JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 4. No. 3, 151 -159, Desember 2001, ISSN : 1410-8518 __________________________________________________________________ APLIKASI METODE BESARAN PIVOTAL DALAM PENENTUAN SELANG KEYAKINAN TAKSIRAN PARAMETER POPULASI. Agus Rusgiyono Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Abstraks Diberikan populasi dengan densitas f (• ; θ ) dengan parameter θ , dan dari padanya diambil sample acak x1 , … , x n . Selanjutnya taksiran titik τ (θ ) adalah suatu fungsi dari θ bernilai riil . Interval taksiran terhadap τ (θ ) berdasarkan taraf keyakinan 100γ % , dengan 0 < γ < 1 , ditentukan berdasarkan bantuan besaran pivotal Q = ζ ( X 1 , … , X n ;θ ) yang mempunyai distribusi tidak bergantung pada θ . Diketahui T1 = t1 ( X 1 , … , X n ) dan
T2 = t 2 ( X 1 , … , X n ) adalah dua statistik yang memenuhi T1 ≤ T2 untuk mana Pθ (T1 < τ (θ ) < T2 ) = γ dengan γ tidak bergantung pada θ , maka interval acak (T1 , T2 ) adalah interval keyakinan 100γ % untuk τ (θ ) . 1. PENDAHULUAN Sebuah masalah mendasar yang terkait dalam pengambilan sampel suatu populasi adalah membuat taksiran terhadap parameter baik taksiran titik maupun taksiran selang. Barangkali pula sering dipertanyakan berapa ukuran sampel agar diperoleh taksiran yang paling akurat, tentunya dengan panjang selang taksiran minimal (S.Nasution,2001). Lebih–lebih dengan tidak diketahuinya nilai parameter populasi . Dari kondisi ini biasanya peneliti akan berusaha menaksir nilai parameter berdasarkan statistik
dan berusaha mendapatkan selang
kepercayaan terhadap taksiran tersebut dengan menggunakan suatu sampel minimal yang cukup. Sering dipertanyakan oleh para peneliti pemula berapa ukuran sampel minimal yang cukup untuk dapat membuat selang keyakinan taksiran berdasarkan koefisien keyakinan γ . Demikian pula seberapa besar pengaruh bertambahnya
151
Aplikasi Metode Besaran … (Agus Rusgiono) __________________________________________________________________ ukuran sampel terhadap berkurangnya panjang interval keyakinan (Schefler, 1979). Dalam membuat interval keyakinan taksiran parameter, salah satu cara yang
dapat
ditempuh
adalah
dengan
bantuan
besaran
pivotal
Q = ζ ( X 1 , … , X n ;θ ) , di mana besaran ini mempunyai distribusi yang tidak bergantung pada parameter θ (Mood,1974). Sebagai contoh , misalkan x1 , … , x n sample acak dari f ( x ;θ ) = Φ 0,9 ( x) maka x − θ adalah besaran pivotal karena
(x −θ )
x − θ ~ N (0, 9 n ) , demikian juga
3
adalah besaran pivotal karena
n
berdistribusi N(0,1). Di lain pihak
X
θ
bukan besaran pivotal karena berdistribusi
N (0, 9θ 2 n) yang masih bergantung pada θ .
2. PEMBAHASAN Jika diketahui x1 , … , x n sample acak dari N ( µ , σ 2 ) dengan
σ 2 tidak
diketahui . Selanjutnya Q = ζ ( X 1 , … , X n ;θ ) , kuantitas pivotal dan mempunyai fungsi kepadatan probabilitas, maka untuk suatu 0 < γ < 1 yang ditentukan ,dapat ditemukan
q1 dan
q2
yang bergantung pada
γ
sedemikian hingga
P(q1 < Q < q 2 ) = γ . Jika dari setiap nilai sampel x1 , … , x n memungkinkan untuk mendapatkan q1 < ζ ( X 1 , … , X n ;θ ) < q 2 , bila dan hanya bila t 1 ( X 1 , … , X n ) < τ (θ ) < t 2 ( X 1 , … , X n ) untuk suatu fungsi t1 dan t 2 ( yang tidak bergantung pada θ ) , maka
(T1 , T2 ) adalah selang kepercayaan
100γ % untuk
τ (θ ) . Dimana Ti =t i ( X 1 ,…, X n ), i = 1,2,3,… (Mood,1974) Berkenaan dengan ini ada tiga hal yang perlu di perhatikan :
Pertama, q1 dan q 2 adalah tidak bergantung pada θ karena distribusi dari Q .
