( ) ( ) Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky

Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Příklady výrazů: 2 + 3 výraz obsahuje pouze konstanty – číselný výraz 3x výraz obsahuje konstantu (3) a proměnnou (x) 2x – y výraz obsahuje konstantu (2) a proměnné (x, y) 2πr výraz obsahuje konstanty (2, π) a proměnnou (r) Rozdělení výrazů: • Racionální výrazy – neobsahují odmocninu • Iracionální výrazy – obsahují odmocninu Jiné dělení výrazů: •

x3 … Mnohočleny a + b, 3 5 + 2 − 7 ,

•

Lomené výrazy

Jednočleny

•

2x,

x 2 − 2 xy + y 8 − z 3 … 1 … x−4

1 a −b , , 2 x + 2 a − b3

Obor proměnné O – množina čísel, z níž můžeme dosadit do výrazu za proměnnou Definiční obor výrazu D – množina čísel z oboru proměnné, pro která má výraz smysl (je definován)

Cvičení 1. Určete obor proměnné O a definiční obor D výrazů: a) 3 x − 1, x ∈ Z

b)

Výraz

2+ x , x∈ N x −1

c)

O – obor proměnné

x −3

D – definiční obor

3x − 1

O = Z (množina všech celých čísel)

D=Z

2+ x x −1

O = N (množina všech přirozených čísel)

x ≠ 1 ⇒ D = N − {1}

O = R (množina všech reálných čísel)

x − 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3 ⇒ D = 3, + ∞ )

x −3

Vzorce používané při úpravách výrazů

(a ± b)

2

= a 2 ± 2 ab + b 2

a 2 − b 2 = ( a + b )( a − b )

1

(a ± b)

3

= a 3 ± 3a 2b + 3ab 2 ± b 3

a 3 ± b 3 = ( a ± b ) ( a 2 ∓ ab + b 2 )

Výukový materiál pro předmět Matematika reg. č. projektu CZ.1.07/1.1.10/01.0007.

Příklad 1. Zapište pomocí konstant, proměnných, operátorů: • • • • • • •

součet trojnásobku x a čísla 7 _______________________________ dvojnásobek součtu x a čísla 5 ______________________________ druhou mocninu rozdílu x, y ________________________________ rozdíl druhých mocnin x, y _________________________________ součin x, y zvětšený o jejich rozdíl ___________________________ 2. odmocninu ze součtu druhých mocnin x, y __________________ podíl součtu a rozdílu druhých mocnin x, y ____________________

Příklad 2. Zapište: •

Ve třídě je a dívek a chlapců je o 5 méně než dívek. Zapiš výrazem počet žáků:

•

Čtyři výrobky stojí celkem c Kč. Kolik Kč stojí 5 výrobků?

•

p = __________

x = __________

Vlak jede průměrnou rychlostí v kilometrů za hodinu. Jakou dráhu ujede za 20 minut? s = __________

•

Auto ujelo za 3 hodiny s km. Kolik kilometrů ujede auto stejnou rychlostí za 2 hodiny?

t = __________

Příklad 3. Určete hodnotu výrazu pro dané hodnoty proměnné x: Výraz

x = –2

x=0

x=1

x=

3

5x − x2 7 −6 − x 2

( 3x − 2 ) x 2x −1 4 − x − 3 2

2


Příklad 4. Určete definiční obor výrazů (zapište podmínky a určete D) a)

2− x 2x

b)

3 4x 2

c)

1 x −1

d)

x+2 ( x − 2 )( x − 3)

e)

2

4 x +1

f)

x−7

x2 + 3

h)

x−2 x−3

g)

Příklad 5. Zjednodušte: a) 12 x 2 y − 4 xy 2 − 17 x 2 y − (15 xy 2 − 8 x 2 y ) + 12 xy 2  =

{

}

b) 2a 5 − 2b5 − 3ab 4 − a 4b +  a 2b3 − 2a 3b 2 + ( a 5 − b 5 ) − ( 2ab 4 − 2a 4b )  − 2a 2b3 + 3a 3b 2 =

{ − {−4 x

}

c) 2a 2 − 2a + 3a 2 − 2a 4 + ( 2a 4 − 2a 2 + 7 a ) − 2a  + 3a 2 = d) 15 x 2

3

2

}

+ 5 x − 8 x 2 − ( 2 x 2 − x ) + 9 x 2  − 3 x − 1 =


Příklad 6. Zjednodušte: a) ( 5m 2 − 4am + 2a 2 ) + ( 3,5a 2 + 6am − 2m 2 ) = b) 3 ⋅ ( 2r 2 − 6r + 0, 2 ) − 2 ⋅ ( 0,5r 2 + 2r − 1,7 ) = 2

2

c) ( 5d − 2 ) + ( 4 + 2 d ) + ( 2 d − 3d 2 ) ⋅ 2 = 5 2 1    d)  t + r − 2  +  5 − r + 0, 7t  6 5 3   

Součin mnohočlenů Mnohočlen násobíme jednočlenem tak, že jednočlenem vynásobíme všechny členy mnohočlenu a vzniklé součiny sečteme.

