ZÁKLADY FYZIKY. Jana Trojková

ZÁKLADY FYZIKY

Jana Trojková

Skripta byla vytvořena v rámci projektu CZ.04.1.03/3.2.15.1/0020 „Rozvoj oboru Biomedicínská technika a zvýšení uplatnitelnosti jeho absolventů na trhu práce v návaznosti na zákon č. 96/2004 Sb.ÿ, financovaného z rozpočtu EU i rozpočtu České republiky.

Předmluva Vážení studující, dostáváte do rukou studijní materiál ke kurzu Základy fyziky, připravený s ohledem na specifické potřeby výuky ve studijním programu Elektrotechnika na Fakultě elektrotechniky a informatiky. Tento předmět absolvují studenti v zimním semestru 1. ročníku bakalářského studia a měl by je připravit pro pokud možno bezproblémové absolvování předmětu Fyzika 1, navazujícího na něj v letním semestru. Předmět je zaměřen na upevnění a doplnění základních fyzikálních poznatků ze střední školy z oblasti mechaniky, hydromechaniky a termodynamiky, seznámení s metodami řešení problémů pomocí zjednodušených modelů, ujasnění role příčiny a následku ve fyzikálních dějích, využití zákonů zachování při řešení úloh. Záměrně se text vůbec nevěnuje popisu silového působení z hlediska neinerciálních systémů, protože studenti při pouze zběžném seznámení se setrvačnými silami je často aplikují nevhodným způsobem nebo zkratkovitě a ztrácejí tak jasnou souvislost řešení úloh s platností Newtonových zákonů. Této problematice se budete hlouběji věnovat ve Fyzice 1. Jen velmi letmo se text také dotýká pohybu tuhých těles, který bude opět detailně probrán ve Fyzice 1. Z optiky je diskutován pouze zákon lomu. Protože pro zvládnutí navazující Fyziky 1 je nezbytná alespoň elementární znalost vektorového a diferenciálního počtu, které jsou systematicky probírány až souběžně s fyzikálními předměty, je v rámci Základů fyziky na úrovni nezbytné pro nejjednodušší praktické aplikace představen i tento matematický aparát, a to vždy v souvislosti s příslušným fyzikálním využitím. Zde v žádném případě nejde o systematickou výstavbu těchto teorií, se kterou budou studenti seznámeni samostatně v rámci předmětů Lineární algebra (počítání s vektory), Matematická analýza 1 (derivace), Matematická analýza 2 (integrály). Výklad je členěn do kapitol, které v úvodu vždy zahrnují několik motivačních otázek a studijní cíle, jejichž dosažení byste si měli vždy po dokončení dané kapitoly ověřit. Obsahuje množství řešených úloh a úloh k samostatnému řešení, jejichž výsledky jsou uvedeny v klíči. Všude, kde je to možné, je teoretický výklad doplněn praktickými příklady a aplikacemi. Aby mělo Vaše studium smysl, musíte nad studovanou látkou přemýšlet a neučit se ji mechanicky nazpaměť. Důležité je, abyste látku doopravdy pochopili - to si ověříte nejlépe prostřednictvím úloh k samostatnému řešení. Princip řešení fyzikálních úloh nespočívá v „dosazení do vzorečkuÿ, ale v nalezení vhodného zjednodušeného modelu, zvážení konkrétních podmínek, vyjádření odpovídajících souvislostí v matematickém tvaru a nalezení obecného a případně i 3

numerického výsledku. Úlohy k samostatnému řešení jsou obvykle o něco méně obtížné než řešené příklady, pokud jste tedy výklad pochopili správně, neměl by pro Vás být problém si s nimi poradit. Není-li v zadání řečeno jinak, vždy se snažte nalézt nejprve obecné řešení a až do něj dosadit konkrétní numerické hodnoty. V případech, kdy řešení sestává z více kroků, naleznete v klíči většinou i obecný výsledek nebo jinou nápovědu. Přesto se vždy pokuste úlohy vyřešit nejprve sami a klíč používat spíše jen pro kontrolu. V případě, že si ani po důkladném promyšlení nebudete s řešením vědět rady, nebo budete mít podezření, že je v učebním textu nejasnost nebo chyba (ani to nelze zcela vyloučit a za takové případy prosím přijměte předem omluvu), obraťte se na svého vyučujícího. Úspěšné absolvování celého kurzu bakalářské fyziky Vám přeje

Autorka

4

Obsah

Předmluva

3

1 Úvod 1.1 Vědecký přístup k poznávání přírody 1.2 Měření, veličiny a jednotky . . . . . 1.3 Výstavba fyzikální teorie ilustrovaná konů nebeské mechaniky . . . . . .

7 7 8

. . . . na . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . příkladu odkrývání zá. . . . . . . . . . . . . .

2 Vektory a příklady jejich využití ve fyzice 2.1 Skalární a vektorové veličiny . . . . . . . . . . . 2.2 Kartézský souřadný systém . . . . . . . . . . . 2.3 Třecí síla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Kladkostroje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Násobení vektorů - skalární a vektorový součin 2.6 Statika tuhého tělesa . . . . . . . . . . . . . . .

14

. . . . . .

24 24 27 29 35 40 43

3 Pohyb a matematika nekonečně malých intervalů 3.1 Pohyb jedním směrem - rychlost a zrychlení . . . . . . . . . . . . 3.2 Základní vlastnosti derivací . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Představení integrálů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51 51 53 59

4 Křivočarý pohyb v rovině 4.1 Pohyb po kružnici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Pohyb v homogenním tíhovém poli . . . . . . . . . . . . . . . . .

64 64 75

5 Zákony zachování v mechanice 5.1 Práce, výkon, energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Hybnost a moment hybnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81 81 92

6 Mechanika tekutin 6.1 Statika tekutin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Ustálené proudění ideální tekutiny . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Silové působení proudící tekutiny na tuhé těleso . . . . . . . . . .

101 102 111 118

5

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

7 Tepelné děje 7.1 Termodynamická soustava, teplota, vnitřní energie a její změny 7.2 Stavová rovnice ideálního plynu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Tepelné kapacity, Poissonova konstanta . . . . . . . . . . . . . 7.4 Tepelné stroje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Klíč k úlohám

. . . .

123 123 129 134 137

143

6

Kapitola 1 Úvod - vědecký přístup k poznávání přírody, měření a jednotky, Newtonovy zákony Jak můžeme popsat věci kolem nás? Jak můžeme porovnat jejich charakteristiky i tehdy, nejsou-li na stejném místě? Jak odhalit zákonitosti přírodních jevů? Co nás drží při zemi? A co se děje na nebi nad námi? Proč se komety vždycky vracejí? Po prostudování této kapitoly byste měli umět • vyjmenovat základní jednotky SI a vědět, jak jsou definovány, • převádět mezi jednotkami, • předpony násobných jednotek, • formulovat základní principy výstavby vědecké teorie, • zformulovat Newtonovy pohybové zákony a Newtonův gravitační zákon, • rozlišit pojmy tíha a hmotnost, • (někteří z vás) řešit jednoduché úlohy z oblasti nebeské mechaniky pomocí Keplerových zákonů a Newtonova gravitačního zákona.

1.1.

Vědecký přístup k poznávání přírody

Fyzika a přírodní vědy obecně usilují o poznání reálného světa kolem nás. Proto jsou založeny na pozorování, experimentech a porovnávání výsledků. Každá fyzikální teorie musí být ověřována srovnáváním shromážděných dat s teoretickou předpovědí. Teorie, které odporují experimentálním výsledkům, musí být korigovány nebo zamítnuty. Jsou-li dvě teorie, které obě stejně dobře souhlasí s experimentem, je zde ještě jedno kritérium, které lze uplatnit k výběru mezi nimi, nazývá se Occamova břitva (po středověkém 7

anglickém mnichovi a filozofovi Williamu z Ockhamu). Říká se mu také pravidlo jednoduchosti: přednost by měla dostat taková teorie, která daný jev vysvětluje nejjednodušeji, ta, která stojí na nejmenším počtu logických smyček. Toto pravidlo také implikuje, že není žádoucí dělat více předpokladů, než je pro vybudování vyhovující teorie nutné. Odtud plyne, že nemá smysl vytvářet teorie, které v principu nelze experimentálně ověřit. To je velmi důležité pro očištění přírodních věd od různých metafyzických koncepcí. Pravidlo jednoduchosti je tak součástí základů vědeckého modelování. Na druhé straně jednoduchost a elegance není hlavním kritériem, podle kterého má být teorie posuzována, tím musí vždy zůstat logická konzistence a soulad s experimentem. Pravidlo jednoduchosti také neznamená, že celý svět lze vysvětlit jednoduše a způsobem, který bude snadno pochopitelný pro každého. Následující výstižná formulace je připisována Einsteinovi [9]: „Vše by mělo být vysvětleno tak jednoduše, jak je to jen možné, ale ne jednodušejiÿ. Teorii lze testovat buď kvalitativně (např. změní těleso, na které bude působit síla, svou rychlost?) nebo kvantitativně (jaký bude vztah mezi působící silou a zrychlením tělesa?). Abychom mohli teorii porovnat s experimentem kvantitativně, potřebujeme definovat fyzikální veličiny a jejich jednotky.

1.2.

Měření, veličiny a jednotky

Měříme-li nějakou fyzikální veličinu, děláme to srovnáním s určitým standardem. Je užitečné, shodne-li se na takovém používaném standardu co nejširší společenství, nejlépe je-li akceptován celosvětově. Každá veličina má definovánu svou jednotku danou zvoleným standardem (např. loket, palec, stopa, yard či metr pro délku). Potřeba zavedení jednotek takových veličin, jako jsou délka, plocha, objem, hmotnost nebo čas, vyvstala už ve starověku. Z méně dávné minulosti připomeňme například tzv. pražský loket, jednotku délky rovnou 59, 14 cm, která byla zavedena jako závazná míra ve 13. století a její etalon můžete dodnes vidět na zdi Novoměstské radnice na Karlově náměstí a na starých radnicích jiných historických měst. Bývaly tam zabudovány proto, aby „každý maje k tomu přístup volný, jistou míru toho lokte pražského sobě vzíti mohlÿ [10]. Hodnota fyzikální veličiny je jejím kvantitativním vyjádřením ve formě součinu čísla a příslušné jednotky: x = {x} · [x], kde číslo - numerická hodnota {x} závisí na použité jednotce [x], například tatáž délka vyjádřená ve stopách, palcích a metrech bude 2 ft. = 24 in = 0, 6096 m. S rozmachem mezinárodní přepravy, obchodu a spolupráce bylo čím dál tím nepohodlnější používání různých jednotek pro tytéž veličiny v závislosti na regionu. Proto byly 22. června 1799 umístěny první dva platinové standardy odpovídající jednomu metru a jednomu kilogramu v Archives de la République v Paříži a byl tak učiněn první krok ke stanovení mezinárodního systému jednotek (SI). 8

Základní jednotky systému jsou definovány v tabulce 1.1. Další jednotky jsou pak definovány pomocí nich. Z praktických důvodů mají některé tyto odvozené jednotky své vlastní názvy a značky. Některé z nich jsou uvedeny v tabulce 1.2.

Obrázek 1.1: Platino-iridiový prototyp kilogramu Některé veličiny mají velmi široké spektrum používaných hodnot, podívejme se například na hmotnosti různých objektů: • Slunce – m ≈ 2 · 1030 kg • Země – m ≈ 6 · 1024 kg • Freedom of the Seas (největší světová výletní loď) – m = 1, 6 · 108 kg • osobní auto – m ≈ 103 kg • člověk – m ≈ 7 · 101 kg • slunéčko sedmitečné – m ≈ 2 · 10−5 kg • buňka – m ≈ 10−21 kg • fulleren C60 – m = 1, 2 · 10−24 kg • proton – m = 1, 7 · 10−27 kg • elektron – m = 9, 1 · 10−31 kg. Proto je užitečné zavést k jednotkám předpony, čímž dostaneme násobné jednotky, (viz tabulka 1.3). Například místo 6 · 103 m nebo 6000 m (šest tisíc metrů) můžeme říci 6 km (šest kilometrů).

9

Všimněte si, že kilogram je jediná jednotka SI obsahující předponu jako součást svého názvu. Protože nelze používat vícenásobné předpony, vztahuje se v případě hmotnosti předpona ke gramu a nikoli kilogramu, například 10−6 kg = 1 mg (jeden miligram), nikoli 10−6 kg = 1 µkg (jeden mikrokilogram). Spolu s SI se obecně používají některé další jednotky, stojící mimo tuto soustavu, jako například jednotky • času - minuta: 1 min = 60 s, hodina: 1 h = 60 min = 3600 s, den: 1 d = 24 h = 86400 s; π rad, (úhlová) minuta: 10 = 1 ◦ = π rad, • úhlu - stupeň: 1◦ = 180 60 10800 π 10 = (úhlová) vteřina: 100 = 60 648000 rad; • objemu - litr: 1 l = 1 dm3 = 10−3 m3 V běžném životě se v některých zemích také používají tradiční jednotky, zvláště pro hmotnost, délku, objem a teplotu. Podívejte se na následující řešený příklad. Příklad 1.1 Recept na tradiční australský vánoční koláč (z [12]) - 1/2 libry másla - 1/4 libry bílého cukru - 1/4 libry hnědého cukru - 4 vejce - 4 polévkových lžic brandy - 1/2 libry rozinek - 1/2 libry sultánek - 1/2 libry rybízu - citronová kůra a mandle dle chuti - 10 objemových uncí mouky - 1/2 čajové lžičky prášku do pečiva - 1 čajovou lžičku muškátového oříšku - 1 čajovou lžičku skořice nebo nového koření - špetku soli - 1 polévkovou lžíci povidel Postup: Utřete máslo s cukrem, přidejte vejce. Přidejte polovinu mouky a polovinu ovoce, smíchejte, pak přidejte zbytek. Pečte v 8” formě 3 1/2 až 4 hodiny na 300 stupňů (Fahrenheita). Úkol: Vyjádřete všechny údaje v jednotkách SI . Nápověda: 1 libra = 454 gramů, 1 unce = 30 gramů, 1 US objemová unce = 30 mililitrů = 2 US polévkové lžíce = 6 US čajových lžiček, 1” = 1 inch (palec) = 2,54 centimetrů. k převodu z Fahrenheitovy teplotní stupnice tF na Celsiovu tC 10

Veličina délka

Jednotka metr

Symbol m

hmotnost

kilogram*

kg

čas

sekunda

s

elektrický ampér proud

A

termodynamická teplota látkové množství

kelvin

K

mol

mol

svítivost

kandela

cd

Definice Metr je vzdálenost, kterou urazí světlo ve vakuu za 1/299 792 458 sekundy. Kilogram je hmotnost mezinárodního prototypu kilogramu. Sekunda je doba rovná 9 192 631 770 periodám záření odpovídajícího přechodu mezi dvěma úrovněmi hyperjemné struktury cesia 133. Ampér je hodnota stálého proudu, který, protéká-li dvěma nekonečnými přímými rovnoběžnými vodiči zanedbatelného průřezu vzdálenými od sebe 1 metr, vyvolá mezi nimi silové působení o velikosti 2 x 10−7 newtonů na 1 metr délky. Kelvin je 1/273,16-tá část termodynamické teploty trojného bodu vody.

Rok 1983

Mol je látkové množství obsahující tolik elementárních jednotek, jako je atomů ve 0,012-ti kilogramech nuklidu uhlíku 12 6 C.** Kandela je svítivost zdroje, který v daném směru vysílá monochromatické záření o kmitočtu 540 · 1012 Hz a jehož zářivost v tomto směru je 1/683 watt na steradián.

1971

1889 1697

1946

1967

1979

* Kilogram je poslední jednotka dosud založená na prototypu. To není ideální stav, protože prototyp není dokonale stabilní (velmi zvolna se mění v čase) a národní standardy nelze přesně kalibrovat, aniž by s ním byly přímo porovnávány. Nicméně, v současnosti je zvažováno několik možností alternativních definic, například definice založená na Planckově konstantě, nebo jiná, vycházející z přesně uvedeného počtu určitých atomů. ** Při používání jednotky látkového množství musí být specifikováno, o jaké elementární jednotky se jedná. Mohou to být atomy, molekuly, ionty, elektrony, jiné částice nebo definované skupiny těchto částic. Tabulka 1.1: Mezinárodní soustava jednotek (SI)

11

Odvozená jednotka rovinný úhel prostorový úhel frekvence síla tlak energie, práce, teplo výkon elektrický náboj elektrické napětí kapacita elektrický odpor elektrická vodivost magnetický tok magnetická indukce indukčnost Celsiova teplota zářivý tok osvětlení

Název

Symbol rad

Jednotky z definice m · m−1

V základních jednotkách SI 1

radián* steradián*

sr

m2 · m−2

1

hertz newton pascal joule

Hz N Pa J

N · m−2 N·m

s−1 m · kg · s−2 m−1 · kg · s−2 m2 · kg · s−2

watt coulomb

W C

J · s−1

m2 · kg · s−3 s·A

volt

V

W · A−1

m2 · kg · s−3 · A−1

farad ohm

F Ω

C · V−1 V · A−1

m−2 · kg−1 · s4 · A2 m2 · kg · s−3 · A−2

siemens

S

A · V−1

m−2 · kg−1 · s3 · A2

weber

Wb

V·s

m2 · kg · s−2 · A−1

tesla

T

Wb · m2

kg · s−2 · A−1

henry stupeň Celsia** lumen lux

H ◦C

Wb · A−1

m2 · kg · s−2 · A−2 K

lm lx

cd · sr lm · m−2

cd m−2 · cd

* 1 rad je velikost úhlu, k němuž jako ke středovému úhlu přísluší v kružnici oblouk délky rovné jejímu poloměru. Steradián je prostorový úhel, u něhož obsah plochy vytknuté příslušným kuželem na povrchu koule, jež má střed ve vrcholu úhlu, je roven kvadrátu poloměru koule. Jsou to bezrozměrné jednotky užitečné při popisu úhlů a fází. ** Teplota se běžně vyjadřuje ve stupních Celsia, což odpovídá rozdílu termodynamické teploty T a referenční teploty T0 = 273, 15 K, teploty tání ledu za normálního tlaku. Tato teplota se označuje symbolem t, a je definována jako t = T − T0 . Stupeň Celsia má stejnou velikost jako kelvin. Tabulka 1.2: Vybrané odvozené jednotky SI s vlastním označením a symbolem

12

Řád 1024 1021 1012 109 106 103 102 101

Název předpony yotta zetta tera giga mega kilo hekto deka

Symbol Y Z T G M k h da

Řád 10−2 10−3 10−6 10−9 10−12 10−15 10−18 10−21 10−24

Název předpony centi mili mikro nano piko femto atto zepto yocto

Symbol c m µ n p f a z y

Tabulka 1.3: Předpony násobných jednotek SI použijte vztah tC =

5 9

· (tF − 32) .

Řešení: Nejprve převedeme 1/2 libry = 1/2 lb na odpovídající jednotku hmotnosti podle soustavy SI, což je kilogram (kg). 1 lb = 454 g = 454 · 10−3 · (103 g) = 0, 454 kg, takže

1 0, 454 kg 1 lb = lb · = 0, 227 kg. 2 2 1 lb Stejným způsobem pokračujte pro další údaje. Podrobnější informace o soustavě SI, základních jednotkách a jejich historii naleznete v [13].

Úloha 1.1 Lidský vlas má průměr asi 50 µm. Vyjádřete jej v metrech. Úloha 1.2 Nejvyšší povolená rychlost na dálnicích v České republice je 130 kilometrů za hodinu. Vyjádřete ji v metrech za sekundu. Úloha 1.3 Na Velikonoční pondělí 17. dubna 2006 stoupla cena surové ropy na $70,4 za barel. Jaká byla cena za litr? (1 barel = 42 US galonů, 1 US galon = 3,785 litrů). Úloha 1.4 Jednotka výkonu nazvaná koňská síla byla zavedena Jamesem Wattem. Vycházela z principu žentouru - pohonu realizovaného pomocí koní zapřažených k oji upevněné k hřídeli. Koně obcházeli dokola poháněnou hřídel. Watt odhadl, že táhli silou 180 liber (síla jedné libry je rovna tíze 1 libry = 454 gramů), při rychlosti 181 stop (1 stopa = 30,48 centimetrů) za minutu a výsledek zaokrouhlil na celé tisíce. Vyjádřete 1 takto definovanou koňskou sílu ve wattech. 13

1.3.

Výstavba fyzikální teorie ilustrovaná na příkladu odkrývání zákonů nebeské mechaniky

Umíme-li popsat chování objektů ze světa kolem nás pomocí nadefinovaných veličin a jejich jednotek, může nás zajímat, jaká jsou pravidla tohoto chování. Pak se můžeme pokusit zformulovat obecné zákony, jimiž se řídí procesy v přírodě, a popsat důsledky vzájemného působení jejích dílčích součástí. Při tomto procesu může také vyvstat potřeba zavedení některých dalších veličin a jejich jednotek. Výstavba nové teorie má několik logických kroků. Podívejme se na příklad z historie astronomie, jedné z nejstarších fyzikálních disciplin. 1. Jevy vzbuzující otázky Člověk se vždy zajímal o denní pohyby Měsíce a Slunce na obloze, jejich změny v průběhu roku, fáze Měsíce, pohyb hvězdné oblohy v průběhu noci a periodický pohyb planet na obloze. Lidé si kladli otázku, jak celý tento systém funguje. 2. Pozorování (nebo také provádění pokusů, je-li k danému problému možné), shromažďování dat a jejich uspořádání Astronomové a přírodovědci shromažďovali empirická data a snažili se je uspořádat tak, aby našli nějaká jednoduchá pravidla, pomocí kterých by je mohli vysvětlit. Z historie máme mnoho důkazů zájmu o nebeskou mechaniku. Megalitický památník Stonehenge v Anglii byl vystavěn ve 3. až 2. tisíciletí před naším letopočtem a v nedávné době mu byla věnována velká pozornost s ohledem na míru poznání starověkých astronomů. Ačkoli některé domněnky se později ukázaly jako přehnané, jeho stavitelé museli mít o pohybu Slunce a Měsíce po obloze poměrně dobré znalosti. Staří Egypťané využívali astronomických pozorování k orientaci pyramid a k tvorbě kalendáře. Povšimli si, že začátku prvního měsíce období záplav na Nilu předcházel heliaktický východ Síria, na základě těchto pozorování zavedli tzv. sluneční kalendář. 3. Odhalování pravidel Teorie starých astronomů byly ovlivňovány historickým kontextem a podléhaly tlaku sociálně-náboženských předsudků. Jasná fakta podložená pozorovanými daty však nakonec přece jen vedla ke vzniku relativně jednoduché teorie, která má obecnou platnost. Ze starověku připomeňme práci Platóna, Aristotela a Ptolemaia (jehož kniha Velká soustava - Almagest - byla základní učebncicí astronomie až do doby Koperníka). Teorie těchto badatelů byly založeny na víceméně geocentrickém modelu, ve kterém středem vesmíru je Země a všechny ostatní objekty obíhají kolem ní. Až o mnoho století později polský astronom Mikuláš Koperník (1473–1543) poprvé ve své revoluční knize „De revolutionibus orbium coelestiumÿ (O pohybu nebeských sfér) předpokládal, že otáčející se Země obíhá spolu s ostatními planetami po kruhových drahách kolem stacionárního Slunce a že tento předpoklad umožňuje vysvětlit pohyb těchto objektů po obloze snáze než geocentrický model.

14

Koperníkova teorie měla historický význam pro vývoj lidského poznání, bohužel, byla důrazně odmítnuta církví. Kniha byla roku 1616 umístěna na oficiální seznam zakázaných knih a byla odsud vymazána až v roce 1835!

Obrázek 1.2: Portrét Mikuláše Koperníka od R. Coopera, portrét Galilea Galilei od Ottavia Leoni, 1624 Italský filozof Giordano Bruno (1548-1600) šel ještě dále. Uvažoval, že vesmír je nekonečný a Slunce a jeho planety jsou jen jedním z mnoha podobných systémů v něm, a dokonce že ve vesmíru mohou být i jiné světy obydlené rozumnými bytostmi, jako jsme my sami. Byl velmi skeptický k obrazu světa a Boha předkládanému církví. Pro své kacířské názory byl pak postaven před inkviziční tribunál, odsouzen a roku 1600 upálen na hranici. Další Ital, matematik, astronom a filozof Galileo Galilei (1564-1642) zkonstruoval teleskop, který zvětšoval zhruba 30 krát. Při pozorování oblohy pak objevil kopce a údolí na Měsíci, připomínající pozemskou krajinu. Objevil satelity Jupitera, který tak spolu s nimi představoval jakousi zmenšenou analogii Sluneční soustavy a podporoval Koperníkovu teorii. Pozorování skvrn na Slunci pak vedlo k odhalení jeho rotace. Roku 1632 publikoval spis „Rozhovory o dvou velkých světových soustaváchÿ, ve kterém argumentoval ve prospěch Koperníkova systému proti geocentrickému systému Ptolemaiovu. O rok později byl Galileo Galilei předveden před inkviziční soud, kde byl nucen pod hrozbou mučení a smrti odvolat své přesvědčení o správnosti Koperníkova modelu, načež byl odsouzen k doživotnímu domácímu vězení. Dánský astronom Tycho Brahe (1546 – 1601) shromáždil bohatá data vycházející z přesných pozorování (pouhým okem) pohybů planet vůči hvězdnému pozadí (práce hodná ocenění, spadající pod logický krok 2 - pozorování, shromažďování dat a jejich organizace). Velmi usiloval o to, nalézt vyhovující teorii Sluneční soustavy. V tom ovšem neuspěl, vycházel totiž z chybného (ovšem vzhledem k historickým okolnostem pochopitelného) předpokladu, že sice pla15

Obrázek 1.3: Tycho de Brahe, portrét od Jacoba de Gheyna a Johannes Kepler, neznámý autor nety obíhají kolem Slunce, ale to i s nimi obíhá kolem stacionární Země. Jeho bohatá databáze údajů z pozorování se později stala základem Keplerovy práce. Německý matematik a astronom Johannes Kepler (1571 – 1630) se stal Brahovým asistentem. Nevycházeli spolu zrovna dobře, Brahe cítil ve svém mladém a schopném asistentovi konkurenci, obával se, že by ho při hledání teorie Sluneční soustavy mohl předstihnout. Aby ho zaměstnal, dal mu za úkol objasnit podivnou trajektorii Marsu. Ironií osudu to byl právě pohyb Marsu, který přivedl Keplera k formulaci jeho zákonů. Uvědomil si, že planety (včetně Země) obíhají kolem Slunce nikoli po přesných kružnicích, ale po elipsách. Pak již rychle dospěl k poměrně jednoduché teorii, která dobře odpovídala výsledkům pozorování. Keplerovy zákony jsou historickým milníkem v popisu planetárních pohybů: I. Všechny planety se pohybují po eliptických drahách, v jejichž společném ohnisku je Slunce. Excentricita (výstřednost) e vyjadřuje, nakolik se eliptická trajektorie odchyluje od kružnice (viz obrázek 1.4). Trajektorie s excentricitou blízkou nule jsou téměř kruhové, jako většina planetárních trajektorií. Naopak komety a mnoho asteroidů sleduje více protáhlé dráhy. II. Plocha opsaná průvodičem planety za určitou dobu je konstantní podél celé její trajektorie. III. Poměr druhých mocnin oběžných dob dvou planet je roven poměru třetích mocnin jejich hlavních poloos. T12 a31 = T22 a32 Zde T označuje periodu oběhu planety, a délku její hlavní poloosy, indexy 1 a 2 rozlišují tyto proměnné pro 1 a 2 uvažovanou planetu. Keplerovy zákony pohybů planet velmi dobře popisují jejich trajektorie. Stále 16

y

c=e·a b x

c

b=a·

√

1 − e2

2 x2 + y = 1 a2 b2

a

Obrázek 1.4: Eliptická dráha planety ještě ovšem nevysvětlují, proč se planety řídí těmito pravidly. Abychom nebeské mechanice opravdu porozuměli, musíme nalézt základní principy pohybu těles a jejich vzájemné interakce. Tyto principy se pak nebudou uplatňovat pouze při pohybu planet, ale mnohem obecněji. 4. Odkrývání základních principů Tento krok učinil Sir Isaac Newton (1642–1727), anglický matematik a fyzik, jeden z největších přírodovědců historie. Byl schopen rozeznat, které myšlenky jeho předchůdců jsou perspektivní, doplnit chybějící články a vytvořit jednotný obraz fungování světa (ovšem odpovídající míře poznání své doby). Zformuloval tři pohybové zákony, které tvoří naprostý základ klasické mechaniky, stejně jako univerzální zákon gravitace. (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica - 1686-7.) Výstižně vyjádřil, jak interakce mezi tělesy, vyjádřené prostřednictvím sil, ovlivňují jejich pohyb. Tři Newtonovy pohybové zákony jsou zahrnuty v jeho první knize Principií. Druhá kniha je věnována pohybu v odporujícím prostředí, třetí gravitační síle. Pojďme si nyní Newtonovy zákony jen stručně představit, později se je naučíme aplikovat. I. Newtonův pohybový zákon Každý objekt setrvává v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu, pokud není vnější silou nucen tento stav změnit. X F = 0 ⇒ v = konst.

Tento zákon říká, že je-li výslednice sil působících na těleso nulová, jeho rychlost bude přirozeně zůstávat konstantní. Takový objekt bude buď setrvávat v klidu, nebo se pohybovat stálou rychlostí po přímce. 17

13 T

12 T

11 T 10 T 9T 8T 7T

0T

6T 5T 1T

2T

3T

4T

T = libovoln´ y ˇcasov´ y interval Obrázek 1.5: Plochy opsané průvodičem planety za libovolnou pevně zvolenou dobu jsou všude na její dráze stejné První Newtonův zákon vychází z Galileiho pojetí setrvačnosti. Galileo Galilei usoudil, že objekty v pohybu mají „setrvačnostÿ, která je nutí setrvat v jejich pohybovém stavu, pokud na ně nepůsobí žádné vnější síly. Toto tvrzení není tak samozřejmé, jak se může zdát, uvážíme-li zkušenosti, které máme z běžného života. Na základě našich zkušeností bychom spíše mohli usoudit, že pro udržování těles v pohybu je třeba působit na ně silou. Není-li těleso poháněno, zastaví se a zůstane v klidu. Uvažme třeba automobil pohybující se po dokonale rovné silnici, nebo puk klouzající po ledě. Na rozdíl od většiny svých předchůdců si Galileo a později i Newton uvědomili, že žádná síla není nutná k udržování těles v pohybu, ale že naopak jsou zde určité síly, které tělesa brzdí - třecí nebo odporové síly. Odhalení existence třecích sil vyžadovalo hluboké pochopení podstaty věci a bylo založeno na řadě experimentů s tělesy pohybujícími se po vodorovných a nakloněných rovinách s různým povrchem. Galileova práce přispěla i k formulaci druhého Newtonova zákona. II. Newtonův pohybový zákon Bude-li na objekt působit nenulová výsledná síla, bude mít zrychlení ve směru této síly. Toto zrychlení je přímo úměrné působící síle a nepřímo úměrné hmotnosti tělesa. Vztah mezi hmotností m tělesa, jeho zrychlením a a působící silou F je tvaru F = m a. Zrychlení objektu vyjadřuje časovou změnu jeho rychlosti (těmto veličinám se budeme brzy věnovat podrobněji). Povšimněte si, že rychlost a zrychlení, stejně jako síla, jsou vektory (což je indikováno jejich vysázením tučným písmem). – Pokud na pohybující se objekt začneme působit silou F ve směru jeho 18

Obrázek 1.6: Titulní stránka Principií a Isaac Newton, portrét od V. Rattiera pohybu, bude zrychlovat. Změna jeho rychlosti v čase bude ∆v F =a= . ∆t m Pokud budeme působit silou proti rychlosti tělesa, bude stejným způsobem zpomalovat – Pokud se objekt pohybuje konstantní rychlostí nikoli po přímce, ale po křivce, nutně má také zrychlení, protože vektor jeho rychlosti se mění. Například částice pohybující se konstantní rychlostí v po kružnici o poloměru r má dostředivé zrychlení. Vektor dostředivého zrychlení míří vždy do středu křivosti trajektorie a jeho velikost je dána vztahem a=

v2 . r

(1.1)

Tento vztah si odvodíme v kapitole 4. – Obecně může působící síla měnit jak velikost, tak i směr rychlosti tělesa. III. Newtonův pohybový zákon Síly, jimiž na sebe navzájem působí dvě tělesa, jsou vždy stejně velké a opačně orientované F 12 = −F 21 .

19

Třetí Newtonův zákon je důmyslným zobecněním experimentů se srážkami tuhých těles, které prováděli Wallis, Wren a Huygens. Říká, že při každé interakci je zde vždy pár sil, z nichž každá působí na jeden z interagujících objektů. Vznikají a zanikají vždy současně a jsou stejně velké a opačně orientované, ale vzhledem k tomu, že každá působí na jiný objekt, navzájem se neruší. Pojďme nyní zpátky ke gravitaci. Připomeňme si notoricky známou historku a Newtonovi a padajícím jablku. Jak by jej něco takového mohlo inspirovat? Při pohledu na padající jablko si mohl uvědomit, že objekty v blízkosti zemského povrchu (jablka, lidé . . . .) jsou nějakou silou přitahovány k Zemi, a položit si otázku, kam až asi tato přitažlivost dosahuje. Možná až k Měsíci a i dál? Pokud ano, třeba je přitažlivá síla vlastní i ostatním planetám a Slunci a řídí pohyby nebeských těles. Prostřednictvím takových úvah mohl Newton dospět k závěru, že každé dva objekty ve vesmíru se přitahují. Tuto myšlenku dokládá, společně se svým obecným zákonem gravitace, v třetí knize Principií. Tato idea se samozřejmě neobjevila jako blesk z čistého nebe (a už vůbec ne jako důsledek vhodně načasovaného pádu jablka). Otázka přitažlivých sil mezi tělesy byla v té době v Londýně místními přírodovědci hojně diskutována. Předpoklad, že tyto síly jsou nepřímo úměrné kvadrátu vzdálenosti těles, vyjádřil ve svém dopise Newtonovi jeho vědecký rival Robert Hook (1635-1703). Hook nebyl schopen zkompletovat celý gravitační zákon, ale později se snažil přivlastňovat si zásluhy o jeho objevení. Tento krok vedl k vzájemné nesnášenlivosti mezi ním a Newtonem, který následně vyškrtl všechny citace Hooka ze svých Principií (což jistě není příklad hodný následování) [11]. Využitím pohybových zákonů a II. a III. Keplerova zákona Newton dospěl k univerzálnímu zákonu gravitace. Abychom si jeho postup alespoň zjednodušeně přiblížili, omezíme se na kruhové trajektorie planet. Předpokládejme, že planeta o hmotnosti m se pohybuje po kruhové dráze kolem Slunce, jeho hmotnost si označíme M . Dále označme r poloměr kružnice a v rychlost planety. Podle III. Keplerova zákona jsou kvadráty oběžných dob planet přímo úměrné třetím mocninám jejich hlavních poloos (v našem zjednodušení tedy poloměrům kružnic). T 2 ∝ r3 . Konstanta úměrnosti je stejná pro všechny planety Sluneční soustavy. Perioda oběhu naší planety je T = (2πr)/v, takže 

2πr v

2

∝ r3 .

