ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M2B
ČÁST 7
Příklad 1 Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami = 1, = 3, = 1, = 2 jestliže její hustota je dána funkcí 1
, = + 2 + 1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami = 0, = 1, = 1, = 2 k ose jestliže jeho hustota je dána funkcí
, = c) Vypočtěte moment setrvačnosti čtverce ohraničeného přímkami = 0, = 1, = 1, = 2, který rotuje kolem osy jestliže jeho hustota je dána funkcí
, = d) Vypočtěte souřadnice těžiště homogenní oblasti , která je ohraničena kružnicí − 1 + = 1, jestliže její hustota je dána funkcí (oblast je homogenní, hustota je tedy konstantní)
, = 1 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
a)
Řešení 1a Máme vypočítat hmotnost oblasti ohraničené přímkami = 1, = 3, = 1, = 2 jestliže její hustota je dána funkcí 1
, = + 2 + 1 Situace je jasná. Zahájíme tedy výpočet.
1 1 = = = + 2 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1
Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = + 2 + 1, = 2 Odtud 1 1 1 + 2 + 1 ≈ = ∙ =− ≈− 2 2 −1 2 2 + 2 + 1 Vrátíme se k výpočtu hmotnosti
1 1 1 # − "− # = − ! = "− 2 + 2 + 1 2 + 2 ∙ 2 + 1 2 + 2 ∙ 1 + 1
1 1 1 = − + 2 +5 +3
V tuto chvíli již jde při hledání primitivních funkcí o prosté integrování podle vzorce. Výpočet již snadno dokončíme. 1 1 = %− ln| + 5| + ln| + 3|) = %− ln|3 + 5| + ln|3 + 3| − −ln|1 + 5| + ln|1 + 3|) 2 2 1 1 1 6∙6 = %− ln 8 + ln 6 − − ln 6 + ln 4) = %− ln 8 + ln 6 + ln 6 − ln 4) = ln 2 2 2 8∙4 1 3∙3 1 9 = ln = ln 2 4∙2 2 8 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ∀∃
1
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M2B
ČÁST 7
Řešení 1b Máme vypočítat statický moment čtverce ohraničeného přímkami = 0, = 1, = 1, = 2 k ose jestliže jeho hustota je dána funkcí
, = Situace je jasná, můžeme ihned zahájit výpočet.
. = , =
/
= /
Integrace v tuto chvíli není problematická, protože proměnnou je x, s y zacházíme jako s konstantou. Snadno tedy podle vzorce dostáváme
1 11 01 1 0 1 . = 0 2 = − = − = = %ln| + 1|) +1 / +1 +1 +1 +1 +1
3 = ln|2 + 1| − ln|1 + 1| = ln 3 − ln 2 = ln 2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 1c Máme vypočítat moment setrvačnosti čtverce ohraničeného přímkami = 0, = 1, = 1, = 2, který rotuje kolem osy jestliže jeho hustota je dána funkcí
, = Situace je jasná, můžeme ihned zahájit výpočet.
3 = , =
/
= /
Integrace v tuto chvíli není problematická, protože proměnnou je x, s y zacházíme jako s konstantou. Snadno tedy podle vzorce dostáváme
1 11 01 1 0 1 . = 0 2 = − = − = = %ln| + 1|) +1 / +1 +1 +1 +1 +1
3 = ln|2 + 1| − ln|1 + 1| = ln 3 − ln 2 = ln 2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 1d Máme vypočítat souřadnice těžiště homogenní oblasti , která je ohraničena kružnicí − 1 + = 1, jestliže její hustota je dána funkcí (oblast je homogenní, hustota je tedy konstantní)
, = 1 Na začátku výpočtu je třeba si uvědomit, že pro výpočet těžiště potřebujeme nejprve zjistit hmotnost a statické momenty k osám a . Tyto hodnoty si tedy vypočteme nejprve samostatně a pak je dosadíme do vzorců pro těžiště. Protože počítáme s kruhem, je zřejmé, že bude výhodné převést úlohu do polárních souřadnic. Položíme = = = 4 cos 8 , = sin 8 , :4, 8 = 4, 8 ∈ 〈− , 〉 , 4 ∈ 〈0, 2 cos 8〉 2 2 Nejprve vypočteme hmotnost.
