Základy optického zobrazení 1. Zákony geometrické optiky Zákon odrazu světla (obr. 1) Při dopadu světelného paprsku na rozhraní dvou různých prostředí dojde k jejich částečnému nebo úplnému odrazu. Odražený paprsek zůstává v rovině dopadu (rovině tvořené paprskem a kolmicí k rozhraní v místě dopadu). Z Fermatova principu plyne, že úhel odrazu α je roven úhlu dopadu α’ světelného paprsku α = α´. (1) Zákon lomu světla (Snellův zákon, obr. 2) Světelný paprsek dopadající na rozhraní dvou různých optických prostředí prochází částečně z jednoho prostředí do druhého (pokud nedojde k úplnému odrazu). Prošlý paprsek se láme v rovině dopadu. Z Fermatova principu plyne, že poměr sinů úhlu dopadu α a úhlu lomu β je roven poměru indexů lomu prostředí sin α n2 = = n21 , (2) sin β n1 kde n21 je tzv. relativní index lomu. Může nastat lom ke kolmici (n1 < n2) nebo od kolmice (n1 > n2). Úplný odraz nastane při lomu od kolmice (n1 > n2) pro takový úhel α ≥ αm, kdy je úhel β ≥ 90º (obr. 3) sin α m = n21 . (3) 2. Teoretický úvod Optické zobrazení – transformace vstupního svazku světelných paprsků optickými prostředky (zobrazovací soustavou) ve výstupní svazek. Zobrazovací soustava, (optická soustava, obr. 4) je soubor zobrazovacích prvků (např. optických ploch – nejčastěji rovinných a kulových – zrcadla, lámavé plochy a čočky) sloužících k požadovanému optickému zobrazení. Optická plocha je nejjednodušší zobrazovací prvek tvořený hladkým zobrazovacím rozhraním mezi dvěma různými prostředími. Optická osa (obr. 5) je přímka procházející středem křivosti S kulové zobrazovací plochy (kulové úseče) a vrcholem V této plochy. Při zobrazení v blízkosti optické osy (Gaussův prostor) lze použít při výpočtech zjednodušené vztahy (sin α ≈ α). Pro větší úhly se projeví při zobrazení sférická vada (sférická aberace), která vede ke zkreslení obrazu, (obr. 17)
B
sAB=l1 n1+l2 n1 = min A l2
*sAB= 0
" "’ l1
n1 n2
S
Obr. 1. Zákon odrazu světla sAB=l1 n1+l2 n2 = min
sAB=l1 n1+l2 n2 = min
A
A
l1
"
n1 n2
l1
n1 < n2
n1 > n2
S *sAB= 0
"
S
$ l2
$ *sAB= 0 l2 B
B
Obr. 2. Zákon lomu světla a) ke kolmici, b) od kolmice n A sin "m = 2 n 1
B’
"m "m’
l1
*sAB= 0
S $
l2 B
n1 n2
Obr. 3 Úplný (totální) odraz
rozptylka optická osa
F
rovinné zrcadlo
F spojka
Obr. 4 Příklad zobrazovací soustavy
n1 n2
–2– " "” "
n1
n2
n1
Gaussův prostor "."’
"’ F’ F
S
Poloměr křivosti kulové zobrazovací plochy určuje vzdálenost středu křivosti S a vrcholu V této plochy. Znaménko u poloměru křivosti r udává, zda-li střed křivosti leží před nebo za optickou plochou (konvence u zrcadel je odlišná od čoček). Předmětový prostor (obr. 6) je prostor, ve kterém se nachází zobrazovaný předmětový bod (např. reálný předmět P). Obrazový prostor (obr. 6) je prostor, ve kterém se nachází bod vytvořeného obrazu.
n1 < n2
Reálný (skutečný) obraz O (obr. 7) je obraz, u kterého světelné paprsky procházejí body obrazu (s´> 0).
f
Zdánlivý obraz O´ (obr. 7) je obraz, u kterého světelné paprsky neprocházejí body obrazu (s´< 0), ale vzniknou jejich extrapolací do obrazového prostoru.
