Problémy lomové mechaniky IV.
Brno, červen 2004
Zjednodušený 3D model materiálu pro maltu Jiří Brožovský1 , Lenka Lausová2 , Vladimíra Michalcová3 Abstrakt : V článku je diskutován návrh jednoduchého materiálového modelu pro popis chování maltu v trojrozměrných úlohách. V příspěvku jsou rozebírány jen ty vztahy, které se váží k působení materiálu v tahu.
1
Úvod
Při analýze statického působení zděných konstrukcí se v praktických úlohách stále využívá předpokladu lineárně pružného chování materiálu. To má samozřejmě negativní vliv na výstižnost těchto výpočtů. V rámci výzkumných aktivit na Katedře stavební mechaniky FAST VŠB-TU Ostrava jsou studovány některé z možných nelineárních modelů. Jeden z dílčích problémů – konstitutivní model pro maltu – je diskutován v tomto příspěvku. Tento model vychází z lineárně pružných počátečních vlastností materiálu. Chování materiálu v tlaku je modelováno jako pružnoplastické, zatímco k popisu chování v tahu je pro porušený materiál využit koncept rozmazaných trhlin.
2
Popis modelu
V příspěvku je podrobněji popsán jen způsob popisu chování materiálu v tahu. Podrobnějšímu rozboru chování tohoto materiálu v tlaku budou věnovány pozdější etapy naší činnosti.
2.1
Podmínka porušení
K detekci vzniku trhlin je požívána Chen-Chenova podmínka plasticity. Ta má pro oblasti namáhání tahem a kombinací tahu a tlaku tvar: At 1 I1 − τt2 = 0, (1) J2 − I12 + 6 3 kde I1 je první invariant napjatosti, J2 je druhý deviátor napjatosti a At a τt jsou konstanty definované na základě materiálových vlastností (pevností betonu v jednoosém a dvojosém tlaku a v tahu). Uvedená podmínka byla původně vypracována pro popis chování betonu [2]. Její použití pro maltu se jeví jako oprávněné vzhledem k příbuznému charakteru obou materiálů. 1 Jiří Brožovský, Ing., Ph.D., Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava, Fakulta stavební, Katedra stavební mechaniky, Ludvíka Podéště 1875, 708 33 Ostrava, e-mail:
[email protected] 2 Lenka Lausová, Ing., Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava, Fakulta stavební, Katedra stavební mechaniky, Ludvíka Podéště 1875, 708 33 Ostrava, e-mail:
[email protected] 3 Vladimíra Michalcová, Ing., Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava, Fakulta stavební, Katedra stavební mechaniky, Ludvíka Podéště 1875, 708 33 Ostrava, e-mail:
[email protected]
1
3D model pro maltu
2.2
J. Brožovský, L. Lausová, V. Michalcová
Model rozmazaných trhlin
Popis chování materiálu (malty) po vzniku trhlin je do jisté míry problémem a existuje celá řada možných přístupů. Je použit velmi jednoduchý postup – vlastnosti materiálu ve směru kolmém na rovinu trhliny jsou určovány z ekvivalentního jednoosého pracovního diagramu, jehož parametry jsou upravovány na základě odpovídajících charakteristik 3D podmínky porušení. Sestupná větev pracovního diagramu je považována za lineární. Uvedený postup je zcela konvenční a přináší i některá známá úskalí, jako je závislost výsledků na velikosti sítě konečných prvků. Tato okolnost je ošetřena tradičním způsobem pomocí modelu pásu trhlin navrženém Bažantem [1].
σ σt σn
Ez Ex Eo
εn
ε
σc Obrázek 1: Ekvivalentní jednoosý pracovní diagram
V tahové oblasti pracovního diagramu je možné pro stanovení modulu Ex vyjít z rovnice: ¶ µ Ez , (2) σn = εn Ez + σt 1 − E0 kde E0 je počáteční modul pružnosti materiálu. Model pásu trhlin je aplikován obvyklým způsobem – požaduje se splnění rovnice: GF = AG L = konst.,
(3)
kde AG je plocha pod sestupnou větví pracovního diagramu na obrázku 2.2 a L je šířka pásu trhlin (v případě 3D úlohy plocha) a GF je lomová energie. Potom za předpokladu platnosti vztahu pro určení šířky trhliny po úplném uvolnění napětí podle Vose: 2 GF wo = , (4) σt
2
Problémy lomové mechaniky IV.