∀∃
2
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M2B
ČÁST 7
D @AB C
= , ? = 1 ? =
D
= D
D
/
D
D
@AB C
4 4 48 = 0 2 2 /
4 cos 8 8 = 2 cos 8 8 2
D
D
8 = D
2 cos 8 8 2
D
Potřebnou primitivní funkci jsme již nalezli v M1a, část 9. Můžeme ale předložit i jinou variantu jejího nalezení. 1 2 cos 8 8 = cos 8 + sin 8 + cos 8 − sin 8 8 = 1 + cos 28 8 = 8 + sin 28 2 = 8 + sin 8 cos 8 Můžeme se vrátit k výpočtu hmotnosti. D = = = = = = = %8 + sin 8 cos 8) D = E + sin cos F − E− + sin E− F cos E− FF 2 2 2 2 2 2 = = = = = = = E + 1 ∙ 0F − E− + −1 ∙ 0F = E + 0F − E− + 0F + = = 2 2 2 2 2 2 Nyní budeme počítat statický moment vůči ose .
D @AB C
.G = , ? = ? =
D
@AB C
4 = 0 2 3 / D
=
D
D
/
D @AB C
4 sin 8 4 48 = D
sin 8 8 = D
8 cos 8 sin 8 8 3
D
/
4 sin 8 48 D
2 cos 8 8 cos 8 sin 8 8 = sin 8 8 3 3 D
D
V tuto chvíli volíme pro nalezení primitivní funkce substituci = cos 8 , = − sin 8 8 Odtud H 1 1 cos 8 sin 8 8 ≈ = − = − H ≈ − cos H 8 −1 4 4 4 Vrátíme se k výpočtu statického momentu. D
1 1 = 1 = 1 1 .G = − cos H 8! D = "− cos H # − "− cos H E− F# = "− ∙ 0H # − "− ∙ 0H # 4 4 4 2 4 4 2
1 1 = "− ∙ 0# − "− ∙ 0# = 0 − 0 = 0 4 4 Nakonec budeme počítat statický moment vůči ose .
D @AB C
. = , ? = ? =
∀∃
D
/
D @AB C
4 cos 8 4 48 = D
/
4 cos 8 48
3
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M2B D
ČÁST 7
@AB C
4 . = 0 2 3 / D
=
D
cos 8 8 = D
D
D
2 cos 8 8 cos 8 cos 8 8 = cos 8 8 3 3 D
D
8 8 cos 8 cos 8 8 = cos H 8 8 3 3 D
Poslední výraz upravíme s využitím známých vzorců
D
1 1 cosH 8 = cos 8 = I 2 cos 8J = I cos 8 + sin 8 + cos 8 − sin 8J 2 2
1 1 = I 1 + cos 28J = 1 + cos 28 2 4 Vrátíme se zpět k výpočtu statického momentu. . =
D
D
D
D
D
D
8 1 2 2 1 + cos 28 8 = 1 + cos 28 8 = 1 + 2 cos 28 + cos 28 8 3 4 3 3
Opět si přichystáme úpravy pro poslední člen. 1 1 1 cos 28 = ∙ 2 cos 28 = 2 cos 28 = cos 28 + sin 28 + cos 28 − sin 28 2 2 2 1 1 1 = 1 + cos 48 = + cos 48 2 2 2 Vrátíme se zpět k výpočtu statického momentu. . =
D
D
D
D
2 2 1 1 1 + 2 cos 28 + cos 28 8 = 1 + 2 cos 28 + + cos 48 8 3 3 2 2 D
D
2 3 1 2 3 1 8 + sin 28 + sin 48! D = + 2 cos 28 + cos 48 8 = 3 2 2 3 2 8 D
2 3 = = 1 = 3 = = 1 = " ∙ + sin 2 ∙ + sin 4 ∙ # − " ∙ E− F + sin 2 ∙ E− F + sin 4 ∙ E− F#! 3 2 2 2 8 2 2 2 2 8 2 2 3 1 3 1 = " = + sin = + sin 2=# − "− = + sin−= + sin−2=#! 3 4 8 4 8 2 3 1 3 1 2 3 3 2 6 = " = + 0 + ∙ 0# − "− = + 0 + ∙ 0#! = = + =! = ∙ = = = 3 4 8 4 8 3 4 4 3 4 Nyní již snadno získáme souřadnice těžiště . = .G 0 K = = = 1, K = = = 0 = = Poznámka Naše oblast je homogenní kruh o poloměru 1 posunutý o jednotku ve směru osy , je tedy zřejmé, že těžiště musí být nutně ve středu tohoto kruhu, tedy v bodu 1, 0. To je to, co jsme právě relativně pracně spočítali. Běžné situace ze života ale nebývají tak zřejmé. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… =
