Příklad P9.2 – Výpočet šířky trhlin - stropní trám T1
Zadání příkladu Posuďte zadaný stropní trám T1 z přílohy C1 na mezní stav šířky trhlin dle EN 1992-1-1. Zatížení, vnitřní síly, krytí, posouzení na ohyb uvažujte z příkladů P1.2, P2.2 a P3.6. Použijete beton C25/30, prostředí uvažujte XC1. Trám s deskou je monoliticky vybetonován, působí jako prostý nosník.
Omezení trhlin Trhliny musí být omezeny tak, aby nedošlo k narušení řádné funkce nebo trvanlivosti konstrukce. Vznik trhlin lze připustit, aniž by se omezovala jejich šířka za předpokladu, že se nenaruší funkčnost konstrukce. Vypočtená šířka trhlin wk má být omezena hodnotou. V našem příkladě se jedná o železobetonové prvky se stupněm vlivu prostředí XC1, tzn. že musíme dle EN 1992-1-1 prokázat pro kvazistálou kombinaci zatížení maximální šířku trhlin wmax = 0 ,4 mm .
Dáno f k ,ψ 2 = 21,87 kNm −1 , l = 6 ,45 m , E s = 200 GPa , Ecm = 31 MPa , Ac = 0 ,232 m 2 , As = 11,40 ⋅ 10 − 4 m 2 , beff = 1,85 m , bw = 0 ,20 m , h = 0 ,50 m , hs = 0 ,08 m , d = 0 ,458 m , f ctm = 2 ,60 MPa , c( podé ln é výztuže ) = 31 mm , φ sl = 22 mm.
Moment od kvazistálé kombinace Jedná se o prostý nosník. Moment od kvazistálé kombinace je:
M k ,ψ 2 =
1 1 ⋅ f k ,ψ 2 ⋅ l 2 = ⋅ 21,87 ⋅ 6 ,45 2 = 113 ,73 kNm 8 8
Průřezové charakteristiky průřezu bez trhlin Pracovní součinitel:
αe =
Es 200 = = 6 ,45 . Ecm 31
Těžiště betonového průřezu:
0 ,50 2 0 ,08 2 h2 hs2 + 0 ,20 ⋅ ( 1,85 − 0 ,20 ) ⋅ ( beff − bw ) ⋅ + bw ⋅ 2 = 0 ,1305 m . 2 2 = 2 agc = 0 ,232 Ac Moment setrvačnosti betonového průřezu:
1 h 1 h ⋅ ( beff − bw ) ⋅ hs3 + ( beff − bw ) ⋅ hs ⋅ ( s − agc )2 + ⋅ bw ⋅ h 3 + bw ⋅ h ⋅ ( − agc )2 = 12 2 12 2 1 0 ,08 1 = ⋅ ( 1,85 − 0 ,20 ) ⋅ 0 ,08 3 + ( 1,85 − 0 ,20 ) ⋅ 0 ,08 ⋅ ( − 0 ,1305 )2 + ⋅ 0 ,20 ⋅ 0 ,50 3 + 12 2 12 0 ,50 + 0 ,20 ⋅ 0 ,50 ⋅ ( − 0 ,1305 )2 = 0 ,00466288 m4 . 2 Ic =
Copyright © 2010 by Dashöfer Holding, Ltd. a Verlag Dashöfer, nakladatelství s. r. o.
1/6
Příklad P9.2 – Výpočet šířky trhlin - stropní trám T1
Obr. 1 Vyšetřovaný T-průřez Plocha ideálního průřezu:
Ai = Ac + α e ⋅ As = 0 ,232 + 6 ,45 ⋅ 11,40 ⋅ 10 −4 = 0 ,23935 m 2 . Těžiště ideálního průřezu:
agi =
Ac ⋅ agc + α e ⋅ As ⋅ d Ai
=
0 ,232 ⋅ 0 ,1305 + 6 ,45 ⋅ 11,40 ⋅ 10 −4 ⋅ 0 ,458 = 0 ,1406 m. 0 ,23935
Moment setrvačnosti ideálního průřezu:
I i = I c + Ac ⋅ ( agc − agi )2 + α e ⋅ As ⋅ ( d − agi )2 = 0 ,00466288 + 0 ,232 ⋅ ( 0 ,1305 − 0 ,1406 )2 + + 6 ,45 ⋅ 11,40 ⋅ 10 − 4 ⋅ ( 0 ,458 − 0 ,1406 )2 = 0 ,00542731 m4 .
