Z´aklady matematiky pro FEK 8. pˇredn´aˇska ˇ Blanka Sediv´ a KMA
zimn´ı semestr 2016/2017
ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
Z´ aklady matematiky pro FEK
zimn´ı semestr 2016/2017
1 / 14
Derivace funkce I
U line´arn´ıch funkc´ı ve tvaru f : y = a · x + b jsme schopni podle smˇernice a rozpoznat, zda funkce je klesaj´ıc´ı nebo rostouc´ı.
I
U line´arn´ıch funkc´ı je rychlost r˚ ustu“ nebo poklesu pro vˇsechna x ” shodn´a a je vyj´adˇrena pr´avˇe ˇc´ıslem a. Hodnota ˇc´ısla a n´am pak vyjadˇruje, o kolik vzroste f , pokud x vzroste o ∆x. Matematicky m˚ uˇzeme tuto z´avislost zapsat jako ∆f = a · ∆x.
I
U neline´arn´ıch funkc´ı m˚ uˇze b´yt rychlost r˚ ustu“ nebo poklesu v ” r˚ uzn´ych bodech r˚ uzn´a, proto ˇc´ıslo vyjadˇruj´ıc´ı tento r˚ ust nebo pokles mus´ı b´yt vˇzdy vztaˇzeno ke konkr´etn´ımu bodu x0 , ze kter´eho vych´az´ıme.
ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
Z´ aklady matematiky pro FEK
zimn´ı semestr 2016/2017
2 / 14
Diferenˇcn´ı pod´ıl a derivace a jejich geometrick´a interpretace Definice: Diferenˇ cn´ı pod´ıl Diferenˇcn´ı pod´ıl funkce f v bodˇe x0 je pomˇer pˇr´ır˚ ustk˚ u (diferenc´ı) ∆f funkce f a pˇr´ır˚ ustku (diference) ∆x argumentu x. ∆f f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = ∆x x − x0 I I I I
Diferenˇcn´ı pod´ıl ud´av´a smˇernici seˇcny P0 P, kde bod P0 = [x0 , f (x0 )] a bod P = [x, f (x)]. Kladn´e hodnoty diferenˇcn´ıho pod´ılu odpov´ıdaj´ı rostouc´ı funkci. Z´aporn´e hodnoty diferenˇcn´ıho pod´ılu odpov´ıdaj´ı klesaj´ıc´ı funkci. U line´arn´ıch funkc´ı je diferenˇcn´ı pod´ıl pro vˇsechny body x0 a pro vˇsechny diference ∆x stejn´y a odpov´ıd´a parametru a z funkˇcn´ıho pˇredpisu f (x) = a · x + b. ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
Z´ aklady matematiky pro FEK
zimn´ı semestr 2016/2017
3 / 14
Ilustrace diferenˇcn´ıho pod´ılu ∆f /∆x f (x0 + ∆x)
∆f f (x0 )
∆x
x0
ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
x0 + ∆x Z´ aklady matematiky pro FEK
zimn´ı semestr 2016/2017
4 / 14
Derivace funkce f v bodˇe x0 Definice derivace funkce v bodˇ e x0 Existuje-li vlastn´ı limita f (x) − f (x0 ) ∆f f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = lim = lim x→x ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x x − x0 0 lim
ˇr´ık´ame, ˇze funkce f m´ a v bodˇ e x0 derivaci. Tuto limitu oznaˇcujeme f 0 (x0 ) nebo ∂f nebo ∂x x0 nebo f˙(x0 ).
df d x (x0 )
nebo
df d x x0
nebo
∂f ∂x (x0 )
I
Derivaci funkce v bodˇe z´ısk´ame limitn´ım pˇrechodem diferenˇcn´ıho pod´ılu pro ∆x → 0.
I
Pˇri definici derivace jiˇz nepotˇrebujeme“ zn´at velikost diference ∆x, ” protoˇze uvaˇzujeme diferenci limitnˇe bl´ızkou nule. ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
Z´ aklady matematiky pro FEK
zimn´ı semestr 2016/2017
5 / 14
Ilustrace derivace funkce f 0 (x) 4 f (x) 3
2
f 0 (x)
1
1
2
3
4
Derivace funkce f v bodˇe x0 ud´av´a smˇernici teˇcny kˇrivky dan´e rovnic´ı y = f (x) v bodˇe P0 = [x0 , f (x0 )]. ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
Z´ aklady matematiky pro FEK
zimn´ı semestr 2016/2017
6 / 14
Derivace funkce na intervalu
Stejnˇe jako u spojitosti rozˇs´ıˇr´ıme pojem derivace v bodˇe x0 na uzavˇren´y interval. Pak mluv´ıme o funkci, kter´a m´a derivace ve vˇsech bodech intervalu nebo zkr´acenˇe o diferencovateln´e funkci. Definice: derivace funkce na intervalu - diferencovateln´ a funkce Funkce f je diferencovateln´ a na uzavˇren´ em intervalu ha; bi pr´avˇe tehdy, kdyˇz m´a derivaci v kaˇzd´em vnitˇrn´ım bodˇe intervalu a v krajn´ıch bodech m´a derivaci zleva resp. zprava. Funkce, jej´ıˇz funkˇcn´ı hodnota v kaˇzd´em bodˇe x ∈ (a, b) je f 0 (x) se naz´yv´a derivace funkce f na intervalu (a, b).
ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
Z´ aklady matematiky pro FEK
zimn´ı semestr 2016/2017
7 / 14
Vztah diferencovatelnosti a spojitosti Vˇ eta o vztahu diferencovatelnosti a spojitosti Jestliˇze funkce f m´a derivaci v x0 , pak je funkce v bodˇe x0 spojit´a. I
Obr´acen´a implikace neplat´ı. Funkce spojit´a v bodˇe x0 ; funkce m´a v bodˇe x0 vlastn´ı derivaci.
I
Napˇr´ıklad funkce f (x) = |x| je spojit´a v bodˇe x0 = 0, ale nem´a v tomto bodˇe derivaci.
I
Existence derivace v bodˇe x0 je silnˇejˇs´ı vlastnost neˇz spojitost.
I
Spojit´e funkce, kter´e nemaj´ı v bodˇe x0 derivaci, maj´ı v tomto bodˇe hrot“, ve kter´em nelze nakreslit teˇcnu. ”
ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
Z´ aklady matematiky pro FEK
zimn´ı semestr 2016/2017
8 / 14
Ilustrace funkc´ı, kter´e maj´ı/nemaj´ı v bodˇe x0 derivaci I
Funkce, kter´e maj´ı v bodˇe x0 derivaci 4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
1
I
2 x0
3
4
1
2 x0
3
4
1
2 x0
3
4
1
2 x0
3
4
Funkce, kter´e nemaj´ı v bodˇe x0 derivaci 4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
1
2 x0
ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
3
4
1
2 x0
3
Z´ aklady matematiky pro FEK
4
zimn´ı semestr 2016/2017
9 / 14
Derivace vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚ u Stejn´ym postupem jako prvn´ı derivaci zavedeme derivace vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚ u. Pokud prvn´ı derivace odpov´ıd´a pˇr´ır˚ ustku (diferenci) funkce, pak druh´a derivace popisuje pˇr´ır˚ ustek pˇr´ır˚ ustku a tak d´ale. Definice derivace druh´ eho ˇr´ adu Existuje-li vlastn´ı limita lim
x→x0
f 0 (x) − f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) x − x0
ˇr´ık´ame, ˇze funkce f m´a v bodˇe x0 druhou derivaci. 2 Tuto limitu oznaˇcujeme f 00 (x0 ) nebo dd xf2 (x0 ) nebo ∂2f ∂2f ¨ (x ) nebo ∂x 2 x0 nebo f (x0 ). ∂x 2 0
ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
Z´ aklady matematiky pro FEK
d 2f x d x2 0
nebo
zimn´ı semestr 2016/2017
10 / 14
Pˇrehled derivac´ı element´arn´ıch funkc´ı I.
I
(x n )0 = nx n−1
I (x −n )0
=
I
(x a )0 = ax a−1
I
(ax )0 = ax ln a
I
I I
pro n ∈ N
−nx −n−1
speci´alnˇe (loga x)0 =
pro n ∈ N, x 6= 0 pro a ∈ R, x > 0 pro a > 0
(e x )0
=
ex
1 x ln a
speci´alnˇe
ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
pro x > 0, a > 0, a 6= 1 (ln x)0
=
1 x
Z´ aklady matematiky pro FEK
zimn´ı semestr 2016/2017
11 / 14
Pˇrehled derivac´ı element´arn´ıch funkc´ı II. I
(sin x)0 = cos x
I
(cos x)0 = − sin x
I
(tgx)0 =
I
(cotgx)0 = − sin12 x
1 cos2 x
pro x 6= (2k + 1) π2 ; k ∈ Z pro x 6= kπ; k ∈ Z
(arcsin x)0 =
√ 1 1−x 2 0 I (arccos x) = − √ 1 1−x 2 I
I
(arctgx)0 =
I
1 (arccotgx)0 = − 1+x 2
pro |x| < 1 pro |x| < 1
1 1+x 2
ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
Z´ aklady matematiky pro FEK
zimn´ı semestr 2016/2017
12 / 14
Pravidla pro derivov´an´ı Vˇ eta: z´ akladn´ı pravidla pro derivov´ an´ı Necht’ u, v , f , g , u1 , u2 , . . . jsou diferencovateln´e funkce promˇenn´e x. Pak plat´ı (1) (konst)0 = 0 (2) (u1 + u2 + . . .)0 = u10 + u20 + . . . (3) (u · v )0 = u 0 · v + u · v 0 (4) ( vu )0 =
u 0 v −uv 0 v2
pro v (x) 6= 0
(5) (f (g (x)))0 = f 0 (g (x))g 0 (x)
ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
Z´ aklady matematiky pro FEK
(derivace sloˇzen´e fce)
zimn´ı semestr 2016/2017
13 / 14
Pravidla pro derivov´an´ı II Vˇ eta: pravidla pro derivov´ an´ı Necht’ u, v , f , g , u1 , u2 , . . . jsou diferencovateln´e funkce promˇenn´e x. Pak plat´ı (6) (ln f (x))0 =
(7)
(f g )0
=
f 0 (x) f (x)
0 e g ·ln(f )
pro f (x) > 0
=
fg
g 0 ln (f )
1 +g f0 f
pro f (x) > 0
(8) jestliˇze x = g (y ) je inverzn´ı funkce k funkci y = f (x) a existuje-li v bodˇe c derivace f 0 (c) 6= 0, pak v bodˇe d = f (c) existuje g 0 (d) a plat´ı g 0 (d) = ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
1 f 0 (c)
Z´ aklady matematiky pro FEK
zimn´ı semestr 2016/2017
14 / 14
