Základní škola Kaznějov, příspěvková organizace, okres Plzeň-sever
DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL
Název projektu Registrační číslo projektu
UČENÍ JE SKRYTÉ BOHATSTVÍ INOVACE VÝUKY ZŠ KAZNĚJOV CZ.1.07/1.1.12/02.0029
Název výukového materiálu: Racionální čísla Vzdělávací obor RVP ZV: Matematika Období: 6. – 9. ročník ZŠ
Tvůrce výukového materiálu: Mgr. Daniela Jeníčková Klíčová aktivita: Metodická příprava výuky s využitím ICT a její pilotní ověření
Anotace
Pracovní listy vhodné pro výuku i jako samostudium
Autor
Mgr. Daniela Jeníčková
Jazyk
Český
Očekávaný výstup
Zvládnutí počítání s racionálními čísly
Speciální vzdělávací potřeby
Žádné
Klíčová slova
Kladná a záporná čísla, znaménka plus a minus
Druh učebního materiálu
Pracovní listy
Druh interaktivity
Kombinované
Cílová skupina
Žáci 7. tříd
Stupeň a typ vzdělávání
2. stupeň, základní vzdělávání
Typická věková skupina
13 – 14 let
Celková velikost
322 kB
Racionální čísla 3
Čísla kladná, záporná a nula se nazývají čísla racionální. Příklady kladných čísel: +4; +4 ; +0,05; 1
+23 (čísla celá, desetinná, zlomky a čísla smíšená). Plus před kladnými čísly můžeme vynechat. 1
1
Příklady záporných čísel: −8; −2; − 0,2; −14. Minus před zápornými čísly vynechat nesmíme. Číslo bez znaménka je považováno za kladné. Je dobré žákům připomenout, že záporná čísla znají například z teploměrů a nemožnost vynechání znaménka minus zdůraznit rozdílem teplot, když je na teploměru +20 a −20 . Seznámení se zápornými čísly a jejich uspořádání žákům problémy nečiní. Horší je, když začneme se zápornými čísly počítat. Doporučuji začít s malými celými čísly a až po zvládnutí pravidel přejít na čísla desetinná a na zlomky. Protože mi nevyhovovalo vysvětlovat odčítání čísel, jako přičítání čísel opačných, učím již mnoho let sčítání a odčítání racionálních čísel najednou a to následujícím způsobem.
Sčítání a odčítání racionálních čísel Napřed se naučíme pravidlo pro přepsání dvou znamének, které leží vedle sebe, na jedno.
+(+3) = +3 +(−5) = −5 −(+7) = −7 −(−4) = +4 Děti si pravidla většinou rychle zapamatují (hodí se jim také později při výuce násobení a dělení). Těm, kterým by zapamatování činilo potíže, pomůže jednoduchá pomůcka. Vždy ze dvou čárek složíme +, pokud nám zbude lichá čárka, číslo je záporné. Přepisování na jedno znaménko řádně procvičíme i na zlomcích a desetinných číslech. Například: +(−1,5); −(+0,8); −(−4,5); +(+0,07); 1
3
7
+(−2); −(−24); +(+8); 1
−(+12) a mnoha jiných číslech. Po zvládnutí přistoupíme k samotnému počítání. Nerozlišujeme sčítání a odčítání, pouze to, jestli u obou čísel máme stejná nebo rozdílná znaménka. Žáci sami odvodí, jak počítat, když příklady převedeme na vzájemné přetahování (v případě rozdílných znamének) a táhnutí třeba vozíku jedním směrem (v případě stejných znamének). Pochopí také výsledné znaménko, kdo má větší sílu, přetáhne druhého. Nebo, když táhneme oba na stejnou stranu, nepojedeme na opačnou (to je nutné zdůraznit u dvou záporných čísel, protože po probrání násobení, je to nejčastější chyba).