Obr. 5 Gaussův prostor f
F
F předmětový prostor
předmětový prostor f’
Předmětové ohnisko F (obr. 8) je bod na optické ose zobrazovací soustavy, který se zobrazí v nekonečnu (s´→ ∞), ležící ve vzdálenosti f od vrcholu rozhraní (tzv. ohniskové vzdálenosti).
f’
F’
F’ obrazový prostor a)
obrazový prostor b)
Obr. 6 Příklad přemětového a obrazového prostoru a) zrcadla, b) tenké čočky s
s
s’
s’
F/F’
F’ O
S O
P
P
F skutečný obraz s s’
skutečný obraz s
s’
O’ P
P F/F’
O’ zdánlivý obraz
zdánlivý obraz
a)
b)
Obr. 7 Příklad reálného a zdánlivého obrazu
h P
F
x
V
f s
O
F’
f’
x’ s’
Obr. 8 Ohnisková optická soustava
h’
Obrazové ohnisko F´ (obr. 8) je bod na optické ose zobrazovací soustavy, ve kterém se vytvoří obraz předmětu umístěného v nekonečnu (s → ∞), ležící ve vzdálenosti f´ od vrcholu rozhraní zobrazovací plochy (tzv. ohniskové vzdálenosti). Newtonovy transformační vztahy (obr. 8) udávají souvislost mezi vzdáleností předmětu od předmětového ohniska a vzdáleností obrazu od obrazového ohniska f f′ x′ = , (4) x kde x = s – f a x´= s´– f ´ jsou hlavní body soustavy a souvislost mezi výškou předmětu a obrazu fh h′ = − . (5) x Konstrukce obrazu vytvořeného optickou soustavou se provádí pomocí průchodu tří význačných paprsků přes ni (obr. 8) – paprsek vcházející do soustavy rovnoběžně s osou se láme do ohniska, – paprsek procházející z ohniskem se láme do směru rovnoběžného s osou, – paprsek procházející vrcholem soustavy se odráží ve směru symetrickém podle optické osy (u zrcadel) resp. nemění svůj směr (u čoček).
–3– 3. Elementární optické prvky Zrcadlo je optická plocha, na které dochází k téměř úplnému odrazu světla (ρ ≈ 1). Podle tvaru lze rozlišit např. rovinná, sférická, parabolická nebo eliptická zrcadla, podle zakřivení vypouklá (konvexní) a dutá (konkávní). Rovinné zrcadlo (obr. 9) je zrcadlo, jehož poloměr křivosti r → ∞. Zobrazením vznikne obraz za optickou plochou (zdánlivý) – vzdálenost obrazu a předmětu od vrcholu zrcadla je stejná (s = s´) – výška předmětu a obrazu je stejná (h = h´) – obraz je vzpřímený a stranově převrácený. Sférické (kulové) zrcadlo (obr. 9, obr. 10) je zrcadlo, jehož poloměr křivosti r > 0 pro duté zrcadlo nebo r < 0 pro vypouklé zrcadlo). Předmětové ohnisko sférického zrcadla je totožné s obrazovým (F ≡ F´) a leží mezi středem křivosti a vrcholem zrcadla, přičemž platí r f′= f = . (6) 2 Pro konkávní zrcadla je tedy f > 0, pro konvexní je f < 0. Rovnice sférického zrcadla udává souvislost mezi polohou předmětu a obrazu vzhledem k vrcholu zrcadla 1 1 1 + = . (7) s s′ f Pro (f > 0) a (s > f) vznikne tedy reálný obraz, v ostatních případech obraz zdánlivý. Zvětšení sférického zrcadla je dáno poměrem výšky obrazu a výšky předmětu h′ s′ M = =− . (8) h s Pro M > 0 je obraz vzpřímený, pro M < 0 převrácený. Pro |M| > 1 je obraz zvětšený, pro |M| < 1 zmenšený. Obraz je vzhledem k předmětu vždy stranově převrácený. Lámavá plocha je optická plocha, na které dochází k téměř úplnému lomu světla (ρ ≈ 0). Vlastnosti zobrazení závisí na tvaru plochy (např. rovinná, sférická) a na relativním indexu lomu (n1 > n2, resp. n1 < n2). Rovinná lámavá plocha (obr. 11) je plocha, o poloměru křivosti r → ∞. Zobrazením vznikne obraz před optickou plochou (zdánlivý) – vzdálenost obrazu je pro n1 < n2 menší (s < s´), pro n1 > n2 větší (s > s´) než vzdálenost předmětu, – velikost obrazu i předmětu je stejná, – obraz je vzpřímený.