152
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 4. No. 3, 151 -159, Desember 2001, ISSN : 1410-8518 __________________________________________________________________ Kedua,
untuk
kemungkinan
sembarang
0 <γ <1
pasangan bilangan
yang
ditetapkan,
terdapat
banyak
q1 dan q 2 yang dapat dipilih sehingga
P(q1 < Q < q 2 ) = γ .
Gambar 1. Pasangan yang berbeda dari
q1 dan q 2 menghasilkan t1 dan t 2 yang berbeda
pula. Sehingga sebaiknya dipilih pasangan q1 dan q 2 yang membuat pasangan t1 dan t 2 tertutup satu sama lain secara bersama. Untuk lebih jelasnya jika t 2 ( X 1 , … , X n ) − t1 ( X 1 , … , X n ) menyatakan panjang interval kepercayaan yang tidak acak , maka dipilih pasangan q1 dan q 2 yang membuat panjang interval menjadi minimal. Atau jika panjang interval kepercayaan bersifat acak maka dipilih pasangan q1 dan q 2 yang membuat rataan hitung dari panjang interval menjadi terkecil.
Ketiga, secara esensial bentuk metode kuantitas pivotal adalah bahwa ketidaksamaan
q1 < ζ ( X 1 , … , X n ;θ ) < q 2 dapat ditulis kembali atau dapat
diinversikan atau di ”pivot” sebagai t 1 ( X 1 , … , X n ) < τ (θ ) < t 2 ( X 1 , … , X n ) untuk sembarang nilai sample x1 , … , x n yang diperoleh. Pernyataan terakhir ini mengindikasikan bahwa “kuantitas pivotal” dapat saja tidak bermanfaat secara langsung, karena menurut definisi
Q = ζ ( X 1 , … , X n ;θ ) dapat saja berupa
besaran pivotal yang tidak mungkin dipivot terhadapnya.
153
Aplikasi Metode Besaran … (Agus Rusgiono) __________________________________________________________________ Sebagai gambaran :
f ( x ;θ ) = Φ 0,1 ( x) , untuk mengestimasi
x1 , … , x n sample acak dari
Misalkan
X −θ
τ (θ ) = θ , Q = ζ ( X 1 ,…, X n ;θ ) =
1
~ N (0,1) sehingga merupakan besaran
n
pivotal f Q (q ) = Φ (q ) .
γ
Untuk
yang ditetapkan
ada
q1 dan
q2
sedemikian sehingga
P(q1 < Q < q 2 ) = γ .
Gambar 2. selanjutnya :
{q1 < X −1 θ
{
< q2 } ⇔ X − q2
1
n
< θ < X − q1
1
n
}
n
sehingga :
(X − q
) adalah suatu interval keyakinan 100γ % untuk θ . Panjang interval ini adalah (( X − q ) − (X − q ) ) = (q − q ) 2
1
n
; X − q1
1
n
1
1
n
2
1
n
2
1
1
n
Sehingga panjang dapat dibuat menjadi minimal dengan memilih q1 dan q 2 sehingga
q 2 - q1
menjadi
minimal
dibawah
batasan
syarat
:
γ = P(q1 < Q < q 2 ) = Φ ( q 2 ) - Φ (q1 ) Selanjutnya dinyatakan bahwa q 2 - q1 menjadi minimum jika q1 = - q 2 . (Sumargo, 1984).
154
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 4. No. 3, 151 -159, Desember 2001, ISSN : 1410-8518 __________________________________________________________________ 2.1 EXISTENSI BESARAN PIVOTAL Apakah besaran pivotal senantiasa ada untuk setiap kasus? Jika x1 , … , x n sample acak dari
f (• ;θ ) , yang berkorespondensi dengan fungsi
F ( x ;θ ) yang kontinu pada X maka dengan transformasi
distribusi kumulatif
integral probabilitas, F ( x ;θ ) mempunyai distribusi uniform pada interval (0,1).