3x( x + y ) + 5 y( x − y ) = 3x 2 + 3 xy + 5 xy − 5 y 2 = 3x 2 + 8 xy − 5 y 2 Mnohočlen násobíme mnohočlenem tak, že každý člen jednoho mnohočlenu vynásobíme všemi členy druhého mnohočlenu a vzniklé součiny sečteme.

(x

2

)

+ 3x + 1 ⋅ ( x − 1) = x 3 − x 2 + 3x 2 − 3x + x − 1 = x 3 + 2 x 2 − 2 x − 1

Příklad 7. Vypočítejte: a) 3a 4 − 4a ( 5a − 6a 2 ) + 5a ( 7a 2 − 2a 3 ) =

4

{

}

b) 4a 2b 2 + −2a  ab − 3ab ( a 2b − 3ab 2 )  − 5a 2b =


Příklad 8. Vypočítejte: a) ( x3 − x 2 y + xy 2 − y 3 ) ⋅ ( x + y ) = b) ( x − y ) ( x 2 + 2 xy + y 2 ) − ( x + y ) ( x 2 − 2 xy + y 2 ) − 2 x 2 y + 2 y 3 = c) ( x 2 + x + 1) ⋅ ( x 2 − x + 1) ⋅ ( x 2 − 1) = d) ( 5 xy − 3x 2 + 2 y 2 )( −4 y 2 + xy + 6 x 2 ) =

Příklad 9. Určete hodnotu výrazu: a) bc (11c − 7 b ) −  ( b − 2 c ) ⋅ ( b 2 − 5bc + c 2 ) + c 3  = b) ( p − 4q ) ⋅ ( 3 p 2 + 2 pq − 5q 2 ) − (12 pq 2 − 10 p 2 q − 2q 2 ) =

5

1 3 pro b = − , c = 2 2 3 pro p = 2, q = − 5


Dělení mnohočlenů Mnohočlen dělíme jednočlenem tak, že jednočlenem vydělíme všechny členy mnohočlenu a vzniklé podíly sečteme.

Cvičení 2. Dělte mnohočlen jednočlenem ( 3x + 6 xy + 3 y ) : 3 =

( 3x + 6 xy + 3 y ) : 3 = x + 2 xy + y Příklad 10. Dělte mnohočlen jednočlenem a) ( 5a 3 + 10a 2 + 25a ) : 5a =

b) (15a 3 x5 − 10a 4 x 4 − 25a 5 x3 ) : 5a 3 x3 =

Mnohočlen dělíme mnohočlenem takto: a) dělence i dělitele uspořádáme podle mocnin stejným způsobem (např. sestupně) b) 1. člen dělence vydělíme 1. členem dělitele – dostaneme částečný podíl c) získaným částečným podílem vynásobíme všechny členy dělitele d) takto získaný mnohočlen odečteme od dělence – vznikne nový dělenec e) kroky b), c), d) opakujeme, dokud není dělitel vyššího stupně než dělenec

Cvičení 3. Dělte mnohočlen mnohočlenem

(x

3

)

+ 2 x 2 − 6 : ( x + 3) = x 2 − x + 3 −

(

− x 3 + 3x 2

)

− x −6

(

3 2 x ≠ −3 x : x = x 1. částečný podíl x 2 ⋅ ( x + 3) = x3 + 3 x 2 tento výraz odečteme

od x3 + 2 x 2 − 6

2

− − x 2 − 3x

15 , x+3

nový dělenec: − x 2 − 6

)

− x 2 : x = − x 2. částečný podíl

3x − 6 − (3x + 9) − 15

− x ⋅ ( x + 3) = − x 2 − 3 x tento výraz odečteme od − x 2 − 6 nový dělenec: 3 x − 6 3 x : x = 3 3. částečný podíl 3 ⋅ ( x + 3 ) = 3 x + 9 tento výraz odečteme od 3 x − 6 zbytek po dělení: − 15