Moment na mezi vzniku trhlin M cr = f ctm ⋅
Ii 0 ,00542731 = 2 ,60 ⋅ 10 3 ⋅ = 39 ,26 kNm < M Ek ,ψ 2 = 113,73 kNm . h − a gi 0 ,50 − 0 ,1406
Vzniknou trhliny, konstrukci je nutno posoudit na omezení šířky trhlin.
Průřezové charakteristiky průřezu porušeného trhlinou Nejprve musíme vypočítat výšku tlačené oblasti průřezu s trhlinou xir . Při výpočtu vycházíme z předpokladů napsaných v příkladu P9.1. Základní rovnice vychází z rovnosti statických momentů ploch tlačené plochy betonu Scc a tažené podélné výztuže α e ⋅ S s k ose, která je vzdálená od nejvíce tlačeného vlákna o xir : Scc = α e ⋅ S s . U T-průřezu může dojít ke dvěma případům: a) xir ≤ hs výška tlačené oblasti vychází do desky, potom platí:
S cc = beff ⋅
xir2 a α e ⋅ S s = α e ⋅ As ⋅ ( d − xir ) . 2
Copyright © 2010 by Dashöfer Holding, Ltd. a Verlag Dashöfer, nakladatelství s. r. o.
2/6
Příklad P9.2 – Výpočet šířky trhlin - stropní trám T1 Ze vztahu dostaneme kvadratickou rovnici:
beff 2
⋅ xir2 + α e ⋅ As ⋅ xir − α e ⋅ As ⋅ d = 0 (stejné jako u obdélníkového průřezu).
Obr. 2 Případ a) Řešení rovnice je jeden reálný kořen:
xir =
− α e ⋅ As + ( α e ⋅ As )2 + 2 ⋅ beff ⋅ α e ⋅ As ⋅ d beff
.
Moment setrvačnosti ideálního průřezu porušeném trhlinou:
I ir =
1 ⋅ beff ⋅ xir3 + α e ⋅ As ⋅ ( d − xir )2 . 3
b) xir > hs výška tlačené oblasti vychází do stojiny, potom platí:
S cc = ( beff − bw ) ⋅ hs ⋅ ( xir −
hs x2 ) + bw ⋅ ir a α e ⋅ S s = α e ⋅ As ⋅ ( d − xir ) . 2 2
Ze vztahu se dostaneme k následující kvadratické rovnici:
[
]
bw 2 hs2 ⋅ xr + ( beff − bw ) ⋅ hs + α e ⋅ As ⋅ xr − ( beff − bw ) ⋅ − α e ⋅ As ⋅ d = 0. 2 2 Řešení rovnice je jeden reálný kořen:
xir = −
[( b
( beff − bw ) ⋅ hs + α e ⋅ As bw
eff
+
+
⎡ ⎤ h2 2 − bw ) ⋅ hs + α e ⋅ As + 2 ⋅ bw ⋅ ⎢( beff − bw ) ⋅ s + α e ⋅ As ⋅ d ⎥ 2 ⎣ ⎦ . bw
]
Moment setrvačnosti ideálního průřezu porušeném trhlinou:
I ir =
1 h 1 ⋅ ( beff − bw ) ⋅ hs3 + ( beff − bw ) ⋅ hs ⋅ ( xir − s )2 + ⋅ bw ⋅ xir3 + α e ⋅ As ⋅ ( d − xir )2 . 12 2 3
Copyright © 2010 by Dashöfer Holding, Ltd. a Verlag Dashöfer, nakladatelství s. r. o.
