rudaknál már stabilitási problémák lépnek fel, ezek tárgyalása más témakörbe tartozik.

5.78. ábra A belső rugalmas energia számításánál is a szuperpozíció elvét alkalmazzuk. A z hoszszúságú rúdban felhalmozott rugalmas energia (5.19) és )5.63) összegzésével adódik:

dU b = dU b =

2 2 M 22  1  N 2 M x'  1  N2 M1 + dz = + +     dz 2  EA EI x'x'  2  EA EI 1 EI 2 

5.125

5.7.1. Erőtani méretezés 5.7.1.1. Megengedett feszültségen alapuló méretezési módszer Az erőtani méretezés során azt kell kimutatni, hogy a veszélyes keresztmetszet kritikus pontjaiban a normálfeszültség abszolút értéke nem nagyobb a megfelelő megengedett feszültségnél:

σ +max ≤ σ +m ,

σ −max ≤ σ −m

5.126/a/b

ahol

σ +max =

N M x' + A Kx

5.127/a

σ −max =

N M x' − , A Kx

5.127/b

225

A normálfeszültségek szélső értékeinek meghatározásánál a fenti kifejezéseket a korábbi előjeldefiníciók következetes betartásával "automatikusan" is használhatjuk, de lehetőség nyílik az előjelek szemléleten alapuló felvételére is. Ez utóbbi esetben célszerű megrajzolni - ahogy azt az 5.76. és 5.77. ábrákon tettük - a normálfeszültség-eloszlások összetevő és eredő ábráját. + σ m és σ -m a rúd anyagának, illetve alapozások méretezésénél a talaj anyagának megengedett húzó- és nyomófeszültsége. Csak nyomóigénybevétel felvételére alkalmas anyagoknál

σ +m= 0 , a méretezés során tehát azt kell kimutatni, hogy a keresztmetszet egyetlen pontjában sem ébred húzófeszültség. Tervezésre csak közvetett formában kerülhet sor, azaz előre felvett keresztmetszetet kell ellenőrizni. 5.7.1.2. "Fél" valószínűséggel kiegészített határállapot módszer Ennek a méretezési módszernek az alapgondolata szerint mindig igénybevételeket (mértékadót és határt) hasonlítunk össze, most mégis egyszerűbben elvégezhető az ellenőrzés, ha a mértékadó feszültséget vetjük össze a határfeszültséggel:

σ +M ≤ σ +H , σ −M ≤ σ −H .

5.128/a/b

ahol a pozitív és negatív normálfeszültséget a (5.127)-nek megfelelően számítjuk annyi változtatással, hogy azokban a mértékadó igénybevételek értékét használjuk fel. 5.8. Általános összetett igénybevétel A legáltalánosabb esetben is prizmatikus rúdra ható külső erőrendszer hatására keletkező belső erőrendszer egy adott keresztmetszetben négy igénybevételből, normál- és nyíróerőből, hajlító- és csavarónyomatékból áll. Ezek hatására a rúd általános helyzetű pontjai összetett alakváltozási és feszültségi állapotba kerülnek. Kevésbé igényes számításoknál az összetett feszültési állapot komponenseit azzal a feltételezéssel határozhatjuk meg, hogy a normáligénybevétel, a közönséges hajlítás és a csavaróigénybevétel egymástól függetlenül fejti ki hatását, az eredő feszültségi állapot a részigénybevételekből származó feszültségkomponensek vektorális összegzésével nyerhető. Nagyobb pontosságot igénylő esetekben a feszültségi és alakváltozási állapot komponenseit, sőt magának a szerkezeti elemnek az alakváltozását is a rugalmasságtan alapegyenleteinek felhasználásával kell meghatározni.

226

5.8.1. Erőtani méretezés Az erőtani méretezés során a rúd kritikus pontjában kiszámítjuk - a rúd anyagának megfelelő tönkremeneteli elmélettel - az egyenértékű feszültséget (3. fejezet), és ellenőrizzük a (3.1) reláció módosított formájában teljesülését. A módosítás attól függ, milyen méretezési alapelvet alkalmazunk. A szerkezeti elemnek az a kritikus pontja, amelyben az egyenértékű feszültség az összes lehetséges közül a legnagyobb. 5.8.1.1. Megengedett feszültségen alapuló méretezési módszer A megengedett feszültségen alapuló eljárásnál a kritikus pont feszültségi állapotának komponenseit a szerkezetre ható külső erők alap-(maximális)-értékeivel számítjuk (4.2.1. fejezet) és a + σ max egy ≤ σ m ,

5.129

reláció teljesülését kell igazolni. Könnyen beláthatjuk, hogy összetett igénybevétel esetén - legalábbis a legtöbb esetben tervezésre nincs mód, az előre felvett keresztmetszetet ellenőrizzük. 5.8.1.2. "Fél" valószínűséggel kiegészített határállapot módszer Igénybevételek összehasonlítására itt sincs lehetőséget. A mértékadó feszültségnek megfelelő egyenértékű feszültséget úgy számítjuk, hogy a külső terhelések mértékadó értékeit használjuk fel (4.2.2. fejezet). A vizsgált, kritikus pont megfelel, ha

σ

M egy

≤ σ

+ H

.

5.130

Tervezni itt is csak közvetett módon lehet. 5.9. Görbe tengelyű rudak Gépek, épületek és egyéb szerkezetek teherhordó elemeként sűrűn alkalmaznak görbe tengelyű rudakat. Különösen gyakran találkozhatunk fából készült, ívestengelyű tartókkal, rudakkal (rétegelt ragasztott íves fatartók, ülőbútorok, szerkezeti elemei, stb.). Az íves tengelyű rudak keresztmetszeteinek különböző igénybevételek hatására keletkező feszültségeloszlása várhatóan más lesz, mint az egyébként ugyanolyan tulajdonságokkal rendelkező egyenes tengelyű rudaknál. Nyilvánvaló, hogy a feszültségeloszlás jellege, a feszült-

227

ségek szélső értékei nemcsak az igénybevételtől, a keresztmetszet alakjától, hanem a görbültség jellegétől is függenek. A számtalan lehetőség közül csak olyan rudakkal foglalkozunk, amelyek tengelye síkgörbe és a deformálódott rúd tengelye is benne marad ebben a síkban. E feltétel akkor teljesülhet, ha a külső terhelés is benne van a rúdtengely síkjában, vagy legalábbis erre a síkra szimmetrikus és a keresztmetszetnek van legalább egy olyan szimmetriatengelye, amelyik beleesik a rúdtengely síkjába (5.79. ábra).

5.79. ábra A ϕ koordinátával jellemzett keresztmetszet igénybevételei általános esetben hajlítónyomaték, nyíróerő és normálerő. Ezen igénybevételek és a külső terhelés közötti kapcsolatot sztatikai tanulmányaink során levezettük. Ezeket az - ott (61/g,h,i)-vel jelölt - összefüggések még egyszerűbb alakra hozhatjuk, ha a görbe tengelyű rúd központi szöggel jelölt helyén nincsenek külső erők, vagy ha azok teherintenzitása elhanyagolhatóan kicsi:

dN(ϕ ) = T(ϕ ) , dϕ dT(ϕ ) = - N(ϕ ) , dϕ dM(ϕ ) = RT(ϕ ) , dϕ

5.131/a 5.131/b 5.131/c

228

5.9.1. Egyszeresen szimmetrikus keresztmetszetű, görbe tengelyű rudak külső terhelésből származó feszültségeinek meghatározása

5.80. ábra Vágjunk ki egy görbe tengelyű rúdból egy ∆ϕ központi szögű, a súlyvonalán ∆s ívhosszúságú elemi darabot (5.80. ábra), melynek bal oldali keresztmetszetén működtessük a lehetséges belső erőket, jobb oldalán pedig az egyelőre ismeretlen megoszlású feszültségeket. Az egyenes rudakkal kapcsolatos vizsgálataink eredményei után joggal tételezhetjük fel, hogy a keresztmetszet általános helyzetű pontjaiban a normáligénybevételből és a hajlítóigénybevételből normálfeszültségek ébrednek. Ezeket a feszültségeket, melyek hatásvonala mindig párhuzamos a rúd súlyvonalához húzott érintővel, érintő- vagy hosszirányú normálfeszültségeknek nevezzük. Ugyanezen síkhoz a nyíróigénybevételnek megfelelően nyírófeszültségek is tartoznak. Ha a rúdelemet egy, a hossztengellyel párhuzamos, ábránk szerint y normálisú síkkal elvágjuk, akkor ezen a síkon a dualitás tétel érvényessége miatt nyírófeszültségeknek kell éb-

229

redniük, de ehhez a síkhoz is tartozik normálfeszültség, melyet sugár- vagy keresztirányú normálfeszültségnek nevezünk. E keresztirányú normálfeszültségek fellépését szükségességét a hosszirányú normálfeszültségek eloszlásának ismeretében könnyen megérthetjük. A σ xx -vel jelölt hosszirányú normálfeszültségek eloszlásának meghatározását az elemi tartódarab alakváltozásának vizsgálatával kezdjük. Most is, mint egyenes tengelyű tartónál, azzal a feltételezéssel élünk, hogy az eredetileg sík keresztmetszetek az alakváltozás után is síkok maradnak. A keresztmetszetek a deformáció során csak eltolódnak és elfordulnak. Az elemi darab eredetileg szöget bezáró két végkeresztmetszete közötti szög megváltozását jelöljük ∆ϕ -vel. A súlyponttól y távolságra található szál fajlagos hosszváltozására az ábra alapján a következő összefüggést írhatjuk fel:

ε zz (y) =

(ρ - y)( ∆ϕ - ∆ψ ) - (R - y)∆ϕ , (R - y)∆ϕ

ahol R - az eredeti, - a megváltozott görbületi sugár. Ez az alakváltozási komponens az σ zznek és σ yy-nak a függvénye. Közelítő számításunkban azonban feltesszük, hogy σ zz >> σ yy, így

ε zz (y) =

1 1 ( σ zz - νσ yy ) ≅ σ zz , E E

ahol E a rúd anyagának rugalmassági modulusza a súlyvonal érintőjének irányában. Ha bevezetjük a k = ∆ψ ∆ϕ fajlagos keresztmetszet-elfordulást, akkor az előző két összefüggés felhasználásával a következő kifejezést vezethetjük le:

ρ(1 - k) + ky - R =

(R - y) σ zz . E

5.132/a

Jelöljük a súlyponti szálban ébredő normálfeszültséget σ S-sel. Ezt az előző kifejezésből y=0 helyettesítéssel fejezhetjük ki:

ρ(1 - k) - R =

R σS . E

5.132/b

Vonjuk ki ezt az összefüggést (5.132/a)-ból és adjuk hozzá a jobb oldalhoz a

+

y y σS - σS E E

mennyiséget és fejezzük ki a keresett normálfeszültséget:

σ zz (y) = σ S +

y (kE + σ S ) R-y

,

5.133

230

melyben a k és σS egyelőre ismeretlen állandók. Annyi azonban már most is látszik, hogy a hosszirányú normálfeszültség y-nak hiperbolikus függvénye. A két ismeretlen meghatározásához egyensúlyi feltételeket használhatunk fel. Az első feltétel szerint a normálfeszültségekből származó belső erő z irányú vetülete éppen az N normálerő:

N = ∫ σ zz dA = ∫ [ σ S + A

A

y (kE + σ S )]dA , R-y

a második feltétellel azt fogalmazhatjuk meg, hogy a normálfeszültségekből származó elemi erők nyomatéka a súlyponton átmenő x tengelyre (a hajlítás tengelyére) az M hajlítóigénybevétellel egyenlő:

M = ∫ σ zz ydA = ∫ [ σ S y + A

A

y2 (kE + σ S )]dA , R -y

A két egyensúlyi egyenletből az ismeretlenekre a következő összefüggéseket határozhatjuk meg:

kE + σ S =

MR J xx

σS =

,

N M − A AR

5.134/a,b

ahol Jxx-szel a keresztmetszet módosított másodrendű nyomatékát jelöltük, számítását az előző levezetés automatikusan definiálja:

 (-y(R - y) Ry) R 2 (y + R - R)y Ry  y dA = R ∫ dA = R ∫  +  dA =  R -y R -y R -y R - y A A A

J xx = ∫

ydA = -R ∫ ydA + R ∫ = R2 R y A A 2

y ∫A R - y

5.135

az utolsó egyenlőség első tagja azért esik ki, mert az integrálkifejezés a keresztmetszet súlyponton átmenő tengelyre vonatkozó sztatikai nyomatéka, ami minden esetben nulla. (5.134)-et helyettesítsük be (5.133)-ba. Rendezés után megkapjuk a görbe tengelyű hosszirányú normálfeszültség-eloszlását a központi szöggel megadott keresztmetszetben:

σ zz (ϕ, y) =

M( ϕ ) R M( ϕ ) N(ϕ ) y− + I xx R − y AR A

5.136

Ezt az összefüggést a szakirodalom Grashof-képlet néven említi. A másik két feszültségkomponens meghatározásához vágjuk ki a görbe tengelyű rúdból az 5.81. ábrán látható elemi darabot és tüntessük fel ennek felületein a feltételezett feszültségeket. A nyírófeszültségeloszlás meghatározásához fogalmazzuk meg az elemi erők z irányú egyensúlyi feltételét:

231

∑F

z

= 0 = -σ zz (ϕ , y)v(y)∆ycos

∆ϕ ∆ϕ ∆ϕ + σ zz (ϕ + ∆ϕ , y)v(y)∆ycos − σ zy (ϕ , y)v(y)∆ysin − 2 2 2

−σ zy (ϕ + ∆ϕ, y)v(y)∆ysin

∆ϕ − σ yz (ϕ , y)v(y)(R - y)∆ϕ + σ yz (ϕ , y + ∆y)v(y)(R - y - ∆y)∆ϕ 2

Ebből a kifejezésből a cos

∆ϕ ∆ϕ ∆ϕ ≅ 1 és sin ≅ közelítések felhasználásával, ∆y∆ϕ -vel 2 2 2

való osztással a következőt kapjuk:

σ zz (ϕ + ∆ϕ, y) - σ zz (ϕ, y) σ zy (ϕ , y) - σ zy (ϕ + ∆ϕ, y) − + ∆ϕ 2 σ yz (ϕ , y + ∆y) - σ yz (ϕ, y) + ( R − y) − σ yz (ϕ , y + ∆y) = 0 ∆y A ∆ϕ → 0 és ∆ y → 0 határértékképzést elvégezve:

∂σ zy (ϕ , y) ∂σ zy (ϕ , y) ∂σ zz (ϕ , y) 1 + − =0 . ∂σ R−y y R−y Az első tagot (5.136) differenciálásával kapjuk, ha közben felhasználjuk a (5.131) összefüggéseket is:

∂σ zz (ϕ , y) ∂M(ϕ ) ∂M(ϕ ) 1 ∂N(ϕ ) 1 Ry = − + = ∂ϕ ∂ϕ J xx (R - y ∂ϕ AR ∂ϕ A

=

T(ϕ ) R 2 y J xx R - y

behelyettesítve:

∂σ zy (ϕ , y) ∂y

−

2σ zy (ϕ , y) R -y

2

T(ϕ )  R  +   y= 0 , J xx  R − y 

amely σ zy (ϕ, y) -ra nézve egy másodrendű, inhomogén differenciálegyenlet. A megoldásnál fellépő két integrálási állandót abból a két kerületi feltételből kell meghatározni, amely azt mondja ki, hogy a keresztmetszet alső és felső szálaiban - ha a rúdfelület tehermentes - nyírófeszültség nem ébredhet, azaz

σ zy ( ϕ, y = e x ) = 0 , σ zy ( ϕ, y = e' x ) = 0

.

A differenciálegyenlet kerületi feltételeket is kielégítő megoldása:

σ zy (ϕ , y) =

ahol S'x =

T(ϕ )S' x R2 , J xx v ( y) ( R − y) 2

5.137

∫ ydA - a keresztmetszet y és e

x

A'

koordináták közé eső részének x tengelyre vonat-

232

kozó sztatikai nyomatéka. A (5.137) összefüggés hasonlít a Zsuravszkij-képletre, ne feledjük azonban, hogy Jxx a (5.135)-tel számítandó, módosított másodrendű nyomaték.

5.81. ábra A keresztirányú normálfeszültség-eloszlás meghatározásához írjuk fel a rúdelemre az y irányú vetületi egyensúlyi egyenletet:

∑F

y

= 0 = - σ yy (ϕ , y)v(y)(R - y)∆ϕ + σ yy (ϕ , y + ∆y)v(y)(R - y - ∆y)∆ϕ +

∆ϕ ∆ϕ ∆ϕ + σ zz (ϕ + ∆ϕ , y)v(y)∆ysin − σ zy (ϕ , y)v(y)∆ycos + 2 2 2 ∆ϕ + σ zy (ϕ , y + ∆y)v(y)∆ycos 2 Az előzőhöz hasonló átalakítások után és ∆ϕ → 0 , ∆ y → 0 határátmenettel: + σ zz (ϕ , y)v(y)∆ysin

∂σ zy ( ϕ, y) ∂ϕ

∂σ yy ( ϕ, y) ∂σ yy ( ϕ, y) σ zz ( ϕ, y) 1 + − + =0 R−y ∂y R−y R−y

Az első differenciálhányadost (5.137) és (5.131) felhasználásával nyerjük:

233

∂σ zy ( ϕ, y) ∂ϕ

=

∂T(ϕ ) S' x N(ϕ ) R 2S' x R2 = − ∂ϕ J xx v ( y) (R - y) 2 J xx v ( y) (R - y) 2

.