OBRAZ: h’ zdánlivý (s’ < 0) vzpřímený (h’ > 0) O stejně vysoký (*M* = 1)
h P s
s’ r
h
OBRAZ: zdánlivý (s’ < 0) vzpřímený (h’ > 0) zmenšený (*M* < 1)
h’ OF’ S
P s
s’
Obr. 9 Zobrazení pomocí rovinného a vypouklého zrcadla (s > 0, h > 0) r OBRAZ: skutečný (s’ > 0) převrácený (h’ < 0) zvětšený (*M * > 1)
h
O
S PF
h’
s
s’
r OBRAZ: zdánlivý (s’ < 0) vzpřímený (h’ > 0) zvětšený (*M * > 1)
h h’ FP O
S
s
s’
Obr. 10 Zobrazení pomocí dutého zrcadla (s > 0, h > 0) n1 < n2 h’
OBRAZ: zdánlivý (s’ < 0) vzpřímený (h’ > 0) stejně vysoký (*M* = 1) vzdálenější (*s’* > *s *)
h O
P s’
s
n1 > n2 OBRAZ: zdánlivý (s’ < 0) vzpřímený (h’ > 0) stejně vysoký (*M* = 1) bližší (*s’* < *s *)
h h’ P O s’ s
Obr. 11 Zobrazení pomocí rovinné lámavé plochy (s > 0, h > 0) n1 < n 2 h’ O
r h P
S s
s’
OBRAZ: zdánlivý (s’ < 0) vzpřímený (h’ > 0) zvětšený (*M* > 1) vzdálenější (*s’* > *s *)
r
n1 > n2 S
h
h’
P O s’ s
OBRAZ: zdánlivý (s’ < 0) vzpřímený (h’ > 0) zvětšený (*M* > 1) bližší (*s’* < *s *)
Obr. 12 Zobrazení pomocí kulové lámavé plochy (s > 0, h > 0)
–4–
n
2
*m "1
"1
$1 $1 n
n $1 = 2
"1 =
n + *m 2
sin "1 = n sin $1
Obr. 13 Optická soustava hranolu a) h’1
h1 P
O1
s’1
r2 h’/h 2 1 O1
S1
n2 n1=1
s1
c) h’1
b)
r1
s2
S2 n2 n1 =1
h’2 s’2
n1 =1 n2
h1
S1
S2
O1 s1
OBRAZ: skutečný (s’2 > 0) převrácený (h’2 < 0)
h’2
s’2
t
Obr. 14 Konstrukce zobrazení pomocí čočky a) lom na první lámavé ploše, b) lom na druhé lámavé ploše, c) výsledné zobrazení f h’
f’
f’ h
h
O F
P
F’
h’ F’ O s’ s
P
s s’ f
f’ F’
h P
O
F s
h’
s’
Obr. 15 Zobrazení pomocí tenké čočky spojné čočky
rozptylné čočky
dvojvypuklá
dvojvydutá
ploskovypuklá
ploskovydutá
vypuklovydutá
vypuklovydutá
kladná
záporná
Obr. 16 Druhy čoček
f
F
Sférická (kulová) lámavá plocha (obr. 12) je plocha, jejíž poloměr křivosti je r > 0 (vypouklá) nebo r < 0 (dutá). Ohniska sférické lámavé plochy leží ve stejném prostoru. Jejich vzájemná poloha je dána vztahem n f′=−f 2 , (9) n1 kde n1, n2 jsou indexy lomu prostředí. Jejich poloha závisí na poloměru křivosti r lámavé plochy n r n r . (10) f = 1 , f′= 2 n1 − n2 n2 − n1 Rovnice sférické (kulové) lámavé plochy udává souvislost mezi polohou předmětu a obrazu vzhledem k vrcholu plochy n1 n2 n2 − n1 + = . (11) s s′ r Zvětšení obrazu vytvořeného lámavou plochou je dáno poměrem optických drah s/n1 a s´/n2 n ⋅ s′ h′ M = =− 1 . (12) h n2 ⋅ s Obraz je vzhledem k předmětu vždy stranově převrácený. Optický hranol (obr. 13) je