3/6
Příklad P9.2 – Výpočet šířky trhlin - stropní trám T1
Obr. 3 Případ b) Pro náš příklad vyzkoušíme předpoklad a). Výška tlačené oblasti:
xir =
− α e ⋅ As + ( α e ⋅ As )2 + 2 ⋅ beff ⋅ α e ⋅ As ⋅ d beff
=
− 6 ,45 ⋅ 11,40 ⋅ 10 −4 + ( 6 ,45 ⋅ 11,40 ⋅ 10 −4 )2 + 2 ⋅ 1,85 ⋅ 6 ,45 ⋅ 11,40 ⋅ 10 −4 ⋅ 0 ,458 = = 0 ,05649 m. 1,85 xir = 0 ,05649 m ≤ hs = 0 ,08 m předpoklad a) je splněn. Moment setrvačnosti ideálního průřezu porušeného trhlinou:
1 1 ⋅ beff ⋅ xir3 + α e ⋅ As ⋅ ( d − xir )2 = ⋅ 1,85 ⋅ 0 ,05649 3 + 6 ,45 ⋅ 11,40 ⋅ 10 −4 ⋅ ( 0 ,458 − 0 ,05649 )2 = 3 3 4 = 0 ,00129654 m . I ir =
Výpočet napětí ve výztuži σ sd =
M Ek ,ψ 2 I cr
⋅ α e ⋅ ( d − xir ) =
113,73 ⋅ 6 ,45 ⋅ ( 0 ,458 − 0 ,05649 ) = 227 ,17 MPa. 0 ,00129654
Posouzení šířky trhlin Maximální vzdálenost trhlin:
sr ,max = k3 ⋅ c + k1 ⋅ k 2 ⋅ k4 ⋅ φ / ρ p ,eff ,
sr ,max = 3,4 ⋅ 0 ,031 + 0 ,8 ⋅ 0 ,5 ⋅ 0 ,425 ⋅ 0 ,022 / 0 ,05429 = 0 ,1743 m = 174 ,3 mm. Vztah platí pro soudržnou výztuž umístěnou dostatečně blízko středu tažené oblasti. Součinitele:
k1 = 0 ,8 , pro pruty s velkou soudržností, k 2 = 0 ,5 , pro prostý ohyb, k 3 = 3,4 , k 4 = 0 ,425. Copyright © 2010 by Dashöfer Holding, Ltd. a Verlag Dashöfer, nakladatelství s. r. o.
4/6
Příklad P9.2 – Výpočet šířky trhlin - stropní trám T1
Obr. 4 Efektivní výška a plocha Efektivní výška:
h − xir h ⎫ ⎧ hc ,ef = min⎨2 ,5 ⋅ ( h − d ); ; ⎬= 3 2⎭ ⎩ 0 ,50 − 0 ,05649 0 ,50 ⎫ ⎧ ; = min⎨2 ,5 ⋅ ( 0 ,50 − 0 ,458 ); ⎬= 3 2 ⎭ ⎩ = min{0 ,105; 0 ,1478; 0 ,25} = 0 ,105 m , hc ,ef = 0 ,105 m > c + φsl = 0 ,031 + 0 ,022 = 0 ,053 mm , veškerá výztuž leží v pásmu hc ,ef . Efektivní plocha:
Ac ,eff = hc ,ef ⋅ bw = 0 ,105 ⋅ 0 ,2 = 0 ,021 m 2 . Efektivní stupeň vyztužení:
ρ p ,eff =
As 11,40 ⋅ 10 −4 = = 0 ,05429. Ac ,eff 0 ,021
σ s − kt ⋅ ε sm − ε cm =
ε sm − ε cm
f ct ,eff
( 1 + α e ⋅ ρ p ,eff )
ρ p ,eff
Es
≥ 0 ,6 ⋅
σs Es
2 ,6 ( 1 + 6 ,45 ⋅ 0 ,05429 ) 227 ,17 0 , 05429 = ≥ 0 ,6 ⋅ 3 200 ⋅ 10 200 ⋅ 10 3 = 0 ,0010065 ≥ 0 ,0006815 ⇒ 227 ,17 − 0 ,4 ⋅
ε sm − ε cm ε sm − ε cm = 0 ,0010065
Průměrná hodnota pevnosti betonu v tahu v okamžiku prvního očekávaného vzniku trhlin: f ct ,eff = f ctm = 2 ,6 MPa . Součinitel:
kt = 0 ,4 , dlouhodobé zatížení.
Výsledná šířka trhlin dle (EN 1992-1-1, čl. 7.3.4) bude:
wk = sr ,max ( ε sm − ε cm ) = 174 ,3 ⋅ 0 ,0010065 = 0 ,175 mm ,
Copyright © 2010 by Dashöfer Holding, Ltd. a Verlag Dashöfer, nakladatelství s. r. o.
5/6
Příklad P9.2 – Výpočet šířky trhlin - stropní trám T1 wk = 0 ,175 mm ≤ wmax = 0 ,4 mm , vyhovuje.
Copyright © 2010 by Dashöfer Holding, Ltd. a Verlag Dashöfer, nakladatelství s. r. o.
6/6