Ezt behelyettesítve és (5.136)-ot is felhasználva:

∂σ yy ( ϕ, y) σ yy ( ϕ, y) N(ϕ ) R 2S' x M(ϕ ) Ry M(ϕ ) N(ϕ ) − − + − + = 0, 3 2 ∂y R-y J xx v(y) (R - y) J xx (R - y) AR(R − y) A(R − y) amely σ yy (ϕ, y) -ra nézve ismét egy másodrendű, inhomogén differenciálegyenlet. Megoldása során azokat a kerületi feltételeket kell felhasználni, hogy a rúd terheletlen felületén, azaz a keresztmetszet szélső szálaiban ezek a normálfeszültségek nullával egyenlők, azaz σ yy (ϕ , y = e x ) = 0 é s σ yy (ϕ , y = e' x ) = 0 . A differenciálegynelet kerületi feltételeket is kielégítő megoldása:

σ yy ( ϕ, y) =

M(ϕ )  1 J' xx RS' x A'  + −  Rv(y)  R - y J xx J' xx A

RS' x N(ϕ )  1 J' xx A'  − −   v(y)  R − y J xx J' xx (R - y) A 

5.138

ahol ex

ex

y

y

A' = ∫ dA, J ' xx =

∫

Ry 2 dA R−y

5.138/a,b

tehát a keresztmetszet y és ex koordináta közötti részének területe és x tengelyre vonatkozó, módosított másodrendű nyomatéka. A (5.137) és (5.138) megoldások helyességéről a legegyszerűbben úgy győződhetünk meg, ha visszahelyettesítjük őket differenciálegyenleteikbe. Az ellenőrzésnél szükség van a (5.135) képletsorhoz hasonlóan levezethető ex

R∫ y

J' y dA = xx + S' x R -y R

egyenlőség alkalmazására. Az 5.82. ábrán bemutatjuk egy üreges téglalap keresztmetszetű, görbe tengelyű rúd feszült-ségkomponenseinek y tengely menti megoszlását külön-külön ható három igénybevétel esetén. A hajlítónyomatékból származó σ zz hossz-irányú normálfeszültség eloszlása hiperbolikus (az y=R helyen, azaz a görbületi sugár középpontjában végtelen értéket vesz fel). Az egyenes tengelyű rúdhoz képest - ahol a feszültségeloszlás a szaggatott vonalnak megfelelő

234

lineáris - a rúd domború szélén kisebb, homorú szélén nagyobb feszültségek ébrednek. A semleges szál a homorú oldal felé tolódik el. A hosszirányú normálfeszültségek maximumát (5.136) utolsó tagjának elhagyásával és y = ex helyettesítéssel számítjuk. A normáligénybevételből származó hosszirányú normálfeszültség eloszlása - az egyenes tengelyű rúdhoz hasonlóan - egyenletes. A

hajlítónyomaték

keresztirányú

hatására

normálfeszültség

fellépő

eloszlásának

jellege hasonlít a nyíró-feszültségek eloszlására, de még szimmetrikus keresztmetszet esetén sem szimmetrikus. A feszültségmaximum helye a homorú oldal felé tolódik el. A normálerőből származó keresztirányú normál-feszültségeknek pozitív és negatív szélső értéke is van. A nulla érték helye a súlyvonal és a homorú oldal között van. A nyírófeszültség eloszlása hasonlít az egyenes tengelyű rúdéhoz, a feszültségmaximum helye azonban a homorú oldal felé tolódik el. Ha a keresztmetszet oldalai nem párhuzamosak az y tengellyel, hanem pl. az 5.80. ábrának megfelelő általános alakúak, akkor a σ zy nyírófe-szültség-komponens mellett σ zx nyírófeszültség is ébred. Ezek meghatározása teljesen analóg az egyenes rúdnál bemutatott eljárással. A görbe tengelyű rúd egy általános helyzetű pontjában a feszültségi állapot tenzorának mátrixa:

 0  Tσ =  0 σ xz 

0 σ yy σ yz

σ zx   σ zy  . σ zz 

A görbe tengelyű rúd pontjai általában tehát 5.82. ábra

térbeli feszültségi állapotban vannak.

235

Az alsó és felső szál(ak)ban csak a σ zz komponens nem nulla, itt a feszültségi állapot mindig lineáris, mégis izotrop anyagú rúdnál a szélső szálak pontjai a kritikus pontok, mert - különösen nem túlságosan görbült rudaknál - a hosszirányú normálfeszültségek maximuma nagyságrendekkel nagyobb lehet a többi feszültségkomponens értékeinél. Anizotrop anyagú rudaknál, pl. rétegelt ragasztott íves fatartóknál a tönkremenetelt nemcsak a

σ zz, hanem a

σ yy és a

σ zy

= σ yz feszültségek is okozhatják, mert a faanyag rostokra merőleges húzó- vagy nyomószilárdsága, illetve a rostokkal párhuzamos nyírószilárdsága meglehetősen alacsony. A görbe tengelyű rúd ds hosszúságú elemében felhalmozott rugalmas energiát a különböző igénybevételekhez tartozó rugalmas energiák összegeként számítjuk. Az egyes igénybevételfajtákhoz tartozó rugalmas energiát jó közelítéssel ugyanúgy kapjuk, mint az egyenes tengelyű rudaknál, az azoknál levezetett összefüggésekben csak annyit kell változtatni, hogy dz helyébe ds-et írunk:

1  N 2 (s) M 2 (s) T 2 (s)  ~ dU b = dU b =  + +χ  ds 2  EA EI xx GA 

5.140

5.9.2. Görbe tengelyű rudak alakváltozásának számítása Ha a görbe tengelyű rudak alakváltozását az egyenes rudaknál alkalmazott módszerrel, azaz a rugalmas szál differenciálegyenletének felírásával kívánnánk meghatározni, matematikai szempontból igen bonyolult összefüggést kapnánk, melynek még közelítő megoldása is nagyon sok problémát jelentene. Amennyiben csak a megváltozott görbületi sugárra vagy a fajlagos keresztmetszetelfordulásra van szükségünk, a (5.132/b) és (5.134) összefüggések felhasználásával ezeket kifejezhetjük:

1 1 = ρ(s) R(s)

M(s) N(s) M(s) J xx E + − A AR  R 1 1 1  N(s)  k= =  M(s) + −  ρ(s) E  A   J xx AR 

5.141/a

5.141/b

Ha csak bizonyos helyeken keressük a keresztmetszet eltolódását vagy elfordulását, a legegyszerűbben a munka- és energiatételek alkalmazásával jutunk eredményhez. A rúdban felhalmozott rugalmas energiát (5.140)-nel számítjuk. Amennyiben az R(ex+e'x) viszony elég nagy, azaz valóban rúd alakú, nem túlságosan görbe szerkezeti elemről van szó, (5.140) szögletes zárójelében az első és harmadik tag a második tag mellett gyakorlatilag elhanyagolható. Ez azt jelenti, hogy a görbe rúd alakváltozását úgy számíthatjuk, mintha csak hajlító-

236

igénybevételnek lenne kitéve. 5.9.3. Erőtani méretezés A görbe tengelyű rúdban ébredő feszültségek meghatározásánál megállapítottuk, hogy annak pontjai általában összetett feszültségi állapotba kerülnek, így az erőtani méretezést az 5.8.1. pontban bemutatott eljárásnak megfelelően kell elvégezni. Faanyag vagy más ortotróp anyag esetén az egyenértékű feszültséget a (3.18) reláció jobb oldalán található összefüggéssel számítjuk.

6. Lemezek rugalmasság- és szilárdságtana Felületszerkezetnek nevezzük a térbeli kiterjedésű testet, ha egyik geometriai mérete - a vastagsága - a másik kettőnél lényegesen, legalább egy nagyságrenddel kisebb A vastagságot felező pontok mértani helye a középfelület (amely ugyanolyan szerepet játszik, mint rudaknál a középvonal).

6.1. ábra A felületszerkezeteket a középfelület alakja alapján két nagy csoportba oszthatjuk: - héjak, ha a középfelület legalább egyszer görbült, - lemezek, ha a középfelület sík. A felületszerkezetek széleit tetszőleges geometriai alakzat határolhatja és terhelésük, valamint megtámasztásuk is igen változatos lehet. A felületszerkezetek mechanikai viselkedésének leírásánál már nem elegendő az elemi rugalmasságtan módszereinek alkalmazása, számítá-

237

sukhoz a rugalmasságtan alapegyenleteit kell felhasználni. A héjakat és lemezeket tovább csoportosíthatjuk alakjuk és erőjátékuk alapján, amelyet az eltérő számítási módszerek indokolnak (bizonyos esetekben pl. a háromdimenziós alapfüggvények két-, esetleg egy dimenzióssá alakíthatók, ami a zárt formában való megoldhatóság esélyét lényegesen megnöveli. Mechanikai tanulmányainkban csupán a sík felületszerkezetekkel foglalkozunk. Ezeket a külső terhelés alapján két nagy csoportba soroljuk (6.1. ábra): - a külső erők hatásvonala beleesik a középfelület síkjába (általánosabban fogalmazva, a középsík terhelés szimmetriasíkja), a szakirodalom az ilyen lemezeket sokszor tárcsa néven említi, - a külső erők hatásvonala merőleges a középsíkra (szűkebb értelemben ezeket a szerkezeteket nevezik lemeznek). A 6.1. ábra alapján könnyen beláthatjuk, hogy az első esetben - ha stabilitási problémák nem lépnek fel - a lemez középfelülete az alakváltozás után is benne marad az eredeti síkban, míg a második esetben onnan kilép és egyszeresen vagy kétszeresen görbült felületté alakul. Ha a síklemez általánosan terhelt és csak kis elmozdulásokat engedünk meg, akkor a lemez alakváltozási és feszültségi állapotmezejét, illetve deformációját a szuperpozíció elvével határozhatjuk meg. Számításaink során a lemezek anyagáról feltételezzük, hogy - homogén, - izotrop és - lineárisan rugalmas. 6.1. A külső erők hatásvonala beleesik a középfelület síkjába Vágjunk ki a lemezből az A pont közelében egy a lemez vastagságával megegyező hosszúságú elemi hasábot, majd még ezen belül is jelöljünk ki egy ∆z hosszúságú darabot (6.2. ábra). Ha a lemez vastagsága elég kicsi, akkor jó közelítéssel elfogadhatjuk, hogy a z tengelylyel párhuzamos egyenesen felvett pontok feszültségi állapotának komponensei a koordinátától nem függenek, tehát

σ ij = σ ij (x, y)

,

6.1

mert a kis távolságon jelentős feszültségváltozás nem alakulhat ki, a feszültségfüggvények ugrásszerű változását pedig a külső terhelés nem indokolja. A kis lemezvastagság feltételezése tehát lehetővé teszi, hogy a lemez teljes állapotmezejének megadásához elegendő a középsík állapotmezejének ismerete. A terhelési megszorításból, mint kerületi feltételből az következik, hogy a lemez z normálisú, tehermentes felületi pontjaiban σ z = 0 , ami skalárisan a következő egyenlőséget jelenti: σ zz = σ zx = σ xz = σ zy = σ yz = 0 .

238

6.2. ábra Mivel a feszültségkomponensek vastagságmenti változását elhanyagolhatjuk, (6.2) a lemez belső pontjaiban is fennáll, ami azt jelenti, hogy a lemez minden pontjában a 6.2. ábrán látható feszültségkomponensekkel jellemezhető, síkbeli feszültségi állapot uralkodik. A középsíkjában terhelt lemez vizsgálatához a 2.5.6. fejezet b. pontjában levezetett összefüggések minden változtatás nélkül alkalmazhatók. Ezért az Airy-féle feszültségfüggvény bevezetésével levezetett (2.107) jelű parciális differenciálegyenletet tárcsaegyenletnek is nevezik. Egy adott feladat megoldása tehát abból áll, hogy olyan F(x,y) függvényt kell előállítani, amely a lemez kerületén belül kielégíti a tárcsaegyenletet, a kerületen pedig a külső terhelés által előírt értéket veszi fel. A megoldás meghatározására sajnos nem lehet egységes módszert kifejleszteni. Sokszor próbálkozással keresünk olyan biharmonikus függvényeket - hatványsorok vagy Fourier-sorok formájában -, amelyek a tárcsaegyenletet és a kerületi feltételeket is kielégítik. 6.2. A külső erők hatásvonala merőleges a középfelület síkjára A középfelületükre merőlegesen terhelt lemezek mechanikai viselkedése egyrészt vastagságuk és a többi geometriai méret viszonyától, másrészt az alakváltozás mértékétől függ. Ennek alapján a lemezekkel kapcsolatos vizsgálatokat három csoportra oszthatjuk: - kis lehajlású vékony lemezek, - nagy lehajlású vékony lemezek - kis lehajlású vastag lemezek. Vastag lemezek esetén semmilyen megkötést nem kell tenni a vastagságra vagy az alakváltozás mértékére. Ezeket a lemezszerkezeteket csak a rugalmasságtan háromdimenziós alapegyenleteinek felhasználásával lehet vizsgálni. A feladat nehézségi fokának megfelelően zárt analítikus megoldást eddig csak nagyon kevés esetben sikerült találni. A másik két csoportba azok a lemezek tartoznak, melyekre fennáll, hogy

239

v ≤ 0,1 lmin, ahol v - a lemez vastagsága, lmin - a lemez síkjának legkisebb geometriai mérete. Ha uz,max-szal jelöljük a lemez maximális lehajlását, akkor uz,max > 0,2v esetén nagy lehajlású lemezről beszélünk. Kis lehajlású lemezeknél a középfelület alakváltozása elhanyagolható, feszültségi állapot szempontjából a középsík semleges marad, a számítások során a kis elmozdulások elmélete alkalmazható. Nagy lehajlás esetén azonban a középsík már olyan mértékben deformálódik, hogy a középfelület síkjával párhuzamos belső erőrendszer és az annak hatására fellépő feszültségátrendeződés nem hanyagolható el. Mechanikai tanulmányaink során csupán - faipari gyakorlatban leggyakrabban előforduló - kis lehajlású vékony lemezekkel foglalkozunk. A kis lehajlású vékony lemezek számítása során a korábban megfogalmazott feltételek mellett még az alábbiakat használjuk fel: - a lemez vastagsága állandó, - a lemez középsíkjára merőleges feszültségkomponensek elhanyagolhatóan kicsinyek, - a lemez középsíkjának pontjai csak a deformálatlan középsíkra merőleges irányú eltolódást szenvednek (a középsík olyan szerepet játszik, mint az egyenes tengelyű rúdnál a semleges szál), - a középsík normálisán lévő pontok a deformáció után is a normálison maradnak. Az utolsó feltétel analóg azzal a rudaknál alkalmazottéval, mi szerint a keresztmetszet síkja az alakváltozás után is sík marad. A nyíróigénybevétel származó deformációt tehát itt is elhanyagoljuk. A fenti feltételeknek megfelelő számítási módszert technikai lemezelméletnek, és az eredményként kapott végső parciális differenciálegyenletet - első levezetőikről - KirchhoffLove-féle lemezegyenletnek nevezzük. Foglalkozzunk először a feltételrendszerből következő alakváltozási jellemzőkkel. Vegyük fel a koordinátarendszer x,y tengelyét a lemez középsíkjában (6.3. ábra), és ábrázoljuk egy tetszőleges P pontjának környezetében az alakváltozás előtti és utáni középfelület koordinátasíkokkal párhuzamos metszeteit. A P pont eltolódását a feltételrendszernek megfelelően az uz=uz(x,y) függvénykapcsolat adja meg, amely egyben a deformálódott középfelület egyenlete. A metszetvonalak érintőinek az x és y irányokkal bezárt szögét a lehajlásfüggvény parciális differenciálhányadosaként kapjuk:

ϕx =

∂u z (x, y) ∂u (x, y) , ϕy = z . ∂y ∂x

Ugyanekkora szögekkel fordul el a P pont eredetileg z tengellyel párhuzamos normálisa is.

240

6.3. ábra

6.4. ábra

A középsíktól z távolságra lévő A pont (6.4. ábra) z irányú eltolódása megegyezik a P ponttéval, ugyanakkor - mivel az elfordult normálison kell maradnia - z és y irányú eltolódást is szenved. Ezek nagysága a 6.4. ábra alapján egyszerűen meghatározható:

∂u z ∂x ∂u u y (x, y, z) = -z z ∂y u x (x, y, z) = -z

6.3/a 6.3/b

Ezeknek az eltolódásoknak és a (2.38) geometriai egyenleteknek a felhasználásával már felírhatjuk az A pont alakváltozási állapotának a középsíkba eső komponenseit:

ε xx

∂u x ∂2u z = =-z ∂x ∂x 2

ε xy = ε yx

, ε yy

∂u y

∂2u z = =-z ∂y ∂y 2

∂u y  ∂2u z 1  ∂u =  x + •  = -z 2  ∂y ∂x  ∂x∂y

6.4/a

.

Az A pont feszültségi állapota a síkbeli feszültségi állapotnál levezetett (2.105/b) Hooketörvénynek megfelelően:

σ xx

E Ez  ∂ 2 u z ∂ 2 u z  = ( ε xx + νε yy ) = +   1 - ν2 1 - ν 2  ∂x 2 ∂y 2 

σ xx

E Ez  ∂ 2 u z ∂ 2 u z  = ( ε yy + νε xx ) = + ν  1 - ν2 1 - ν 2  ∂x 2 ∂y 2 

σ xy = σ yx = 2Gε xy =

Ez ∂ 2 u z 1 - ν ∂x∂y

6.5

241

(2.105/b) utolsó egyenletével pedig kifejezhetjük a lemez z irányú fajlagos hosszváltozását:

ε zz = -

ν (ε xx 1- ν

+

ε

yy ) =

νEz  ∂ 2 u z ∂ 2 u z  +   (1 - ν ) 2  ∂x 2 ∂y 2 

6.4/b

Megállapíthatjuk, hogy az alakváltozási és a feszültségi komponensek a z koordinátától lineárisan függenek. Ugyanakkor az is látszik, hogy a lehajlásfüggvény ismeretében a lemez tetszőleges pontjának alakváltozási és feszültségi állapota meghatározható.

