Z´aklady matematiky pro FEK 7. pˇredn´aˇska ˇ Blanka Sediv´ a KMA
zimn´ı semestr 2016/2017
ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
Z´ aklady matematiky pro FEK
zimn´ı semestr 2016/2017
1 / 15
Jednostrann´e limity Definice: Vlastn´ı limita ve vlastn´ım bodˇ e zprava Funkce f m´a v bodˇe x0 vlastn´ı limitu zprava, tedy lim f (x) = A x→x0 +
pokud existuje ˇc´ıslo A ∈ R, tak, ˇze ∀ε > 0∃ δ > 0 tak, ˇze ∀x : x ∈ (x0 , x0 + δ), x 6= x0 , plat´ı f (x) ∈ (A − ε, A + ε) Definice: Vlastn´ı limita ve vlastn´ım bodˇ e zleva Funkce f m´a v bodˇe x0 vlastn´ı limitu zleva, tedy
lim f (x) = A
x→x0 −
pokud existuje ˇc´ıslo A ∈ R, tak, ˇze ∀ε > 0∃ δ > 0 tak, ˇze ∀x : x ∈ (x0 − δ, x0 ), x 6= x0 , plat´ı f (x) ∈ (A − ε, A + ε) Jednostrann´e limity poˇc´ıt´ame pouze pro vlastn´ı body. ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
Z´ aklady matematiky pro FEK
zimn´ı semestr 2016/2017
2 / 15
Uk´azka funkc´ı, u nichˇz lim f (x) = A x→x0 +
3
3
3
A 2
A 2
A 2
1
1
1
1
x0
2
3
4
5
1
x0
2
3
4
5
3
3
3
A 2
A 2
A 2
y
y
1
x0
x 2
3
ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
4
5
x0
2
3
4
5
1
x0
x 2
3
4
5
y
1
1
1
1
1
x0
x 2
3
4
Z´ aklady matematiky pro FEK
5
zimn´ı semestr 2016/2017
3 / 15
Vztah jednostrann´ych a dvoustrann´ych limit
Vˇ eta o vztahu dvoustrann´ e a jednostrann´ ych limit Funkce f m´a v bodˇe limitu pr´avˇe tehdy, kdyˇz limita zleva se rovn´a limitˇe zprava. lim f (x) = lim f (x) = A ⇔ lim f (x) = A
x→+x0
ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
x→−x0
Z´ aklady matematiky pro FEK
x→x0
zimn´ı semestr 2016/2017
4 / 15
Limita funkce a funkˇcn´ı hodnoty
I
V pˇr´ıpadech, kdy jsme studovali limitn´ı chov´an´ı funkce f v okol´ı bodu x0 jsme uk´azali, ˇze funkˇcn´ı hodnota a limitn´ı hodnota mohou, ale nemus´ı b´yt shodn´e.
I
Pˇritom body, ve kter´ych jsou limitn´ı hodnota a funkˇcn´ı hodnota funkce f shodn´e, jsou zaj´ımav´e, protoˇze v tˇechto bodech je graf funkce nepˇreruˇsen“. ” Matematicky pouˇz´ıv´ame term´ın, ˇze funkce f je ve studovan´ em bodˇ e spojit´ a.
I
ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
Z´ aklady matematiky pro FEK
zimn´ı semestr 2016/2017
5 / 15
Spojitost f v bodˇe x0 Definice: spojitost funkce v bodˇ e Funkce f je spojit´a v bodˇe x0 , pokud lim f (x) = f (x0 ). x→x0
ˇ cti. . .ˇrekneme, ˇze funkce f je spojit´a v (hromadn´em) bodˇe x0 , pokud limita funkce f v bodˇe x0 je rovna funkˇcn´ı hodnotˇe v dobˇe x0 . . .
(a) O spojitosti m´a smysl mluvit pouze v takov´em bodˇe, kdy existuj´ı dalˇs´ı body v jeho okol´ı (hromadn´y bod). (b) Funkce nem˚ uˇze b´yt spojit´a v bodˇe x0 , pokud limita v tomto bodˇe neexistuje nebo nen´ı koneˇcn´a. (c) Pokud pracujeme s pojmy jednostrann´a limita, lze definovat spojitost zleva a zprava v bodˇe x0 def
f je spojit´a zprava/zleva v x0 ←→ lim f (x) = f (x0 ) x→x0 ±
ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
Z´ aklady matematiky pro FEK
zimn´ı semestr 2016/2017
6 / 15
Ilustrace spojitosti a nespojitosti v bodˇe Spojit´a funkce
Nespojit´a funkce
y
y f (x0 )
2
2 f (x0 ) = A = limx→x0 f (x)
1
A = limx→x0 f (x) 1
x 1
2 x0
3
x
4
1
Spojit´a pouze zprava
4
limx→x0 + f (x)
y
2
2
1.5
1.5
1
3
Spojit´a pouze zleva
f (x0 ) = limx→x0 + f (x)
y
2 x0
1
limx→x0 − f (x)
0.5
f (x0 ) = limx→x0 − f (x)
0.5 x 1
2 x0
ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
3
4
x 1
2 x0
Z´ aklady matematiky pro FEK
3
4
zimn´ı semestr 2016/2017
7 / 15
Lok´aln´ı vlastnosti spojit´ych funkc´ı Vˇ eta o lok´ aln´ıch vlastnostech spojit´ ych funkc´ı Necht’ funkce f je spojit´a v bodˇe x0 , pak (A) existuje okol´ı bodu x0 , ve kter´em je funkce omezen´a (B) pokud f (x0 ) 6= 0, existuje okol´ı, ve kter´em funkce f zachov´av´a znam´enko. y
y
y
3
3
2 2
2
f (x0 ) = A = limx→x0 f (x) 1
f (x0 ) = A = limx→x0 f (x) 1
x 1
2 x0
3
ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
4
f (x0 ) = A = limx→x0 f (x) 1
x 1
2 x0
3
4
Z´ aklady matematiky pro FEK
x 1
2 x0
3
4
zimn´ı semestr 2016/2017
8 / 15
Algebraick´e vlastnosti spojit´ych funkc´ı a spojitost sloˇzen´e funkce
(A) Jsou-li funkce f a g spojit´e v bodˇe x0 , pak funkce f ± g , f · g , |f | a f e v bodˇe x0 . g , g (x) 6= 0 jsou spojit´ ˇ cti. . . souˇcet spojit´ych funkc´ı je spojit´a funkce . . . ˇ cti. . . souˇcin spojit´ych funkc´ı je spojit´a funkce . . .