∀∃
4
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M2B
ČÁST 7
Příklad 2 Vypočtěte souřadnice těžiště homogenní křivky (jedná se o část cykloidy), jejíž parametrizace je L = − sin , 1 cos , ∈ 〈0, =〉 b) Vypočtěte hmotnost části elipsy zadané níže, jestliže její hustota je v každém bodě , 1, M 0, M0 9 4 c) Najděte souřadnice těžiště homogenního oblouku cykloidy s parametrizací L NO sin , a 1 cos Q, ∈ 〈0, 2=〉, OR0 d) Drát má tvar kružnice y O Vypočítejte jeho moment setrvačnosti vzhledem k jeho průměru, je-li jeho hustota , || | |. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… a)
Řešení 2a Máme vypočítat souřadnice těžiště homogenní křivky T (jedná se o část cykloidy), jejíž parametrizace je L = − sin , 1 cos , ∈ 〈0, =〉 Zadanou křivku si znázorníme na obrázku.
Jedná se o homogenní křivku, budeme tedy předpokládat, že má v každém bodě hustotu rovnou 1. Souřadnice těžiště jsou v případě homogenní křivky (plochy i tělesa) na této konstantě nezávislé. Nejprve si vypočteme derivaci zadané parametrizace. Dostaneme L U 1 cos , sin Pro výpočet těžiště potřebujeme znát hmotnost a statické momenty. Nejprve si vypočteme hmotnost zadané křivky.
D
D
? W W sin U 1 cos U V
/
U D
U
D
X1 cos sin X1 2 cos cos sin /
Výraz pod odmocninou postupně upravíme ∀∃
/
/
5
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M2B
ČÁST 7
D
D
D
= √1 2 cos 1 √2 2 cos X21 cos /
/
D
/
D
Z2 "cos sin cos sin # Z2 "sin sin # 2 2 2 2 2 2 / D
D
/
D
D Z2 "2 sin # Z4 sin 2 sin 4 cos ! 2 2 2 2/ /
/
/
= 0 4 cos 4 cos 4 ∙ 0 4 ∙ 1 0 4 = 4 2 2 Nyní se budeme věnovat výpočtu statických momentů. Nejprve vypočítáme první z nich. D
D
.G = ? = W U + U = 1 cos W sin U 1 cos U V
/
/
Po stejných úpravách pod odmocninou jako v případě hmotnosti dostáváme a dále upravujeme D
D
D
1 cos .G 1 cos 2 sin 4 sin 4 sin sin 2 2 2 2 2 /
/
D
/
4 "1 cos # sin 2 2 /
Pro nalezení primitivní funkce volíme substituci 1 [ cos , [ sin 2 2 2 Odtud [ 2 "1 cos # sin ≈ 1 [ [ 2 1 [ [ 2 I[ J 2 2 3 cos 2 ≈ 2 \cos ] 2 3
Vrátíme se k výpočtu statického momentu a postupnými úpravami ho dokončíme. D = 0 cos 2 = cos 2 0 cos 2 .G 8 ^cos ] \cos ]_ _ 8 ^\cos 2 3 2 3 2 3 /
0 1 0 1 2 16 J I1 J2 8 "0 # "1 #! 8 0 ! 3 3 3 3 3 3 Nyní vypočítáme druhý statický moment. 8 0I0
. ? V
D
W U
/
U
D
sin W sin U 1 cos U
/
Po stejných úpravách pod odmocninou jako v případě hmotnosti a statického momentu .G dostáváme a dále upravujeme. D
D
D
. sin 2 sin 2 sin sin 2 sin sin sin 2 2 2 2 /
/
Poslední případ rozdělíme na dva integrály.