6.5. ábra Ezek után fejezzük ki a feszültségekkel a lemez igénybevételeit. Lemez esetében nincs értelme keresztmetszetről beszélni, ezért az igénybevételeket a v vastagságú és egységnyi szélességű felületre vonatkoztatjuk. E fajlagos igénybevételeket kis betűvel jelöljük. Vágjunk ki a lemezből egy v vastagságú, ∆ x és ∆ y méretű elemi darabot és határozzuk meg az x és y normálisú éleken ható fajlagos igénybevételeket (6.5. ábra). Az x normálisú keresztmetszetben ható fajlagos belső erők (az első index a felülelem normálisára utal, a második pedig arra, hogy az erőnek milyen irányú komponenséről van szó, illetve a nyomaték milyen tengely körül forgat): a fajlagos normáligénybevétel: +v

n xx

2

E = ∫ σ xx dA = ∫ σ xx ldz = 1 - ν2 -v A 2

az y irányú fajlagos nyíróerő:

∂2u z ∂2u z +ν ∂x 2 ∂y 2

+v

2

∫ zdz = 0 -v

2

242

+v

t xy

+v

E ∂2u z 2 = ∫ σ xy dA = ∫ σ xy ldz = zdz = 0 , ∫ 1 + ν ∂ x ∂ y − v − v A 2

2

2

e két igénybevétel értéke azért nulla, mert az összefüggések integrálmennyisége nem más, mint a felület súlyponton átmenő, y tengellyel párhuzamos egyenesére vonatkozó sztatikai nyomatéka, a fajlagos hajlítónyomaték: +v

m xx

+v

E ∂2u z ∂2u z 2 2 = ∫ σ xx zdA = ∫ σ xx zldz = ( + ) z dz = 1 - ν 2 ∂x 2 ∂y 2 -v∫ -v A 2

2

= -D (

2

6.6/a

∂ uz ∂ uz + ), ∂x 2 ∂y 2 2

2

ahol +v

E D= 1 - ν2

2

2 ∫ z dz = -v

2

Ev 3 12(1 - ν 2 )

6.7

- a lemez hajlítómerevségi tényezője, értéke az E és rugalmas állandóktól és az egységnyi szélességű, v vastagságú felületelem súlyponti y tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatékától függ, mértékegysége Nm, a fajlagos csavarónyomaték: +v

c xx

∂2u z = -∫ σ xy zdA = - ∫ σ xy zldz = D(1 - ν ) ∂ x∂ y -v A 2

6.6/b

2

az igénybevételek közti kapcsolat vizsgálata során látni fogjuk, hogy z irányú fajlagos nyíróerőnek is ébrednie kell: +v

t xz = ∫ σ xz dA = A

2

∫σ -v

xz

ldz ,

6.6/c

2

itt még sem a nyíróerőt, sem a nyírófeszültséget nem ismerjük, de ez az a nyírófeszültség, melynek alakváltoztató hatását a kezdeti feltételek szerint elhanyagoltuk. Analóg módon kapjuk az y normálisú felületelemen ébredő fajlagos belső erőket. Most már csak a végeredményeket írjuk fel:

n yy = 0 , t xy = 0 , m yx = -D ( ν

∂2u z ∂2u z + ), ∂x 2 ∂y 2

6.6/d

243

c yy = -D(1 - ν )

∂2u z = c xx , x∂ y +v

t yz = ∫ σ yz dA =

2

∫σ -v

A

6.6/e

yz

ldz .

6.6/f

2

A fajlagos igénybevételek és a lemez külső terhelése közötti kapcsolatot a 6.5. ábrán látható elemi hasábra ható erők egyensúlyi feltételeinek megfogalmazásával határozhatjuk meg. Az elemen a középsíkra merőleges hatásvonalú q(x,y) ∆ x ∆ y külső erőt és a nem nulla belső erőket tüntettük fel. A z irányú vetületi egyenlet:

∑F

z

= 0 = q(x, y) ∆x∆y + t yz (x, y + ∆y)∆x - t yz (x, y)∆ x + t xz (x + x, y)∆y - t yz (x, y)∆y.

∆x, ∆y-nal való osztás és ∆ x → 0 , ∆ y → 0 határátmenet-képzés után:

q(x, y) +

∂t xz ∂t yz + = 0 . ∂x ∂y

6.8/a

Az x tengelyre vonatkozó nyomatéki egyensúlyi egyenlet:

∑M

= 0 = c xx (x + ∆x, y)∆y - c xx (x, y)∆y + m yx (x, y)∆x -

x

-m yx (x, y + ∆y)∆x + t yz ( x, y)∆x

∆y ∆y + t yz ( x, y + ∆y)∆x , 2 2

az előzővel megegyező műveletek után:

∂c xx ∂m yx + ∂x ∂y

t yz = -

.

6.8/b

Az y tengelyre vonatkozó nyomatéki egyensúlyi egyenlet:

∑M

= 0 = m xy (x + ∆x, y)∆y - m xy (x, y)∆y - c yy (x, y + ∆y)∆x +

y

+c yy ( x, y)∆x − t xz (x + ∆x, y)∆y ahonnan

t xz =

∂m xy ∂x

-

∆x ∆x − t xz (x, y)∆y , 2 2

∂c yy

6.8/c

∂y

A (6.8) jelű összefüggések felhasználásával megkapjuk a külső terhelés és a nyomatékok kapcsolatát:

q(x, y) = -

∂ 2 m xy ∂x 2

2 ∂ 2 c xx ∂ m yx +2 ∂ x∂ y ∂y 2

.

6.8/d

A (6.8/b,c) és a (6.6) összefüggésekkel kifejezhetjük a lehajlásfüggvénnyel az eddig teljesen ismeretlen z irányú fajlagos nyíróerőket:

t zx

∂ ∂2u z ∂2u z ∂ = -D ( 2 + ) = -D ∆u z 2 ∂x ∂x ∂x ∂y

6.9/a

244

t zx = -D

∂ ∂2u z ∂2u z ∂ ( 2 + ) = -D ∆u z 2 ∂y ∂x ∂y ∂y

6.9/b

Ezeket (6.8/a)-ba helyettesítve és felhasználva a (6.6) kifejezéseket:

∂4u z ∂4u z q(x, y) ∂ 4 u z = + 2 + D ∂x 4 ∂x 2 ∂y 2 ∂y 4

,

6.10/a

vagy a Laplace-féle differenciáloperátor alkalmazásával:

q(x, y) = ∆∆u z (x, y) . D

6.10/b

Ezzel megkaptuk a középsíkjára merőlegesen terhelt lemez egyenletét, amely egy inhomogén differenciálegyenlet. Jobb oldala formailag megegyezik a tárcsaegyenlettel, ebben azonban nem a feszültségfüggvény, hanem a lehajlásfüggvény az ismeretlen. A feladat megoldása abból áll, hogy megtaláljuk azt az uz(x,y) függvényt, amely a lemez kerületén belül kielégíti (6.10)-et, a kerületen pedig a lemez megtámasztási módjának megfelelően megfogalmazható kerületi feltételeket. Mereven befogott kerületen azt a feltételt kell megfogalmazni, hogy a perem lehajlása és keresztmetszetének elfordulása akadályozott. Csuklós megtámasztásnál a peremen a lehajlás nulla és a végkeresztmetszetben fajlagos hajlítónyomaték nem ébredhet, hiszen az elfordulás nem gátolt. Szabad peremen pedig az összes fajlagos igénybevétel-komponensnek kell egyenlőnek lennie. Az uz(x,y) lehajlásfüggvény ismeretében - korábbi megállapításainknak megfelelően - a lemez minden mechanikai jellemzője számítható. Az alakváltozás egyik fontos jellemzőjéről, a deformálódott lemez síkmetszeteinek görbületi sugaráról még nem esett szó. Ezeket a görbületi sugarakat - a kis lehajlás feltételezésének megfelelően - a lehajlásfüggvény x és y szerinti második parciális differenciálhányadosaként kapjuk:

1 ∂2u z = ρx ∂x 2

2 u 1 , = 2z ρ y ∂y

,

ha bevezetjük az

∂2u z 1 =ρ xy ∂x∂y mennyiséget, amely az elcsavarodással van kapcsolatban, akkor a fajlagos nyomatékok a (6.6) összefüggések alapján a görbületi sugarakkal is kifejezhetők:

245

 1 1 +  , m xy = -D  ρx ρy   1 1 +  , m yx = -D ν  ρx ρy  c xx = c yy = − D(1 − ν)

6.11

1 . ρ xy

A 6.6. ábrán vázoltuk a v vastagságú elemi hasábon a feszültségkomponensek vastagsága menti változását. A σxx , σ yy és σ xy= σ yx feszültségkomponensek eloszlásáról már kimutattuk, hogy lineárisan változnak. A txz és tyz nyíróerőknek megfelelő σ xz , σ yz nyírófeszültségek eloszlását hasonlóan lehet levezetni, mint az egyenes tengelyű rudak közönséges hajlításánál. A Zsuravszkij-képlethez hasonló összefüggést kapunk, benne azonban a fajlagos nyíróigénybevétel mellett a fajlagos csavarónyomatékok hely szerinti parciális deriváltjai is szerepelnek. A v vastagságú, egységnyi szélességű keresztmetszetet figyelembe véve az

6.6. ábra

 ∂c yy  6  v   2 σ xz =  t xz +  3   − z  ∂y  v  2    2  ∂c  6  v   σ xz =  t yz + xx  3   − z 2   ∂x  v  2   2

6.12/a

6.12/b

összefüggéseknek megfelelő, parabolikus feszültségeloszlást nyerünk. A deformáció során felhalmozott rugalmas energiát is kifejezhetjük a lehajlásfüggvény

246

segítségével. Határozzuk meg először a v∆x∆ y térfogatú elem rugalmas energiáját a (2.95) felhasználásával: +v

1 1 2 ~ dU b = dU b = ∑ σ ij ε ij dV = ∫ ∑ σ ij ε ij dxdydz = 2 i,j 2 − v i, j 2

+v

=

(

)

1 2 ∑ 2Gε ij + λD 1σ ij ε ij dxdydz = 2 −∫v i , j 2

+v

=G

∫ ∑ (σ -v

νD 1 ε ii )dxdydz = 1 - 2ν

∫

−v

+ε

+ε

2

(ε

2 xx

2 yy

2 zz

+ 2ε

2 xy

+ 2ε

2 yz

2 +v

G = 1- ν

ij

i, j

2

+v

=G

ε ij +

2

2

∫(ε -v

2 xx

+ 2ε

2 zx

νD 12 + )dxdydz = 1 - 2ν

+ ε 2yy + 2νε xx ε yy + 2(1 - ν)ε 2xy )dxdydz ,

2

ahol a (6.4/b) összefüggést is figyelembe vettük. Helyettesítsük be ebbe a (6.4) kifejezéseket és végezzük el a z szerinti integrálást: 2  ∂2u z   ∂2u z ∂2u z D  ∂ 2 u z   ∂ 2 u z  ~ dU b = dU b =  2  +  2  + 2ν 2 + 2(1 − ν)   dxdy 2  ∂x   ∂y  ∂x∂y   ∂x ∂y 2   

6.13

6.2.1. Hengerpalástfelületre deformált, sztatikailag határozott megtámasztású, téglalap alakú lemez A 6.7. ábrán látható megtámasztású (egyik éle mentén befogott vagy a két szemközti élén csuklósan alátámasztott) lemez deformált középsíkja akkor lesz hengerpalástfelület, azaz egyszer görbült, ha a megoszló teher csupán az x koordináta függvénye: q = q(x) . Mivel a lehajlásfüggvény is csak x függvénye, összes y szerinti differenciálhányadosa nullával egyenlő. A (6.6) összefüggések egyszerűsödnek:

m xy = -D

d 2 uz dx 2

, m yx = -D

d 2 uz dx 2

, c xx = c yy = 0.

A (6.8/a,b) összefüggések alapján:

t xz =

dm xy dx

,

t yz = 0 .

Ha a legelső összefüggést

d 2u z =D dx 2

m xy

6.14

247

alakra hozzuk, azonnal látjuk, hogy ez matematikailag analóg az egyenes tengelyű rúd rugalmas szálának differenciálegyenletével. A különbség fizikai szempontból csupán annyi, hogy a hajlítóigénybevétel helyett a fajlagos hajlítóigénybevétel és az EIxx hajlítómerevség helyett a D lemezmerevségi tényező szerepel. Sztatikailag határozott megtámasztású lemeznél az mxy fajlagos nyomaték függvénye egyszerűen meghatározható, a másodrendű differenciálegyenlet kétszeri integrálással megoldható. Az integrá6.7. ábra

lási állandókat a kerületi feltételek alapján kapjuk.

Ebben a viszonylag egyszerű esetben a lemez egy tetszőleges pontjának feszültségi állapotát a (6.5) összefüggések felhasználásával a fajlagos hajlítónyomaték függvényeként is kifejezhetjük:

σ xx = -

σ yy =

12m xy Ez  m xy  m xy E = z = z,   1 - ν2  D  1 - ν2 D v3

νm xy E z = νσ xx , 1 - ν2 D 6.15

σ xy = σ yx = 0 ,

σ yz = 0 ,

σ xz

6t = xz v3

 v  2  2   − z   2  

Az alakváltozási állapot komponenseit az általános Hooke-törvénnyel számíthatjuk. 6.3. Erőtani méretezés Mint láttuk, a lemez pontjai a legegyszerűbb terhelési és megtámasztási esetekben is összetett feszültségi állapotba kerülnek. Az erőtani méretezést ezért úgy végezzük, ahogyan azt az egyenes tengelyű rudak általános össztett igénybevételénél, az 5.8.1. fejezetben tárgyaltuk.

248

7. Stabilitási problémák Eddigi vizsgálatainkban a testek alakváltozási és feszültségi állapotmezejének meghatározásánál kivétel nélkül a megmerevítés elvét alkalmaztuk, azaz a külső erők egyensúlyi egyenleteinek felírásánál a szerkezet alakváltozását nem vettük figyelembe. Az egyensúlyi egyenletekben az elmozdulások nem szerepeltek. Ennek az ún. elsőrendű elméletnek az alkalmazása során a szerkezetet akkor tekintettük tönkrementnek, ha az szilárdsági vagy alakváltozási határállapotba került. A gyakorlati tapasztalat azonban azt mutatja, hogy a szerkezetek többsége a szilárdsági vagy alakváltozási határállapotnak megfelelő terhelésnél már lényegesen kisebb külső hatások esetén is elvesztheti használhatóságát, mert bizonyos körülmények között megszűnik egyensúlyának stabilitása. A stabilitás megszűnésének, a stabilitási határállapot vizsgálatának és meghatározásának a teherviselő szerkezetek és szerkezeti elemek tervezésénél és ellenőrzésénél igen nagy a jelentősége, mert ez az állapot rendszerint hirtelen, minden előjel (recsegés, nagyobb alakváltozás) nélkül következik be és ezért jelentős károkat okozhat. A stabilitási problémák vizsgálatakor az elsőrendű elmélet nem vezet eredményre, mert a szerkezet alakváltozásából származó következményeket is figyelembe kell venni. Az egyensúlyi egyenletekben az alakváltozási jellemzőknek (eltolódás, elfordulás) is szerepelniük kell. Az ún. másodrendű elmélet alkalmazásakor az alakváltozásokról feltesszük, hogy kicsinyek és lineáris összefüggésekkel kifejezhetők (a tényleges függvénykapcsolat jó közelítéssel linearizálható!). A harmadrendű elmélet használata során az alakváltozásokra semmilyen megkötést nem teszünk. A másod- és harmadrendű elmélet alkalmazása természetesen számtalan új problémát vet fel. A rugalmasságtani feladatok egyensúlyi feltételeit megfogalmazó differenciálegyenletek általában lényegesen bonyolultabbak lesznek az elsőrendű elméletben levezetetteknél. A megoldás során felmerülő matematikai nehézségeknél is nagyobb gondot okoz, hogy a differenciálegyenletek linearitásának megszűnése következtében az igen kényelmes és praktikus szuperpozíció elve nem alkalmazható. A stabilitási határállapot meghatározásához általában elegendő a másodrendű elmélet alkalmazása. A harmadrendű elméletre akkor van szükség, ha a szerkezetnek a stabilitás megszűnése utáni viselkedését vizsgáljuk, vagy ha eleve olyan jellegű szerkezetről van szó, amelynél már kis terheléshez is viszonylag nagy alakváltozás tartozik (gumiszerű anyagok, kötél, kötélháló, stb.). Az egyensúlyi helyezetek osztályozásánál megismert fogalmak felhasználásával a szerkezetek stabilitási kérdéseit a következőképpen szemléltethetjük. Míg a szerkezetre ható külső erőrendszer nem ér el egy bizonyos mértéket, addig a szerkezet egyensúlyi állapota biztos, azaz, ha egy kis zavaró hatás kimozdítja nyugalmi helyzetéből, az csak kis mértékű alakváltozást szenved és a zavaró hatás megszűnése után visszanyeri eredeti helyzetét.

