3D grafika. Modelování. Objemový model. Hranový model. Přednáška 9

Modelování

Přednáška 9

3D grafika

Žára, J., Beneš, B., Felkel, P. Moderní počítačová grafika. Computer Press, Brno, 1998. ISBN 80-7226-049-9. Pelikán, J. PC-prostorové modelování. Grada, Praha, 1992. ISBN 80-85424-53-3. Beneš, B., Felkel, P., Sochor, J., Žára, J. Skripta Vizualizace. Foley, Van D. Computer Graphics. Principles and Practice. Addison-Wesley,1991. 1

Počítačová grafika, PV, UPCE-KID, [2010/2011]

Hranový model


Přednáška 9

2

Objemový model

Drátěný model (Wireframe Model) Popsán pomocí vrcholů a hran Prakticky nestačí na popis tělesa Nedefinuje hmotu tělesa, objem Nejednoznačnosti např. při dělení tělesa


Definování tvaru prostorových objektů za pomoci datových struktur a algoritmů pro vytváření a následnou manipulaci s 3D objekty 3D objekt vyplňuje jistou prostorovou oblast, která může a nemusí být souvislá Hmota tělesa je ohraničena stěnami, které jsou vymezeny hranami, přičemž každá hrana začíná a končí ve vrcholu Hrany jsou uspořádány do smyček, které vymezují danou stěnu Nejčastěji používané modely hranový model povrchový model objemový model …

Přednáška 9

3

Volume Model, Solid Model Pracuje s objemem, ale neposkytuje přímo povrch tělesa Definice prostoru, který je součástí tělesa Elementární objemová jednotka – voxel (volume element) Jedna z možných reprezentací – oktalový strom


Přednáška 9

4

Oktalový strom

CSG modely

1

2

3

4

5

6

7

8

Konstruktivní geometrie těles (Constructive Solid Geometry) Representace těles pomocí stromu složeného z CSG primitiv (kvádr, koule, válec, kužel, poloprostor, toroid), množinových operací (sjednocení, rozdíl, průnik) a transformací Snadné napodobení obráběcích operací

5678 1234 Počítačová grafika, PV, UPCE-KID, [2010/2011]

Přednáška 9

5

Šablonování


6

Přednáška 9

8

Povrchový model

Rotační a přímkové (křivkové) Tažení (sweep) Rotace

Přednáška 9

Používá se tam, kde např. konstrukce množinovými operacemi není vhodná

Těleso je sestaveno z ploch Problémy při výpočtu objemu, těžiště, momentů, ... Umožňuje vytvoření tělesa "bez objemu" K definici se používají analyticky definované plochy a především B-spline a Bezierovy plochy

Zdroj: PELIKÁN, J., PC-PROSTOROVÉ MODELOVÁNÍ


Přednáška 9

7


Editace a zobrazení povrchového modelu


Přednáška 9

Srovnání modelů

9

3D transformace

Přednáška 9


10

Transformační matice

Princip podobný jako u 2D transformací Některé transformace lze provádět postupně po složkách x, y, z Otáčení se provádí okolo osy otáčení

Souřadnice bodu P = [x, y, z] se vlivem transformace upraví na P´ = [x´, y´, z´] [x'

y ' z '] = [x

y

z] A

P ' = PA

Projekce (v 3D) Lineární transformace: posunutí otočení změna měřítka zkosení


Přednáška 9

11

Pro jednotný maticový výpočet budeme používat čtvercovou matici o rozměru (n+1) x (n+1) Vektor souřadnic rozšíříme o souřadnici w (homogenizační faktor, w<>0, nejčastěji w=1), původní souřadnice upravíme vynásobením nebo vydělením hodnotou w Transformační matice má pro 3D prostor rozměr 4x4 nebo 4x3


Přednáška 9

12

Posunutí

Otočení (osa otočení shodná s osou SS)

Posunutí bodu P do bodu P´ o vektor t Vektor posunutí t = (tX , tY , tZ ) = ( x´− x, y´− y, z´− z) Explicitní výpočet souřadnic P´

x´= x cos α − y sin α y´= x sin α + y cosα

x' = x + tX y' = y + tY z ' = z + tZ

z´= z

Maticové vyjádření posunutí ⎡1 ⎢0 AM = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣t X

