Miloš Hüttner
SMR2 – ZDM přímé nosníky
cvičení 09
ZDM – PŘÍMÉ NOSNÍKY Příklad č. 1 Zadání Vykreslete průběhy vnitřních sil na konstrukci zobrazené na Obr. 1. Příklad převzat z katedrové wikipedie (originál ke stažení zde http://mech.fsv.cvut.cz/wiki/images/2/2c/Zdm_2.pdf ).
Obr. 1: Schéma zadání příkladu č. 1. Způsob řešení Konstrukce bude řešena zjednodušenou deformační metodou (ZDM). Konstrukci lze rozložit na 4 styčníky (1, 2, 3, 4) a tři pruty. U převislého konce lze provést redukci ke styčníku 4, z hlediska výpočtu deformační metodou, tak budeme vlastně řešit konstrukci z Obr. 2 (pozor, průběhy vnitřních sil musíme vykreslit vždy na původní konstrukci!).
Obr. 2: Redukce zatížení z konzoly na styčník 4. Určení základních neznámých Kladná orientace posunů, je patrná z Obr. 1. Protože používáme ZDM, platí, že normálová tuhost všech prutů je nekonečně velká, z toho důvodu se konstrukce může ve vodorovném směru pohybovat pouze jako jeden celek ( u1 = u 2 = u 3 = u 4 ) a protože styčník 1 je pevně podepřen ( u1 = 0 ), tak platí, že:
u1 = u 2 = u3 = u 4 = 0
(1.1)
Dále platí, že styčník 2 je ve svislém směru podepřen, takže:
w2 = 0
ϕ2 = ?
(1.2)
Totéž platí pro styčník 3: w3 = 0
ϕ3 = ?
(1.3) 1
Miloš Hüttner
SMR2 – ZDM přímé nosníky
cvičení 09
A podobně pro styčník 4: w4 = 0
ϕ ¨4 = ?
(1.4)
Základní neznámé tak představují tři natočení ϕ 2 , ϕ 3 a ϕ 4 . Podmínky rovnováhy U styčníků 2, 3 a 4, provedeme momentové podmínky rovnováhy, viz Obr. 3. kde M 21 je koncový moment v pravém styčníku na prutu 1-2, M 23 je koncový moment z levého styčníku na prutu 2-3, M 32 je koncový moment z pravého styčníku na prutu 2-3, M 34 je koncový moment z levého styčníku na prutu 3-4 a M 43 je koncový moment z pravého styčníku na prutu 3-4.
Obr. 3: momenty působící na styčníky 2, 3 a 4 Podmínky rovnováhy, tak lze zapsat takto: M 21 + M 23 = −6
(1.5)
M 32 + M 34 = 0
(1.6)
M 43 = 6
(1.7)
Poznámka: Samozřejmě, že ve styčnících musí být splněny i svislé podmínky rovnováhy, ale vzhledem k tomu, že ve styčnících vznikají svislé reakce, jejichž velikost prozatím neznáme, nebyly by nám tyto podmínky k ničemu (resp. zvětšil by se počet rovnic a i počet neznámých, řešili bychom tak větší soustavu rovnic). Ohybová tuhost prutu Moment setrvačnosti prutu: Iy =
1 ⋅ 0.2 ⋅ 0.33 = 4.5 ⋅ 10 −4 m 4 12
Ohybová tuhost prutu 1-2: EI = 20 ⋅ 10 6 ⋅ 4.5 ⋅ 10 −4 = 9000 kNm 2
Poznámka: Jestli si dobře pamatujete ze silové metody, tak u staticky neurčitých konstrukcí, které mají ve všech prutech stejnou ohybovou tuhost a nejsou zatíženy nesilovými vlivy, nemá hodnota ohybové tuhosti vliv na rozložení reakcí a velikost vnitřních sil – jinými slovy, můžete si sami zkusit v tomto příkladu, že pokud bychom uvažovali EI = 1kNm 2 (nebo jakákoliv jiná konstantní hodnota), výsledek musí vyjít stejný. Tento fakt si uvědomte u domácího úkolu č. 6!