249

A külső érték egy adott értékénél a szerkezet közömbös egyensúlyi állapotba kerül, kis zavaró hatás következtében új egyensúlyi alakot vesz fel, amely a zavaró körülmények megszűnése után is megmarad. E teherértéknél a szerkezet többféle olyan alakot is felvehet, amelynél a ráható erők még egyensúlyban vannak. Az előbbieknél is nagyobb külső terhek esetén a szerkezet egyensúlyi állapota bizonytalanná válik. Ilyenkor a legkisebb zavaró hatás következtében megváltoztatja alakját és az alakváltozás zavaró hatás megszűnése után is egyre növekszik, a szerkezet viszonylag gyorsan olyan jelentős deformációt szenved, hogy még törés nélkül is alkalmatlanná válik feladatának ellátására. A fenti terhelési folyamat alatti viselkedés azt mutatja, hogy a közömbös egyensúlyi helyzet kialakulását előidéző tehernek kell kitüntetett szerepet tulajdonítanunk. Ezt a terhet kritikus tehernek (erőnek, nyomatéknak), a hozzátartozó feszültséget pedig kritikus feszültségnek nevezzük. A stabilitási vizsgálatok folyamán ennek a kritikus (Fkrit-tel vagy Mkrit-tel jelölt) tehernek a meghatározása a fő feladat. Látni fogjuk, hogy a szerkezetek kritikus terhelése nem csupán anyagi minőségüktől, hanem szerkezeti alakjuktól, geometriai méretüktől és megtámasztási módjuktól is függ. A kritikus teher tehát mindig szerkezeti jellemző. A szerkezet jellegétől függően a stabilitásvesztést különböző szakszavakkal jelöljük. Nyomott és csavart rudak esetén kihajlásról; síkjukban (esetleg síkjukra merőlegesen is) terhelt lemezeknél, csavart, hajlított és nyomott csöveknél, hajlított gerendák gerinclemeznél horpadásról; hajlított (elnyújtott keresztmetszet-alakú) rudak nyomott övének stabilitásvesztésénél kifordulásról vagy kibicsaklásról beszélünk. A következőkben a nyomott rudak kihajlásával és az elnyújtott keresztmetszet-alakú, hajlított rudak kibicsaklásával foglalkozunk. A faipari műszaki gyakorlatban ezek a feladatok fordulnak elő leggyakrabban. A lemezek horpadásának tárgyalása - jólehet faipari szempontból ez is fontos probléma - mechanikai tanulmányaink kereteit túlhaladják. Ezekkel kapcsolatban a szakirodalomra utalunk. 7.1. Hosszú, nyomott rudak kihajlása Az egyenes tengelyű, prizmatikus rudakat karcsúnak nevezzük, lényegesen nagyobb legkisebb keresztmetszeti méretüknél (L >> vmin). A karcsúság mértékét a karcsúsági tényező fogalmának bevezetésével jellemezhetjük:

λ=

L red L L = red = red i min i2 I2 A

7.1

ahol Lred - a rúd ún. redukált hossza, amely a tényleges geometriai hosszúságnak és a rúd megfogási módjainak függvénye (lásd a 7.2. ábrát és a (7.8) összefüggéseket),

250

imin = i2 - a keresztmetszet legkisebb, azaz a 2-es főtengelyre vonatkozó másodrendű (inercia-) sugara, az (5.13) definíciónak megfelelően I2 - a 2-es tengelyre vonatkozó, fő másodrendű nyomaték, A - pedig a keresztmetszet területe. A (7.1) összefüggés alapján egyszerűen beláthatjuk, hogy a dimenzió nélküli számmal jellemzett karcsúsági tényező annál nagyobb, minél nagyobb a rúd hosszírányú mérete a keresztmetszeti méreteihez képest. Ha λ egy bizonyos értéknél kisebb, akkor központos nyomóerő hatására zömök rúdként viselkedik és a tiszta nyomásnál megismert tulajdonságokkal jellemezhető. Zömök rudak stabilitásvesztésével így nem kell számolni. A kritikus nyomóerő meghatározásának módja karcsú rudaknál függ a kritikus feszültségnek és a rúd anyagának jellemző arányossági határának viszonyától. σ krit ≤ σ A esetén rugalmas, σ krit > σ A esetén képlékeny kihajlásról beszélünk. 7.1.1. Karcsú, nyomott rudak rugalmas kihajlása Vizsgáljunk egy L hosszúságú, A keresztmetszet-területű prizmatikus rudat, melynek mindkét vége gömbcsuklón keresztül kapcsolódik a környezethez, sőt, az egyik csukló a rúdtengely irányában el is mozdulhat (7.1. ábra). A rúd külső terhelése olyan, hogy minden keresztmetszete központos nyomásnak van kitéve. Ha a rúdra ható külső erő éppen eléri a kritikus értéket, akkor a rúd közömbös egyensúlyi helyzetbe kerül s ennek megfelelően nemcsak egyenes, hanem - a gyakorlati tapasztalat szerint - síkgörbe egyensúlyi alakot is felvehet. A kritikusnál nagyobb erő esetén a rúd görbülete tovább nő és igen rövid idő alatt elveszti használhatósá7.1. ábra gát. Ezt a jelenséget nevezzük a karcsú rudak kihajlásának. Jelöljük a rugalmas vonal egyelőre ismeretlen, görbült alakját az uy = uy(z) függvénnyel (az y tengelyt úgy vettük fel, hogy az a kihajlás síkjába essen). Annak ellenére, hogy a kihajlott rúd keresztmetszeteiben a hajlítónyomaték mellett normál- és nyíróigénybevétel is ébred, a rugalmas vonal differenciálegyenletét - a kis alakváltozások feltételével élve - a közönséges hajlításnál levezetett (5.111) jelű összefüggéssel adhatjuk meg. Ebben a hajlítónyomaték függvénye a 7.1. ábrának megfelelően: Mx(z) = Fuy(z) .

251

A rugalmas szál differenciálegyenlete a

k2 =

F EI xx

7.2

jelölés bevezetésével a

d 2 u y (z) dz 2

+ k 2 u y (z) = 0

7.3

alakra hozható. E homogén másodrendű differenciálegyenlet általános megoldása: uy(z) = Asin(kz) + Bcos(kz) ,

7.4

ahol A és B a kerületi feltételekből meghatározható integrálási állandók. Esetünkben a z = 0-nál uy = 0 feltételből B = 0 adódik, a z = L-nél uy = 0 feltételből pedig: Asin(kL) = 0 . E szorzat akkor lehet nulla, ha tényezői valamelyike nulla. Az A = 0 megoldás azt jelenti, hogy a rúd egyenes marad, ami most számunkra érdektelen. A sin(kL) = 0 akkor állhat fenn, ha kL = m π

,

m = 0,1,2, ...

Ezzel (7.2) felhasználásával a következő kritikus erőt kapjuk: ami m és Ixx értékétől függően végtelen sok megoldást ad. A gyakorlat szempontjából a legkisebb értéknek van jelentősége. A nullától különböző legkisebb értéket m = 1 és Ixx = Imin = I2 helyettesítéssel nyerjük:

Fkrit

π 2 EI 2 = L2

,

7.5

A kihajlás tehát a rúd hossztengelye és keresztmetszetének 1-es főtengelye által alkotott síkban következik be (az y tengelyt úgy kell felvenni, hogy az a keresztmetszet 1-es főtengelyével essen egybe). A hajlítás tengelye pedig az x ≡ 2 tengely. A kihajlott rugalmas vonal alakja (7.4) alapján:

 mπ  z  L 

uy(z) = Asin(kz) = Asin 

,

7.6

m = 1 esetén a kihajlott egyensúlyi alak fél szinuszhullám. A nagyobb m-ekhez tartozó nagyobb kritikus erőkhöz m darab fél szinuszhullám tartozik. Ilyen alak azonban csak akkor alakulhat ki, ha valamilyen módon megakadályozzuk, hogy már a legkisebb kritikus erőnél valamivel nagyobb erő esetén labilissé váljék a rúd. A rúd maximális y irányú eltolódása a határozatlan A integrálási állandó miatt ismeretlen. uy,max-ot a felső rúdvég rúdirányú elmozdulásának figyelembevételével lehetne meghatározni. A kritikus nyomóerő ismeretében a kritikus feszültséget a tiszta nyomás feltételezésével számítjuk:

σ krit =

Fkrit π 2 EI 2 = A AL2

,

7.7

252

A (7.5) és (7.7) kifejezésekkel számítható mennyiségeket Euler-féle kritikus erőnek, illetve feszültségnek nevezzük, mert először - 1774-ben - L. Euler vezette le őket. módjának a függvénye: a. eset: mindkét végén csukló: Lred = L

,

b. eset: az egyik vég mereven befogott, a másik vég szabad: Lred = 2L , c. eset: az egyik vég merev megfogású, Lred =

2 L = 0,71L , 2

7.8/c

d. eset: mindkét vég merev befogású Lred =

1 L . 2

7.8/d

Megkönnyíti a fenti összefüggések megjegyzését, ha a 7.2. ábra alapján 7.2. ábra

megfigyeljük, hogy a redukált hossz az

a távolság, amely a fél szinuszhullám kialakulásához szükséges. Az Euler-féle kritikus erő a négy esetben:

Fkrit =

π 2 EI 2 L2red

,

7.9

a kritikus feszültséget (7.1) és az I2 = i22 A összefüggés felhasználásával a következő formára szokták hozni:

253

σ krit =

π 2 EI 2 π 2 EAi 22 π2E π2E = = = 2 AL2red AL2red λ2  L red     i2 

,

7.10

Ezen összefüggés azt mutatja, hogy a kritikus feszültég - rugalmas kihajlást feltételezve - a karcsúsági tényező függvényében hiperbolikusan változik (7.3. ábra).

7.3. ábra

7.1.2. Szerelési és gyártási pontatlanságok következtében fellépő rugalmas kihajlás Tökéletesen egyenes rúd gyártása és olyan tökéletes szerelés, hogy a nyomóerő hatásvonala pontosan egybeessen a rúd geometriai tengelyével, gyakorlatilag lehetetlen. A kihajlás műszaki pontatlanságok következtében megnövekedett veszélyének vizsgálatára és érzékeltetésére két egyszerű esettel foglalkozunk.

254

Vizsgáljunk először egy, mindkét végén csuklós megfogású egyenes rudat, melyen a külső erő hatásvonala - véletlenül vagy szándékosan - a rúdtengelytől e távolságban helyezkedik el (7.4/a. ábra). Az Fe nagyságú hajlítónyomaték hatására a rúd meggörbül. Ezt az alakváltozást is figyelembe véve tetszőleges z koordinátájú keresztmetszet hajlítóigénybevétele: Mx = F(uy(z) + e). (5.111) és (7.2) felhasználásával most a

d 2 u y (z) dz

2

+ k 2 (u y (z) + e) = 0

differenciálegyenletet kapjuk a rugalmas szál uy(z) függvényére. Általános megoldása: uy(z) + e = Asin(kz) + Bcos(kz) . A mindkét végén csuklós megfogásnak megfelelő kerületi feltétel felhasználásával:

 kL  A = etg  é s B= e.  2 A feladat partikuláris megoldása:

 kL  u y (z) + e = e(cos(kz) + tg  sin(kz)).  2 A legnagyobb kitérést a rúd közepén kapjuk:

7.4. ábra

e   kL   kL   kL   u y,max + e =  e(cos  + tg  sin    =  2  2   2   kL  cos   2

.

Ha az utolsó egyenlőség nevezője a nulla felé tart, a rúd maximális kitérése elvileg végtelen nagy lesz. A kritikus erőt a

255

 kL  = 0 összefüggésből határozhatjuk meg.  2

cos 

Ez akkor teljesül, ha

π  kL ,  =m  2 2

m = 1,2,...

A legkisebb kritikus erőt most is m = 1 esetén kapjuk (7.2)-ből:

Fkrit =

π 2 EI 2 L2

,

7.12

Érdekes módon ugyanazt az összefüggést kaptuk, mint a centrikusan nyomott rúd stabilitásvesztésénél. Helyettesítsük be (7.2)-be a (7.12)-ből kifejezett EIxx = EI2 értéket és alakítsuk át (7.11)et:

u y,max + e e

=

1 1 1 = =  kL     cos  cos L F  cos π F   2  2 Fkrit   2 EI 2 

a kifejezésnek megfelelő függvénykapcsolatot a 7.4/b. ábrán szemléltettük. Ezután tegyük fel, hogy a rúd tengelye gyártási hiba következtében nem egyenes, s a terheletlen súlyvonal alakját közelítsük az

π  z függvénnyel (7.5/a. ábra). L 

uo(z) = uo,maxsin 

Ha csak kis alakváltozásokat engedünk meg, akkor a rúd görbületének megváltozása arányos a hajlítónyomatékkal (a görbület pedig (5.111) alapján a lehajlásfüggvény hely szerinti második deriváltja): 2 Mx d 2 u o (z) d u y (z) 1 1 = - =+ EI xx ρ 0 ρ dz 2 dz 2

amelyben uy(z) jelenti a rugalmas vonal teljes (az F erő hatásvonalához viszonyított) behajlását, a hajlítónyomaték pedig: Mx = Mx(z) = - Fuy(z) . Behelyettesítés, rendezés után (7.2) felhasználásával:

d 2 u y (z) dz 2

+ k 2 u y (z) = -u 0,max

π2 π  sin  z 2 L  L

Ennek az inhomogén differenciálegyenletnek egy partikuláris megoldását keressük

π  u py (z) = - rsin  z alakban. L 

256

7.5. ábra Az ismeretlen r tényezőt úgy határozhatjuk meg, hogy a megoldást behelyettesítjük a differenciálegyenletbe, s onnan r kifejezhető:

r=

u o,m ax π 2 k 2 L2 - π 2

.

A differenciálegyenlet általános megoldását a homogén egyenlet általános megoldásának és az inhomogén egyenlet partikuláris megoldásának összegeként kapjuk:

u y (z) = Asin(kz) + Bcos(kz) -

u o,max π 2

π  sin  z . L  k L -π 2

2

2

A mindkét végén csuklós megfogásnak megfelelő kerületi feltételek felhasználásával B = 0 és Asin(kL) = 0 adódik. Az A = 0 megoldás azt jelenti, hogy a görbén gyártott rúd a külső terhelés hatására sem változtatja meg alakját, ami fizikailag lehetetlen. A sin(kL) = 0 akkor teljesül, ha kL = m π , m = 0,1,2, ... A legkisebb kritikus erőnek most is m = 1 felel meg, így

k=

π . L

B = 0 felhasználásával a rúd rugalmas tengelyének egyenlete:

u y (z) = Asin(kz) +

u o,max π  sin  z ,  kL   L  1-   π

az eredetileg görbe rúd tehát a külső terhelés hatására fél szinuszhullám alakot vesz fel, melynek amplitúdója A értékig határozatlan. (7.14) alapján a maximális behajlás akkor lesz végtelen, ha

257

jobb oldalán a második tag együtthatójának nevezője nulla. E feltételből, valamint (7.2) felhasználásával meghatározhatjuk a rúd kritikus erejét:

Fkrit =

π 2 EI 2 L2

,

7.15

ami ismét egyezik az egyenes rúd stabilitási feltételével. Határozzuk meg az uy,max /uo,max hányadost úgy, hogy (7.14)-et helyettesítsük be a kiinduló differenciálegyenletbe, végezzük el az előző feladatban is alkalmazott átalakítást:

u y,max u o,max

=

1  kL  1-   π

2

=

1 F 1Fkrit

,

7.16

melyet a 7.5/b. ábrán ábrázoltunk. A (7.13) és (7.16) függvények, illetve a nekik megfelelő függvénygörbék jól szemléltetik, hogy ha a külső terhelés eléri az Euler-féle kritikus erőt, a rudak végtelen nagy alakváltozást szenvednek. Sőt, a nagyobb alakváltozások elkerülése érdekében a külső teher csak töredéke lehet a kritikus erőnek. Megjegyezzük még, hogy e két utolsó feladat szoros értelemben véve nem stabilitási probléma. A centrikusan nyomott egyenes rúdnál a kritikus erő hatására a szerkezet, ha megváltozott alakban is, de egyensúlyban marad, s csak valamivel nagyobb erő hatására következik be a rohamos alakváltozás-növekedés. Az e fejezetben tárgyalt esetekben a kritikus erő már tönkremenetelt okoz, hiszen - elvileg - végtelen nagy alakváltozással jár. 7.1.3. Hajlítónyomatékkal is terhelt, karcsú nyomott rudak rugalmas kihajlása Teherviselő szerkezetekben sokszor előfordul, hogy a karcsú rúdra már a nyomóerő működése előtt, vagy azzal egyidőben hajlítónyomaték is hat. E nyomatékokat zavaró nyomatékoknak is nevezik, mert működésük következtében a centrikusan nyomott karcsú rudak kihajlásának jellege megváltozik és nem csupán stabilitási problémával állunk szemben. A zavaró nyomatékok hatására a rúd már kezdetben is meghajlik, a végkeresztmetszetek szempontjából centrikus nyomóerő is okoz hajlítást. A rúd görbülete, kihajlása fokozatosan - de a nyomóerővel nem lineárisan - nő, míg a nagy alakváltozás miatt használhatatlanná válik. Az előző fejezetben tárgyalt két példa is a zavarónyomatékokkal kapcsolatos jelenségek körébe tartozik. A zavarónyomaték hatására, függetlenül azok jellegétől, a rúdra ható nyomóerő egy bizonyos értéknél nem lehet nagyobb. Ez a felső határ - érdekes módon független a zavarónyomaték fajtájától és nagyságától - minden esetben a centrikusan nyomott rúd Euler-féle kritikus ereje. A tényleges nyomóerő ezt a kritikus értéket azonban sohasem érheti el, mert - mint az előző fejezetben is láttuk - ahhoz végtelen nagy alakváltozás tartozik, ami műszaki szerkezetek esetén a használhatatlansággal egyenértékű.

258

Annak ellenére, hogy a zavarónyomatékkal is terhelt rudak nyomóereje a kritikus erőnek csak törtrésze lehet, a nagy alakváltozás miatt fellépő feszültségek hatására a rúd szilárdsági határállapotba kerülhet. Az ilyen rudakat tulajdonképpen szilárdsági és alakváltozási állapotokra kell méretezni. A különböző jellegű zavarónyomatékkal terhelt, karcsú nyomott rudak viselkedésének

Mo = Fuo,max

α = 1,0

Mo = Fe

α = 1,234

Mo = Q

L 4

α = 0,822

Mo = q

L2 4

α = 1,028

Mo = q

L2 9 3

α = 1,208

Mo = Q

L 8

α = 0,822

Mo = q

L2 24

α = 1,20

7.6. ábra megoldását általában végtelen sorok formájában lehet megadni. E megoldásokat jelenlegi mechanikai tanulmányaink keretein belül nem tudjuk bemutatni. Néhány kutató különböző terhelésű és megtámasztású rúd esetén azonos alakú, közelítő képletet adott meg, amelyek a végtelen sorok elhagyott tagjait módosító tényezővel pótolják. Így pl. a 7.6. ábrán látható esetekben a rudak kritikus ereje az

259

Fkrit =

N 2 EI 2 L2red

,

7.17

Euler-féle erő. A zavarónyomaték maximuma:

M z,max

   α   , = M o,max  1 + Fkrit  − 1   F

7.18

ahol Mo,max - a kezdeti (kihajlás előtti) zavarónyomaték maximuma, α - módosító tényező, különböző terhelési eseteknek megfelelő értékeiket a 7.6. ábra tartalmazza. Ha a rúdra többféle zavarónyomaték is hat, de az F erő mindig ugyanaz, akkor a zavarónyomatékok maximumának számításához alkalmazhatjuk a szuperpozíció elvét. A fenti közelítő képletek hibája kisebb 1 %-nál, ha Fkrit /F > 1,7. A gyakorlatban 1,7-nél mindig nagyobb biztonsági tényezőt alkalmaznak a nyomóerőre, ezért az összefüggések az arányossági határon belül kielégítő pontosságúak. A szilárdságú méretezéshez szükséges, a rúdtengellyel párhuzamos normálfeszültség maximumát a külpontos nyomás mintájára számítjuk:

σ z,max = -

F M z,max ± A Kx

.

