CZ.1.07/1.5.00/34.0619 CZ.1.07/1.5.00/34.0619 Zvyšování vzdělanosti pomocí e-prostoru OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost Soukromá střední škola a jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Č. Budějovice, s.r.o., Jeronýmova 28/22,České Budějovice
Název materiálu: 8. Geometrická posloupnost ◦ Autor: Mgr. Jana Pouzarová, Mgr. Miroslav Dušek ◦ Období vytvoření: únor - červen 2013 ◦ Ročník: 2. a 4. ročník OA a EL, 1. a 2. ročník NS denní forma, 2.a 3. ročník NS dálková forma
◦
Kód materiálu: Klíčová aktivita III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT ◦ Tematická oblast: Matematika – Posloupnosti ◦ Anotace, způsob použití: Vzdělávací materiál je určen pro výklad učiva v rámci matematiky pro obory Obchodní akademie, Ekonomické lyceum, nástavbové studium- obor Podnikání. Materiál obsahuje výklad a příklady k problematice geometrické posloupnosti.
Digitální učební materiály – Matematika Mgr. Jana Pouzarová, Mgr. Miroslav Dušek
Geometrická posloupnost (GP) Definice Geometrická posloupnost je posloupnost nenulových čísel, ve které podíl libovolného členu s členem předcházejícím je konstantní číslo zvané kvocient q. Geometrická posloupnost je vyjádřena rekurentním vzorcem:
an+1 = an • q
Každý následující člen geometrické posloupnosti získáme z členu předcházejícího, násobíme-li jej kvocientem q. Každý předcházející člen vypočítáme z členu následujícího, dělíme-li jej kvocientem q.
Určit geometrickou posloupnost znamená určit první člen a1 a kvocient q. V geometrické posloupnosti platí: a) an = a1 • qn-1 b) ar = as • qr-s
r>s
c) pro q ≠ 1, kde sn je součet prvních n členů. Tyto vzorce používáme pro řešení geometrické posloupnosti.
Určeno pro výuku matematiky SOU a netechnických SOŠ
Digitální učební materiály – Matematika Mgr. Jana Pouzarová, Mgr. Miroslav Dušek
Řešené příklady:
1) Určete první až pátý člen geometrické posloupnosti, ve které je dáno:a1 = 3 q = 2. Znázorněte graficky
Řešení 1: an = a1 · qn-1 a2 = a1 ∙ q2-1 = a1 ∙ q1 = 3 ∙21 = 6 a3 = a1 ∙ q2 = 3 ∙ 22 = 12 a4 = a1 ∙ q3 = 3 ∙ 23 = 24 a5 = 48 Grafem je množina bodů o souřadnicích [n, an]. Body nespojujeme.
60 50
Řešení 2: Dosazením do základních vztahů vypočítáme nejprve n
40
qn - 1 sn = a1 · ──────── q–1
30 20 10 0 0
1
2
3
4
5
6
2)Určete počet členů a poslední člen, je-li dáno: a1 = 2 q=3 sn = 2186
Určeno pro výuku matematiky SOU a netechnických SOŠ
3n - 1 2186 = 2 · ──────── 3–1 2186 = 3n – 1 2187 = 3n 37 = 3 n n=7 (nebo log 2187 = n ∙ log3 /: log3 log 2187 n= log 3 n=7 nyní vypočítáme an an = a1 · qn-1 ∙ n-1 an = 2 ∙ 3 an = a7 = 2 ∙ 36 = 1458
Digitální učební materiály – Matematika Mgr. Jana Pouzarová, Mgr. Miroslav Dušek
Pracovní list žáka
1)Napište prvních 5 členů geometrické posloupnosti a znázorněte graficky: a1 = 2, q = 2
1)Napište a graficky znázorněte prvních 5 členů geometrické posloupnosti, jejíž první dva členy jsou 1, 2.:
3)V GP je dáno :a1 = 4, q = 3. Vypočítejte a8 , s8. 4)V GP je dáno :a1 = 2, a6 = 486.Vypočítejte q , s6
Určeno pro výuku matematiky SOU a netechnických SOŠ
Digitální učební materiály – Matematika Mgr. Jana Pouzarová, Mgr. Miroslav Dušek
Kontrolní list učitele
1)Napište prvních 5 členů geometrické posloupnosti a znázorněte graficky: a1 = 2, q = 2 Řešení: 2,4,8,16,32
2) Napište a graficky znázorněte prvních 5 členů geometrické posloupnosti, jejíž první dva členy jsou 1, 2.: Řešení: 1,2,4,8,16
3)V GP je dáno :a1 = 4, q = 3. Vypočítejte a8 , s8. Řešení: a8 = 8748, s8 =13 120 4)V GP je dáno :a1 = 2, a6 = 486.Vypočítejte q ,s6. Řešení q=3 , s6 = 728.
Určeno pro výuku matematiky SOU a netechnických SOŠ
Digitální učební materiály – Matematika Mgr. Jana Pouzarová, Mgr. Miroslav Dušek
Zdroje Literatura
RNDr. Pavel Čermák, Mgr. Petra Červinková, Odmaturuj z matematiky, Didaktis 2002, 1. Vydání, ISBN 80-86285-38-3 RNDr. Jaroslav Klodner, Matematika pro OA 2. díl, (III. upravené vydání 2000) Vydala Svitavská tiskárna RNDr. Jaroslav Klodner, Sbírka úloh z matematiky pro OA a SOŠ, SOFICO-CZ, V. upravené vydání Vydala Svitavská tiskárna, 2005 Zdeněk Vošický, Matematika v kostce pro SŠ, Fragment, 2004, 3.vydání, ISBN 80-7200-964-8 doc. RNDr. František Jirásek, DrSc., Mgr. Karel Braniš, PhDr. Stanislav Horák, RNDr. Milan Vacek, Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU 2.díl Prometheus, 1996, 6. vydání ISBN 80-7196-012-8
Obrázky Corel GALLERY™ Magic – CD 200 000 cliparts, ©1997, Corel Corporation and Corel Corporation Limited Vlastní archiv
Určeno pro výuku matematiky SOU a netechnických SOŠ
