4.2.13
Slovní úlohy o společné práci I
Předpoklady: 040212 Př. 1: • • • Př. 2:
Sepiš postup na řešení příkladů o společné práci. Ze zadání si určíme jakou část práce vykonali účastníci za jednotku času. Vyjádříme si jakou část celkové práce vykonali účastníci během plnění úkolu. Součet těchto částí musí dát dohromady celou práci (1 na pravé straně rovnice). Ke splnění urgentní zakázky jsou k dispozici dvě linky. Na původní lince je možné vyrobit požadované zboží za 15 hodin, na modernější ještě nespuštěné lince by mělo být zboží hotovo za 10 hodin. Původní linka může být spuštěna ihned. Novou linku je třeba ještě 4 hodiny připravovat. Za jak dlouho může být zakázka připravena k expedici?
Původní linka za 1 h ... Nová linka za 1 h
...
1 1 zakázky ⇒ za dobu plnění úkolu x ⋅ . 15 15 1 1 zakázky ⇒ za dobu plnění úkolu ( x − 4 ) ⋅ (spuštěna po 10 10
4 hodinách). 1 1 + ( x − 4 ) ⋅ = 1 / ⋅30 15 10 2 x + 3 ( x − 4 ) = 30 2 x + 3 x − 12 = 30 / +12 5 x = 42 / : 5 x = 8, 4 h = 8 h 24 min x⋅
Zakázka bude dokončena za 8 hodin a 24 minut.
Př. 3:
Jaký je význam částí rovnice, které jsou vyznačený červenou barvou? x x−4 x x−4 x x−4 a) + =1 b) + =1 c) + =1 15 10 15 10 15 10
x x−4 + =1 15 10 Červeně jsou vyznačeny doby, po které linky skutečně pracovaly. a)
x x−4 + =1 15 10 Červeně jsou vyznačeny doby, za které by linky udělaly celou práci. b)
x x−4 + =1 15 10 Červeně jsou vyznačeny části celého úkolu. c)
1
Pedagogická poznámka: V hodině používám, kromě zde sepsaných rovnic i chyby, které najdu při řešení předchozího příkladu v lavicích. Př. 4:
a)
Které z následujících rovnic jsou správným řešením předchozího příkladu? Které jsou naopak sestaveny špatně? Proč? Jaký je v každé rovnici přesný význam proměnné x? 4 x x x−4 x x x a) b) + + =1 c) + =1 + − 4 =1 15 15 10 15 10 15 10 1 1 x+4 x 1 1 11 d) + + x =1 e) + =1 f) x + = 15 10 15 10 15 10 15
x x + − 4 =1 15 10
x má význam části celého úkolu ⇒ není možné od něj 10 odečítat číslo 4, které představuje čas o který byla nová linka spuštěna později (navíc je zřejmé, že pro hodnoty proměnné x menší než 15 by celá levá strana rovnice vyšla záporně). Proměnná x zřejmě představuje dobu, po kterou pracovala původní linka (vystupuje samostatně ve zlomku, který představuje část práce vykonanou původní linkou). Určitě špatná rovnice. Zlomek
4 x x + + =1 15 15 10 Správná rovnice. Vlevo vystupují tři části práce: 4 • : část práce vykonaná původní linkou v době, kdy se moderní linka ještě 15 připravovala, x • : část práce vykonaná původní linkou v době, kdy pracovaly obě linky, 15 x • : část práce vykonaná moderní linkou v době, kdy pracovaly obě linky, 10 jejichž součet představuje celou zakázku. Neznámá x představuje dobu, po kterou pracovaly obě linky najednou. b)
x−4 x + =1 15 10 Špatná rovnice. Číslo ( x − 4 ) představuje dobu, po kterou pracovala původní linka, tato doba c)
má být delší než doba, po kterou pracovala moderní linka (správně mělo být ( x + 4 ) ). Neznámá x představuje dobu, po kterou pracovala moderní linka.