Brno, červen 2004
kde wo je šířka trhliny po úplném uvolnění napětí a vztahu pro určení šířky trhliny z hodnoty poměrné deformace ε: w = ε L,
(5)
je možné stanovit vztah pro modul Ez , který popisuje sklon sestupné větve pracovního diagramu: Ez =
1−
Eo 2 GF Eo 2 L σmax
.
(6)
Je možné předpokládat, že modul „pružnostiÿ materiálu i v ostatních směrech bude mít sníženou hodnotu E1 , ale vzhledem k nedostatku experimentálních dat je v modelu zatím zaveden ve výši počátečního modulu pružnosti, tedy E1 = Eo . Rozvoj trhlin má samozřejmě vliv i na chování materiálu ve smyku a smykové moduly by tedy měly být upravovány (zmenšovány) v závislosti na rozvoji trhlin. Jednou z možností je použití předpokladu Glemberga a Samuelssona [3], kteří upravují smykový modul na podle vztahu: Gupr = kde β =
2.3
Ex Eo
Ex G = β G, Eo
(7)
je redukční koeficient smykového modulu.
Matice tuhosti ortotropního materiálu
Výše uvedené vztahy je třeba zavést do 3D modelu. Materiálu s trhlinami (bude předpokládán pouze jeden směr trhlin) bude považován za ortotropní. Uveďme nejdříte obecný tvar matic poddajnosti a tuhosti ortotropního materiálu pro 3D problém. Matice poddajnosti C má tvar [4]:
C=
µ
1 Ex µxy − Ex − µExzx
− Eyx y
0 0 0
0 0 0
1 Ez µyz − Ey
− µEzxz µ − Ezyz
0 0 0
0 0 0
1 2 Gyz
1 Ez
0 0
0 0 0 0 1 2 Gzx
0
0 0 0 0 0 1 2 Gxy
.
(8)
Matice tuhosti materiálu D = C−1 má podobu:
D=
1−µyz µzy Ey Ez ∆ µxy +µxz µzx Ez Ex ∆ µxz µxy µyz Ex Ey ∆
µyx +µzx µyz Ey Ez ∆ 1−µzx µxz Ez Ex ∆ µzy +µxz µyz Ex Ey ∆
µzx +µyx µzy Ey Ez ∆ µzy +µzx µxy Ez Ex ∆ 1−µxy µyx Ex Ey ∆
0 0 0
0 0 0
0 0 0
3
0 0 0 0 0 0 2 Gyz 0 0 2 Gzx 0 0 2
0 0 0 0 0 Gxy
,
(9)
3D model pro maltu
J. Brožovský, L. Lausová, V. Michalcová
kde: ∆=
1 − µxy µyx − µyz µzy − µzx µxz − 2 µxy µyz µzx Ex Ey Ez
(10)
V obecném případě obsahují matice C a D dvanáct materiálových konstant ( Ex , Ey , Ez , Gyz , Gzx , Gxy , µxy , µyx , µyz , µzy , µzx , µxz ), které je pro sestavení matic třeba znát. Tolik údajů však nelze z informací uvedených v předchozích odstavcích získat. Při konstrukci matic tuhosti a poddajnosti materiálu na základě dostupných údajů (Ex , E1 , µ, G) je třeba vyjít z požadavku na symetrii matic D a C, která vyplývá z Bettiho věty. Pro C tedy musí platit: µyx Ey µzx − Ez µzy − Ez
−
µxy , Ex µxz = − , Ex µyz = − , Ey = −
(11)
zatímco pro D: µyx + µzx µyz Ey Ez ∆ µzx + µyx µzy Ey Ez ∆ µzy + µzx µxy Ez Ex ∆
= = =
µxy + µxz µzx , Ez Ex ∆ µxz µxy µyz , Ex Ey ∆ µzy + µxz µyz . Ex Ey ∆
(12)
Předpokládejme dále, že směr hlavních napětí je totožný s osou x systému souřadnic a že trhlina v maltě je na tento směr kolmá. Pak je možné ztotožnit modul Ex s redukovaným modulem ve směru kolmém na trhlinu (rozebraném výše). V ostatních směrech je pak zřejmě možné pracovat s modulem E1 , který odpovídá materiálu přímo neporušenému trhlinou (tedy Ey = Ez = E1 ). Dále předpokládejme, že Gxy = Gyz = Gzx = G (vliv trhliny na smykový modul bude později zaveden pomocí součinitele β). Ještě je třeba určit hodnotu Poissonových součinitelů. Zpravidla (i ze zkoušek) je k dispozici jen jedna hodnota µ. To se nám výborně hodí, protože tím vzniká prostor pro určení součinitelů z rovnic (12). Při předpokladu, že µyz = µzy = µ je možné dopočítat, že: µyz = µ, µzy = µ, µzx = µ, Ex µxz = µ, E1 µyx = µ, Ex µxy = µ. E1
(13)
4
Problémy lomové mechaniky IV.