∀∃
/
6
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M2B
ČÁST 7
D
D
D
D
. = 2 \ sin sin sin ] 2 \ sin 2 sin ∙ cos ∙ sin ] 2 2 2 2 2 2 /
/ D
/
D
2 \ sin 2 sin ∙ cos ] 2 2 2 /
/
/
Pro nalezení primitivní funkce v prvním z těchto integrálů volíme per partes [ , ` U sin , [U 1, ` 2 cos 2 2 Odtud sin 2 cos 1 "2 cos # 2 cos 2 cos 2 cos 4 sin 2 2 2 2 2 2 2 Pro nalezení primitivní funkce v druhém z těchto integrálů volíme substituci 1 [ sin , [ cos 2 2 2 Odtud [ 4 4 2 sin ∙ cos ≈ 2[ 2 [ 4[ [ = 4 = [ ≈ sin 3 2 2 3 3 2 Vrátíme se k výpočtu statického momentu a postupnými úpravami ho dokončíme. D 4 D . 2 I 2 cos 4 sin ! sin ! J 2/ 2 2/ 3 = = 0 0 4 = 4 0 2 0IE2 cos 4 sin F "2 cos 4 sin #J I" sin # " sin #J2 2 2 2 2 3 2 3 2 4 4 2 0N2 ∙ 0 4 ∙ 1 2 ∙ 0 4 ∙ 0Q I" ∙ 1 # " ∙ 0 #J2 3 3 4 4 4 2 0N0 4 − 0 0Q I" ∙ 1# " ∙ 0#J2 2 4 − 0 " − 0#! 3 3 3 16 4 2 4− != 3 3 Nakonec zbývá jen vyjádřit souřadnice těžiště. Dostáváme 16 16 . 16 4 .G 16 4 3 = , a 3 = a 12 3 12 3 4 4 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 2b Máme vypočítat hmotnost části elipsy zadané níže, je-li její hustota v každém bodě , = + = 1, ≥ 0, ≥0 9 4 Zadanou křivku budeme nejprve parametrizovat. Položíme 36 − 4 L = \ , Z ], 9
Vypočteme derivaci této parametrizace
1 36 − 4 L U = b1, I J 2 9 ∀∃
∈ 〈0, 3〉
8 4 36 − 4 "− #c = \1, − I J ] 9 9 9 7
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M2B
ČÁST 7
Zadanou křivku si znázorníme na obrázku.
Nyní můžeme počítat hmotnost zadané křivky.