zobrazovací prvek tvořený průhledným prostředím (τ ≈ 1), ohraničeným rovinnými optickými plochami. Je určen k odchylování světelných paprsků lomem a odrazem světla na rozhraní. Odchylka (deviace) δ paprsku po průchodu hranolem od původního směru závisí na úhlu dopadu paprsku na první plochu. Minimální odchylka (minimální deviace) δmin nastane pro takový úhel dopadu, kdy je chod paprsku symetrický vzhledem k lámavému úhlu φ. Index lomu hranolu lze určit z měření lámavého úhlu φ a minimální deviace δmin podle vztahu sin[(δ min + ϕ ) 2] n= . (13) sin (ϕ 2) Disperze světla v hranolu, tj. závislosti indexu lomu světla na jeho vlnové délce, lze využít k jeho rozkladu na spektrální složky Čočka (obr. 14) je zobrazovací prvek tvořený průhledným prostředím (τ ≈ 1), ohraničeným dvěma optickými plochami (kulovými nebo kulovou a rovinnou).
–5– Spojná čočka (spojka, obr. 16) je čočka s větší tloušťkou ve vrcholu než na okraji. Způsobuje lom paprsků směrem o ose. Rozptylná čočka (rozptylka, obr. 16) je čočka s větší tloušťkou na okraji než na vrcholu. Způsobuje lom paprsků od osy. Rovnice čočky udává souvislost mezi polohou předmětu a obrazu vzhledem k vrcholům optických ploch čočky 1 1 1 1 (14) + = (n − 1) ⋅ − , s1 s ′2 r1 r2
kde n = n2 n1 je relativní index lomu čočky a okolního prostředí. Tenká čočka (obr. 15) je čočka, jejíž poloměry jsou podstatně větší než její tloušťka d << r1, r2. Ohniska tenké čočky leží v prostorech oddělených čočkou. Jejich vzdálenost od středu čočky je stejná f ′ = f = 1/ D , (15) kde D je optická mohutnost čočky 1 1 D = (n − 1) − = (n − 1) ρ , (16) r1 r2 a ρ je vypuklost čočky. Jednotkou optické mohutnosti v soustavě SI je dioptrie [D] = D. Rovnice tenké čočky udává souvislost mezi polohou předmětu a obrazu vzhledem k ose čočky 1 1 1 + = . (17) s s′ f Zvětšení obrazu vytvořeného tenkou čočkou je dáno vztahem h′ s′ M = =− . (18) h s Obraz je vzhledem k předmětu vždy stranově převrácený. Sférická vada čočky (sférická aberace, obr. 17) je způsobena tím, že optická dráha světelných paprsků při okraji čočky je různá od optické dráhy světelných paprsků v blízkosti osy. Poloha ohniska světelných paprsků tedy závisí na jejich vzdálenosti od osy. Chromatická vada čočky (barevná aberace, obr. 17) je způsobena tím, že světlo různých vlnových délek se na rozhraní čočky láme pod různými úhly. Poloha ohniska světelných paprsků tedy závisí na vlnové délce světla.