2
Miloš Hüttner
SMR2 – ZDM přímé nosníky
cvičení 09
Koncové síly na prutu 1-2 Jedná se o prut vetknutí-vetknutí (V-V) bez zatížení o rozpětí L12 = 3m . Určíme parametry pro prut 1-2: Tuhost k 12 se rovná: k 12 =
2 EI 2 ⋅ 9000 = = 6000 kNm L12 3
Koncové síly na prutu 1-2 v pravém styčníku (styčník 2) tak lze určit s pomocí tabulky: w − w1 0−0 = 6000 0 + 2ϕ 2 + 3 M 21= k12 ϕ1 + 2ϕ 2 + 3 2 = 12000ϕ 2 L12 3
(1.8)
Koncové síly na prutu 2-3 Jedná se o prut vetknutí-vetknutí (V-V) zatížený rovnoměrným zatížením f = 12 kN/m o rozpětí L 23 = 4m . Určíme parametry pro prut 2-3:
Tuhost k 23 se rovná: k 23 =
2 EI 2 ⋅ 9000 = = 4500 kNm L23 4
Koncové síly na prutu 2-3 v levém styčníku: M 23=
fL223 w − w2 + k 23 2ϕ 2 + ϕ 3 + 3 3 L23 12
12 ⋅ 4 2 0−0 = + 4500 2ϕ 2 + ϕ 3 + 3 = 12 4
= 16 + 9000ϕ 2 + 4500ϕ 3
(1.9)
Koncové síly na prutu 2-3 v pravém styčníku: fL223 w3 − w2 12 ⋅ 4 2 0−0 M 32= − + k 23 ϕ 2 + 2ϕ 3 + 3 =− + 4500 ϕ 2 + 2ϕ 3 + 3 = 12 L23 12 4
= −16 + 4500ϕ 2 + 9000ϕ 3
(1.10)
Koncové síly na prutu 3-4 Ačkoliv máme v pravém styčníku kloub, nemůžeme použít schéma vetknutí-kloub (V-K) – to lze použít pouze pro případy, kdy na konci prutu je jistě nulový moment, což v tomto případě neplatí (moment 6kNm)! Jedná se tedy o prut vetknutí-vetknutí (V-V) zatížený rovnoměrným zatížením f = 12 kN/m o rozpětí L 34 = 3m . Určíme parametry pro prut 3-4: Tuhost k 34 se rovná: k 34 =
2 EI 2 ⋅ 9000 = = 6000 kNm L34 3
Koncové síly na prutu 3-4 v levém styčníku: M 34=
fL234 w − w3 12 ⋅ 3 2 0−0 = + k 34 2ϕ 3 + ϕ 4 + 3 4 + 6000 2ϕ 3 + ϕ 4 + 3 = 12 L34 12 3
3
Miloš Hüttner
SMR2 – ZDM přímé nosníky
cvičení 09
= 9 + 12000ϕ 3 + 6000ϕ 4
(1.11)
Koncové síly na prutu 3-4 v pravém styčníku: M 43= −
fL234 w − w3 12 ⋅ 3 2 0−0 = − + k 34 ϕ 3 + 2ϕ 4 + 3 4 + 6000 ϕ 3 + 2ϕ 4 + 3 = L34 12 12 3
= −9 + 6000ϕ 3 + 12000ϕ 4
(1.12)
Výpočet základních neznámých Dosazením výrazů pro koncové síly (1.8 až 1.12) do rovnic (1.5 až 1.7) získáme základní soustavu 3 rovnic o 3 neznámých:
(12000ϕ 2 ) + (16 + 9000ϕ 2 + 4500ϕ 3 ) = −6
(1.13)
(− 16 + 4050ϕ 2 + 9000ϕ 3 ) + (9 + 12000ϕ 3 + 6000ϕ 4 ) = 0
(1.14)
(− 9 + 6000ϕ 3 + 12000ϕ 4 ) = 6
(1.15)
21000ϕ 2 + 4500ϕ 3 = −22
(1.16)
4500ϕ 2 + 21000ϕ 3 + 6000ϕ 4 = 7
(1.17)
6000ϕ 3 + 12000ϕ 4 = 15
(1.18)
Upravíme:
A vyřešením získáme hodnoty základních neznámých:
ϕ 2 = −0.001101rad ϕ 3 = 0.000247rad
ϕ 4 = 0.001126rad Výpočet reakcí Reakce můžete určit např. z podmínek rovnováhy anebo lze využít zpětného dopočítání přes koncové síly na prutech. Koncové síly vyjdou: Prut 1-2:
Z12 = 6.604kN M 12 = −6.604kNm Z 21 = −6.604kN M 21 = −13.208kNm Prut 2-3: Z 23 = −21.121kN M 23 = 7.208kNm Z 32 = −26.879 kN
4
Miloš Hüttner
SMR2 – ZDM přímé nosníky
cvičení 09
M 32 = −18.726 kNm
Prut 3-4: Z 34 = −26.242 kN M 34 = 18.726 kNm Z 43 = −9.758kN M 43 = 6kNm
Poznámka: Koncové síly na prutu se v případě levého styčníku rovnají hodnotě vnitřní síly s opačným znaménkem a v případě pravého styčníku se hodnota koncové síly přímo rovná hodnotě vnitřní sily. Vykreslení vnitřních sil Dopočteme reakce (např. z podmínek rovnováhy na styčníku) a vykreslíme, viz Obr. 4, a dle vztahů ze SMR1 vykreslíme průběhy vnitřních sil, viz Obr. 5.
Obr. 4: působící síly a reakce pro příklad 1
Obr. 5: průběhy vnitřních sil – příklad 1 5
Miloš Hüttner
SMR2 – ZDM přímé nosníky
cvičení 09
Příklady k procvičování Příklad č. 2 Vykreslete průběhy vnitřních sil na konstrukci zobrazené na Obr. 6. Řešte pomocí ZDM. Řešení: viz Obr. 7.
Obr. 6: Schéma zadání příkladu č. 2.
Obr. 7: Řešení příkladu č. 2. Tento text slouží výhradně jako doplněk k přednáškám a cvičením z předmětu Stavební mechanika R2 pro studenty stavební fakulty ČVUT. I přes veškerou snahu autora se mohou v textu objevovat chyby, nepřesnosti a překlepy – budu rád, když mě na ně upozorníte.
Miloš Hüttner (
[email protected]), poslední aktualizace 23. 4. 2014 6