Otočení bodu P se v prostoru provádí okolo zvolené osy o orientovaný úhel α do bodu P´ Explicitní výpočet souřadnic P´ pro jednotlivé osy

0

0

1

0

0

1

tY

tZ

0⎤ 0⎥⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦


tZ tX tY

Přednáška 9

13

Otočení (osa otáčení || s některou osou SS)

x´= x cos α − z sin α

y´= y cos α + z sin α z´= y sin α − z cos α

y´= y

z´= x sin α + z cos α

Maticové vyjádření otočení pro osu z ⎡ cos α ⎢− sin α ARZ = ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0

t

x´= x

sin α

0 0⎤ 0 0⎥⎥ 1 0⎥ ⎥ 0 1⎦

cos α 0 0

α Přednáška 9


14

Obecné otočení P' = PA az − ay 0⎤ ⎡ 0 ⎥ ⎢− az 0 ax 0⎥ + sin(α ) ⎢ ⎢ ay − ax 0 0⎥ ⎥ ⎢ 0 0 1⎦⎥ ⎣ 0

⎡ a x2 axay azay ⎢ axay a y2 ayaz r AR ( a , α ) = cos(α ) I + (1 − cos(α )) ⎢ ⎢ axaz ayaz a z2 ⎢ 0 0 ⎣⎢ 0

⎡ 1 ⎢ 0 AT = ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣− qX

Realizace složenou transformací

ASLOŽENÁ = AT * AR * AT −1 Počítačová grafika, PV, UPCE-KID, [2010/2011]

0 1 0 − qY

0 0 1 − qz

0⎤ 0⎥⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦

P

0⎤ 0⎥⎥ 0⎥ ⎥ 0⎦

a

α

P’

p p’ O

-q

Q[qx, qy, qy]

A = AT * AR ( ar , α ) * A T−1 Přednáška 9

15


Přednáška 9

16

Zkosení

Změna měřítka

Záleží na výběru os, v jejichž směru zkosení probíhá Koeficienty shX, shY, shZ Explicitní výpočet souřadnic P´ Příklad pro zkosení ve směru roviny xy (pro x i y)

(pouze x, shY=0)

(pouze y, shX=0)

x´=x+shXz x´=x+shXz x´=x y´=y+shYz y´=y y´=y+shYz z´=z z´=z z´=z Maticové vyjádření zkosení 0 0 0⎤ ⎡1 ⎡1 0 0 ⎢0 ⎥ ⎢sh 1 shz 1 0 0⎥ ⎢ Ashxy = Ashxz = ⎢ x ⎢shx shy 1 0⎥ ⎢0 0 1 ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 1⎦ ⎣0 ⎣0 0 0

0⎤ 0⎥⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦

⎡1 shy shz ⎢0 1 0 Ashyz = ⎢ ⎢0 0 1 ⎢ 0 ⎣0 0 Přednáška 9


0⎤ 0⎥⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦ 17

Symetrie

Přednáška 9


18

Uživatelské souřadnicové systémy

souměrnost dle středu, osy a roviny Upozornění: při souměrnosti dochází ke změně orientace stěn (proti směru a po směru hodinových ručiček)

Středová souměrnost = složená souměrnost dle všech rovin Osová souměrnost (x) = složená souměrnost dle dvou rovin (xy a xz) souměrnost dle

sX

sY

sZ

středu

-1

-1

-1

osy x

1

-1

-1

osy y

-1

1

-1

osy z

-1

-1

1

roviny xy

1

1

-1

roviny xz

1

-1

1

roviny yz

-1

1

1


Změna velikosti objektu ve směru souřadnicových os o koeficienty sx, sy, sz |s|∈(0,1) ----> zmenšení objektu |s|>1 ----> zvětšení objektu s<0 ----> dochází ke změně měřítka v opačném směru Explicitní výpočet souřadnic P´ x´= sx z y´= sy z z´= sz z Maticové vyjádření ⎡ s x 0 0 0⎤ ⎢0 s 0 0⎥⎥ y AS = ⎢ ⎢ 0 0 s z 0⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 0 0 1⎦