Planeta pohybující se konstantní rychlostí v po kruhové dráze s poloměrem křivosti r má dostředivé zrychlení a = v 2 /r. Odtud plyne a∝

1 . r2

Nyní uvažme II. Newtonův zákon. Zrychlení planety musí být způsobeno silou, 20

pro niž platí F = ma. V tomto případě to bude gravitační síla. Odtud F ∝

m . r2

Protože gravitace je univerzální, pokud síla, jakou působí na planetu Slunce, je úměrná hmotnosti planety, musí být síla, jakou naopak planeta působí na Slunce, úměrná hmotnosti Slunce. Podle III. Newtonova zákona jsou si obě síly až na znaménko rovny. Odtud plyne, že síla, jakou působí Slunce na planetu, musí být rovněž přímo úměrná hmotnosti Slunce, takže F ∝

mM . r2

Nakonec může být Newtonův gravitační zákon zformulován takto: Jakékoli dva objekty ve vesmíru na sebe působí univerzální gravitační silou tvaru: mM F =κ 2 . r

M

y

m -



F 12 

s

F 21 r

-

Obrázek 1.7: Přitažlivé gravitační působení mezi tělesy Konstanta úměrnosti κ se nazývá univerzální gravitační konstanta, její hodnota je κ = 6, 67 · 10−11 N · m2 · kg−2 . Setkáváme se tedy s první z univerzálních konstant ve fyzice. O těchto konstantách se předpokládá, že jsou stálé vždy a všude a že jsou charakteristikami vlastními světu, který nás obklopuje. 5. Prověřování teorie Není příliš obtížné ukázat, že Newtonovy pohybové zákony a jeho gravitační zákon implikují Keplerovy zákony, a to včetně eliptických trajektorií planet. Jsou tedy v dobrém souladu s výsledky pozorování. Stejné zákony vládnou i tělesům v blízkosti zemského povrchu. Zásadním triumfem po zveřejnění Newtonových zákonů pohybu a gravitace byla předpověď návratu Halleyovy komety v roce 1758 a výpočet její trajektorie (viz také úloha 1.8). Newtonovy zákony byly úspěšně mnohokrát ověřeny pozorováními a experimenty a trvalo staletí, než technický pokrok došel tak daleko, aby odhalil meze jejich použitelnosti. Na základě těchto nových experimentálních výsledků pak byly vybudovány nové teorie, které však již přesahují rámec tohoto kurzu.

21

Obrázek 1.8: Sluneční soustava, včetně Pluta a trajektorie Halleyovy komety Poznámka: Blízko povrchu Země se gravitační síla mění jen velmi zvolna. Lze ji zde proto vyjádřit v jednodušším tvaru Fg = m g, kde g je vektor tíhového zrychlení . MZ . g = κ 2 = 9, 8 m · s−2 . RZ Ve skutečnosti g představuje výsledné zrychlení, zahrnující jak vliv gravitace, tak i rotace Země. Proto se podél zemského poledníku mírně mění. Pohybu těles v blízkosti zemského povrchu se budeme věnovat v kapitole 4. V důsledku existence gravitačního (případně tíhového) pole má každé těleso určitou tíhu. Tíha W tělesa je rovna velikosti síly, jíž na těleso gravitační (nebo tíhové) pole působí, W = Fg . Nezaměňujte tíhu tělesa s jeho hmotností. Tyto dvě veličiny spolu souvisejí vztahem W = mg. Vaše tíha na Měsíci bude několikrát nižší než na Zemi (viz cvičení 1.12), vaše hmotnost přitom zůstává konstantní. Řešení následujících úloh je dobrovolné. Úloha 1.5 Podívejte se na tabulku vybraných parametrů objektů Sluneční soustavy (tab. 1.4). Určete, trajektorie kterého z nich se nejvíce odlišuje od kružnice. Jaký je poměr jeho hlavní a vedlejší poloosy? Úloha 1.6 S využitím tabulky 1.4 určete poměr rychlostí oběhu Země kolem 22

Trajektorie planet Planeta Excentricita Perihelium (AU) Afelium(AU) Merkur 0,206 0,31 0,47 Venuše 0,007 0,718 0,728 Země 0,017 0,98 1,02 Mars 0,093 1,38 1,67 Jupiter 0,048 4,95 5,45 Saturn 0,056 9,02 10,0 Uran 0,047 18,3 20,1 Neptun 0,009 30,0 30,3 Pluto* 0,248 29,7 49,9 Astronomická jednotka, 1 AU =1, 496 · 1011 m, průměrná vzdálenost Země od Slunce Další údaje: *Pluto bylo zahrnováno mezi planety jen do roku 2006 Země: MZ = 5, 98 · 1024 kg, RZ = 6378 km, Slunce: MS = 1, 99 · 1030 kg, RS = 695000 km, Měsíc: MM = 7, 36 · 1022 kg, RM = 1740 km, Vzdálenost Země – Měsíc aZ−M = 3, 82 · 108 m Tabulka 1.4: Vybrané parametry Sluneční soustavy. Slunce v periheliu a v afeliu. Totéž pak proveďte pro Merkur. Nápověda: použijte II. Keplerův zákon. Úloha 1.7 Podívejte se do tabulky 1.4 a určete periodu oběhu Merkuru a Pluta. Nápověda: Použijte III. Keplerův zákon a své znalosti o době oběhu Země. Úloha 1.8 Halleyova kometa byla poprvé zaznamenána astronomy v roce 239 před naším letopočtem a pravidelně se vrací zpět ke Slunci. Edmond Halley (1656–1742) na základě Newtonových zákonů úspěšně předpověděl trajektorii této komety a její návrat v roce 1758, což bylo triumfálním potvrzením jejich správnosti. V periheliu je kometa vzdálená od Slunce o 0,587 AU, její excentricita je 0,967. Naposledy se přiblížila ke Slunci roku 1986. Kdy můžeme očekávat její další návrat? Určete také délku její hlavní a vedlejší poloosy. Úloha 1.9 Jaká je oběžná rychlost Země v jejím periheliu? Úloha 1.10 Jak daleko od povrchu Země je bod, ve kterém budete pociťovat jen poloviční gravitační sílu než na povrchu? Úloha 1.11 Předpokládejte, že se pohybujete ze Země přímo k Měsíci. Jak daleko od středu Země bude gravitační síla, jíž na vás Země působí, stejně velká, jako gravitační síla, jíž na vás bude působit Měsíc? Úloha 1.12 Porovnejte gravitační pole na povrchu Země a na povrchu Měsíce. 23

Kapitola 2 Vektory a příklady jejich využití ve fyzice Jak vyjádřit veličinu, u níž je důležitá nejen velikost, ale i směr? Jak sčítat takové veličiny? Jaké další operace s nimi mohou být užitečné? Jak mohl Archimedes pohnout lodí jednou rukou? Jakou strategii zvolit pro závod v řece? Jaká síla pohání automobil dopředu? Jak bezpečně postavit žebřík? Po prostudování této kapitoly byste měli umět • vysvětlit rozdíl mezi skalární a vektorovou fyzikální veličinou, • sčítat a odčítat vektory graficky i numericky, • skalárně i vektorově násobit vektory, vypočítat velikost vektoru a určit úhel, jaký svírá se zvoleným směrem, • vyjádřit tíhovou sílu působící na těleso dané hmotnosti, určit normálovou sílu, jakou bude na těleso působit podložka, • vyjádřit třecí sílu při vzájemném pohybu dvou těles po sobě a určit maximální hodnotu statické třecí síly odpovídající daným podmínkám, • skládat síly a určit podmínky jejich rovnováhy, • definovat moment síly včetně jednotky, • řešit úlohy ze statiky těles a vybrané úlohy, při nichž se tělesa pohybují rovnoměrným pohybem.

2.1.

Skalární a vektorové veličiny

Fyzika pracuje s několika typy veličin - veličinami skalárními, vektorovými, případně tenzorovými. V základním kurzu vystačíme s prvními dvěma typy veličin. 24

• Skalární veličina: je určena svou velikostí a jednotkou, jako například hmotnost, objem, čas, tlak, energie, práce nebo teplota. m = 2 kg Skaláry jsou obvykle v textu značeny netučnou kurzívou. • Vektorová veličina: je určena nejen svou velikostí a jednotkou, ale také svým směrem a orientací, jako například síla, posunutí, rychlost, zrychlení, hybnost, moment síly či moment hybnosti. F = 2e N, kde e je jednotkový vektor ve směru vektoru F . Vektory jsou obvykle v textu značeny tučnou kurzívou, F , případně šipkou, jako F~ . Geometrické sčítání vektorů Příklad 2.1 Loď vyplula z domovského přístavu v Porto Alegre (ostrov Svatý Tomáš, u afrického pobřeží v blízkosti rovníku). Plula 50 km jižně, pak 30 km v kurzu SSW (jiho-jihozápad), poté 50 km NW (severozápad) a nakonec 30 km NNE (severo-severovýchod). Jak daleko pak byla od domovského přístavu?

v´ ysledn´e posunut´ı

50 km S 30 km NNE

50 km NW

30 km SSW

Obrázek 2.1: Růžice kompasu a dílčí posunutí lodě mezi jednotlivými změnami kurzu Řešení: Všechna posunutí můžeme geometricky sečíst jako na obrázku 2.1. Nakreslíme první vektor posunutí ve vhodně zvoleném měřítku, například 1:1 000 000, 25

s dodržením udaného směru. Druhý vektor nakreslíme tak, že jeho počátek umístíme do koncového bodu prvního vektoru a tak pokračujeme až k poslednímu vektoru. Výsledné posunutí je dáno vektorem, jehož počáteční bod leží v počátečním bodě prvního vektoru a koncový bod v koncovém bodě posledního vektoru. Hledaná vzdálenost do přístavu odpovídá jeho délce, takže ji odměříme a vydělíme použitým měřítkem. Dostaneme výsledek 38, 3 km.

Některá pravidla počítání s vektory • násobení vektoru A skalárem a a·A je vektor. Jeho velikost je součinem velikostí A a a, jeho směr a orientace jsou stejné jako směr a orientace vektoru A, je-li a kladné. Je-li a záporné, je orientace opačná. • opačný vektor k vektoru A je vektor −A = (−1) · A • komutativní zákon (na pořadí sčítání nezaleží) A+B =B+A • asociativní zákon (sčítáme-li více než dva vektory, můžeme je libovolně seskupovat) (A + B) + C = A + (B + C) • odčítání vektorů (vektor odečteme tak, že přičteme vektor k němu opačný) A − B = A + (−B) Poznámka: Všimněte si, že druhý a čtvrtý vektor v příkladu 2.1 jsou opačné vektory. Jejich sečtením tedy musíme dostat nulový vektor. Využitím komutativního a asociativního zákona pak můžeme řešení zjednodušit, výsledné posunutí musí být součtem prvního a třetího vektoru. Užitím sinové věty pak dostaneme jeho délku snadno i výpočtem (viz obrázek 2.2). a b = sin α sin β

26

v´ ysledn´e posunut´ı a β α=45◦ β=67,5◦

β

b

50 km S

b 50 km NW α

Obrázek 2.2: Náčrtek řešení úlohy 2.1 využitím komutativního a asociativního zákona pro sčítání vektorů a sinové věty

2.2.

Kartézský souřadný systém

Geometrické sčítání vektorů je zdlouhavé a nepřesné. Má-li se v teorii s vektory intenzivně pracovat, musí existovat lepší způsob, jak získat výsledek. Přesnější a rychlejší je algebraické řešení. Abychom mohli s vektory efektivně počítat, definujeme si nejprve souřadnou soustavu, v níž jednotlivé vektory vyjádříme. Zvolíme si pravotočivý pravoúhlý souřadný systém (kartézský souřadný systém). Představte si pravoúhlou místnost. Počátek souřadného systému zvolíme v jejím levém dolním rohu. Osu x zvolíme směrem k nám podél průsečnice levé zdi a podlahy, osu y podél průsečnice zadní zdi a podlahy, bude mířit doprava, osa z pak půjde směrem vzhůru průsečnicí levé a zadní zdi. Jednotkové vektory (jejich délka je jedna) ve směru os x, y a z označíme po řadě i, j a k, jsou to tzv. bázové vektory. Libovolný vektor A pak můžeme vyjádřit jako lineární kombinaci bázových vektorů A = Ax i + Ay j + Az k, kde Ax , Ay a Az jsou souřadnice vektoru A. Mohou být nalezeny následovně Ax = A cos α, Ay = A cos β, Az = A cos γ, kde α, β a γ jsou úhly, které vektor A svírá s kladným směrem osy x, y a z (v uvedeném pořadí). Jakmile máme jednoznačně určeny bázové vektory, můžeme začít používat i zjednodušený zápis vektoru A = Ax i + Ay j + Az k = (Ax , Ay , Az ).

27

q

z

z

A2x + A2y + A2z

− → A → − Az · k

γ

− → k − → j

α

y

β

→ − Ay · j y

→ − Ax · i

− → i

q x

x

A2x + A2y

Obrázek 2.3: Kartézský souřadný systém, bázové vektory, složky vybraného vektoru a výpočet délky vektoru pomocí Pythagorovy věty Pravidla počítání s vektorovými složkami • Násobení vektoru skalárem se provede vynásobením všech jeho složek tímto skalárem aA = (aAx , aAy , aAz ). • Sčítání vektorů se realizuje sečtením sobě příslušných složek A + B = (Ax + Bx , Ay + By , Az + Bz ). • Pomocí Pythagorovy věty (v odvození ji použijeme dvakrát, viz obrázek 2.3) můžeme vyjádřit velikost vektoru A jako q A = A2x + A2y + A2z . Příklad 2.2 Vyřešte příklad 2.1 s využitím kartézských souřadnic vektorů. Řešení: Zvolíme souřadnou soustavu, například s počátkem v Porto Alegre, osa x míří západně a osa y jižně, osa z pravotočivého systému by pak mířila svisle vzhůru, ale pro řešení dané úlohy ji ani není třeba zavádět, jedná se prakticky o pohyb v rovině (zakřivení Země je na dané ploše zanedbatelné).

28

− → r3 − → r4 π 4

π 8

x π 8 − → r2

− → r1 y

Obrázek 2.4: Jednotlivá posunutí v kartézském souřadném systému Vyjádříme složky všech vektorů posunutí r1 = (0, 50) km,  π π r2 = 30 sin , 30 cos km, 8 8   π π km, r3 = 50 sin , −50 cos 4 4   π π km, r4 = −30 sin , −30 cos 8 8 a sečteme x-ové a y-ové složky zvlášť  π π r = 50 sin , 1 − cos km. 4 4 Velikost výsledného posunutí tedy bude q r = rx2 + ry2 = 38, 3 km.

2.3.

Třecí síla

Jak jsme viděli v první kapitole, odhalení existence třecích sil hrálo klíčovu roli při formulaci prvního Newtonova zákona. Kloužou-li po sobě dva povrchy, tření je nevyhnutelné. Abychom tělesa udrželi v pohybu konstantní rychlostí, musíme třecí sílu nějak kompenzovat jinou silou, která bude působit proti ní. Na druhou 29

stranu existence tření je velmi užitečná pro běžný život. Bez něj bychom nemohli chodit nebo řídit auto, hřebíky a šrouby by se samovolně uvolňovaly, rozvazovaly by se uzly. Nyní se budeme věnovat tření mezi dvěma suchými pevnými povrchy, které po sobě kloužou, nebo mají tendenci po sobě klouzat (jako kostka položená na šikmé ploše). V přírodě existuje více druhů sil působících proti pohybu, třeba tření v kapalinách (viskozita) nebo odporová síla působící na těleso pohybující se v kapalině nebo plynu. Třecí síly jsou důsledkem mezimolekulového a meziatomárního působení a drsností třených povrchů. Jejich přesné vysvětlení na základě interakcí mezi atomy a molekulami je však složité. Naštěstí lze třecí síly makroskopicky popsat jednoduchými pravidly, která nám budou postačovat k řešení běžných praktických problémů. Představme si kvádr, jehož povrch je pokryt dvěma různými materiály tak, že na jednu stěnu vždy umístíme jeden materiál a na protilehlou stěnu druhý. Snadno můžeme doprostřed horní stěny kvádru připevnit také různá doplňková závaží. Představte si, že kvádr postupně necháme klouzat po různých stěnách, měníme také přítlačnou sílu pomocí přídavných závaží. Vždy měříme pomocí pružinového siloměru tahovou sílu, jakou musíme na kvádr působit, abychom jej udrželi v rovnoměrném pohybu. Ta pak je stejně velká jako působící dynamická třecí síla. Sérií pokusů můžeme odhalit následující pravidla: 1. dynamická třecí síla nezávisí na velikosti styčné plochy, 2. dynamická třecí síla nezávisí významným způsobem na rychlosti, jíž se vůči sobě povrchy pohybují, 3. dynamická třecí síla je přímo úměrná normálové síle N , kterou jsou povrchy přitlačovány k sobě, 4. konstanta úměrnosti mezi nimi závisí na materiálech obou povrchů. Tuto konstantu úměrnosti µD nazýváme dynamický součinitel smykového tření. Výsledek můžeme shrnout následovně. Velikost dynamické třecí síly je součinem dynamického součinitele smykového tření a velikosti normálové síly, jež přitlačuje povrchy k sobě FtD = µD N.

(2.1)

Nyní náš experiment mírně obměníme - budeme měřit vodorovnou sílu potřebnou k uvedení kvádru z klidu do pohybu. Zjistíme, že statická třecí síla je schopna kompenzovat naši tahovou sílu až do určité velikosti, pak se kvádr uvolní. Tato maximální velikost statické třecí síly opět závisí na velikosti normálové síly mezi povrchy N a konstantě µS , nazývané statický součinitel smykového tření, která závisí na materiálu obou povrchů. 30

− → N W − → Ft silomˇer Obrázek 2.5: Třecí síla – abychom udrželi kvádr v rovnoměrném pohybu po podložce, musíme překonávat sílu dynamického tření. Abychom jej uvedli z klidu do pohybu, musíme překonat statickou třecí sílu. Maximální velikost statické třecí síly je součinem statického součinitele smykového tření a velikosti normálové síly, jež přitlačuje povrchy k sobě FtS = µS N.

(2.2)

Všimněte si, že rovnice 2.1 a 2.2 nejsou vektorovými rovnicemi - síly F t and N jsou na sebe kolmé. Součinitele µD a µS jsou bezrozměrné veličiny a jsou určovány empiricky. Výsledky pro různé páry styčných ploch jsou uvedeny v tabulkách, jako je tabulka 2.1. Je odtud patrné, že u většiny materiálů je statický součinitel tření větší než dynamický. Tam, kde je tření nežádoucí, může být podstatnýcm způsobem sníženo pomocí promazání styčných ploch. Ve skutečnosti je tření měřeno důmyslnějšími metodami, než bylo uvedeno v předchozí úvaze. Použití pružinového siloměru není moc přesné, zejména pro měření dynamického tření. I tehdy, budeme-li se snažit pohybovat siloměrem a kvádrem rovnoměrně, nevyvarujeme se oscilací, kdy se kvádr zpomalí až zastaví a opět urychlí. To je způsobeno rozdílem mezi součiniteli µD a µS . Je-li kvádr na začátku v klidu, setrvá v klidu, dokud tahovou silou nepřekonáme statickou třecí sílu. Pak se kvádr uvolní a poskočí dopředu, protože síla potřebná k překonání dynamického tření je menší. Pružina se zkrátí, tahová síla už nestačí ani k překonání dynamického tření, kvádr opět zastaví a tak dále. Podobný efekt můžeme pozorovat i v běžném životě - způsobuje například vrzání špatně promazaných pantů dveří. Příklad 2.3 Chlapec táhne okované sáňky se svými dvěma kamarády konstantní rychlostí přes zamrzlý rybník tak, že popruh je vodorovný. Celková hmotnost sáněk s nákladem je m = 60 kg. Jak velkou silou T chlapec táhne? Dynamický součinitel smykového tření mezi ocelí a ledem je µk = 0, 04. Řešení: Pohybují-li se sáňky rovnoměrně, výsledná síla, která na ně působí, musí být podle I. Newtonova zákona nulová. Rovina, po níž sáňky jedou, je vodorovná. Nakreslíme si obrázek (viz 2.6), do něhož vyznačíme všechny síly, jež na sáňky 31

kontaktní materiál ocel na oceli promazaná ocel na oceli sklo na skle led na ledu pneumatika na suché vozovce pneumatika na vlhké vozovce pneumatika na uježděném sněhu navoskovaná lyže na sněhu lidské klouby

µS 0,7 0,1-02 0,9 0,1 0,9 0,6 0,3 0,05 0,1

µD 0,6 0,05-0,1 0,40 0,03 0,7 0,4 0,2 0,1 0,03

Tabulka 2.1: Přibližné hodnoty součinitelů statického a dynamického tření působí. Zahrnují • tíhovou sílu F g , jíž působí na sáňky Země, • normálovou sílu N , jíž led sáně podpírá, • vodorovnou třecí sílu mezi ledem a sáňkami F tD , • tahovou sílu popruhu T . Musí tedy platit F g + N + F tD + T = 0. Zvolíme souřadný systém tak, aby osa x byla rovnoběžná s rychlostí sáněk a osa y mířila svisle vzhůru, pak můžeme tuto vektorovou rovnici přepsat na dvojici rovnic pro složky vektorů ve směru zvolených os T − FtD = 0 N − Fg = 0. Takže T = FtD . Víme, že FtD = µD N , z první rovnice plyne, že N = Fg , tedy T = µD N = µD Fg = µD · m · g = 0, 04 · 60 kg · 9, 8 m · s−2 = 23, 5 N. Chlapec táhne silou T = 23, 5 N. Promyslete si, že (při předpokládané hmotnosti táhnoucího chlapce menší, než je hmotnost naložených sáněk) je to možné pouze tehdy, když statický součinitel smykového tření mezi jeho podrážkami a ledem je výrazně větší než dynamický součinitel mezi sáňkami a ledem. Příklad 2.4 Položte minci 1 Euro (její hmotnost je přesně 7,5 g) na zavřenou knihu vázanou v tvrdých deskách, která leží na stole. Pak začněte knihu zvolna otevírat, až po ní mince začne klouzat. Jaký je statický součinitel smykového tření, začne-li mince klouzat při pootevření horní desky knihy o α = 15◦ ? Jaká 32

y

− → N

−−→ FtD

x

− → T

− → Fg

Obrázek 2.6: Síly působící na sáňky tažené po zamrzlém rybníku je třecí síla mezi knihou a mincí při α0 = 10◦ ? Řešení: Nakreslíme obrázek mince na nakloněné rovině a vyznačíme síly, jaké na ni působí (viz 2.7). Jsou to • tíhová síla F g , • normálová síla N , jíž minci podpírá kniha, • třecí síla proti směru možného klouzání mince F tS . Na rozdíl od předchozího příkladu zde nefiguruje žádná tahová síla. Dokud je mince v klidu, musí platit: F g + N + F tS = 0 Pro vyřešení problému zvolíme souřadnou soustavu tak, že osa x leží ve směru možného klouzání mince (po spádnici desky) a osa y je kolmá na desku. Jak tečná (x), tak normálová (y) složka tíhové síly jsou nenulové: F g = (Fgt , −Fgn ) = (Fg sin α, −Fg cos α), normálová síla od podložky je N = (0, N ) a třecí síla F tS = (−FtS , 0). Opět rozepíšeme vektorovou rovnici na dvě samostatné rovnice pro jednotlivé souřadnice N − Fg cos α = 0 Fg sin α − FtS = 0. 33

y

− → N −→ FtS

−→ Fgt

x

−→ Fgn

α

− → Fg Obrázek 2.7: Síly působící na minci na nakloněné rovinné desce Maximální statická třecí síla je dána podmínkou FtS = µs N . Z první a druhé rovnice dostaneme FtS = µS N = µS Fg cos α a FtS = Fg sin α. Odtud . µS = tan α = tan 15◦ = 0, 27 Statický koeficient smykového tření je 0,27. Abychom určili třecí sílu působící na nepohyblivou minci při náklonu α0 = 10◦ , musíme si uvědomit, že tato síla pouze kompenzuje tečnou sílu, která se snaží minci uvést do pohybu, v našem případě tečnou složku tíhové síly FtS = Fg sin α0 = m · g sin α0 = 7, 5 · 10−3 kg · 9, 8 m · sin 10◦ = 0, 013 N. Proč následující postup FtS = µS N = µS Fg cos α0 = µS · m · g cos α0 = = 0, 27 · 7, 5 · 10−3 kg · 9, 8 m · cos 10◦ = 0, 020 N vede k nesprávnému výsledku?

34

2.4.

Kladkostroje

Vynikající antický matematik a fyzik Archimédes (287–212 př.n.l, Syrakusy, Sicílie) velmi významně přispěl k praktickému využívání jednoduchých zákonů mechaniky. Pověstnými se staly jeho stroje využívající páky a systémů kladek. Navrhl mnoho zařízení, která pomáhala obráncům Syrakus v obraně před římskými útočníky, jako obří katapulty, zvedáky a také zakřivená zrcadla, umožňující pomocí odražených slunečních paprsků podpálit plachty nepřátelských lodí. příběh vypráví [14], že se jednoho dne vychloubal, jak účinná zařízení dokáže pomocí systému kladek sestrojit, i před králem Hieronem, slovy „dejte mi pevný bod, na který se mohu postavit, a pohnu i Zemíÿ. Král jej vyzval, aby pohnul jeho velkou bojovou lodí, která by jinak vyžadovala mnoho mužů, aby ji přesunuli ze břehu na moře. Ve smluvený den byla loď naložena mnoha pasažéry a nákladem a všichni sledovali, zda Archimédes opravnu zvládne to, co sliboval. Seděl v jisté vzdálenosti od lodi, postupně tahal za lano a přitom táhl loď „tak hladce a rovnoměrně, jako by byla na hladiněÿ. Abychom zjistili, zda bylo něco takového vůbec možné, musíme se nejprve seznámit s principem fungování kladkostrojů. Kladkostroje jsou dodnes využívány v továrnách a na zemědělských farmách. Příklad 2.5 Předpokládejte, že všechna lana a kladky na obrázku 2.8 se mohou pohybovat bez tření a jejich hmotnosti jsou zanedbatelné. Systémy jsou v klidu. Určete tahovou sílu, jakou je třeba působit na volný konec lana, aby systém byl v klidu.

− → T

− → T0

− → T

α − → T

− → T

− → T 00 α

− → T

− → G

− → G − → G

Obrázek 2.8: Kladkostroje Řešení: Nepřihlížíme-li ke tření, tahová síla bude konstantní podél celého lana. Pak snadno nakreslíme síly, jimiž různé části lana působí na jednotlivé kladky, a 35

nalezneme jejich výslednice. Je-li systém v klidu, musí být výsledná síla působící na každou jeho část (včetně uvážení tíhy závaží) nulová. 1. K udržení systému v klidu musí být tahová síla rovna tíze závaží T = G. 2. Tahové síly dvou částí lana na volnou kladku se sčítají, takže T =

G . 2

3. Síly působící na volnou kladku jsou T 0 , T 00 a G, kde T 0 = T 00 = T . Proto T =

G . 2 sin α

Příklad 2.6 Archimédes mohl pohnout lodí pomocí podobného zařízení, jako je na obrázku 2.9.

Obrázek 2.9: Kladkostroj údajně navržený Archimedem, aby pohnul lodí [15] Předpokládejme hmotnost naložené lodě m = 80 t, součinitel statického tření mezi dřevěným dokem a lodí µ = 0, 6. Kolik volných kladek Archimedes potřeboval, aby lodí pohnul? Předpokládejme, že byl schopen vyvinout maximální tahovou sílu T = 500 N. Řešení: Síla, jíž bylo třeba táhnout loď, byla F = µ · m · g = 0, 6 · 80000 · 9, 8 ≈ 470 kN, takže kladkostroj musel znásobit Archimédovu sílu téměř 1000-krát. Bylo to možné? Z obrázku plyne, že (zanedbáme-li úhel mezi lany, který lze vhodnou 36

konstrukcí minimalizovat) každá volná kladka zdvojnásobuje sílu působící na loď. Archimédes by potřeboval nejméně n kladek, kde: 2n T 2n

≥ F F ≥ T F = ln F − ln T T ln (µ · m · g) − ln T ln (0, 6 · 80000 · 9, 8) − ln 500 = = 9, 9. ln 2 ln 2

n ln 2 ≥ ln n ≥

Stačilo mu tedy pouze 10 volných kladek k tomu, aby těžkou lodí pohnul. Pomocí zařízení na obrázku by ale mohl lodí pohnout jen o malou vzdálenost - délka lana, jakou by k posunu lodě potřeboval, je totiž tolikrát delší než vzdálenost, o jakou je třeba s lodí pohnout, kolikrát se kladkostrojem znásobí působící síla.

W

Obrázek 2.10: Kladkostroj ke zvedání těžkých objektů - úloha 2.4

Úloha 2.1 Jsou dány vektory A = (20, 50, 30) a B = (−20, 10, 0). Určete A+B.

Úloha 2.2 Vypočtěte velikost vektoru A = (20, 30, 40). Úloha 2.3 Určete úhly α, β a γ, které vektor A = (20, 30, 40) svírá s kladnými směry os x, y a z. Úloha 2.4 Zařízení, jako na obrázku 2.10, se dodnes využívá ke zvedání břemen. Je-li lano n-krát ovinuto kolem dolní volné kladky, jaká je souvislost mezi tíhou W břemene a potřebnou tahovou silou T ? Jakou délku lana je třeba vytáhnout, aby bylo břemeno vyzvednuto o h?

37

− → T

− → T

W W

Obrázek 2.11: Kladkostroj k úloze 2.5 Úloha 2.5 Předpokládejte, že všechny kladky a lano na obrázku 2.11 jsou nehmotné a kladky se otáčejí bez tření. Systém je v klidu. Určete vnější tahovou sílu, kterou musí být přidržováno lano. Úloha 2.6 Kladkostroj (na obrázku 2.12) je využíván v továrně k přesunu těžkých břemen. Je složen z pevné kladky, dálkově ovládané horizontálně pohyblivé kladky a elektromotoru. Jak se pohyblivá kladka posouvá, mění se napětí lana. Určete jeho velikost pro a) α = 120◦ a b) α = 30◦ . Tíha břemene je W = 1 kN.

pevn´ a kladka − → F2 α − → F1

d´ alkovˇe ˇr´ızen´ a kladka W

eletrick´ y pohon Obrázek 2.12: Kladkostroj využívaný v továrně, úloha 2.6 38

Úloha 2.7 Typická hodnota odporové síly působící na osobní auto jedoucí rychlostí 180 km · h−1 je asi Fo = 800 N. Celková hmotnost auta je m = 800 kg. Jaká síla působí proti odporové síle a umožňuje tak autu udržet si tuto rychlost? Jaká je minimální hodnota statického součinitele smykového tření mezi pneumatikami a vozovkou, která to umožňuje? Úloha 2.8 Žena táhne sáňky se svými dětmi konstantní rychlostí přes zamrzlý rybník. Popruh je nakloněn o úhel α od vodorovného směru. Celková hmotnost naložených sáněk je m. Jak velkou silou T žena táhne popruh? Součinitel dynamického tření mezi saněmi a ledem je µD . Nápověda: Všimněte si, že normálová síla mezi sáněmi a ledem není rovna tíze saní.

Úloha 2.9 Na obrázku 2.13 vidíte závaží hmotnosti M = 6 kg a druhé závaží, jehož hmotnost m neznáme. Závaží jsou spolu spojena lankem zanedbatelné hmotnosti a celý systém je v klidu. Určete, v jakém intervalu může ležet neznámá hmotnost m. Nakloněná rovina svírá s vodorovným směrem úhel α = 30◦ a statický součinitel smykového tření mezi závažím a touto rovinou je µS = 0, 5. M

m

Obrázek 2.13: Dvě spojená závaží z úlohy 2.9

Úloha 2.10 John a Andrew přišli k řece a rozhodli se udělat si závody v plavání na 200 m. Řeka je d = 100 m široká, rychlost jejího toku u = 0, 9 m · s−1 . Ve stojaté vodě dokáží oba chlapci plavat stejnou rychlostí v = 1, 5 m · s−1 , takže vítězství závisí na volbě vhodné strategie. Andrew se rozhodl, že bude plavat kolmo napříč řekou a zpět, John dal přednost plavání 100 m proti proudu řeky a zpět. Kdo v závodě zvítězil a o jaký čas byl dříve v cíli? Nápověda: Rychlost plavce vůči břehu je součtem vektoru rychlosti proudu řeky a vektoru rychlosti plavce vůči vodě. Nakreslete si náčrtek.

39

2.5.

Násobení vektorů - skalární a vektorový součin Skalární součin vektorů A a B je definován jako součin velikosti vektoru A a velikosti vektoru B vynásobený kosinem úhlu ϕ, který svírají. A · B = |A| |B| cos ϕ = A B cos ϕ

− → A

ϕ − → B

Obrázek 2.14: Skalární součin vektorů A a B

• Z obrázku 2.14 je zřejmé, že skalární součin je také roven součinu délky průmětu vektoru A do směru vektoru B a délky vektoru B a naopak. Je-li úhel ϕ mezi vektory A a B roven 90◦ nebo 270◦ , jejich skalární součin je nulový: skalární součin dvou kolmých vektorů je nulový. • Skalární součin dvou vektorů je skalární veličina. • Platí komutativní zákon A·B =B·A • a platí distributivní zákon (při skalárním násobení součtů vektorů lze roznásobovat závorky) (A + B) · (C + D) = A · C + A · D + B · C + B · D. • Povšimněte si, že i · i = j · j = k · k = 1 a skalární součin dvou různých bázových vektorů je nulový. • Máme-li zvolen systém bázových vektorů i, j a k a vektory A = Ax i + Ay j + Az k a B = Bx i + By j + Bz k, jejich skalární součin můžeme nalézt pomocí distributivního zákona A · B = Ax Bx + Ay By + Az Bz . 40

Příklad 2.7 Oblíbenu adrenalinovou zábavou se v posledních letech stávají obří houpačky, na kterých si skokan může vyzkoušet přetížení až 2g. Houpačka může být tvořena například dvěma lany, upevněnými k vysokým pilířům (každý h1 = 15 m vysoký, d = 10 m od sebe) a připojenými k pasu skokana (h2 = 1 m nad jeho chodidly). Skokan se připravuje ke skoku na dalším pilíři, vysokém, h3 = 13 m a vzdáleném l = 12 m od středu spojnice mezi prvními dvěma pilíři. Zvolte souřadný systém jako na obrázku 2.15. Určete polohové vektory pevných konců lan a skokana, vektory posunutí od skokana k oběma fixním koncům lan, délku lan a úhel, jaký svírají.

z

B A

ϕ

h2

C h1 − r→ A

− r→ B − r→ C

h3

x l

d

y Obrázek 2.15: Obří houpačka Řešení: r A = (0, 0, 14) m, r B = (12, −5, 15) m, rC

= (12, 5, 15) m,

r AB = r B − r A = [(12, −5, 15) − (0, 0, 14)] m = (12, −5, 1) m, = r C − r A = [(12, 5, 15) − (0, 0, 14)] m = (12, 5, 1) m, p √ . |r AB | = |r AC | = 122 + 52 + 12 m = 170 m = 13 m, r AC

41

r AB · r AC 12 · 12 + 5 · (−5) + 1 · 1 120 . √ √ = 0, 7 = = |r AB ||r AC | 170 170 · 170 . ϕ = 45◦

cos ϕ =

Výsledkem vektorového součinu dvou vektorů A a B je vektor, jehož velikost je rovna součinu velikostí vektorů A a B vynásobenému sinem menšího úhlu ϕ mezi nimi. Je to vektor kolmý na rovinu danou násobenými vektory a jeho směr je dán pravidlem pravé ruky. Určíme jej následovně. Nejprve přesuneme vektory A a B tak, aby měly společný počátek. Pak přiložíme otevřenou pravou ruku se vztyčeným palcem k prvnímu z násobených vektorů (A) tak, aby ukazováček mířil ve směru A a abychom se do směru B dostali pootočením ruky kolem vztyčeného palce ve směru otevřené dlaně o ostrý úhel (viz obrázek 2.16). Pak vztyčený palec ukazuje směr jejich vektorového součinu.