? , W U + U = Z V
/
36 − 4
/
9
d U + \Z36 − 9
4
U
]
36 − 4 4 36 − 4 d1 + \− I = Z J ] 9 9 9 /
4 4 E− − 36 − 4 36 − 4 9 F 9 i = Z d1 + e1 + g = Z 36 − 4 9 9 W36 − 4 / / 9 f h 9
4 E− 9 F 36 − 4 36 − 4 4 Z = e = + "− # b1 + c 36 − 4 9 9 9 / / 9
324 − 36 16 18 − 20 2 + = Z = X9 − 5 = Z 81 81 81 9 /
/
2 2 1 X9 − 5 − 9 − 9 9 15 /
5 ! /
/
2 1 1 = "− 9 − 5 ∙ 3 # − "− 9 − 5 ∙ 0 #! 9 15 15 2 1 1 = "− 9 − 5 ∙ 9 # − "− 9 − 5 ∙ 0 #! 9 15 15
∀∃
8
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M2B
ČÁST 7
1 1 1 2 1 2 "− 81 − 45 # − "− 81 − 0 #! = "− 36 # − "− 81 #! 15 15 15 9 15 9 2 1 1 2 2 ∙ 3 −6 + 9 = −2 + 3 = "− 6 # − "− 9 #! = 9 15 15 9 ∙ 15 9∙3∙5 38 2 2 = −8 + 27 = ∙ 19 = 5 5 5 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
=
Řešení 2c Máme naleznout souřadnice těžiště homogenního oblouku cykloidy s parametrizací L = NO − sin , O 1 cos Q, ∈ 〈0, 2=〉, OR0 Zadanou křivku (pro O 1) si znázorníme na obrázku.
Jedná se o homogenní křivku, budeme tedy předpokládat, že má v každém bodě hustotu rovnou 1. Souřadnice těžiště jsou v případě homogenní křivky (plochy i tělesa) na této konstantě nezávislé. Nejprve si vypočteme derivaci zadané parametrizace. Dostaneme L U O1 cos , O sin Pro výpočet těžiště potřebujeme znát hmotnost a statické momenty. Nejprve si vypočteme hmotnost zadané křivky.
D
? V
/
W U D
U
D
/
D
WNO1 cos Q O sin OX1 2 cos cos sin /
/
Výraz pod odmocninou postupně upravíme D
U U WNO sin Q NO 1 cos Q
D
D
/
/
O√1 2 cos 1 O √2 2 cos O X21 cos /
D
D
O Z2 "cos sin cos sin # O Z2 "sin sin # 2 2 2 2 2 2 / D
D
D
/
/
/
/
D O Z2 "2 sin # O Z4 sin O 2 sin O 4 cos ! 2 2 2 2/
∀∃
9
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M2B
ČÁST 7
0 2= 4 cos # O4 ∙ 1 4 ∙ 1 O4 4 8O 2 2 Nyní se budeme věnovat výpočtu statických momentů. Nejprve vypočítáme první z nich.
Dosadíme a upravíme.
= O "−4 cos
D
.G ? W U U V
/
D
U
U
O1 cos WNO sin Q NO 1 cos Q /
Po stejných úpravách pod odmocninou jako v případě hmotnosti dostáváme a dále upravujeme D
D
D
/
/
1 cos .G O1 cos O2 sin 4O sin 4O sin sin 2 2 2 2 2 /
D
4O "1 cos # sin 2 2 /
Pro nalezení primitivní funkce volíme substituci 1 [ cos , [ sin 2 2 2 Odtud [ "1 cos # sin ≈ 1 [ 2 [ 2 1 [ [ 2 I[ J 2 3 2 cos 2 ≈ 2 \cos ] 2 3
Vrátíme se k výpočtu statického momentu a postupnými úpravami ho dokončíme. D 2= 0 cos 2 2= cos 2 0 cos 2 .G 8O ^cos ] \cos ]_ _ 8O ^\cos 3 3 3 2 2 2 /
1 1 1 1 J I1 J2 8O "1 # "1 #! 3 3 3 3 2 2 4 32 8O ! 8O ! O 3 3 3 3 Nyní vypočítáme druhý statický moment. 8O 0I1
D
. ? W U U V
/
D
U U O sin WNO sin Q NO 1 cos Q /
Po stejných úpravách pod odmocninou jako v případě hmotnosti a statického momentu .G dostáváme a dále upravujeme. D
D
D
/
/
/
. O sin O2 sin 2O sin sin 2O sin sin sin 2 2 2 2
Poslední případ rozdělíme na dva integrály.