1 1 + + x =1 15 10 Špatná rovnice. Pokud neznámá x představuje dobu, po kterou pracovala některá z linek, nemůžeme ji sčítat s částmi práce, které vykonají linky za 1 hodinu. d)
2
Co představuje neznámá x se nedá ze zapsané rovnice přesně odhadnout (z logiky rovnice by neznámá x představovala část práce, kterou je nutné vykonat po jedné hodině běhu obou linek, ale tento údaj nijak nenapomáhá řešení určení doby požadované v zadání.. x+4 x + =1 15 10 Správná rovnice. Vlevo vystupují tři části práce: x+4 • : část práce vykonaná původní linkou za celou dobu jejího provozu, 15 x • : část práce vykonaná moderní linkou za celou dobu jejího provozu, 10 jejichž součet představuje celou zakázku. Doba běhu původní linky byla o 4 hodiny delší než doba běhu moderní linky. Neznámá x představuje dobu, po kterou pracovala moderní linka. e)
1 1 11 f) x + = 15 10 15 Správná rovnice. Pravá strana představuje část práce, kterou bylo nutné vykonat v okamžiku, 4 kdy byla spuštěna moderní linka ( 1 − ). 15 Na levé straně násobíme část úkolu, kterou vykonají obě linky společně za 1 hodinu, časem, po který jsou spuštěny obě linky. Neznámá x představuje dobu, po kterou pracovaly obě linky.
Př. 5:
Sestav rovnice, pro řešení následujících příkladů. Rovnice neřeš. a) Učitel začátečník zkontroluje 350 položek inventárního seznamu za 8 hodin čistého času, jeho zkušenější kolega stihne kontrolu za 5 hodin. Jak dlouhou bude začátečník kontrolovat, jestliže mu jeho zkušenější kolega přijde pomoci po dvou hodinách a zbytek práce pak dokončí společně? b) Produkci jogurtů zajišťují tři stejné linky, každá z nich vyrobí kamión jogurtů za dvě hodiny. Za jak dlouho vyrobí kamión produktů všechny tři linky dohromady, jestliže druhá se rozběhne deset minut po první a třetí pracuje jen polovinu doby, po kterou je spuštěna první linka? c) Produkci jogurtů zajišťují tři linky, dohromady vyrobily kamión jogurtů za dvě hodiny. Za jak dlouho by vyrobila kamión produktů každá zvlášť, jestliže výkon druhé je o deset procent a výkon třetí dokonce o polovinu větší než první? d) Adam by jednu stranu čtvercového výkopu vykopal za tři hodiny, Bedřich za čtyři. Za jak dlouho společně vykopají celý výkop, jestliže Adam přijde do práce o půl hodiny později? e) Učitel začátečník proškrtá dvě stě stran vyplněné třídnice za 5 hodin, učitel s praxí za dobu o dvě hodiny kratší. Jak dlouho budou vyškrtávat společně 8 třídnic, jestliže začátečník začne o půl hodiny dříve?
a) Učitel začátečník zkontroluje 350 položek inventárního seznamu za 8 hodin čistého času, jeho zkušenější kolega stihne kontrolu za 5 hodin. Jak dlouhou bude začátečník kontrolovat, jestliže mu jeho zkušenější kolega přijde pomoci po dvou hodinách a zbytek práce pak dokončí společně?
3
1 (počet hodin ⋅ část práce za 1 hodinu) 8 1 Práce vykonaná kolegou ... ( x − 2 ) ⋅ (počet hodin ⋅ část práce za 1 hodinu) 5 Číslo 350 nehraje v řešení příkladu roli (zajímá nás kontrola celého seznamu, ne jednotlivých položek) 1 1 x + ( x − 2) = 1 8 5 b) Produkci jogurtů zajišťují tři stejné linky, každá z nich vyrobí kamión jogurtů za dvě hodiny. Za jak dlouho vyrobí kamión produktů všechny tři linky dohromady, jestliže druhá se rozběhne deset minut po první a třetí pracuje jen polovinu doby, po kterou je spuštěna první linka? 