+3 +5 = +8 −3 −5 = −8 −3 +5 = +2 +3 −5 = −2
Po zvládnutí si teprve řekneme a zapíšeme definice:
Při sčítání dvou čísel se stejnými znaménky znaménko opíšeme a absolutní hodnoty čísel sečteme. Při sčítání dvou čísel s různými znaménky absolutní hodnoty čísel odečteme a opíšeme znaménko, které mělo číslo s větší absolutní hodnotou. Pro děti je ovšem přetahování a tlačení mnohem zajímavější, obzvlášť, když si hodinu zpestříme tím, že si to alespoň někteří mohou vyzkoušet před tabulí. Pokud vybírám ty nejhodnější, je to dobrá pomůcka k ukáznění žáků. Tímto postupem proberu tedy najednou sčítání i odčítání a zbude mi víc času na procvičování. Při úplném začátku vždy vyvolaný žák určí, zda bude čísla sčítat nebo odčítat a výsledné znaménko, pak teprve počítáme. Jednoduché příklady k samostatnému procvičování:
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)
(− 7 ) + (− 3) (+ 9 ) + (+ 6) (−15) + (− 2) (−18) + (+ 6) (+17) + (−19) (−29) + (−18) (+17) – (+15) (−3 ) – (− 8 ) (+14) – ( −9 ) (+16) – ( −8 ) (−12) – ( −6 ) ( −10) –( +9 )
Řešení: a) −7 – 3 = − 9 b) +9 + 6 = +15 c) −15 – 2 = −17 d) −18 + 6 = −12 e) +17 – 19 = − 2 f) – 29 – 18= −47 g) + 17 – 15= + 2 h) – 3 + 8 = + 5 i) + 14 + 9 = +23 j) +16 + 8 = +24 k) −12 + 6 = − 6 l) – 10 − 9 = −19
Žáci si mohou zkontrolovat sami, uvědomí si lépe případné chyby
Příklady, ve kterých sčítáme více čísel je nejvýhodnější řešit následujícím způsobem. Nejprve sečteme všechna kladná čísla a od nich odečteme součet všech záporných. Vzorové příklady:
−13 +18−10+19−15−17+18 = 55 – 55 = 0 36 + (−24) – (−13) + (−25) – (+16) = 36 – 24 + 13 – 25 – 16 = 49 – 65 = −16
Příklady k procvičování.:
a) b) c) d)
(−7) + (−3) – (+2) – (−4) (−27) – (+15) – (−18) – (−9) + 15 – (−3) + (−9) + 8 – (−7) + (−7) + (−4) – (+8) + 6 17 + ( −11) – (−13) – (+4) + (−2) – 9
Řešení:
a) b) c) d)
−7 – 3 −2 + 4 = 4 – 12 = −8 – 27 – 15 + 18 + 9 + 15 = 42 – 42 = 0 +3 – 9 + 8 + 7 – 7 – 4 – 8 + 6 = 24 – 28 = −4 17 – 11 + 13 – 4 – 2 – 9 = 30 – 26 = 4
Při počítání s desetinnými čísly a se zlomky postupujeme podle stejných pravidel. Vzorové příklady:
a) (+3,72) – (+4,805) = 3,72 – 4,805 = −1,085 b) (−0,045) + (−2,05) = −0,045 – 2,05 = −2,095 Odstraníme závorky, určíme výsledné znaménko a pak písemně sečteme nebo odečteme. 4,805
0,045
− 3,72 1,085
2,05 2,095
7
3
7
c) (− ) – (+ ) = − − 9
5
3
=
−35−27
3
5
8
9 17
5 48−85
5
6
5
6
30
d) 1 − 2 = −
=
45
=−
37 30
=−
62 45 7
17
=−1
45
= −1
30
Zlomky převedeme na společného jmenovatele stejně jako u počítání s kladnými zlomky a čitatele vypočítáme podle dříve naučených pravidel. Příklady k procvičování:
a) – 8,1 – (−2,6) b) 7,1 + (−3,5) c) +0,32−(−2,7) d) −5,6 – (−2,8) e) − f)
4 9 5 6 1
1
− (− ) 3 3
− (+ ) 4
1
g) −1 + (− 3 ) 2 2
3 2
3
5
h) 3 + (−1 )
Řešení:
a) − 8,1 + 2,6 = −5,5 b) 7,1 − 3,5 = 3,6 c) 0,32 + 2,7 = 3,02 d) − 5,6 + 2,8 = −2,8 e) − f) g) − h)
4 9 5 6 3 2 11 3
+ − − −
1 3 3 4 10 3 7 5
= = = =
−4+3 9 10−9
= − =
1 9
1
12 12 −9−20 6 55−21 15
= −
=
34 15
29 6
5
= −4
6
4
= 215
Násobení a dělení racionálních čísel Pokud žáci zvládli odstraňování závorek (přepisování na jedno znaménko), nebudou mít s výsledným znaménkem u součinu nebo podílu žádné problémy. Stačí jim říct, že pravidla jsou úplně stejná.