Levotočivý Right-handed

z

z

z y

19


x

y

y

x

Přednáška 9

Pravotočivý Left-handed

x

x

z y

Přednáška 9

20

Promítání

Kolmé promítání – Mongeova projekce

Způsob zobrazování 3D grafiky ve 2D prostoru Promítací rovina (průmětna) – plocha, na které se zobrazuje 2D obraz Kolmá projekce požívaná v technickém kreslení málo názorné Rovnoběžné promítání – všechny paprsky jsou rovnoběžné Axonometrie Perspektiva Izometrie Středové promítání – paprsky vychází z jednoho bodu

Půdorys je dán rovinou XY Z=0 Bokorys je dán rovinou XZ Y=0 Nárys je dán rovinou YZ X=0

X´= Y Y´= -X

X´= -X Y´= Z

X´= Y Y´= Z z

y

x Přednáška 9


21

Rovnoběžné promítání

Průmětna nemusí být rovnoběžná s osami, protíná 2 nebo 3 osy Zachovává se rovnoběžnost hran, úhly se mění

y z Jz

x

Jx

x

β α

Jy

Technická axonometrie Kabinetní projekce JX = 0,5 Kavalírská projekce JX = 1

Izometrie

Dimetrie

Trimetrie

Jy = Jz = 1

α = 45° (30 °), β = 0°

Jy = Jz = Jx α=β

y

x = -JX * cos(α) * xB + JY * cos(β) * yB y = -JX * sin(α) * xB - JY * sin(β) * yB + JZ * zB xB, yB, zB - souřadnice bodu v 3D x, y - jsou promítací souřadnice 2D JX , JY, JZ - jsou jednotkové vektory daného promítání α, β - úhly svírající 3D osy s osami 2D


22

Typy rovnoběžného promítání

α

Přednáška 9


Přednáška 9

23


Jy = Jx α=β

Jy <> Jx <> Jz α=β

Přednáška 9

24

Středové promítání

Viditelnost – konvexního tělesa

Perspektivní promítání Realistické zobrazení větších objektů Určeno průmětnou a středem promítání

D D+z D y ' = y. D+z

x' = x.

Každý mnohostěn je určen konečným počtem stěn Stěny lze rozdělit na přední (viditelné) a zadní (neviditelné) V kresbě budou viditelné hrany: předních stěn zadních stěn, které jsou součástí některé přední stěny Základem je zachování orientace vrcholů stěny U každé stěny určíme orientaci vrcholů v 3D a poté porovnáme s orientací v 2D scéně

wZDROJ: CENEK, P., POČÍTAČOVÁ GRAFIKA, Univerzita Pardubice, 1999, ISBN 80-7194-229-4

Střed leží na ose z ve vzdál. -D, průmětna je tvořena rovinou xy.


Přednáška 9

25

… algoritmus viditelnosti 1. 2. 3. 4.

Každou stěnu popíšeme tak, aby orientace vrcholů byla proti směru hodinových ručiček Provedeme projekci a zjistíme souřadnice všech vrcholů ve 2D obrazu Všechny hrany označíme jako neviditelné Pro všechny stěny zjistíme viditelnost, pokud je stěna viditelná, její hrany označíme za viditelné. Pro zjištění orientace použijeme např. vektorový součin vektorů prvních dvou hran dané stěny (A1,A2), (A2,A3) D = x 2 − x1 y 2 − y1 x3 − x 2 y 3 − y 2 Pokud je D>0, potom vektor směřuje před průmětnu Vykreslíme viditelné hrany


26

Orientace vrcholů v 3D a v 2D

5.

Přednáška 9


Přednáška 9

27

Stěny kvádru jsou definovány posloupností vrcholů. Příklady definice dvou stěn: (A, B, C, D) a (F, E, H, G) G H G

H D

C

E A

D

F B

Při pohledu v 3D z tohoto místa jsou vrcholy stěny (A, B, C, D) orientovány proti směru HR Počítačová grafika, PV, UPCE-KID, [2010/2011]

C

E A Při pohledu v 3D na kvádr z tohoto místa jsou vrcholy stěny (F, E, H, G) orientovány rovněž proti směru HR

F B Při pohledu na 2D obraz kvádru, zobrazený na průmětně, zůstala orientace (A, B, C, D) nezměněna (proti směru HR, proto je přední) a orientace (F, E, H, G) je změněna (po směru HR, proto je zadní) Přednáška 9

28

Malířův algoritmus

Malířův algoritmus

Jednotlivé stěny seřadíme v reálné 3D scéně podle vzdálenosti od průmětny. Určující je minimální/maximální hodnota z mezních souřadnic u každé stěny. Kreslení jednotlivých stěn provedeme směrem odzadu dopředu (je nutno testovat, zda aktuální /nejvzdálenější/ stěna nezakrývá část jiné stěny – viz následující testy). Tento postup není vhodný na zjištění viditelnosti hran. Při vykreslování více objektů mohou nastat problémy se vzájemným překrýváním a cyklickým opakováním.