~×B ~ A ~ A

~ A ϕ

ϕ ~ B

~ B

Obrázek 2.16: Vektorový součin vektorů A a B

• Vektorový součin dvou vektorů je vektor. • Vektorový součin je antikomutativní (záměnou pořadí vektorového násobení obdržíme vektor opačný k vektoru, jenž byl výsledkem vektorového násobení v původním pořadí) A × B = −B × A. • Platí distributivní zákon (můžeme roznásobovat závorky, ale musíme dbát na dodržení pořadí násobení) (A + B) × (C + D) = A × C + A × D + B × C + B × D. • Povšimněte si, že i × i = j × j = k × k = 0, i × j = k, j × k = i, k × i = j, j × i = −k, k × j = −i a i × k = −j. 42

• Máme-li zvoleny bázové vektory i, j a k a vektory A = Ax i + Ay j + Az k a B = Bx i + By j + Bz k, využitím distributivního zákona při jejich násobení dostaneme výsledek (determinant matice) i j k A × B = Ax Ay Az Bx By Bz neboli (A × B)x = (Ay Bz − Az By ) , (A × B)y = (Az Bx − Ax Bz ) , (A × B)z = (Ax By − Ay Bx ) .

2.6.

Statika tuhého tělesa

Tuhé těleso je těleso, které se pohybuje bez jakékoli změny svého tvaru. V první kapitole jsme se seznámili s Newtonovými zákony, které určují translační pohyb hmotného bodu nebo tuhého tělesa. Viděli jsme, že je-li výsledná síla (výslednice sil) působící na těleso nulová, bude setrvávat v klidu nebo rovnoměrném přímočarém pohybu. Aby se změnil vektor rychlosti tělesa (ať už jeho velikost, směr, či obojí), musí na ně působit nenulová výsledná síla. Představme si nyní tuhou tyč, ležící v klidu na ledové ploše. Co se stane, začneme-li na ni působit dvěma stejně velkými opačnými silami, tečnými k ledové ploše a kolmými k tyči, každou na jeden její konec? Zůstane v klidu? Samozřejmě ne - bude uvedena do otáčivého (neboli rotačního) pohybu. Ačkoli součet sil působících na tyč je nulový, pohybový stav tyče se změní. Je to proto, že tyč má nezanedbatelné rozměry a výsledný efekt silového působení tak závisí nejen na velikosti, směru a orientaci sil, ale i na jejich působišti. Otáčivý pohyb může být popsán velmi podobně jako pohyb posuvný využitím odpovídajících veličin rotačního pohybu (úhlová dráha, úhlová rychlost, úhlové zrychlení), místo veličin popisujících pohyb translační (dráha, rychlost, zrychlení). Všem se budeme podrobněji věnovat v následujících kapitolách. Nyní si prozatím představíme pouze veličinu nazvanou moment síly, která může způsobit změnu otáčivého pohybu tělesa stejně, jako síla způsobí změnu pohybu posuvného. Protože moment sil působících na tyč v našem příkladě byl nenulový, uvedl ji z klidu do otáčivého pohybu. Moment síly působící na těleso (vzhledem ke zvolenému referenčnímu bodu) je definován jako vektorový součin M = r × F, kde F je síla působící na těleso a r je polohový vektor jejího působiště vzhledem ke zvolenému referenčnímu bodu. Z definice vektorového součinu plyne, že jeho velikost je rovna M = rF sin α. 43

F~ ~ M

α α

~r P

r⊥

Obrázek 2.17: Moment síly F vůči bodu P a rameno této síly r⊥ Z obrázku 2.17 je zřejmé, že platí také M = F r⊥ , kde r⊥ je kolmá vzdálenost mezi vztažným bodem a prodlouženou linií vektoru F , tato kolmá vzdálenost se nazývá rameno síly. Aby bylo těleso ve stavu statické rovnováhy (setrvávalo v klidu), musí být nejen součet všech sil F 1 , F 2 , · · · F n , které na ně působí, roven nule, ale nulový musí být také součet všech momentů těchto sil vůči libovolnému pevně zvolenému bodu n X F i = 0, i=1 n X

M i = 0,

i=1

kde M i = r i × F i a počátek vektorů r i je zvolen libovolně, ale pevně (tj. jakmile jej jednou zvolíme, momenty všech sil vyjadřejeme vůči němu). Tento referenční bod může být zvolen na tělese nebo i mimo ně. V praxi je mnoho případů, kdy se tělesa nebo jejich části otáčejí kolem pevné osy. Podívejte se na obrázek kleští 2.18. Osa rotace jejich dvou částí je vyznačena bodem P v pantu. Moment síly, jakou působíme na každé z držadel, vůči tomuto bodu je M = F1 r1⊥ , kde r1⊥ je kolmá vzdálenost mezi osou rotace a prodlouženou linií vektoru F1 , neboli rameno síly F1 . Snažíme-li se kleštěmi třeba přeštípnout drát, z rovnováhy momentů sil plyne, že síla F2 , jakou z každé strany působí kleště na drát (podle III. Newtonova zákona stejně velká, jako síla, kterou působí drát na kleště), souvisí se silou, jíž působíme na každé z držadel, vztahem: F1 r1⊥ = F2 r2⊥ To je princip páky: rovnováha je ustavena, kompenzují-li se silové momenty otáčející tělesem v kladném a záporném smyslu otáčení. Moment i velmi velké 44

síly, působící na krátkém rameni vůči ose otáčení, lze kompenzovat momentem síly mnohem menší, je-li její rameno dostatečně dlouhé.

−F~2

F~1 r2⊥ r1⊥ −F~1

F~2

Obrázek 2.18: Síly působící dvě poloviny kleští a jejich ramena. Příklad 2.8 Určete, zda je možné postavit žebřík, aby po něm mohl pracovník bezpečně vylézt a pracovat tak, že bude stát na třetí příčli shora (viz obrázek 2.19). Bočnice žebříku jsou L = 9 m dlouhé, vzdálenosti mezi příčlemi a od krajních příčlí po konce žebříku jsou d = 30 cm. Pracovník má hmotnost m1 = 90 kg, hmotnost žebříku je m2 = 30 kg, statický součinitel smykového tření mezi žebříkem a zdí je µ1 = 0, 5 a mezi žebříkem a podlahou je µ2 = 0, 7. Těsně u zdi je jáma široká l = 4 m, do níž žebřík postavit nelze. Opřeme-li žebřík o zeď, jak nejdále od zdi může být dolní konec žebříku, aby s pracovníkem nespadl? Řešení: Nakreslíme si žebřík a všechny síly, které na něj působí. Jsou to • tíhová síla, jíž na žebřík působí Země: G = m2 g, • tíha pracovníka: W = m1 g, • normálová síla N 1 , jíž žebřík podepírá zeď, • třecí síla mezi zdí a žebříkem F 1 , ta působí proti očekávanému pohybu (podklouznutí žebříku), • normálová síla N 2 , jíž žebřík podepírá podlaha, • třecí síla mezi podlahou a žebříkem F 2 , opět působí proti očekávanému pohybu. Aby byl žebřík ve stavu statické rovnováhy, musí být výsledná síla, jež na něj působí, nulová, stejně jako výsledný moment všech působících sil vůči zvolenému pevnému bodu G + W + N1 + F 1 + N2 + F 2 = 0 45

x − → F1 − → N1

P α

− → W − → G − → N2 − → F2

y

D=?

Obrázek 2.19: Síly působící na žebřík opřený o zeď (nejsou v měřítku) MG + MW + MN 1 + MF 1 + MN 2 + MF 2 = 0. Abychom vyjádřili jednotlivé momenty sil, musíme nejprve zvolit vztažný bod. Může to být libovolný bod na žebříku i mimo něj, ovšem vhodná volba tohoto bodu může výpočet podstatně zjednodušit. Zvolme si bod P ve vrcholu žebříku. Všechny síly leží v rovině xy, zvolíme-li v této rovině i vztažný bod, budou mít všechny momenty sil směr osy z nebo opačný (osa z není zakreslena na obrázku, mířila by do nákresny). Za těchto podmínek se naše dvojice vektorových rovnic, která by obecně mohla vést až na soustavu šesti nezávislých rovnic pro jednotlivé složky sil a jejich momentů, redukuje na soustavu pouhých tří rovnic N 2 + F1 − G − W

= 0,

N1 − F2 = 0,   L π W (3d) sin α + G sin α − N2 L sin (π − α) + F2 L sin +α = 0, 2 2 z nichž poslední můžeme zjednodušit na W (3d) sin α + G

L sin α − N2 L sin α + F2 L cos α = 0. 2

46

Další dvě rovnice plynou ze vztahu mezi normálovou a třecí silou F1 = µ1 N1 , F2 = µ2 N2 . Vyřešením této soustavy pěti rovnic dostaneme výsledek tan α =

µ2 (m1 + m2 ) , m1 + m2 − (1 + µ1 µ2 )(3dm1 /L + 0, 5m2 )

. . takže α = 44◦ and D = L sin α = 6, 2 m. To je více, než kam sahá jáma, žebřík tedy postavit lze. Naším postupem jsme odvodili maximální možnou vzdálenost paty žebříku od zdi, při které by se ovšem pracovník musel vyvarovat i rychlých změn pohybu, jimiž by mohl přechodně zvýšit sílu, jíž na žebřík působí. Pracovali jsme s maximálními možnými statickými třecími silami - postavíme-li žebřík více svisle, budou třecí síly potřebné k udržení žebříku menší. Obecně, nebrání-li tomu žádná překážka, je lepší postavit žebřík o něco blíže, ale ne až těsně ke zdi - pak by se totiž vystupující pracovník musel nezanedbatelnou silou přidržovat žebříku a kromě jeho tíhy bychom museli uvážit i tuto na ni kolmou sílu, která by mohla žebřík převrátit. Obvykle se doporučuje „zlatá střední cestaÿ. Promyslete si již sami, jak se řešení změní, bude-li pracovník na jiné příčli žebříku. Příklad 2.9 Řidič potřebuje vyjet s autem na pevnou plošinu a používá k tomu volně položenou nájezdovou rampu. Auto má pohon na zadních kolech, tření v ose předních kol můžeme zanedbat, lze tedy předpokládat, že přední náprava působí na rampu pouze kolmo. Velikost této normálové síly je F . Délka rampy mezi místy, v nichž je podepřena, je l. Vzdálenost dolního konce rampy od předních kol označme a, rampa je nakloněna o úhel α vůči vodorovnému směru. Statický součinitel smykového tření mezi rampou a plošinou je µ1 . Dokud je na rampě pouze přední náprava, hrozí její vyklouznutí směrem vzhůru. Jaký je minimální součinitel smykového tření mezi rampou a zemí µ2 , aby rampa v situaci na obrázku 2.20 nepodklouzla? Který okamžik je nejrizikovější? Hmotnost rampy je zanedbatelná. Řešení: Nejdříve nakreslíme síly, které na rampu působí: • normálová síla od přední nápravy F , • normálová síla od plošiny N 1 , • třecí síla mezi rampou a plošinou F 1 , • normálová síla mezi zemí a rampou N 2 , • třecí síla mezi zemí a rampou F 2 . 47

~1 N

y

x F~1 ~2 N

F~

α F~2

a

Obrázek 2.20: Síly působící na nájezdovou rampu (nejsou v měřítku) Podobně jako v předchozí úloze vyjádříme rovnováhu x-ových a y-ových složek všech sil, momenty sil vůči vhodnému bodu (tentokrát jej zvolíme na dolním konci rampy) a připojíme rovnice udávající vztah mezi přítlačnými a třecími silami. Dostaneme soustavu pěti rovnic N2 sin α − F2 cos α − F1 = 0, N2 cos α + F2 sin α − F + N1 = 0, F a − N1 l = 0, F1 = µ1 N1 , F2 = µ2 N2 , která vede k výsledku µ2 =

(l − a) sin α − µ1 a cos α l − a(1 + µ1 cot α) = tan α . (l − a) cos α + µ1 a sin α l − a(1 − µ1 tan α)

Ten udává minimální hodnotu statického součinitele smykového tření mezi zemí a rampou µ2 nutnou, aby rampa při určené poloze auta nepodklouzla. Všimněte si, že výsledek nezávisí na velikosti síly, jakou na rampu působí přední náprava (tato závislost by se objevila, pokud by bylo třeba uvažovat i tíhu samotné rampy). A který okamžik je nejrizikovější? Je to ten, ve kterém by byla potřebná hodnota součinitele největší. Průběh funkce lze nalézt derivací, jak se naučíte v kapitole 3. Protože derivovat ještě neumíte, pokusíme se výsledek určit úvahou. Při zadaných podmínkách je závorka, jíž násobíme proměnnou a v čitateli, vždy větší než ta, jíž ji násobíme ve jmenovateli. S rostoucím a tedy bude čitatel klesat rychleji než jmenovatel a hodnota celého zlomku se bude snižovat. Je-li µ2 klesající funkcí a, má nejvyšší hodnotu na počátku, pro a = 0, tedy bezprostředně po nájezdu předních kol na rampu. Dostaneme pak jednoduchý výsledek µ2 = tan α. 48

Úloha 2.11 Jsou dány dva vektory A = (1, 2, 3) a B = (3, 2, 1). Nalezněte a) jejich skalární součin, b) jejich vektorový součin c) úhel, který svírají. Úloha 2.12 Víme-li, že A · B = 20 a A × B = (0, 0, 20), jsou vektory A a B těmito podmínkami jednoznačně určeny? Pokud ne, co vše o nich můžeme říci?

Úloha 2.13 Uvažte ještě jednou situaci s obří houpačkou (obrázek 2.15). Skokan skočil dolů, zhoupl se jako kyvadlo, výsledná síla, jakou v nejnižším bodě své dráhy působil na dvojici lan, byla F = 2100 N. Použijte všechny potřebné údaje z příkladu 2.7 a stejný souřadný systém. Určete vektory reakčních tahových sil, jimiž každé lano v nejnižším bodě na skokana působí, a jejich velikosti.

Úloha 2.14 Na obrázku 2.21 vidíte děti houpající se na houpačce. Podobné houpačky jsou obvykle konstruovány tak, že osa otáčení je pevná a je umístěna uprostřed. Je-li vzájemná vzdálenost sedátek l = 3 m, hmotnost prvního dítěte m1 = 25 kg a hmotnost druhého by byla m2 = 50 kg, jak daleko od prvního dítěte by byla optimální poloha osy otáčení, aby se jejich silové momenty vyrovnaly? Závisí tato poloha na okamžitém náklonu houpačky?

Obrázek 2.21: Houpačka z úlohy 2.14

Úloha 2.15 Ještě jednou uvažte auto jedoucí po nakloněné rovině, například do prudkého kopce jako na obrázku 2.22, úhel sklonu vozovky α = 20◦ . Celková tíha auta je W = 13, 3 kN. Určete normálové síly, jimiž působí vozovka na přední a zadní nápravu, a minimální hodnotu statického součinitele smykového tření mezi pneumatikami a vozovkou µ nutnou k tomu, aby auto kopec rovnoměrným pohybem vyjelo a) je-li poháněna zadní náprava a přední kola se volně protáčejí b) je-li poháněna přední náprava a zadní kola se volně protáčejí, c) má-li vůz pohon na všechna čtyři kola. Rozvor kol je l = 2, 5 m, těžiště auta (bod, ve kterém 49

je působiště výsledné tíhové síly) předpokládejte v obou případech v polovině rozvoru ve výšce h = 0, 7 m nad vozovkou. Nápověda: Momenty všech sil působících na auto vyjádřete vůči bodu C, jenž leží na průsečíku přímky, na níž leží tíhová síla, s vozovkou.

h α B

A

C F~g

Obrázek 2.22: Automobil jedoucí do kopce a na něj působící tíhová síla 2.15

50

Kapitola 3 Pohyb jedním směrem a matematika nekonečně malých intervalů Jak určit okamžitou rychlost auta, které se rozjíždí? Jak může matematika pracovat s nekonečně malými změnami? Jaká jsou základní pravidla takového počítání? Proč fyzika pracuje s nekonečně krátkými časovými intervaly? Po prostudování této kapitoly byste měli umět • definovat průměrnou a okamžitou rychlost a zrychlení, • vypočítat derivace jednoduchých funkcí, • vypočítat průměrnou a okamžitou rychlost a zrychlení, znáte-li dráhu, případně rychlost jako funkci času, • vypočítat neurčitý integrál vybraných funkcí, včetně využití metody per partes a jednoduchých substitucí, • vypočítat určitý integrál vybraných funkcí, • vypočítat uraženou dráhu, znáte-li rychlost jako funkci času, • vypočítat nabytou rychlost, znáte-li zrychlení jako funkci času.

3.1.

Pohyb jedním směrem - rychlost a zrychlení

Příklad 3.1 Roadster Ferrari, na počátku v klidu, se rozjíždí na přímé silnici a prvních 400 m urazí za 12,7 s. Jeho vzdálenost od výchozího bodu roste s časem jako na obrázku 3.1. Určete jeho rychlost. Řešení: Snadno můžeme ze zadání vypočítat průměrnou rychlost auta během zadaného časového intervalu, jež je poměrem jeho celkové dráhy a celkové doby, za niž tuto dráhu urazilo: v=

s 400 m = = 31, 5 m.s−1 = 113, 4 km.h−1 . t 12, 7 s 51

s m

400 350 300 250 200 150 100 50 0 0

2

4

6

8

10

12

t s

Obrázek 3.1: Ferrari a jeho vzdálenost od startu jako funkce času

Tento údaj nám ale neposkytne příliš dobrou představu o tom, jakou rychlost mělo Ferrari v nějakém vybraném okamžiku. Jak víme, na počátku byla jeho rychlost nulová, jeho rychlost na konci čtyřistametrové dráhy bude zase mnohem vyšší než vypočtená průměrná rychlost. Jak vypočteme okamžitou rychlost, údaj, jaký řidič vozu v libovolném okamžiku vidí na svém tachometru? Přesnější informaci jistě získáme, budeme-li pracovat nikoli s celým časovým intervalem 12,7 s, ale s dobou kratší. Získáme tak průměrnou rychlost v tomto zvoleném intervalu, vypočteme ji jako podíl dílčí vzdálenosti ∆s ku času ∆t, za nejž byla tato vzdálenost uražena. Je zřejmé, že čím kratší časový interval zvolíme, tím přesnější informaci o aktuální rychlosti získáme: v=

∆s . ∆t

Postupně tak zkrátíme časový interval až na nekonečně krátký (uvážíme infinitesimální časový interval). Okamžitá rychlost (krátce jen rychlost) je limitou poměru uražené dráhy a času pro časový interval jdoucí k nule: ∆s ds = . ∆t→0 ∆t dt

v = lim

Takovou limitu nazýváme derivací s podle t. Získáme tak okamžitou rychlost v libovolném čase, pak také můžeme zakreslit závislost rychlosti na čase jako na obrázku 3.3. Obdobným způsobem jako rychlost jako časovou změnu uražené dráhy můžeme definovat i časovou změnu rychlosti - zrychlení. Průměrné zrychlení je podí52

s m

400 350 300 250 200

s

150 100 50 0 0

s m

t 2

4

6

8

10

12

t s

8

10

12

t s

400 350 300 250 200 150 100

∆s

50 0 0

∆t 2

4

6

Obrázek 3.2: Určení průměrné rychlost automobilu za celou dobu jízdy(nahoře) a za kratší časový interval (dole) lem celkové změny rychlosti ∆v a časového intervalu ∆t, za nějž bylo této změny dosaženo: ∆v a= . ∆t Okamžité zrychlení (krátce jen zrychlení) v čase t je definováno jako limita průměrného zrychlení pro ∆t jdoucí k nule a = lim

∆t→0

3.2.

∆v dv = . ∆t dt

Základní vlastnosti derivací

Dříve než začneme derivace využívat ve fyzikálních aplikacích, představíme si je poněkud blíže. Následující text ovšem v žádném případě neusiluje o rigirózní vý53

v km · h−1

150

100

50

0

2

4

6

8

10

12

t s

Obrázek 3.3: Závislost rychlosti rozjíždějícího se Ferrari na čase stavbu teorie diferenciálního počtu, se kterou se podrobně seznámíte v kurzu matematiky. Jeho účelem je pouze poskytnout studentům základní náhled na vlastnosti a možnosti využití derivací a naučit je určitým pravidlům, pomocí nichž lze počítat derivace potřebné pro řešení jednoduchých fyzikálních problémů. Nechť f (x) je funkce proměnné x. Její derivaci podle proměnné x označujeme stručně f 0 (x). Derivace představuje podíl změny funkce na určitém intervalu proměnné a tohoto intervalu, přičemž jeho velikost necháme limitně klesat k nule. Derivace funkce f (x) v obecném bodě x je definována jako: df (x) f (x + h) − f (x) = lim . h→0 dx h Předpokládejme, že tato limita existuje, ačkoli tomu tak nemusí být vždy. Pak můžeme definovat také druhou derivaci f (x) vzhledem k x jako   d2 f (x) d d f (x) 00 f (x) = = . dx dx dx2 f 0 (x) =

Ve skutečnosti jsme se už s druhou derivací setkali v úvodu této kapitoly – zrychlení je druhou derivací dráhy podle času. Nyní se podívejme na obrázek 3.4. Uvědomte si, že tečna funkce y = f (x) v bodě [x, f (x)] je přímka, jež prochází tímto bodem a jejíž směrnice je rovna derivaci funkce f 0 (x), f (x + h) − f (x) = f 0 (x). h→0 h 54

tan α = lim

f (x)

lok´ aln´ı maximum

klesa j´ıc´ı

f (x + h) − f (h)

f (x + h)

inflexn´ı bod c´ı

f (x)

ros

tou

h

α x x+h

x

lok´ aln´ı minimum

Obrázek 3.4: Vybrané geometrické vlastnosti derivací Odtud plyne, že funkce f (x) je ve vybraném bodě x0 • rostoucí, když f 0 (x0 ) > 0, • klesající, když f 0 (x0 ) < 0, • stacionární, když f 0 (x0 ) = 0. V tom případě má v bodě x0 – lokální maximum, pokud f 00 (x0 ) < 0, – lokální minimum, pokud f 00 (x0 ) > 0, – inflexní bod, pokud f 00 (x0 ) = 0. Počítat derivace přímo z definice by bylo zdlouhavé. Práci výrazně ulehčí využití již dříve odvozených vzorců pro derivace vybraných funkcí a několika dalších jednoduchých pravidel. Zde jsou uvedeny derivace nejběžnějších funkcí: 1. Je-li C=konst. 2. Pro n 6= 0 a x > 0

⇒ [C]0 = 0 ⇒

[xn ]0 = n xn−1

3. [ex ]0 = ex 4. [sin x]0 = cos x 5. [cos x]0 = − sin x 6. Pro x 6= 0

1 ⇒ [ln x]0 = x 55

Zde jsou pravidla pro derivování různých kombinací dvou funkcí a násobku funkce konstantou. Mějme funkce f (x) a g(x). Platí 7. [f (x) + g(x)]0 = f 0 (x) + g 0 (x) 8. [c f (x)]0 = c f 0 (x) 9. [f (x) g(x)]0 = f 0 (x) g(x) + f (x) g 0 (x)  0 f (x) f 0 (x) g(x) − f (x) g 0 (x) 10. = g(x) [g(x)]2 Je-li jedna funkce argumentem druhé, platí
df (g) dg(x) · 11. d f g(x) = dx dg dx √ Příklad 3.2 Je dána funkce y = ln (2x + x) . Nalezněte její derivaci y 0 podle x. √ Řešení: Funkce f (x) = (2x + x) je argumentem funkce y (f (x)) = ln (f (x)) . √ Je tvořena součtem dvou funkcí f (x) = g(x) + h(x), kde g(x) = 2x a h(x) = x. • Derivujeme-li y podle x, nejprve využijeme pravidlo 11: y0 =

dy(f ) df (x) d ln(f ) df (x) 1 df (x) · = · = · . df dx df dx f dx

• Pak použijeme pravidlo 7, odkud plyne, že df (x) = f 0 (x) = [g(x) + h(x)]0 = g 0 (x) + h0 (x). dx • Abychom nalezli g 0 (x) = [2x]0 = 2, využili jsme pravidel 8 a 2, druhé z nich také implikuje, že √ 1 1 1 1 h0 (x) = [ x]0 = [x 2 ]0 = · x− 2 = √ . 2 2 x • Celkově tedy máme 1 df (x) 1 √ y = · = f (x) dx 2x + x 0



1 2+ √ 2 x



√ 4 x+1 √ = √ = . 2x + x 2x (2 x + 1) 2+

1 √ 2 x

Příklad 3.3 Fermatův princip říká, že světlo se šíří mezi dvěma body vždy po takové dráze, jakou absolvuje za nejkratší čas. Využitím tohoto principu odvoďte Snellův zákon lomu pro průchod světla rovinným rozhraním mezi dvěma prostředími s různými indexy lomu n1 a n2 (index lomu udává, kolikrát pomaleji se světlo šíří daným prostředím ve srovnání s rychlostí šíření ve vakuu). 56

Řešení: Protože v homogenním prostředí je rychlost světla stálá, bude se v takovém prostředí pohybovat po přímce. Leží-li dva body v prostředích s různými indexy lomu a tedy i různými rychlostmi šíření světla, nebude obvykle cesta po přímé spojnici mezi nimi nejrychlejší, může být výhodnější urazit větší vzdálenost v prostředí, jehož index lomu je nižší. Obrázek 3.5 zachycuje několik možných trajektorií světelného paprsku. Liší se bodem zlomu na hranici dvou prostředí, polohu tohoto bodu si můžeme označit pomocí proměnné x (jako na obrázku 3.6).

A n1

n2 B

Obrázek 3.5: Možné cesty paprsku spojujícího body A a B

kolmice dopadu

A a

n1 s1 α1

c−x

x α2

s2

c

b

n2 B

Obrázek 3.6: Hledání nejrychlejší spojnice mezi body A a B Doba potřebná na cestu z bodu A do bodu B je p √ n1 s1 n2 s2 n1 a2 + x2 n2 b2 + (c − x)2 t= + = + , v v v v kde v je rychlost světla ve vakuu. Minimum této funkce t v závislosti na volbě 57

bodu x najdeme derivací, kterou položíme rovnu nule: x n2 c−x dt n1 √ p − = = 0. 2 dx v a2 + x2 v b + (c − x)2 Uvážíme ještě, že √ a

x = sin α1 a2 + x2

c−x p

b2 + (c − x)2

= sin α2 ,

takže podmínku pro minimální čas lze zapsat n1 sin α1 = n2 sin α2 , což je známý Snellův zákon lomu. Zcela analogicky lze odvodit i zákon odrazu o rozhraní dvou prostředí α1 = α2 . Protože se v tomto případě světelný paprsek šíří stále stejnou rychlostí, je odvození zákona odrazu jen zjednodušením předchozího postupu a je proto ponecháno čtenáři k samostatnému řešení. Úloha 3.1 Derivujte uvedené funkce podle x:  0 (a) x2 + 2x − 3 i h 1+ 1 0 (b) x x2 √ 0 (c) [ x]  0 1 √ (d) x (e) (f)

[sin 2x]0  2 0 cos x

i 1 0 sin x (h) [tan x]0 h√ i0 (i) x2 + 1 h i 1 0 (j) ln x (g)

h

(k)

[sin(2x − 3)]0  1−x 0 e

(l)

Úloha 3.2 Auto jelo po přímé cestě, když řidič zaregistroval červenou na semaforu. Začal plynule brzdit, jeho vzdálenost od semaforu se v čase vyvíjela podle vztahu: d = 120 − 20t + t2 . Stihl takto zastavit před semaforem? Jakou měl rychlost v čase t = 2 s? Určete zrychlení auta. Úloha 3.3 Parašutista o hmotnosti m = 100 kg vyskočil ve velké výšce z letadla (takže si zatím mohl užívat volného pádu bez otevření padáku). V důsledku působení tíhové síly a odporu vzduchu jeho rychlost rostla podle vztahu   e0,17t − e−0,17t −1 m · s−1 . v = [57, 7 tanh(0, 17t)] m · s = 57, 7 0,17t e + e−0,17t Určete maximální rychlost, jaké dosáhl. Určete jeho zrychlení jako funkci času. 58

Úloha 3.4 Závaží kmitá na pružině tak, že jeho rychlost se mění podle vztahu t −t v = 20e 2 sin . 2 Určete, kdy bude rychlost závaží největší. Jaká bude její maximální velikost? Úloha 3.5 Derivujte funkci µ2 = tan α

l − a(1 + µ1 cot α) l − a(1 − µ1 tan α)

(výsledek příkladu 2.9) podle a a rozhodněte, zda je tato funkce pro a ∈ h0, li rostoucí, klesající, nebo mění na tomto intervalu svůj průběh.

3.3.

Dráha u nerovnoměrného pohybu - představení integrálů

Příklad 3.4 Pilot závodního auta testoval jeho ovladatelnost na přímém úseku závodní dráhy tak, že průběžně akceleroval a zpomaloval. Rychlost vozu se přitom měnila podle vztahu t v = 40 + 20 sin . 2 Jakou vzdálenost urazil od okamžiku t1 = 0 s po t2 = 10 s? Řešení: Pro výpočet dráhy uražené za uvedený časový interval nemůžeme použít žádný ze vztahů, které znáte ze střední školy: ani vztah s = v · t, který platí pouze pro rovnoměrný pohyb, ani vztah s = v0 t + 12 at2 , který platí pro pohyb rovnoměrně zrychlený. Pohyb našeho závodníka je nerovnoměrně zrychlený, což si můžeme snadno ověřit derivací rychosti podle času. Pro zrychlení dostaneme funkci:   t d 40 + 20 sin dv t 2 a= = = 10 cos . dt dt 2 Než budeme moci tuto úlohu vyřešit, musíme si vybudovat potřebný matematický aparát. Při hledání okamžité rychlosti ze známé závislosti dráhy na čase jsme výsledek nalezli využitím derivace dráhy podle času. Teď máme opačný úkol, ze známého průběhu rychlosti určit dráhu. Pomůže nám k tomu operace inverzní k derivaci, jež se nazývá integrace. Integrace nám umožní určit kumulativní efekt nějaké proměnné veličiny, například právě celkovou dráhu s uraženou autem v časovém intervalu ht1 , t2 i proměnnou rychlostí v(t). Jak už jsme řekli, rovnice s = vt platí, je-li v = konst. Nejprve tedy rozdělíme náš časový interval na n malých podintervalů hti , ti + ∆ti ), ve kterých můžeme 59

rychlost považovat za přibližně konstantní, např. položíme vi = v(ti ). Pak si = vi ∆ti a celkovou dráhu dostaneme jako součet n

. X s= vi ∆ti . i=1

Abychom dostali přesnější výsledek, zjemníme dělení časového intervalu. Tak dostaneme lepší přiblížení, dalším postupným zjemňováním - zkracováním časových podintervalů - bychom měli dostávat čím dál tím přesnější výsledky. Rozdělíme-li časový interval na nekonečně mnoho nekonečně krátkých podintervalů, můžeme očekávat, že dostaneme přesně plochu vymezenou osou t (přímka v = 0), funkcí v = v(t) a přímkami t = t1 a t = t2 . Takovým zkrácením časových podintervalů Z t2 ∆ti → dt přejde sumace v integraci s = v dt. t1

Dráha s uražená za časový interval ht1 , t2 i je integrálem rychlosti v(t) přes čas Z t2

s=

v dt t1

v(t)

t1

ti ti+1

tn

t

Obrázek 3.7: Určení celkové dráhy (plocha pod křivkou) jako součtu dílčích drah (obdélníčků) uražených za malé časové intervaly Poznámka: Uvedený postup je pouze přibližný. Korektnější je vyjádření horního součtu (kdy hodnotu funkce v každém podintervalu aproximujeme jejím maximem na tomto intervalu) a dolního součtu (kdy ji aproximujeme jejím minimem) Horní součet je vždy větší nebo roven dolnímu, při zjemňování dělení by se rozdíl mezi nimi měl zmenšovat. Pokud se při nekonečně jemném dělení oba součty rovnají, nazveme jejich hodnotu Riemannovým určitým integrálem v(t) na intervalu ht1 , t2 i, je rovna hledané ploše pod křivkou. Podobně jako dráhu uraženou za časový interval proměnnou rychlostí, můžeme vypočítat i rychlost nabytou za určitý časový interval při proměnném zrychlení. Předpokládejme, že na počátku je objekt v klidu a v čase t1 se začíná urychlovat. 60

Je-li počáteční rychlost tělesa nulová, rychlost v nabytá za časový interval ht1 , t2 i je integrálem ze zrychlení a přes čas Z

t2

v=

a dt. t1

Abychom integrál vypočítali, využijeme toho, že integrace je inverzní operací k derivaci. Představíme si neurčitý integrál. Primitivní funkcí F (x) k funkci f (x) je libovolná funkce, jejíž derivací dostaneme funkci f (x). d F (x) F 0 (x) = = f (x). dx Primitivní funkce je určena až na konstantu C, neboť derivace konstanty je nula. Množinu všech primitivních funkcí dané funkce nazveme neurčitým integrálem této funkce. Neurčitý integrál funkce f (x) vůči x píšeme jako Z f (x)dx. Integrační meze neurčitého integrálu nejsou určeny. Doplníme-li neurčitý integrál o integrační meze, neurčitost aditivní konstanty je odstraněna a dostáváme určitý integrál s hodnotou rovnou ploše pod křivkou, jak jsme uvedli výše. Je-li F (x) primitivní funkce k funkci f (x) na intervalu ha, bi, pak určitý integrál funkce f (x) od a do b můžeme vypočítat jako Z

b

a

f (x)dx = [F (x)]ba = F (b) − F (a).

Přehled nejběžnějších integrálů: Z xn+1 xn dx = 1. +C (x > 0, n 6= −1) n+1 Z 1 2. dx = ln |x| + C x Z ex dx = ex + C (x 6= 0) 3. Z sin x dx = − cos x + C

4. Z 5.

cos x dx = sin x + C Z

6. Z 7.

dx = arctan x + C 1 + x2 √

dx = arcsin x + C 1 − x2

x ∈< −1, 1 > 61

Podobně jako pro derivování, existují i pro integrování určitá užitečná pravidla. Mějme funkce f (x) a g(x) a konstantu c. Platí Z Z Z 8. [f (x) ± g(x)]dx = f (x)dx ± g(x)dx, Z 9.

Z c f (x)dx = c

f (x)dx.

10. Metoda substituce: Z

  f g(x) g 0 (x)dx =

Z f (z)dz

substituce: g(x) = z g 0 (x)dx = dz. 11. Integrace po částech (metoda per partes): Z Z 0 f (x)g (x)dx = f (x)g(x) − f 0 (x)g(x)dx. Toto jsou jen nejjednodušší metody integrací, které postačují k řešení jen velmi omezené skupiny integrálů. Integrace je obecně mnohem složitější než derivace, podrobněji se s integračními metodami seznámíte v matematice. Řešení příkladu 3.4: Vraťme se nyní k řešení příkladu z počátku této podkapitoly. Hledaná dráha bude určitým integrálem funkce rychlosti přes čas, v integračních mezích odpovídajících danému časovému intervalu  Z 10  Z t2 t v dt = 40 + 20 sin dt s = 2 0 t1 Z 10 Z 10 Z 10 Z 5 t = 40dt + 20 sin dt = 40 dt + 40 sin zdz 2 0 0 0 0 5 = [40t]10 0 + [−40 cos z]0 = (40 · 10 − 40 · 0) + (−40 cos 5 + 40 cos 0) = 429 m,

kde jsme využili pravidel 8, 9, 1 a substituce z = t/2, dz = dt/2. Řešímeli určitý integrál pomocí substituce, nesmíme zapomenout převést i integrační meze tak, aby odpovídaly nové proměnné. V našem případě z1 = t1 /2 = 0/2 = 0 a z2 = t2 /2 = 10/2 = 5. Druhou možností je meze pouze formálně přeznačit (například z1 a z2 ) a na konci řešení se vrátit zpět k původní integrační proměnné a původním mezím. Úloha 3.6 Vyřešte následující neurčité integrály x:

62

Z

2

Z




x + 2x − 3 dx   Z 1 1 (b) dx + x x2 Z √ (c) x dx Z 1 (d) dx 2x − 1 Z (e) sin 2x dx Z (f) cos2 x dx (a)

(g)

e1−x dx

Z (h)

tan x dx Z

p x x2 + 1dx

Z

x3 ln x dx,

(i) (j)

x>0

Z (k)

x sin x dx Z

(l)

Z Úloha 3.7 Najděte hodnotu určitého integrálu: 0

Z Úloha 3.8 Najděte hodnotu určitého integrálu:

1

ex cos x dx

x p

x2 + 1

dx.

