Z´aklady matematiky pro FEK 12. pˇredn´aˇska ˇ Blanka Sediv´ a KMA
zimn´ı semestr 2016/2017
ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
Z´ aklady matematiky pro FEK
zimn´ı semestr 2016/2017
1 / 15
Integrov´an´ı jako inverzn´ı operace I
pˇr´ıklady inverzn´ıch operac´ı v matematice I I I I
I I I
sˇc´ıt´an´ı a odˇc´ıt´an´ı n´asoben´ı a dˇelen´ı hled´an´ı inverzn´ı funkce pro funkci f hled´an´ı inverzn´ı matice pro regul´arn´ı matici
pro derivov´an´ı je inverzn´ım procesem anti-derivov´an´ı, nebo-li integrov´an´ı integrov´an´ı je proces, kdy zn´ame derivaci funkce a hled´ame funkci p˚ uvodn´ı jestliˇze F 0 (x) = f (x), pak antiderivace funkce f (x) je definov´ana jako neurˇcit´y integr´al (primitivn´ı funkce) funkce f a zapisujeme Z F (x) + c f (x) dx = |{z} | {z } |{z} integrand
integraˇ cn´ı konstanta
primitivn´ı funkce
| I
A
{z
neurˇ cit´ y integr´ al
c je libovoln´a re´aln´a konstanta, tedy c ∈ R
ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
Z´ aklady matematiky pro FEK
}
zimn´ı semestr 2016/2017
2 / 15
Primitivn´ı funkce Definice: Primitivn´ı funkce k funkci f ˇ Rekneme, ˇze F (x) je primitivn´ı funkc´ı k funkci f na intervalu (a, b), pokud na tomto intervalu plat´ı F 0 (x) = f (x) I
primitivn´ı funkce nen´ı urˇcena jednoznaˇcnˇe
I
primitivn´ı funkce se liˇs´ı o konstantu (pokud F (x) je primitivn´ı funkce, pak G (x) = F (x) + c je tak´e primitivn´ı funkce pro libovoln´e c ∈ R
I I
hled´an´ı primitivn´ıch funkc´ı je netrivi´aln´ı proces
existuj´ı hezk´e“ funkce f , ke kter´ym neexistuje analytick´y pˇredpis pro ” primitivn´ı funkci 2 napˇr. f (x) = e−x ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
Z´ aklady matematiky pro FEK
zimn´ı semestr 2016/2017
3 / 15
Grafick´e zn´azornˇen´ı primitivn´ıch funkc´ı 4
2
−1
−0.5
0.5
1
−2
ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
−4 Z´ aklady matematiky pro FEK
zimn´ı semestr 2016/2017
4 / 15
Z´akladn´ı primitivn´ı funkce I
R
0 dx = c
I
R
1 dx = x + c
I
R
x dx =
I
R
x 2 dx
I
R
x n dx
I
R
1 x
I
R
ex dx = ex + c
I
R
ax dx =
I
R
ln(x) dx = x · ln x − x + c
I
R
sin(x) dx = − cos(x) + c,
x2 2 +c 3 = x3 + c n+1 = xn+1 +
c
dx = ln |x| + c ax ln a
ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
+c
R
cos(x) dx = sin(x) + c
Z´ aklady matematiky pro FEK
zimn´ı semestr 2016/2017
5 / 15
Z´akladn´ı integraˇcn´ı techniky I
integrace souˇctu Z Z Z αf (x) + βg (x) dx = α f (x) dx + β g (x) dx
I
integrace jednoduch´e sloˇzen´e funkce Z F (αx + β) f (αx + β) dx = +c α
I
integrace souˇcinu (per partes ⇒ viz. ZM2) Z Z 0 f (x) · g (x) dx = f (x) · g (x) − f (x) · g 0 (x) dx
ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
Z´ aklady matematiky pro FEK
zimn´ı semestr 2016/2017
6 / 15
Urˇcen´ı integraˇcn´ı konstanty I I I
R neurˇcit´y integr´al f (x) dx = F (x) + c je syst´em primitivn´ıch funkc´ı pˇrid´ame poˇc´ateˇcn´ı podm´ınku, ame konkr´etn´ı primitivn´ı funkci R 2 hled´ 3 hled´ame primitivn´ı funkci x (x − 5) dx s poˇc´ateˇcn´ı podm´ınkou y (0) = 2 R 2 3 x6 5 3 − x +c x (x − 5) dx = 3 {z } |6 y (x)
y (0) = 2 06
5 − 03 + c = 2 6 3 c=2
I
hledan´a primitivn´ı funkce je y (x) = ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
x6 6
− 53 x 3 + 2
Z´ aklady matematiky pro FEK
zimn´ı semestr 2016/2017
7 / 15
Obsah plochy pod kˇrivkou I I
uvaˇzujeme kˇrivku y = f (x) a interval ha; bi odhad obsahu plochy S pod kˇrivkou z´ısk´ame tak, ˇze interval rozdˇel´ıme na n podinterval˚ u ha = x0 ; x1 i , hx1 ; x2 i , . . . , hxn−1 ; b = xn i a plochu odhadujeme jako souˇcet obsahu obd´eln´ık˚ u (d´elka vˇsech podinterval˚ u je stejn´a ∆x) n X Rn = f (xi∗ )∆x i=1
x0
x∗0
x1
x∗1
x2
ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
x∗2
x3
x∗3
x4
x0 x∗0 x1 x∗1 x2 x∗2 x3 x∗3 x4 x∗4 x5 x∗5 x6 x∗6 x7 x∗7 x8