− log F ( x ;θ )
Jadi
mempunyai
e − µ I ( 0,1) (u )
karena
P[− log F ( X i ;θ ) ≥ µ ] = P[− log F ( X i ;θ ) < − µ ]
[
]
= P F ( X i ;θ ) ≤ e − µ = e − µ Akhirnya
, u>0
− ∑ log F ( X i ;θ ) mempunyai sebuah distribusi gamma dengan
parameter n dimana : n P − log q 2 < −∑ logF ( X i ;θ ) < − log q1 i =1
=
− log q1
1 Z n−1e − z dz Γ(a) − log q2
∫
n = P q1 < ∏ F ( X i ;θ ) < q 2 untuk 0< q1 < q 2 <1………………(2.1.1) i =1
Sehingga ; n
n
∏ F ( X ;θ ) atau −∑ logF ( X ;θ ) adalah besaran pivotal. i
i =1
i =1
i
Hasil ini menunjukkan bahwa pada sembarang waktu dimana sample dari suatu populasi mempunyai fungsi distribusi kumulatif kontinu maka besaran pivotal senantiasa ada. Tetapi ini tidak memberi jaminan apakah besaran pivotal ini berguna bagi penyusunan interval.
155
Aplikasi Metode Besaran … (Agus Rusgiono) __________________________________________________________________ 2.2 JAMINAN DAPAT DIGUNAKANNYA BESARAN PIVOTAL Selanjutnya n
∏ F ( X ;θ ) i
jika F ( x ;θ ) monoton dalam θ untuk setiap
X maka
juga monoton dalam θ untuk setiap x1 , … , x n dan dengan sifat
i =1
kemonotonan ini memungkinkan untuk mendapatkan interval keyakinan bagi θ .
n
∏ F ( X ;θ )
q2
i
i =1
.
q1
t1 ( x1 , … , x n )
t 2 ( x1 , … , x n ) Gambar : 3
n
Dapat dilihat bahwa q1 < ∏ F ( X i ;θ ) < q 2 ⇔ t1 ( x1 , … , x n )< θ < t 2 ( x1 , … , x n ) i =1
dimana t1 dan t 2 fungsi yang tidak bergantung pada θ .
2.3 INTERVAL KEYAKINAN UNTUK RATA-RATA PADA DISTRIBUSI NORMAL Jika diketahui x1 , … , x n sample acak dari N ( µ , σ 2 ) dengan
σ 2 tidak
diketahui. Dalam kasus ini θ = ( µ , σ ) Dan τ (θ ) = µ . Sedangkan kuantitas pivotal yang kita perlukan adalah
Q = ζ ( X 1 , … , X n ;θ ) =
156
X −µ
σ
n
~ N (0,1)
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 4. No. 3, 151 -159, Desember 2001, ISSN : 1410-8518 __________________________________________________________________ Tetapi {q1 <
X −µ
σ
< q 2 } tidak dapat diinversikan
untuk mendapatkan
n
t1 ( x1 , … , x n )< µ < t 2 ( x1 , … , x n ) untuk suatu statistik t1 dan t 2 . Masalah ini muncul karena besaran
X −µ
σ
masih bergantung pada σ .Jadi diperlukan
n
besaran pivotal yang hanya bergantung µ saja. Seperti diketahui bersama bahwa
X −µ berdistribusi student dengan derajad kebebasan n-1 s n X −µ mempunyai densitas yang independen terhadap µ dan σ , s n
Sehingga
maka juga merupakan besaran pivotal. Sehingga
sekarang
{q1 < X − µ s
diperoleh
< q 2 } ⇔ X − q 2 s < µ < X − q1 s n n
n Dimana q1 dan q 2 memenuhi persamaan
P{q1 <
X −µ < q 2 } = γ akibatnya s n
X − q s ; X − q1 s adalah interval kepercayaan 100γ % untuk µ . 2 n n Panjang interval kepercayaan
adalah
(q 2 − q1 ) s n
dan bersifat acak. Untuk
sembarang sampel yang diperoleh panjangnya dapat diminimalkan jika q1 dan
q 2 dipilih sehingga
q 2 - q1 minimal , dalam bentuk lain masalah ini dapat dapat
dinyatakan dalam : Peminimalan fungsi L = q2
∫f
T
(q 2 − q1 ) s n
di bawah syarat
(t )dt = γ ……………(2.3.1)
q1
157
Aplikasi Metode Besaran … (Agus Rusgiono) __________________________________________________________________ dimana f T (t ) adalah densitas distribusi t dengan derajad kebebasan n-1. memberikan q 2 sebagai suatu fungsi dari