π/2

sin2 x cos x dx.

0

Úloha 3.9 Vzpomeňte si na úlohu 3.3. Parašutista s hmotností m = 100 kg vyskočil z letadla (zatím neotevírá padák) a jeho rychlost rostla podle vztahu   e0,17t − e−0,17t −1 v = [57, 7 tanh(0, 17t)] m · s = 57, 7 0,17t m · s−1 . e + e−0,17t Určete jeho vzdálenost od místa výskoku jako funkci času.

63

Kapitola 4 Křivočarý pohyb v rovině Proč mají na náledí auta problémy hlavně v zatáčkách? Proč jsou závodní dráhy nakloněny? Jak se pohybuje hozený kámen?

Po prostudování této kapitoly byste měli umět • zapsat rovnici kružnice se středem v počátku obecně a parametricky, • vyjádřit polohu bodu v polárním souřadném systému a převádět souřadnice mezi ním a kartézským souřadným systémem, • zapsat rovnici paraboly obecně a parametricky, určit její vrchol a orientaci, • vypočítat průsečík paraboly s přímkou, • vyjádřit úhlovou dráhu, úhlovou rychlost a úhlové zrychlení bodu obíhajícího po kružnici a jejich souvislost s dráhou, obvodovou rychlostí a zrychlením tohoto bodu, • rozložit zrychlení na tečnou a normálovou složku, určit velikost těchto složek, vědět, jaký vliv má každá z nich na pohybový stav tělesa, • řešit úlohy týkající se rovnoměrného i nerovnoměrného pohybu po kružnici, • řešit úlohy týkající se pohybu tělesa v homogenním tíhovém poli Země.

4.1.

Pohyb po kružnici

V předchozí kapitole jsme se zabývali přímočarým pohybem těles. V praxi máme ale mnoho zkušeností s pohybem, který není vázán na přímku. Takové pohyby nazýváme křivočaré. Nejjednodušším příkladem křivočarého pohybu je rovnoměrný pohyb po kružnici. Příkladem může být obíhání družice kolem Země nebo 64

třeba projíždění zatáčky konstantní rychlostí. Při rovnoměrném pohybu po kružnici se nemění velikost rychlosti, poloměr křivosti trajektorie, ani střed otáčení. Ačkoli se nejedná o pohyb po přímce, ale v rovině, obíhá-li bod po určité kružnici, je jeho okamžitá poloha jednoznačně dána jediným parametrem, například úhlem pootočení. Budeme-li v případě absolvování celé otáčky úhel ϕ stále přičítat, dostaneme veličinu nazvanou úhlová dráha. Jednotkou úhlové dráhy je radián (rad). K popisu pohybu po kružnici může být výhodnější místo kartézského souřadného systému používat polární souřadný systém. Podívejte se na obrázek 4.1. Polární souřadný systém je založen na dvojici souřadnic r – vzdálenost od počátku a ϕ – úhel pootočení. Nebude-li výslovně řečeno jinak, budeme v dalším textu velikostí úhlu vždy rozumět jeho hodnotu v radiánech, nikoli stupních. Tato volba přináší mnohé výhody. Mimo jiné z definice radiánu (viz tabulka 1.2) plyne, že délka oblouku o poloměru r vymezeného úhlem ϕ je ϕ · r, takže například délka celé kružnice je 2πr. Z polárních souřadnic určíme kartézské souřadnice pomocí jednoduchých převodních vztahů: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ a naopak p x2 + y 2 , y ϕ = arctan . x r =

y

r ϕ 0

ϕ=0 x

2π

Obrázek 4.1: Polární a kartézský souřadný systém Stačí-li k popisu okamžité polohy bodu obíhajícího po kružnici jediná proměnná (úhel ϕ), měla by stačit jediná proměnná pro vyjádření jeho rychlosti. 65

ϕ + dϕ ϕ r ϕ=0 0

Obrázek 4.2: Pohyb hmotného bodu vázaného na kružnici Podobně, jako jsme u přímočarého pohybu postupným zmenšováním časového intervalu dospěli k okamžité rychlosti jako derivaci dráhy podle času, můžeme definovat okamžitou úhlovou rychlost jako derivaci úhlové dráhy podle času. Okamžitá úhlová rychlost (stručněji úhlová rychlost) je definována jako limita pro čas jdoucí k nule z podílu uražené úhlové dráhy a času, neboli jako derivace úhlové dráhy podle času ∆ϕ dϕ = . ∆t→0 ∆t dt

ω = lim

Jednotkou úhlové rychlosti je radián za sekundu (rad · s−1 ). Úhlovou rychlost lze vyjádřit také vektorem ω. Tento vektor je kolmý na rovinu kružnice, po níž bod obíhá. Jeho orientaci můžeme určit pravidlem pravé ruky: přiložíme-li pravou ruku ke kružnici tak, aby uhnuté prsty ukazovaly směr obíhání, pak úhlová rychlost je orientována ve směru vztyčeného palce. Uvážímeli, že polohový vektor obíhajícího bodu bude vždy kolmý k vektoru úhlové rychlosti a posuvná rychlost souvisí s úhlovou vztahem v=

ds rdϕ = = rω, dt dt

kde s je uražená dráha neboli délka uraženého oblouku, snadno uvidíme, že vektor okamžité rychlosti lze v libovolném okamžiku vyjádřit jako (viz obrázek 4.3): v = ω × r. Příklad 4.1 Dětský kolotoč obíhá rovnoměrně proti směru hodinových ručiček kolem svislé osy z tak, že jednu otáčku vykoná za T = 10 s. Jak se budou měnit souřadnice koníka, který se v čase t = 0 s nachází v bodě x = 2 m, y = 0 m? A jak se v čase bude vyvíjet vektor jeho rychlosti? 66

ω ~ ϕ

ϕ=0

ω ~

ϕ

~r

ϕ=0

~r ~v

~v Obrázek 4.3: Úhlová dráha ϕ, polohový vektor r, vektor okamžité rychlosti v a vektor úhlové rychlosti ω (na obrázku vlevo míří z nákresny) bodu obíhajícího po kružnici. Řešení: Doba T představuje periodu pohybu, čas, za jaký se periodický děj bude opakovat. Převrácená hodnota periody je frekvence f , udává, kolikrát za časovou jednotku se daný děj opakuje. Úhlová dráha je (analogicky výpočtu dráhy u přímočarého pohybu) Z ϕ(t) = ω dt = ωt + C, kde integrační konstantu C určíme z počátečních podmínek. Při pohledu na obrázek 4.1 je zřejmé, že zadání vyhovuje podmínkám r = 2 m, ϕ0 = 0 rad. Dosazením této hodnoty pro t = 0 s dostaneme ϕ(0) = ϕ0 = 0 = ω · 0 + C

=⇒ C = 0,

takže ϕ(t) = ωt. Pohybuje-li se rovnoměrně po kružnici úhlovou rychlostí ω, opíše koník za periodu úhel 2π, musí tedy platit 2π = ω · T, takže ω = ϕ(t) =

2π T 2πt . T

Nyní přejdeme od polárních souřadnic ϕ a r ke kartézským souřadnicím x a y a dostaneme 2πt πt 2πt = 2 cos = 2 cos , T 10 5 2πt 2πt πt y = r sin ϕ = r sin = 2 sin = 2 sin . T 10 5 67

x = r cos ϕ = r cos

Poznámka: Všimněte si, že soustava rovnic x = r cos ωt, y = r sin ωt představuje parametrické vyjádření kružnice, po níž koník obíhá, parametrem je zde čas. Chceme-li vyjádřit její obecnou rovnici, vyloučíme parametr – to lze snadno provést umocněním obou rovnic na druhou, jejich sečtením a využitím identity sin2 α + cos2 α = 1, dostaneme obecnou rovnici kružnice x2 + y 2 = r2 . Obecná rovnice již neobsahuje informaci o tom, kde se v určitém čase pohybující se objekt nacházel. Pojďme nyní k druhé části příkladu, chceme nalézt závislost vektoru okamžité rychlosti koníka na čase. S matematickým aparátem, který již ovládáte, máte k dispozici dvě cesty, které povedou k výsledku. Jednou možností je nalézt složky rychlosti derivací souřadnic podle času   πt 2π d πt dx vx = 2 cos = − sin , = dt dt 5 5 5   d πt πt 2π dy = cos . 2 sin = vy = dt dt 5 5 5 Druhou možností je nalézt vektor okamžité rychlosti jako vektorový součin vektoru úhlové rychlosti a polohového vektoru  π rad · s−1 , ω = 0, 0, 5   πt πt r = 2 cos , 2 sin , 0 m, 5 5 v = ω × r, což samozřejmě vede ke stejnému výsledku. V první kapitole jsme zmínili, že i objekt pohybující se rovnoměrně po kružnici má nenulové zrychlení, protože se mění směr jeho rychlosti – vektor jeho rychlosti tedy není konstantní. Nyní už máme vybudovány dostatečné základy k tomu, abychom vztah pro velikost tohoto zrychlení mohli odvodit. Uvažujme bod rovnoměrně obíhající po kružnici. Za velmi krátký čas dt opíše oblouk dϕ a vektor jeho rychlosti se změní z v na v + dv (viz obrázek 4.4). Délku vektoru odpovídajícího změně rychlosti dv můžeme pro velmi malý úhel dϕ aproximovat délkou oblouku o poloměru v vymezeného tímto úhlem. Ta je . rovna součinu jeho poloměru a velikosti úhlu v radiánech, takže dv = vdϕ. Délka oblouku uraženého bodem po kružnici je ze stejného důvodu rovna rdϕ, ale také, protože se jedná o rovnoměrný pohyb rychlostí v po dobu dt, ji lze vyjádřit jako 68

vdt. Odtud dϕ = vdt/r a velikost zrychlení hmotného bodu pohybujícího se rovnoměrně po kružnici tedy bude rovna v vdt dv vdϕ v2 = = r = . dt dt dt r Jak je patrné z obrázku, směr dostředivého zrychlení, který je stejný jako směr dv, je vždy kolmý na vektor rychlosti a tento vektor míří do středu kružnice (představte si úhel dϕ opravdu velmi malý). Jedná se tedy o normálové zrychlení, které nazýváme zrychlení dostředivé. a=

~v + d~v ~v

vdϕ d~v ~v dϕ ~v + d~v

dϕ r

Obrázek 4.4: Změna vektoru rychlosti při rovnoměrném pohybu po kružnici Dostředivé zrychlení bodu obíhajícího rychlostí v po kružnici o poloměru r je má velikost v2 ad = r a míří do středu křivosti kružnice. Aby se tedy těleso pohybovalo po kružnici, musí na ně působit nějaká dostředivá síla, která mu uděluje odpovídající dostředivé zrychlení. Touto dostředivou silou může být třeba tahová síla provázku, roztočíte-li na něm kuličku, gravitační síla, zakřivující trajektorii Měsíce nebo planet, nebo třecí síla, umožňující automobilům a cyklistům projet zatáčku. Potřebná dostředivá síla roste s druhou mocninou rychlosti a klesá nepřímo úměrně poloměru křivosti trajektorie, proto mají auta na kluzkém povrchu problémy především v zatáčkách nebo při prudké změně směru jízdy, například při předjíždění. Příklad 4.2 O jaký úhel by měla být ideálně nakloněna zatáčka o poloměru r = 30 m (pro těžiště cyklistů) na cyklistickém oválu na rychlost závodníků při průjezdu zatáčkou v = 70 km · h−1 ? Jaké přetížení cyklista pociťuje? Při závodech na 200 m s volným startem závodníci těchto rychlostí dosahují. Řešení: Ideální náklon je takový, kdy cyklista zatáčkou projede, aniž by využíval tření mezi pneumatikami a drahou. Výsledná síla působící na cyklistu musí 69

α ~ N F~d α α

F~g

Obrázek 4.5: Cyklista při průjezdu zatáčkou - výslednice tíhové síly F g a normálové síly N , jíž na cyklistu působí závodní dráha, musí mít směr do středu zatáčky a velikost odpovídající jejímu poloměru a rychlosti cyklisty mít směr do středu kružnice, po níž se pohybuje těžiště cyklisty, a velikost takovou, aby vyvolávala odpovídající dostředivé zrychlení. Tato výslednice vznikne složením tíhové síly a normálové síly, jíž na cyklistu působí prostřednictvím kola závodní dráha (viz obrázek 4.5). Bude tedy platit Fd = mad =

mv 2 r

a současně Fd = Fg tan α = mg tan α, odtud α = arctan

v2 19, 442 = arctan = 52◦ 60 , gr 9, 81 · 30

kde rychlost jsme před dosazením převedli na základní jednotky. Ve skutečnosti závodní dráhy tolik nakloněny nejsou, před dosažením maximální rychlosti totiž cyklisté zatáčkou několikrát projedou pomaleji, ale používané náklony dosahují až 42◦ v zatáčkách a 10◦ v rovných úsecích. Síla, již cyklista pociťuje (jíž jej podpírá kolo) je rovna normálové síle N . Z Pythagorovy věty plyne s s  2  2 2 q 2 mv v 2 2 2 N = Fg + Fd = (mg) + = mg 1 + r gr Numericky je normálová síla větší než tíhová s  2 2 v 1+ = 1, 63 krát. gr Cyklista v zatáčce má obdobný pocit, jako by jel rovně, ale tíhové pole Země vzrostlo z g = 9, 81 m · s−2 na g 0 = 15, 97 m · s−2 . 70

Vraťme se nyní na chvíli k teorii pohybu tělesa po kružnici. Co když se nebude pohybovat rovnoměrně, ale velikost jeho rychlosti se bude měnit? Pak bude nenulové i jeho zrychlení ve směru rychlosti. Toto zrychlení nazýváme tečné zrychlení a jeho definice je analogická definici zrychlení uvedené v kapitole 3, kde jsme uvažovali pouze pohyb po přímce. Tečné zrychlení je rovno změně velikosti rychlosti v čase a vypočte se jako ∆v dv a = lim = . ∆t→0 ∆t dt Celkové zrychlení tělesa může mít tedy tečnou a normálovou složku. Formálně toto rozložení můžeme získat také tak, že vektor rychlosti v rozepíšeme jako součin jeho velikosti v a jednotkového vektoru v daném směru τ a tento součin pak derivujeme podle času. Dostaneme vektor zrychlení dv d(vτ ) dv dτ = = τ +v = at τ + an ν, dt dt dt dt kde ν je jednotkový normálový vektor k τ , což si ihned ukážeme. Skalární součin libovolného jednotkového vektoru samotného se sebou je vždy 1 a=

τ · τ = 1, jeho derivace jako derivace konstanty tedy musí být 0. Vyjádříme ji podle pravidla pro derivování součinu d(τ · τ ) dτ dτ dτ = ·τ +τ · = 2τ · . dt dt dt dt Skalární součin dvou nenulových vektorů je nulový pouze tehdy, jsou-li na sebe kolmé, a vektory τ a dτ /dt tedy jsou na sebe kolmé. Můžeme psát dτ dτ = ν, dt dt 0=

kde ν je jednotkový vektor kolmý na τ . Velikost derivace dτ /dt můžeme odvodit úplně analogicky jako velikost dostředivého zrychlení. Za velmi krátký čas dt opíše obíhající bod oblouk dϕ a vektor jeho rychlosti se pootočí ze směru τ do směru τ + dτ (viz obrázek 4.6). Délku vektoru odpovídajícího změně rychlosti dτ můžeme pro velmi malý úhel dϕ aproximovat délkou oblouku o poloměru τ (tedy jednotkovém) vymezeného tímto úhlem. Ta je rovna . součinu jeho poloměru a velikosti úhlu v radiánech, takže dτ = τ dϕ = 1·dϕ = dϕ. Jak již jsme si jednou ukázali, délka oblouku uraženého bodem po kružnici je rovna rdϕ, ale také, protože se jedná o pohyb rychlostí v po dobu dt, ji lze vyjádřit jako vdt. Odtud dϕ = vdt/r a velikost změny jednotkového vektoru ve směru rychlosti tedy bude rovna vdt dτ dϕ v = = r = . dt dt dt r 71

~τ + d~τ ~τ τ dϕ = dϕ dϕ r

d~τ ~τ dϕ ~τ + d~τ

Obrázek 4.6: Změna jednotkového vektoru ve směru rychlosti τ při pohybu po kružnici V souladu s očekáváním dostáváme an ν = v

dτ v v2 = v ν = ν. dt r r

Celkové zrychlení tělesa je rovno změně vektoru jeho rychlosti v čase a je rovno dv a= = at τ + an ν, dt kde τ je jednotkový vektor ve směru vektoru rychlosti a ν normálový jednotkový vektor mířící do středu křivosti trajektorie a jednotlivé složky zrychlení se vypočítají tečné zrychlení : normálové zrychlení :

dv , dt v2 an = . r at =

Pohybuje-li se bod po kružnici se zrychlením, mění se úhlová rychlost jeho obíhání. Rychlost této změny popisuje veličina nazvaná úhlové zrychlení. Úhlové zrychlení je definováno jako limita pro čas jdoucí k nule z podílu změny úhlové rychlosti a času, neboli jako derivace úhlové rychlosti podle času ∆ω dω ε = lim = . ∆t→0 ∆t dt Jednotkou úhlového zrychlení je radián za sekundu na druhou (rad · s−2 ). Pro pohyb po kružnici se zrychlením lze odvodit užitečný vztah: at =

dv d(ωr) dω = = r = εr. dt dt dt 72

Příklad 4.3 Na stolku v americké limuzíně stojí sklenice, statický součinitel tření mezi ní a stolkem je µ = 0, 5. Limuzína se rozjíždí z klidu neklopenou zatáčkou o poloměru r = 200 m a přitom rovnoměrně zrychluje se zrychlením 2, 5 m · s−2 . Jak dlouho vydrží sklenice v klidu vůči stolku?

~v at~τ

~ N

~a F~t

ad~ν

F~g

r

Obrázek 4.7: Vlevo vektor zrychlení a automobilu rozjíždějícího se v zatáčce a jeho komponenty, vpravo náčrt sil působících na sklenici (působiště tíhové síly bylo pro větší přehlednost přesunuto do dna sklenice) Řešení: Sklenka bude v klidu vůči autu, dokud jí stolek prostřednictvím třecí síly bude schopen udělovat stejné zrychlení (vůči vozovce), jako je výsledné zrychlení auta. Jeho tečná složka je zadána, je to at = 2, 5 m · s−2 , jeho normálovou složku, která v čase roste, vypočteme jako an =

v2 (at t)2 = . r r

Maximální statická třecí síla je Ft = µN = µFg = µmg, takže je sklenici schopna udělit maximální zrychlení a = µg. Z Pythagorovy věty plyne že a2 = a2t + a2n (µg)2 = a2t +

(at t)2 r

!2

Po úpravě dostaneme pro čas odtržení podmínku v v ! ! u u u r2  µg 2 u 2002  0, 5 · 9, 81 2 . 4 4 t= t −1 = t − 1 s = 11, 6 s. 2 2 2 2, 5 2, 5 at at

Úloha 4.1 Jakou největší konstantní rychlostí může automobil na uježděném sněhu projet neklopenou zatáčku o poloměru r = 30 m, je-li koeficient smykového tření mezi pneumatikami a vozovkou µ = 0, 3? 73

Úloha 4.2 Řetízkový kolotoč má poloměr (v klidovém stavu) r = 5 m, délka závěsu sedaček je l = 3 m. Když se točí na maximálních otáčkách, jsou sedačky nakloněny o α = 30◦ od svislice. Jaká je frekvence otáčení? Úloha 4.3 Předpisy pro dopravu cestujících ve vlaku povolují maximální náklonem nevykompenzované „tečnéÿ zrychlení cestujících a = 1 m · s−2 (nejedná se o tečné zrychlení dle fyzikální definice, ale o zrychlení tečné k podlaze vozu, které je zajišťováno třecí silou). Pro zvýšení možné rychlosti v oblouku se jednak vnější koleje kladou o něco výše než vnitřní, a to až o 6◦ , jednak některé vlakové soupravy využívají dodatečné naklápění vozových skříní. Pendolino (viz obrázek 4.8) je vybaveno nuceným naklápěním vozových skříní, jehož odklon od svislé osy činí až 8◦ [16]. Naklápění skříní se zajišťuje řízeně pomocí hydraulických válců. Jakou maximální stálou rychlostí může projet zatáčku o poloměru 300 m? A jak rychle ji může projet vlak bez náklopných vozů?

~ N F~d F~g

F~t

8◦ 6◦

Obrázek 4.8: Vůz Pendolina při náklonu v zatáčce a síly, které na cestujícího působí. Jejich výslednice je označena F d , uděluje cestujícímu potřebné dostředivé zrychlení. Vznikne složením tíhové síly F g , normálové síly, jíž podpírá cestujícího sedadlo N , a při nedostatečném náklonu zbytek doplňuje třecí síla mezi cestujícím a sedadlem F t , jejíž hodnota je předpisy omezena (pro názornost je posunuta).

Úloha 4.4 Jakou obvodovou rychlostí se vůči okolním hvězdám pohybují v důsledku rotace Země body na rovníku, je-li hvězdný den (doba, za kterou se Země otočí kolem své osy vůči hvězdám, je asi o 4 minuty kratší než sluneční den) přibližně na 23 hodin, 56 minut a 4 sekundy? Poloměr Země na rovníku je přibližně: . RZ = 6378 km. Jakou průměrnou rychlostí se pohybuje Země vůči Slunci, je-li její střední vzdálenost od něj 1 AU =1, 496 · 1011 m? Úloha 4.5 GPS (Global Positioning System) je realizován pomocí 24 aktivních družic obíhajících v šesti kruhových drahách kolem Země, jejich oběžná doba 74

je polovina hvězdného dne, tj. přibližně na 11 hodin, 58 minut a 2 sekundy. . Jak vysoko nad zemským povrchem obíhají? Poloměr Země je přibližně: RZ = 6375 km, gravitační konstanta κ = 6, 67 · 10−11 N · m2 · kg−2 , hmotnost Země MZ = 5, 98 · 1024 kg, družice nepoužívají vyjma stabilizace žádný pohon. Úloha 4.6 Jak vysoko nad Zemí může být a jak musí být umístěna geostacionární družice, aby nepotřebovala žádný pohon? Geostacionární dužice je taková družice, která setrvává nad stále stejným bodem nad Zemí.

4.2.

Pohyb v homogenním tíhovém poli

V homogenním tíhovém poli Země působí na všechna tělesa tíhová síla Fg = mg. Pokud na ně nepůsobí jiné síly (jiná tělesa) uděluje tato síla všem tělesům stejné zrychlení rovné tíhovému zrychlení. Příklad 4.4 Při natáčení akčního filmu má kaskadér na motocyklu za úkol najet na zbytek odstřeleného mostu a přeskočit řeku. Vzhledem ke stavu mostu může dosáhnout nejvýše rychlosti v = 130 km · h−1 , výška mostu nad terénem je H = 10 m, šířka řeky D = 52 m. Může úkol zvládnout?

y ~v H

D x

Obrázek 4.9: Kaskadér opouští most rychlostí v ve vodorovném směru Řešení: Na kaskadéra po opuštění mostu bude působit tíhová síla a proti jeho pohybu také odpor vzduchu, který zkrátí jeho dolet oproti stavu, kdy by letěl bezodporovým prostředím. Rozeberme nejprve, zda by měl šanci řeku přeskočit, pokud by na něj žádná odporová síla nepůsobila. Jeho pohyb můžeme rozložit do dvou směrů (viz obrázek 4.9): ve směru vodorovné osy x na něj žádná síla nepůsobí, v tomto směru se tedy pohybuje rovnoměrně. Proti směru svislé osy y na něj působí tíhová síla Fg , která mu uděluje zrychlení Fg /m = g. Jeho souřadnice se budou v čase vyvíjet podle vztahů x = vt, 1 y = H − gt2 , 2 75

kde jsme vzali v úvahu i počáteční polohu kaskadéra. Z druhé rovnice můžeme dosazením y = 0 m vypočítat dobu letu T , jejím dosazením do první rovnice získáme délku maximálního doletu D: s 1 2H 2 0 = H − gT =⇒ T = , 2 g s r 2H 2 · 10 . D = vT = v = 35, 1 · m = 50 m, g 9, 81 kde všechny proměnné dosazujeme v základních jednotkách. Vidíme tedy, že ani bez započtení odporu vzduchu kaskadér nemá šanci úkol zvládnout. Podívejme se nyní blíže na obecnou trajektorii pohybu tělesa v tíhovém poli, přičemž pro velkou složitost řešení nebudeme ani nadále uvažovat vliv odporu vzduchu. Pokusíme se určit, po jaké trajektorii (křivce) se bude pohybovat těleso, které vypustíme s počáteční rychlostí v šikmo vzhůru z počátku souřadnic (viz obrázek 4.10).

y F~g ~v

H

at~τ ad~ν v0y 0

~v

~v0 ~a = ~g

α v0x

D

x

Obrázek 4.10: Těleso s počáteční rychlostí v 0 , pohybující se v homogenním tíhovém poli. Pole mu ve všech bodech uděluje stejné zrychlení g. Celkové zrychlení vrženého objektu a = g má nenulovou pouze svislou složku ax = 0, ay = −g. Rychlost v libovolném okamžiku vypočítáme pro každou složku zvlášť Z Z vx (t) = ax dt = 0dt = C1x , Z Z vy (t) = ay dt = (−g)dt = −gt + C1y , 76

kde neznámé integrační konstanty C1x a C1y musíme určit z počátečních podmínek tak, aby počáteční rychlost odpovídala zadání. Do obou výrazů tedy dosadíme t = 0 a za x-ovou a y-ovou složku rychlosti jejich počáteční hodnoty vx (0) = C1x , vy (0) = −g · 0 + C1y , takže pro rychlosti dostaneme vx (t) = v0x , vy (t) = v0y − gt. Další integrací nalezneme závislost souřadnic tělesa na čase, opět vyjádříme každou složku zvlášť Z Z x(t) = vx dt = v0x dt = v0x t + C2x , Z Z 1 y(t) = vy dt = (v0y − gt)dt = v0y t − gt2 + C2y , 2 kde neznámé integrační konstanty C2x a C2y opět určíme z počátečních podmínek tak, aby počáteční poloha tělesa odpovídala zadání. x(0) = 0 = v0x · 0 + C2x , 1 y(0) = 0 = v0y · 0 − g · 02 + C2y , 2 takže pro souřadnice dostaneme x(t) = v0x t, 1 y(t) = v0y t − gt2 . 2 Jaká je tedy trajektorie pohybu? Pokud nemáte dost praxe v matematice, abyste ji identifikovali z parametrických rovnic (to jsou rovnice, které jsme si právě odvodili, parametrem je čas), třeba pro vás bude úkol snažší, nalezneme-li její obecnou rovnici. Z první rovnice vyjádříme čas a dosadíme do druhé rovnice: x t = , v0x   x g x 2 y = v0y − = Ax − Bx2 , v0x 2 v0x toto obecné vyjádření odpovídá parabole. Můžeme ji ještě upravit na obvyklý tvar (y − y0 ) = k (x − x0 )2 !   2 v0y v0y v0x 2 g , y− = − 2 x− 2g g 2v0x odkud můžeme mimo jiné snadno vyčíst polohu vrcholu paraboly. 77

(4.1)

Příklad 4.5 Jaká je doba letu T kamene hozeného ze zemského povrchu rychlostí v0 = 10 m · s−1 pod úhlem α = 60◦ , jaké největší výšky H dosáhne a do jaké vzdálenosti D dopadne, je-li odpor vzduchu zanedbatelný? Řešení: Využijeme předchozího rozboru šikmého vrhu a dosadíme parametry odpovídající zadaným podmínkám. Víme tedy, že rychlost se vyvíjí v čase podle vztahů vx (t) = v0x = v0 cos α, vy (t) = v0y − gt = v0 sin α − gt. a souřadnice x(t) = v0x t = v0 t cos α, 1 1 y(t) = v0y t − gt2 = v0 t sin α − gt2 . 2 2 Okamžik dopadu kamene můžeme určit například tak, že nalezneme průsečík trajektorie kamene s osou x, tj. přímkou y = 0:   1 2 1 0 = y(t) = v0 T sin α − gT = T v0 sin α − gT . 2 2 Tato rovnice má dva kořeny, první T1 = 0 s odpovídá okamžiku vypuštění, druhý T2 =

2v0 sin α =T g

je hledanou dobou letu. Délku doletu pak snadno vypočteme dosazením tohoto času do x-ové souřadnice D = x(T ) = v0 cos α

2v0 sin α v 2 sin 2α = 0 . g g

Výšku výstupu určíme například pomocí doby výstupu T 0 . V nejvyšším bodě má kámen nulovou y-ovou složku rychlosti, bude tedy 0 = vy (T 0 ) = v0 sin α − gT, odkud T0 =

v0 sin α . g

Všimněte si, že doba výstupu je polovinou doby letu, což jsme mohli očekávat, protože neuvažujeme-li odpor vzduchu, je děj časově symetrický. Výška výstupu je rovna y-ové souřadnici v tomto čase, takže   v0 sin α g v0 sin α 2 (v0 sin α)2 0 = H = y(T ) = v0 sin α − . g 2 g 2g Také jsme mohli tentýž výsledek dostat i formální cestou nalezením lokálního maxima funkce y(t). Tuto funkci bychom zderivovali podle času, derivaci položili 78

rovnu nule, čímž bychom získali čas, ve kterém je y-ová souřadnice maximální, a ten dosadili do funkce y(t), abychom určili hodnotu maxima. Promyslete si, že tento postup má hodně společného s naším řešením. Derivace y-ové souřadnice v čase totiž není nic jiného než y-ová složka rychlosti. Výšku výstupu a délku doletu bychom mohli určit ještě jinak. Z obecné rovnice paraboly 4.1 vyčteme souřadnice jejího vrcholu, přičemž y-ová souřadnice odpovídá výšce výstupu a ze symetrie paraboly plyne, že x-ová souřadnice vrcholu je rovna polovině délky doletu: v0y v0x (v0 sin α) (v0 cos α) v 2 sin 2α = = 0 , g g 2g 2 v0y (v0 sin α)2 H = y0 = = . 2g 2g

D 2

= x0 =

Po dosazení numerických hodnot dostaneme: doba letu T = 1, 77 s, výška výstupu H = 3, 82 m a vzdálenost doletu D = 8, 83 m. Příklad 4.6 Jaký je nejmenší poloměr křivosti trajektorie kamene z předchozího příkladu? Řešení: Poloměr křivosti trajektorie souvisí s rychlostí a normálovým zrychlením vztahem v2 . r= an Protože v nejvyšším bodě dráhy má kámen nejmenší rychlost (má nulovou svislou složku a vodorovná složka je konstantní) a současně největší normálové zrychlení (v tomto bodě má jeho konstantní vektor celkového zrychlení a = g směr normály k trajektorii), je zde i nejmenší poloměr křivosti. Bude roven r=

vx2 (v cos α)2 = , g g

. po dosazení numerických hodnot dostaneme výsledek r = 2, 55 m. Ve skutečnosti nemůžeme vliv prostředí zanedbat, zejména, mají-li vrhaná tělesa malou hustotu a pohybují-li se velkými rychlostmi. Odporová síla působí proti vektoru rychlosti a je rovna 1 Fo = CS%v 2 , 2 kde konstanta C závisí na tvaru tělesa a je cca řádu jednotek, S je čelní plocha a % hustota vzduchu. Matematické řešení je pak podstatně obtížnější a jeho výsledkem je tzv. balistická křivka. Její tvar můžete s parabolou odpovídající letu v bezodporovém prostředí porovnat na obrázku 4.11. Při řešení následujících úloh odpor vzduchu neuvažujte. 79

y

~v0 α x

0

Obrázek 4.11: Porovnání trajektorie tělesa při letu bezodporovým (parabola) a odporovým (balistická křivka) prostředím. Tvar balistické křivky závisí na konkrétním vrženém tělese i počáteční rychlosti. Úloha 4.7 Těleso je vrženo svisle vzhůru rychlostí v0 . Jak dlouho poletí, než dopadne zpátky na zem? Jak vysoko vystoupí? Úloha 4.8 Z určité výšky volně padá těleso A. Po čase 4t = 0, 5 s začne padat z výšky menší o h = 4, 9 m těleso B. Jak dlouho padalo těleso A, jestliže obě tělesa dopadla současně? Úloha 4.9 Hmotný bod vržený počáteční rychlostí v0 pod úhlem α. Jaký musí být tento elevační úhel, aby byla délka doletu maximální? Úloha 4.10 Hmotný bod byl vržen počáteční rychlostí v0 pod úhlem α. Jaký musí být tento elevační úhel, aby se výška výstupu rovnala délce doletu? Úloha 4.11 Kámen byl vržen proti svahu, který svírá s vodorovnou rovinou úhel β = 15◦ , pod úhlem α = 45◦ (vzhledem k vodorovné rovině) počáteční rychlostí v0 = 19, 6 ms−1 . Jak dlouho poletí a v jaké vzdálenosti od místa vrhu dopadne?

Úloha 4.12 (Řešení této úlohy je dobrovolné.) V bodě [0, 0, h] (osa z míří svisle vzhůru) se v čase t = 0 rozprskne náboj ohňostroje tak, že jeho částečky jsou současně vrženy všemi směry stejně velkou rychlostí v. Kde se budou nalézat po určité době t, zanedbáme-li vliv odporu prostředí?

80

Kapitola 5 Zákony zachování v mechanice Jaký kumulativní účinek na těleso má působení síly? Lze matematiku „nekonečně maléhoÿ využít i jinak než pro práci s nekonečně krátkými časy? Proč při čelní srážce dvou automobilů rozdílných hmotností bývají mnohem vážnější zranění pasažérů lehčího vozu? Co hlídá „nejvyšší účetníÿ ve fyzikálních dějích? Po prostudování této kapitoly byste měli umět • definovat mechanickou práci a okamžitý a průměrný výkon, znát jejich jednotky, • vypočítat práci nebo výkon konaný konstantní i proměnnou silou, • vyjádřit energii kinetickou, potenciální tíhovou, energii pružnosti a řešit jednoduché úlohy využívající zákona zachování energie, • formulovat definici hybnosti a momentu hybnosti včetně jejich jednotek, • vyjádřit, kdy a jak se tyto veličiny mění a vyčíslit tuto změnu, • rozhodnout, kdy se výše uvedené veličiny zachovávají a využít toho při řešení úloh.

5.1.