F
F červená (r) fialová (v) červená (r)
fialová (v) Fv Fr
Fv Fr
Obr. 17 Sférické a chromatické vady čoček
objektiv
uzávěrka
clona
film
P
F
F
f s
O
f s’
Obr. 18 Optická soustava fotoaparátu
4. Jednoduché optické přístroje Fotoaparát (obr. 18) je přístroj umožňující zachytit obraz snímané skutečnosti optickou projekcí na záznamové médium (např. fotocitlivou vrstvu nebo CCD senzor). Světelnost (intenzita světla dopadající na záznamové médium) je definována vztahem 1 , (19) In = ( f d )2 kde f je ohnisková vzdálenost čočky a d její průměr. Lupa (obr. 19) je optický přístroj sloužící k pozorování malých předmětů. Nejjednodušší lupy jsou tvořeny jednou spojnou čočkou. Úhlové zvětšení lupy je dáno vztahem tg α 1 l0 m= = , l0 = 250 mm , (20) tg α 0 f1 kde α1 je zorný úhel, pod kterým je vidět předmět pod lupou, α0 zorný úhel, pod kterým je vidět tentýž předmět pouhým okem, f1 je ohnisková vzdálenost lupy, l0 je konvenční zraková vzdálenost, l0 = 250 mm. Jednoduché lupy mají zvětšení m ≈ 4. Mikroskop (obr. 20) je optický přístroj určený k pozorování velmi malých předmětů. Nejjednodušší mikroskopy sestávají ze dvou spojných čoček – objektivu a okuláru.
–6– Zvětšení mikroskopu je definováno jako součin úhlového zvětšení okuláru (5.26) a zvětšení objektivu (5.23) ( L − f1 − f 2 ) l 0 , (21) M = M 2m = − f1 f 2 kde L je vzdálenost čoček objektivu a okuláru, f2 je ohnisková vzdálenost objektivu, f1 okuláru. Jednoduché mikroskopy mají zvětšení m ≈ 3000 a rozlišovací schopnost ≈ 500 nm.
"0
h P
l0.250 mm l0.250 mm h’
Dalekohled (obr. 21) je optický přístroj určený k pozorování vzdálených předmětů. Nejjednodušší dalekohledy sestávají opět ze dvou spojných čoček – objektivu a okuláru. Zvětšení dalekohledu je definováno vztahem tg α 2 f m= =− 1 , (22) tg α 1 f2 kde α2 je úhel vstupního α2 úhel výstupního paprsku, f2 je ohnisková vzdálenost objektivu, f1 ohnisková vzdálenost okuláru.
F h " P s
O
f1
Obr. 19 Optická soustava lupy objektiv
okulár F1
P
F2 O1
F1 f2
O2
L
f1
Obr. 20 Optická soustava mikroskopu objektiv
okulár
"1
"2 F2
F2 F1 O1
O2
f1
f2
f2
Obr. 21 Optická soustava dalekohledu
sítnice (retina) tyčinky (roads) čípky (cones)
duhovka (iris)
rohovka (cornea) komorová voda (aqueous)
čočka (lens) žlutá skvrna slepá skvrna sklivec (corpus vitreum)
Obr. 22 Optická soustava oka
zrakový nerv
5. Optická soustava oka Optická soustava lidského oka (obr. 22, obr. 22) je tvořena čtyřmi optickými prostředími (rohovkou, komorovou vodou, čočkou a sklivcem), které jsou odděleny třemi optickými plochami (rohovka, přední plocha čočky, zadní plocha čočky). Množství světla vstupujícího do oka reguluje duhovka velikostí otvoru (zornice) ve svém středu. Vnitřní vrstvu oční stěny tvoří vlastní světlocitlivá vrstva (sítnice), která je tvořena tyčinkami (citlivost) a čípky (barva). Ohniska standardního oka vzhledem k vrcholu rohovky jsou f = – 15 mm (předmětové), f´ = 23,9 mm (obrazové), střední optická mohutnost oka je 60 ÷ 70 D. Barevné vidění člověka (fotopické vidění) je charakterizováno spektrální citlivostí barevných fotoreceptorů (čípků) na sítnici oka (ρ – červený, γ – zelený, β – modrý). Je zprostředkováno za vyšších intenzit osvětlení (E > 10 cd.m–2) a umožňuje vidění barev. Nebarevné vidění člověka (skotopické vidění) je charakterizováno spektrální citlivostí nebarevných fotoreceptorů (tyčinek) na sítnici oka. Je zprostředkováno při nízkých intenzitách osvětlení (E > 10–3 cd.m–2) umožňuje vidění za šera. Pro intenzity osvětlení E 0 +10–3, 10 , cd.m–2 jsou v činnosti oba druhy fotoreceptorů sítnice. Takový způsob vidění se nazývá mezopický.