Persamaan (2.3.1)
pendeferensialannya terhadap q1 menghasilkan meminimalkan
L
diperlukan
dL s dq 2 = ( − 1) = 0 . Tetapi dq1 n dq1
syarat
f T (q 2 ) dL =0 dq1
q1 dan
dq 2 − f T (q1 ) = 0 . Untuk dq1 sehingga
diperoleh
dq 2 s f T (q1 ) − 1) = ( − 1) = 0 n dq1 n f T (q 2 )
s
(
maka f T (q1 ) = f T (q 2 ) ⇔ q1 = q 2 atau q1 = −q 2 . Jika q1 = q 2 maka
q2
∫f
T
(t )dt ≠ γ . Jadi q1 = − q2 dipandang sebagai suatu solusi
q1
dengan q1 dan q 2 dapat diperoleh dari tabel distribusi student. Kalau diperhatikan rumusan interval kepercayaan di atas bertalian dengan akar dari n berarti ada keuntungan yang menurun dalam usaha terus memperbesar ukuran sampel (Schefler, 1979). Untuk menjelaskan ini andaikan ingin ditaksir rataan suatu populasi dengan kepercayaan 95 %. Untuk ini diambil tiga sampel, berturut-turut sebesar n = 100, 1000 dan 10.000. Misalkan setiap sampel menghasilkan rataan sebesar 50 dengan simpangan baku 10. Jika dihitung selang kepercayaan 95 % untuk masing-masing sampel itu diperoleh : 48,04 < µ < 51,96 (n = 100) 49,37 < µ < 50,63 (n = 1000) 49,80 < µ < 50,20 (n = 10.000) Jika diperhatikan ketiga taksiran memang memberikan taksiran yang lebih seksama .Misal peningkatan sampel dari 100 menjadi 1000 menghasilkan taksiran yang lebih pendek 2,66 selanjutnya peningkatan sampel menjadi dari 1000 menjadi 10.000 memperpendek taksiran 0,86 saja. Di sini perlu dipertanyakan apakah peningkatan keseksamaan ini ada keuntungannya dibanding pengelolaan sampel sebesar itu yang memerlukan tambahan beaya, waktu dan tenaga.
158
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 4. No. 3, 151 -159, Desember 2001, ISSN : 1410-8518 __________________________________________________________________ 3. KESIMPULAN Pada berbagai penelitian ukuran sampel yang makin besar justru menimbulkan banyak beban baik dari segi biaya, pengelolaan sampel yang membutuhkan banyak tenaga dan ketidak- telitian dalam pengamatan yang menjadi sumber bias yang justru akan menyesatkan kesimpulan. Sebaliknya pada setiap ukuran sampel yang diambil , interval taksiran parameter dengan koefisien kepercayaan yang ditetapkan dapat dibuat minimal. Interval kepercayaan sendiri dapat dibuat dengan bantuan besaran pivotal yang dijamin ada pada berbagai kasus asalkan x1 , … , x n sample acak dari dengan fungsi distribusi kumulatif
f (• ;θ ) , yang berkorespondensi
F ( x ;θ ) yang kontinu pada X dan besaran
pivotal ini dapat digunakan untuk menyusun interval kepercayaan taksiran jika
F ( x ;θ ) monoton dalam θ untuk setiap X. Jadi dalam meningkatkan kualitas penelitian disarankan untuk berkonsentrasi pada setiap sampel yang diperoleh dan usaha menambah ukuran sampel perlu dipertimbangkan dengan efisiensi waktu, beaya, tenaga dan tujuan penelitian. DAFTAR PUSTAKA 1.
Mood, Alexander M, Introduction to The Theory of Statistics, Third Edition, Mc-Graw Hill, 1974.
2.
Nasution S, Metode Research, PT. Bumi Aksara, 2001.
3.
Schefler, William C, Statistics for the Biological Sciences, Second edition, Addison - Wesley Publishing Company, 1979.
4.
Sumargo Chr H, Pendahuluan Teori Kemunngkinan dan Statistika, ITB, 1984.
159