Brno, červen 2004
Po dosazení získaných hodnot má matici poddajnosti C tvar: C=
− Eµ1
1 Ex − Eµ1 − Eµ1
1 E1 − Eµ1
0 0 0
0 0 0
− Eµ1 − Eµ1
0 0 0
0 0 0
1 2 G
1 E1
0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
1 2 β G
.
(14)
1 2 β G
0
Užitečnější je však matice tuhosti materiálu D, která nabyde podoby: D=
2.4
(1−µ)Ex x µ2 1−µ−2 E E1 µEx x µ2 1−µ−2 E E1 µEx x µ2 1−µ−2 E E
µEx x µ2 1−µ−2 E E1 E1 −Ex µ2 x µ2 ) (1+µ) (1−µ−2 E E1 µ(E1 +Ex µ) x µ2 ) (1+µ)(1−µ−2 E E
µEx x µ2 1−µ−2 E E1 µ (E1 +Ex µ) x µ2 ) (1+µ) (1−µ−2 E E1 2 E1 −Ex µ x µ2 ) (1+µ) (1−µ−2 E E
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2 Gyz 0 0 0 2 β Gzx 0 0 0 2 β Gxy
.(15)
Transformace souřadnic
Protože nelze zaručit, že trhlina vznikne právě ve směru kolmém na osu x, je žádoucí sestavit potřebné transformační matice. Je možné využít postupu, který je podrobně vysvětlen například v [5]. Výsledná transformační matice Tσ má tvar: Tσ =
2 T11 2 T21 2 T31 T21 T31 T11 T11 T11 T21
2 T12 2 T22 2 T32 T22 T32 T12 T12 T12 T22
2 T13 2 T23 2 T33 T23 T33 T13 T13 T13 T23
T22 T12 T12
2 T11 T13 2 T22 T23 2 T32 T33 T33 + T23 T32 T33 + T13 T32 T23 + T13 T22
T21 T11 T11
2 T11 T13 2 T21 T23 2 T31 T33 T33 + T23 T31 T33 + T13 T31 T23 + T13 T21
T21 T11 T11
2 T11 T12 2 T21 T22 2 T31 T32 T32 + T22 T31 T32 + T12 T31 T22 + T12 T21
kde Tab je kosinus úhlu mezi osou a původního systému souřadnic (x, y, z) a osou b transformovaného (pootočeného) systému (xt , yt , zt ). Podle [6] platí pro transformaci matice tuhosti materiálu vztah: Dt = Tε D TTε .
(17)
Dále platí: TTσ
= Tε−1 ,
TTε
Tσ−1 ,
=
(18)
proto je potřebné matice Tε a TTε získat inverzí výše uvedené matice Tσ (například numericky).
5
(16)
3D model pro maltu
2.5
J. Brožovský, L. Lausová, V. Michalcová
Závěr
Popisovaný model zdiva je v současné době ověřován. Uvedené informace by měly posloužit pro sestavení modelu pro analýzy detailů zděných konstrukcí, ve kterém bude respektována jednak nalineární povaha chování použitých materiálů (malty a materiálu cihelných nebo kamenných zdicích prvků), ale také jejich tvar a poloha. Pro úplný model je ještě třeba připravit model materiálu pro cihly, jejichž chování je možné považovat za křehké.
Poděkování Práce byly (doufáme) podporovány z nějakého projektu . . . najde se sponzor?
Literatura [1] Bažant, Z. P., Planas J. Fracture and Size Effect in Concrete and Other Quasibrittle Materials, Boca Raton : CRC Press, 1998 [2] Chen, A. C. T., Chen, W. F. Constitutive Relations for Concrete, Journal of the Engineering, Mechanics Division, ASCE, 1975. [3] Glemberg, R., Samuelsson, A. A General Constitutive Model for Concrete Structures, Proceedings of the International Conference on Computer Aided Structures, Journal of Engineering Mechanics, Vol. 113, No. 4, ASCE, 1987 [4] Internetové stránky http://www.efunda.com [5] Servít a kol. Pružnost a plasticita I., Praha : SNTL, 1981 [6] Zienkiewicz, O. C. The Finite Element Method in Engineering Science, London : McGraw-Hill, 1971 [7] Brožovský, J. Modelování fyzikálně nelineárnícho chování železobetonových konstrukcí, disertační práce, Ostrava : VŠB-TU Ostrava, 2003
6