Práce, výkon, energie

Příklad 5.1 John Evans (držitel několika zápisů v Guinnessově knize rekordů) balancoval po dobu 33 sekund na hlavě miniauto o hmotnosti 159,6 kg. Byl to velký výkon? Světový rekord v trhu (vzpírání) drží již od roku 1987 Antonio Krastev z Bulharska. Na mistrovství světa v Ostravě tehdy trhem zdvihl nad hlavu činku o hmotnosti 216 kg. Jaký podal výkon? A jakou vykonal práci? 81

Obrázek 5.1: John Evans balancující na hlavě miniauto na jedné ze svých show

V běžném životě pojmy práce a výkon používáme velmi volně. Označujeme jimi mnohdy výsledky nebo průběh nejen fyzické, ale i duševní činnosti. Fyzikální pojmy práce a výkon jsou definovány mnohem úžeji. Jak již víte z úvodní kapitoly, podle Newtonova zákona setrvačnosti mají tělesa tendenci si udržet svůj pohybový stav - setrvávají buď v klidu nebo v rovnoměrném, přímočarém pohybu. Změna pohybového stavu je vždy vyvolána nenulovou výslednou silou. Závisí nejen na velikosti této síly, ale i na tom, v jakém směru a jak dlouho tato síla působí. Výsledný efekt takového silového působení charakterizuje veličina nazvaná mechanická práce. Mechanická práce je skalární veličina, vyjadřující dráhový účinek působící síly. Je-li působící síla F konstantní, je vykonaná práce při posunutí z polohy r 1 do polohy r 2 rovna (všimněte si skalárního součinu mezi vektorem síly a vektorem posunutí) W = F · (r 2 − r 1 ) = F · ∆r = F ∆r cos α, kde α je úhel, který vektory síly F a posunutí ∆r svírají. Jednotkou práce je joule (J), J = kg · m2 · s−2 . Pokud vektor síly není konstantní, bude výpočet složitější. Je to podobné jako při výpočtu dráhy uražené proměnnou rychlostí. I při výpočtu práce můžeme celkové posunutí rozdělit na menší úseky ∆r i , v nichž budeme sílu považovat za přibližně konstantní, jednotlivé její hodnoty označme F i . Dílčí práce ∆Wi vykonané na těchto úsecích pak můžeme vyjádřit jako ∆Wi = F i ·∆r i a celkovou práci jako jejich součet n

n

i=1

i=1

X . X W = ∆Wi = F i · ∆r i . Takový výsledek je ale pouze přibližný. Jeho zpřesnění dosáhneme zmenšováním jednotlivých úseků posunutí, až limitně přejdeme k nekonečně malým posunutím, kterých bude na zvolené dráze nekonečně mnoho, sumace tak přejde v integraci.

82

Práce dW vykonaná silou F při infinitesimálním (nekonečně malém) posunutí dr je rovna dW = F · dr. Celková práce proměnné síly F při posunutí z polohy r 1 do polohy r 2 je rovna Z r2 W = F (r) · dr . r1

Výpočet dráhového účinku síly může v obecném případě proměnné síly být poměrně náročný. Veličina, která ukazuje, jak rychle je práce konána (třeba při zvedání činky), se nazývá výkon. Průměrný výkon je dán podílem vykonané práce W a času t, jaký byl k jejímu vykonání potřeba: W P = . t Jednotkou výkonu je watt (W), W = kg · m2 · s−3 . Podobně jako tomu bylo u průměrné rychlosti, ani informace o průměrném výkonu moc nevypovídá o tom, jaký byl výkon v nějakém přesně zvoleném okamžiku. Chceme-li znát okamžitý výkon v nějakém čase, rozdělíme celkovou dobu konání práce na menší časové intervaly ∆t, v každém z nich je vykonána práce ∆W . Výkon pak vypočítáme jako poměr ∆W /∆t a opět, čím kratší časové intervaly zvolíme, tím přesnější bude výsledek. Nakonec tedy limitně přejdeme s ∆t → 0 a místo podílu práce a časového intervalu dostaneme derivaci práce podle času (stejně jako při určování okamžité rychlosti). Okamžitý výkon je derivací mechanické práce podle času: P =

dW . dt

Při posuvném pohybu tělesa lze pro okamžitý výkon odvodit ještě jeden užitečný vztah F · dr P = = F · v. dt Řešení příkladu 5.1: Z definice práce je zřejmé, že John Evans při balancování auta na hlavě nevykonal žádnou práci a jeho výkon byl tedy také nulový. Ačkoli na auto svou hlavou působil nemalou silou (rovnou tíze auta), posunutí bylo nulové. Prakticky nulovou práci by odvedl i tehdy, pokud by s autem na hlavě popocházel po pódiu (odpor vzduchu můžeme při velmi malé rychlosti zanedbat). Pak by totiž síla byla kolmá na posunutí a jejich skalární součin by tedy byl opět nulový. Jinak je tomu v případě vzpěrače Krasteva. Jeho výkon můžeme na základě udaných parametrů pouze odhadnout. Předpokládejme, že činku zvedl o cca 2 metry a že k tomu potřeboval cca 1,5 sekundy. Činka hmotnosti 216 kg má tíhu asi 2100 N, vzhledem k odhadu výšky a času stačí i zde přibližné vyjádření. 83

Uvažujme působení konstantní síly a pohyb svisle vzhůru (i když síla jistě nebyla konstantní, na výslednou práci nemá její průběh vliv). Vykonaná práce je rovna W = F · ∆r = F ∆r = 2100 N · 2 m = 4200 J a průměrný výkon P =

W 4200 J = = 2800 W. t 1, 5 s

K výpočtu okamžitého výkonu bychom potřebovali bližší informace o průběhu trhu. Příklad 5.2 Jak velkou práci vykonáme, odvlečeme-li bednu tíhy G = 500 N do vzdálenosti s = 6 m po vodorovné podlaze, je-li bedna tažena za provaz, který svírá s vodorovným směrem úhel α = 30◦ ? Dynamický koeficient smykového tření mezi bednou a podlahou je µ = 0, 3.

~ N

T~

~ N

α

T~ α F~

F~

Ty Tx

~ G

~ G

Obrázek 5.2: Bedna tažená po vodorovné podlaze nakloněným provazem Řešení: Předpokládejme, že bednu přesuneme rovnoměrným pohybem. Ve skutečnosti ji budeme muset nejprve uvést do pohybu a potom zastavit, ale výsledná práce bude stejná. Z definice práce plyne, že je rovna skalárnímu součinu tahové síly T a vektoru posunutí, jehož velikost je s. Svírají spolu úhel α, takže bude platit W = T · s · cos α. Velikost tahové síly ale zatím neznáme, musíme ji tedy určit. Všechny síly, které na bednu působí, jsou zakresleny na obrázku. Kromě již zmiňované tahové síly T to jsou tíhová síla G, normálová síla, jíž bednu podepírá podložka, N a třecí 84

síla F . Při rovnoměrném pohybu musí být jejich výslednice nulová. Zvolme osu x vodorovnou a osu y svislou. Musí platit F

= Tx = T cos α,

N

= G − Ty = G − T sin α,

F

= µ · N.

Vyřešením této soustavy rovnic dostaneme pro tahovou sílu vyjádření T =

µG cos α + µ sin α

a hledaná práce bude tedy rovna W =

µGs . 1 + µ tan α

Na závěr dosadíme zadané numerické hodnoty W =

0, 3 · 500 · 6 J = 767 J. 1 + 0, 3 tan 30◦

Poznámka: Všimněte si, že stejně velkou, ale zápornou mechanickou práci vykoná na bedně třecí síla, která působí proti směru pohybu. Celková mechanická práce vykonaná na přesouvané bedně je tedy nulová. Její pohybový stav - klid - je stejný na začátku i na konci děje. V důsledku ztrát způsobených třením se vykonaná práce přemění pouze na vnitřní energii podlahy a bedny (s touto formou energie se podrobněji seznámíme v kapitole 7). Třecí síla patří mezi tzv. nekonzervativní síly, s kterými se blíže seznámíte ve Fyzice I. Podívejme se nyní na jiný případ, kdy konstantní síla působí na těleso bez tření. Příklad 5.3 Jakou práci vykoná konstantní síla, která uvede těleso o hmotnosti m z klidu do pohybu rychlostí v? Řešení: Na začátku je těleso v klidu, síla mu podle druhého Newtonova zákona uděluje konstantní zrychlení a = F /m. Jeho rychlost je integrací zrychlení v čase (pro odlišení integrační proměnné od integrační meze označíme integrační proměnnou odpovídající času t0 a integrační mez odpovídající času t) Z t Z t  t 0 v= adt = a dt0 = a t0 0 = at. 0

0

Jeho dráha je integrací rychlosti podle času a roste podle vztahu  02 t Z t Z t Z t t 1 0 0 0 0 0 0 s= v(t )dt = at dt = a t dt = a = at2 . 2 0 2 0 0 0 Vykonaná práce (síla je konstantní) bude 1 1 1 W = F · ∆r = F s = (ma) · at2 = m(at)2 = mv 2 . 2 2 2 85

Poznámka: V tomto případě se vykonaná práce projevila změnou pohybového stavu tělesa, vzrostla jeho rychlost. Pohybový stav tělesa můžeme charakterizovat skalární veličinou, nazvanou kinetická energie. Kinetická energie translační určitého tělesa je rovna práci, jaká je třeba k urychlení tohoto tělesa z klidu do posuvného pohybu danou rychlostí. Těleso o hmotnosti m pohybující se rychlostí v má kinetickou energii translační 1 Ek = mv 2 . 2 Jednotka energie je stejná jako jednotka práce, tedy J (joule). Příklad 5.4 Jakou práci vykonáme, zvedneme-li těleso o hmotnosti m ze zemského povrchu do výšky h? Předpokládejte, že pole je homogenní.

F~ = −F~g h F~g

h=0

Obrázek 5.3: Při zvedání tělesa rovnoměrným pohybem v tíhovém poli Země působíme na těleso konstantní silou opačnou k síle tíhové Řešení: Chceme-li tělesem rovnoměrně pohybovat směrem vzhůru, musíme překonávat tíhovou sílu F g o velikosti mg, musíme tedy na těleso působit konstantní silou F = mg ve směru pohybu, a to po dráze h. Vykonaná práce bude W = F · h = mgh. Poznámka: V tomto případě se námi vykonaná práce projevila změnou polohy tělesa v nějakém silovém poli, konkrétně v homogenním tíhovém poli Země. Všimněte si, že stejně velkou, ale zápornou mechanickou práci vykoná na tělese tíhová síla, která působí proti směru pohybu. Nevzrostla tedy rychlost tělesa, ale vzrostla jeho energie v poli tíhové síly, nazývaná potenciální energie tíhová. Pustíme-li těleso ve výšce h, bude na ně působit tíhové pole prostřednictvím tíhové síly a těleso se bude urychlovat. Jeho potenciální energie se bude měnit na kinetickou.

86

Potenciální energie tíhová určitého tělesa je rovna práci, jaká je třeba k vyzvednutí tohoto tělesa do výšky h v tíhovém poli Země. Těleso o hmotnosti m má ve výšce h v homogenním tíhovém poli potenciální energii tíhovou Ep = mgh, kde g označuje tíhové zrychlení. Při určování potenciální energie je vždy třeba vyjasnit, vůči jaké poloze ji vyjadřujeme, zvolit tzv. nulovou hladinu. Například při zvedání nákladu z povrchu Země do prvního patra je vhodné zvolit nulovou hladinu na zemském povrchu. Při popisu pádu tělesa v 18. patře výškové budovy může být výhodnější zvolit ji na podlaze v 18. patře. Při této volbě by potenciální energie byla všude nad podlahou 18. patra kladná, všude pod ní záporná. Potenciální energie tělesa v určitém bodě silového pole je rovna práci potřebné k přenesení tělesa z místa s nulovou potenciální energií do daného bodu. Pole v blízkosti Země lze považovat za přibližně homogenní jen pro malé výšky. Při přesunu těles do velkých vzdáleností od zemského povrchu je již třeba počítat s gravitační silou danou Newtonovým gravitačním zákonem. Příklad 5.5 Jakou práci vykonáme, chceme-li těleso o hmotnosti m přenést ze vzdálenosti r ≥ RZ od středu Země do nekonečna?

RZ F~G

0

F~G

F~G

F~G

Obrázek 5.4: Při zvedání tělesa rovnoměrným pohybem v gravitačním poli Země působíme na těleso konstantní silou opačnou ke gravitační síle F G (na obrázku), která klesá s kvadrátem vzdálenosti od středu Země Řešení: Chceme-li tělesem rovnoměrně pohybovat směrem od středu Země, musíme překonávat sílu Newtonova gravitačního zákona velikosti FG = κ

mM , r2

musíme tedy na těleso působit stejně velkou (proměnnou) silou ve směru pohybu. Vykonaná práce bude podle definice Z ∞ FG dr0 , W = r

87

r

kde integrační meze r a ∞ označují počáteční a koncovou vzdálenost od středu Země a integrační proměnnou označíme r0 . Bude tedy   Z ∞ Z ∞ 1 1 ∞ mM mM 0 0 dr = κmM − 0 =κ W = κ 02 dr = κmM 02 r r r r r r r Gravitační síla klesá s druhou mocninou vzdálenosti od tělesa, které ji vyvolalo, a v nekonečnu je nulová. Nulová hladina potenciálu (potenciální energie tělesa o hmotnosti 1 kg) gravitačního pole se standardně volí v nekonečnu. Při této volbě bude potenciální energie gravitační tělesa všude jinde záporná a rovna Ep = −κmM /r. Potenciální energie gravitační tělesa nacházejícího se v určitém místě vůči Zemi je rovna práci, jaká je třeba k přenesení tohoto tělesa v gravitačním poli Země z nekonečna do daného místa. Těleso o hmotnosti m má ve vzdálenosti r od hmotného středu Země potenciální energii Ep = −κ

mM , r

kde κ je gravitační konstanta a M hmotnost Země. Podobně jako vůči Zemi lze vyjádřit i potenciální energii tělesa vůči Slunci, Měsíci, nebo jinému hmotnému tělesu. Na závěr se seznámíme ještě s jiným typem potenciální energie, potenciální energií pružnosti. Podobně jako v případě tíhového nebo gravitačního pole, potenciální energie pružiny je rovna práci potřebné k jejímu natažení z nenapjatého stavu (stavu s nulovou potenciální energií pružnosti) do stavu, v němž se pružina nachází. Příklad 5.6 V oblasti platnosti Hookeova zákona (pro nepříliš velké protažení) platí přímá úměra mezi protažením pružiny a silou, kterou je toto protažení způsobeno. Konstanta úměrnosti mezi silou a protažením se nazývá tuhost pružiny. Jakou práci musíme vykonat, chceme-li pružinu o tuhosti k z nenapjatého stavu natáhnout o délku d? Řešení: Při natahování pružiny působíme silou F = kx ve směru pohybu, kde x je momentální protažení pružiny. Protože síla je proměnná, musíme celkovou práci vypočítat jako Z W =

d

Z F (x) dx =

0

d

Z k x dx = k

0

0

d

x2 x dx = k 2 

d 0

1 = kd2 . 2

K tomuto výsledku můžeme také dospět uvážením průměrné velikosti síly, jakou musíme pružinu natahovat.

88

F~

x

x=0 x0

F~ 0

Obrázek 5.5: Pružina natažená, v nenapjatém stavu a stlačená. Protažení nebo zkrácení je přímo úměrné působící síle V oblasti platnosti Hookeova zákona je síla, jíž udržíme protažení pružiny o d vůči nenapjatému stavu, rovna F = kd, kde k je tuhost pružiny. Práce potřebná k natažení pružiny tuhosti k z nenapjatého stavu o délku d je rovna přírustku potenciální energie pružnosti pružiny 1 Ep = kd2 . 2 Představili jsme si několik příkladů, jak se konání práce na tělese projeví změnou jeho energie. Uvažme nyní soustavu těles, která neinteragují s okolními objekty. Taková soustava se nazývá izolovaná. Žádná vnější tělesa nekonají na této soustavě práci, ani si s ní nevyměňují energii jinou formou. Celková energie takové soustavy, tvořená energií kinetickou, potenciální i vnitřní (viz kapitola 7), se pak nemění. Zákon zachování energie Celková energie izolované soustavy se zachovává. ΣE = konst. Nepůsobí-li mezi tělesy nekonzervativní síly (např. třecí síla, odporová síla), nedochází ani k přeměně mechanické energie, tvořené energií kinetickou a různými formami energie potenciální, na jiné formy energie.

89

Zákon zachování mechanické energie Celková mechanická energie izolované soustavy, ve které nepůsobí nekonzervativní síly, se zachovává. ΣEk + ΣEp = konst. Zákon zachování energie je užitečný při řešení mnoha fyzikálních úloh a mnohdy podstatným způsobem zjednodušuje (bez újmy na správnosti) jejich řešení. Uvažme třeba následující příklad. Příklad 5.7 Jakou nejmenší rychlostí musí vjet cyklista do svislé kruhové smyčky poloměru R = 5 m, aby ji bez nehody projel? Po vjezdu do smyčky už cyklista nešlape do pedálů. Těžiště kola a cyklisty je ve výšce 1, 2 m, tření, odpor vzduchu a setrvačnost kol zanedbejte. 0 ~vmin

~v 0

~v 0

F~g = F~d F~d pr˚ ujezd minim´ aln´ı moˇznou rychlost´ı

R RT

F~g ~ = F~d − F~g N

pr˚ ujezd vˇetˇs´ı neˇz minim´ aln´ı moˇznou rychlost´ı

~v Obrázek 5.6: Cyklista projíždějící kruhovou smyčku a síly působící na cyklistu v horním kritickém bodě. Řešení: Cyklista se pohybuje po kružnici o poloměru RT = (5 − 1, 2) m = 3, 8 m. Kritickým místem bude horní bod, pro jehož bezpečné projetí potřebuje určitou minimální rychlost. Nestačí mu její nulová velikost - má-li se pohybovat po kružnici, musí platit nám již známý vztah mezi dostředivou silou, jeho hmotností a rychlostí a poloměrem trajektorie jeho těžiště Fd =

mv22 . RT

Minimální dostředivá síla, jaká na něj v horním bodě působí, je rovna tíhové síle Fg = mg. Musí zde mít tedy minimální rychlost danou podmínkou 2 v2min = gRT ,

jinak se bude pohybovat po trajektorii o poloměru křivosti menším, než odpovídá průjezdu smyčkou, a od smyčky odpadne. Pokud bude mít rychlost větší, problém to nezpůsobí. K průjezdu smyčkou sice potřebuje větší dostředivé zrychlení, potřebnou dostředivou sílu však zabezpečí společně tíhové pole a smyčka ~. svou pevností (viz obrázek 5.6) - bude na cyklistu působit normálovou silou N 90

Jak ale zjistíme, jakou rychlost cyklista potřebuje při vjezdu do smyčky? Počítat, jak bude postupně zpomalovat v důsledku proměnné výsledné síly (výslednice tíhové síly a normálové síly, jíž na něj působí smyčka), by bylo složité. K vyřešení úlohy ani nepotřebujeme znát celý průběh pohybu. K určení potřebné rychlosti v nejnižším bodě dráhy můžeme snadno využít zákona zachování mechanické energie. Zvolme nulovou hladinu potenciální energie ve výšce, v jaké je těžiště cyklisty při vjezdu do smyčky. V horním bodě je těžiště o 2RT výše. Vyjádřeme celkovou mechanickou energii cyklisty v nejnižším a nejvyšším bodě: Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2 , 1 1 mv12 + 0 = mv 2 + 2mgRT , 2 2 2 takže 2 2 v1min = v2min + 4gRT = gRT + 4gRT = 5gRT .

Dostáváme výsledek v1min =

p

. . 5gRT = 13, 7 m · s−1 = 49 km · h−1 .

Úloha 5.1 Nejdelší eskalátor v České republice je ve stanici metra Náměstí Míru, je dlouhý 87,2 m a jeho sklon je 30◦ . Jakou práci vykoná, vyveze-li nahoru člověka o hmotnosti 70 kg? Úloha 5.2 Automobilista spatří překážku a na vlhké vozovce brzdí smykem z počáteční rychlosti v = 90 km · h−1 . Součinitel smykového tření mezi automobilem a vozovkou je µ = 0, 55. Jaká je jeho brzdná dráha? Řešte pomocí vyjádření kinetické energie a záporné práce, kterou na automobilu koná třecí síla. Úloha 5.3 Stavební výtah vyváží do třetího patra (h = 10 m) barel s vodou, doba výjezdu je 15 s. Ve dně barelu je malá díra, takže voda z barelu mírně vytéká, jeho hmotnost se mění podle vztahu m = 4(50 − t)2 kg, s. Jakou práci výtah vykoná? Úloha 5.4 Vypočtěte, jakou energii je třeba dodat pro ustavení družice GPS o hmotnosti 775 kg na oběžnou dráhu. Její výška je cca 20200 km nad Zemí, . potřebná oběžná rychlost v = 3875 m · s−1 . Poloměr Země: RZ = 6375 km, gravitační konstanta κ = 6, 67 · 10−11 N · m2 · kg−2 , hmotnost Země MZ = 5, 98 · 1024 kg, pro výpočet předpokládejte kulový tvar Země (rozdíl mezi rovníkovým a polárním průměrem je ve skutečnosti cca 43 km). Úloha 5.5 Jaký je náš okamžitý výkon ve třetí sekundě, natahujeme-li z nenapjatého stavu konstantní rychlostí v = 0, 05 m · s−1 pružinu s tuhostí k = 5 N · cm−1 ? Jaký je průměrný výkon od nulté do třetí sekundy? 91

Úloha 5.6 Jaké největší přetížení pocítí skokan, zhoupne-li se na obří houpačce z příkladu 2.7? Úloha 5.7 Tělísko hmotnosti m se pohybuje bez tření po nakloněné rovině, která na konci přechází ve válcovou plochu o poloměru R. Z jaké výšky h by muselo klouzat, aby udělalo ve válci celou obrátku a přitom nespadlo, bude-li jeho počáteční rychlost v0 ? Ztráty zanedbejte. Úloha 5.8 Renault Scénic 2,0 16V RX4 Salomon s celkovou hmotností 1000 kg má motor o výkonu 102 kW = 102 kJ · s−1 . V jakém největším stoupání je toto auto schopno udržet velikost rychlosti 72 km · h−1 ? Ztráty zanedbejte. Úloha 5.9 Zboží v expedici je posíláno z patra do přízemí po skluzavce tvořené nakloněnou rovinou s vodorovnou dojezdovou plochou. Hmotnost beden je m = 25 kg, výška skluzavky h = 3 m, její sklon α = 30◦ , dynamický součinitel tření mezi bednou a skluzavkou µD = 0, 5. Jak velkou vzdálenost urazí bedna na vodorovné dojezdové ploše, než se zastaví? Úloha 5.10 Skokan před skokem zkouší pružnost lana na bungee-jumping tak, že se na ně v klidu zavěsí. Lano původní délky l0 = 20 m se protáhne o ∆l = 5 m. Za předpokladu, že je síla, jíž lano působí na skokana, přímo úměrná jeho protažení, vypočtěte, zda může tentýž člověk bez rizika skočit na laně dolů z mostu o výšce h = 35 m (skáče ze stejného místa, v němž je lano upevněno). O kolik se lano při seskoku protáhne?

5.2.

Hybnost a moment hybnosti

Ze statistik dopravní policie vyplývá, že pokud dojde ke srážce dvou automobilů a jeden z nich je výrazně těžší, následky bývají tragické zejména pro pasažéry v lehčím automobilu. Co se děje při takové srážce?

Obrázek 5.7: Následky srážky automobilů. Dodávka zastavila v původní stopě téměř na místě, osobní automobil, který jel po plné čáře, byl odhozen stranou a přetočil se o cca 90◦ . Pasažéři tentokrát vyvázli pouze s lehkými zraněními. 92

II. Newtonův zákon udává vztah mezi působící silou F , hmotností m tělesa a jeho zrychlením a, případně časovou změnou vektoru rychlosti: F = ma = m

dv . dt

Tento vztah lze formulovat také pomocí veličiny nazvané hybnost. Hybnost tělesa je rovna součinu jeho hmotnosti a rychlosti. Hybnost tělesa o hmotnosti m, které se pohybuje rychlostí v, je rovna p = mv. Hybnost je vektor. Jednotkou hybnosti je kg · m · s−1 . II. Newtonův zákon lze pak vyjádřit následovně. Časová změna hybnosti tělesa je rovna výsledné síle, která na těleso působí: dp = F. dt Zápis v tomto tvaru je dokonce přesnější než předchozí, protože v sobě zahrnuje možnost proměnné hmotnosti. Ta se uplatňuje nejen při pohybech těles rychlostmi blízkými rychlosti světla, ale i třeba v případě objektů poháněných reakčním motorem. Příklad 5.8 Jaká je změna hybnosti 80 kg pasažéra automobilu, který čelně narazí na zeď v rychlosti v = 50 km · h−1 ? Odhadněte dobu brždění pasažéra připoutaného bezpečnostními pásy, deformuje-li se přední část vozu při nárazu o L = 65 cm a pásy svou pružností popustí pasažéra o l = 15 cm. Jaká průměrná síla působí na pasažéra po dobu nárazu? Řešení: Po zastavení má automobil i pasažér hybnost nulovou, velikost její změny je tedy rovna velikosti hybnosti před nárazem ∆p = m · v = 80 · 13, 9 kg · m · s−1 = 1112 kg · m · s−1 , kde rychlost jsme převedli do základních jednotek. K výpočtu brzdné síly působící na pasažéra můžeme využít vztahu mezi změnou kinetické energie a práce síly F , která tuto změnu způsobí. Můžeme odhadnout pouze její střední hodnotu 1 mv 2 = F · s, 2 kde brzdná dráha s = L + l. Odtud F =

mv 2 = 9, 66 kN 2s

a dobu brždění pasažéra lze odhadnout jako ∆t =

∆p = 0, 12 s. F 93

Uvědomte si, že při čelních srážkách je deformace přední části vozu (mimo kabinu) žádoucí, umožňuje totiž prodloužit brzdnou dráhu a tím i dobu brždění pasažéra při nárazu a tak snížit sílu, jaká na něj po tutu dobu působí. Šance na přežití se podstatně snižuje, není-li pasažér připoután bezpečnostním pásem. Pak při nárazu volně vyletí ze sedadla (zcela odpadá efekt pružných pásů) a zastaví až nárazem o překážku (již částečně zbržděnou část automobilu před ním), jeho doba brždění je pak mnohem kratší. Příklad 5.9 Jaká je celková změna hybnosti automobilu, který projede pravoúhlou zatáčku rychlostí v = 54 km · h−1 ? Jeho hmotnost m = 1200 kg. p~2 p~2

p~1

∆~ p

−~ p1

Obrázek 5.8: Změna hybnosti automobilu projíždějícího rovnoměrně zatáčku Řešení: Ačkoli velikost hybnosti se nemění, vektor hybnosti se mění - mění se totiž jeho směr - viz obrázek 5.8. Změna vektoru hybnosti je ∆p = p2 − p1 , graficky dostaneme tento vektor tak, že k vektoru p2 přičteme vektor opačný k vektoru p1 . Z obrázku je patrné, že změna hybnosti je přeponou rovnostranného pravoúhlého trojúhelníka, jehož odvěsnami jsou počáteční a koncová hybnost, tedy p √ √ √ ∆p = p2 + p2 = 2p = 2mv = 2 · 1200 kg · 15 m · s−1 = 25380 kg · m · s−1 . Celkovou hybností soustavy těles rozumíme součet vektorů hybností jednotlivých těles. Představme si nyní, že se srazí dvě tělesa, přičemž jejich interakci s jinými tělesy lze zanedbat. Při srážce na sebe tělesa podle III. Newtonova zákona působí stejně velkými, opačnými silami, a po stejnou dobu. Druhé těleso na první působí silou F 12 , první na druhé silou F 21 = −F 12 Změna hybnosti obou těles tedy bude také až na znaménko stejná ∆p1 = F 12 ∆t = −F 21 ∆t = −∆p2 94

a změna celkové hybnosti ∆p1 + ∆p2 = 0. Celková hybnost soustavy tvořené těmito dvěma tělesy se tedy zachovává. Tento postup lze ještě dále zobecnit a získat tak jeden z klíčových zákonů mechaniky. Zákon zachování hybnosti Je-li výslednice vnějších sil působících na soustavu těles nulová, celková hybnost takové soustavy se zachovává. ΣF ext. = 0 =⇒ Σp = konst. Zákon zachování hybnosti má široké využití, platí dokonce i u dějů, kde se nezachovává celková mechanická energie systému. Pomocí zákona zachování hybnosti můžeme řešit mimo jiné úlohy týkající se srážek těles. Příklad 5.10 Na pouti se čelně srazí dvě elektrická autíčka. V jednom z nich sedí dva statní dospělí a jeho celková hmotnost je tak m1 = 400 kg, ve druhém sedí sám malý chlapec, takže jeho celková hmotnost je m2 = 200 kg. Obě auta jedou před srážkou rychlostí 2 m · s−1 . Za předpokladu, že ztráty mechanické energie jsou zanedbatelné (takovým srážkám se říka dokonale pružné), určete rychlosti obou aut po srážce. Řešení: Ačkoli hybnost je vektor, vystačíme zde s jedinou složkou tohoto vektoru, odpovídající směru pohybu - jedná se o děj na přímce. Za kladný směr rychlosti zvolíme například směr rychlosti těžšího auta. Pak platí v1 = v = 2 m · s−1 , v2 = −v, m2 = m = 200 kg, m1 = 2m. Protože předpokládáme srážku dokonale pružnou, platí pro ni jak zákon zachování hybnosti, tak i zákon zachování mechanické, v našem případě kinetické energie. p1 + p2 = p01 + p02 =⇒ 2mv − mv = 2mv10 + mv20 , 1 1 1 1 E1 + E2 = E10 + E20 =⇒ 2mv 2 + mv 2 = 2mv10 2 + mv20 2 , 2 2 2 2 po úpravě v = 2v10 + v20 , 3v 2 = 2v10 2 + v20 2 . Vyjádříme v20 = v − 2v10 z první rovnice a dosadíme do druhé. Dostaneme kvadratickou rovnici (po úpravě) 3v10 2 − 2vv10 − v 2 = 0, která má dva kořeny, po dopočtení odpovídajících hodnot v20 dostaneme dvě možná řešení v10 = v, v20 = −v, což odpovídá situaci, kdy se auta vůbec nesrazila, a rychlosti po realizované srážce 5v v . v10 = − , v20 = 3 3 95

Poznámka: Všimněte si, že vektor rychlosti těžšího auta se změnil o v10 − v1 = −v/3 − v = −4v/3, zatímco lehčího o v20 − v2 = 5v/3 + v = 8v/3. Protože doba nárazu byla pro obě auta společná, lehčí auto mělo dvojnásobné zrychlení oproti autu těžšímu. Podobně je to na silnici. Tam se sice nejedná o dokonale pružné srážky, které jsou pouze idealizovaným modelem, ale v každém případě se rychlost lehčího vozu při srážce mění mnohem rychleji než vozu těžšího. Plyne to totiž přímo ze zákona zachování hybnosti soustavy dvou těles: ∆p1 = −∆p2 . Protože hybnost je součinem hmotnosti a rychlosti a velikost změny hybnosti obou těles je stejná, jsou změny rychlostí těles v opačném poměru než jejich hmotnosti. Proto jsou pasažéři lehčího vozu více ohroženi, nemluvě o rozdílné deformaci vozidel. Případ druhého idealizovaného typu srážky, srážky dokonale nepružné, při které se sražená tělesa spolu spojí a dále pohybují jako jeden celek, je součástí úlohy 5.12. Většina reálných srážek není ani dokonale pružných, ani dokonale nepružných. Studium srážek obecného typu již přesahuje rámec tohoto úvodního kurzu. Nyní se seznámíme ještě s jednou veličinu související s pohybem hmotných objektů. Hraje významnou roli především při otáčivém pohybu objektů nezanedbatelných rozměrů, takovým pohybem se ale budete podrobněji zabývat až v dalším kurzu fyziky. Zatím se ji naučíme využívat pouze pro případ tělesa, jehož rozměry lze zanedbat. Moment hybnosti tělesa vůči určitému bodu je roven vektorovému součinu jeho průvodiče z tohoto bodu a jeho hybnosti. L = r × p. Moment hybnosti je vektor. Jednotkou momentu hybnosti je kg · m2 · s−1 neboli J · s. Moment hybnosti je, podobně jako moment síly, definován vůči určitému bodu. Z pravidel pro výpočet vektorového součinu plyne, že moment hybnosti bude vektor kolmý na oba dva násobené vektory a velikost momentu hybnosti bude L = rp sin α, kde α je úhel, který spolu průvodič a hybnost svírají. Jeho velikost lze také vyjádřit jako L = pr⊥ , kde r⊥ je kolmá vzdálenost mezi P a přímkou, na níž leží vektor p, nebo také L = rp⊥ , kde p⊥ průmět vektoru hybnosti do směru kolmého na r. Časová změna momentu hybnosti souvisí s momentem působící síly obdobně, jako časová změna hybnosti s působící silou.

96

p~ p⊥

~ L

α α

~r P

r⊥

Obrázek 5.9: Moment hybnosti vůči určitému bodu je vektorovým součinem jeho průvodiče a hybnosti Časová změna momentu hybnosti tělesa je rovna výslednému momentu síly, který na těleso působí: dL = M. dt Tento vztah můžeme se znalostmi, jaké již máte v oblasti vektorového a diferenciálního počtu, snadno odvodit:   d(r × p) d[m(r × v)] dv dr dL = = =m r× + ×v dt dt dt dt dt = m (r × a + v × v) = (r × ma + 0) = r × F = M . Příklad 5.11 Dokažte, že moment hybnosti planety obíhající vlivem gravitace po elipse kolem Slunce se vůči Slunci nemění. Dokažte, že II. Keplerův zákon je důsledkem zachování momentu hybnosti planety vůči Slunci. Řešení: Slunce působí na obíhající planetu silou opačnou k vektoru průvodiči Slunce - planeta. Moment této síly vůči Slunci je nulový (neboť velikost vektorového součinu vektoru průvodiče a vektoru síly je rovna M = rF sin ϕ, kde ϕ je úhel, který tyto dva vektory svírají), proto se ani moment hybnosti planety vůči Slunci nemění. Plocha opsaná průvodičem planety za velmi malý čas ∆t je rovna polovině obsahu rovnoběžníka tvořeného vektory jejího průvodiče r a posunutí v tomto velmi malém daném čase v∆t (pro velmi krátký čas můžeme část opsané elipsy nahradit úsečkou). Plocha rovnoběžníka je součinem strany a příslušné výšky, neboli součinem stran a sinu úhlu, který svírají Srovnob. = r · v∆t · sin α, což je rovno velikosti vektorového součinu r × v∆t (z definice vektorového sou97

~v ∆t

α ~r

~r

~v

~v ~v ∆t

Obrázek 5.10: Plocha opsaná průvodičem planety za velmi malý čas ∆t je v libovolném bodě rovna polovině obsahu rovnoběžníka tvořeného vektory jejího průvodiče r a posunutí v daném čase v∆t činu). Plocha opsaná průvodičem za čas ∆t tedy bude ∆S =

|r × v∆t| |r × (mv)|∆t |r × p|∆t |L|∆t = = = . 2 2m 2m 2m

Pokud se tedy moment hybnosti L planety vůči Slunci zachovává, musí být i plochy opsané jejími průvodiči v různých bodech její trajektorie za stejné časy ∆t stejné, což jsme měli dokázat.