7.19

7.1.4. Parabolaív alakú tartók rugalmas kihajlása Teherviselő faszerkezeti elemként gyakran találkozhatunk rétegelt ragasztott íves tartókkal. Ezek esetében is beszélhetünk kihajlási problémáról. Az ívben centrikusnak nevezzük a nyomóerőt, ha tetszőleges keresztmetszetében csak normálerő ébred, azaz az íves tartó súlyvonala egybeesik a külső terhelésnek megfelelő támaszvonallal. Íves alakú tartók kihajlásának vizsgálatánál általában közelítő megoldásokkal kell megelégedni. Tanulmányainkban csak azzal a viszonylag egyszerű esettel foglalkozunk, mikor a görbe tengelyű tartóra függőleges hatásvonalú, egyenletes megoszló terhelés hat. Ilyenkor a támaszvonal másodfokú parabola. A centrikus nyomás feltétele tehát az, hogy a súlyvonal egyenlete

y=

4h(L - z)z L2

7.20

legyen (7.7. ábra), ahol H - a parabolaív magassága, L - a támaszköz. A stabilitási vizsgálat során feltételezzük, hogy az ív lapos, tehát a h/L viszony kicsi, ennek következtében a kihajlott ív pontjainak vízszintes irányú eltolódását elhanyagolhatjuk. Azt is feltesszük, hogy a kihajlott rúd hossza jó közelítéssel megegyezik az eredeti ívhosszal.

260

A csuklóban ébredő reakcióerők vízszintes komponensét - annak ellenére, hogy a tartó megtámasztása sztatikailag határozatlan - egyszerűen meghatározhatjuk, ha figyelembe vesszük, hogy a függőleges reakciókomponens qL/2, ugyanakkor a reakcióerő eredőjének is a rúd támasztócsuklóbeli érintőjének irányába kell esnie:

H=

qL qL2 = 2tgϕ A 8h

,

7.21

mert (7.21) differenciálásával

y' = tgϕ =

4h h (L - 2z) é s tgϕ A = 4 2 L L

A terheletlen és a kihajlott tartóvonal görbületének különbségére a következő összefüggést vezethetjük le:

7.7. ábra

-(y' ' + u' ' y ) 1 1 -y' ' - = 2 1,5 ρ 0 ρ (1 + y' ) (1 + (y' +u'y ) 2 )1,5

,

ahol uy = uy(z) - a súlyvonal elmozdulásának y irányú komponense. Mivel u'y << y' , közelítőleg igaz, hogy

u' ' y d 2 u y (z) 1 1 3 - = = u' ' y cos ϕ = cos 3 ϕ ρ 0 ρ (1 + y' 2 )1,5 dz 2

.

A görbületek különbsége arányos a hajlítónyomatékkal, ami esetünkben: Mx = Mx(z) = - H(z)uy(z) = - Huy(z)

,

ahol H(z) - a rúd z koordinátájú keresztmetszetében ható normálerőnek a vízszintes komponense, melynek nagysága z-től függetlenül a támaszreakció vízszintes komponensével egyenlő. A két utolsó egyenletből az alábbi összefüggést kapjuk:

261

d 2 u y (z) dz

2

+

H u y (z) = 0 , EI xx cos 3 ϕ

amely, a ϕ = ϕ (z) miatt egy nem állandó együtthatójú differenciálegyenlet. A biztonság javára követünk el hibát, ha a lehetséges ϕ (z)-k helyett a legnagyobbat, azaz ϕ A-t helyettesítjük be:

cos 3 ϕ A =

1

(

1 + tg 2 ϕ A

)

3

=

1 2   h  1 + 16    L  

1, 5

.

A

H k = EI xx 2

2   h  1 + 16      L   

1,5

7.22

mennyiség bevezetésével a stabilitásai probléma differenciálegyenlete:

d 2 u y (z) dz

2

+ k 2 u y (z)

,

ami a már jól ismert állandó együtthatójú, másodrendű homogén differenciálegyenlet. Általános megoldása: uy(z) = Asin(kz) + Bcos(kz) . A z = 0-nál uy = 0 kerületi feltételből B = 0 adódik, a z = L-nél uy = 0 kerületi feltételből pedig Asin(kL) = 0 . Műszaki szempontból most is csak a sin(kL) = 0 megoldásnak van jelentősége:

k=

mπ L

,

m = 0,1,2,...

A kihajlott súlyvonal egyenlete így

 mπ  u y (z) = Asin  z .  L  Ha m = 0, nincs kihajlás, m = 1-nél viszont - 0 ≤ sin

π z ≤ 1 miatt - uy(z) előjele nem váltoL

zik, ami azt jelenti, hogy egyhullámú, szimmetrikus kihajlás keletkezik. Ilyen hullám csak úgy keletkezhet, ha a rúd tengelyhossza megrövidül. Mivel ezt a lehetőséget kezdeti feltételrendszerünkben kizártuk, az m=2 választás az első lehetséges érték. (7.22) felhasználásánál a legkisebb, azaz a kritikus H érték:

H krit =

4π 2 2   h  1 + 16    L   

1, 5

EI xx EI xx = , α L2 L2

vagy az egyenletesen megoszló terhelés intenzitására átszámítva:

7.23

262

q krit =

8H krit h 8h = α 4 EI xx , 2 L L

7.24

e két képletben a keresztmetszet másodrendű nyomatékánál nem a minimálisat vesszük figyelembe, mert a szerkezeti kialakítás az x tengely körüli kihajlást teszi csak lehetővé. Pontosabb számítások azt mutatják, hogy a fenti összefüggések csak h/L ≤ 0,2 geometriai viszonyok esetén adnak elfogadható eredményt. A gyakorlat számára olyan táblázatokat állítottak össze, amelyek a (7.23) és (7.24) képletek α értékeit tartalmazzák a mindkét végén csuklós, illetve mindkét végén befogott parabolaívek kritikus terhelésének számítására. h/L

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

csuklós

4 π2

36,304

28,716

19,190

12,448

9,60

α

befogott

80,0

75,8

63,1

47,9

34,8

-

α

7.1.5. Hosszú, nyomott rudak kihajlása az arányossági határt meghaladó feszültségek esetén Az egyenes rúd stabilitásával kapcsolatos vizsgálatok azt mutatták, hogy az Euler-féle erő bizonyos értéknél nagyobb karcsúsági tényező felett igen jó egyezést mutat a mérési eredményekkel. Kevésbé karcsú rudaknál azonban a kísérlettel meghatározott kritikus erő kisebb az Euler-képlettel számítotténál. Az eltérést egyszerűen megmagyarázhatjuk, ha figyelembe veszszük, hogy az Euler-elmélet a rugalmassági moduluszt állandónak tekinti. A valóságos anyagokra vonatkoztatva tehát csak addig tekinthető érvényesnek, míg a rúdban ébredő normálfeszültség nem haladja meg az arányossági határt (7.8. ábra). Ha (7.10)-ben a σ krit helyébe σ A-t helyettesítünk, kifejezhetjük az egyenes-arányossági határhoz tartozó karcsúsági tényezőt:

λA = π

E σA

.

7.25

Az Euler-formula alkalmazhatóságának feltétele tehát a

λ ≥ λA

7.26

reláció teljesülése. Elvileg Euler gondolatmenete az arányossági határon túl is alkalmazható lenne, ha E helyébe az alakváltozási diagram alapján meghatározható, ún. tangens (érintő) moduluszt he-

263

7.8. ábra lyettesítenénk. A tangensmodulusz azonban végső soron az y irányú elmozdulásnak a függvénye, E = E( σ ) = E( σ (uy)), ezért a (7.3) differenciálegyenlet már nem marad állandó együtthatójú, sőt, linearitása is megszűnhet. Ez igen megnehezíti, esetleg lehetetlenné teszi a megoldás megtalálását. A kritikus erő számítására ezért az egyenes-arányossági határ felett általában tapasztalati képleteket alkalmaznak. A karcsú rudak stabilitásának kísérleti kutatásával elsőként Tetmajer Lajos és Kármán Tódor foglalkozott és ért el jelentős eredményeket. E kísérletek szerint, amennyiben a tényleges feszültség az arányossági határ és a szívós anyagoknál σF, rideg anyagoknál σB között van, a rúd kritikus ereje, illetve kritikus feszültsége a karcsúsági tényező lineáris függvénye (7.8/a. ábra): Fkrit = A(a-b λ ) ,

σ krit = a-b λ ,

7.27/a 7.27/b

ahol a és b feszültségdimenziójú anyagállandók. Rideg anyagoknál a (7.27) kifejezések érvényességi tartománya

0 ≤ λ < λA

7.28

Szívós anyagoknál a feszültség nem lehet nagyobb a folyási határnál. (7.27/b)-ből kifejezhetjük a folyási határnak megfelelő karcsúsági tényezőt:

λF =

1 (a - σ F ) . b

Szívós anyagok esetén a (7.27) kifejezések érvényességi tartománya: λF ≤ λ ≤ λA .

7.29

7.30

Ha a rúd karcsúsági tényezője λ F-nél kisebb, a rúd tönkremenetele nem stabilitásvesz-

264

tés következtében megy végbe. Ezeket a már zömöknek tekinthető rudakat tiszta nyomásra méretezzük. A műszaki gyakorlatban a λ F-nél kisebb karcsúságú, rideg anyagból készült rudakat is tiszta nyomásra méretezik. A következő táblázatban összefoglaltuk néhány anyag kísérlettel meghatározott a és b állandóit, illetve az ún. Tetmajer-egyenes egyenleteit. E

σF

λF

λA

σkrit

Folytacél

215

200

60

115

310 - 1,14λ

Szénacél

210

240

60

100

289,1 - 0,8175λ

Szénacél

210

312

60

100

469,1 - 2,6175λ

Szénacél

210

60

100

589,1 - 3,8175λ

Ni-acél

210

360` 420*

0

86

470 - 2,305λ

Öntöttvas

100

0

80

776 - 12λ + 0,053λ2

Erdei f.

10

200* 15*

0

100

30 - 0,2λ

Tölgy

13

20*

0

100

37,5 - 0,25λ

GPa

MPa

-

-

MPa

*σ

B

Ha ismerjük az anyag arányossági határát, folyáshatárát, illetve szilárdságát, valamint az arányossági határhoz és a folyáshatárhoz tartozó karcsúsági tényezőket, akkor a Tetmayeregyenes állandóit elméletileg is meghatározhatjuk. A 7.8. ábra alapján felírhatjuk a következő arányosságot:

λ − λF σ − σ krit = F λA − λF σF − σA

.

Rendezés után:

σ krit =

λ A σ F − λ Fσ A σ F − σ A λ = a − bλ . λA − λF λA − λF

Rideg anyagnál λ F = 0 és σ F → σ B :

σ krit = σ B -

σB − σA λ = a − bλ . λA

Megjegyezzük még, hogy a szakirodalomban az arányossági határnál nagyobb feszültséghez tartozó stabilitásvesztést - nem túl szerencsés módon - képlékeny (plasztikus) kihajlásnak is nevezik. 7.1.6. Erőtani méretezés 7.1.6.1. Megengedett feszültségen alapuló méretezési módszer Centrikusan nyomott rudak esetében a stabilitás fennállását kell igazolni. Stabilitásvesz-

265

tés akkor nem következik be, ha a tiszta nyomás feltételezésével számított maximális normálfeszültség nem nagyobb a kritikus feszültség n biztonsági tényezővel osztott értékénél, azaz a megengedett feszültségnél:

σ max =

N max σ ≤ σ m = krit A n

.

Lényeges különbség az eddig alkalmazott méretezési eljárásokkal szemben, hogy a megengedett feszültség értékét nem egyszerűen az anyagminőség függvényében számítjuk vagy választjuk, hanem a rúd geometriai méreteit mint szerkezetjellemzőt is figyelembe kell venni. A kritikus feszültséget az alábbi séma szerint célszerű meghatározni:

L red i 64444444444 47min 44444444444 8

λ=

0 ≤ λ ≤ λF

λF ≤ λ < λA

λA ≤ λ

π 2E 2 14444444444 424444444444λ4 3

σ krit = σ F vagy σ B

σ krit = a - bλ σm =

σ krit =

σ krit n

Excentrikusan nyomott vagy hajlítónyomatékkal is terhelt karcsú rudak esetén először stabilitásvizsgálatot, majd szilárdsági és alakváltozási vizsgálatot végzünk. A stabilitás ellenőrzése ugyanúgy történik, mint a centrikusan nyomott rúdnál. A szilárdsági vizsgálatot a külpontos nyomásnak megfelelően végezzük. A rúd maximális normálfeszültségét (7.19)-cel határozzuk meg. Ha szükség van az alakváltozás ellenőrzésére is, a zavarónyomatékok és a centrikus nyomóerő által létrehozott maximális lehajlást hasonlítjuk össze a megengedett lehajlással. A számítás jellegéből következik, hogy tervezni csak közvetve, a "találomra" felvett geometriai méretek ellenőrzésével lehet. 7.1.6.2. "Fél" valószínűséggel kiegészített határállapot módszer A teherviselő szerkezetek méretezésével foglalkozó előírások a centrikusan nyomott rúd stabilitásvizsgálata során a

N M ≤ N kH ,

7.33

reláció teljesülését kell igazolni, ahol NkH - a rúd kihajlási határereje, amit az

N kH = ϕ Aσ H- , összefüggéssel számítunk. Ebben

7.34/a − H

σ - a rúd anyagának nyomó határfeszültsége, A - a rúd

keresztmetszetterülete. A ϕ = ϕ(λ ) csökkentő tényező értékét a rúd anyagától függően, kü-

266

lönböző összefüggésekkel kell számítani. Acéloszlopok esetén

ϕ = β - β2 -

1 λ

,

2

7.34/b

ahol

β=

λ=

1 + α (λ - 0,2) + λ 2λ λF σF , π E

2

,

2

λ=

7.34/c

L red i min

,

7.34/d

és

α

a

b

c

d

0,21

0,34

0,49

0,76

α -t a keresztmetszet jellegétől függően választjuk. a oszlop: gyárilag készült csőszerelvények, b oszlop: hegesztett zárt szerelvények, melegen hengerelt idomacélok , c oszlop: minden egyéb szerelvény, d oszlop: ha a szelvényben 40 mm-nél vastagabb övlemez található. Az előírás szerint λ ≤ 0,2 esetén ϕ értékét 1-nek kell venni, azaz a zömök rudak tiszta nyomásának megfelelően kell méretezni.

7.35 ábra

267

Fából készült oszlopok esetén ϕ értékét a következő összefüggéssel számítjuk:

ϕ=

1 2

1 1 λ λ2 λ λ2  λ2 + + +  + + −  2 400 8000 4000  2 400 8000  A 7.9. ábrán bemutatjuk a különböző keresztmetszetnek megfelelő ϕ = ϕ ( λ ) függ-

vényeket. Mivel ( λ ) a kihajlási határerővel, azaz tulajdonképpen a kritikus erővel arányos, megállapíthatjuk, hogy míg a megengedett feszültségen alapuló eljárás a karcsú rudak tartományát két részre (Euler- és Tetmayer-tartomány) osztja és ezeknek megfelelően a két függvénnyel kell a kritikus erőt számítani, addig ez a módszer a teljes karcsúsági tartományra egyetlen függvényt ad meg. Excentrikusan nyomott vagy zavarónyomatékkal terhelt rudaknál először elvégezzük - a fentieknek megfelelően - a stabilitásvizsgálatot. A szilárdsági és alakváltozási határállapot vizsgálatát a külpontos nyomásnál, illetve a hajlított rúd alakváltozásánál bemutatott módszerrel végezzük. Természetesen ez a módszer is csak közvetett tervezést tesz lehetővé. 7.2. Hajlított rudak kifordulása Ha egy prizmatikus rudat keresztmetszetének valamelyik fősíkjában hajlítónyomaték terhel, akkor annak bizonyos értékénél a hajlítónyomaték síkjába eső meghajlott alakon kívül, oldalirányú elmozdulások következtében más, térgörbe súlyvonalú egyensúlyi alakok is szóba jöhetnek. Az ilyen jellegű tartóalak kialakulását kifordulásnak vagy kibicsaklásnak nevezzük. A kifordulás fellépésének csak olyan esetekben van gyakorlati jelentősége, mikor a rúd keresztmetszetének fő másodrendű nyomatékai egymástól jelentősen eltérnek és a hajlítás tengelye az 1-es főtengely (pl. az álló helyzetű, nyújtott téglalap vagy I-keresztmetszetek). Jóllehet szilárdsági szempontból ezek a keresztmetszetalakok a leggazdaságosabbak, kifordulásuk azonban már kis alakváltozások esetén is bekövetkezhet. A rétegelt ragasztott egyenes vagy görbe tengelyű fatartók keresztmetszetének geometriai és terhelési viszonyai alapján a kifordulás vizsgálatának fontos szerepe van. 7.2.1. Nyújtott téglalap keresztmetszetű, egyenes tengelyű hajlított rudak kifordulása A jelenség értelmezéséhez vizsgáljuk a 7.10. ábrán látható konzoltartót, melynek szabad végén a keresztmetszet súlypontjában F erő hat, ami az egyenes rudat hajlításra és nyírásra veszi igénybe. Az F erő egy bizonyos értékénél a rúd kifordul és egy z koordinátájú keresztmet-

268

szet igénybevételei: Mx' és My' hajlítónyomatékok, valamint Mz' csavarónyomaték, Tx' és Ty', nyíró- és Nz' normálerők. A normál- és nyíróerőkből származó alakváltozást - mint általában mindig - elhanyagoljuk. A rúd keresztmetszeti jellemzői alapján Iyy << Ixx', ezért a kifordulás vizsgálata szempontjából az Mx' hajlítónyomaték alakváltoztató hatását is elhanyagoljuk. A keresztmetszetek figyelembe vett igénybevételei tehát az y' tengely körüli hajlítás és a z' tengely körüli csavarás. Az Mx' hajlítónyomaték elhanyagolásának az a következménye, hogy a rúd kifordult súlyvonala az x,z-síkba eső görbe. Jelöljük a súlyvonal alakját az ux = ux(z) függvénynyel, a keresztmetszet elfordulásának szögét pedig ϕ = ϕ (z)-vel. Az y' tengely körüli hajlítás differenciálegyenlete (5.111) analógiájára:

d 2 u x (z) M y' F z Fsinϕ(z)z = = x' = 2 EI y'y' EI y'y' EI y'y' dz

.