6


Příklad 11. Dělte mnohočlen mnohočlenem a) ( a 2 − 8a + 7 ) : ( a − 7 ) = b) ( 6a 3 + a 2 − 29a + 21) : ( 2a − 3) = c) ( m 4 − m3 n + m 2 n 2 − mn3 ) : ( m 2 + n 2 ) =

Úlohy 1. Dělte mnohočlen mnohočlenem a) b) c) d)

( x + 7 x + 12) : ( x + 4) = (17 x − 6x + 5x − 23x + 7 ) : ( 7 − 3x − 2x ) = ( a − 2a b − 4a b − 5a b − 23ab − 7b ) : ( 3ab ( 4x −10 x + 4x − 40) : ( x − 3) = 2

2

5

4

4

3

3

3 2

2

2 3

4

5

2

+ a 3 + b3 ) =

2

Rozklad mnohočlenu na součin Cvičení 4. Rozložte na součin a) 3ax + bx + 3ay + by b) 1 − 8a 3 a) použijeme tzv. postupné vytýkání 3ax + bx + 3ay + by = ( 3ax + bx ) + ( 3ay + by ) = x ( 3a + b ) + y ( 3a + b ) = ( 3a + b ) ⋅ ( x + y ) nebo 3ax + bx + 3ay + by = ( 3ax + 3ay ) + ( bx + by ) = 3a ( x + y ) + b ( x + y ) = ( x + y ) ⋅ ( 3a + b )

(

b) využijeme rozkladový vzorec a 3 − b 3 = (a − b ) a 2 + ab + b 2 3

(

1 − 8a 3 = 13 − (2a ) = (1 − 2a ) 1 + 2a + 4a 2

7

)

) Výukový materiál pro předmět Matematika reg. č. projektu CZ.1.07/1.1.10/01.0007.

Příklad 12: Rozložte na součin: a) a3 − b2 a = 2

e) ( x − y ) − x 2 y 2 =

b) rs 2 + r 2 s + r + s =

c) 4 x 4 + x 3 + 4 x 2 + x =

d) 2ab − bx + 4ay − 2 xy =

f) a 6 − 4a3b 2 + 4b 4 =

g) 27 − 8a 3 =

h) x8 − y 8 =

Úlohy 2. Rozložte na součin: a) 5 xy − 10 x 2 = b) r 2 − 2r + 1 − 16 s 2 =

c) 9 − 12 x + 4 x 2 = d) x 4 y 2 − 25 x 2 y 4 =

f) xy 2 − 9 xy 4 =

g) r 3 − 2r 2 − 2r + 4 =

h) 81a 2b 2 − 1 =

i) 9 x 2 + 6 x − 4a 2 + 1 =

j) m3 + 27 =

k) 49 x 4 − 4a 2 + 20a − 25 =

l) a 6b6 − c 2 =

m) 4 ( a + b ) − 9 ( a − b ) =

e) 1 − x 4 =

2

2

Racionální lomené výrazy Racionální lomené výrazy – zlomky, které neobsahují odmocniny Definiční obor lomených výrazů – množina čísel z oboru proměnné, pro která má výraz smysl, ve jmenovateli zlomku nesmí být 0.

Cvičení 5. Určete definiční obor výrazů x−4 x−4 a) b) ,x∈Z , x∈Z 2 3x

c)

x−4 x+2

a) O = Z, D = Z … výraz má smysl (je definován) pro všechna čísla z množiny Z b) O = Z, D = Z – {0}, výraz je definován pro všechna čísla z množiny Z s výjimkou 0, x ≠ 0 c) O = R, D = R – {–2}, výraz je definován pro všechna čísla z množiny R s výjimkou –2, x ≠ –2 8


Příklad 13. Určete definiční obor výrazů a)

5 4x

b)

x3 − 1 x −1

c)

x 4 − 16 4

d)

1 4a − 16 2

e)

1 x + 2 2x ⋅ ⋅ x +1 x − 3 5

f)

1 x − 2 2x + 6x x − 9 2

Cvičení 6. Proveďte, určete definiční obor výrazu

15 x + 4 y 3 y − 22 x − = 12 9

15 x + 4 y 3 y − 22 x 45 x + 12 y − 12 y + 88 x 133 x − = = 12 9 36 36

D=R

Příklad 14. Proveďte, určete definiční obor výrazu a)

9

x 2 x 3x + − = 3a 4a 8a

b)

a 3a 2ax + − 2 = a − x a + x a − x2

c)