Obrázek 5.11: Čím je způsobeno, že roztočený setrvačník v držáku se mnohem snáze udrží balancovat na napjaté niti než nerotující těleso? Bez důkazu uvedeme následující zákon, který je analogií zákona zachování hybnosti. Zákon zachování momentu hybnosti Je-li výsledný moment vnějších sil působících na soustavu těles nulový, celkový moment hybnosti takové soustavy se zachovává. ΣM ext. = 0 =⇒ ΣL = konst. 98

Zákona zachování momentu hybnosti využívají například gyroskopy - setrvačníky rotující s minimálním třením na systému tří otočných os. Roztočíme-li setrvačník, můžeme systémem libovolně natáčet, osa rotujícího setrvačníku si v důsledku zákona zachování hybnosti udržuje stálý směr (viz obrázek 5.12, všechny spoje jsou volně otočné). Proto také může roztočený setrvačník snáze balancovat na napnuté niti jako na obrázku 5.11, snaha o zachování momentu hybnosti „bráníÿ náklonu osy rotace. Podobného principu využívají i dětské hračky jako jojo nebo káča, přispívá i ke stabilitě cyklisty při jizdě na kole. Podrobněji se s chováním rotujících tuhých těles seznámíte až v pokročilejších kurzech fyziky.

~ L

~ L

Obrázek 5.12: Roztočený setrvačník gyroskopu si zachovává svůj moment hybnosti L a tedy i udržuje stálý směr osy své rotace Zákony zachování energie, hybnosti a momentu hybnosti jsou velmi užitečnými nástroji nejen v mechanice, ale uplatňují se mnohem obecněji, a to i na úrovni mikrosvěta. V dalším kurzu fyziky se setkáte i se zákony zachování dalších fyzikálních veličin. Použití zákona zachování energie jste si již částečně procvičili v předchozích úlohách. Při řešení následujících úloh můžete s výhodou využít také zákony zachování hybnosti nebo momentu hybnosti.

h

~v

Obrázek 5.13: Balistické kyvadlo, ve kterém uvízne střela, se vychýlí do výšky h. 99

Úloha 5.11 K určení rychlosti střely lze užít balistické kyvadlo - třeba špalek zavěšený na dvojici závěsů (aby se neotáčel), v němž střela uvízne, viz obrázek 5.13. Jaká byla rychlost diabolky o hmotnosti m = 0, 536 g, vystřelené ze vzduchové pistole, která vychýlila špalek o hmotnosti M = 50 g do výšky h = 0, 2 m?

Úloha 5.12 15. července 1975 došlo ke spojení kosmické lodi Apollo s vesmírnou stanicí Sojuz. Hmotnost Apolla byla mA = 18 tun, hmotnost Sojuzu mS = 6, 6 tun. Vztažný systém zvolíme v klidu vůči Sojuzu před kontaktem s Apollem. Apollo se k němu blíží rychlostí vA = 0, 2 m · s−1 . Jakou rychlost bude mít Sojuz po kontaktu s Apollem a) pokud se spojení obou lodí podaří, b) pokud se pružně středově odrazí? Úloha 5.13 Kosmická loď Apollo se před přistáním na Zemi stabilizuje na eliptické dráze. Její rychlost v perigeu (nejblíže Zemi) nesmí být příliš vysoká, jinak při přistávacím manévru shoří v atmosféře. V apogeu (nejdále od Země) má rychlost vA = 4373 m · s−1 , vzdálenost od středu Země rA = 16 000 km. Poloměr Země je rZ = 6370 km. Jakou rychlost bude mít v perigeu a jak daleko bude od zemského povrchu? Využijte zákonů zachování momentu hybnosti a energie.

~rA

~rP

~v

rZ

Obrázek 5.14: Kosmická loď se před přistáním stabilizuje na eliptické dráze kolem Země.

100

Kapitola 6 Mechanika tekutin Proč se nemůžeme volně potápět libovolně hluboko? Nadzvedneme člověka jedním prstem? Může loď plovat na sklence vody? Proč mají auta při velké rychlosti velkou spotřebu? Jak mohou létat vzducholodě? A jak letadla těžší než vzduch? Po prostudování této kapitoly byste měli umět • definovat slovně i vzorcem veličinu zvanou tlak a její jednotku, • vysvětlit princip hydraulického zařízení a popsat je i matematicky, • popsat, jaké je rozložení tlaku v kapalině nacházející se v poli tíhové síly, • vysvětlit, co je to atmosférický tlak, umět uvést příklady toho, jak se projevuje, Znát přibližnou hodnotu normálního atmosférického tlaku, • řešit jednoduché úlohy využívající vlastností hydrostatického tlaku, • vysvětlit, co je to vztlaková síla a proč vzniká, • popsat slovně i rovnicí, jak velká vztlaková síla na těleso ponořené v tekutině působí, • řešit jednoduché úlohy využívající vlastností vztlakové síly, • formulovat slovně i matematicky rovnici spojitosti toku pro ideální kapalinu a vysvětlit, proč musí platit, • kvalitativně i kvantitativně formulovat zákon zachování mechanické energie v proudící ideální kapalině a zapsat tak Bernoulliovu rovnici, • řešit úlohy týkající se ustáleného proudění ideální kapaliny. 101

6.1.

Statika tekutin

Ve všech předchozích kapitolách jsme ze zabývali pouze tuhými tělesy, tělesy, která vlivem působení sil neměnila svůj tvar ani objem. Nyní se naopak budeme věnovat tělesům, která vůbec nemají stálý tvar a přizpůsobují se tvaru nádoby, v níž se nacházejí. Taková tělesa se nazývají tekutiny. Tekutiny zahrnují kapaliny a plyny. Pro běžný život jsou tekutiny stejně důležité, jako tělesa stálého tvaru, příkladem budiž voda, krev či vzduch. Jejich přizpůsobivost tvaru nádoby je důsledkem toho, že částice, z nichž se tekutiny skládají, se na rozdíl od částic v pevných látkách mohou vůči sobě snadno pohybovat. Prozatím se ale nebudeme zabývat tekutinami z hlediska jejich vnitřní struktury, ale popíšeme jejich vlastnosti z makroskopického pohledu, podobně, jako jsme to udělali u popisu vlastností třecí síly. Ideální tekutina je dokonale tekutá, bez vnitřního tření. Reálné tekutiny mají různě velké vnitřní tření (viskozitu), což se projeví jejich různou tekutostí, například rostlinný olej se roztéká pomaleji než voda. • Kapalná tělesa snadno mění svůj tvar, ale zachovávají si stálý objem. Ideální kapalina je dokonale tekutá a zcela nestlačitelná. • Plynná tělesa snadno mění svůj tvar i objem podle tvaru nádoby, v níž se nacházejí. Ideální plyn je dokonale tekutý a dokonale stlačitelný.

∆F~

x=0 x

∆S

vakuum

Obrázek 6.1: Idealizované tlakové čidlo Jistě si vzpomenete na nepříjemné pocity na ušních bubíncích, které zažíváte při potápění do větší hloubky. Bez předchozího tréninku se člověk kvůli nim ani nedokáže potopit do hloubky větší než několik málo metrů. Tyto pocity nemizí, pokud se ve vodě různě natáčíme, zmírní je až výstup do menší hloubky pod hladinou nebo správná technika „polykáníÿ. Síla, jíž ideální tekutina působí na libovolnou plošku v ní ponořenou (například ušní bubínky potápěče), je vždy kolmá k povrchu plošky (nemá žádné tečné složky). Nazýváme ji tlakovou silou. Můžeme ji měřit například pomocí 102

idealizovaného tlakového čidla, zachyceného na obrázku 6.1. Tlakové čidlo měří tlakovou sílu podle zasunutí dobře těsnícího, ale volně pohyblivého pístu opřeného o pružinu umístěnou ve vakuu v pevné malé nádobce. Čím větší tlaková síla na plošku působí, tím větší bude stlačení pružiny (z kapitoly 5 víte, že bude přímo úměrné působící síle a nepřímo úměrné tuhosti pružiny). Budeme-li v daném bodě tekutiny v klidu čidlo libovolně natáčet, zjistíme, že stlačení pružiny se nemění – tlaková síla nezávisí na orientaci plošky pístu. Tlaková síla se ale může měnit v závislosti na poloze čidla v tekutině. Pokud použijeme tlaková čidla s různě velkými detekčními ploškami, zjistíme, že tlaková síla je přímo úměrná velikosti plošky. Pro popis tekutin je proto výhodné zavést novou fyzikální veličinu, nazvanou tlak. Tlak p je podíl velikosti tlakové síly ∆F a plošky ∆S, na kterou tato síla působí ∆F p= ∆S Tlak je skalární veličina, jeho jednotkou je 1 pascal, značka Pa. Odpovídá tlaku, jenž vyvolá síla o velikosti 1 N působící kolmo na plochu 1 m2 . Často používanou násobnou jednotkou je kilopascal - kPa, například normální atmosférický tlak má hodnotu 101, 325 kPa.

Obrázek 6.2: Tlaková síla závisí na poloze čidla, ale ne na jeho orientaci. Stlačíme-li píst nádoby s tekutinou (vpravo), tlak vzroste ve všech místech tekutiny o stejnou hodnotu Mějme nyní tekutinu uzavřenou v nádobě s pohyblivým pístem. Do různých míst v nádobě upevníme několik tlakových čidel a zaznamenáme hodnoty tlaku, které ukazují, viz obrázek 6.2. Nyní zatlačíme na píst a odečteme nové hodnoty tlaku detekované čidly. Porovnáním obou skupin údajů zjistíme, že tlak vzrostl ve všech bodech tekutiny o stejnou hodnotu. Tuto vlastnost tekutin vyjadřuje následující zákon. 103

Pascalův zákon: Tlak vyvolaný vnější silou, která působí na tekutinu v uzavřené nádobě, je ve všech místech tekutiny stejný. Platnosti tohoto zákona v praxi využívají hydraulická a pneumatická zařízení, například zubařská křesla, hydraulické brzdy v autě (viz obrázek 6.4), lisy, pneumatické převody a podobně. Jejich princip si prostudujte pomocí následujícího ilustračního příkladu (pro jednoduchost zde prozatím zanedbáme hydrostatický tlak, se kterým se blíže seznámíte později). Princip hydraulického zvedáku Na obrázku 6.3 vidíte zjednodušený model hydraulického zvedáku. Je tvořen spojenými nádobami s kapalinou uzavřenou těsnícími, ale lehce pohyblivými různě velkými písty. Není-li ani jeden píst zatížen, je soustava v rovnováze a písty se nepohybují. Zatížíme-li jeden z pístů, rovnováhu narušíme. Jak velkým závažím musíme zatížit druhý píst, aby byl systém opět v rovnováze?

F~2

F~1 S1

p1 = p2

S2

Obrázek 6.3: Princip funkce hydraulického zvedáku To můžeme odvodit z Pascalova zákona: tlak vyvolaný vnější silou, která působí na kapalinu v uzavřené nádobě, je ve všech místech kapaliny stejný. Proto (zanedbáme-li zatím hydrostatický tlak) je stejný tlak kapaliny na oba písty: p1 = p2 . Z definice tlaku p = F/S pak můžeme vyjádřit poměr tlakových sil na druhý a první píst F2 S2 = . F1 S1 Nemají-li se písty pohybovat, musí ve stejném poměru být i závaží, která na ně položíme, nebo vnější síly, jimiž na ně působíme. Podobně fungují i pneumatická zařízení, s tím rozdílem, že objem pracovního média (plynu) se při změně tlaku mění. U kapalin lze změnu objemu zanedbat. U nich bude naopak mít větší vliv změna tlaku v závislosti na hloubce v kapalině (hydrostatický tlak), ke které jsme zatím nepřihlíželi. 104

F =p·S

Obrázek 6.4: Hydraulické kotoučové brzdy v automobilu. Stlačením brzdového pedálu s pístem o malé ploše vyvoláme větší tlakovou sílu na brzdový píst o větší ploše. Hydrostatický tlak Mějme nádobu s vodou (kterou budeme považovat za ideální kapalinu), stojící v klidu na stole. Ve vodě si vybereme určitou její část, pro jednoduchost například tvaru kvádru s vodorovnými podstavami a svislými stěnami (viz obrázek 6.5) o obsahu podstavy S a výšce h, s objemem V .

F~1

S h F~g

F~3

F1 = p1 S1 −F~3

F~2

F2 = p2 S2

Obrázek 6.5: Odvození závislosti hydrostatického tlaku na hloubce v kapalině Protože se kvádr nachází v tíhovém poli Země, působí na něj směrem dolů tíhová síla o velikosti Fg = m · g = V · % · g = S · h · % · g, kde m je hmotnost kvádru, g tíhové zrychlení a % je hustota vody. Zvolený kvádr je v klidu, proto výsledná síla, která na něj působí, musí být nulová. Okolní kapalina tedy musí na kvádr působit celkově stejně velkou silou, jako je síla tíhová, ale orientovanou směrem vzhůru. Tuto sílu nazveme silou vztlakovou a označíme ji Fvz . Tlakové síly, jimiž na stěny zvoleného kvádru působí okolní kapalina, jsou vždy kolmé k ploše, na niž působí. Síly působící na protilehlé stěny kvádru se tedy musí 105

navzájem vykompenzovat a tlaková síla působící na dolní podstavu kvádru musí být o Fvz větší než tlaková síla působící na podstavu horní. Tlakové síly působící na jednotlivé podstavy vypočteme jako F2 = p2 S a F1 = p1 S. Jejich rozdíl musí být roven F2 − F1 = (p2 − p1 )S = S · h · % · g, hydrostatický tlak tedy musí s hloubkou růst podle vztahu p2 = p1 + h · % · g. V úrovni volné hladiny kapaliny je celkový tlak roven tlaku atmosférickému a hydrostatický tlak je zde nulový. V hloubce h kapaliny o hustotě % bude celkový tlak větší o hydrostatický tlak ph = h · % · g. Hydrostatický tlak v hloubce h kapaliny o hustotě % nacházející se v tíhovém poli o tíhovém zrychlení g je ph = h · % · g.

hladina kapaliny

~g h

ph = h%g = konst.

Obrázek 6.6: Hydrostatický tlak v kapalině nezávisí na tvaru nádoby, ale pouze na její hustotě a hloubce pod hladinou Hydrostatický tlak v hloubce h kapaliny nezávisí na tvaru nádoby, v níž se kapalina nachází - viz obrázek 6.6. Vztlaková síla Představme si nyní, že kvádr vody, zvolený při odvození vztahu pro hydrostatický tlak, nahradíme jiným materiálem. Okolní kapalina na něj bude působit stejnou silou, jako předtím na tentýž kvádr vyplněný vodou. Tuto vlastnost pro tekutiny obecně vyjadřuje zákon, který zformuloval ve 3. století př.n.l. nám již dobře známý přírodovědec Archimédes. Archimedův zákon: Těleso ponořené do tekutiny je nadlehčováno vztlakovou silou rovnající se tíze tekutiny o stejném objemu, jako je ponořená část tělesa Fvz = V · % · g.

106

Jak plyne z formulace Archimédova zákona, těleso nemusí být v kapalině ponořeno celé. Například lodě jsou ponořeny jen z části. K realizaci rovnováhy sil podle Archimedova zákona ani není třeba, aby bylo k dispozici množství kapaliny o tíze rovnající se tíze nadnášeného tělesa. Představte si dvě stejné mírně kónické skleničky. K tomu, aby jedna udržela prostřednictvím vztlakové síly druhou, stačí i velmi malé množství vody - viz obrázek 6.7. Teoreticky by tak zaoceánskou loď mohla udržet pouhá sklenka vody, pokud by byla nalita ve vhodně tvarované nádobě. 2)

1)

V

Obrázek 6.7: Těleso je kapalinou nadlehčováno silou rovnou tíze kapaliny o stejném objemu, jako je ponořená část tělesa

x

l

dx

h = 175 m

h l = 2092 m

Obrázek 6.8: Náčrt pro přibližný výpočet celkové tlakové síly, jíž působí voda v přehradě Tři soutěsky na hlavní část přehradní hráze

Příklad 6.1 Největší přehradou světa je přehrada vodní elektrárny Tři soutěsky na Dlouhé řece (Jang-c´-ťiang) v Číně. Po dokončení má do sítě dodávat výkon 18 GW. Celková délka železobetonové hráze je 2309 metrů, její výška 185 m, zaplavena vodou bude do výšky h = 175 m [21]. Jak velkou horizontální silou pak bude voda působit na hlavní část hráze o délce l = 2092 m? Hráz pokládejte za obdélníkovou. Řešení: Pro náš výpočet budeme hráz pokládat za svislou. V praxi bývají hráze z důvodu lepší statiky u paty širší než u koruny, ale na výpočet celkové horizontální síly sklon hráze nemá vliv. Protože tlak vody roste s hloubkou, rozdělíme si přehradu na nekonečně tenké vodorovné proužky délky l a výšky dx, hloubku proužku pod hladinou označíme x. Plocha proužku je tedy dS = ldx a hydrostatický tlak na proužek je ph = x%g. Tlaková síla, jaká na něj působí, je tedy 107

dF = ph dS = x%gldx. Celková tlaková síla je rovna součtu tlakových sil na všechny proužky, od toho těsně pod hladinou až po ten u dna. Pro nekonečně mnoho nekonečně tenkých proužků to představuje integraci Z F =

Z

h

Z x%gldx = %gl

dF =

0

0

h

x2 xdx = %gl 2 

h = 0

%glh2 . 2

Numericky to bude (hustotu vody předpokládáme % = 1000 kg · m−3 ) F =

1000 · 9, 81 · 2092 · 1752 . N = 3 · 1011 N. 2

K výsledku bychom mohli dospět i bez integrace, uvážením průměrného hydrostatického tlaku působícího na přehradu, který je, díky tomu, že hydrostatický tlak roste s hloubkou lineárně, polovinou tlaku v největší hloubce. Stačilo by ale, aby hráz měla jiný než obdélníkový tvar (časté jsou hráze lichoběžníkové, kopírující strmá údolí) a tato cesta by již ke správnému výsledku nevedla. Torricelliho experiment Podobně jako hydrostatický tlak v kapalinách vzniká i aerostatický tlak v plynech, i když jeho výpočet by byl kvůli stlačitelnosti složitější. U plynů v nádobách lze aerostatický tlak většinou zanedbat. Nelze už ale zanedbat například tlak atmosféry, jak názorně demonstroval italský přírodovědec Jan Evangelista Torricelli (1608-1647). Vzal nádobu se rtutí, dlouhou skleněnou trubici, na jed-

vakuum h = 76 cm

Obrázek 6.9: Náčrt Torricelliho experimentu, umožňujícího určit hodnotu atmosférického tlaku nom konci uzavřenou, kterou po okraj také naplnil rtutí a ucpal palcem. Pak trubici převrátil a ruku s trubicí ponořil do nádoby se rtutí. Po uvolnění palce hladina rtuti v trubici o něco poklesla, zastavila se ve výšce h = 76 cm nad 108

úrovní volné hladiny v nádobě. Torricelli pokus vysvětlil tak, že v trubici nad hladinou rtuti je vakuum, jehož tlak je nulový. V úrovni volné hladiny v nádobě je atmosférický tlak, stejný musí být v této výšce i v trubici. Hydrostatický tlak zbylého rtuťového sloupce tedy musí odpovídat atmosférickému tlaku. Příklad 6.2 Určete hodnotu atmosférického tlaku, vystoupí-li rtuť v Torricelliho trubici do výšky h = 760 mm. Teplota vzduchu je 0 ◦ C, hustota rtuti při této teplotě je % = 13596 kg · m−1 , tíhové zrychlení g = 9, 80665 m · s−2 . Odhadněte celkovou hmotnost zemské atmosféry, víte-li, že střední poloměr Země je RZ = 6375 km a většina vzduchu je koncentrována v malé výšce nad jejím povrchem (90% se nachází do 16 km nad Zemí, takže nehomogenitu tíhového pole v závislosti na výšce nemusíme uvažovat [22]). Řešení: Podle předpokladu je pa = h%g = 0, 76 · 13596 · 9, 80665 Pa = 101, 3 kPa. Celková tlaková síla, jakou působí atmosféra na Zemi, je rovna tíze atmosféry. Bude tedy pa · 4πRZ2 pa S pa · S = mg =⇒ m = = , g g kde jsme použili vztah pro výpočet povrchu koule. Po dosazení dostaneme vý. sledek m = 5 · 1018 kg.

Úloha 6.1 Písty hydraulického zařízení v zubařském křesle (princip jako na obr. 6.3) mají kruhové průřezy, průměr většího z nich, na němž je upevněno křeslo, je d1 = 20 cm, průměr menšího, upevněného k pedálu, je d2 = 5 cm. Jak velkou silou musíme zatlačit na menší píst, abychom uzvedli pacienta se sedadlem o celkové hmotnosti m = 160 kg? Vliv hydrostatického tlaku neuvažujte. Úloha 6.2 Mohl by opravář čistit filtr bazénu v hloubce 5 m pod hladinou tak, že by dýchal přes hadici, jejíž konec by byl uchycen nad hladinou? Jak velká tlaková síla by v důsledku hydrostatického tlaku působila zepředu a zezadu na plochu . jeho hrudníku (odhadem 40 cm krát 50 cm)? Hustota vody % = 1000 kg · m−3 . Úloha 6.3 Jaký hydrostatický tlak působil na rekordmana ve volném potápění Herberta Nitsche, který se roku 2006 stylem no-limits ponořil do hloubky 183 metrů? Jaký je hydrostatický tlak na dně Mariánského příkopu? Dosud nejhlubší změřený bod leží 11, 034 km pod mořskou hladinou, hustota mořské vody je . přibližně % = 1020 kg · m−3 , tíhové zrychlení g = 9, 81 ms−2 . Úloha 6.4 Jaký tlak vyjádřeno v pascalech odpovídá tlaku 1 torr? V torrech udávají tlak rtuťové barometry, 1 torr je hydrostatický tlak 1 mm rtuťového sloupce za normálních podmínek, kdy hustota rtuti je % = 13596 kg · m−1 , tíhové zrychlení g = 9, 80665 m · s−2 .

109

Úloha 6.5 Jaký je přetlak plynu v nádobě, napojené k pravému rameni otevřeného rtuťového manometru na obrázku 6.10 vlevo, je-li rozdíl hladin v ramenech h = 11 cm? pa

h

h1

p h2

Obrázek 6.10: Vlevo náčrt měření tlaku plynu v nádobě U-manometrem, úloha 6.5, vpravo rovnovážný stav dvou nemísících se kapalin v U-trubici, úloha 6.6

Úloha 6.6 V U-trubici jako na obrázku 6.10 vpravo je voda a olej. Hladina oleje je ve výšce h1 = 10 cm, hladina vody ve výšce h2 = 9, 3 cm nad společným . rozhraním. Jaká je hustota oleje? Hustota vody je % = 1000 kg · m−3 . Úloha 6.7 Jaký objem největší zaoceánské dopravní lodě Freedom of the Seas je pod mořskou hladinou, má-li při plném naložení výtlak 158 tisíc tun? Hustota . mořské vody je přibližně % = 1020 kg · m−3 . Úloha 6.8 Vzducholoď LZ 129 Hinderburg, která shořela při nehodě v roce 1937, byla plněna vodíkem. Hmotnost vzducholodě s nákladem byla až 240 tun (z toho . 112 tun bylo užitečné zatížení). Hustotu vzduchu uvažujte přibližně % = 1, 29 kg· . m−3 , vodíku %H = 0, 09 kg · m−3 (obojí je při 0 ◦ C). Jaký byl objem vodíkové náplně? Objem pevných částí vzducholodi neuvažujte. Úloha 6.9 Ve sklenici vody plove ledová kostka. Jaká část jejího objemu vyčnívá nad hladinu? Jak se změní výška hladiny vody ve sklenici poté, co kostka roztaje? Hustota ledu je %L = 900 kg · m−3 , hustota vody % = 1000 kg · m−3 . Úloha 6.10 Dřevěná kláda plove na vodě, přičemž třetina jejího objemu vyčnívá nad hladinu. Jaká je její hustota? Úloha 6.11 Nezatížený ponton plove na vodě tak, že vyčnívá nad hladinu do výšky h1 = 0, 6 m. Plocha pontonu je S = 20 m2 . Je možno pomocí něj převézt 110

nákladní automobil, jehož hmotnost je 8 tun, nesmí-li voda dosahovat výše než h2 = 0, 1 m pod okraj pontonu?

6.2.

Ustálené proudění ideální tekutiny

Popis pohybu tekutiny je složitější než popis pohybu tuhých těles, protože částice tekutiny se mohou vzájemně přemísťovat. V proudící tekutině (kapalině, plynu) si můžeme vybrat její malý element a sledovat jeho trajektorii. Prakticky to můžeme realizovat tak, že do určitého bodu, jímž prochází sledovaný element tekutiny, umístíme barvivo (u kapaliny zdroj barvy malých rozměrů, u plynu malý zdroj dýmu). Tekutina pak bude unášet částečky barviva s sebou a trajektorie bude dobře pozorovatelná. Tuto trajektorii nazveme proudnicí. Bude-li proudění tekutiny ustálené, tvar proudnic se nebude v čase měnit, po téže proudnici se budou pohybovat vždy další a další částice tekutiny. Vektor rychlosti proudění tekutiny v daném bodě je vždy tečný k příslušné proudnici, proto se také proudnice nemohou protínat. Nadále předpokládejme, že proudění je ustálené. Proudnice procházející uzavřenou křivkou tvoří proudovou trubici, tekutina uvnitř proudové trubice tvoří proudové vlákno - viz obrázek 6.11.

~v ~v 0

~v 00 ~v1

~v2 S2

S1 Obrázek 6.11: Proudnice, proudová trubice (tvořená všemi proudnicemi procházejícími hranicí zvolených průřezů) a proudové vlákno (vnitřek proudové trubice, všechny proudnice procházející zvolenými průřezy) Proudová trubice se chová jako skutečná trubice v tom smyslu, že žádná částice tekutiny, která se nachází uvnitř proudové trubice, ji nemůže opustit skrz její stěnu, a žádná částice nacházející se vně nemůže skrz ni projít dovnitř (je to důsledkem toho, že každá částice se pohybuje po nějaké proudnici a proudnice se nemohou protínat). Definujme nyní veličiny nazvané hmotnostní a objemový tok. Hmotnostní tok Qm určitým průřezem proudové trubice je hmotnost tekutiny, která proteče daným průřezem za jednotku času, Qm =

∆m . ∆t

111

Jednotkou hmotnostního toku je kg · s−1 . Objemový tok QV určitým průřezem proudové trubice je objem tekutiny, která proteče daným průřezem za jednotku času, QV =

∆V . ∆t

Jednotkou objemového toku je m3 · s−1 . Objemový tok lze vyjádřit jako QV =

∆V S∆l = = Sv, ∆t ∆t

kde ∆l je dráha, jakou urazí na daném průřezu tekutina za čas ∆t, a v je její rychlost, hmotnostní tok pak jako Qm =

∆m %∆V = = %Sv, ∆t ∆t

kde jsme hustotu tekutiny na zvoleném průřezu předpokládali konstantní. Pokud žádná částice tekutiny nemůže proudovou trubici při ustáleném proudění přes její stěnu opustit, je zřejmé, že táž tekutina musí postupně protéci všemi příčnými průřezy proudové trubice a hmotnost tekutiny, jaká proteče libovolným průřezem téže trubice za stejnou dobu musí být stejná - hmotnostní tok tekutiny všemi příčnými průřezy téže proudové trubice je stejný. Pro ideální kapalinu, která je nestlačitelná a má tedy všude stejnou hustotu, musí totéž platit i pro její objemový tok. To vyjadřují rovnice kontinuity (spojitosti) toku Rovnice kontinuity Množství tekutiny proteklé libovolným kolmým průřezem proudové trubice se zachovává. S · v · % = konst. Pro ideální kapalinu (nestlačitelnou) % = konst., takže platí platí: S · v = konst. Bernoulliova rovnice Nyní si odvodíme, jak se mění tlak v proudové trubici v závislosti na jejím průřezu. Budeme předpokládat ustálené proudění ideální kapaliny, jako na obrázku 6.12. Odvození pro plyny je podobné, ale složitější, je totiž třeba brát v úvahu i změnu jejich hustoty při změně tlaku. Předpokládejme, že kapalina proudí zleva doprava. Sledujme kapalinu, která se na začátku nachází v oblasti vymezené trubicí a průřezy S1 , kde je tlak p1 , a S2 , kde má kapalina tlak p2 . Pro rychlosti proudění kapaliny v těchto místech musí platit rovnice spojitosti, tedy S1 v1 = S2 v2 . Za krátký čas ∆t se celá kapalina posune, takže pak bude nově vymezena průřezy S10 a S20 , přičemž S10 je posunut vůči S1 o ∆l1 = v1 ∆t a S20 je posunut vůči S2 o ∆l2 = v2 ∆t. Jak se změní kinetická energie sledované části kapaliny? 112

∆l2 = v2 ∆t ∆l1 = v1 ∆t F~1

F~2 p2

~v2 S2

~v1

S20

h2 p1

h1

S1

S10

Obrázek 6.12: Odvození Bernoulliovy rovnice Stačí porovnat energie kapaliny mezi S1 , S10 a S2 , S20 , protože objem mezi S10 a S2 zaujímá tekutina na začátku i na konci a její energie zde je stejná. Hmotnost přemístěné části kapaliny je ∆m = %S1 v1 ∆t = %S2 v2 ∆t = %∆V. Mechanická energie kapaliny v první oblasti je 1 ∆E1 = ∆mv12 + ∆mgh1 , 2 mechanická energie ve druhé oblasti 1 ∆E2 = ∆mv22 + ∆mgh2 2 a jejich rozdíl musí být roven práci, kterou vykonala okolní kapalina. Ta je prací tlakových sil, v levé části působí na náš zvolený objem kapaliny doprava, ve směru jeho pohybu, tato práce tedy je kladná. V pravé části působí okolní kapalina na sledovaný objem doleva, proti směru jeho pohybu, koná tedy zápornou práci: ∆E2 − ∆E1 = F1 ∆l1 − F2 ∆l2 = p1 S1 v1 ∆t − p2 S2 v2 ∆t = (p1 − p2 )∆V. Po dosazení, zkrácení ∆V a úpravě dostaneme výsledek: 1 2 1 %v1 + %gh1 + p1 = %v22 + %gh2 + p2 . 2 2 Bernoulliova rovnice představuje zákon zachování energie pro proudící tekutinu. Člen 12 %v 2 odpovídá hustotě kinetické energie kapaliny v daném místě a označuje se jako dynamický tlak. Člen %gh odpovídá hustotě potenciální energie tíhové a tlak p, neboli statický tlak hustotě tzv. potenciální energie tlakové. 113

Bernoulliova rovnice Součet hustoty kinetické energie, hustoty potenciální energie tíhové a hustoty potenciální energie tlakové proudící kapaliny je ve všech průřezech proudové trubice stejný 1 2 %v + %gh + p = konst. 2 Zařízení upevněné na letadle na obrázku 6.13 je Pitotova trubice. Užívá se v letadlech nebo závodních autech k měření jejich rychlosti. Využívá toho, že tlak na konci trubice ohnutém proti směru proudění tekutiny je větší o hodnotu dynamického tlaku než statický tlak, který měří trubice kolmá na směr proudění (realizováno bočními otvory) – viz náčrtek vpravo. Rozdíl tlaků je tedy roven (lze-li zanedbat stlačitelnost tekutiny, jinak je třeba složitější přepočet, zejména pro rychlosti blízké rychlosti zvuku a nadzvukové rychlosti) 1 p2 − p1 = %v 2 2

p1 < p 2

~v

Obrázek 6.13: Pitotova trubice upevněná na letadle a princip její funkce Pomocí rovnice kontinuity a Bernoulliovy rovnice můžeme řešit řadu úloh, u nichž nehraje podstatnou roli vnitřní tření - viskozita tekutiny. Příklad 6.3 Desetilitrové umyvadlo napouštíme ustáleným proudem vody z kohoutku. Předpokládejte, že neobsahuje žádné vzduchové bublinky. V místě výtoku je obsah kolmého průřezu proudu vody S1 = 2 cm2 . O h = 5 cm níže je pouze S2 = 0, 9 cm2 . Za jak dlouho se naplní celé umyvadlo? Řešení: Nejprve vyjádříme objemový tok kapaliny, ten musí být podle rovnice spojitosti v obou místech stejný: QV = S1 v1 = S2 v2 . Tlak v celém proudu vody můžeme považovat za přibližně rovný tlaku atmosférickému, z Bernoulliovy rovnice (nebo i přímo ze zákona zachování energie) proto pro rychlosti proudění plyne 1 2 1 %v + %gh1 = %v22 + %gh2 , 2 1 2 114

d1 h d2

Obrázek 6.14: Proud vody vytékající z kohoutku se v důsledku zákona zachování energie zužuje neboli v22 = 2hg + v12 . Vyřešením této soustavy dostaneme pro objemový tok s 2hg , QV = S1 S2 2 S1 − S22 takže doba potřebná pro naplnění umyvadla je s V V S12 − S22 t= = , QV S1 S2 2hg po dosazení 0, 01 t= −4 2 · 10 · 0, 9 · 10−4

s

(2 · 10−4 )2 − (0, 9 · 10−4 )2 . = 100 s. 2 · 0, 05 · 9, 81

Příklad 6.4 Zařízení na obrázku (Venturiova trubice) umožňuje měřit rychlost proudící kapaliny z rozdílu výšky výstupu kapaliny v manometrických trubicích. Znáte-li tento údaj a průřezy trubic, určete rychlost proudění v1 . Řešení: Rozdílná úroveň hladin v manometrických trubicích ukazuje rozdíl tlaků v daných místech potrubí, který lze vypočítat podle vztahu pro hydrostatický tlak ∆p = ∆h%g, odkud ∆p ∆h = . %g Rozdíl tlaků lze určit z Bernoulliovy rovnice (pro vodorovnou osu trubice)
1 1 1 p1 + %v12 = p2 + %v22 =⇒ ∆p = p2 − p1 = % v12 − v22 . 2 2 2 Potřebujeme ještě určit rychlost v2 , k tomu využijeme rovnici kontinuity, odkud plyne, že S1 · v1 v2 = . S2 115

∆h h2 h1 ~v2

~v1 S1 S2

Obrázek 6.15: Venturiova trubice umožňuje určit rychlost proudění kapaliny Celkově tedy máme v u v1 = u t

2g∆h  2 S1 1− S 2

Proudění reálné tekutiny Reálné tekutiny mají své vnitřní tření - viskozitu. Mezi vrstvami tekutiny, které se vůči sobě pohybují, v důsledku toho existují smyková napětí. Nejběžněji se setkáváme s tzv. newtonovskými tekutinami, pro něž platí platí: dF dv =τ =η , dS dy kde τ je tečné napětí a η je dynamická viskozita kapaliny, její jednotkou je kg · m−1 · s−1 = N · s · m−2 = Pa · s. Viskozita významnou měrou závisí na teplotě. Funkce dv/dy vyjadřuje rychlostní spád neboli gradient rychlosti. Protože tečné napětí vzniká i mezi mezní vrstvou tekutiny a potrubím, tekutina proudící potrubím se v různých vrstvách pohybuje různou rychlostí (např. jako na obrázku 6.16) a v důsledku vnitřního tření tak klesá tlak podél potrubí. Odvození rozložení rychlostí v konkrétním profilu je však poměrně náročné a přesahuje rámec tohoto kurzu. U některých kapalin má závislost smykového napětí na viskozitě jiný průběh. Takové se nazývají nenewtonovské. Na obrázku 6.17 je závislost smykového napětí na gradientu rychlosti pro kapalinu newtonovskou (např. voda) a tzv. Binghamovu (plastickou). Ta dobře charakterizuje např. bahno nebo tzv. tekuté písky (suspenzi písku ve vodě, případně s příměsí jílu). Chůze přes takový terén je riskantní, v takové tekutině je každý pohyb obtížný, navíc už malý pohyb tělesa v tekutině směrem vzhůru vyvolá velké tečné síly působící na těleso dolů 116

y

w ~ ~v

trubice

~v

koryto

~v

F~

dy

F~ 0 ~u = ~0

Obrázek 6.16: Rozložení rychlosti proudění kapaliny mezi dvěma rovnoběžnými plochami, z nichž horní se pohybuje (obrázek vlevo, jsou naznačeny i tečné síly, jimiž působí okolní kapalina na zvýrazněnou vrstvu), v potrubí kruhového průřezu (vpravo nahoře) a v otevřeném korytě (vpravo dole) a v konečném důsledku může způsobit další zanořování tělesa. Jedinec, který v takovém prostředí uvízne, nemusí být schopen se sám vyprostit. τ

binghamovsk´a kapalina newtonovsk´a kapalina dv dy

Obrázek 6.17: Srovnání závislosti tečného napětí mezi vrstavmi kapaliny na gradientu rychlosti pro newtonovskou a plastickou (Binghamovu) kapalinu Úloha 6.12 Při povodních roku 1954 zachránila Prahu před zaplavením právě dokončovaná, ale dosud prázdná Slapská přehrada. Přehrada pojme až 0, 27 km3 vody, maximální průtok při povodni byl 2900 m3 · s−1 (25-ti letá voda, při povodních v roce 2002 byl průtok téměř dvojnásobný). Jak dlouho by trvalo, než by se přehrada při tomto průtoku zaplnila, nevypouštěla-li by vodu žádnou? Jak dlouho by to trvalo při průměrném celoročním průtoku 90 m3 · s−1 ? Úloha 6.13 Voda protéká hadicí o průřezu S1 = 3 cm2 rychlostí v1 = 2 m · s−1 . Jakou rychlostí vytéká ze zúženého nátrubku na konci hadice, jehož průřez je S2 = 1, 5 cm2 ? Jak dlouho trvá, než se dostatečně zaleje trávník, který potřebuje celkem 360 litrů vody? Úloha 6.14 Zařízení na obrázku 6.18, nazývané Prandtlova trubice, slouží k měření rychlosti proudící tekutiny, je založeno na principu měření rozdílu statického tlaku a tlaku měřeného Pitotovou trubicí. Jaká byla rychlost vzduchu vůči trubici, byl-li výškový rozdíl sloupců rtuti v U-manometru na obrázku ∆h = 8 mm? . . Hustota vzduchu je přibližně % = 1, 29 kg · m−3 , rtuti %Hg = 13596 kg · m−3 . 117

~v

∆h

Obrázek 6.18: Prandtlova trubice, úloha 6.14 Úloha 6.15 Ideální kapalina proudí vodorovným potrubím jako na obrázku 6.15. Pro porovnání tlaků je potrubí opatřeno manometrickými trubicemi. O kolik výše vystoupí hladina ve druhé manometrické trubici než v první? Rychlost kapaliny v1 = 1, 5 ms−1 , pro průřezy potrubí platí S2 = 3S1 . Úloha 6.16 Jak velkou rychlostí vytéká voda z nádoby na obrázku 6.19, je-li otvor v hloubce h = 50 cm pod volnou hladinou? Předpokládejte, že plocha volné hladiny vody v nádobě je mnohem větší než plocha výtokového otvoru (rychlost pohybu hladiny můžeme zanedbat) a uvažte, že tlak v obou místech je približně roven atmosférickému tlaku.