+ ∙ + = +
+ : + = +
− ∙ − = + − ∙ + = −
− : − = + − : + = −
+ ∙ − = −
+ : − = −
Vzorové příklady:
(−3) ∙ (−5) = + 15
(−28) : (−7) = +4
3 ∙ (−9) = − 27
+18 : (−2) = −9
(−9) ∙ (+8) = −72 3
2
6
4
5
20
(− ) ∙ (− ) = + 5
3
15
2
2
4
(− ) ∙ = −
(−16) : =+
= −3
3
5
10
2
3 4
: (−
10 3
4 = −4 5
3
2
10
) = ∙ (−
)=−
15 20
=−
3 4
1
1
9
3
9
2
18
4
2
4
2
4
3
12
2 : (− 1 ) = : ( − ) = ∙ (− ) = −
(+0,3) ∙ (−1,2) = − 0,36
(−0,42) : (− 21) = +0,02
(−7,1) ∙ (−0,3) = +2,13
(+35) : (−0,7) = − 50 350 : 7 = 50
1
= −1
2
Příklady k procvičování:
a) b) c) d) e) f)
(− 3) ∙ (+9) (+ 9) ∙ (−8) (−14) ∙ (+5) (+1,3) ∙ (−0,6) (−1,5) ∙ (−2,1) (−14,8) ∙ (+7) 5
2
2 1
3 1
2 2
2 1
3 2
8
g) (− ) ∙ (− ) h) (+5 ) ∙ (−4 ) i) (+4 ) ∙ (−1 ) j) (−1 ) ∙ ( −0,15) 5
k) ( −50) : ( +5) l) ( −3) : 21 m) 30 : (−5) 1
2
3
9
n) (+2 ) : (−1 ) o)
5 7
: ( −14)
p) (−19,76) : (−13)
Řešení:
a) b) c) d) e) f)
−27 −72 −70 −0,78 +3,15 −103,6 2
g) +1
3 3
h) −24
4
1
i) −5 j) +
4 21
100
k) −10 l) −
1 7
m) −6 10
n) −1 o) −
11 5
98
p) +1,52
Násobení více činitelů Zjistíme počet záporných činitelů, při lichém počtu je ve výsledku minus, při sudém počtu je výsledek kladný. Vzorové příklady:
a) (−2) ∙ (+3) ∙ (−1) (−4) ∙ (+5) = − 120 (3 záporná znaménka) b) (−5) ∙ (−2) ∙ (−1) ∙ 4 ∙ (−3) = + 120 (4 záporná znaménka) c) −0,2 ∙ (−1.1) ∙ 5 ∙ (−7) = − 7,70 4
15
5
16
d) (− ) ∙ (−
1
1
3
1
3
3
1
4
3
12
3
d) − 16
) ∙ (− ) = (− ) ∙ (− ) ∙ (− ) = −
=−
Příklady k procvičování:
a) (+0,9) ∙ (−0,02) ∙ (−0,6) ∙ (−50) b) 20 ∙ (−0,7) ∙ (−50) ∙ (−0,03) c)
3 8
4
10
5
7
∙ (− ) ∙ (− 7
9
24 5
14 5
7
9
d) (− ) ∙ (−
) 4
15
5
4
) ∙ ∙ (−
)
1
1
3
2
e) (+1 ) ∙ (−1 ) ∙ (−2 ) ∙ (−1 )
Výsledky: a) – 0,5400
b) −2,100
c) +7
9
1
e) − 93
1 4
Příklady složené ze všech početních operací. Pozor na přednost násobení a dělení před sčítáním a odčítáním!
a) 4 ∙ (−22) + (−3) ∙ (−6) b) (−28) – (−32) + (−4) ∙ (−15) c) 3 ∙ (−17) + (−8) ∙ (−5) − 9 2
1 2
1
d) ( 1 − ) : (−3 + ) 5
5
1
e) (−6) : (1 + ) 2
1
1
5
3
f) ( − ) : (−1,5)
Řešení:
a) – 88 + 18 = −70 b) – 28 + 32 + 60 = 92 – 28 = 64 1
1
1
2 3
2
c) – 51 + 40 − 9 = 40 − 60 = −20 d)
5−2 5
:
6
−15+1
e) (− ) : f)
5 2+1
1 2 3−5 −15 15
:
10
2 3
= ∙ 5
5
−14 6 2
=−
= (− ) ∙ = −
=
−2 15
∙
1 2
−3
14 12
3
=+
4 45
3
= −4
Písemné práce na zjištění zvládnutí učiva.