(B) Je-li funkce f spojit´a v bodˇe x0 a funkce g spojit´a v bodˇe f (x0 ), pak funkce g (f (x)) je spojit´a v bodˇe x0 . ˇ cti. . . sloˇzen´ı spojit´ych funkc´ı je spojit´a funkce . . .
ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
Z´ aklady matematiky pro FEK
zimn´ı semestr 2016/2017
9 / 15
Body nespojitosti V bodech nespojitosti plat´ı lim f (x) 6= f (x0 )
x→x0
Klasifikace bod˚ u nespojitosti Bod nespojitosti m˚ uˇze b´yt n´asleduj´ıc´ıho druhu: (A) Odstraniteln´ a nespojitost, pokud lim f (x) a lim f (x) x→x0−
x→x0+
jsou koneˇcn´e a shodn´e. (B) Bod nespojitosti prvn´ıho druhu - skok, pokud lim f (x) a x→x0−
lim f (x) jsou koneˇcn´e a r˚ uzn´e.
x→x0+
(C) Bod nespojitosti druh´ eho druhu, pokud alespoˇ n jedna z limit lim f (x) a lim f (x) je nekoneˇcn´a nebo neexistuje. x→x0−
ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
x→x0+
Z´ aklady matematiky pro FEK
zimn´ı semestr 2016/2017
10 / 15
Ilustrace bod˚ u nespojitosti Odstraniteln´a nespojitost
Nespojitost I.druhu - skok
y
y
3
3
2
2
1
1 x
x 1
2 x0
3
1
4
2 x0
3
4
Nespojitost II. druhu y 3
2
1 x 1
ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
2 x0
3
Z´ aklady matematiky pro FEK
4
zimn´ı semestr 2016/2017
11 / 15
Spojitost funkce na uzavˇren´em intervalu I = ha; bi Definice funkce spojit´ e na intervalu Funkce f je spojit´ a na uzavˇren´ em intervalu I = ha; bi, pr´avˇe tehdy kdyˇz je spojit´a v kaˇzd´em vnitˇrn´ım bodˇe intervalu a v krajn´ıch bodech je spojit´a zleva resp. zprava.
y
spojit´a na ha; bi
spojit´a na (a; b) y
3
3
2
2
1
1
x 1 a
2
ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
3 b
4
Z´ aklady matematiky pro FEK
x 1 a
2
3 b
4
zimn´ı semestr 2016/2017
12 / 15
Glob´aln´ı vlastnosti spojit´ych funkc´ı Vˇ eta o koˇrenu spojit´ e funkce Necht’ funkce f je spojit´a na intervalu ha; bi a plat´ı f (a) · f (b) < 0, pak existuje bod c ∈ ha; bi takov´y, ˇze f (c) = 0. ˇ sitelnost neline´arn´ıch rovnic) Necht’ funkce f je spojit´a ha; bi D˚ usledek: (Reˇ a necht’ f (a) 6= f (b), pak pro libovoln´e y0 ∈ hf (a); f (b)i, existuje alespoˇ n jedno x0 takov´e, ˇze y0 = f (x0 ). Weierstrassova vˇ eta Je-li funkce f spojit´a na intervalu ha; bi, pak je funkce f na tomto intervalu omezen´a. POZOR: Implikace naopak neplat´ı. Funkce omezen´a na intervalu nemus´ı b´yt spojit´a na intervalu. ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
Z´ aklady matematiky pro FEK
zimn´ı semestr 2016/2017
13 / 15
Ilustrace vˇety o koˇrenu spojit´e funkce y
y
2
2
x 1 a
2
3
5
1
a
b
−2
ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
4
−2
Z´ aklady matematiky pro FEK
zimn´ı semestr 2016/2017
14 / 15
Glob´aln´ı vlastnosti spojit´ych funkc´ı
(A) Je-li funkce f spojit´a na intervalu ha; bi, pak je f (ha; bi) opˇet interval nebo jednobodov´a mnoˇzina. (B) Je-li f ostˇre monot´onn´ı na intervalu I a f (I ) je opˇet interval, pak f je spojit´a. (C) Je-li f spojit´a a prost´a na intervalu I , pak existuje funkce inverzn´ı a je tak´e spojit´a na f (I ).
ˇ Blanka Sediv´ a (KMA)
Z´ aklady matematiky pro FEK
zimn´ı semestr 2016/2017
15 / 15