S1 ∆h ~v S2

Obrázek 6.19: Kapalina vytékající malým otvorem z nádoby

6.3.

Silové působení proudící tekutiny na tuhé těleso

Jedeme-li po rovině na kole, pozorujeme, že udržet si větší rychlost nás stojí mnohem více úsilí než rychlost menší. Podobně při jízdě autem po dálnici velkou rychlostí sledujeme výrazný nárůst spotřeby. Parašutista si včasným otevřením padáku zajistí dopad na zem přijatelnou rychlostí. Všechny tyto jevy jsou způsobeny odporem vzduchu. Odporové síle jsou vystavena všechna tělesa, která se pohybují v tekutině. 118

Při obtékání těles tekutinou hraje významnou roli Reynoldsovo číslo. Porovnává vliv setrvačnosti částic prostředí a viskózních sil mezi vrstvami a lze je vypočítat jako v%d Re = , η kde d je charakteristický rozměr pohybujícího se tělesa, v jeho rychlost vůči prostředí, % hustota a η dynamická viskozita prostředí. Pro hodnotu Reynoldsova čísla kolem 2300 přechází laminární (ustálené) proudění v turbulentní, kdy se proudnice trhají a vznikají víry. Při malých hodnotách Reynoldsova čísla (při malých rychlostech, Re  1) je odporová síla především důsledkem viskozity tekutiny. Odporová síla působí proti pohybu a je přímo úměrná rychlosti. Popisuje ji tzv. Stokesův vztah: F odp. = −kηlv, kde k je konstanta závisející na tvaru obtékaného tělesa, η je dynamická viskozita prostředí a l je charakteristický rozměr tělesa. Například pro kouli platí F odp. = −6πηrv. Příkladem uplatnění této závislosti může být malá kulička padající ve vysoce viskózní kapalině, jako je například glycerol (viz úloha 6.17). Použitelnost tohoto vztahu je malou přípustnou hodnotou Reynoldsova čísla velmi omezená. Při velkých hodnotách Reynoldsova čísla (při velkých hodnotách rychlosti, cca Re > 1000) má rozhodující vliv setrvačnost částic prostředí a odporová síla je úměrná druhé mocnině rychlosti. Popisuje ji tzv. Newtonův vztah: 1 F odp. = − CS%vv, 2 kde C je konstanta závisející na tvaru obtékaného tělesa, S je čelní plocha tělesa a % hustota prostředí. Uplatňuje se při pohybu dopravních prostředků, běžných těles i živočichů ve vzduchu i ve vodě. Je to ta síla, o které jsme se již zmiňovali v kapitole 4 v souvislosti s balistickou křivkou. Vzhledem k tomu, že odporová síla roste s rostoucí rychlostí, existuje v obou případech mezní rychlost, na které se např. padající těleso ustálí, ať už je jeho počáteční rychlost větší nebo menší než tato hodnota. Lze ji snadno určit z podmínky rovnováhy sil působících na těleso. Příklad 6.5 Určete mezní rychlost parašutisty o hmotnosti 100 kg (včetně padáku), dokud nemá otevřený padák. Hustota vzduchu je % = 1, 29 kg · m−3 , kontaktní čelní plochu předpokládejte S = 0, 7 m2 , součinitel C = 0, 5. Jaká je jeho dopadová rychlost s otevřeným padákem, S 0 = 36 m2 , C 0 = 1, 3? Řešení: Na parašutistu s padákem působí tíhová síla F g a proti ní odporová síla F odp. (vztlak atmosféry lze v tomto případě zanedbat). Rychlost parašutisty se ustálí, bude-li výsledná působící síla nulová, tedy F g + F odp. = 0. To bude platit, když r 1 2mg 2 =⇒ v= . mg = CS%v 2 CS% 119

F~odp.

F~g

F~odp. F~g

Obrázek 6.20: Na parašutistu padajícího mezní rychlostí působí stejně velká odporová jako tíhová síla Dosazením numerických hodnot dostaneme v prvním případě výsledek r 2 · 100 · 9, 81 . v= = 66 m · s−1 = 237 km · h−1 , 0, 5 · 0, 7 · 1, 29 ve druhém případě r 2 · 100 · 9, 81 . = 5, 7 m · s−1 = 20, 5 km · h−1 . v= 1, 3 · 36 · 1, 29

Díky existenci odporové síly mohou létat letadla těžší než vzduch. Na obrázku 6.21 jsou zachyceny síly působící na letadlo - tíhová síla F g , aerodynamická síla odporu vzduchu F a , která je rozdělena na složku dynamického vztlaku F av a brzdnou složku F ab , a tahová síla, zabezpečovaná prostřednictvím pohonu letadla (mechanismy pohonu mohou být různé, většinou ale opět využívají interakce s okolním vzduchem). Vzduch obtéká křídlo letadla a interakcí s ním je urychlován směrem šikmo dolů, podle III. Newtonova zákona přitom vzduch naopak působí na letadlo směrem šikmo nahoru. Významnou roli přitom hraje viskozita vzduchu a jeho adheze ke křídlu letadla. Obtékání křídla a velikost podtlaku a přetlaku na křídle jsou naznačeny na obrázku vlevo. Tlakové změny zachycuje tečkovaná křivka, čím dále od křídla je zakreslena, tím je v daném místě podtlak nebo přetlak větší. Rozložení tlaku silně závisí na úhlu náklonu křídla. Podobný profil obtékání vzduchem má také deska šikmo postavená ke směru proudícího vzduchu. Proto je možné, například v leteckém modelářství, použít křídla obdélníkového profilu šikmo vytočená nahoru ve směru pohybu, nebo v letecké akrobacii křídla symetrického průřezu. 120

F~av

F~a

F~t

podtlak

F~ab

α F~g pˇretlak

Obrázek 6.21: Síly působící na letadlo, obtékání letadla a křídla okolním vzduchem a změna tlaku v okolí křídla Výsledná síla, jíž vzduch působí na křídlo, je integrálem z tlaku přes celou plochu křídla Z F a = − pdS kde dS je nekonečně malá ploška křídla násobená jednotkovým normálovým vektorem orientovaným ven z křídla. Klíčovými zákony, uplatňujícími se při odvození obtékání letadla vzduchem, jsou rovnice kontinuity, zákon zachování energie a zákon zachování hybnosti. Aerodynamický vztlak je dán množstvím odkloněného vzduchu a změnou jeho svislé složky rychlosti, tyto parametry jsou zase ovlivněny rychlostí letadla vůči vzduchu, náběhovým úhlem, hustotou vzduchu a konstrukcí letadla. Nastíněné vysvětlení obtékání křídla proudem vzduchu je velmi zjednodušené, ve skutečnosti je potřeba například rozlišovat laminární a turbulentní proudění vzduchu, cirkulaci vzduchu kolem křídla, stlačitelnost vzduchu při větších rychlostech a další jevy související s pohybem tekutin. Matematické řešení je velmi složité. Podrobný populární výklad dané problematiky a názorné animace je možno nalézt na webových stránkách [23]. Úloha 6.17 K měření viskozity kapalin se mimo jiné používá i tělískový viskozimetr. Jaká je viskozita použité kapaliny, ve které se padající skleněná kulička ustálí na rychlosti v = 1, 8 mm · s−1 ? Průměr kuličky je d = 2 mm, její hustota % = 2500 kg · m−3 , hustota kapaliny %0 = 1260 kg · m−3 . Ověřte, že výsledek, který obdržíte, umožňuje výpočet podle Stokesova vztahu. Úloha 6.18 Nebezpečí úrazu a škod způsobených velkými padajícími kroupami souvisí mimo jiné s tím, že mezní rychlost velkých krup je podstatně větší než 121

rychlost těch malých. Vypočtěte mezní rychlost ledové kroupy kulového tvaru (předpokládejte odporovou konstantu C = 0, 5) pro poloměr r1 = 2 mm a pro poloměr r2 = 2 cm. Hustota ledu je % = 920 kg · m−3 , hustota vzduchu je %0 = 1, 29 kg · m−3 , statický vztlak zanedbejte. Úloha 6.19 Prší a je téměř bezvětří. Na sklo vlaku jedoucího rychlostí u = 60 km · h−1 dopadají dešťové kapky pod úhlem α = 60◦ vůči svislému směru. Určete rychlost a poloměr dešťové kapky. Hustotu vody uvažujte % = 1000 kg · m−3 , hustota vzduchu je %0 = 1, 29 kg · m−3 .

122

Kapitola 7 Tepelné děje Proč v zimě nevydržíme sedět na kovové lavičce v parku? Vyřeší energetickou krizi perpetuum mobile? Jak moc je „horkýÿ vzduch v horkovzdušném balonu? Jak pracuje parní stroj, tepelné čerpadlo nebo lednička? Jak funguje benzínový motor? Po prostudování této kapitoly byste měli umět • převádět teplotu mezi Termodynamickou a Celsiovou teplotní stupnicí, • popsat, co zahrnuje veličina nazvaná vnitřní energie a na příkladu vysvětlit, jak ji lze měnit konáním práce nebo tepelnou výměnou, • slovně i matematicky zformulovat zákon zachování energie pro termodynamickou soustavu, • zapsat stavovou rovnici ideálního plynu, • nakreslit p-V diagram pro děj izotermický, izochorický, izobarický a adiabatický, • definovat izochorickou a izobarickou tepelnou kapacitu, • řešit jednoduché úlohy využívající zákona zachování energie a stavové rovnice ideálního plynu.

7.1.

Termodynamická soustava, teplota, vnitřní energie a její změny

Na obrázku 7.1 vidíte model parního stroje. Snaha o optimalizaci účinnosti tepelných strojů, jejichž účelem bylo vykonat co největší práci při co nejmenší 123

Obrázek 7.1: Funkční model parního stroje spotřebě paliva, vedla v 19. století ke vzniku nového vědního oboru – termodynamiky. Termodynamika se zabývá studiem vzájemných přeměn různých forem energie nejen mechanické povahy (vnitřní energie, práce, teplo) a její výměnou mezi tělesy, nebo systémy těles, zejména v souvislosti se změnou jejich teploty. Zvolené těleso nebo soustavu těles (například plyn a nádobu, v níž je uzavřen), označujeme jako termodynamický systém nebo termodynamickou soustavu, vše ostatní jako jejich okolí. Vnitřní energie a tepelná výměna V kapitole 5 jsme se podrobně věnovali možnostem změny energie těles konáním mechanické práce. Na těleso působila určitá síla po určité dráze, a to tak změnilo svou kinetickou nebo potenciální energii. V souvislosti s třecí silou jsme se seznámili i s možností přeměny energie na jinou formu než mechanickou: táhneme-li bednu konstantní rychlostí po podlaze, konáme práci, aniž by rostla mechanická energie bedny. Podlaha a dno bedny se při tom zahřívají – roste jejich vnitřní energie. Bednu ale můžeme zahřát i jinak – dáme-li ji v létě na slunce nebo dáme-li ji do kontaktu s jiným, teplejším tělesem. Při těchto dějích se práce (alespoň z makroskopického hlediska) nekoná, vnitřní energie bedny se přesto mění. Je to důsledkem tepelné výměny. Vnitřní energie termodynamické soustavy U zahrnuje kinetickou energii neuspořádaného pohybu jednotlivých částic, z nichž je složena, a jejich vzájemnou potenciální energii. Vnitřní energii lze měnit tepelnou výměnou nebo konáním práce. Tepelná výměna neboli výměna energie ve formě tepla Q se může odehrávat 124

pouze mezi tělesy (případně soustavami), která mají různou teplotu. Teplejší těleso při vzájemném kontaktu předává tepelnou energii tělesu chladnějšímu. To se projeví poklesem teploty teplejšího a nárůstem teploty chladnějšího tělesa. Po dostatečně dlouhé době se jejich teploty vyrovnají a celý systém se pak nachází ve stavu tepelné rovnováhy. Rychlost tohoto děje silně závisí na konkrétních podmínkách a mechanismu přenosu tepla mezi tělesy. K tepelné výměně může docházet vedením – u přímého kontaktu těles prostřednictvím vzájemné interakce jejich molekul, prouděním – pohybem např. okolního vzduchu, nebo sáláním – prostřednictvím elektromagnetického záření. Kovová lavička je dobrý tepelný vodič a proto za mrazu rychle přijímá teplo od člověka, který na ni usedne. Jeho tělo se tak ve sedacích partiích velmi rychle ochlazuje. Podobně vítr (silné proudění vzduchu) za mrazu výrazně zvyšuje riziko vzniku omrzlin nechráněných částí těla oproti bezvětří. Pro úplnost je třeba dodat, že ne vždy se změna vnitřní energie systému projeví změnou jeho teploty. Typickým příkladem nárůstu nebo poklesu vnitřní energie tělesa při konstantní teplotě jsou skupenské změny. Podívejte se na následující příklad. Příklad 7.1 Kolik tepla je třeba dodat ledové kostce o teplotě 0 ◦ C (teplota tání ledu) a hmotnosti 0, 2 kg, aby zcela roztála? Měrné skupenské teplo tání ledu je lt = 334 kJ · kg−1 . Řešení: Měrné skupenské teplo tání udává, kolik tepla je třeba dodat na 1 kg dané látky, jež má teplotu tání, aby změnila své skupenství z pevného na kapalné o stejné teplotě. V našem případě to znamená, že by se 1 kg ledu o teplotě 0 ◦ C změnil na 1 kg kapalné vody o teplotě 0 ◦ C. Pro jiné množství zjistíme odpovídající teplo přímou úměrou Q = m · lt = 0, 2 · 334 · 103 J = 66, 8 · 103 J = 66, 8 kJ. Teplotní stupnice V běžném životě teplotu nejčastěji vyjadřujeme v jednotkách Celsiovy teplotní stupnice a značíme ji t. Je založena na dvou základních teplotách: teplotě tání ledu (t = 0 ◦ C) a teplotě varu vody (t = 100 ◦ C) za normálního tlaku. Tento interval je rozdělen na sto stejných dílků, z nichž každý odpovídá změně o jeden stupeň Celsia. V termodynamice budeme ještě častěji pracovat s fyzikálně významnější tzv. absolutní, neboli Kelvinovou či termodynamickou teplotní stupnicí. Teplotu měřenou v této stupnici je zvykem označovat symbolem T . Základní jednotkou termodynamické teploty je kelvin (K). Teplota T = 0 K odpovídá fyzikálně nejnižší možné hodnotě teploty (absolutní nule). Této teploty nelze prakticky dosáhnout, lze se jí jen přiblížit. V její blízkosti se zásadně mění vlastnosti materiálů - určitě už jste se setkali s pojmy jako supravodivost či supratekutost. Základním bodem termodynamické stupnice je tzv. trojný bod vody, teplota, při níž se v rovnováze nachází voda ve skupenství pevném, kapalném i plynném. 125

Trojnému bodu vody je přiřazena teplota T = 273, 16 K. Jeden kelvin je definován jako 1/273,16 termodynamické teploty trojného bodu vody. Je základní jednotkou soustavy SI. Převod mezi Celsiovou a Kelvinovou stupnicí je následující: t = ({T } − 273, 15) ◦ C T

= ({t} + 273, 15) K

Vidíme tedy, že změna teploty o 1 K je stejná jako změna teploty o 1 ◦ C (hodnota 273,16 K byla pro trojný bod vody zvolena právě proto, aby se velikosti dílků obou stupnic shodovaly). Změna teploty se na látkách a tělesech projeví změnou různých jejich charakteristik, toho také při měření teploty využíváme. Teplotní roztažnosti kapalin využívá například rtuťový nebo lihový teploměr, teplotní roztažnosti pevných látek bimetalový pásek, odporové teploměry vyhodnocují změnu odporu kovu nebo polovodiče s teplotou, pyrometry zase změny tepelného záření tělesa. Zákon zachování energie při termodynamickém ději Nyní již můžeme rozvážit, jak spolu souvisejí změna vnitřní energie termodynamického systému, teplo přijaté od okolí a práce, jakou systém na okolí vykonal. Nejprve předpokládejme, že se vnitřní energie systému U mění pouze výměnou tepla Q s okolím. Teplo považujeme za kladné, Q > 0, pokud je dodáno do systému z okolí (například pomocí vařiče nebo kontaktem s nějakým jiným teplejším tělesem), naopak, předává-li systém teplo do okolí, bude Q < 0. Pak změna vnitřní energie systému bude přímo rovna přijatému teplu: ∆U = Q. Nyní předpokládejme, že systém je adiabaticky izolován od okolí, to znamená, že si s ním nevyměňuje energii ve formě tepla. Jeho vnitřní energie U se tedy mění pouze konáním práce W . Práci, kterou koná okolí na systému, považujeme za zápornou, W < 0 (například stlačíme-li plyn v hustilce). Naopak práci, kterou koná systém na okolí, bereme jako kladnou, W > 0 (např. rozpínající se plyn nadzdvihne píst). Změna vnitřní energie systému je pak rovna ∆U = −W . Uvážíme-li změnu vnitřní energie systému tepelnou výměnou i konáním práce současně (např. plyn v nádobě s pohyblivým pístem budeme zahřívat a ten bude zvedat píst), dostáváme první termodynamický zákon: První věta termodynamická Změna vnitřní energie systému ∆U je rovna rozdílu tepla Q dodaného z okolí do systému a práce W vykonané systémem na okolí ∆U = Q − W. První termodynamický zákon je dalším ze zákonů zachování energie. Připomeňme ještě, že jednotkou tepla, práce i vnitřní energie je joule (J). Vnitřní energie je stavová veličina. Je jednoznačně dána stavem systému, stejně jako například jeho teplota, tlak nebo objem. Naproti tomu práce a teplo jsou veličiny 126

nestavové, vyjadřující výměnu energie mezi systémem a okolím. Příklad 7.2 Na obrázku 7.2 je jednoduchý příklad zařízení, schopného při dodání tepla vykonat práci (vyzvednout závaží). Nádoba s volně pohyblivým, ale těsnícím pístem je naplněna vodní párou, na pístu plochy S = 200 cm2 je položeno závaží tíhy G = 500 N. Při dalším ohřívání přijme nádoba s parou teplo Q = 500 J, píst se přitom posune nahoru o ∆x = 5 cm. Jaký je tlak páry na píst? Jak velkou práci vodní pára na závaží vykonala a jaká přitom byla změna vnitřní energie ∆U soustavy nádoba-vodní pára? Hmotnost pístu zanedbejte.

F~

∆x S

Q Obrázek 7.2: Vodní pára v nádobě uzavřené pohyblivým pístem se při zahřívání rozpíná a koná práci zvedáním závaží Řešení: Tlak páry je podílem tlakové síly, jíž na sebe působí píst a vodní pára, a plochy. Tlaková síla je rovna tíze závaží a tlakové síle, jíž působí na píst atmosféra (předpokládejme normální hodnotu atmosférického tlaku), takže   F G + pa S G 500 3 p= = = + pa = + 101 · 10 Pa = 126 kPa. S S S 200 · 10−4 Rozpínající se vodní pára překonává tlak vzduchu a konstantní tíhu závaží na pístu, působí tedy na píst a závaží konstantní silou F = G + pa S, práci pak lze vypočítat podle vztahu
W = F · ∆x = (G + pa S) · ∆x = 500 + 101 · 103 · 200 · 10−4 · 5 · 10−2 J = 126 J. Z první věty termodynamické plyne, že změna vnitřní energie soustavy se rovná rozdílu tepla Q odevzdaného okolními tělesy soustavě a práce W vykonané soustavou na okolí, ∆U = Q − W. Změna její vnitřní energie tedy bude ∆U = Q − W = (500 − 126) J = 374 J. 127

Z celkové práce vykonané vodní párou se 25 J využije na nárůst potenciální energie tíhové závaží, o zbytek vzroste energie okolního vzduchu. Práce konaná rozpínajícím se plynem Všimněte si, že práci vykonanou rozpínající se párou jsme mohli vyjádřit také jako W = F · ∆x = pS∆x = p∆V , kde ∆V odpovídá nárůstu objemu páry. Toto vyjádření lze zobecnit i pro případy, kdy se tlak rozpínajícího se plynu a tedy i tlaková síla plynu na píst mění. Stejně jako jsme postupovali v kapitole 5 při výpočtu práce proměnné síly, vyjádříme si opět infinitesimální práce vykonané při nekonečně malých posunutích pístu dW = F dx = p dV a celkovou práci jako jejich součet – integrál přes všechna tato posunutí. Práce W vykonaná systémem rozpínajícím se z objemu V1 na objem V2 na okolí je rovna Z V2

W =

p dV.

(7.1)

V1

Integrujeme tlak jako funkci objemu p(V ) od jeho výchozí hodnoty V1 do jeho koncové hodnoty V2 . Zakreslíme-li závislost tlaku na objemu při uvažovaném ději, bude práce vykonaná plynem odpovídat ploše vymezené křivkou p = p(V ) a přímkami p = 0, V = V1 a V = V2 . Bude kladná, bude-li se plyn rozpínat, a záporná, bude-li se jeho objem zmenšovat.

p

p 2

1

W <0

W >0 2

V1

V2

1

V

V2

V1

V

Obrázek 7.3: Práce vykonaná rozpínajícím se plynem je rovna ploše pod křivkou

Úloha 7.1 Nejvyšší teplota vzduchu na Zemi, naměřená v Africe, byla 58 ◦ C. Nejnižší, naměřená v Antarktidě, byla -88 ◦ C. Určete rozdíl těchto teplot ve stupních Celsia. Jaké jsou odpovídající termodynamické teploty a jejich rozdíl? Výsledky uvádějte zaokrouhlené na celé stupně. Úloha 7.2 Trojný bod vody má termodynamickou teplotu T = 273, 16 K. Jaká je jeho teplota t vyjádřená ve stupních Celsia? 128

Úloha 7.3 Jak se změní vnitřní energie vzduchu v hustilce uzavřené pístem, stlačíme-li píst prudce o ∆x = 20 cm? Průměrná velikost síly, jakou píst působil na vzduchový sloupec, byla F = 30 N.

7.2.

Stavová rovnice ideálního plynu

Než se budeme hlouběji zabývat změnami vnitřní energie systémů tepelnou výměnou a konáním práce, přiblížíme si nejprve některé vlastnosti plynných těles. V této podkapitole se budeme zabývat změnami termodynamického stavu ideálního plynu. Jak jsme již uvedli v kapitole 6, ideální plyn je dokonale tekutý a dokonale stlačitelný. Ačkoli jde o idealizovaný model, za běžných podmínek (teplota kolem 300 K, tlak kolem hodnoty běžného atmosférického tlaku 100 kPa) můžeme chování reálného plynu popsat pomocí tohoto modelu s dobrou přesností. Nyní si chování ideálního plynu trochu přiblížíme z pohledu jeho vnitřní, částicové struktury. Plyn je tvořen chaoticky se pohybujícími volnými molekulami. U ideálního plynu předpokládáme, že molekuly mají zanedbatelné rozměry, mimo srážky na sebe nepůsobí a srážky molekul se stěnami nádoby a mezi molekulami navzájem jsou dokonale pružné. Protože popisovat množství plynu např. v nádobě počtem jeho molekul by bylo vzhledem k velmi vysokým hodnotám nepohodlné, a také z historických důvodů, kdy tyto počty ještě nebyly známy, zavádí se jednotka látkového množství – mol. Znáte ji již z úvodní kapitoly, patří k základním jednotkám SI. Připomeňme si její definici: mol je látkové množství obsahující tolik elementárních jednotek, jako je atomů v 0,012-ti kilogramech nuklidu uhlíku 12 6 C. Při popisu dějů v plynu budou těmito elementárními jednotkami jeho molekuly. Můžeme pak také vyjádřit hmotnost jednoho molu plynu. Molární hmotnost Molární hmotnost M plynu je rovna podílu jeho celkové hmotnosti m a jeho látkového množství n: m M= . n Molární hmotnosti plynů lze přibližně vyjádřit na základě znalosti struktury jejich molekul a atomů, přesné hodnoty lze nalézt v tabulkách. Z předpokladu, že molekuly ideálního plynu na sebe mimo srážky nepůsobí, plyne, že vnitřní energie ideálního plynu je tvořena pouze vnitřní energií kinetickou, související s neuspořádaným pohybem molekul. Jednotlivé molekuly se pohybují různými rychlostmi co do směru i velikosti, tyto rychlosti se při srážkách mění. Co do směru je rozložení rychlostí rovnoměrné. Je-li plynné těleso z makroskopického pohledu v klidu, pohybuje se ve všech směrech v libovolném okamžiku zhruba stejný počet molekul. Rozložení rychlostí co do velikosti rovnoměrné není, jen málo molekul se pohybuje velmi rychle nebo velmi pomalu. S rostoucí teplotou plynu rychlosti molekul rostou. Pokud bychom vypočítali střední hodnotu kvadrátu velikosti rychlosti všech molekul, zjistili bychom, že je 129

(za běžných podmínek) přímo úměrná termodynamické teplotě plynu. Protože kinetická energie jednoatomové molekuly o hmotnosti m a velikosti rychlosti v je rovna Ek = 12 mv 2 , bude i vnitřní energie plynu tvořeného jednoatomovými molekulami přímo úměrná teplotě. K analogickému výsledku bychom dospěli i pro plyny tvořené víceatomovými molekulami, k jejichž vnitřní energii přispívá ještě energie rotace. Vnitřní energie ideálního plynu je za běžných podmínek přímo úměrná jeho termodynamické teplotě. p~ = m(vx, vy , vz ) y

x

p~ 0 = m(−vx, vy , vz )

z

Obrázek 7.4: Molekula ideálního plynu při nárazu na stěnu nádoby mění svou hybnost Nyní si přiblížíme původ tlaku plynu. Představme si ideální plyn uzavřený v nádobě. Je tvořen velkým počtem molekul, které nádobu rovnoměrně vyplňují a pohybují se ve všech možných směrech. Tlak na stěnu nádoby (nebo libovolnou jinou plošku, kterou bychom mohli do nádoby vsunout) vzniká v důsledku nárazů jednotlivých molekul na tuto stěnu. Z definice víte, že tlak je roven podílu tlakové síly a plochy, na niž tato síla působí. Podívejme se třeba na stěnu kolmou k ose x. Molekula o hmotnosti m a rychlosti ~v = (vx , vy , vz ) změní při pružné srážce s pevnou stěnou nádoby svou rychlost na ~v 0 = (−vx , vy , vz ). Její x-ová složka hybnosti se změní o ∆p = 2mvx . Tato změna hybnosti je způsobena silou, kterou po dobu srážky působí na molekulu stěna nádoby. Podle III. Newtonova zákona zákona akce a reakce působí po stejnou dobu molekula na stěnu silou stejně velkou, ale opačně orientovanou. Protože je v nádobě velmi velký počet molekul, působí zde na libovolnou plošku ∆S časově prakticky konstantní výsledná tlaková síla ∆F . Naměříme na ní tedy stálý tlak p = ∆F/∆S. Je zřejmé, že bude-li ve stejné nádobě při stejné teplotě větší počet molekul, vzroste úměrně tomu i počet jejich nárazů na stěnu za časovou jednotku a v důsledku toho i tlak. Podobně zmenšíme-li objem nádoby při zachování počtu molekul. Rovněž zahřátím plynu v nádobě jeho tlak na stěnu při stejném objemu a počtu částic plyn vzroste. Jednak vzroste průměrná rychlost molekul, takže jich za časovou jednotku stihne dorazit ke stěně a narazit na ni více, jednak bude ze stejného důvodu větší i průměrná změna jejich hybnosti a tedy i síla, kterou na stěnu během srážky působí. Kvantitativní rozbor založený na výše uvedených úvahách (který ovšem pře130

sahuje rámec přípravného kurzu) vede k následujícímu výsledku. Stavová rovnice ideálního plynu Pro ideální plyn o látkovém množství n, objemu V , tlaku p a termodynamické teplotě T platí p V = n R T, kde R je tzv. molární plynová konstanta, R = 8, 31 J · K−1 · mol−1 (patří k základním fyzikálním konstantám). Poznámka: Všimněte si, že ve stavové rovnici vystupuje termodynamická teplota T (v kelvinech), nelze ji zaměnit Celsiovou teplotou t. Ze stavové rovnice ideálního plynu je zřejmé, že i tehdy, budeme-li studovat pouze uzavřené systémy (nedochází k výměně částic s okolím, tedy n = konst.), stále zde ještě zbývají tři proměnné veličiny - tlak, objem a teplota. Pro úplný popis termodynamických dějů v plynech je proto třeba blíže specifikovat, jakým způsobem děj probíhal. Nejjednodušší je popis dějů, při nichž je některá z výše uvedených veličin konstantní. Tyto případy jsou: • děj izobarický, tj. probíhající za konstantního tlaku, • děj izochorický, tj. probíhající za konstantního objemu, • děj izotermický, tj. probíhající za konstantní teploty. Děj izobarický Izobarický děj je děj, při němž se nemění tlak plynového tělesa, p = konst. Lze jej realizovat například tak, že plyn uzavřeme v nádobě s pístem, který je volně pohyblivý ve svislém směru, ale přitom dobře těsní (jako v příkladu 7.2). Hodnotu požadovaného tlaku můžeme regulovat zatížením pístu.

T p =konst.

p

V

2 1

V

2

1

T

V

Obrázek 7.5: Izobarický ohřev ideálního plynu Při experimentu na obrázku 7.5 dodáváme plynu teplo prostřednictvím vařiče. Budeme pozorovat současný nárůst teploty a objemu plynového tělesa. Ze stavové rovnice plyne, že při konstantním tlaku bude objem plynového tělesa růst přímo úměrně teplotě: V ∝ T . Z p-V diagramu a ze vztahu 7.1 je zřejmé, 131

že práci vykonanou plynem při izobarickém rozpínání lze jednoduše vyjádřit jako W = p(V2 − V1 ). Děj izochorický Izochorický děj je děj, při němž se nemění objem plynového tělesa, V = konst. Lze jej realizovat tak, že plyn uzavřeme do nádoby s pevnými stěnami.

T p

p 2

2

1

V =konst.

1

p T

V

Obrázek 7.6: Izochorický ohřev ideálního plynu Při zahřívání plynového tělesa v uspořádání na obrázku 7.6 bychom pozorovali nárůst tlaku – kapalina v manometru by se přesouvala do otevřeného ramene. Ze stavové rovnice plyne, že při konstantním objemu bude tlak plynového tělesa růst přímo úměrně teplotě: p ∝ T . Z p-V diagramu je zřejmé, že při izochorickém ději plyn práci nekoná, W = 0. Děj izotermický Izotermický děj je děj, při němž se nemění teplota plynového tělesa, T = konst. Lze jej realizovat tak, že nádoba s plynem je v tepelném kontaktu s termostatem a děj probíhá dostatečně pomalu na to, aby se teplota plynu stačila neustále vyrovnávat s teplotou termostatu. Ze stavové rovnice plyne, že při konstantní teplotě bude tlak plynového tělesa nepřímo úměrný jeho objemu: p ∝ 1/V . Práce W vykonaná systémem rozpínajícím se izotermicky z objemu V1 na objem V2 na okolí je rovna Z

V2

Z

V2

p dV = nRT

W = V1

V1

1 V2 dV = nRT ln . V V1

(7.2)

Příklad 7.3 Moderní vzducholodě (používané například i pro reklamní účely) a balony využívají plnění horkým vzduchem místo heliem či vodíkem. Typická vzducholoď má objem V = 3500 m3 a maximální vzletovou hmotnost (mimo vzduchové náplně) asi mz = 900 kg. Přetlak v obalu nepřesahuje 150 Pa, lze jej 132

p 2

V 1

p T =konst.