A másodrendű elmélet alkalmazásakor megengedett a sin ϕ (z) = ϕ (z) közelítés. A differenciálegyenlet alakja ezért:

d 2 u x (z) Fz = ϕ(z) 2 dz EI y'y'

,

esetünkben Iy'y' = Iyy , és ha figyelembe vesszük, hogy a keresztmetszet alakja következtében az y' tengely körüli hajlítás lemezhajlításnak tekinthető, a rugalmassági modulusz helyébe E/(1-

ν 2)-et helyettesíthetünk ( ν - a rúd anyagának Poisson-tényezője): d 2 u x (z) Fz(1 - ν 2 ) = ϕ(z) . EI y'y' dz 2

7.36

Az 5.5.1. fejezetben levezetett

ϕ (z)

Mz GI S

kifejezés általánosításaként a csavarónyomaték és a szögelfordulás között a követ-

kező differenciálegyenletet kapjuk:

dϕ (z) M z = dz GI t

7.37

ahol GIt - a rúd csavarómerevsége. Nyújtott téglalap alakú keresztmetszet esetén (lásd az (5.87/b) összefüggést):

v 3h It = 3

,

7.38

ahol v - a keresztmetszet szélessége, h - a hosszúsága (v << h). A csavarónyomatékot a 7.10/b. ábra segítségével határozhatjuk meg:

M z (z) = - Ft(z) ≅ -Ft'(z) = -F(u x (z = 0) - u x (z) - ztgα ) = du ( z )   = -F u x (z = 0) - u x (z) + z x   dz 

269

7.10. ábra Helyettesítsük ezt (7.37)-be és differenciáljuk z szerint:

d 2 ϕ (z) F z d 2 u x (z) = GIt dz 2 dz 2

7.39

(7.36) és (7.39) felhasználásával:

d 2 ϕ(z) 1 - ν2 = ( Fz ) 2 ϕ( y) = 0 EI yy GI t dz 2

7.40

Itt Fz a külső terhelés nyomatéka az y tengelyre a stabilitás megszűnése előtt (azaz a megmerevítés elvének felhasználásával számítva). Bizonyítható, hogy (7.40) differenciálegyenlet általánosítható, és a

d 2 ϕ(z) 1 - ν2 = M 2y ( z )ϕ( y) = 0 2 EI yy GI t dz

7.41

alakban minden nyújtott téglalap keresztmetszetű rúd kifordulásának differenciálegyenlete függetlenül annak megtámasztási és terhelési módjától. Az összefüggésben My(z) - a külső terhelés nyomatéka. Térjünk vissza (7.40)-hez és vezessük be a

270

k = 4

(

F2 1 - ν2

)

7.42

EI yy GI t

segédmennyiséget. Ezzel (z)-re a

d 2 ϕ(z) + k 4 z 2 ϕ(z) = 0 2 dz

7.43

lineáris, másodrendű - nem állandó együtthatójú - differenciálegyenletet kapjuk. Keressük ennek megoldását a ∞

ϕ(z) = c o + c 1 z + c 2 z 2 + c 3 z 3 +...= ∑ c i z i

.

i=1

hatványsor formájában. Ezt (7.43)-ba helyettesítve a következő egyenletet kapjuk:

c 2 ⋅ 1 ⋅ 2 + c 3 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ z + c 4 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ z 2 + c 5 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ z 3 + c 6 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ z 4 + ... + + λ4 (c o z 2 + c 1 z 3 + c 2 z 4 + c 3 z 5 + ...) = 0 , az együtthatók összehasonlítása a

c 2 = 0, c 3 = 0,3 ⋅ 4 ⋅ c 4 + λ4 c 0 = 0, 4 ⋅ 5 ⋅ c 5 + λ4 c 1 = 0,5 ⋅ 6 ⋅ c 6 + λ4 c 2 = 0,... egyenlőségeket adja. Ezek alapján:

c 2 = 0, c 3 = 0, c 4 =

co c - λ4 , c 5 = - λ4 1 , c 6 = 0 , c 7 = 0, ... 3⋅ 4 4⋅5

A szögelfordulás-üggvény tehát:

λ4 z 4 λ8 z 8 λ4 z 5 λ8 z 9 ϕ(z) = c o (1 + - +...) + c 1 (z + - +...) 3⋅ 4 3⋅ 4⋅ 7 ⋅ 8 4 ⋅ 5 4⋅ 5⋅8 ⋅ 9 (7.37)-ből következik, hogy a z = 0 helyen a szögelfordulásfüggvény első deriváltja nulla, ezért c1 = 0. A z = L helyen ϕ= 0, így

λ4 L4 λ8 L8 0 = c o (1 + - + ...) 3⋅ 4 3⋅ 4⋅ 7 ⋅8 Ennek co = 0 megoldása számunkra érdektelen, mert ilyenkor nincs kifordulás. A zárójelben lévő mennyiség a

λ4 L4 = p =

(1 - ν 2 )F 2 L4 EI yy GI t

7.44

kifejezés bevezetésével:

p p2 p3 1+ + - ...= 0 . 3 ⋅ 4 3 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅ 8 3 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 11 ⋅ 12 E hatványsor első három tagjának megtartásával nyert másodfokú egyenlet megoldása adja p első közelítő értékét (a két gyök közül a kisebbik a fontos, mert ezzel kapjuk (7.44)-ből a kisebb, azaz a kritikus erőt): p ≅p1 = 17,417 , amivel iterációt végzünk. p hatványsorból fejezzük ki p-t:

  p2 p3 p = 3 ⋅ 4 1 + + - ... . 3 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅ 8 3 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 11 ⋅ 12  

7.45

271

Mivel a p = p1 környezetében a fenti függvény p szerinti differenciálhányadosának abszolút értéke kisebb egynél - tehát teljesül a konvergenciafeltétel - p második közelítő értéke: p ≅ p2 = 16,702 , egy újabb iteráció p újabb értékét már csak jelentéktelen mértékben módosítaná. (7.44)-ből p2vel maghatározhatjuk a konzoltartó szabad végén ható erő kritikus értékét:

Fkrit =

4,087 EI yy GI t L2 1 - ν2

,

7.46/a

ami természetesen csak addig érvényes, míg a kritikus terhelésből számított feszültségek el nem érik a rúd anyagának arányossági határát. A gyakrolati tapasztalatok azt mutatják, hogy a képlékeny kifordulás vizsgálatára általában nincs szükség, mert az olyan nagy erők hatására következik be, amelynél a rúd már egyébként is szilárdsági határállapotba kerül.

π EI yy GI t L 1 - ν2

7.46/b

Fkrit =

16.94 EI yy GI t L2 1 - ν2

7.46/c

q krit =

28.32 EI yy GI t 1 - ν2 L3

7.46/d

q krit =

12.85 EI yy GI t L3 1 - ν2

7.46/e

M krit =

7.11. ábra A fent bemutatotthoz hasonló módon számíthatjuk más megtámasztású és terhelésű rudak téglalap keresztmetszetű rudak kiforduláshoz tartozó kritikus terhelését. A 7.11. ábrának megfelelő esetekben - részletezés nélkül - felírjuk a kritikus teher számításának képleteit. Hangsúlyoznunk kell, hogy a fenti összefüggések csak akkor érvényesek, ha a külső terhelés, az ábráknak megfelelően, a keresztmetszetek súlypontján, illetve a rúd súlyvonalán támad. Ha a támadáspont a súlyvonal felett található, a kritikus értékek kisebbek, ellenkező esetben nagyobbak lesznek a (7.46) képletekkel számíthatóhoz képest. Ennek magyarázatát könnyen beláthatjuk, ha észrevesszük, hogy pl. a 7.10. ábrának megfelelő esetben az My' hajlítónyomatékot okozó F erő nyomatéki karja nem súlyponti támadáspont esetén megváltozik, ezért a (7.40) differenciálegyenlet együtthatói is mások lesznek.

272

7.2.2. Nyújtott téglalap keresztmetszetű, körív alakú hajlított rudak kifordulása Az íves tengelyű rudak kifordulásának elméleti vizsgálata meglehetősen bonyolult és a szakirodalomban is kidolgozatlan. E problémakör bemutatására tanulmányaink keretei között nincs mód, a faipari gyártásban előforduló rétegelt ragasztott íves fatartók jelentőségére való tekintettel felírjuk a végein koncentrált nyomatékkal terhelt, nyújtott téglalap keresztmetszetű, R sugarú, körív alakú tartórúd krtitikus nyomatékát a rugalmas tartományban:

M krit = -

EI yy + GI t 2R

2

EI yy GI t  EI yy + GI t  ±   + 2R R2  

 π  2     − 1  Ψ 

ahol Ψ - a körív központi szöge. A második tag előjelétől függően egy pozitív és egy negatív nyomatékot

M

krit

< M

kapunk. + krit

,

ami azt je-

lenti, hogy a görbület csökkenését okozó pozitív nyomaték kritikus értéke kisebb, mint a görbület növekedését

okozó

negatív

jellegű

tartóalak,

nyomatéké. Más

megtámasztás és terhelés esetén a kritikus terhelés meghatározására a munkatételeket célszerű alkalmazni. 7.12. ábra 7.2.3. Erőtani méretezés A méretezés során hasonlóan járunk el, mint a zavarónyomatékkal terhelt, karcsú rudak kihajlásvizsgálatánál. Először stabilitásvizsgálatot végzünk kifordulásra majd elvégezzük a rúd külső terhelésének megfelelő szilárdsági és alakváltozási határállapot ellenőrzését a korábban ismeretett módszerek alapján. Itt csak a kifordulással szembeni stabilitásvizsgálat módszereit ismertetjük.

273

7.2.3.1. Megengedett feszültségen alapuló méretezési módszer A kifordulás-vizsgálatot egyszerűbben elvégezhetjük, ha a korábbiaktól eltérő módon, nem a maximális és megengedett feszültségeket hasonlítjuk össze, hanem a kifordulást okozó külső terhek jellemzőit. A kifordulás esélye nem áll fenn, ha

Ymax ≤ Ym =

Ykrit , n

7.48

ahol Ykrit - a kifordulást okozó terhelés jellemzőjének (M, F, q) kritikus értéke. Nagyságát a rúd alakjának megtámasztási és terhelési módjának függvényében a (7.46)-os összefüggések valamelyikével számítjuk, n - a biztonsági tényező, Ymax - a külső terhelés jellemzőjének szélső értéke. 7.2.3.2. "Fél" valószínűséggel kiegészített határállapot módszer Kifordulás nem következik be, ha YM ≤YH ,

7.49

ahol YH - a kifordulást okozó terhelés jellemzőjének (M, F, q) határértéke, melyet az Ykrit-ből számítunk valószínűségelméleti alapon (a meghatározás alapelve ugyanaz, mint amikor valamelyik határfeszültséget számítjuk a kérdéses szilárdság eloszlásfüggvényének ismeretében). A határigénybevétel számításához szükség van a (7.46)-os összefüggésekben szereplő mennyiségek eloszlásfüggvényeire. Ezek hiányában első közelítésként az YH = 0,85. Ykrit becsléssel élhetünk.

8. Egyéb szerkezetek és testek rugalmassági és szilárdsági problémái 8.1. Alakváltozások és feszültségek az alkatrészek érintkezési helyének környezetében A szerkezeti elemek közötti erőátvitelkor az érintkezési pontokban, illetve azok környezetében a feszültségi és alakváltozási állapotok ismerete az alkatrészek erőtani méretezése szempontjából alapvető jelentőségű. E feladatkörhöz tartozik a koncentrált és megoszló erővel terhelt rugalmas féltér, illetve félsík problémái (8.1/a,b. ábra), az abszolút merevnek tekintett, tetszőleges alakú síktestek benyomódásának kérdései (8.1/c.d. ábra), valamint a különböző felü-

274

leti görbülettel rendelkező testek érintkezésének, összenyomódásának problémái (8.1/e. ábra). A 8.1. ábrán látható idealizált esetek számtalan gépészeti és építészeti szerkezetnél előfordulnak (csapágyak, fogaskerekek, bütykös szerkezetek, alapozások, stb.). E feladatok közül a rugalmas féltér problémájának megoldása alapvető fontosságú, mert ez képezi az összes hasonló jellegű feladat megoldásának alapját is. 8.1.1. Koncentrál erővel terhelt rugalmas féltér Vizsgáljunk egy olyan síkkal határolt rugalmas testet, melynek méretei a terhelés hatásának kitett környezethez képest minden irányban végtelen nagynak tekinthetők. Terheljük a testet egy a határolósíkra merőleges koncentrált erővel (8.2. ábra). Keressük a féltér tetszőleges pontjában az alakváltozási és feszültségi állapotot, illetve a pont elmozdulását. Könnyen beláthatjuk, hogy a feladat jellegénél fogva a féltér elmozdulás-, alakváltozásés feszültségmezeje az F erő hatásvonalában felvett z tengelyre szimmetrikus, azaz a keresett mennyiségek nem függenek a ϕ,r,z -vel jellemzett hengerkoordináta-rendszerben a ϕ polárszögtől. Tengelyszimmetrikus esetben a rugalmasságtan alapegyenletei egyszerűsődnek és a feladat - a síkbeli feszültségi hasonlóan - hengerkoordináta-rendszerben egyetlen egy biharmonikus differenciálegyenlet megoldására vezethető vissza. Vágjunk ki a testből egy r∆ϕ ∆r∆z méretű térfogatelemet, melynek oldallapjain a 8.3. ábrán

látható

feszültségkomponensek

hatnak.

A

szimmetria

miatt

σ ϕr = σ rϕ é s σ ϕz = σ zϕ nyírókomponenseknek nullával kell egyenlőnek lenniük.

a

A sztatikai egyensúlyi egyenleteknek az r és z irányú vetületi egyensúlyi egyenletekből vezethetjük le

sin

∆ϕ ∆ϕ ≅ 2 2

közelítés felhasználásával:

∂rσ rr ( r, z ) ∂rσ zr ( r, z ) + − σ ϕϕ ( r, z ) = 0 ∂r ∂z ∂rσ zz ( r, z ) ∂rσ rz ( r, z ) + =0 . ∂r ∂z

8.1/a 8.1/b

Jelöljük a féltér tetszőleges pontjának eltolódás-komponenseit uϕ(r,z)-vel, ur(r,z)-nél és uz(r,z) . A szimmetria következtében uϕ(r,z) = 0. Fejezzük ki az eltolódás-komponensekkel a nem nulla deformáció-komponenseket:

∂u r ( r , z ) ∂r ( r + u r ( r, z ))∆ϕ − r∆ϕ u r ( r, z ) = = r r

ε rr =

8.2/a

ε ϕϕ

8.2/b

275

ε zz =

∂u r ( r , z ) ∂z

ε rz = ε zr =

8.2/c

1  ∂u r ( r , z ) ∂u z ( r , z )  + ∂r  2  ∂z

8.2/d

8.1. ábra

276

8.3. ábra A fenti geometriai egyenletek közül csak a második szorul magyarázatra. A 8.4. ábrán látható r∆ϕ hosszúságú elemi szálnak az ur eltolódás és a szimmetriaviszonyok fennmaradása

277

következtében szenvednie.

hosszváltozást Használjuk

kell

fel

az

általános Hooke-törvényt és fejezzük ki a feszültségeket az eltolódáskomponensekkel:

νe  u σ ϕϕ = 2G r +   r 1 - 2ν 

8.3/a

8.4. ábra

νe   ∂u σ rr = 2G r +   ∂r 1 - 2 ν  νe   ∂u σ zz = 2G z +   ∂z 1 - 2 ν  ∂u   ∂u σ rz = σ zr = G r + z   ∂z ∂r  ahol

e = ε ϕϕ + ε rr + ε zz =

u r ∂u r ∂u r + + r ∂r ∂z

8.3/b 8.3/c 8.3/d

8.3/e

Helyettesítsük be ezeket a (8.1) egyensúlyi egyenletekbe. Rendezés után:

∂ 2 u r 1 ∂u r ∂ 2 u r u r ur 1 ∂e 1 ∂e + + + = ∆ u + = 0 r 2 2 2 2 r ∂r 1 - 2 ν ∂r 1 - 2 ν ∂r ∂z ∂r r r ∂ 2 u z 1 ∂u z ∂ 2 u z 1 ∂e 1 ∂e + + + = ∆u z + = 0 2 2 r ∂r 1 - 2ν ∂z 1 - 2 ν ∂r ∂z ∂r

8.4/a 8.4/b

ahol

∆=

∂2 1 ∂ ∂2 + + ∂z 2 r ∂r ∂r 2

8.5

differenciáloperátor (a Nabla-operátor henger-koordinátarendszerbeli formája). A (8.4) egyenletek további átalakításához vezessük be a p = p(r,z) és q = q(r,z) függvényeket, melyekkel az eltolódásfüggvények a következő módon fejezhetők ki:

∂p 2(1 - ν) ∂q + 1 - 2 ν ∂z ∂r ∂p 2(1 - ν ) 1 ∂q uz = ∂z 1 - 2 ν r ∂r

ur =

8.6/a 8.6/b

Ezeket (8.5)-be helyettesítve és rendezve:

e=

∂ 2 p 1 ∂p ∂ 2 p + + = ∆p ∂z 2 r ∂r ∂r 2

Helyettesítsük be (8.6)-ot és (8.7)-et (8.4/b)-be. Rendezés után:

8.7

278

 ∂p 1 ∂( rq )  ∆ − =0  ∂z r ∂r 

8.8/a

mert

∆

∂3 ∂ ∂ ∂3 1 ∂2 = 3 + + 2 = ∆ ∂z ∂z r ∂r∂z ∂r ∂z ∂z

(8.4/a)-ba való helyettesítés és rendezés után:

1   ∂p ∂q   ∆ − 2  +  = 0  r   ∂r ∂z 

8.8/b

mert

∆

∂ ∂3 1 ∂ 1 ∂2 ∂3 ∂ 1 ∂ = 2 − 2 + + =∆ - 2 2 3 ∂r ∂z ∂r r ∂r r ∂r ∂r r ∂r ∂r (8.8/b) megoldását úgy kapjuk, ha bevezetjük a Φ(r,z)-vel jelölt, Love-féle függvényt,

mellyel

p=

∂Φ ∂Φ ,q = − . ∂z ∂r

8.9

Helyettesítsük be ezeket (8.8/a)-ba. Rendezve:

 ∂ 2 Φ 1 ∂Φ ∂ 2 Φ  ∆ 2 + + 2  = ∆∆Φ = 0 r ∂r ∂r   ∂z

8.10

A tengelyszimmetrikus feladat megoldását tehát olyan függvény megtalálása jelenti, amely kielégíti a fenti biharmonikus differenciálegyenletet. Ilyen függvény végtelen sok van. A megoldás nehézsége abban áll, hogy olyan biharmonikus függvényt kell találni, amely a feladat speciális kerületi feltételeit is kielégíti. Biharmonikus függvénynek választhatjuk a Φ = r2, lnr, r2lnr, z, z2, z3, zlnr, R = r 2 + z 2 ,

1 R +z , zln(R + z) stb . , ln R R -z

függvényeket, illetve ezek tetszőleges lineáris kombinációit. A Φ(r,z) függvény ismeretében (8.9)-cel és (8.6)-tal megkapjuk az elmozdulásfüggvényeket:

1 ∂ 2Φ u r (r, z) = , 1 - 2ν ∂r∂z 2(1 - ν ) 1 ∂ 2Φ u z (r, z) = ∆Φ 1 - 2ν 1 - 2 ν ∂z 2

8.11/a .