∀∃
10
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M2B
ČÁST 7
D
D
D
D
/
/
. = 2O \ sin sin sin ] 2O \ sin 2 sin ∙ cos ∙ sin ] 2 2 2 2 2 2
/
/ D
D
/
/
2O \ sin 2 sin ∙ cos ] 2 2 2
Pro nalezení primitivní funkce v prvním z těchto integrálů volíme per partes [ , ` U sin , [U 1, ` 2 cos 2 2 Odtud sin 2 cos 1 "2 cos # 2 cos 2 cos 2 cos 4 sin 2 2 2 2 2 2 2 Pro nalezení primitivní funkce v druhém z těchto integrálů volíme substituci 1 [ sin , [ cos 2 2 2 Odtud [ 4 4 2 sin ∙ cos ≈ 2[ 2 [ 4[ [ 4 [ ≈ sin 3 2 2 3 3 2 Vrátíme se k výpočtu statického momentu a postupnými úpravami ho dokončíme. D 4 D . 2O I 2 cos 4 sin ! sin ! J 2 2/ 3 2/ 2= 2= 0 0 2 0I"2 cos 4 sin # "2 cos 4 sin #J 2 2 2 2 4 2= 4 0 I" sin # " sin #J2 3 2 3 2 4 4 2O 0N2 ∙ 2= ∙ 1 4 ∙ 0 2 ∙ 0 ∙ 0 4 ∙ 0Q I" ∙ 0 # " ∙ 0 #J2 3 3 4 4 2O 0N4= 0 0 0Q I" ∙ 0# " ∙ 0#J2 2%4= 0 0 0) 3 3 %4= 2O 0) 8O = Nakonec zbývá jen vyjádřit souřadnice těžiště. Dostáváme 32 O . 8O = .G 4 a O=, a 3 O 8O 8O 3 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 2d Máme vypočítat moment setrvačnosti drátu tvaru kružnice T: + y = O vzhledem k jeho průměru, je-li jeho hustota , = || + | |. Kružnice je zadána se středem v počátku souřadnic a poloměrem O. Máme počítat moment setrvačnosti vzhledem k průměru. Za průměr si můžeme zvolit kteroukoli z os či . Výsledek musí být vzhledem k zadání úlohy stejný. Pro náš konkrétní výpočet si zvolíme výpočet momentu setrvačnosti drátu kolem průměru ležícímu v ose . Je důležité si uvědomit, v jakých intervalech se budou pohybovat integrační proměnné. V tomto případě to bude ∈ 〈−O, O〉, Můžeme přistoupit k výpočtu. ∀∃
∈ 〈−XO − , XO − 〉 11
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M2B
ČÁST 7 l
3G = , =
√l m G m
l √l m G m
V
|| + | |
Dále je třeba si uvědomit chování absolutní hodnoty v různých částech našeho prostoru. Poslední integrál musíme rozdělit na čtyři případy postupně v jednotlivých kvadrantech a každý z nich řešit zvlášť. Je zřejmé, že řešení budou velmi obdobná. Celkový moment setrvačnosti bude součtem těchto čtyř případů. Dostáváme tedy l √l m G m
3G = /
/
/ √l m G m
+ +
l
/
+
/ √l m G m
l
/
−
/
+ +
/
l √l m G m
−
− −
Každý z těchto integrálů budeme řešit jednotlivě. l √l m G m
3G = /
/
l
l √l m G m
+ = /
/
l
H
/
0 0H N√O − Q N√O − Q + ] − I + J = \ 3 4 3 4 / l
√l m G m
H + = 0 + 2 3 4 /
O − O − + = 3 4 /
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
∀∃
12
