Tartók statikája II. SZIE-YMMF BSc Építőmérnöki szak IV. évfolyam
3. előadás: Határozatlan tartók képlékeny számítása
Mechanika II MR rugalmas határnyomték MK képlékeny határnyomaték másképp: MT törőnyomaték A keresztmetszet teherbírását jellemzik.
Hogyan befolyásolja a szerkezet teherbírását a képlékenység figyelembevétele?
Határozott tartó Mmax helyén lévő km. képlékeny állapotba kerül (MT), a km. szabadon elfordulhat (képlékeny csukló) labilis alakzat (láncolat). q
l
qT l 2 MT = 8
Mmax = MT
qT l/2
qT = l/2
képlékeny csukló
8 MT l2
Határozatlan tartó Mmax = MT még nem megy tönkre, tovább terhelhető. q = q1
Állandó km.-ű, mindkét végén befogott, egyenletesen megoszló teherrel terhelt kéttámaszú tartó.
l
M MT
q = q2
tökéletesen rugalmas viselkedés
képlékeny csukló
MT q2l2 = MT 12
q2l2 8
M
q2 =
12 MT l2
0,5 MT
MT
M
q 1l 2 12 < MR q 1l 2 24
q 1l 2 8
q = q3 =qT
MT
MT MT
2MT =
q 3l 2 8
qT = q 3 =
16 MT l2
1. képlékeny csukló kialakulása: 2. képlékeny csukló kialakulása: q3 16 = = 1,33 q2 12
12 MT q2 = l2 16 MT q3 = l2
33% többletteherbírás
Megállapítások: – a rugalmas képlékeny anyagból készült, statikailag határozatlan szerkezetek ún. képlékeny tartalékkal rendelkeznek – A képlékeny tartalék nagysága a terhelés és a megtámasztás módjától függ – A szerkezet igénybevételei az első képlékeny csukló kialakulása és a tönkremenetel közt átrendeződnek
Többtámaszú tartók M MT képlékeny csukló állandósul a teher addig növelhető, amíg a tartó labilissá nem válik A törési folyamat minden szakaszában érvényesek az egyensúly feltételei.
Egyensúlyi feltételek teljesülnek: statikailag lehetséges megoldás.
Konzolos többtámaszú tartó q
F
l2
l1 Fl1
ql 22 2
Egyensúlyi feltételek betartásával- a záróvonalak tetszőlegesen behúzhatók. Az így méretezett tartón a képlékeny csuklók úgy fognak kialakulni, ha tönkremenetel előtt ezt a nyomatéki megoszlást kapjuk.
Célszerű tehát a gazdaságosság szempontjait figyelembe véve felvenni a záróvonalakat. Állandó keresztmetszetű, homogén tartók esetén: Mmax+ ≈ MmaxÁllandó keresztmetszetű vasbeton tartók esetén: M ábra területe ≈ 0 Kerülendő, hogy a képlékeny csuklók a Mmax+ helyén alakuljanak ki (nagy alakváltozások, repedések). Rugalmas méretezés:
1. igénybevételek meghatározása 2. keresztmetszet(ek) megválasztása
Képlékeny méretezés: 1. igénybevételek „megtervezése” 2. keresztmetszet(ek) megválasztása
Rugalmas teherbírási határállapotban a tartó egy (vagy egyidejűleg több) pontjába első ízben képlékeny állapot jön létre. (M > MR a tartó bármely pontjában) Képlékeny teherbírási határállapotban állandó teher hatására növekvő képlékeny alakváltozások jönnek létre és emiatt a teherbírás kimerül. (Láncolat kialakulása) Egyparaméteres teher: F0 – alapteher m·F0
m·2F0
F = mF0 m - teherintenzitás m·F0
m·q0
Rúdszerkezetek képlékenységtani vizsgálata az elsőrendű elmélet alapján Feltevések
1. rugalmas-képlékeny anyagmodell 2. egyparaméteres, statikus teher 3. a tönkremenetelt a kinematikailag határozatlanná válás okozza 4. igénybevételek számítása elsőrendű elmélettel (alakváltozások figyelmen kívül hagyásával) 5. koncentrált képlékeny zónák 6. síkbeli tartók (szimmetrikus km.)
A képlékenységtan alaptételei Statikai tétel
A szerkezet bármelyik statikailag lehetséges igénybevétel eloszlásához tartozó statikailag lehetséges teherintenzitás (ms) nem lehet nagyobb a törőintenzitásnál (mt). m ≤ m s
t
Kinematikai tétel
A szerkezet bármelyik kinematikailag lehetséges képlékeny alakváltozás- és elmozdulás-növekmény eloszlásaihoz tartozó kinematikailag lehetséges nem lehet nagyobb a teherintenzitás (mk) törőintenzitásnál (mt). mk ≥ mt
A statikai és kinematikai tétel együttes alkalmazása tehát alsó és felső korlátot ad a teher törőintenzitására.
ms ≤ mt ≤ mk Egyértelműségi tétel
Egyparaméteres teherrel terhelt szerkezetnek egy és csakis egy képlékeny határintenzitása van.
Ha egy teherintenzitás statikailag és kinematikailag egyaránt lehetséges, akkor az egyenlő a törőintenzitással.
m = ms = mk = mt
A képlékeny teherbírás számítása rugalmas számítások sorozatával l/2
F
l
l 3Fl 32
FR =
64 MT 13 l
Támasznyomaték: M− =
13Fl = MT 64
∆F
3 6 FR l = MT 32 13
2. Képlékeny csukló kialakulásának feltétele: 6 ∆Fl MT + = MT 13 2
∆Fl 2
FT = FR + ∆F =
6 MT l
∆F =
14 MT 13 l
A képlékeny teherbírás számítása a statikai tétellel
l/2
F
A· l/2 = MT
A=
2 MT l
l
l
MT = F· l/2 - A· l
A MT MT
F=
6 MT l
≤ FT
A teherbírás alsó korlátját adja.
A képlékeny teherbírás számítása a kinematikai tétellel
l/2
A külső teher munkája:
F
Lk=FT· e =FT· φ· l/2 l
l
MT MT
θ2=φ θ1=2φ
Lb = MT· θ1 + MT· θ2= MT· 3φ Lb = Lk
e= φ· l/2 φ
A képlékeny csuklókban elnyelt energia (belső munka):
2 FTϕ = MT 3ϕ l
F=
6 MT ≥ FT l
A teherbírás felső korlátját adja.
A statikai és a kinematikai tétel alkalmazásával a törőteher alsó és felső korlátjára is ugyanazt az eredményt kaptuk, tehát: 6 MT FT = l Általában a kinematikai tétel alapján könnyebben jutunk a végeredményhez, de tudnunk kell, hogy ez csak felső korlátot ad, azért elengedhetetlen a statikai tétel szerint ellenőrzés! A rugalmas egymásra halmozás módszere sokszorosan határozatlan tartóknál hosszadalmas és mindig más statikai vázú tartót kell megoldani.