Z´ aklady matematiky pro FEK
zimn´ı semestr 2016/2017
8 / 15
Urˇcit´y Riemann˚ uv integr´al I
Rn naz´yv´ame Riemann˚ uv integr´aln´ı souˇcet pokud existuje lim Rn pak se jedn´a o obsah plochy pod kˇrivkou
I
urˇcit´y Riemann˚ uv integr´al
I
n→+∞
Zb f (x) dx = lim
n→+∞
a I
n X
f (xi∗ )∆x
i=1
Rb pokud funkce f nab´yv´a kladn´ych i z´aporn´ych hodnot, pak a f (x) dx je obsah plochy nad osou x m´ınus obsah plochy pod osou x
ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
Z´ aklady matematiky pro FEK
zimn´ı semestr 2016/2017
9 / 15
Z´akladn´ı vlastnosti urˇcit´eho integr´alu Budeme uvaˇzovat funkci f , pro kterou existuje urˇcit´y integr´ al a f (x) ≥ 0
Z a I I I I
b
f (x) dx = [F (x)]x=b x=a = F (b) − F (a)
Ra f (x) dx = 0 Raa Rb f (x) dx = − a f (x) dx b Rb Rc Rb a f (x) dx = a f (x) dx + c f (x) dx, pro a < c < b pokud 0 ≤ f (x) ≤ g (x) lze plochu mezi funkcemi vypoˇc´ıtat jako rozd´ıl urˇcit´ych integr´al˚ u 1.5
1
0.5
ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
0.5
1
1.5
Z´ aklady matematiky pro FEK
zimn´ı semestr 2016/2017
10 / 15
V´ypoˇcet plochy vymezen´e kˇrivkami I
Vypoˇctˇete obsah plochy vymezen´e kˇrivkami f : y = 1 − (x − 1)2 a g : y = x4
I
najdu pr˚ useˇc´ıky kˇrivek, body [0; 0] a [7/4; 7/16]
I
urˇc´ım integr´aly
7/4 R 0
I
7/4 R
celkov´a plocha
0 f
1 − (x − 1)2 dx ≈ 1.2760 a
1 − (x − 1)2 −
x 4
f
g 7 16
ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
dx ≈ 0.3828
f
g
7 4
0
x 4
dx ≈ 0.8932
f
7 16
7/4 R
g 7 16
7 4
Z´ aklady matematiky pro FEK
g 7 16
7 4
zimn´ı semestr 2016/2017
7 4
11 / 15
Urˇcit´y integr´al a jeho pouˇzit´ı v ekonomick´ych aplikac´ıch I. Uvaˇzujeme dva investiˇcn´ı pl´any, kter´e v ˇcase t generuj´ı zisk P1 (t), resp. P2 (t) a P10 (t) a P20 (t) pˇredstavuj´ı tedy m´ıru zisku (rate of profit) v ˇcase t. Pak zisk (excess profit) pl´anu 2 oproti pl´anu 1 je E (t) = P2 (t) − P1 (t). ˇ y zisk (net excess profit) za dobu 0 ≤ t ≤ N je Cist´ NE = E (N) − E (0) =
Z 0
N
P20 (t) − P10 (t) dt
Pˇr´ıklad: P10 (t) = 50 + t 2 a P20 (t) = 200 + 5t, pak pro t ∈ (0, 15) plat´ı P10 (t) ≤ P20 (t) a Z NE = 0
ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
15
200 + 5t − 50 − t 2 dt = 1687.5
Z´ aklady matematiky pro FEK
zimn´ı semestr 2016/2017
12 / 15
Urˇcit´y integr´al a jeho pouˇzit´ı v ekonomick´ych aplikac´ıch II. I
uvaˇzujeme popt´avkovou funkci p = D(q)
I
popt´avkovou funkci lze ch´apat t´eˇz jako m´ıru zmˇeny celkov´e ˇc´astky A(q), kterou jsou spotˇrebitel´e ochotni utratit pro q jednotek
I I
dA dq
= D(q)
A(q0 ) − A(0) =
Rq0 0
dA dq
dq =
Rq0
D(q) dq
0
p = D(q) = 100 − 4x2
celkov´ a ˇca ´stka, kterou jsou spotˇrebitel´e ochotni zaplatit
264
ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
Z´ aklady matematiky pro FEK
zimn´ı semestr 2016/2017
13 / 15
Urˇcit´y integr´al a jeho pouˇzit´ı v ekonomick´ych aplikac´ıch II. I
uvaˇzujeme popt´avkovou funkci p = D(q)
I
popt´avkovou funkci lze ch´apat t´eˇz jako m´ıru zmˇeny celkov´e ˇc´astky A(q), kterou jsou spotˇrebitel´e ochotni utratit pro q jednotek
I I
dA dq
= D(q)
A(q0 ) − A(0) =
Rq0 0
dA dq
dq =
Rq0
D(q) dq
0
p = D(q) = 100 − 4x2
celkov´ a ˇca ´stka, kterou jsou spotˇrebitel´e ochotni zaplatit
264
ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
Z´ aklady matematiky pro FEK
zimn´ı semestr 2016/2017
14 / 15
Urˇcit´y integr´al a jeho pouˇzit´ı v ekonomick´ych aplikac´ıch II.
p = D(q)
p = D(q)
p0
p = D(q)
Pˇrebytek spotˇrebitele
p0
p0
celkov´ a ˇca ´stka, kterou jsou spotˇrebitel´e ochotni zaplatit
Skuteˇcn´e n´ aklady
q0
q0
p = D(q)
p = D(q) p = S(q)
p0 Pˇrebytek producenta
p0
p = S(q)
Pˇrebytek spotˇrebitele Pˇrebytek producenta
q0
ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
q0
Z´ aklady matematiky pro FEK
q0
zimn´ı semestr 2016/2017
15 / 15