Sčítání a odčítání
1. a) 5 – (+14)
5
7
6 3
8 2
5
3 1
2. a) − − (− )
b) −5 –(−14)
b) 1 − 2
c) −7 + (−12)
c) −3 − 2
d) 7 + (+12)
d)1 − (−2 )
1 8
4. a) (18 – 36) – (48 – 24)
4
4 1
5
2
3. a) −4 + (−0,24) b) (−13,2) + (113,2) c) (+8,46) + (−1,32) d) 8,5 – (−6,5)
b) (−236 – 11) – (430 – 752)
5. a) (+6) – (−4) – (−8) – (−1) – (+8) b) (−3,5) – (−4,2) – (+0,8) – (−7,2) – (+6,2)
Násobení a dělení
1. a) (+4) ∙ (−7)
2. a) 30 : (−5)
b) (−3,25) ∙ (−6,3) 1
2
2∙
3
b) (−360) : 15 7
c) (−2 ) ∙ (+ ) 4 5
3
3
3
5
4
4. a) (−11 + 4) ∙ (−10 + 9 – 4) b) (−3,5 + 0,2) ∙ (0,5 + 0,4 – 0,7)
5
5
3
2
5
5
b) (+ ) : (−1 + )
f) (−18) : (+126) h) (−2 ) : 2
2
1
3
d) (−3,3) : (+6)
b) (−1 ) ∙ (− ) ∙ (−10) ∙ (+ )
2
4
g) 1,26 : (−1,4)
3. a) (−1,2) ∙ 7 ∙ (−5) ∙ (−0,3)
5. a) (1 − ) : (−3 + )
1
c) (− ) : (−0,6) 5
d) 6,5 ∙ (− )
1
e) (+5 ) : (−2 )
1 2
Řešení a hodnocení písemných prací Sčítání a odčítání 1. a) – 9
2. a) +
1
3. a) −4,24
24 1
b) + 9
b) −1
c) −19
c) −5
d) +19
d)+4
4. a) −18 – 24 = − 42
b) +100
15 3
b)−247 − (− 322) = +75
c) +7,14
8 3
5. a) 19 – 8 = +11
d) +15
10
b) 11,4 – 10,5 = +0,9
Za každé cvičení 4 body, možno získat celkem 20 bodů 1. 2. 3. 4. 5.
20 – 18 bodů 17 – 15 bodů 14 – 10 bodů 9 – 5 bodů 4 – 0 bodů
Násobení a dělení 1. a) − 28 b) +20,475 c) −1
2 3 1
d) −5
5
2. a) – 6
3. a) − 12,6
b) – 24 c) + 2
1 3
b) − 7
f) −
1 4
2
4. a) (−7) ∙ (−5) = +35
d) – 0,55 e) − 2
1
b) (−3,3) ∙ (+0,2) = − 0,66 3
14
5 3
5 3
5
5
5. a) (+ ) : (−
1
)=−
b) (+ ) : ( − ) = − 1
7
g) – 0,9 h) − 1 1. př. 2. př. 3. př. 4. př. 5. př.
4 body 8 bodů 4 body 6 bodů 5 bodů
3 14
1 4
celkem 27 bodů
1. 2. 3. 4. 5.
27 – 24 bodů 23 – 20 bodů 19 – 14 bodů 13 – 7 bodů 6 – 0 bodů
Seznam použité literatury: Matematika pro 7. ročník základní školy Aritmetika PhDr. Jana Mülerová, Csc., a kol. Kvarta 1998 Sbírka úloh z matematiky pro 7. ročník ZŠ Josef Trejbal dr. Štefan Filip dr. Eva Kučinová dr. Pavel Mäsiar Státní pedagogické nakladatelství Praha 1992