8.11/b

majd a feszültségkomponensek (8.3) felhasználásával:

σ ϕϕ = σ rr =

2Gν ∂  1 1 ∂Φ   ∆Φ   1 - 2 ν ∂z ν r ∂r 

2Gν ∂  1 ∂ 2Φ   ∆Φ  1 - 2 ν ∂z  ν ∂r 2 

8.12/a

8.12/b

279

σ zz =

2Gν ∂  1 ∂ 2Φ ∆Φ   1 - 2 ν ∂z  2 − ν ∂z 2 

σ rz = σ zr =

2G(1 - ν ) ∂  1 ∂ 2Φ ∆Φ   1 - 2 ν ∂r  1 − ν ∂z 2 

8.12/c

8.12/d

Természetesen a fenti összefüggések nemcsak a koncentrált erővel terhelt rugalmas féltér esetén, hanem minden tengelyszimmetrikus rugalmasságtani feladatnál érvényesek és alkalmazhatók. Térjünk vissza a 8.2. ábrán látható feladatra. Olyan biharmonikus függvényt kell keresnünk, amelynek felhasználásával kapott feszültségek kielégítik azt a kerületi feltételt, hogy a féltér felszínén - a támadáspont kivételével - a z normálisú síkhoz tartozó feszültségkomponenseknek el kell tűnniük:

σ zz ( r, z = 0) = 0 , σ rz ( r, z = 0) = 0 .

r≠0 ,

8.13/a r≠0 .

8.13/b

Válasszuk a keresett függvénynek a Φ(r,z)=C1R + C2zln(R + z)=C1 r 2 + z 2 + C2zln(z + r 2 + z 2 )

8.14

összefüggést, melyben C1 és C2 tetszőleges állandók. Fejezzük ki az eltolódásokat és a feszültségeket a fenti függvény segítségével:

ur =

 1  rz r (C1 + C 2 ) 3 - C 2  1 - 2ν  R(R + z)  R

8.15/a

uz =

1  1 z2  ν ν ((3 4 )C + 2(1 2 )C ) + (C + C ) 1 2 1 2   1 - 2ν  R R3 

8.15/b

C2   z 1 σ ϕϕ = 2G (C1 + C 2 ) 3 R 1 - 2ν R(R + z)    1 C2 2 νC 2  z 3 z2   σ rr = 2G  +  C1 − (C1 + C 2 ) 5   3 − 1 - 2ν 1 − 2ν  R R  1 - 2ν R(R + z) 

 2νC 2  z 3 z2  σ zz = -2G  C1 − + (C + C )  1 2  1 − 2ν  R 3 1 - 2ν R5    2 νC 2  r 3 rz 2  σ rz = σ zr = -2G  C1 − (C1 + C 2 ) 5   3 + 1 − 2ν  R 1 - 2ν R  

8.16/a 8.16/b

8.16/c

8.16/d

280

A (8.13/a) kerületi feltétel automatikusan kielégül. A (8.13/b) feltételből

C 2 = C1

1 - 2ν 2ν

adódik. Ezzel a z irányú normálfeszültségkomponens:

σ zz = - C1

3G z3 . ν(1 - 2ν ) R 5

A C1 állandó értékét abból a feltételből határozhatjuk meg, hogy a féltér egy tetszőleges z = áll. síkján ébredő σzz feszültségekből származó belső erőnek F erővel kell egyensúlyt tartania: ∞

∞

6πGz 3 rdr 2πG ∑ Fz = 0 = F + ∫ σ zz 2rπdr = -F - C1 ν(1 - 2ν) ∫ (r 2 + z 2 ) 2,5 = F - C1 ν(1 - 2ν) , R =0 0 ahonnan

C1 =

ν(1 - 2ν) F . 2πG

Ezzel meghatároztuk a (8.14) függvény állandóit. Nincs akadálya annak, hogy felírjuk a koncentrált erővel terhelt féltér eltolódási és feszültségi függvényeit.

ur =

 F  rz r - (1 - 2ν )  3 4 πG  R R(R + z) 

8.17/a

uz =

F  1 z2  (1 2 ν ) +   4π G  R R3 

8.17/b

σ ϕϕ =

 z  F 1 (1 - 2ν ) 3  2π  R R(R + z) 

8.18/a

σ rr =

F  1 3zr 2  (1 2 ν ) −   2π  R(R + z) R 5 

8.18/b

3 F z3 2 π R5 3 F rz 2 σ rz = σ zr = 2 π R5 σ zz = -

8.18/c 8.18/d

A fenti összefüggéseket első levezetőjükről Boussinesq-formuláknak nevezzük. Elemezzük a kapott eredményt. Az F erő támadáspontjában valamennyi feszültségkomponens végtelen értéket vesz fel. A valóságban ez nem következhet be, mert az erő mindig egy véges nagyságú felületen támad s ennek megfelelően a feszültség is véges nagyságú lesz. A rugalmas féltér határolósíkján (R=r, z=0) az erő támadáspontjának kivételével:

281

σ ϕϕ = -

F 1 - 2ν 2π r 2

,

σ rr =

F 1 - 2ν 2π r 2

,

σ zz = σ rz = 0 . A felületi pontok síkbeli feszültségi állapotban vannak, σϕϕ és σrr egyben főfeszültségek. A feszültségi állapot vizsgálatánál megtanultuk, hogy az egyenlő nagyságú, de ellentétes értelmű normálfeszültsé-gek a tiszta nyírás feszültségi állapotának felelnek meg.

A

határoló-sík

pontjainak

elmozdulása:

ur = -

uz =

8.5. ábra

1 - 2ν F 4 πG r

,

1- ν F 4 πG r

A koncentrált erő hatásvonalában (r = 0, R = z):

σ ϕϕ =

F 1 - 2ν 2π 2z 2

,

σ rr =

F 1 - 2ν 2π 2z 2

,

σ zz = -

F 3 2π z 2

σ rz = σ zr = 0 .

A z tengely pontjai tehát térbeli feszültségi állapotban vannak, a három normálfeszültség egyben a három főfeszültség. A 8.5. ábrán a σzz feszültségkomponens eloszlását ábrázoltuk a z tengely mentén és állandó z1, illetve z2 mélységben. Egy tetszőleges P pont z normálisú felületelemén ébredő σzz és σzr komponensek alkotják a σ z feszültségvektort. Ennek hatásvonala a P pont helyvektorával párhu8.6. ábra (8.18) összefüggések alapján megállapíthatjuk, hogy tgα = a feszültségvektor nagysága:

σ z = σ 2zz + σ 2zr =

3 F z2 2 π R4

zamos, hiszen a 8.6. ábráról és a

σ zr r = , σ zz z

282

Tegyük egyenlővé a (8.18/a) kifejezést nullával és vegyük figyelembe a sinα = r/R és cosα = z/R összefüggéseket: os2α+ cosα -1 = 0 . Az egyenletet megoldva, a 0° és 90° közötti értékre α1 = 51,83°- ot kapunk. Az α1 félnyílásszögű kúpon belül

σϕϕ pozitív, azon kívül negatív értéket vesz fel (8.7/a. ábra).

(8.18/b)-t nullával egyenlő téve: cosα sin2α(1 + cosα) =

1 − 2ν . 3

Az α-ra kapott két gyök a Poisson-tényező értékétől függ. A σrr feszültségkomponens az α2 félnyílásszögű kúpon belül és az α3 félnyílásszögű kúpon kívül pozitív, a kettő között pedig negatív (8.7/b. ábra).

8.7. ábra Megjegyezzük, hogy a Boussinesq-formulák csak koncentrált terhelés esetén érvényesek, a Saint-Venant-elv értelmében azonban alkalmazhatók minden sztatikailag egyenértékű terhelés esetén a féltér azon pontjain, amelyek elegendően távol vannak a teherátadás helyétől. 8.1.2. A rugalmas félsík feszültségi állapotai A rugalmas féltér problémája a műszaki gyakorlatban sokszor síkbeli feladattá módosul. Ennek feltétele, ha - a 8.8. ábrának megfelelően - a vizsgált test állandó vastagságú lemeznek tekinthető és a terhelés a lemez síkjára merőleges irányban állandó. Ha a lemez vastagsága nem túl nagy, az y irányú alakváltozás nem gátolt, ezért a lemez tetszőleges pontja síkbeli fe- feszültségi állapotba kerül.Mivel a feszültségi állapot y-tól független, elegendő a lemez középsíkjának vizsgálata. A fenti feltételek-nek megfelelő feladatot a rugalmas félsík problémájának szokták nevezni.

283

A továbbiakban - a levezetéseket

mellőzve

-

összefoglaljuk néhány fon-tos terhelési esetben a félsík x,z koordinátájú pontjainak Descartes szerbeli

koordinátarendfeszültség-kompo-

nenseit. Koncentrált normálerő (8.9. ábra):

2Fz 2  x z, 4  πR  2Fz 3  =z ,  4 πR  2Fz  2 = σ zx = xz ,  4 πR 

σ xx = σ zz σ xz

8.19 ahol Fz - a lemezvastagság egységnyi

hosszára

eső

koncentrált erő. Koncentrált nyíróerő (8.10. ábra): 8.9. ábra

2Fx 3  x , 4  πR  2Fx 2  σ zz = - 4 xz , . πR  2Fx 2  σ xz = σ zx = - 4 x z ,  πR 

σ xx = -

8.20

ahol Fx - a lemezvastagság egységnyi hosszára eső koncentrált erő. Állandó teherintenzitású, felületen megoszló normálerő (8.11. ábra):

8.10. ábra

284

qz π q σ zz = - z π σ xx = -

σ xz = σ zx

1   ϕ 2 - ϕ 1 + 2 (sin2ϕ 2 - sin2ϕ 1 )   1   ϕ 2 - ϕ 1 − 2 (sin2ϕ 2 - sin2ϕ 1 )    qz = (sin2ϕ 2 - sin2ϕ 1 ) .  π 

[

8.21

]

8.11. ábra

8.12. ábra

Állandó teherintenzitású, felületen megoszló nyíróerő (8.12. ábra):

  qx  r1 1  2ln + (cos2ϕ 2 - cos2ϕ 1 ) , π  r2 2    q σ zz = - x (cos2ϕ 2 - cos2ϕ 1 ) , . π  qx  1  σ xz = σ zx = ϕ 2 − ϕ 1 + (cos2ϕ 2 - cos2ϕ 1 )  π  2  

σ xx = -

8.22

A fenti összefüggésekben szereplő mennyiségek jelentése az ábrák alapján megállapítható. Összetett terhelés esetén a szuperpozíció elve alkalmazható. 8.1.3. Testek érintkezési helyének környezetében fellépő feszültségek Ha két, görbült felületű testet összenyomunk, akkor az érintkezési pont(ok) szűk környezete a nyomóigénybevétel hatására deformálódik és az érintkezés véges felületen jön létre. E felület nagysága azonban általában lényegesen kisebb az érintkező testek geometriai méreteihez képest, ezért az érintkezési felületen, illetve annak közvetlen környezetében jelentős nagyságú feszültségek ébrednek. Tegyük fel, hogy az erőátvitel előtt a két test a 8.13. ábrának megfelelően elméletileg egy pontban érintkezik egymással. Az érintkezési pontban a közös érintősíkra emelt merőleges az érintkezési normális. Jelöljük R1-gyel és R2-vel a testek nagyobbik fő gör-

285

bületi sugarát, r1-gyel és r2-vel a kisebbik fő görbületi

sugarakat. Egy

testnél a fő görbületi köröket tartalmazó síkok, a fő görbületi síkok egymásra merőlegesek. Jelöljük a két test fő görbületi síkjai által bezárt hegyesszöget ϕ-vel. Ha az érintkező testek felületét abszolút simának tekintjük, a két test között fellépő terhelő erő hatásvonala csak az érintkezési normálisba eshet. Műszaki szempontból általában - az érintkezési felület alakjának és nagyságának, - az érintkezési felület legnagyobb normálfeszültségének, - az érintkező testek egymáshoz 8.13. ábra

viszonyított elmozdulásának ismeretére van szükség.

A fenti kérdésekre a választ először H. Hertz adta meg. Az egymással érintkező testeket a közös érintősíkkal határolt rugalmas féltérnek tekintette, E1, ν1 és E2 , ν2 rugalmas állandókkal. Az összenyomódás után a két test között fellépő normálfeszültség eloszlása - a féltér terhelő erőrendszere - pedig az érintkezési felületre boruló ellipszoid függvénynek vehető. A Hertz-féle elmélet szerint az érintkezési felület legnagyobb normálfeszültsége az ellipszis középpontjában van, nagysága:

σ zz,max =

3 F 2 abπ

,

8.23

ahol

3 Fη a = na 3 2 k

,

3 Fη b = nb 3 2 k

az érintkezési ellipszis féltengelyeinek hossza, valamint

1 - ν 12 1 - ν 22 η= + , E1 E2 1 1 1 1 k = + + + R 1 r1 R 2 r2

,

F - a két test között ható normálerő. Az érintkező testek közeledése:

286

d=

nd 3 (1,5Fη) 2 k . 2

5.24

Az na , nb és nd tényezők értéke táblázatokból vehető ki, az előzetesen kiszámítandó 2

2

 1  1 1  1 1 1 1  1 1 Ψ= −  + −  + 2 −  −  cos ϕ  k  R 1 r1   R 2 r2   R 1 r1   R 2 r2  paraméter függvényében. 8.2. Sztatikailag határozatlan szerkezetek A sztatikailag határozottság, illetve határozatlanság kérdésével a merev testek sztatikájára vonatkozó tanulmányainkban már foglalkoztunk. Tudjuk, hogy a sztatikailag határozott szerkezetek ismeretlen reakcióerőit és belső erőit a sztatikai egyensúlyi egyenletek alkalmazásával egyértelműen meghatározhatjuk. Az ilyen szerkezeteknél az alakváltozás (feltéve, hogy nem túl nagy) nincs hatással a reakciók és belső erők alakulására, ezért a szerkezetek anyagát merevnek tekinthetjük. Sztatikailag határozatlan tartóknál az ismeretleneket csupán sztatikai eszközökkel, az egyensúlyi egyenletekkel nem lehet meghatározni. Az ismeretetlenek száma több, mint az egyensúlyi egyenletek száma, így végtelen sok megoldás található. Ezek közül az lesz a ténylegesen megvalósuló, amelynél a szerkezet részeinek alakváltozása kielégíti a szerkezet egészére vonatkozó geometriai, összeférhetőségi feltételeket (a kompatibilitási feltételek nemcsak egy elemi térfogatra, hanem a véges méretű szerkezeti elemekre is fennállnak). Ez azt jelenti, hogy a sztatikai egyensúlyi egyenletek mellé, geometriai, alakváltozási egyenletek csatlakoznak - mindig annyi, amennyi a szerkezet határozatlanságának foka, azaz a plusz ismeretlenek száma -, így az összes keresett külső és belső erő egyértelműen meghatározható. Az egyensúlyi és alakváltozási egyenletek rendszerét olyan módon alakíthatjuk át, hogy bennük vagy csak az erők, vagy csak az alakváltozási komponensek szerepeljenek ismeretlenként. Az első megoldás képezi az ún. erő-módszernek, a második az elmozdulás-módszernek az alapját. E két módszert alkalmazzák a legelterjedtebben a határozatlan szerkezetek számításánál. Ezeket didaktikailag és számítógépes alkalmazás szempontjából igen részletesen kidolgozták, de mechanikai tanulmányaink keretén belül ezek ismertetésére sajnos nincs mód. A továbbiakban az erőmódszer alapján álló számítási módszerrel foglalkozunk, amely igen hatékonyan alkalmazható, ha a határozatlanság foka viszonylag alacsony.

