CZ.1.07/1.5.00/34.0619 CZ.1.07/1.5.00/34.0619 Zvyšování vzdělanosti pomocí e-prostoru OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost Soukromá střední škola a jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Č. Budějovice, s.r.o., Jeronýmova 28/22,České Budějovice
◦ Název materiálu: 13. Aritmetická posloupnost ◦ Autor: Mgr. Jana Pouzarová, Mgr. Miroslav Dušek ◦ Období vytvoření: únor - červen 2013 ◦ Ročník: 2. a 4. ročník OA a EL, 1. a 2. ročník NS denní forma, 2. a 3. ročník NS dálková forma
Kód materiálu: Klíčová aktivita III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT ◦ Tematická oblast: Matematika - Posloupnosti ◦ Anotace, způsob použití: Vzdělávací materiál je určen pro výklad učiva v rámci matematiky pro obory Obchodní akademie,Ekonomické lyceum, nástavbové studium- obor Podnikání . Materiál obsahuje výklad a příklady k problematice aritmetické posloupnosti .
Digitální učební materiály – Matematika
Mgr. Jana Pouzarová, Mgr. Miroslav Dušek
Aritmetická posloupnost (AP) Aritmetická posloupnost je posloupnost čísel, ve které rozdíl libovolného členu s členem předcházejícím je konstantní číslo zvané diference d.
Aritmetická posloupnost je vyjádřena rekurentním vzorcem
an+1 = an + d Každý následující člen aritmetické posloupnosti vypočítáme tak, že k předcházejícímu členu přičteme diferenci a každý předcházející člen vypočítáme, jestliže od následujícího členu diferenci odečteme. Grafem je množina izolovaných bodů ležících na přímce o souřadnicích [n, an]. Body nespojujeme.
Řešené příklady:
Příklad: Napište prvních 10 členů aritmetické posloupnosti, je-li a1 = -3 d=1 Řešení: a1 = -3 a2 = a1 + d = -3 + 1 = -2 a3 = a2 + d = -2 + 1 = -1 …atd., až dostaneme: -3,-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 posloupnost rostoucí
Určeno pro výuku matematiky SOU a netechnických SOŠ
Digitální učební materiály – Matematika
Mgr. Jana Pouzarová, Mgr. Miroslav Dušek
1,5 1 0,5 0 0
1
2
3
4
5
6
-0,5 -1 -1,5 -2 -2,5 -3 -3,5
V aritmetické posloupnosti platí: a) an = a1 + (n – 1) · d b) ar = as + (r – s) · d c) sn =
r>s
n (a1 + an) 2
sn je součet prvních n členů posloupnosti. Těchto vzorců používáme při řešení aritmetické posloupnosti. Řešit aritmetickou posloupnost znamená najít první člen a diferenci.
Určeno pro výuku matematiky SOU a netechnických SOŠ
Digitální učební materiály – Matematika
Mgr. Jana Pouzarová, Mgr. Miroslav Dušek
Příklad: V AP je dáno: a1 = 3 a5 = 5 Vypočtěte s8 Řešení: an = a1 + (n – 1) · d 5 = 3 + (5 – 1) · d
sn = s8 =
1 n (a1 + an) 2 1 · 8 · (3 + 2
a8)
Odtud se vypočítá d: 5 = 3 + 4 · d => d = ── Pro výpočet s8 potřebujeme znát a8. a8 = a1 + 7 · d = 3 + 7 · s8 = 4 · (3 + 6,5) = 38
Určeno pro výuku matematiky SOU a netechnických SOŠ
1 2
= 6,5
1 2
Digitální učební materiály – Matematika
Mgr. Jana Pouzarová, Mgr. Miroslav Dušek
Pracovní list žáka 1)Napište prvních 5 členů AP a zobrazte je graficky: a1 = 4, d = -2
2)Napište prvních 5 členů AP a určete, kdy je rostoucí a kdy klesající: a) a1 = -3, d = 2 b) a1 = 5, d = - 2
3)V AP platí : a4 = 11, a5
=
4) V AP platí : a20 = 35, a30
5) V AP platí : a1 = 2, a12
=
14. Určete a1, d.
=
55. Určete a25.
35. Určete d, s12.
Určeno pro výuku matematiky SOU a netechnických SOŠ
Digitální učební materiály – Matematika
Mgr. Jana Pouzarová, Mgr. Miroslav Dušek
Kontrolní list učitele 1)Napište prvních 5 členů AP a zobrazte je graficky: a1 = 4, d = -2 Řešení: 4,2,0,-2,-4 posloupnost klesající
5 4 3 2 1 0 -1 0
1
2
3
4
5
-2 -3 -4 -5
2)Napište prvních 5 členů AP a určete, kdy je rostoucí a kdy klesající: a) a1 = -3, d = 2 b) a1 = 5, d = - 2 Řešení: a)-3, -1, 1 3,5 rostoucí b)5,3,1,-1,-3 klesající 3)V AP platí : a4 = 11, a5 = 14. Určete a1, d. Řešení: a1 = 2, d = 3 4) V AP platí : a20 = 35, a30
=
55. Určete a25.
Řešení: a25 = 45 5) V AP platí : a1 = 2, a12 = 35. Určete d, s12. Řešení: s12 =222, d = 3 Určeno pro výuku matematiky SOU a netechnických SOŠ
6
Digitální učební materiály – Matematika Mgr. Jana Pouzarová, Mgr. Miroslav Dušek
Zdroje Literatura
RNDr. Jaroslav Klodner, Matematika pro OA 2. díl, (III. upravené vydání 2000) Vydala Svitavská tiskárna RNDr. Jaroslav Klodner, Sbírka úloh z matematiky pro OA a SOŠ, SOFICO-CZ, V. upravené vydání Vydala Svitavská tiskárna, 2005 Zdeněk Vošický, Matematika v kostce pro SŠ, Fragment, 2004, 3.vydání ISBN 80-7200-964-8 doc. RNDr. František Jirásek, DrSc., Mgr. Karel Braniš, PhDr. Stanislav Horák, RNDr. Milan Vacek, Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU 2.díl Prometheus 1989, ISBN 80-7196-012-8 RNDr. Pavel Čermák, Mgr. Petra Červinková, Odmaturuj z matematiky, Didaktis 2002, 1. Vydání, ISBN 80-86285-38-3
Obrázky Corel GALLERY™ Magic – CD 200 000 cliparts, ©1997, Corel Corporation and Corel Corporation Limited Vlastní archiv
Určeno pro výuku matematiky SOU a netechnických SOŠ