4a 2 − 3a + 5 1 − 2a 6 − 2 + = 3 a −1 a + a +1 1− a


Násobení lomených výrazů Násobení lomených výrazů – násobíme čitatel čitatelem, jmenovatel jmenovatelem


x 2 − xy x 2 y + xy 2 ⋅ = x 2 + xy xy

Čitatel i jmenovatel rozložíme na součin a zkrátíme: x 2 − xy x 2 y + xy 2 x ( x − y ) xy ( x + y ) ⋅ = ⋅ = x− y x 2 + xy xy x ( x + y) xy Podmínky jsou: x ≠ 0, y ≠ 0, x ≠ − y

Příklad 15. Proveďte, určete definiční obor výrazu a)

xy 2 x − y2

 x y ⋅ −  = y x

 y y  x 2 + 2 xy + y 2 − = c)  ⋅ 2 y2  x− y x+ y

10

b)

2a 3 − 2b3 6a 2 − 6b 2 ⋅ = 3a + 3b a 2 − 2ab + b 2

d)

1  a  1  b  . 1 + . 1 + − = a −b  a +b  a +b  a −b 


Dělení lomených výrazů Dělení lomených výrazů – 1. zlomek násobíme převrácenou hodnotou 2. zlomku

Cvičení 8. Proveďte, určete definiční obor výrazu x :

x:

x2 y = x⋅ = y y x

x2 = y

Podmínky: x ≠ 0, y ≠ 0

Příklad 16. Proveďte, určete definiční obor výrazů a)

2 x 2 − 2 xy 4 x 2 − 4 y 2 : = ab 2 6a 2 b

3x 2   x   + 1 :  1 − = c)  2   x +1   1− x 

11

b)

1 1 : 2 = x − x x − x3 2

 y2  d) ( x3 − y 3 ) :  x + = x+ y 


Složené zlomky Složené zlomky – zlomek nad hlavní zlomkovou čarou násobíme převrácenou hodnotou zlomku pod hlavní zlomkovou čarou


1 4s 2s = 1⋅ = 2r 2r r 4s

1 = 2r 4s

Podmínky: r ≠ 0, s ≠ 0

Příklad 17. Proveďte, určete definiční obor výrazu

a x− y a) = a x+ y

12

y− b)

1 y

1 +1 y

a2 x2 = c) 1 a − x x2 1−

=

1 1 + d) 1 − x 1 + x = 1 1 − 1− x 1+ x


Příklad 18. Proveďte, určete definiční obor výrazů b b  a   a  a)  + + 1 :  − + 1 =  a +b a −b   a −b a +b 

3a 2 +1 2 a − 1 = b) a 1+ a −1

x y  x y   y + x − 1 ⋅  y + x + 1   = c)  4 4 x y  2 2  2 − 2  :( x − y ) y x  

 1 1  1 2  1 1  a − b + . +  : 3 3 = d)  2 + 2  . 2 3  2  a b  a + 2ab + b ( a + b )  a b   a b  x2 + y 2   1 1  x3 − y 3  + y  :  2 + 2  . 2 e)  = y  x + y2   x   x

13


Úlohy 3. Určete definiční obor výrazů a popřípadě proveďte: (a − b) ⋅ ( x + y ) 1 m+n 2x +1 1 a) 3 b) c) d) 2 − 2 a −a mn − n x − 2x x − 4 ax − ay − bx + by

g)

x 2 − y 2 3x + 3 y ⋅ 2 ( x + y ) 4x − 4 y

x 2 + xy  x y  j) 2 ⋅ −  2  x + y  x− y x+ y

x   3x   x −1 h)  − ⋅ x −  x +1   x − 2 x −1   u − v   v. ( u − v )   k)  v +   : 1 − 1 + uv   1 + uv  

a  4a  a m) 6a +  − : 4 3  a − 2 a + 2  a − 2a + 8a − 16

f)

7 3 12 − − 2 2x − 4 x + 2 x − 4

 a2   a2  + 1 i)  2  ⋅ 1 − 2  2 b −a   b   a2   1 + a2  l) 1 + . 2   2   1− a   1− a 

  a+b a −b 2b 2   4b  − + 2 2 : n)  2 2  2a − 2b 2a + 2b a − b   ( a − b ) ( a + b ) 

a +b a −b 1 + b2 − 2− b = o) a − b 2 a +2 b ⋅ 1 2 a +b − +1 1− 2 2 b2 b a −b

14

−1


( ) ( ) Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky

Recommend Documents