287

8.2.1. Törzstartó kialakításának módszere Ez a módszer minden egyszerűsége mellett is nagyon szemléletes és ha sztatikailag határozatlan mennyiségek száma nem túl nagy, igen gazdaságosan alkalmazható. Az eljárás gondolatmenete a következő. Az n-szeresen határozatlan szerkezetet sztatikailag határozottá alakítjuk úgy, hogy a határozatlanság fokának megfelelő számú kényszert eltávolítunk belőle. Ha a határozatlanságot külső kényszerek okozzák, akkor azok számát csökkentjük (pl. merev befogás helyett csuklót alkalmazunk, vagy teljesen eltávolítjuk a kényszerek egy részét), belső határozatlanság esetén a szerkezet valamelyik keresztmetszetét szabadítjuk fel (az igénybevételek szempontjából merev befogásnak tekinthető keresztmetszetbe csuklót helyezünk vagy teljesen átvágjuk). Egyidejű külső és belső határozatlanság esetén mindkét lehetőséget fel kell használni. A fenti elvek szerint kialakított sztatikailag határozott tartót az eredeti tartó törzstartójának nevezzük. A törzstartón működtetjük az eltávolított kényszereknek megfelelő dinámokat (erőket, nyomatékokat), s bár ezek egyelőre ismeretlenek, úgy számolunk velük, mint aktív erőkkel. A törzstartó akkor lesz egyenértékű az eredeti tartóval, ha nemcsak az erőjáték, hanem az alakváltozás szempontjából is azonosan viselkedik. A sztatikailag határozatlan dinámok nagyságát éppen abból a feltételből határozhatjuk meg, hogy olyan alakváltozást kell a törzstartóra kényszerítenünk, mint az eredeti tartóé. Mindig annyi alakváltozási feltétel fogalmazható meg, amennyi a határozatlanság foka. Az erőrendszer jellegének megfelelő, sztatikai egyensúlyi egyenletek és az alakváltozási feltételek egyenleteinek együttes száma így éppen megegyezik az összes ismeretlenek számával. Az egyenletrendszert megoldva megkapjuk a reakciókomponensek értékét. Egy határozatlan szerkezet törzstartójának kialakítására általában több lehetőség is adódik. A törzstartó jellegétől természetesen nem függ az eredeti tartó erőjátéka, a különbség csupán az alakváltozási feltételek megfogalmazásában van. Megemlítjük még, hogy az alakváltozások számításánál alkalmazott kis alakváltozások feltétele lehetővé teszi a szuperpozíció elvének felhasználását. Például a 8.14. ábrán látható, két végén csuklóval ellátott rudat, amely a terhelés jellegétől következően egyszeresen határozatlan, úgy alakít-hatjuk át sztatikailag határozottá, hogy az egyik csuklót eltávolítjuk és helyén működtetjük a benne keletkező, 8.14. ábra

egyelőre ismeretlen nagyságú kényszererőt.

288

A rúdtengely irányára felírt vetületi egyensúlyi egyenlet mellé azt az alakváltozási feltételt kell megfogalmaznunk, hogy a rúd teljes hossza az alakváltozás során ugyanaz marad (azaz a húzott rész megnyúlása és a nyomott rész összenyomódása egyenlő). A

törzstartó

kialakítására

általában több lehetőség is adódik. A 8.15/a.

ábrán

látható

egyszeresen

határozatlan tartó néhány törzstartóját az alatta lévő ábrák mutatják. Az első két esetben

a kényszereket szabadí-

tottuk fel. A b törzstartón azt az alakváltozási

feltételt

kell

meg-

fogalmazni, hogy az A pontban a rúd végkeresztmetszete nem fordulhat el (az F erő által okozott ϕA szögelfordulást

az

MA

nyomatéknak

kell

ellensúlyoznia). A c. törzstartó alakváltozási feltétele az, hogy a rúd B pontja függőleges irányban nem tolódhat el. A d. esetben

az

eredeti

tartót

csukló

beiktatásával tettük határozottabbá. A két egyensúlyi egyenlet mellé. harmadik egyenletnek azt az alakváltozási 8.15 ábra

feltételt kell megfogalmaznunk, hogy a csuklóba futó rúdvégek keresztmetsze-

teinek szögelfordulása azonos. A 8.16. ábrán látható tartó háromszorosan határozatlan. A törzstartó kialakításának egyik lehetősége az, hogy a B megfogást teljesen eltávolítjuk. Az alakváltozási feltételekben azt kell előírni, hogy a B pontban sem keresztmetszet-elfordulás, sem függőleges vagy vízszintes irányú eltolódás nem keletkezhet. A 8.17. ábrán látható, belsőleg háromszorosan határozatlan keretet úgy alakítjuk törzstartóvá, hogy a rúdszerkezet valamelyik keresztmetszetét átvágjuk. Ismeretlen dinámként a belső erő három összetevője fog szerepelni. Ezeket abból az alakváltozási feltételből határozhatjuk meg, hogy az átvágáshoz tartozó bal és jobb oldali rúdvégek keresztmetszetének elfordulása, valamint a keresztmetszet súlypontjának függőleges és vízszintes irányú eltolódása megegyezik.

289

8.16. ábra 8.2.1.1. Többtámaszú, egyenes tengelyű, sztatikailag határozatlan tartók Támasszunk alá egy egyenes rudat egy álló és n-1 mozgó csuklóval. A rudat terhelő erőkről tegyük fel, hogy azok hatásvonala a rúd hossztengelyére merőleges és egy q(z) teherfüggvénnyel adható meg (q(z) koncentrált erőt és nyomatékot is reprezentálhat) (8.18. ábra). A síkbeli párhuzamos erőrendszernek megfelelően két egyensúlyi egyenletet lehet felírni, a tartó így (külsőleg) n-2-szeresen határozatlan. n-2 támaszreakciót

csak

az

alakváltozások

figye-

lembevételével lehet meghatározni. Ha ezeket ismerjük, a tartó igénybevételi ábráit a szokásos módon rajzolhatjuk meg. 8.17. ábra A reakcióerők meghatározásához alkalmazzuk a törzstartóvá alakítás módszerét. Ehhez helyezzünk el a rúd támasz feletti keresztmetszeteiben egy-egy csuklót. Ily módon a támaszok feletti kereszt-metszetek hajlítógénybevételének megfelelő nyomatékot, az ún. támasz-nyomatékot szabadítottuk fel. Az eredeti tartón a támaszok feletti keresztmetszetek elfordulnak. Alakváltozási követelményként azt kell megfogalmaznunk, hogy a törzstartón a támaszhoz tartozó bal és jobb oldali rúdvégek szögelfordulásának meg kell egyeznie. A konkrét számításhoz válasszuk ki a tartó két egymás melletti támaszközét (8.19. ábra). A csuklóbeiktatás lehetővé teszi, hogy a két támaszköznek megfelelő tartórészt két, a két

290

8.18. ábra végén csuklósan alátámasztott résztartóra szedjük szét, melyek terhelése egyrészt az eredeti támaszközök felett lévő q(z) teher, másrészt a csuklóelhelyezés miatt felszabaduló, egyelőre ismeretlen nagyságú támasz-nyomatékok (8.19/b. ábra). Az alakváltozás meghatározására alkalmazzuk a Mohr-féle analógiát. Tegyük fel a kéttámaszú tartók helyettesítő tartójára, amelyek most önmaguk, a redukált nyomatéki ábrákat (8.19/c. ábra). A redukálásnál feltesszük, hogy egy támaszközön belül a rúd keresztmetszeti méretei és anyagi minősége nem változik, tehát Ei = áll. Ii = áll. A Mohr-analógia alapján a helyettesítő tartók Ai alátámasztásaiban ébredő Ai nyíróerői (reakcióerői) az eredeti tartó ϕAi keresztmetszetének szögelfordulását jelentik. A helyettesítő tartón a ϕAi nyíróerőt az Ai-1 és Ai+1 pontokra felírt nyomatéki egyensúlyi egyenletekből határozhatjuk meg:

∑M

A i -1

= 0=

Ti -1 d i -1 M i -1 L i -1 L i -1 M i L i -1 2 L i -1 + + - ϕ A i L i -1 , E i -1 I i -1 E i -1 I i -1 2 3 E i -1 I i -1 2 3

∑M

A i+1

= 0=

Ti M i L i 2L i M i +1 L i L i (L i - d i ) + + + ϕ Ai L i E iIi E iIi 2 3 E iIi 2 3

ahol Li - az i-edik támaszköz hossza, Ei - az i-edik támaszköz anyagának rugalmassági modulusza, Ii - az i-edik támaszköz rúdkeresztmetszetének másodrendű nyomatéka a hajlítás tengelyére, L i -1

Ti-1 =

∫M 0

Li

i-1

(z)dz,

Ti = ∫ M i (z)dz 0

- a kéttámaszúnak képzelt tartószakaszok külső

291

8.19. ábra terhelésből származó nyomatéki ábráinak területei, di - a nyomatéki ábraterület súlypontjának távolsága a bal oldali támasztól. Az alakváltozási feltétel értelmében a bal és jobb oldali tartón ϕAi-nek meg kell egyeznie. A fenti két egyenletből ϕAi-t kiküszöbölhetjük, majd rendezés után megkapjuk az ún. háromnyomatéki egyenletet:

M i -1

 L i -1 L i -1 Li  Li + 2M i  + =  + M i +1 E i -1 I i -1 EiIi  E i -1 I i -1 E i I i 

= -6Ti -1

d i -1 L − di - 6Ti i . E i -1 I i -1 L i -1 EiIiLi

8.25/a

292

Általában be szokták vezetni az L = Ti-1di-1 és az R = Ti(Li - di)

8.26

jelölést. Ezek nem mások, mint az i-edik támasztól balra, illetve jobbra lévő mezők külső terhelésből származó nyomatéki ábraterületeinek sztatikai nyomatéka az i-1-edik illetve az i+1-edik támaszfüggőlegesére. Abban a speciális, de gyakran előforduló esetben, mikor a rúd anyaga és keresztmetszete a tartó teljes hossza mentén változatlan, a háromnyomatéki egyenlet egyszerűsödik, és ebben a formájában első megfogalmazójáról Clapeyron-egyenletnek nevezzük:

M i -1 L i -1 + 2M i (L i -1 + L i ) + M i + 1 L i = -

6L 6R L i -1 L i

.

8.25

L és R értékei a leggyakoribb terhelési esetekben táblázatokban megtalálhatók. A szuperpozíció elvének felhasználásával összetett terhelésű tartók is számíthatók. Az n támaszú tartóra n-2 háromnyomatéki egyenlet írható fel. Ezekkel az összes támasznyomaték meghatározható, hiszen a két szélső támasz feletti nyomaték, mint nyomatéki igénybevétel sztatikai eszközökkel a szokásos módon számítható. A támasznyomatékok ismeretében a támaszokon ébredő reakcióerők az átmetszési elv alkalmazásával, azaz a tartó alkalmasan részekre bontott elemeinek egyensúlyi feltételeiből már egyszerűen meghatározhatók.

8.20. ábra A háromnyomatéki egyenletek olyan sztatikailag határozatlan tartók számítására is alkalmazhatók, melyek egyik vagy mindkét vége befogott. Ilyenkor a befogást a 8.20. ábrának megfelelően két, egymáshoz közel lévő támasztással helyettesítjük. Igy megnövekszik a felírható háromnyomatéki egyenletek száma, míg az ismeretlenek száma változatlan marad, hiszen a szélső támaszok felett nyomatékok nem ébrednek. A számítás során az Lo→ 0 határátmenetet kell képezni. 8.2.2. Castigliano II. és Menabrea tételén alapuló módszer Castigliano II. tétele szerint a belső erők kiegészítő potenciális energiájának valamely dinám szerinti parciális deriváltja egyenlő a dinám támadáspontjának dinám irányú elmozdulá

293

sával (erő esetén eltolódással, nyomaték esetén elfordulással) (2.119) összefüggés). Lineárisan rugalmas anyagnál a kiegészítő belső potenciális energia egyenlő a belső potenciális energiával, az pedig - csak kis alakváltozásokat megengedve - a külső erők saját munkájával ((2.123) összefüggés). Térbeli rúdszerkezet esetén, melynek lehetséges igénybevételei normál-, nyíróerő, hajlító- és csavarónyomaték, a külső erők saját munkáját az alapigénybevételeknél tárgyalt részmunkák összegeként számítjuk:

1 N 2 (z) 1 κT 2 ( z ) 1 M 12 ( z ) ~ S U b = U b = Wk = ∫ dz + ∫ dz + ∫ dz + 2 0 EA 2 0 GA 2 0 EI 1 L

L

L

L

L

1 M 2 (z) 1 M 2 (z) + ∫ 2 dz + ∫ 3 dz 2 0 EI 2 2 0 GI T

8.27/a

ahol a jelölések értelmezése megegyezik az 5. fejezetben alkalmazottakkal, illetve M3 - csavarónyomaték, IT - a keresztmetszet torziós másodrendű nyomatéka. Síkbeli rúdszerkezetnél csak az első három tag marad meg: L L L 1 N 2 (z) 1 κ T 2 (z) 1 M 12 (z) ~ S U b = U b = Wk = ∫ dz + ∫ dz + ∫ dz 2 0 EA 2 0 GA 2 0 EI 1

8.27/b

A műszaki számításokban sokszor elegendő a hajlításból származó belső potenciális energia figyelembevétele, mert e mellett a normál- és nyíróerőből származó potenciális energia általában elhanyagolható. A sztatikailag n-szeresen határozatlan szerkezet erőinek számításához határozzuk meg az eredeti tartó törzstartóját, és a sztatikai egyensúlyi egyenletek felhasználásával fejezzük ki a sztatikailag határozott reakciókat a külső erőkkel és a sztatikailag határozatlan, egyelőre ismeretlen reakciókkal. Ezek felhasználásával a kiegészítő belső potenciális energiát tehát a külső erők és a sztatikailag határozatlan reakciódinámok függvényeként írhatjuk fel:

~

Ub = Ub = WkS = U b(Fi, Yj) ,

8.28

ahol Fi - szimbolizálja az összes külső terhelést (megoszló és koncentrált erőket, nyomatékokat), Yj - a sztatikailag határozatlan reakciódinámok (j = 1,2,...,n). Mivel a kényszereknek éppen az a tulajdonságuk, hogy a kényszerdinám jellegének megfelelő mozgáskomponenst nem engednek meg (esetleg előírt elmozdulást biztosítanak), a (8.28) függvény sztatikailag határozatlan reakciódinámjai szerint vett differenciálhányadosainak nullával vagy az előírt értékkel kell egyenlőnek lennie (végeredményben tehát nulla esetén a Menabrea-tételt, előírt, nem nulla érték esetén Castigliano II. tételét alkalmazzuk):

294

~ δU b =0 δY j

vagy

~ δU b = uj , δY j

j = 1,2,..., n

8.29

Ha a (síkbeli) rúdszerkezet olyan elemekből áll, melynek rugalmassági modulusza és keresztmetszete legalább szakaszonként állandó, akkor (8.27/b) kifejezés nevezői, a rúd merevségi jellemzői, kiemelhetők az integráljel elé és (8.29), illetve a láncszabály alkalmazásával az alábbi, számítástechnikailag kedvező formát kapjuk:

~ ∂U b 1 = ∂Y j 2EA

L

∫ 0

∂N κ N dz + 2 GA ∂Y j

∂T 1 ∂M ∫0 T ∂ Y j dz + 2 EI ∫0 M ∂ Y j = 0 vagy = u j L

L

j = 1,2,...,n .

,

8.30

Íly módon éppen annyi egyenletet kapunk, amennyi az eredeti tartó sztatikai határozatlanságának foka és a sztatikailag határozatlan reakciódinámok ezekből az egyenletekből meghatározhatók. Ezek ismeretében a sztatikailag határozott reakciók az egyensúlyi egyenletekkel számíthatók.

295

Felhasznált és ajánlott irodalom

Budó Á. (1964): Mechanika. Tankönyvkiadó, Budapest. Cholnoky T.: Mechanika II. (Szilárdságtan). Tankönyvkiadó, Budapest, 1966.

M. Csizmadia, B.- Nándori E. szerk: Szilárdságtan. Nemzeti Tankönyvkiadó. Budapest. 1999. Heimeshof, B.: Spannungsberechnung für den gekrümmten Träger mit einfach-symmetrischem Querschnitt. Holz- als Roh- und Werkstoff 31/1973. S. 475-480. Huszár I.: Mechanika II. (Szilárdságtan). Kézirat, Gödöllő, 1979. Huszár I.: Mechanika IV. (Alkalmazott mechanika). Kézirat, Gödöllő, 1981. Kaliszky S. - Kurutzné, Kovács M. Mechanika (Elemi szilárdságtan), Kézirat, Tankönyvkiadó, Budapest, 1986. Kaliszky S. - Szilágyi Gy.: Mechanika (Általános szilárdságtan), Kézirat, Tankönyvkiadó, Budapest, 1986. Mistéth E.: Többcélú létesítmények gazdaságos méretezésének alapelvei a valószínűségelmélet alkalmazásával. Doktori értekezés. Budapest, 1977. H. Neuber: Technische Mechanik (Elastostatik und Festigskeitslehre). Springer-Verlag, Berlin, 1971. H. Parkus: Mechanik der festen Körper, Springer-Verlag, Wien, 1983. Pelikán J.: Szilárdságtan. Tankönyvkiadó, Budapest, 1972. Sz.D. Ponomarjov: Szilárdságtani számítások a gépészetben 7. Stabilitás. Gumielemek. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1966. Szabó I.: Höhere technische Mechanik. Springer-Verlag, Berlin/Göttingen/Heidelberg, 1960. H. Ziegler: Mechanik I. (Statik der starren und flüssigen Körper sowie Festigskeitslehre). Birkhäuser-Verlag, Basel und Stuttgart, 1962.