V

Obrázek 7.7: Izotermická komprese ideálního plynu vzhledem k atmosférickému tlaku v prvním přiblížení zanedbat. Jakou teplotu t musí mít vzduch v obalu, aby mohla horkovzdušná vzducholoď letět? Teplota okolního vzduchu je t0 = 20 ◦ C, atmosférický tlak p = 101 kPa, molární hmotnost vzduchu je M = 29 g · mol−1 , objem pevných částí vzducholodě zanedbejte. Řešení: Vzducholoď je nadnášena vztlakovou silou rovnou tíze vzduchu o objemu rovném objemu vzducholodě. Ta musí kompenzovat i tíhu vzduchové náplně balonu, takže mg + V %g = V %0 g, kde %0 je hustota okolního vzduchu a % je hustota vzduchu v obalu. Ty můžeme vyjádřit ze stavové rovnice ideálního plynu, pro vzduch uvnitř obalu m RT M

pV = nRT =

−→ % =

m Mp = V RT

a pro libovolný vzorek vzduchu mimo vzducholoď pV 0 = n0 RT 0 =

m0 Mp m0 RT 0 −→ %0 = 0 = . M V RT 0

Po dosazení a úpravě dostaneme m+

M pV M pV = , RT RT 0

odtud  T =

1 Rm − 0 T M pV

−1

 =

1 8, 31 · 900 − 293 0, 029 · 101 · 103 · 3500

−1

. K = 373 K

. a t = 100 ◦ C. Obaly jsou z materiálu, který vydrží teplotu do cca 120 ◦ C. Úloha 7.4 Vypočtěte, jaký objem zaujme 1 mol libovolného plynu za normálních podmínek, tj. t = 0 ◦ C, p = 101, 3 kPa. Je to tzv. normální molární objem. 133

Úloha 7.5 Vypočtěte hustotu vzduchu a) u hladiny moře při teplotě t1 = 0 ◦ C, p1 = 101, 3 kPa, b) na vrcholu Mount Everestu při teplotě t = −25 ◦ C, p = 30 kPa. Molární plynová konstanta je R = 8, 31 J · K−1 · mol−1 , molární hmotnost vzduchu M = 29 g · mol−1 . Úloha 7.6 Jaký bude tlak vzduchu v raftovém člunu, vyhřeje-li se na slunci na 50 ◦ C, když při 17 ◦ C byl 450 kPa? Rozměry komor se mění jen zanedbatelně. Úloha 7.7 Jaké teplo odebere 1 mol ideálního plynu z ohřívače, expanduje-li izotermicky na dvojnásobek svého původního objemu? Teplota plynu je T = 400 K. Úloha 7.8 Plyn v nádobě uzavřené volně pohyblivým, ale těsnícím pístem, zvětšil svůj objem izobaricky o polovinu. Jaká byla jeho výsledná teplota, byla-li počáteční teplota rovna t1 = 27 ◦ C?

7.3.

Tepelné kapacity, Poissonova konstanta

Měrná a molární tepelná kapacita Jak jsme uvedli v úvodu této kapitoly, chceme-li zvýšit teplotu tělesa, musíme mu dodat určité teplo. Budeme nyní uvažovat pouze děje, při nichž se nemění skupenství. Potřebné množství tepla závisí na tom, o jaké těleso se jedná, z jakého je materiálu a jakou má hmotnost. Oba tyto parametry zohledňuje tepelná kapacita tělesa. Tepelná kapacita tělesa udává, jaké teplo mu musíme dodat, aby se jeho teplota zvýšila o 1 ◦ C (což je totéž, jako o 1 K). Tepelná kapacita tělesa z určitého materiálu je přímo úměrná jeho hmotnosti. Proto je užitečné definovat veličinu nazvanou měrná tepelná kapacita. Měrná tepelná kapacita c materiálu udává, jaké teplo musíme dodat na 1 kg tělesa z tohoto materiálu, aby se jeho teplota zvýšila o 1 K. Její jednotkou je J · kg−1 · K−1 . Chceme-li zvýšit teplotu tělesa o hmotnosti m tvořeného materiálem o měrné tepelné kapacitě c o ∆t, musíme mu dodat teplo Q = mc∆t. Hodnoty měrných tepelných kapacit různých materiálů lze nalézt v tabulkách. Místo tepelné kapacity vztažené na jednotku hmotnosti můžeme zavést tepelnou kapacitu vztaženou na 1 mol, využívá se toho především u plynných těles. Tu nazýváme molární tepelná kapacita. Molární tepelná kapacita C materiálu udává, jaké teplo musíme dodat na 1 mol tělesa z tohoto materiálu, aby se jeho teplota zvýšila o 1 K. Její jednotkou je J · mol−1 · K−1 . Chceme-li zvýšit teplotu tělesa o látkovém množství n tvořeného materiálem o molární tepelné kapacitě C o ∆t, musíme mu dodat teplo Q = nC∆t. 134

Až dosud jsme neuvažovali o tom, že tepelná kapacita může záviset i na průběhu děje, při kterém dochází k výměně tepla mezi tělesem a okolím. S tímto přístupem za běžných podmínek (normálního tlaku) vystačíme u pevných a kapalných těles. U plynných těles, která snadno mění svůj objem, je situace složitější. Jinou tepelnou kapacitu změříme, budeme-li zahřívat plyn uzavřený v pevné nádobě, a jinou, budeme-li jej zahřívat v nádobě s pohyblivým pístem. Je to proto, že ve druhém případě bude jen část přijatého tepla využita ke změně vnitřní energie plynu, nezanedbatelná část bude spotřebována na konání práce. Věnujme se dále ideálnímu plynu. Je zřejmé, že nemá smysl mluvit o tepelné kapacitě plynu u děje adiabatického, kdy systém nevyměňuje teplo s okolím, ani izotermického, kdy je teplota systému konstantní. Při izochorickém ději je objem plynu konstantní, plyn nekoná práci a z prvního termodynamického zákona pak plyne, že veškeré přijaté teplo Q je využito k nárůstu vnitřní energie U systému, přímo úměrnému nárůstu teploty T . Pak bude platit Q = ∆U = mcV ∆T, kde m je hmotnost plynu a cV jeho měrná tepelná kapacita při izochorickém ději (měrná izochorická tepelná kapacita). Hodnoty měrné izochorické tepelné kapacity pro různé plyny lze přibližně odhadnout na základě jejich struktury, přesnější hodnoty lze nalézt v tabulkách. Obdobně pomocí molární izochorické tepelné kapacity CV lze teplo potřebné k izochorickému ohřátí látkového množství n plynu o ∆T vyjádřit jako Q = ∆U = nCV ∆T. Vzhledem k tomu, že vnitřní energie ideálního plynu je stavová veličina a závisí jednoznačně na teplotě, její přírůstek s teplotou bude při libovolném ději roven ∆U = mcV ∆T = nCV ∆T. Pokud budeme plyn zahřívat izobaricky, ze stavové rovnice plyne, že se bude rozpínat, např. působením tlakové síly bude posouvat vzhůru pohyblivý píst. Přitom koná práci W , na kterou spotřebuje část dodaného tepla, pouze část tepla využije k nárůstu své vnitřní energie o ∆U . Proto při tomto ději bude stejný plyn na ohřátí o stejnou teplotu ∆T potřebovat dodat více tepla Q. Toto můžeme opět vyjádřit jako Q = mcp ∆T, kde m je hmotnost plynu a cp jeho měrná tepelná kapacita při izobarickém ději (měrná izobarická tepelná kapacita). Hodnoty měrné izobarické tepelné kapacity pro různé plyny lze opět přibližně odhadnout na základě jejich struktury a přesné hodnoty nalézt v tabulkách. Obdobně pomocí molární izochorické tepelné kapacity Cp lze teplo potřebné k izochorickému ohřátí látkového množství n plynu o 135

∆T vyjádřit jako Q = nCp ∆T. Ze základní rovnice termodynamiky a stavové rovnice přitom plyne, že Q = nCp ∆T = ∆U + W = nCV ∆T + p∆V = nCV ∆T + nR∆T, odkud dostáváme užitečný vztah vyjadřující souvislost mezi molární izobarickou a izochorickou tepelnou kapacitou Cp = CV + R, známý jako tzv. Mayerův vztah. Adiabatický děj Při adiabatickém ději si systém nevyměňuje teplo s okolím. Může to být zajištěno buď tak, že systém je od okolí dokonale tepelně izolován (něčemu takovému se snaží přiblížit termosky), nebo probíhající děj je natolik rychlý, že si systém prakticky nestačí vyměňovat teplo s okolím (to lze předpokládat v určitých fázích práce motoru, ale i třeba pro šíření zvukové vlny prostředím). Mezi tlakem a objemem je u adiabatického děje jednoduchá souvislost, kterou si nyní odvodíme (postup si nemusíte pamatovat, ale pro případné zájemce jej zde uvedeme). Ze základní rovnice termodynamiky pro infinitesimální změny energie u adiabatického děje plyne (uvažujme 1 mol plynu) 0 = dQ = dU + dW = CV dT + pdV . Tlak i objem se při tomto ději mění s teplotou, takže formální derivací stavové rovnice pro jeden mol plynu pV = RT podle teploty dostaneme p

dV dp + V = R, dT dT

vynásobením celé rovnice dT a dosazením za tento člen z první rovnice dostaneme po úpravě   R p 1+ dV + dp V = 0, CV využitím Mayerova vztahu a označením κ = Cp /CV pak pκ dV + dp V = 0. Každou proměnnou převedeme na jednu stranu a každou stranu rovnice zvlášť zintegrujeme Z Z dV dp =− , κ V p dostáváme (K1 a K2 jsou integrační konstanty) κ ln V + K1 = − ln p + K2 , což lze upravit na tvar ln (pV κ ) = K2 − K1 , 136

po odlogaritmování dostáváme hledaný vztah pV κ = konst.

Pro adiabatické děje v ideálním plynu platí mezi tlakem a objemem vztah pV κ = konst.

(7.3)

kde κ = Cp /CV je tzv. Poissonova konstanta, vždy větší než 1. Pro úplnost ještě vyjádřeme, jakou práci vykoná pyn, bude-li se adiabaticky rozpínat z objemu V1 na objem V2 . Z W

V2

=

p dV = p1 V1κ

V1

=

p1 V 1 κ−1

Z

V2

V −κ dV = p1 V1κ

V1

 1−

V1 V2



V 1−κ 1−κ

V2 = V1

κ−1 ! .

(7.4)

Úloha 7.9 Se starší jednotkou energie – kalorií se můžete stále setkat na obalech některých potravin (kde se ovšem často zaměňuje za jednotku kilokalorie). 1 kilokalorie odpovídá energii, jakou je třeba dodat 1 kilogramu vody, aby její teplota vzrostla z 15 ◦ C o 1 ◦ C. Měrná tepelná kapacita vody je v tomto rozmezí asi 4186 J · kg−1 · K−1 . Vyjádřete jednotku kalorie v joulech. Úloha 7.10 Jakou práci vykonal vzduch (jeho Poissonova konstanta κ = 1, 4), který se izobaricky rozpínal a přijal přitom teplo Q = 70 kJ? Úloha 7.11 V kyslíkové bombě o pokojové teplotě t1 = 20 ◦ C je zbytek náplně o tlaku p1 = 0, 5 MPa, který je plně otevřeným kohoutem během velmi krátké doby vypuštěn z bomby do okolí. Jaká bude jeho teplota bezprostředně po vypuštění, kdy jeho tlak klesne na hodnotu atmosférického tlaku p2 = 0, 1 MPa? Děj pokládejte za adiabatický a kyslík za ideální plyn (toto zjednodušení by nebylo přijatelné při řádově vyšší hodnotě tlaku, na kterou jsou bomby plněny). Poissonova konstanta pro kyslík je κ = 1, 4.

7.4.

Tepelné stroje

Tepelné stroje jsou zařízení, která přeměňují tepelnou energii na mechanickou, konají práci. Z první věty termodynamické plyne, že nemůže existovat neomezeně dlouho pracující stroj, který by konal práci, aniž by mu bylo třeba dodávat energii (tzv. perpetuum mobile 1. druhu). Takové zařízení by mohlo konat práci pouze na úkor své vnitřní energie, což by bylo možné pouze po velmi omezenou dobu. Není-li možné zkonstruovat stroj, který by pracoval bez potřeby dodávat energii, jistě by bylo žádoucí sestrojit alespoň takové zařízení, jež by veškerou 137

energii dodanou ve formě tepla převádělo na mechanickou energii – konalo práci beze ztrát. Bohužel, ani toto není na makroskopické úrovni možné, proto se takové hypotetické zařízení označuje názvem perpetuum mobile 2. druhu. Možnost existence perpetua mobile 2. druhu popírá 2. věta termodynamická, kterou si na této úrovni výkladu můžeme pouze přiblížit. Říká, že teplo se samovolně šíří vždy ve směru od teplejšího tělesa ke studenějšímu, není možno bez konání práce přenést teplo z chladnějšího tělesa na teplejší (například při přenosu tepla z podzemí do domu vytápěného tepelným čerpadlem vždy potřebujete dodávat tepelnému čerpadlu energii zvenčí). Důsledkem 2. věty termodynamické je i nemožnost přeměnit všechno teplo z ohřívače tepelného stroje na práci. Definujme účinnost tepelného stroje. Účinnost tepelného stroje udává procentuální podíl práce W vykonané strojem při jednom cyklu ku teplu Q, jaké při tom musíme stroji dodat η=

W . Q

Účinnost je bezrozměrná veličina. Od dodaného tepla se neodečítá teplo, které stroj předá do okolí ve formě, kterou nelze opět přímo využít (například teplo, které předá chladiči). Skutečná účinnost bývá většinou ještě podstatně nižší, než je dáno omezením 2. zákona termodynamiky, díky tření a jiným energetickým ztrátám. Podívejme se nyní na dva příklady tepelných strojů. Carnotův cyklus Tento cyklus představuje vratný cyklus probíhající mezi dvěma termostaty – chladičem a ohřívačem. Lze ukázat, že účinnost takového cyklu závisí pouze na teplotách chladiče a ohřívače a účinnost libovolného nevratného cyklu je nižší. Na principu Carnotova cyklu přibližně pracují parní stroje. Pokud bychom Carnotův stroj nechali běžet obráceně, fungoval by jako tepelné čerpadlo nebo lednička (moderní ledničky ovšem ve svém cyklu obvykle využívají i skupenských změn pracovního plynu). Carnotův cyklus se skládá ze čtyř fází, viz obrázek 7.8, které se cyklicky opakují. 1. Izotermická komprese – plyn je v kontaktu s chladičem o teplotě T1 a je izotermicky stlačován. Protože se vnitřní energie plynu nemění, ∆U12 = 0, je práce vykonaná okolím na plynu rovna teplu, jaké plyn předá chladiči, W12 = Q12 . Plyn přechází ze stavu p1 , V1 , T1 do stavu p2 , V2 , T1 , přičemž platí p 1 V 1 = p2 V 2 . (7.5) 2. Adiabatická komprese – plyn je adiabaticky stlačován, Q23 = 0. Změna vnitřní energie plynu je rovna práci vykonané okolím na plynu, ∆U23 = −W23 . Plyn přechází ze stavu p2 , V2 , T1 do stavu p3 , V3 , T2 , přičemž platí, 138

p

3

Q34 > 0 T2 4 2

T1 Q12 < 0

1

V Obrázek 7.8: Carnotův cyklus – ideální cyklus parního stroje že p2 V2κ = p3 V3κ ,

(7.6)

kde κ je Poissonova konstanta. 3. Izotermická expanze – plyn je v kontaktu s ohřívačem o teplotě T2 a izotermicky se rozpíná. Protože se vnitřní energie plynu nemění, ∆U34 = 0, je práce, jakou plyn vykoná na okolí, rovna teplu, jaké plyn přijme od ohřívače, W34 = Q34 . Plyn přechází ze stavu p3 , V3 , T2 do stavu p4 , V4 , T2 , přičemž platí p 3 V 3 = p4 V 4 . (7.7) 4. Adiabatická expanze – plyn se adiabaticky rozpíná, Q41 = 0. Úbytek vnitřní energie plynu je roven práci vykonané plynem na okolí, ∆U41 = −W41 . Plyn přechází ze stavu p4 , V4 , T2 do původního stavu p1 , V1 , T1 , přičemž platí, že p4 V4κ = p1 V1κ . (7.8) Celková práce W , jakou soustava během cyklu vykonala, je W = W12 + W23 + W34 + W41 . Potože vnitřní energie je na konci cyklu stejná jako na začátku, musí se této práci rovnat celkové dodané teplo, které je ale rovno Q = Q12 + Q34 , neboť ve zbývajících dvou fázích se teplo mezi plynem a okolím nevyměňuje. Účinnost Carnotova cyklu tedy můžeme vyjádřit jako η=

W Q12 + Q34 W12 + W34 = = , Q Q34 W34

neboť je to teplo přijaté od ohřívače, které musíme do cyklu „investovatÿ. Využitím rovnice 7.2 dostaneme η=

nRT1 ln (V2 /V1 ) + nRT2 ln (V4 /V3 ) . nRT2 ln (V4 /V3 ) 139

Ze soustavy rovnic 7.5, 7.6, 7.7 a 7.8 navíc dostaneme podmínku V2 V3 = , V1 V4 takže výsledek lze zjednodušit na η = T2 −

T1 T1 =1− , T2 T2

kde T1 je teplota chladiče a T2 teplota ohřívače. Jak vidíme z výsledku, účinnost Carnotova cyklu tak závisí pouze na rozdílu teplot, mezi nimiž tepelný stroj pracuje, není závislá na druhu použitého plynu. Ottův cyklus Ottův cyklus představuje idealizovaný průběh cyklu zážehového (např. benzínového) motoru, viz obrázek 7.9.

p 2

3

0→1

Q23 > 0

V

V2 2 0

4

V1

Q41 < 0 1

V Obrázek 7.9: Ottův cyklus – ideální cyklus zážehového motoru Sestává z úvodní fáze, kdy je přes otevřený levý píst nasávána směs benzínu se vzduchem (0 → 1), ta je pak z maximálního objemu V1 adiabaticky stlačena (1 → 2) na minimální objem V2 , v okamžiku maximálního stlačení zapálena jiskrou, čímž prudce vzroste teplota a tlak (2 → 3) při prakticky konstantním objemu V2 , pak se plyn adiabaticky rozpíná a koná práci na pístu (3 → 4), načež v okamžiku největšího stlačení se otevře pravý píst a plyn předá teplo okolí a poklesne v něm tlak, v poslední polovině otáčky je pravým pístem vytlačen plyn ven a celý děj se opakuje. Příklad 7.4 Ukažte, jak souvisí účinnost Ottova cyklu s kompresním poměrem motoru, tedy podílem jeho maximálního a minimálního objemu. Řešení: Budeme postupovat podobně jako u Carnotova cyklu, nejdříve rozepíšeme jednotlivé pracovní fáze motoru. 140

1. Adiabatická komprese – nasátá směs je adiabaticky stlačována, Q12 = 0. Změna vnitřní energie plynu je rovna práci vykonané okolím na plynu, ∆U12 = −W12 . Plyn přechází ze stavu p1 , V1 , T1 do stavu p2 , V2 , T2 , přičemž platí, že p1 V1κ = p2 V2κ , p1 V 1 p2 V 2 = , T1 T2

(7.9) (7.10)

kde κ je Poissonova konstanta. 2. Izochorický ohřev – plyn se po zapálení při konstantním objemu V2 prudce zahřívá a roste v něm tlak. Protože se nekoná práce, je přírůstek vnitřní energie plynu roven teplu dodanému palivem ∆U23 = Q23 = nCV (T3 − T2 ). Plyn přechází ze stavu p2 , V2 , T2 do stavu p3 , V2 , T3 . 3. Adiabatická expanze – vzduch se spalinami se adiabaticky rozpíná, Q34 = 0. Úbytek vnitřní energie plynu je roven práci vykonané plynem na okolí, ∆U34 = −W34 . Plyn přechází ze stavu p3 , V2 , T3 do stavu p4 , V1 , T4 , přičemž platí, že p3 V2κ = p4 V1κ , p3 V 2 p4 V 1 = . T3 T4

(7.11) (7.12)

4. Ochlazení a výfuk spalin – první část této fáze můžeme modelovat pro účely vyjádření účinnosti izochorou, i když se plyn rozpíná volně do okolí. Nekoná totiž práci na pístu (píst už nelze více stlačit), do okolí uvolní část své vnitřní energie ve formě tepla ∆U41 = Q41 = nCV (T1 − T4 ), přičemž se ochladí na teplotu okolí. Tato energie představuje ztráty. Celková práce W , jakou soustava během cyklu vykonala, je W = W12 + W34 . Potože vnitřní energie je na konci cyklu stejná jako na začátku, musí se této práci rovnat celkové dodané teplo, které je rovno Q = Q23 + Q41 . Účinnost Ottova cyklu tedy můžeme vyjádřit jako η=

W Q23 + Q41 T3 − T2 + T1 − T4 = = . Q Q23 T3 − T2

Z rovnic 7.9, 7.10, 7.11 a 7.12 vyjádříme například teploty T2 a T3 jako  T2 = T1

V1 V2

κ−1

 ,

T3 = T 4

V1 V2

κ−1

a dosadíme. Po úpravě dostaneme jednoduchý výsledek 

V2 η =1− V1 141

κ−1 ,

kde V1 je maximální a V2 minimální pracovní objem motoru. Vidíme tedy, že účinnost motoru je tím větší, čím je větší kompresní poměr motoru, tedy podíl V1 /V2 . Ten ale bohužel nelze zvětšovat neomezeně - při stlačování směsi vzduchu a benzínu totiž roste její teplota, pokud by překročila hodnotu pro samovznícení, směs by shořela před maximálním stlačením a píst by brzdila místo poháněla. Proto je také důležitá správná funkce chladiče.

Úloha 7.12 Porovnejte účinnost ideálního Carnotova stroje, který pracuje mezi teplotami a) teplota chladiče 273 K, teplota ohřívače 373 K, b) teplota chladiče 273 K, teplota ohřívače 600 K. Úloha 7.13 Jaká je ideální účinnost benzínového motoru s kompresním poměrem 10:1 (kolem této hodnoty se pohybuje kompresní poměr většiny osobních automobilů)? Poissonovu konstantu předpokládejte rovnou 1,4.

142

Klíč k úlohám Kapitola 1 Příklad 1.1 1/2 libry = 227 g = 0,227 kg; 1/4 libry = 113,5 g = 0,1135 kg; 4 pol. lžíce = 60 ml =6 · 10−5 m3 ; 1 pol. lžíce = 15 ml =15 · 10−6 m3 ; 1/2 čajové lžíčky = 2,5 ml =2, 5 · 10−6 m3 ; 1 čajová lžička = 5 ml =5 · 10−6 m3 ; 10 obj. uncí = 300 ml =3 · 10−4 m3 ; 8” = 20,32 cm = 0,2032 m; 3 a 1/2 hod. = 12600 s; 4 hod. = 14400 s; 300 ◦ F = 149 ◦ C Úloha 1.1 5 · 10−5 m Úloha 1.2 36, 1 m · s−1 Úloha 1.3 $0,44 Úloha 1.4 P = F v = mgs/t, 1 koňská síla = 746 W Úloha 1.5 Pluto, 1,032 Úloha 1.6 Plocha opsaná průvodičem za velmi krátký čas ∆t bude ∆S = r · v∆t, kde r je aktuální vzdálenost od Slunce. Země: 1,04, Merkur 1,52 Úloha 1.7 Merkur: 0,244 roku, Pluto: 251 let Úloha 1.8 Vrátí se opět v roce 2061, a=17,79 AU, b=4,53 AU Úloha 1.9 přibližně 30 km · s−1 Úloha 1.10 2642 km Úloha 1.11 Přibližně 0, 9aZ−M = 3, 44 · 108 m Úloha 1.12 Gravitační pole na Měsíci je asi 6x slabší.

Kapitola 2 Úloha Úloha Úloha Úloha Úloha Úloha Úloha Úloha

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8

A + B = (0, 60, 30). A = 53, 85 α = 68◦ 120 , β = 56◦ 90 a γ = 42◦ 20 W = nT , l = nh W a) T = W 2 , b) T = 3 a) F = 1 kN, b) F = 1, 93 kN Třecí síla, µs ≥ 0, 1 T =

µk mg cos α + µk sin α

Úloha 2.9 m ∈ (M sin α − M µs cos α, M sin α + M µs cos α), m ∈ (0, 4; 5, 6) kg Úloha 2.10 Andrew bude v cíli dříve o téměř 42 sekund. Úloha 2.11 a) A · B = 10, b) A × B = (−4, 8, −4), c) ϕ = 44◦ 250 Úloha 2.12 Ne, zadaná informace nám dá pouze 4 rovnice pro 6 neznámých souřadnic. Víme ale, že vektory leží v rovině xy a svírají úhel 45◦ . Úloha 2.13 T 1 = (0, −435, 1050) N, T 2 = (0, 435, 1050) N, T1 = T2 = 1137 N. Úloha 2.14 d = 2 m, nezávisle na náklonu. Úloha 2.15     1 h 1 h NA = W cos α − tan α = 5 kN, NB = W cos α + tan α = 7, 5 kN. 2 l 2 l 143

Při pohonu přední nápravy je minimální součinitel statického tření µ=

1 2

tan α = 0, 91, − hl tan α

1 2

tan α = 0, 60 + hl tan α

při pohonu zadní stačí µ=

a při pohonu na všechna kola µ = tan α = 0, 36. U reálných vozidel se poloha těžiště mění mimo jiné v závislosti na jejich naložení.

Kapitola 3 Úloha 3.1

1 2 2 − 3 x x 1 √ (c) 2 x 1 (d) − √ 2 x3

cos x sin2 x 1 (h) cos2 x x (i) p 2 x +1 1 (j) − x

(e)

2 cos 2x

(k)

2 cos(2x − 3)

(f)

− sin 2x

(l)

−e1−x

(a) 2x + 2 (b) −

(g) −

Úloha 3.2 Ano, dokonce 20 m před semaforem; v(2) = 16 m · s−1 ; záporné zrychlení a = 2 m · s−2 . Úloha 3.3   39, 24 −1 m · s−2 . vmax = 57, 7 m · s , a= e0,34t + 2 + e−0,34t Úloha 3.4 Úloha 3.5

t=

π 2

. s, vmax = 6, 45 m · s−1 .
−µ1 l 1 + tan2 α dµ2 = . da [l − a (1 − µ1 tan α)]2

Protože je všude záporná, je funkce stále klesající. Úloha 3.6 Neurčitý integrál (f) lze vyřešit využitím identity cos 2x = cos2 x − sin2 x = 2 cos2 x − 1, integrály (j), (k) a (l) metodou per partes, ostatní buď přímo nebo využitím rozdělení integrálu součtu funkcí na součet integrálů těchto funkcí či vhodných substitucí. Výsledky: 144

x3 + x2 − 3x + C (g) −e1−x + C 3 1 (b) ln |x| − + C (h) − ln | cos x| + C x q 2√ 3 1 (c) x +C (i) (x2 + 1)3 + C 3 3 1 x4 x4 (d) ln |2x − 1| + C (j) ln x − +C 2 4 16 1 (e) − cos 2x + C (k) −x cos x + sin x + C 2 x 1 ex + sin 2x + C (l) (sin x + cos x) + C (f) 2 4 2 √ √ Úloha 3.7 Substitucí t = x2 + 1, vede na 2 − 1. Úloha 3.8 Substitucí t = sin x, vede na 31 . Úloha 3.9 Substitucí t = e0,17t + e−0,17t , vede na (po uvážení počáteční nulové dráhy) e0,17t + e−0,17t s = 339 ln = 339 ln cosh(0, 17t). 2 (a)

Kapitola 4 Úloha 4.1 v=

√

µgr = 9, 4 m · s−1 = 33, 8 km · h−1

Úloha 4.2 1 f= 2π

r

g tan α = 0, 15 Hz r

Úloha 4.3 r at r v = gr tan α + = 32, 3 m · s−1 = 116 km · h−1 , bez n´aklonu 89 km · h−1 . cos α Úloha 4.4 Rychlost v důsledku rotace kolem osy 465 m · s−1 , oběhu kolem Slunce 29, 8 km · s−1 Úloha 4.5 Družice obíhají ve výšce 20 200 kilometrů nad zemským povrchem. Úloha 4.6 Pouze nad rovníkem, ve výšce asi 36 tis. kilometrů nad zemským povrchem. v2 Úloha 4.7 t = 2vg0 ,H = 2g0 Úloha 4.8 t = 1, 23 s Úloha 4.9 α = 45◦ Úloha 4.10 α = 76◦ Úloha 4.11 Vyjděte z parametrického vyjádření rovnice paraboly, po níž se bude bod pohybovat. Místo dopadu odpovídá jejímu průsečíku s nakloněnou 145

rovinou s obecnou rovnicí y = x tan β. Vyřešením této soustavy t = 2, 07 s, l = 29, 7 m Úloha 4.12 Představte si nejprve situaci, kdy bychom realizovali tento pokus ve stavu beztíže. Řešením je povrch koule, jejíž střed je v bodě [0, 0, h] a jejíž poloměr roste rychlostí v, takže r = vt. Napište obecnou rovnici takového povrchu koule. V tíhovém poli pak celá soustava padá se zrychlením g, takže výsledkem je rozpínající se a současně padající kulová plocha x2 + y 2 + (z − h + 1/2gt2 )2 = v 2 t2 .

Kapitola 5 Úloha 5.1 30 kJ Úloha 5.2 58 m Úloha 5.3 Nejprve vyjádříme tíhu barelu jako funkci dráhy, abychom pak mohli tuto sílu dosadit do definičního vztahu pro práci. Vede na integrál Z A=

h

g (100 − 3s)2 ds . . . A = 716 kJ

0

Úloha 5.4 Z Ep =

RZ +h

RZ

    mM 0 1 RZ +h 1 1 κ 02 dr = κmM − 0 = κmM − , r r RZ RZ RZ + h

Ek = 21 mv 2 , celkově E = Ep + Ek = 4, 27 · 1010 kJ Úloha 5.5 P (3) = 3, 75 W, P = 1, 88 W Úloha 5.6 Přetížení je rovno dostředivému zrychlení, to bude a = 2gh/R, kde h je největší pokles skokana vůči výchozímu bodu a R je poloměr kružnice, po které se pohybuje. Při zadaných parametrech a = 1, 83g Úloha 5.7 5gR − v02 h= 2g Úloha 5.8 α = arcsin Úloha 5.9

 l=h

P = 31◦ 190 . mgv

1 − cot α µD

 = 80 cm.

Úloha 5.10 Je to riskantní, zvláště při úvazku za nohy. Uvážíme-li, že těžiště skokana je před seskokem asi 1 m nad fixním koncem lana a při maximálním 146

protažení pod úvazkem nohou, protáhne se lano o cca 13,3 metru. Úloha 5.11 m+Mp v= 2gh = 187 m · s−1 m Úloha 5.12

mA vA = 0, 146 m · s−1 mS + mA 2mA vA = 0, 293 m · s−1 b) v = mS + mA a) v =

Úloha 5.13 Využitím zákona zachování momentu hybnosti a zákona zachování mechanické energie vP = 7028 m · s−1 , výška nad Zemí h = 3581km

Kapitola 6 Úloha 6.1 F2 =

mgd22 = 98 N. d12

. Úloha 6.2 F = ph S = h%gS = 9810 N, to odpovídá tíze 1000 kg závaží. Pokud by přetlak nerozdrtil opravářův hrudník, určitě by nemohl dýchat. Úloha 6.3 ph1 = 1, 83 MPa, ph2 = 110 MPa. Úloha 6.4 1 torr = 133, 3 Pa. Úloha 6.5 p = 14, 7 kPa. Úloha 6.6 Z rovnosti hydrostatických tlaků v úrovni společného rozhraní plyne %1 = %2 h2 /h1 = 930 kg · m−3 . Úloha 6.7 V = m/% = 1, 55 · 105 m3 Úloha 6.8 V = m/(% − %H ) = 2 · 105 m3 . Úloha 6.9 Nad hladinu vyčnívá objem 9 1 VL = V L . 10 10 Roztáním ledu vznikne voda objemu rovnému ponořené části kostky V a výška hladiny vody ve sklenici tedy zůstane stejná. Úloha 6.10 Fvz = G =⇒ %D = (2/3)%V = 667 kg · m−3 . Úloha 6.11 Ponton unese náklad tíhy G = ∆Fvz = %∆hS g =⇒ m = %∆hS = 10 tun, takže lze. Úloha 6.12 Asi 26 hodin, téměř 35 dní. Úloha 6.13 v = q 4 m · s−1 , t = 10 min. % . −1 Úloha 6.14 v = 2gh Hg % = 41 m · s . Úloha 6.15   S12 v12 1 − 2 = 0, 1 m. ∆h = 2g S2 147 ∆V = VL − V = VL −

Úloha 6.16 Úloha 6.17

v=

√

η=

2gh = 3, 1 m · s−1 .

d2 (% − %0 ) g = 1, 5 Pa · s, Re = 3 · 10−3 . 18v

Úloha 6.18 r v=

8%gr , 3C%0

v1 = 8, 6 m · s−1 , v2 = 27, 3 m · s−1 .

Úloha 6.19 v = u cot α = 9, 6 m · s−1 , r =

3v 2 C%0 = 2, 3 mm. 8g%

Kapitola 7 Úloha Úloha Úloha Úloha Úloha Úloha Úloha

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7

∆t = 146 ◦ C, T1 = 331 K, T2 = 185 K, ∆T = 146 K. t = 0, 01 ◦ C. ∆U = |W | = F ∆x = 6 N. V = 0, 0224 m3 . % = m/V = (M p)/(RT ), %1 = 1, 29 kg · m−3 , %2 = 0, 42 kg · m−3 . p2 = p1 T2 /T1 = 501 kPa Z

V2

p dV = nRT ln

Q=W = V1

V2 = 2, 3 kJ. V1

Úloha 7.8 T2 = T1 V2 /V1 , t2 = 177 ◦ C Úloha 7.9 1 cal = 4, 186 J Úloha 7.10 Cp − CV W = Q − ∆U = Cp n∆T − CV n∆T = Q= Cp Úloha 7.11  T2 = T1 Úloha 7.12 η=

p2 p1

1−1/κ

T2 − T1 , T2

= 185 K,

1 1− κ

 Q = 20 kJ.

t2 = −88 ◦ C.

. . ηa) = 27%, ηb) = 55%.

Úloha 7.13  η =1−



V2 V1

κ−1 = 60%.

Reálná účinnost je v důsledku dalších ztrát samozřejmě nižší, zhruba poloviční. 148

Literatura [1] Halliday D., Resnick R., Walker J.: Fyzika, Vutium, Brno a Prometheus, Praha, 2000 ISBN 80-214-1868-0 [2] Svoboda E. a kol.: Přehled středoškolské fyziky, Prometheus, Praha 1996, ISBN 80-7196-006-3 [3] Mikulčák J. a kol. Matematické, fyzikální a chemické tabulky pro střední školy, Prometheus, Praha 1997, ISBN 80-85849-84-4 [4] Fojtek A., Foukal J.: Tabulky vybraných fyzikálních a technických veličin, VŠB Ostrava 1992 [5] Lepil O., Bednařík M., Hýblová R.: Fyzika I pro střední školy, Prometheus, Praha 1993 [6] Mádr V. a kol.: Sbírka příkladů z fyziky, Vysoká škola báňská, Ostrava 1988 [7] Kopečná M., Kopečný J., Trojková J.: Základy fyziky. VŠB TU Ostrava, 2006, ISBN 80-248-1193-6

Další odkazy a použité zdroje: [8] http://www.sil.si.edu/digitalcollections/hst/scientific-identity/index.htm [9] http://math.ucr.edu/home/baez/physics/General/occam.html [10] http://eldar.cz/archeoas/matematikove/podolsky.html [11] Nový L., Smolka J.: Isaac Newton, Orbis 1969 [12] http://www.cdkitchen.com [13] http://physics.nist.gov/cuu/Units/introduction.html [14] http://www.swe.org/iac/lp/pulley 03.html [15] http://www.cs.drexel.edu/ crorres/bbc archive/secrets.html, obrázek z ”The Random House Encyclopedia”, Random House, New York, 1977 [16] Elia A., Albert F.: Přehled techniky naklápění vozových skříní, http://www.cdrail.cz/VTS/vts13.html 149

[17] Láník O.: Crashtest na vlastní kůži, http://news.auto.cz/aktuality/ [18] http://www.gyroscope.com/ [19] https://ecourses.ou.edu/ [20] http://auto.howstuffworks.com/ [21] http://news.bbc.co.uk/1/hi/world/asia-pacific/5000092.stm#graphic [22] http://www.vesmirweb.net [23] http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/, http://www.diam.unige.it/ irro, Anderson D. F., Eberhard S.: Understanding Flight, http://home.comcast.net/%7Eclipper-108/lift.htm [24] http://auta5p.eu/informace/motory/motory.htm

150