1 Každá ze tří linek vyrobí za 1 hodinu kamiónů jogurtů. První linka pracuje x hodin, druhá 2 10 1 x linka o deset minut méně x − = x − , třetí jen polovinu doby ) 60 6 2 1 11 x 1 x + x − + ⋅ =1 2 62 2 2 c) Produkci jogurtů zajišťují tři linky, dohromady vyrobily kamión jogurtů za dvě hodiny. Za jak dlouho by vyrobila kamión produktů každá zvlášť, jestliže výkon druhé je o deset procent a výkon třetí dokonce o polovinu větší než první? 1 1 První linka vyrobí jogurty za x hodin ⇒ za 1 hodinu ⇒ za 2 hodiny 2 ⋅ kamiónu. x x 1,1 Druhá linka výkon o 10 % vyšší ⇒ 1,1 výkonu první linky ⇒ za 2 hodiny 2 ⋅ kamiónu. x 3 3 1 Třetí linka výkon o polovinu vyšší ⇒ výkonu první linky ⇒ za 2 hodiny ⋅ 2 ⋅ 2 2 x kamiónu. 1 1 3 1 Celkem všechny tři linky naplní jeden kamión 2 ⋅ + 2 ⋅1,1 ⋅ + 2 ⋅ ⋅ = 1 . x x 2 x d) Adam by jednu stranu čtvercového výkopu vykopal za tři hodiny, Bedřich za čtyři. Za jak dlouho společně vykopají celý výkop, jestliže Adam přijde do práce o půl hodiny později? 1 1 Práce vykonaná Adamem ... x − ⋅ (počet hodin ⋅ část práce za 1 hodinu) 2 3 1 Práce vykonaná Bedřichem ... x ⋅ (počet hodin ⋅ část práce za 1 hodinu) 4 Na pravé straně je 4, protože musí vykopat čtyři strany výkopu. 11 1 x− + x⋅ = 4 23 4 e) Učitel začátečník proškrtá dvě stě stran vyplněné třídnice za 5 hodin, učitel s praxí za dobu o dvě hodiny kratší. Jak dlouho budou vyškrtávat společně 8 třídnic, jestliže začátečník začne o půl hodiny dříve? 1 1 Práce vykonaná začátečníkem ... x + ⋅ (počet hodin ⋅ část práce za 1 2 5 hodinu) Práce vykonaná začátečníkem
...
x⋅
4
Práce vykonaná kolegou
...
x⋅
1 (počet hodin ⋅ část práce za 1 hodinu, stíhá 3
proškrtat jednu třídnici za 3 hodiny) 11 1 x+ + x⋅ = 8 25 3
Př. 6:
V čem bod e) posledního příkladu špatně zachycuje skutečnost?
Jednu třídnici může najednou proškrtávat pouze jeden člověk ⇒ na proškrtávání poslední třídnice nebudou učitelé moci spolupracovat ⇒ výpočet by byl správný pouze za předpokladu, že oba dokončí proškrtávání své poslední třídnice společně.
Př. 7:
Vymysli k následujícím rovnicím slovní zadání na společné dosahování cíle. 1 1 1 1 a) 1 = 4 ⋅ + b) x ⋅ + x ⋅ = 1 3 4 x 6 1 1 1 1 1 c) 1 = + 2 ⋅ + d) ( x + 3) ⋅ + x ⋅ = 1 12 15 4 x 6 1 1 1 1 e) 1 = ⋅ + ⋅ 2 3 2 x
1 1 a) 1 = 4 ⋅ + x 6 Petr poseká louku sám za 6 hodin. Za jak dlouho by louku posekal sám Jarda, když ji společně s Petrem posekal za 4 hodin. 1 1 b) x ⋅ + x ⋅ = 1 3 4 Otesán vypije rybník za tři hodiny, Otesánek za čtyři. Za jak dlouho vypijí rybník společně? 1 1 1 c) 1 = + 2 ⋅ + 4 x 6 Pepa vystřílí všechny padouchy v levelu za 6 minut. Za jak dlouho by všechny padouchy vystřílel Radek, spolu s Pepou vystříleli tři čtvrtiny padouchů ve dvou minutách? 1 1 d) ( x + 3) ⋅ + x ⋅ = 1 12 15 Ivan s Johnem chytají lelky. Ivan by všechny pochytal za 12 hodin, John za 15. Ivan začne chytat a John mu po třech hodinách začne pomáhat. Za jak dlouho od tohoto okamžiku budou s chytáním hotoví? 1 1 1 1 e) 1 = ⋅ + ⋅ 2 3 2 x Záleží na pojetí. Bára s Cilkou tlučou špačky. Každá z nich by samostatně stihla všechny potlouct za dvě hodiny. Jak dlouho musí Cilka tlouct, když ji Bára pomáhala pouze dvacet minut? Bára s Cilkou tlučou špačky. Společně je potloukly za půl hodiny. Za jak dlouho by je potloukla samotná Cilka, když Bára je samostatně potluče za tři hodiny?
Shrnutí: Sčítat, odčítat a porovnávat můžeme v rovnicích jen čísla se stejným významem.
5