Nejprve je nakreslen nejvzdálenější objekt (hory), poté louka a jako poslední jsou kresleny nejbližší objekty (stromy). Zdroj: http://en.wikipedia.org/wiki/Painter's_algorithm

Přednáška 9


29

Testování překrývání dvou ploch z P2_ZMIN P1_ZMAX

P1 průmětna xy

Test 2: Plochy se na průmětně nepřekrývají. Nezáleží na pořadí vykreslování. Lze považovat P1 za vzdálenější.

z P2

P1 průmětna xy

Test 3: Pokud jsou všechny vrcholy, určující plochu P1 pod rovinou definovanou pomocí plochy P2, potom je P1 vzdálenější.

z P2 P1 průmětna xy

z

Test 4: Pokud jsou všechny vrcholy, určující plochu P2 nad rovinou definovanou pomocí plochy P1, potom je P1 vzdálenější.

P2

Přednáška 9

30

Warnockův algoritmus

Test 1: Pokud P1_ZMAX
P2


P1

!!!Tyto čtyři testy neřeší některé složitější polohy dvou ploch!!!

Řeší viditelnost v průmětně. Postup (začíná se celou obrazovkou, nebo oknem): 1. Pokud do okna nezasahuje žádná plocha je barva okna vyplněna pozadím. 2. Pokud do okna zasahuje jen jedna plocha, je v rámci okna tato plocha vykreslena. 3. Pokud do okna zasahuje více ploch, přičemž nejbližší z nich překrývá celé okno, je v rámci okna tato plocha vykreslena. 4. Pokud do okna zasahuje více ploch a nelze jednoduše určit viditelnost, je dané okno rozděleno na 4 části a uvedené body jsou rekurzivně aplikovány na takto nově vytvořené oblasti. 5. Rekurzivní algoritmus končí určením viditelnosti dané oblasti (v nejhorším případě o velikosti 1 pixel, kdy jde vždy určit viditelnost).

průmětna xy Počítačová grafika, PV, UPCE-KID, [2010/2011]

Přednáška 9

31


Přednáška 9

32

Varianty algoritmu Varianta 1: Do okna nezasahuje žádná vykreslovaná plocha

Freeman-Loutrelův algoritmus Varianta 4: Okno je nutno dále dělit na 4 menší podokna.

Varianta 2: Do okna zasahuje pouze jedna plocha.


Varianta 3: Do okna zasahuje více ploch, ale nejbližší ho zcela překrývá.

Přednáška 9

33

Rastrové algoritmy

Řeší viditelnost v 3D prostoru Na základě normál jednotlivých stěn a úhlu svíraného se směrem promítání se dělí stěny na přední (potenciálně viditelné) a zadní (neviditelné). Dalším krokem se určí viditelnost hran podle náležitosti k přední, resp. zadní stěně. U nekonvexních těles se v třetím kroku řeší viditelnost potenciálně viditelných hran (jejich možné zakrytí jinou stěnou).


Přednáška 9

34

Přednáška 9

36

z-buffer algoritmus

Hloubkový algoritmus (z-buffer algoritmus) větší nárok na paměť každou zobrazovanou plochu rozloží na pixely pro obarvení daného pixelu [x,y] v zobrazovaném okně je ze všech pixelů se stejnou souřadnicí [x,y] (vzniklých rozkladem jednotlivých ploch) vybrán pixel s nejmenší hloubkou (vzdáleností od pozorovatele) Algoritmus řádkového rozkladu (scan-line z-buffer alg.) menší nárok na paměť rozklad probíhá postupně po řádcích pro všechny zobrazované plochy pro zobrazení se opět použije barva nejbližšího pixelu Zdroj:http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Z-buffer.svg


Přednáška 9

35


3D grafika. Modelování. Objemový model. Hranový model. Přednáška 9

Recommend Documents